(新课标)高考数学总复习几何证明选讲教案理新人教A版选修4_1

【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习几何证明选讲教案理新人教A版选修4-1第一节相似三角形的判定及有关性质考纲要求：1.了解平行线截割定理．2．会证明并应用直角三角形射影定理．1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定理①判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．②判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．③判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．②推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形相似的判定定理①判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．②判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(4)直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)梯形的中位线平行于两底，且等于两底和．( )(2)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．( )(3)在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，若AD 2＝BD ·CD ，则∠A 为直角．( ) (4)在直角三角形ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AD ，则BC 2＝BD ·AB .( ) (5)若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：83.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点，又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：244.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB . ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23， ∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：45[典题1] (1)如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC的值．第(1)题图 第(2)题图(2)如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．[听前试做] (1)如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.(2)设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等， 又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH，∴x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.即△DEF 的边长为43.对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题．解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD的值．解：由平行线分线段成比例定理得EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝ACAC＝1.[典题2] 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．[听前试做] (1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB .所以△ABC ∽△FCD .(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M . 因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝4. 又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM.因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE4＝55＋52，解得DE ＝83.(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED ，CB 延长线交于一点F.求证：FD 2＝FB ·FC .证明：∵E 是Rt △ACD 斜边中点， ∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ， ∴∠FBD ＝∠FDC .∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FD FC，∴FD 2＝FB ·FC .[典题3] 如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC .[听前试做] 在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，又FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1， ∴AF ＝x 2－1.在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DC AC， ∴DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x.在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22＝12， ∴x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AEEC.证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AE ＝BDAB，①AF EC ＝AB BC.② 在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC.③由①③得DF AE ＝ABBC ，④ 由②④得DF AF ＝AEEC. —————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起来比较简单，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力．2．等积式的证明方法证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似．不能构成三角形或三角形不相似需转化．[易错防范]1．平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．2．证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．1.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，BC 边的垂直平分线EM 和AB 以及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ，求证：AM 2＝DM ·EM .证明：∵∠BAC ＝90°，M 是BC 边的中点，∴AM ＝CM ，∠MAC ＝∠C . 又∵EM ⊥BC ，∴∠E ＋∠C ＝90°.又∵∠BAM ＋∠MAC ＝90°，∴∠E ＝∠BAM . 又∵∠EMA ＝∠AMD ，∴△AMD ∽△EMA . ∴AM DM ＝EM AM，∴AM 2＝DM ·EM .2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF ∽△CEB . (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CE 2，S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2. 又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE . ∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CE 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值．解：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AECN ，∴AFAF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM＝1，∴AE ＝BN ，∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE2AE ＋BC.∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15. 4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ， ∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DEDN.又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .5. (2016·南阳模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC .证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ， 由∠BAC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝2a ， 故AE EF＝a2a＝22，AD FB ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝ADFB.∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°，∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC .6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE. 证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF 有PF PE ＝AM AE，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AMAF.对△MBN 有AB AM ＝BD DN， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN.对△ADC 有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝AC AF. 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE. 第二节 直线与圆的位置关系考纲要求：1.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理． 2．会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角． ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． (2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同弧所对的圆心角与圆周角相等．( )(2)若一个四边形的一个外角等于它的内角，则这个四边形的四个顶点共圆．( )(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．( )(4)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半．( )(5)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，PA＝AB＝5，CD＝3，则PC的长为________．解析：设PC＝x，由割线定理知PA·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.答案：23．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q 作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：44．如图所示，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则AB＝________.解析：设x＝BC＝AD，由圆外一点向圆引两条割线的结论得到x(x＋10)＝4(x＋4)，∴x＝2，∴AB＝42－22＝2 3.答案：2 3[典题1] (2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC 交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．[听前试做] (1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.解得x＝3，所以∠ACB＝60°.(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积． 解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ， 所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ， 所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF ，从而EF ∥BC .(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线． 又EF 为⊙O 的弦， 所以O 在AD 上． 连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.[典题2] 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． [听前试做] (1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC AF＝DC AE，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； (2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长． 解：(1)证明：连接DB ，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE.∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是⊙O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9.∴EF＝GF－GE＝9－4＝5.[典题3] 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[听前试做] 连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.(1)因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA 2＝PB ·PC .因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2.涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．如图所示，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长． 解：(1)证明：连接AB .因为AC 是⊙O 1的切线，所以∠BAC ＝∠ADB . 又∠BAC ＝∠CEP ，所以∠ADB ＝∠CEP ， 所以AD ∥EC .(2)法一：因为PA 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 1的割线， 所以PA 2＝PB ·PD ，即62＝PB ·(PB ＋9)． 所以PB ＝3或PB ＝－12(舍去)．在⊙O 2中由相交弦定理，得PA ·PC ＝BP ·PE ，所以PE ＝4. 所以DE ＝BD ＋PB ＋PE ＝9＋3＋4＝16. 因为AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线， 所以AD 2＝DB ·DE ＝9×16.所以AD ＝12. 法二：设BP ＝x ，PE ＝y . 因为PA ＝6，PC ＝2，所以由相交弦定理得PA ·PC ＝BP ·PE ，即xy ＝12.① 因为AD ∥EC ，所以DP PE ＝AP PC ，所以9＋x y ＝62.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(舍去)，所以DE ＝9＋x ＋y ＝16.因为AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线， 所以AD 2＝DB ·DE ＝9×16.所以AD ＝12.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．处理与圆有关的比例线段问题的常见思路： (1)利用相似三角形； (2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论； (4)利用面积关系．2．圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，弄清四边形的外角和它的内对角的位置．其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合．3．切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心． 4．相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长．[易错防范]1．圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．1．如图，AB 为圆O 的直径，BC 为圆O 的切线，连接OC .D 为圆O 上一点，且AD ∥OC .(1)求证：CO 平分∠DCB ；(2)已知AD ·OC ＝8，求圆O 的半径． 解：(1)证明：连接OD ，BD ，∵AB是直径，∴AD⊥BD，∴OC⊥BD.设BD∩OC＝E，OD＝OB，OE＝OE，∴△BOE≌△DOE，∴BE＝DE，同理，△CBE≌△CDE，∴∠BCO＝∠DCO，∴CO平分∠DCB.(2)∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AD∥OC，∴∠DOC＝∠ODA，∴∠DOC＝∠OAD，∴Rt△BDA∽Rt△CDO.∴AD·OC＝AB·OD＝2OD2＝8.所以所求圆的半径为 2.2．(2015·湖南高考)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明： (1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.3．(2015·陕西高考)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA;(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．解：(1)证明：因为DE为⊙O的直径，所以∠BED＋∠EDB＝90°.又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA，则BABC＝ADCD＝3.又BC＝2，从而AB＝3 2.所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3. 由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.4. (2016·开封模拟)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E;(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．5．(2016·南昌模拟)如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝20，PB＝10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：AB·PC＝PA·AC；(2)求AD·AE的值．解：(1)证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴AB·PC＝PA·AC.(2)∵PA为圆O的切线，PBC是过点O的割线，∴PA2＝PB·PC，∴PC＝40，BC＝30.又∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝900，又由(1)知ABAC＝PAPC＝12，∴AC＝125，AB＝65，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠CEA＝∠DBA，∴△ACE∽△ADB，∴ABAE＝ADAC，AD×AE＝AB×AC＝65×125＝360.6．(2016·唐山模拟)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC ∥DE ；(2)若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC ＝BC ，求∠BAC .解：(1)证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE .(2)因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CFA ＝∠CED ，由(1)知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CFA ＝∠ACF .设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，因为AC ＝BC ，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ，所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰三角形ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7.。