2的33次方与3的22次方
整理2的33次方与3的22次方_数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第二章一维波动方程的分离变量法引言上一章学习的求解数理方程的方法:行波法。
其基本思路是借助常微分方程的求解方法等求解通解，再利用初始条件确定通解中的任意常数，确定数理方程中的特解。
求通解前作一维波动变换，代入泛定方程。
然能用行波法求解的问题很少，适用于求解如无界弦的自由横振动问题。
为此，对数理方程的求解还须进一步探索新的方法。
其中分离变量法就是求解数理方程的一种最常用的方法。
2.1 齐次方程混合问题的Fourier解2 .1 .1定解问题考虑长为，两端固定的弦的自由振动其中，为已知函数。
分析:方程是齐次方程，边界条件是齐次边界条件，初始条件是非齐次的。
求解：通过这道例题来体会分离变量法的精神思想。
第一步：分离变量分离变量（变量分离）如波函数实现了变量分离。
于是我们希望求得的一微波动方程的特解只有分离变量的形式，即首先：将代入齐次方程，得。
所求特解应为非零解，于是，不解为零。
两边同除以，有等式左端只是的函数（与无关），等式右端只是的函数（和无关），于是左右两端要相等，就必须共同等于一个既与无关，又与无关的常数。
设为，有，能分离变量的关键：方程是齐次方程。
其次：将代入边界条件：，这时必须有，能分离变量的原因：边界条件是齐次边界条件。
最后：就完成了用分离变量法求解泛定方程（数理方程）的第一步。
总结：分离变量①目标：分离变量形式的非零解②结果：函数满足的常微分方程和边界条件以及满足的常微分方程。
，，③条件：泛定方程和边界条件都是齐次的。
第二步：求解本征值问题分析：关于的常微分方程的定解问题特点：微分方程中含有特定常数，定解条件是一对齐次边界条件。
并非对于任何值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解；只有当取某些特定值时,才有既满足齐次,又满足齐次边界条件的非零解。
定义：的这些特定值称为本征值，相应的非零解称为本征函数。
榆中县四中七年级数学上册 第二章 有理数及其运算 2.9 有理数的乘方教学课件1 新版北师大版
课堂小结
乘方的意义 有理数的乘方 乘方的运算
规律探究
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
有理数的除法 第3课时 有理数的四那么混合运算
新课导入
有理数的乘方1
学习目标
1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概 念及意义.(重点〕
2.能够准确进行有理数的乘方运算.〔难点〕
导入新课
以下图是日本某小学门前贴的一张海报 , 你懂其中 的含义吗 ？
一点一滴地努力 , 总有一天能够变成巨大的力量. 反之 , 稍微有一点怠慢的话 , 总有一天会变得无力.
割成6个部分.
〔1〕 1
1
①的面积 2 . ②的面积 4 .
③的面积 1 .
⑤的面积
8
1
.
25
④的面积 1 .
⑥的面积
24
1
.
25
〔2〕受此启发 , 你能求出
121418215 的值吗 ？
变式2 : 完成以下填空
(1)一组数列 : 8 , 16 , 32 , 64 , …
那么第n个数表示为2_n_ _2 ___
变式3 : 计算
1 2 2 2 2 9 210 1
结果 幂
跳一次
1 1 21 1
跳两次
12 3 2 2 1
跳三次 1222 7 2 3 1
跳四次 12222315 2 4 1
当堂练习
1.计算(-3)2的结果为〔B 〕
A.-9
B .9
C .-6
D. 6
【全文】指数函数与对数函数PPT课件 (2)
2.
y
(1)
1 x3
2
x≠ - 3
1 0 x3
y≠1, y>0
值域为 (0,1)∪(1,+∞)
平移变换
指数函数3(函数的图象变换)
1. y=f(x) →y=f(x-a)：左右平移
y=f(x-a)，a<0
y=f(x) y=f(x-a)，a>0
a>0时，向右平移a个单位； a<0时，向左平移|a|个单位.
5
1). a 2 a , a 2
11
a3 3 a2 ,
a3
3
a a, a4
3. 计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 ); 4a
13
(2)(m 4 n 8 )8.
要点：分别计算系数和指数
m2n3
4. 计算下列各式：
5
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。
（1）定义域为{x|x≠1}；
1 0
x 1
值域为{y|y>0且y≠1}
1
⑴ y 0.4 x1
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
（2） 定义域为{x| x 1 } 5
值域为{y|y≥1}
1
m
an
(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)
0的正分数指数幂等于0
0的负分数指数幂无意义 有理指数幂的运算性质
a m a n a mn (m, n Q) (a m )n a mn (m, n Q) (ab)n a n bn (n Q)
江苏省南京市2024--2025学年上学期七年级数学10月份月考复习试题(有理数章节近3年组题汇编
江苏省南京市2024--2025学年上学期七年级数学10月份月考复习试题 （有理数章节近3年组题汇编）一、单选题1．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为【 】 A ．2.1×109 B ．0.21×109 C ．2.1×108 D ．21×107 2．下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）如果现在是北京时间9月11日15时，那么现在的纽约时间是（ ）A ．9月10日21时B ．9月12日4时C ．9月11日4时D ．9月11日2时3．如图，A ，B ，C ，D ，E 是数轴上5个点，A 点表示的数为10，E 点表示的数为10010，AB BC CD DE ===，则数9910所对应的点在线段（ ）上A ．AB B ．BC C ．CD D ．DE4．已知m 表示有理数，则m m -一定是（ ） A ．非正数 B ．非负数 C ．正数 D ．零5．比 3.14-大的非正的整数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．下列说法正确的个数是（ ）①如果两个数的和为0，则这两个数互为倒数；②绝对值是它本身的有理数是正数；③几个有理数相乘，积为负数时，负因数个数为奇数；④若()a b a b +=-+则0a b +<；⑤若a b =，则22a b =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．若2126x x x ++-+-=，则x 的值为．8．计算：1111111123344520142015-+-+-+⋯+-= ． 9．如图，半径为1的圆放在数轴上，点A 表示的数是2，将圆沿数轴向左侧转动三周，点A 转动后表示的数是 ．三、解答题10．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，222÷÷，()()()()3333-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，()()()()3333-÷-÷-÷-记作()3-④，读作：“()3-的圈4次方”．一般地，把n 个a 相除记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．(1)直接写出计算结果：2=③______，()3-=④______．(2)关于除方，下列说法错误的是______．A ．任何非零数的圈2次方都等于1B ．对于任何正整数n ，1的圈n 次方都等于1C ．34=④③D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数11．化简下列各式的符号，并回答问题：(1)()2--； (2)15⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(3)()4⎡⎤---⎣⎦(4)()3.5⎡⎤--+⎣⎦；(5)(){}5⎡⎤----⎣⎦；(6)(){}5⎡⎤---+⎣⎦(7)当5+前面有2012个负号，化简后结果是多少？(8)当5-前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？12．将下列各数填入适当的括号内：π，5，3-，34，8.9，67-， 3.14-，9-，0，325 正数集合：{ …}负数集合：{ …}整数集合：{ …}分数集合：{ …}正整数集合：{ …}负整数集合：{ …}非负数集合：{ …}13．小明定义了一种新的运算“◎”，他写出了一些按照“◎”运算法则进行运算的算式： ()()279++=+◎， ()()3710--=+◎，()()4610-+=-◎， ()()5813+-=-◎，()099-=+◎， ()808+=+◎．(1)请用文字语言归纳◎运算的法则：两个非零数进行“◎”运算时，____________；特别地，0和任何数进行“◎”运算，或任何数和0进行“◎”运算，____________．(2)计算：()()1150--=⎡⎤⎣⎦◎◎______．（括号的作用与在有理数运算中一致） (3)若整数a 、b 满足a b ≤，且2a b =◎，求a 、b 的值．14．某天上午出租司机小李在东西走向的大街上营运，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行驶里程（单位：km ）如下：2-，5+，1-，1+，6-，2+．(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？(2)若汽车耗油量为0.06L /km ，这天上午接送乘客出租车共耗油多少升？15．把下列各数的序号填入相应的大括号内：①13；②3.1415；③4π3-；④2--；⑤0；⑥517-；⑦15%-；⑧0.25555⋯． 非负数集合{________________________________…}；分数集合{__________________________________…}；非负整数集合{______________________________…}．16．计算(1)()22123--- (2)313241864⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭ (3)()()88475-÷-⨯-+(4)()34124221-+÷-⨯--17．计算：(1)(6)(3)|7|+---+- (2)4211(10.5)2(3)3⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦ 18．观察下列等式，解答问题：第1个等式：322111124==⨯⨯；第2个等式：33221129234+==⨯⨯； 第3个等式：33322112336344++==⨯⨯； 第4个等式：33332211234100454+++==⨯⨯；…… (1)33333123410++++=L _______（写出算式即可）；(2)计算333331112131420++++L 的值．19．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1234100++++⋯+=？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：11234100(1)2n n ++++⋯+=+，其中n 是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：1111122334(1)n n +++⋯+=⨯⨯⨯+？观察下面三个特殊的等式：①111122=-⨯；②1112323=-⨯；③1113434=-⨯； 把①、②、③三个等式相加，于是1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)111112233499100+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ ． (2)根据以上观察，聪明的你发现111113355720212023+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ ． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：11111361045++++⋯+． 20．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换(1)平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______．A ．()()415+++=+B ．()()413++-=+C ．()()415--+=-D ．()()413-++=-②一机器人从原点O 开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是______．(2)翻折变换①折叠纸条，若表示1-的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示______的点重合； ②如图，一条数轴上有点A 、B 、C ，其中点A 、B 表示的数分别是19-、8，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 对应的点A '落在点B 的右边，并且2A B '=，求点C 表示的数．。
数与式-第2讲：整式
1、几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项．2、注意负数的乘方，若为偶数次方则为正数，奇数次方则为负数．即“奇负偶正”．例如：22()n n a a -=；2+121()n n a a +-=-．3应用公式的注意事项（1）完全平方公式的变换222()2a b a b ab +=+-222()+2a b a b ab +=-22()()+4a b a b ab +=-（2）分解因式时，特别是高次平方差公式要注意分解完全．例：44222222()()()()()a b a b a b a b a b a b -=-+=+-+（3）当平方差公式前含有系数时，要记得把系数写成平方数再用公式．例：22222516(5)(4)(54)(54)a b a b a b a b -=-=+-【方法技巧】 第二节 整式【知识梳理】（4）平方差公式一定是两个数平方异号才能用；完全平方公式一定要两个平方项同号才能用。
例：2222)()a ab b a b --=-+（-；2222)()a ab b a b +-=--（-；2222()()2)a b a b a ab b --=+=++（；22222()()()2)a b a b b a a ab b -+=-=-=-+（考点一：整式的基本概念例1、单项式﹣3πxy 2z 3的系数和次数分别是（ ）A ．﹣π，5B ．﹣1，6C ．﹣3π，6D ．﹣3，7变式1、单项式3x 2y 2的（ ）A ．系数是0，次数是4B ．系数是﹣1，次数是2C ．系数是3，次数是4D ．系数是﹣1，次数是3例2、下列各式中，是二次三项式的是（ ）A ．B ．32+3+1C ．32+a+abD ．x 2+y 2+x ﹣y变式1、下列关于多项式5ab 2﹣2a 2bc ﹣1的说法中，正确的是（ ）A ．它的常数项是1B ．它是四次两项式C ．它的最高次项是﹣2a 2bcD ．它是三次三项式例2、多项式的各项分别是（ ）A ．B ．C ．D ．变式1、多项式3x 2﹣2x ﹣1的各项分别是（ ）A ．3x 2，2x ，1B ．3x 2，﹣2x ，1C ．﹣3x 2，2x ，﹣1D ．3x 2，﹣2x ，﹣1考点二：幂的运算性质例1、（1）计算a 3•a 2正确的是（ ）A ．aB ．a 5C ．a 6D ．a 9 【考点突破】（2）下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（ab）2=a2b2C．（a2）3=a5D．a2+2a2=3a4（3）计算：a3÷a2=．（4）下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2变式1、（1）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（）A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x5（2）下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2=a2﹣9B．a2•a4=a8C．=±3D．=﹣2（3）（﹣a5）2+（﹣a2）5的结果是（）A．0B．﹣2a7C．2a10D．﹣2a10（4）计算：a8÷a4=．例2、已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．变式1、（1）已知2m=3，4n=5，则23m+2n的值为（）A．45B．135C．225D．675（2）已知x m=5，x n=7，求x2m+n的值．（3）若2•8n•16n=222，求n的值．考点三：整式的运算例1、计算6a2﹣5a+3与5a2+2a﹣1的差，结果正确的是（）A．a2﹣3a+4B．a2﹣3a+2C．a2﹣7a+2D．a2﹣7a+4变式1、化简2（a﹣b）﹣（3a+b）的结果是（）A．﹣a﹣2b B．﹣a﹣3b C．﹣a﹣b D．﹣a﹣5b变式2、若代数式2x3﹣8x2+x﹣1与代数式3x3+2mx2﹣5x+3的和不含x2项，则m等于（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4例2、（1）计算：（﹣8ab）（）=．（2）计算；（3）（2x﹣y）（x+y）．变式1：（1）计算：（﹣3a2b）•（ab2）3=．（2）．（3）计算：（3a+2）×（a﹣4）例3、（1）计算8x8÷（﹣2x2）的结果是（）A．﹣4x2B．﹣4x4C．﹣4x6D．4x6（2）化简：（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab）变式1、（1）计算：（6x3﹣9x2+3x）÷3x．（2）（﹣4a3﹣7a3b2+12a2b）÷（﹣2a）2．例4、化简：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）变式1、化简：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）例5、代数式y2+2y+7的值是6，则4y2+8y﹣5的值是（）A．9B．﹣9C．18D．﹣18变式1、已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是（）A．1B．4C．7D．不能确定变式2、已知3﹣x+2y=0，则3x﹣6y+9的值是（）A．3B．9C．18D．27变式3、已知a2﹣2b=1，则代数式2a2﹣4b﹣3的值是（）A．1B．﹣1C．5D．﹣5例6、若x2﹣x﹣2=0，则（2x+3）（2x﹣5）+2=．变式1、已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．考点四：乘法公式与因式分解例1、利用图中图形面积关系可以解释的公式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）（a2﹣ab+b3）=a3+b3例2、已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（）A．1B．13C．17D．25变式1、计算：已知：a+b=3，ab=1，则a2+b2=．例3、如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．3B．6C．±3D．±6变式1：在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A．x B．3x C．6x D．9x例5、若x﹣=1，则x2+的值是（）A．3B．2C．1D．4变式1、若x2+3x﹣1=0，则的值为（）A．4B．7C．11D．﹣4例6、如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2变式1、如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．a2﹣b2=（2a+2b）（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2例7、计算（x﹣3y）（x+3y）的结果是（）A．x2﹣3y2B．x2﹣6y2C．x2﹣9y2D．2x2﹣6y2解：（x﹣3y）（x+3y）=x2﹣（3y）2=x2﹣9y2，故选C．变式1：下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）例8、因式分解：x2﹣3x=x（x﹣3）．变式1、分解因式：2a2+ab=．例9、（1）分解因式：x2﹣9=．x2﹣6x+9=．x2﹣4x+4=．4x2﹣4xy+y2=．8a3﹣8a2+2a=．例10、若x2+px+q=（x+1）（x﹣2），则p=，q=．变式1、若x2﹣3x﹣10=（x+a）（x+b），则a=2或﹣5，b=﹣5或2．变式2、（1）分解因式：x2﹣2x﹣15=．（2）分解因式：2x2+x﹣6=．例11、多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y变式1、若将多项式x2﹣mx+6因式分解得（x+3）（x+n），则m n=．【分层训练】<A组>1．下列运算正确的是（）A．（ab）2=ab2B．3a+2a2=5a2C．2（a+b）=2a+b D．a•a=a22.已知a+b=3，ab=﹣2，则a2+b2的值是．3．计算：（﹣2xy2）3=．4、①（2a﹣b）2=①（﹣12x5y3）÷（﹣3xy2）=．5、把多项式a2﹣4a分解因式为．6、把多项式ax2﹣2ax+a分解因式的结果是．7、已知x2+x﹣5=0，求代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值．8、已知x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．9、已知x2+4x﹣5=0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2的值．10、如果m2﹣m=1，求代数式（m﹣1）2+（m+1）（m﹣1）+2015的值．11、已知x2﹣5x﹣4=0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）的值．<B组>1、已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12B．20C．28D．362、设a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，则=．3、若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为﹣2．4、阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2=．5、观察并验证下列等式：13+23=（1+2）2=9，13+23+33=（1+2+3）2=36，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100，（1）续写等式：13+23+33+43+53=；（写出最后结果）（2）我们已经知道1+2+3+…+n=n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=；（结果用因式乘积表示）（3）利用（2）中得到的结论计算：①33+63+93+…+573+603①13+33+53+…+（2n﹣1）3（4）试对（2）中得到的结论进行证明．参考答案【考点突破】考点一：整式的基本概念例1、解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是﹣3π，6．故选C．变式1.解：单项式3x2y2的系数是3，次数是4．故选C．例2、解：A、a2+﹣3是分式，故选项错误；B、32+3+1是常数项，可以合并，故选项错误；C、32+a+ab是二次三项式，故选项正确；D、x2+y2+x﹣y是二次四项式，故选项错误．故选C．变式1、解：5ab2﹣2a2bc﹣1的次数为4，项数为3，常数项为﹣1，最高次数项为﹣2a2bc故选（C）例2、解：﹣x2﹣x﹣1的各项分别是：﹣x2，﹣x，﹣1，故选B．变式1、解：多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是：3x2，﹣2x，﹣1．故选D．考点二：幂的运算性质例1、（1）解：a3•a2=a3+2=a5．故选B．（2）解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、积的乘方等于乘方的积，故B正确；C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D错误；故选：B．（3）解：a3÷a2=a．故答案是：a．（4）解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D错误；故选：C．变式1、（1）解：（﹣x）3（﹣x）2=（﹣x）3+2=﹣x5．故选D．（2）解：A、（a﹣3）2=a2﹣6a+9，故错误；B、a2•a4=a6，故错误；C、=3，故错误；D、=﹣2，故正确，故选D．（3）解：（﹣a5）2+（﹣a2）5=a10﹣a10=0．故选：A．（4）解：a8÷a4=a4；故答案为：a4．例2、解：2a+b+3=2a•2b•23=5×3×8=120．变式1、（1）解：原式=（2m）3•（22）n=33•5=135．故选B．（2）解：∵x m=5，x n=7，∴x2m+n=x m•x m•x n=5×5×7=175．（3）解：2•8n•16n，=2×23n×24n，=27n+1，∵2•8n•16n=222，∴7n+1=22，解得n=3．考点三：整式的运算例1、解：（6a2﹣5a+3 ）﹣（5a2+2a﹣1）=6a2﹣5a+3﹣5a2﹣2a+1=a2﹣7a+4．故选D．变式1、解：原式=2a﹣2b﹣3a﹣b=﹣a﹣3b，故选B变式2、解：2x3﹣8x2+x﹣1+3x3+2mx2﹣5x+3=5x3+（2m﹣8）x2﹣4x+2，又两式之和不含平方项，故可得：2m﹣8=0，m=4．故选C．例2、（1）解：（﹣8ab）（）=﹣8×a3b2=﹣6a3b2．故答案为：﹣6a3b2．（2）解：=，=；（3）解：（2x﹣y）（x+y）=x2+xy﹣y2．变式1：（1）解：原式=（﹣3a2b）•a3b6=﹣3a5b7．故答案是：﹣3a5b7．（2）解：=，=﹣x3y+（﹣6xy）﹣（﹣2x）=﹣x3y﹣6xy+2x．（3）解：（3a+2）×（a﹣4）=3a2﹣12a+2a﹣8=3a2﹣10a﹣8；故答案为：3a2﹣10a﹣8．例3、解：（1）8x8÷（﹣2x2），=[8÷（﹣2）]（x8÷x2），=﹣4x6．故选C．（2）（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab）=﹣2a+b．变式1、解：（1）（6x3﹣9x2+3x）÷3x=6x3÷3x﹣9x2÷3x+3x÷3x=2x2﹣3x+1．（2）（﹣4a3﹣7a3b2+12a2b）÷（﹣2a）2=（﹣4a3﹣7a3b2+12a2b）÷4a2=﹣a﹣ab2+3b．例4、解：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）=2x2﹣3x+10x﹣15﹣2x3+4x2﹣6x=﹣2x3+6x2+x﹣15．变式1、解：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）=2x2﹣3x+10x﹣15﹣2x3+4x2﹣6x=﹣2x3+6x2+x﹣15．例5、解：∵代数式y2+2y+7的值是6；∴y2+2y+7=6；∴y2+2y=﹣1；∴4y2+8y﹣5=4（y2+2y）﹣5=4×（﹣1）﹣5=﹣9．故选B．变式1、解：∵x+2y=3，∴2x+4y+1=2（x+2y）+1=2×3+1，=6+1，=7．故选C．变式2、解：∵3﹣x+2y=0，∴3x﹣6y=9，∴3x﹣6y+9=18，故选C．变式3、解：∵a2﹣2b=1，∴2a2﹣4b=2．∴原式=2﹣3=﹣1．故选：B．例6、解：∵x2﹣x﹣2=0，即x2﹣x=2，∴原式=4x2﹣4x﹣15+2=4（x2﹣x）﹣13=8﹣13=﹣5．故答案为：﹣5变式1、解：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2=x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2=﹣4xy+3y2 =﹣y（4x﹣3y）．∵4x=3y，∴原式=0．考点四：乘法公式与因式分解例1、解：∵图中正方形的面积可表示为：a2+2ab+b2，也可表示为：（a+b）2，∴（a+b）2=a2+2ab+b2．故选A．例2、解：将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25，将xy=6代入得：x2+12+y2=25，则x2+y2=13．故选B．变式1、解：∵a+b=3，ab=1，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2=9﹣2=7．故答案为：7例3、解：∵（x±3）2=x2±6x+9，∴在x2+mx+9中，m=±6．故选D．变式1：解：①x2若为平方项，则加上的项是：±2x×3=±6x；②若x2为乘积二倍项，则加上的项是：（）2=，③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：﹣x2或﹣9．故为：6x或﹣6x或或﹣x2或﹣9．故选：C．变式2、解：根据题意，原式是一个完全平方式，∵64y2=（±8y）2，∴原式可化成=（x±8y）2，展开可得x2±16xy+64y2，∴kxy=±16xy，∴k=±16．故选：D．例5、解：当x﹣=1时，x2+===12+2=3．故答案为：A．变式1、解：∵x2+3x﹣1=0，∴x﹣=﹣3，两边平方．得x2+﹣2=9，∴x2+=11，故选C．例6、解：由题可得：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．故选：A．变式1、解：图1中，阴影部分的面积=a2﹣b2，根据图1可得，图2中梯形的高为（a﹣b），因此图2中阴影部分的面积=（2a+2b）（a﹣b），根据两个图形中阴影部分的面积相等可得a2﹣b2=（2a+2b）（a﹣b）．故选A．例7、解：（x﹣3y）（x+3y）=x2﹣（3y）2=x2﹣9y2，故选C．变式1：解：A、（2a+b）（2b﹣a）=ab﹣2a2+2b2不符合平方差公式的形式，故错误；B、原式=﹣（+1）（+1）=（+1）2不符合平方差公式的形式，故错误；C、原式=﹣（3x﹣y）（3x﹣y）=（3x﹣y）2不符合平方差公式的形式，故错误；D、原式=﹣（n+m）（n﹣m）=﹣（n2﹣m2）=﹣n2+m2符合平方差公式的形式，故正确．故选D．例8、解：x2﹣3x=x（x﹣3）．故答案为：x（x﹣3）变式1、解：2a2+ab=a（2a+b）．故答案为：a（2a+b）．变式2、解：原式=（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．例9、解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．x2﹣4x+4=（x﹣2）2．4x2﹣4xy+y2，=（2x）2﹣2×2x•y+y2，=（2x﹣y）2．2a（2a﹣1）2例10、解：∵右边=x2﹣2x+x﹣2=x2﹣x﹣2，∴p=﹣1，q=﹣2．故答案为：﹣1，﹣2．变式1、解：∵（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab=x2﹣3x﹣10，∴a+b=﹣3，ab=﹣10，解得a=2，b=﹣5或a=﹣5，b=2．故答案为：2或﹣5，﹣5或2．变式2、（1）解：原式=（x﹣5）（x+3）．故答案为：（x﹣5）（x+3）．（2）解：原式=（2x﹣3）（x+2）．故答案为：（2x﹣3）（x+2）例11、解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．变式1、解：x2﹣mx+6=（x+3）（x+n）=x2+（n+3）x+3n，可得﹣m=n+3，3n=6，解得：m=﹣5，n=2，则原式=25．故答案为：25．【分层训练】<A组>1、解：A、（ab）2=a2b2，故此选项错误；B、3a+2a2无法计算，故此选项错误；C、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误；D、a•a=a2，故此选项正确；故选：D．2、解：①a+b=3，ab=﹣2，①a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×（﹣2），=9+4，=13．故答案为：13．3、解：（﹣2xy2）3，=（﹣2）3x3（y2）3，=﹣8x3y6．故填﹣8x3y6．4、解：①（2a﹣b）2=4a2+b2﹣4ab；故答案为：4a2+b2﹣4ab；①（﹣12x5y3）÷（﹣3xy2）=4x4y．故答案为：4x4y．5、解：原式=a（a﹣4）．故答案为：a（a﹣4）．6、解：原式=a（x2﹣2x+1）=a（x﹣1）2．故答案为：a（x﹣1）27、解：（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4=x2+x﹣3，∵x2+x﹣5=0，∴x2+x=5，∴原式=5﹣3=2．8、解：（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1=2x2﹣x﹣2x+1﹣（x2+2x+1）+1=2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1=x2﹣5x+1，∵x2﹣5x=3，∴原式=3+1=4．9、解：∵x2+4x﹣5=0，即x2+4x=5，∴原式=2x2﹣2﹣x2+4x﹣4=x2+4x﹣6=5﹣6=﹣1．10、解：原式=m2﹣2m+1+m2﹣1+2015=2m2﹣2m+2015=2（m2﹣m）+2015∵m2﹣m=1，∴原式=2017．11．解：（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）=x2﹣4﹣（2x2﹣5x+2）=x2﹣4﹣2x2+5x﹣2=﹣x2+5x﹣6，∵x2﹣5x﹣4=0，∴x2﹣5x=4，∴原式=﹣（x2﹣5x）﹣6=﹣4﹣6=﹣10<B组>1、解：①实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，①（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2=5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）=20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]=28﹣2（x+y+z）2≤28①当x+y+z=0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．故选C．2、解：①a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，①（a2+2a﹣1）﹣（b4﹣2b2﹣1）=0，化简之后得到：（a+b2）（a﹣b2+2）=0，若a﹣b2+2=0，即b2=a+2，则1﹣ab2=1﹣a（a+2）=1﹣a2﹣2a=﹣（a2+2a﹣1），①a2+2a﹣1=0，①﹣（a2+2a﹣1）=0，与题设矛盾①a﹣b2+2≠0，①a+b2=0，即b2=﹣a，①==﹣=﹣（）5=﹣25=﹣32．故答案为﹣32．解法二：①a2+2a﹣1=0，①a≠0，①两边都除以﹣a2，得﹣﹣1=0又①1﹣ab2≠0，①b2≠而已知b4﹣2b2﹣1=0，①和b2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个不等实根①+b2=2，×b2==﹣1，①（ab2+b2﹣3a+1）÷a=b2+﹣3+=（b2+）+﹣3=2﹣1﹣3=﹣2，①原式=（﹣2）5=﹣32．3、解：①m2=n+2，n2=m+2（m≠n），①m2﹣n2=n﹣m，①m≠n，①m+n=﹣1，①原式=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）=mn+2m﹣2mn+mn+2n=2（m+n）=﹣2．故答案为﹣2．4、解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）．故答案为（a+b）（a+b+c）．5、解：（1）（1+2+3+4+5）2=225（2）原式=[n（n+1）]2=n2（n+1）2（3）①原式=（3×1）3+（3×2）3+（3×3）3+…+（3×20）3 =27×13+27×23+27×33+…+27×203=27（13+23+33+ (203)=27××202×212=27×44100=1190700①原式=[13+23+33+…+（2n）3]﹣[23+43+63+…+（2n）3]=（2n）2（2n+1）2﹣8（13+23+33…+n3）=×4n2（2n+1）2﹣8××n2×（n+1）2=n2（2n+1）2﹣2n2（n+1）2=n2（2n2﹣1）=2n4﹣n2（4）①（n+1）3=n3+3n2+3n+1①（n+1）3﹣n3=3n2+3n+1①n3﹣（n﹣1）3=3（n﹣1）2+3（n﹣1）+1…①33﹣23=3×22+3×2+1，①23﹣13=3×12+3×1+1上述n个等式相加，得（n+1）3﹣13=3（12+22+…+n2）+3（1+2+…+n）+n①3（12+22+…+n2）=（n+1）3﹣1﹣3（1+2+…+n）﹣n=（n+1）3﹣3×﹣（n+1）=（n+1）[（n+1）2﹣n﹣1]=（n+1）（n2+n）①12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）①（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1，①（n+1）4﹣n4=4n3+6n2+4n+1，①n4﹣（n﹣1）4=4（n﹣1）3+6（n﹣1）2+4（n﹣1）+1，…34﹣24=4×23+6×22+4×2+124﹣14=4×13+6×12+4×1+1上述n个等式相加，得（n+1）4﹣n4=4（13+23+…+n3）+6（12+22+…+n2）+4（1+2+…+n）+n，①4（13+23+…+n3）=（n+1）4﹣1﹣6（12+22+…+n2）﹣4（1+2+…+n）﹣n =（n+1）4﹣6×n（n+1）（2n+1）﹣4×﹣（n+1）=（n+1）[（n+1）3﹣n（2n+1）﹣2n﹣1]=（n+1）（n3+n2）①13+23+…+n3=n2（n+1）2故答案为（1）225；（2）n2（n+1）2。
七年级数学第一次月考卷02(考试版A4)【测试范围：人教版2024七上第一章~第二章】(人教版24)
2024-2025学年七年级数学上学期第一次月考卷02（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版2024七上第一章~第二章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列说法中不正确的是( )．A ．－3.14既是负数，分数，也是有理数B ．0既不是正数，也不是负数，但是整数C ．－2 000既是负数，也是整数，但不是有理数D ．0是正数和负数的分界A ．支出80元B ．收入80元C ．支出20元D ．收入20元3．在数轴上表示2−与8的点的距离是（ ）A ．6B ．10C ．10−D ．15−4．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（ ）A ．2.1×109B ．0.21×109C ．2.1×108D ．21×1075．将()()()3652−−+−−+−写成省略括号和加号的形式是（ ）A ．1B ．1−C ．10D ．10−8．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将2(101)，2(1011)换算成十进制数应为： 2102(101)1202124015=×+×+×=++=；32102(1011)12021212802111=×+×+×+×=+++=．按此方式，将二进制2(1001)换算成十进制数的结果为（ ）A ．17B ．9C ．10D ．189．下列说法中正确的个数有（ ）．①最大的负整数是1−；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数：④数轴上表示a −的点一定在原点的左边：⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个a b c19．（9分）上午八时，张、王两同学分别从A、B两地同时骑摩托车出发，相向而行．已知张同学每小时比王多行2千米，到上午十时，两人仍相距36千米的路程．相遇后，两人停车闲谈了15分钟，再同时按各自的方向和原来的速度继续前进，到中午十二时十五分，两人又相距36千米的路程．A、B两地间的路程有多少千米？20．（10分）操作与探索：请你自己画出数轴并表示有理数：52−，3．①大于3−并且小于3的整数有哪几个？②在数轴上表示到1−的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？21．（10分）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，222÷÷，()()()()3333−÷−÷−÷−等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”， ()()()()3333−÷−÷−÷−记作()3−④，读作：“()3−的圈4次方”．一般地，把n 个a 相除记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．22．（12分）递等式计算，能简便计算的要简便计算：×，请在下面长方形内写出相应的算式．请你按照小布的方法计算2.4 2.1有理数x的点与表示6的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数之间的距离PA=________（用含。
第章实数指数幂及其运算【新教材】人教B版高中数学必修第二册课件
[跟进训练]
1．(1)4 －34的值是( )
A．3
B．－3
C．±3
D．81
(2)若 x6＝2 021，则 x＝________.
(3)已知4 a＋14＝－(3 a＋1)3，则实数 a 的取值范围是 ________．
(1)A (2)±6 2 021 (3)(－∞，－1] [(1)4 －34＝|－3|＝3. (2)因为 x6＝2 021，所以 x＝±6 2 021. (3)因为4 a＋14＝|a＋1|，(3 a＋1)3＝a＋1， 所以|a＋1|＝－(a＋1)，所以 a＋1≤0，即 a≤－1.]
[解] (1)
(2) 614－ 3 338－( 2－1)0＋(－1)2 021＋2－1 ＝ 245－ 3 287－1－1＋21 ＝52－32－32＝－12.
1．化简结果的一个要求和两个不能
2．幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂． (2)化根式为分数指数幂． (3)化小数为分数进行运算．
所以 1－6x＋9x2＝ 1－3x2＝|1－3x|＝1－3x. (2)因为(±9)2＝81，所以 81 的平方根为±9，即 a＝±9，又(－2)3 ＝－8， 所以－8 的立方根为－2，所以 b＝－2， 所以 a＋b＝－9－2＝－11 或 a＋b＝9－2＝7.
(3)要使 4 a－1 3有意义，则a－1 3＞0，且 a－3≠0，即 a＞3.]
角度二 指数式的条件求值问题
[探究问题]
1．把
a＋ 1a2，a＋1a2 分别展开是什么？
[提示]
a＋ 1a2＝a＋1a＋2，a＋1a2＝a2＋a12＋2.
2.a＋1a2 和a－1a2 有什么关系？ [提示] a＋1a2＝a－1a2＋4.
【例 4】 已知 a＋a－1＝5，求下列各式的值： (1)a2＋a－2；(2)a －a . [解] (1)因为 a＋a－1＝5， 所以 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2 ＝52－2＝23. (2)因为a －a 2＝a＋a－1－2＝5－2＝3， 所以 a －a ＝± 3.
北师大版初中数学七年级上册 第2章 第4讲 有理数的乘方和科学计数 教材
（2）计算：13 23 33 9933 10025 日有 700 多位来自全国各地的知名企业家聚首湖北共同签约项目，共投
资总额 909260000000 元。将 909260000000 元用科学记数法表示
（保留 3 个有效数
字）
2. 某种细胞开始时有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1
考点 2. 有理数的科学计数法
知识点链接
1.科学记数法 把一个数写成 a 10n 的形式（其中1 a 10 ，n 是整数），这种记法叫做科学记数法．如： 将 200000 用科学记数法为 200000 2105 的形式．10200000 用科学计数法表示为1.02 107 ． 2.近似数与有效数字 （1）近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫近似值． （2）有效数字：从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数
10个
【例 1】 计算：（1）- 34 ；（2） 34 ；（3） - 3 3 ；（4） 33 ；（5）- 1 101 ；（6）1 1 3
4
4
2
变式训练 1. 已知 a 2 25，b3 27 ，求 a b 的值
2. 观察下列等式：31 3，32 9，33 27，34 81 ......，解答下列问题：31 32 33 34 32018 的末位数字是
变式训练 1. 一根长 1m 的绳子,第一次剪去一半,第二次剪下剩下的一半,如此剪下去,第六次剪后剩下 的绳子长度是
考点 5. 有理数的乘方的综合
【例 5】 探索研究：
（1）观察一列数 2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个
常数，这个常数是______；根据此规律．如果 n．（n 为正整数）表示这个数列的第 n 项，
湘乡市第五中学七年级数学下册第四章三角形1认识三角形第2课时三角形的三边关系教案新版北师大版
第2课时三角形的三边关系【知识与技能】掌握三角形三条边的关系,并能运用三边关系解决生活中的实际问题.【过程与方法】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，开展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.【情感态度】学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣. 【教学重点】掌握三角形三条边的关系。
【教学难点】三角形三条边关系的应用.一、情景导入，初步认知警察抓劫匪〔一名罪犯实施抢劫后，经AB-—BC的路线往山上逃窜。
警察为了能尽快抓到逃犯，经路线AC追赶,终于在山顶将罪犯捉拿归案.〕警察为什么能在这么短的时间内抓到罪犯呢？〔学生各抒已见)2。
引入：警察的追击路线和罪犯的逃跑路线正好围成了一个三角形，那警察能在这么短的时间内抓到罪犯，是不是与三角形的三条边有关系呢？是不是任意的三条线段都能围成一个三角形呢？今天我们就通过实际操作，分组讨论来研究三角形三条边之间的关系.【教学说明】创设情境,激发学生探究知识的欲望。
二、思考探究,获取新知分别量出下面三个三角形的三边长度，并填空。
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比拟，你能得到什么结论？【归纳结论】三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边.【教学说明】通过小组的合作交流，得出“三角形任意两边之差小于第三边〞的性质，同时培养学生合作学习的能力及语言表达能力。
三、运用新知，深化理解1。
见教材P86例题2。
三条线段的长度分别为：〔1)3cm、4cm、5cm；〔2〕8cm、7cm、15cm;〔3〕13cm、12cm、20cm;〔4〕5cm、5cm、11cm.能组成三角形的有〔 B 〕组。
A。
1 B。
2 C.3 D.43.现有3cm，4cm,7cm，9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是〔 B 〕。
A.1 B。
2 C。
3 D.44。
已知三条线段的比是:①1∶3∶4;②1∶2∶3;③1∶4∶6；④3∶3∶6;⑤6∶6∶10;⑥3∶4∶5.其中可构成三角形的有( B 〕A。
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
1
3
(y＜0)；
无理数指数幂：
因为12 = 1 < 2，所以1 < 2；
因为1.12 = 1.21 < 2，所以1 < 1.1 < 2；
因为1.112 = 1.2321 < 2，所以1 < 1.1 < 1.11 < 2；
⋯
从而产生了一串逐渐向 2靠近的数：1, 1.1, 1.11, 1.111, ⋯
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5
3
3
5
4 4 ;
3
5
3
7 7 ;
5
2
3
3
a a ;
7
a a .
2
9
9
7
43的5次方根是
3
5
4 ;
75的3次方根是
a2的3次方根是
a9的7次方根是
5
3
7 ;
2
3
a ;
9
7
a .
结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
a b
b a, a b.
解题方法（根式求值）
(1)化简
时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式
的性质进行化简;化简(
意义,则(
)n 时,关键是明确
是否有意义,只要
)n=a.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注
意字母参数的取值范围,即确定
中a的正负,再结合n的
奇偶性给出正确结果.
有
[跟踪训练一]
1. 化简：
n
(1) x－πn (x＜π，n∈N*)；
华师版八年级上册数学第2章 有理数 有理数的乘方(2)
感悟新知
1． (中考·郴州)(－3)2计算的结果是( ) A．－6B．6 C．－9D．9 2． (中考·孝感)下列各数中，最小的是( ) A．－3B．|－2| C．(－3)2D．2×103
知2－练
感悟新知
3．下列等式成立的是( )
知2－练
A．(－3)2＝－32B．－23＝(－2)3
C．23＝(－2)3D．32＝－32
；
3
4
12
2
.
3
知2－练
导引：先根据乘方的性质，确定符号，再根据乘
方的意义，把乘方转化为乘法来计算．注
意当底数是带分数时，需先化为假分数，
当底数是小数时，需先化为分数，再进行
乘方计算．
感悟新知
解：(1)－(－3)3＝－(－33)＝33＝3×3×3＝27. 知2－练
(2)
32 3 3 9
.
(3)
4 4 4 16
感悟新知
例2 下列对于－34的叙述正确的是( C ) A．读作－3的4次幂 B．底数是－3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个－3的积
知1－练
导引：注意－34与(－3)4的区别，前者表示34的 相反数，后者表示4个－3的积．
感悟新知
1．a3表示( ) A．3a B．a＋a＋a
第2章有理数
第2章有理数
2.11有理数的乘方
学习目标
1 课时讲解 有理数的乘方的意义
有理数的乘方运算
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问 引出问题
1.在小学里，我们已经学过： a•a记作a2,读作a的平方(或a的2次方)； a•a•a记作a3，读作a的立方(或a的3次方). 复2习.你提能问 以正方形的面积和正方体的体积来解释平方、
有理数的乘方重难点题型归纳总结(含答案)
有理数的乘方-重难点题型即有：.在【题型1 有理数乘方的概念】【例1】（2020秋•甘井子区期末）（−23）3表示的意义是（ ） A ．（−23）×（−23）×（−23） B ．（−23）×3 C ．−2×2×23 D ．−23×3×3【解题思路】根据题目中的式子和有理数乘方的意义，可以解答本题． 【解答过程】解：（−23）3表示的意义是（−23）×（−23）×（−23）， 故选：A ．【变式1-1】把−(−23)(−23)(−23)(−23)写成乘方的形式是（ ）A ．−243B ．−(23)4C ．(−23)4D ．−(−23)4【解题思路】根据幂的意义即可得出答案，求n 个相同因数积的运算，叫做乘方．na a a a n ⋅⋅⋅=个【解答过程】解：−23当底数的时候，要加括号，故A 选项错误； 底数是−23，故B 选项错误；在最前面有一个负号，故C 选项错误；原式写成乘方的形式是﹣（−23）4，故D 选项正确； 故选：D ．【变式1-2】（2020秋•安居区期中）关于（﹣5）4的说法正确的是（ ） A ．﹣5是底数，4是幂B ．﹣5是底数，4是指数，625是幂C ．﹣5是底数，4是指数，﹣625是幂D ．5是底数，4是指数【解题思路】利用乘方的意义判断即可．【解答过程】解：关于（﹣5）4的说法正确的是﹣5是底数，4是指数，625是幂．故选：B ．【变式1-3】（2020秋•浑源县期中）将 写成幂的形式，正确的是（ ） A ．2m 3nB ．2m 3nC ．2m n 3D ．m 23n【解题思路】根据有理数的乘方解答即可．【解答过程】解：将 写成幂的形式为：2m 3n，故选：A ．【题型2 有理数乘方的运算】【例2】（2020秋•含山县期末）下列各式结果相等的是（ ） A ．﹣22与（﹣2）2B ．233与（23）3C ．﹣（﹣2）与﹣|﹣2|D ．﹣12021与（﹣1）2021【解题思路】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答过程】解：A 、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，不相等，不符合题意； B 、233=83，（23）3=827，不相等，不符合题意；C 、﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，不相等，不符合题意；D 、﹣12021＝﹣1，（﹣1）2021＝﹣1，相等，符合题意． 故选：D ．【变式2-1】（2020秋•镇平县期中）下列各对数中，数值相等的是（ ） A ．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3 B ．﹣32与（﹣3）2 C ．﹣3×23与﹣32×2D ．﹣23与（﹣2）3【解题思路】根据乘方的定义分别求解可得．【解答过程】解：A ．﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（﹣2）3＝8，不相等； B ．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不相等； C ．﹣3×23＝﹣24，﹣32×2＝﹣18，不相等； D ．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，相等； 故选：D ．【变式2-2】（2020春•西湖区校级月考）下列说法中正确的是（ ） A ．﹣a n 和（﹣a ）n 一定是互为相反数B ．当n 为奇数时，﹣a n 和（﹣a ）n 相等C ．当n 为偶数时，﹣a n 和（﹣a ）n 相等D ．﹣a n 和（﹣a ）n 一定不相等【解题思路】根据有理数的乘方的定义，分n 是奇数和偶数两种情况讨论求解即可． 【解答过程】解：当n 为奇数时，﹣a n 和（﹣a ）n 相等， 当n 为偶数时，﹣a n 和（﹣a ）n 一定互为相反数． 故选：B ．【变式2-3】（2020秋•涞水县期末）设n 是自然数，则(−1)n +(−1)n+22的值为（ ）A ．1或﹣1B ．0C ．﹣1D ．0或1【解题思路】分n 为奇数和偶数两种情况，根据有理数乘方运算法则计算可得． 【解答过程】解：若n 为奇数，则n +2也是奇数，此时(−1)n +(−1)n+22=−1−12=−1；若n 为偶数，则n +2也为偶数，此时(−1)n +(−1)n+22=1+12=1；故选：A ．【题型3 偶次乘方的非负性】【例3】（2021春•沙坪坝区期中）已知（2x ﹣4）2+|x +2y ﹣8|＝0，则（x ﹣y ）2021＝ ． 【解题思路】由非负数的意义求出x 、y 的值，再代入计算即可． 【解答过程】解：∵（2x ﹣4）2+|x +2y ﹣8|＝0， ∴2x ﹣4＝0，x +2y ﹣8＝0， 解得，x ＝2，y ＝3，∴（x ﹣y ）2021＝（2﹣3）2021＝（﹣1）2021＝﹣1， 故答案为：﹣1．【变式3-1】（2020秋•崇川区校级期中）若a 、b 为整数，且|a ﹣2|+（b +3）2020＝1，则b a ＝ ． 【解题思路】先利用绝对值和乘方的意义得到a ＝1或3，b ＝﹣3或a ＝2，b ＝﹣4或﹣2，然后利用的意义进行计算．【解答过程】解：∵|a ﹣2|≥0，（b +3）2020≥0， 而a 、b 为整数，∴|a ﹣2|＝1，（b +3）2020＝0或|a ﹣2|＝0，（b +3）2020＝1，∴a＝1或3，b＝﹣3或a＝2，b＝﹣4或﹣2，当a＝1，b＝﹣3时，b a＝﹣3；当a＝3，b＝﹣3时，b a＝（﹣3）3＝﹣27；当a＝2，b＝﹣4，b a＝（﹣4）2＝16；当a＝2，b＝﹣2时，b a＝（﹣2）2＝4；综上所述，b a＝（﹣3）3＝﹣27；的值为﹣3或﹣27或4或16．故答案为﹣3或﹣27或4或16．【变式3-2】（2020秋•衡水期中）对于|a﹣1|﹣3及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了两个观点佳佳的观点：|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为3音音的观点：﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2对于以上观点，则（）A．佳佳和音音均正确B．佳佳正确，音音不正确C．佳佳不正确，音音正确D．佳佳和音音均不正确【解题思路】根据有理数的平方、绝对值的定义解答即可．【解答过程】解：因为|a﹣1|≥0，所以|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为﹣3；因为（b+3）2≥0，所以﹣（b+3）2≤0，所以﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2，所以佳佳不正确，音音正确，故选：C．【变式3-3】（2020秋•蓬溪县期中）若a、b有理数，下列判断：①a2+（b+1）2总是正数；②a2+b2+1总是正数；③9+（a﹣b）2的最小值为9；④1﹣（ab+1）2的最大值是0其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】直接利用偶次方的性质分别分析得出答案．【解答过程】解：①a2+（b+1）2总是非负数，故此选错误；②a2+b2+1总是正数，正确；③9+（a ﹣b ）2的最小值为9，正确；④1﹣（ab +1）2的最大值是1，故此选项错误． 故选：B ．【题型4 含乘方的混合运算】【例4】（2021春•金山区期末）计算：−32÷[4−(−1)2]+[23−(12)2]×24．【解题思路】利用有理数混合运算的法则运算：先做乘方，再做乘除，最后做加减，有括号的先做括号里面的．【解答过程】解：原式＝﹣9÷（4﹣1）+（23−14）×24＝﹣9÷3+（23×24−14×24）＝﹣3+（16﹣6） ＝﹣3+10 ＝7．【变式4-1】（2020秋•郯城县期末）计算：[2+（﹣5）2]÷3×13−|﹣4|+23． 【解题思路】先算乘方，再算乘除，最后算加减．同级运算，从左往右计算． 【解答过程】解：原式＝[2+25]÷3×13−4+8 ＝27÷3×13−4+8 ＝9×13−4+8 ＝3﹣4+8 ＝7．【变式4-2】（2021春•奉贤区期中）计算：−12012−[2−(−3)2]−(138+213−3.75)×24．【解题思路】先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．注意乘法分配律的灵活运用． 【解答过程】解：−12012−[2−(−3)2]−(138+213−3.75)×24＝﹣1﹣（2﹣9）−118×24−73×24+154×24 ＝﹣1+7﹣33﹣56+90 ＝7．【变式4-3】（2021春•浦东新区月考）计算：(−1)2021+12÷|−34|×(−4)−(−22)×(−114)． 【解题思路】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题． 【解答过程】解：(−1)2021+12÷|−34|×(−4)−(−22)×(−114) ＝（﹣1）+12×43×（﹣4）﹣（﹣4）×（−54） ＝（﹣1）﹣64﹣5 ＝﹣70．【题型5 乘方的应用规律】【例5】（2020秋•卢龙县期末）一根1m 长的绳子，第一次剪去绳子的23，第二次剪去剩下绳子的23，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ） A ．(13)99mB ．(23)99mC ．(13)100mD ．(23)100m【解题思路】根据有理数的乘方的定义解答即可． 【解答过程】解：∵第一次剪去绳子的23，还剩13m ；第二次剪去剩下绳子的23，还剩13(1−23)=(13)2m ，……∴第100次剪去剩下绳子的23后，剩下绳子的长度为（13）100m ；故选：C ．【变式5-1】（2021春•松北区期末）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到16个，那么这个过程要经过 分钟．【解题思路】根据细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，则n 小时后，分裂到22n 个，从而列方程求解．【解答过程】解：设经过n小时，根据题意，得22n＝16，2n＝4，n＝2．2小时＝120分钟，故答案为：120．【变式5-2】看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有多少个孙悟空？【解题思路】根据有理数乘方的定义，可推断出变化30次，孙悟空的个数2×2×...×2（30个2相乘）＝230（个）．【解答过程】解：变化一次，孙悟空的个数为2＝21（个）；变化两次，孙悟空的个数为2×2＝22＝4（个）；变化三次，孙悟空的个数为2×2×2＝23＝8（个）；变化四次，孙悟空的个数为2×2×2×2＝24＝16（个）；..．以此类推，变化30次，孙悟空的个数2×2×...×2（30个2相乘）＝230（个）．∴悟空一连变了30次，会有230个孙悟空．【变式5-3】（2020秋•农安县期中）有一种纸的厚度为0.1毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为22×0.1毫米．（1）对折2次后，厚度为多少毫米？（2）对折6次后，厚度为多少毫米？【解题思路】（1）根据对折规律确定出所求厚度即可；（2）根据对折规律确定出所求厚度即可．【解答过程】解：（1）根据题意得：2×22×0.1＝0.8（毫米）；（2）根据题意得：25×22×0.1＝12.8（毫米）．【题型6 乘方应用中的新定义问题】【例6】（2021•永州）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5B．2C．1D．0【解题思路】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．【解答过程】解：（lg2）2+lg2•lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．故选：C．【变式6-1】（2020秋•驿城区校级期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：log a N＝b．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2．（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；（2）将下列对数式改为指数式：①log525＝2；②log327＝3；（3）计算：log232．【解题思路】（1）根据对数的定义求解；（2）利用对数的定义写成幂的形式；（3）先利用乘方的意义得到25＝32，然后根据对数的定义求解．【解答过程】解：（1）①62＝36；对数式记作：log636＝2；②43＝64；对数式记作：log464＝3；（2）①log525＝2；指数式为52＝25，②log327＝3；指数式为33＝27；（3）∵25＝32，log232＝5．【变式6-2】（2020秋•宁化县月考）（1）计算下面两组算式：①（3×5）2与32×52；②[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32；（2）根据以上计算结果猜想：（ab）3等于什么？（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求（﹣4）2020×0.252021的值．【解题思路】（1）根据题意计算出结果即可（2）根据（1）的计算结果写出猜想即可．（3）当n为正整数时，写出猜想的结果，然后根据乘方的意义说明理由即可．（4）利用（3）的结论计算出值即可．【解答过程】解：（1）计算下面两组算式：①（3×5）2＝225；32×52＝9×25＝225．②[（﹣2）×3]2＝36；（﹣2）2×32＝4×9＝36．（2）根据（1）计算结果猜想：（ab）3＝a3b3．（3）当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．理由：当n为正整数时．（ab）n=ab⋅ab⋯ab⋅ab︸n个ab的乘积=a⋅a⋯a⋅a︸n个a的积•b⋅b⋯b⋅b︸n个b的积=a n b n．即：当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．（4）（﹣4）2020×0.252021＝（﹣4）2020×0.252020×0.25＝（﹣4×0.25）2020×0.25＝0.25．【变式6-3】（2020秋•聊城期中）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n 个a （a ≠0）a ÷a ÷a ÷⋯⋯÷a ︸n 个a ，记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．初步探究：直接写出计算结果：2③＝ ，(−12)③= ；深入思考：例如（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=(−3)×(−13)×(−13)×(−13)=(−13)2=(13)2（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥＝ ；(−12)⑥= ；（2）算一算：22÷(−13)④×(−2)③−(−13)⑤÷33． 【解题思路】（1）利用新定义求解；（2）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算．【解答过程】解：2③=12，(−12)③=−2；（1）5⑥=(15)4，(−12)⑥=24； （2）22÷(−13)④×(−2)③−(−13)⑤÷33 =22÷(−3)2×(−12)1−(−3)3÷27=4×19×(−12)+27÷27=79．故答案为：12；﹣2；（1）(15)4；24；（2）79．【题型7 科学记数法的表示】【例7】（2021春•浦东新区期末）如图，是津巴布韦于2009年发行的一张面值为100万亿的津元，但这一张100万亿津元还抵不上1美元的价值，在当地，一张这样的钞票也就顶多能买一个面包．“100万亿”可以用科学记数法表示（）A．1×1010B．1×1012C．1×1013D．1×1014【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答过程】解：100万亿＝100×104×108＝100000000000000＝1×1014．故选：D．【变式7-1】（2021•深圳模拟）2020年12月17日，嫦娥5号经历了往返76万千米的长途跋涉，顺利回家并在我国内蒙古着陆，同时将在月球采集的土壤样本带回了地球，这标志着我国探月工程嫦娥5号的任务获得了圆满的成功．其中76万千米用科学记数法可表示为（）A．760000米B．7.6×108米C．7.6×107米D．7.6×109米【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：76万千米＝760000000＝7.6×108米．故选：B．【变式7-2】（2021•包头）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（）A．6B．5C．4D．3【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．【解答过程】解：因为46.61万＝466100＝4.661×105，所以将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于5．故选：B．【变式7-3】（2021•雨花区模拟）据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗14280.2万剂次．下列说法不正确的是（）A．14280.2万大约是1.4亿B．14280.2万大约是1.4×108C．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×104D．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答过程】解：A、14280.2万大约是1.4亿，故本选项不合题意；B、14280.2万大约是1.4×108，故本选项不合题意；C、14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108，故本选项符合题意；D、14280.2万＝142802000＝1.42802×108．故本选项不合题意；故选：C．【题型8 近似数的表示】【例8】（2021春•浦东新区期末）据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（）A．亿位B．千万位C．万分位D．万位【解题思路】根据近似数“14.1178亿”，可知最后的数字8在万位上，从而可以解答本题．【解答过程】解：近似数“14.1178亿”精确到万位，故选：D．【变式8-1】（2021•江岸区校级自主招生）把4383800精确到万位并用科学记数法表示为（）A．4.38×106B．4.3×106C．4.384×106D．43.8×105【解题思路】首先把4383800精确到万位，然后根据：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，判断出用科学记数法表示是多少即可．【解答过程】解：4383800≈4380000，4380000＝4.38×106．故选：A．【变式8-2】（2020秋•高邮市期末）我市某部门2021年年初收入预算为8.24×106元，关于近似数8.24×106，是精确到（）A．百分位B．百位C．千位D．万位【解题思路】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．【解答过程】解：因为8.24×106＝8240000，所以近似数8.24×106是精确到万位．故选：D．【变式8-3】（2020秋•宽城区期末）数M精确到0.01时，近似数是2.90，那么数M的范围是（）A．2.8≤M＜3B．2.80≤M≤3.00C．2.85≤M＜2.95D．2.895≤M＜2.905【解题思路】考虑两方面：①千分位舍去得到2.90；②千分位入得到2.90，据此可得答案．【解答过程】解：数M精确到0.01时，近似数是2.90，那么数M的范围是2.895≤M＜2.905，故选：D．。
2的33次方与3的22次方
2的33次方=（2的3次方）的11次方=8的11次方3的22次方=（3的2次方）的11次方=9的11次方因为9大于8，所以3的22次方比2的33次方大。
2的N次方表示法：
2的N次方-1，就是连续N个2相乘，最后的积再减去1在书写，字母N应缩小后写在2的右上角，但因为在网络上不能打出这样的上标，所以一般用"^"表示乘方，2的N次方可以表示为"2^N"。
指数的运算法则：
1、[a^m]×[a^n]=a^(m＋n) 【同底数幂相乘,底数不变,指数相加】
2、[a^m]÷[a^n]=a^(m－n) 【同底数幂相除,底数不变,指数相减】
3、[a^m]^n=a^(mn) 【幂的乘方,底数不变,指数相乘】
4、[ab]^m=(a^m)×(a^m) 【积的乘方,等于各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘】。
两数N次方差的一般计算公式
两数N次方差的一般计算公式在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奧数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。
就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。
推导过程：一、由二次方看首先，我们知道两个数的二次方的计算方法已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。
解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即"2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：5 * 2-4 2=5 ** (2-1) +4 * (2-1) =5+4=9几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加4 “ 2-3"2=4"(2-1)+3"(2-1)=4+3=7几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：(A+1 厂2-A"2= (A+1)" (2-1) *A" (2-2) + (A+1 厂(2-2)林‘(2-1)对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到(A+l)^2- (A-1)A2=(A+1)*(2-1)* (A-l)*(2-2)*2+(A+l)"(2-2)*(A-1 厂(2-1)*2= [(A+1)*(2-1)* (A-l)*(2-2) + (A+1)72-2)*(A-1)*(2-1)]*2几何上理解为: 长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。
同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：P“2-Q'2=[P“(2-1)*Q*(2-2)+P"(2-2)*Q^(2-l)]*(P-Q)二、再看三次方的情况我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。
数字推理题的解题技巧（7）
数字推理题的解题技巧（7）(2)、5，15，10，215，()A.415B.-115C.445D.-112解析：10=5*5-15215=15*15-10115=10*10-215(3)、4，18，56，130，()A.216B.217C.218D.219(6)、5，10，15，85，140，()A.285B.7225C.305D.7445解析： 5^2=10+15，10^2=15+85，15^2=85+140，85^2=140+7085(1)、1，2，3，7，16，()，191A.66B.65C.64D.63解析：1^2＋2＝3，2^2+3=7，7^2+16=651）48，2，4，6，54，（），3，9A. 6B. 5C. 2D. 3解析：第⼀题四个四个为⼀组，答案应该是21，2，4，6，9，（c），18A、11B、12C、13D、18解析：思路1我有⼀个解释，仅供参考~：）1+2+4-1=62+4+6-3=94+6+9-6=136+9+13-10=18其中1、3、6、10⼆级等差思路2: 应该是13，我是这样推理的：（1+4）/2=2余1（2+6）/2=4余0（4+9）/2=6余1（6+？）/2=9余0或者1（9+18）/2=？余0或者1满⾜条件的只有13(7) 120,20,( ),-4A.0B.16C.18D.19120=5^3-520=5^2-50=5^1-5-4=5^0-5所以答案是A(8) 6, 13 , 32, 69,( )A.121B.133C.125D.130选D6=3*2+013=3*4+132=3*10+269=3*22+3130=3*42+442-22=20，22-10=12，10-4=6，4-2=220-12=8，12-6=6，6-2=48、6、4等差。
1,9,45,( ),891A.52B.49C.189D.293答案应该是C1=1*3^09=3*3^145=5*3^2189=7*3^3891=11*3^41、3、5、7、11的规律1）48，2，4，6，54，（），3，9A. 6B. 5C. 2D. 3我选C48=2×4×654=?×3×9=>2(2) -7, 3, 4,( ), 11A. -6B. 7C. 10D. 13我选B前两个数相加的和的绝对值=第三个数=>选B9) 3.3,5.7,13.5,( )A.7.7B. 4.2C. 11.4D. 6.8我选A把分⼦拆开为⼀组数列:3,5,13,?把分母拆开为⼀组数列:3,7,5,?以上两组数列均为质数列故分⼦ ?=>7分母 ?=>7再把推出的分⼦和分母重新组合还原本数字项=>7.7以上是个⼈的拙见,还望⾼⼈能够指点⼀⼆.......这些数全可以被2除尽那低⼈就乱说⼀通啦~~呵呵：）1、这个题没有分数，谈不上分⼦分母的问题，我想⼀定是笔误了。
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他第33 2的幂=(2)的3次方的11日力量Du = 11 8, 22日3 = 9的11日力量的力量,因为9大于zhi8, 22日的3比2的第33力量大。
刀
2的n次方
2的n次-1次方乘以n个连续的2，然后从最终的乘积中减去1。
字母N应写在2的右上角后，减少。
但是，由于这种上标不能在网络上键入，所以一般用“^”来表示幂次，2的n次幂可以表示为“2 ^ n”。
索引算法:
1. [a ^ m]乘以[a ^ n] = a ^ (m + n)[乘以相同的底数，底数不变，指数相加
2. [a ^ m] / [a ^ n] = a ^ n
3.[a ^ m] ^ n = a ^ (MN)
4. [AB] ^ m = (a ^ m)乘以(a ^ m)[乘积的幂等于各因子的幂
2的33次方=（2³）的11次方=8的11次方
3的22次方=（3²）的11次方=9的11次方
很明显 2的33次方＜3的22次方
方法①22日3是9日的11日力量的力量和第33 2的11次方8的力量。
9的第11次幂明显大于8的第11次幂，即3的第22次幂大于2的第33次幂;方法②22日的力量3等于3的第33 2 / 3的力量,而第二电源3 / 3等于1的9和2等于3 8的力量,换句话说,22
日的3的第33力量大于2。
2的33次等于(2的3次)的11次=8的11次3的22次等于(3的2次)的11次=9的11次显然,后者大
2^33=(2^3)11=8^11 3^22=(3^2)11=9^11 8^11<9^11 所以2^33<3^22
2的33次方=（2³）的11次方=8的11次方
3的22次方=（3²）的11次方=9的11次方
很明显 2的33次方＜3的22次方。