【中小学资料】2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 习题课 直线与方程学案 苏教版必修2
18版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时直线的点斜式学案苏教版必修21707221110
2.1.2 第1课时直线的点斜式1．掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)[基础²初探]教材整理1 直线的点斜式方程阅读教材P80～P81，完成下列问题．1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.1．过点(2,3)，斜率为－1的直线的方程为________．【解析】由点斜式方程得：y－3＝－1²(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.【答案】y＝－x＋52．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1 x＝13．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．【解析】k＝4－12－ －1＝1，l的方程为y－1＝1²(x＋1)，即y＝x＋2.【答案】y＝x＋2教材整理2 直线的斜截式方程阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．1．判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.(√) (2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．(³) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(√) (4)当直线的斜率不存在时，过点(x 1，y 1)的直线方程为x ＝x 1.(√)2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为________.【导学号：41292066】【解析】 k ＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.【答案】3x －y －2＝0[小组合作型]利用点斜式求直线的方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (2)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (3)经过点A (1,1)，B (2,3)．【精彩点拨】 先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程． 【自主解答】 (1)∵直线的倾斜角为45°， ∴此直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0. (2)∵直线与x 轴平行， ∴倾斜角为0°，斜率k ＝0， ∴直线方程为y ＋1＝0³(x ＋1)， 即y ＝－1.(3)∵直线的斜率k ＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y －3＝2³(x －2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．[再练一题]1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1,2)；(2)在x轴上的截距是－5.【解】(1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.利用斜截式求直线的方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【精彩点拨】(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1．直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2．当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．[再练一题]2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【导学号：41292067】【解】(1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.[探究共研型]直线的点斜式方程和斜截式方程的应用探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．【提示】∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y＝1，即b ＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．已知直线l 经过点P (4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程．【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．【自主解答】 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)， 当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k.由题意，得12³(1－4k )³⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．[再练一题]3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．【解】 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12²|b |²|－6b |＝3， 即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的点分别为________．【解析】 由点斜式方程知，直线过点(－1,2)，斜率为－3，∴倾斜角为120°. 【答案】 120°，(－1,2)2．已知直线的方程为y ＋2＝－x －1，则直线的斜率为________．【解析】 化直线方程为斜截式：y ＝－x －3， ∴斜率为－1. 【答案】 －13．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是_____． 【解析】 由方程知，已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＋1＝0.【答案】2x －y ＋2＋1＝04．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________.【导学号：41292068】【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.【答案】 135°，－15．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程． 【解】 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)． 当x ＝0，y ＝4＋3k ， 当y ＝0，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.∴直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步疑难规律方法学案新人教B版
第二章 平面解析几何初步1 直线与方程要点精析一、直线的倾斜角x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.解读 (1)直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x 轴相交的直线；第二种是与x 轴平行或重合的直线．这样定义可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角．(2)从运动变化的观点来看，当直线与x 轴相交时，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角． (3)不同的直线可以有相同的倾斜角．(4)直线的倾斜角直观地描述了直线相对x 轴正方向的倾斜程度． 二、直线的斜率我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．即k ＝tan α.经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.解读 (1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒．(2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x 轴．(3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于x 轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便．(4)当x 1＝x 2，y 1≠y 2时直线没有斜率． 三、两条直线平行的判定对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.解读 (1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个，一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在．(2)当两条直线的斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，此时也有l 1∥l 2. 四、两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.解读 (1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率．(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.2 直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1 已知直线方程为3x ＋my －6＝0，求此直线的斜率与此直线在y 轴上的截距． 错解 由3x ＋my －6＝0，得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m.剖析 忘记讨论当m ＝0时，直线的斜率并不存在．正解 当m ＝0时，直线可化为x ＝2，此时直线的斜率不存在，在y 轴上的截距也不存在； 当m ≠0时，可得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m，得出此直线的斜率为－3m，在y 轴上的截距为6m.评注 在直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，非常直观地表示了该直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .研究直线的斜率与在y 轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理．但要注意当y 的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论． 二、两点式中分式“缺陷”例2 已知直线l 过点A (1,2)，B (a,3)，求直线l 的方程．错解 由两点式，得直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1.剖析 忽视了a ＝1，即直线与x 轴垂直的情况，若a ＝1，则y －23－2＝x －1a －1不成立．正解 当a ＝1时，直线l 的方程为x ＝1； 当a ≠1时，直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1. 综上所述，知直线l 的方程为x －(a －1)(y －2)－1＝0.评注 一般地，过P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点的直线方程，不能写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，而应写成(x 2－x 1)(y －y 1)－(y 2－y 1)(x －x 1)＝0. 三、截距式中截距“缺陷”例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程．错解 设直线的方程为x a ＋y－a＝1. 因为直线过点(2,4)，所以2a ＋4－a ＝1.解得a ＝－2.故所求的直线方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.剖析 直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解． 正解 当直线的截距均不为0时，同错解； 当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k ＝2，直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 故所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋2＝0评注 事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m (m >0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况． 四、一般式中系数“缺陷”例4 如果直线(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0的斜率不存在，求m 的值． 错解 因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0. 解得m ＝3或m ＝1.所以当m ＝3或m ＝1时，直线的斜率不存在．剖析 由于方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，本身隐含着(A ，B 不同时为0)这一条件．当m ＝1时，方程(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0即为0·x ＋0·y ＝0，它不表示直线，应舍去． 正解 因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0，且m －1≠0.解得m ＝3. 所以当m ＝3时，直线的斜率不存在．评注 方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线．3 掌握两条直线的位置关系三个突破口在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型．下面举例说明． 题型一 根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值．例1 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.试求m 为何值时，l 1与l 2：(1)平行；(2)垂直．分析 (1)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0平行⇔－ab ＝－m n 且－c b ≠－d n”或“两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比”，通过解方程求出m 的值；(2)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0垂直⇔(－a b )·(－m n)＝－1”即可求解． 解 (1)若l 1∥l 2，则－1m ＝－m －23且－6m ≠－2m3，解得m ＝－1.所以当m ＝－1时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，则(－1m )·(－m －23)＝－1，解得m ＝12.所以当m ＝12时，l 1⊥l 2.评注 如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点．利用此法只需把直线方程化为一般式即可． 题型二 有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交．例2 若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求实数m 的取值范围．分析 可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标．由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m 的取值范围．解 根据题意，由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线的交点坐标为(2m ＋37，m －27)．因为交点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋37>0，m －27<0，解得－32<m <2.所以实数m 的取值范围是(－32，2)．评注 本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力． 题型三 有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离．这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x ，y 的系数分别对应相等)．例3 求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0的距离．分析 用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x ，y 的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离．解 把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0. 利用公式，可得l 1与l 2的距离为d ＝－－－42＋62＝151326.4 直线系方程的类型及应用在求直线方程的时候，要利用两直线的斜率关系，或利用两直线的交点坐标，通过解方程的途径来获解．而在一些有关平行或垂直的问题，或是过有关两已知直线交点的问题中，利用相应的直线系方程，能简化解题过程，提高解题效率． 一、直线系方程的类型1．平行直线系：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C 1＝0(C ≠C 1)． 2．垂直直线系：与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C 1＝0.3．交点直线系：若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P ，则过交点P 的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线l 2)．4．过定点P (a ，b )的直线系方程可设为m (x －a )＋(y －b )＝0(m 为参数)． 二、直线系方程的应用1．平行或垂直的直线系方程的应用例1 已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在的直线方程．解 正方形的中心G 到已知边的距离为d ＝|－1－5|12＋32＝610. 设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为x ＋3y ＋c ＝0，则d ＝|－1＋c |10＝610，解得c ＝7或c ＝－5(舍去)．故所求一边的直线方程为x ＋3y ＋7＝0.又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直，故设另两边所在的直线方程为3x －y ＋m ＝0. 则d ＝－＋m |10＝610，解得m 1＝9或m 2＝－3.因此正方形另两边所在的直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.评注 利用平行或垂直的直线系，可免去求斜率的麻烦，直接套用公式即可．在运用直线系方程时，要注意通过图形的几何性质，得出所设方程的参数． 2．过交点的直线系方程的应用例2 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b ，0)，C (c,0)，设P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确求得OE 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a y ＝0，求直线OF 的方程．解 由截距式可得直线AB ：x b ＋y a＝1，直线CP ：x c ＋y p＝1，点F 为直线AB 与直线CP 的交点，故过F 点的直线系方程可设为l ：x b ＋ya－1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x c ＋y p －1＝0. 又直线l 过原点(0,0)，代入方程得λ＝－1，故所求直线OF 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫1c －1b x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1p －1ay ＝0.评注 本例通过设出过交点的直线系方程，简化了求交点的烦琐过程，大题小做，直观简洁． 3．过定点的直线系方程的应用例3 已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若直线不过第二象限，求实数a 的取值范围． 解 直线方程化为(3x －y )a －(x －2y ＋1)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即无论a 为何实数，直线总过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.设直线的斜率为k ，直线OP 的斜率为k OP .由图象可知，当直线的斜率k满足k≥k OP时，直线与y轴的交点不会在原点的上方，即直线不经过第二象限．故由k≥k OP，解得a∈(2，＋∞)．又当a＝2时满足题意，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．评注过定点的直线系的特征是直线方程中有一个参数．本例通过直线过定点P，运用数形结合的思想，只考虑直线斜率满足的条件将问题巧妙转化解出．5 活用两点间的距离公式已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则该两点之间的距离可表示为|AB|＝x2－x12＋y2－y12.两点间的距离公式是整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用．因此应熟练掌握公式并且灵活运用．一、判断三角形的形状例1 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．求证：△ABC是直角三角形．分析求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证．证明|AB|＝－1－2＋＋2＝25，即|AB|＝25，∴|AB|2＝20，同理|AC|2＝5，|BC|2＝25.∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC是以顶点A为直角顶点的直角三角形．评注在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可．二、求点的坐标例2 已知点A(－3,4)，B(2，3)，在x轴上找一点P使得|PA|＝|PB|，并求出|PA|的值．分析由于点P在x轴上，可设P(x,0)，再利用条件|PA|＝|PB|即可解决．解设P(x,0)，则有|PA|＝x＋2＋－2＝x2＋6x＋25，|PB|＝x－2＋－32＝x2－4x＋7.由|PA |＝|PB |，可得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7， 解得x ＝－95，从而得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0，且|PA |＝21095. 评注 应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法． 三、证明三点共线问题例3 已知A (1，－1)，B (3,3)，C (4,5)三点，求证：这三点在同一条直线上．分析 要证A ，B ，C 三点在同一条直线上，可通过几何方法进行证明．而在直角坐标系中解决此类问题，可能会更简单一些，只需证|AC |＝|AB |＋|BC |即可，要确定|AC |，|AB |，|BC |的长，只需利用两点间的距离公式即可． 证明 |AB |＝－2＋＋2＝22＋42＝25，|BC |＝－2＋－2＝12＋22＝5， |AC |＝－2＋＋2＝32＋62＝3 5.∵|AB |＋|BC |＝35，|AC |＝35，∴|AB |＋|BC |＝|AC |，即A ，B ，C 三点共线．评注 在平面直角坐标系中证明几何问题时，应注意图形的特点，充分运用两点间的距离公式进行运算，从而解决问题． 四、证明平面几何问题例4 如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，试用坐标法证明：|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.分析 要想用坐标法证明几何问题，首先必须建立平面直角坐标系，确定各点的坐标，利用两点间的距离公式进行计算．在建立平面直角坐标系时，要注意图形的特点，使建系后点的坐标表示尽量简便．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设M (x ，y )，C (x 1，y 1)，则A (0,0)，B (x 1,0)，D (0，y 1)，|AM |＝x 2＋y 2，|BM |＝x －x 12＋y 2，|CM |＝x －x 12＋y －y 12，|DM |＝x 2＋y －y 12.∵|AM |2＋|CM |2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， |BM |2＋|DM |2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， ∴|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.即如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2都成立． 评注 用坐标法证明几何问题时，首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数法进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．6 圆的两种方程的区别与联系圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；而二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆，叫做圆的一般方程．二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程．掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的．(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r (或D 、E 、F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值．标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点： 一、二者确定圆的条件不同例1 圆心P 在直线y ＝x 上，且与直线x ＋2y －1＝0相切的圆，截y 轴所得的弦长|AB |＝2，求此圆的方程．解 ∵圆心P 在直线y ＝x 上， ∴可设P 的坐标为(k ，k )，设圆的方程为(x －k )2＋(y －k )2＝r 2(r >0)． 作PQ ⊥AB 于Q ，连接AP ，在Rt△APQ 中，AQ ＝1，AP ＝r ，PQ ＝k ，∴r ＝1＋k 2. 又r ＝|k ＋2k －1|12＋22， ∴|k ＋2k －1|12＋22＝k 2＋1， 整理得2k 2－3k －2＝0， 解得k ＝2或k ＝－12.当k ＝2时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝5，故圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. 当k ＝－12时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝52， 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝54.因此所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝54. 例2 已知△ABC 的各顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程． 分析 可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程． 解 设过A 、B 、C 三点的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)代入可得 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0－2D －2E ＋F ＋8＝05D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，∴其外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算．另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单． 二、二者的应用方面不同例3 若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y ＝33x (x ≥0)相切，求这个圆的方程． 分析 利用“半径为1的圆与y 轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口．解 由题意知圆心的横坐标及半径为1，设圆心纵坐标为b ，则圆的方程为(x －1)2＋(y －b )2＝1， ∵圆与射线y ＝33x (x ≥0)相切， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1＝1，解得b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1.评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．7 探究圆的切线探究1 已知点M (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝r 2上一点，l 是过点M 的圆的切线，求直线l 的方程． 解 设点P (x ，y )是切线l 上的任意一点，则OM ⊥MP . ∴k OM ·k MP ＝－1，即y 0x 0·y －y 0x －x 0＝－1.整理，得x 0x ＋y 0y ＝x 20＋y 20. ∵x 20＋y 20＝r 2，∴切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.当点M 在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用．结论1 过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 探究2 求过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线l 的方程． 解 设点P (x ，y )是切线l 上的任意一点，则CM ⊥MP . ∴k CM ·k MP ＝－1， 即y 0－b x 0－a ·y －y 0x －x 0＝－1. 整理，得(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2.∵(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2， ∴切线l 的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.当点M 在直线x ＝a 和y ＝b 上时，可以验证上述方程同样适用．结论2 过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.探究3 求过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0上一点M (x 0，y 0)的切线l 的方程．解 把圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0化为标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝14(D 2＋E 2－4F )．由结论2可知切线l 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋D 2(x ＋D 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋E 2(y ＋E 2)＝14(D 2＋E 2－4F )． 整理，得x 0x ＋y 0y ＋D ·x ＋x 02＋E ·y ＋y 02＋F ＝0.∴切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＋D ·x ＋x 02＋E ·y ＋y 02＋F ＝0.结论3 过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0上一点M (x 0，y 0)的切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＋D ·x ＋x 02＋E ·y ＋y 02＋F ＝0.8 圆弦长的求法一、利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22.例1 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长．解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线的方程为y ＝3x .解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x ，x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝3.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ －32＋－2＝2 3.评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解．这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法． 二、利用勾股定理若弦心距为d ，圆的半径为r ，则弦长|AB |＝2r 2－d 2.例2 求直线x ＋2y ＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长|AB |. 解 把圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25， 所以其圆心为(3,1)，半径r ＝5.因为圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3×1＋1×2|12＋22＝5， 所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4 5. 三、利用弦长公式若直线l 的斜率为k ，与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].例3 求直线2x －y －2＝0被圆(x －3)2＋y 2＝9所截得的弦长|AB |. 解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x －2＋y 2＝9，消去y ，整理，得5x 2－14x ＋4＝0. 则x 1＋x 2＝145，x 1x 2＝45.∴|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1452－4×45＝21455.评注 通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y (或x )转化为关于x (或y )的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解．9 圆与圆相交的三巧用圆与圆的位置关系主要有五种，即外离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数．一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程例1 已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．分析 求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB 的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求．解析 两圆方程作差，得x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝0评注 求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可． 二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程例2 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是________________________________________________________________________． 分析 关于两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB 的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题．解析 由平面几何知识，知AB 的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，－3)与(3,0)两点的直线的方程．可求得直线的方程为3x －y －9＝0. 答案 3x －y －9＝0评注 通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系． 三、求圆与圆相交时公切线的条数问题例3 已知圆A ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆B ：(x －2)2＋(y －2)2＝9，则圆A 和圆B 的公切线有________条．分析 判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数． 解析 因为圆心距|AB |＝－2＋－2＝2，R ＝3，r ＝2，且R ＋r ＝3＋2＝5，R －r ＝3－2＝1，所以有R －r <|AB |<R ＋r ，即两圆相交．所以两圆的公切线有两条． 答案 2评注 判断两个圆的位置关系时，除了考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距．10 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题．例1 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差为________．分析 利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差． 解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0配方得 (x －2)2＋(y －2)2＝18，即圆心为C (2,2)，半径r ＝32，则圆心到直线的距离d ＝|2＋2－14|12＋12＝52， 所以圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ＝82，最小距离为d －r ＝22， 则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为82－22＝6 2. 答案 6 2评注 一般地，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r (r <d )，则圆上的点到直线的距离的最大值、最小值分别为d ＋r 和d －r .例2 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，P 是△ABC 内切圆上的动点，试求点P 到△ABC 的三个顶点的距离的平方和的最大值与最小值．分析 以C 点为坐标原点建立坐标系，设出定点和动点坐标，建立函数关系，然后转化为函数的最值问题来处理．解 以点C 为原点，使A 、B 分别位于x 轴、y 轴的正半轴上，建立平面直角坐标系如图所示，则△ABC 各顶点是A (8,0)，B (0,6)，C (0,0)，内切圆半径r ＝2S △ABC a ＋b ＋c ＝AC ·BCAC ＋BC ＋AB＝2.∴内切圆圆心坐标为(2,2)，内切圆方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4. 设P (x ，y )是圆上的动点， 则S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－16x －12y ＋100 ＝3[(x －2)2＋(y －2)2]－4x ＋76 ＝3×4－4x ＋76＝88－4x . ∵点P 在内切圆上，∴0≤x ≤4，∴S max ＝88，S min ＝72.评注 本题通过坐标法将问题转化为函数的最值问题，体现了最值问题的一般解决思路，值得注意的是，求最值问题一定要结合函数的定义域来进行．11 妙用对策简解“圆”的问题在学习圆的知识时，往往会遇到一些综合性强、运算量大的问题，解决这类问题的关键是避开复杂运算，减少运算量．现举例介绍求解圆问题的三条妙用对策简解． 一、合理选用方程要学会选择合适的“圆的方程”，如果方程选择得当，运算量就会减少，解法就简捷．如果问题中给出的圆心坐标关系，或圆心的特殊位置或半径大小时，选用标准方程；否则，选用一般方程．例1 求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A (5,2)，B (3，－2)的圆的方程． 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆过点A (5,2)，B (3，－2)， 所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 易得线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．又因为圆心在直线2x －y －3＝0上， 所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即圆心为(2,1)．又圆的半径r ＝－2＋－2＝10.所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 二、数形结合，充分运用圆的几何性质求解直线与圆的位置关系问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解．比如，圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可用半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径等． 例2 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程.解 如图所示，|AB |＝43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，|AD |＝23，|AC |＝4.在Rt△ACD 中，可得|CD |＝2.设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式|－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意， 此时方程为x ＝0.所以所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.评注 在直线与圆的位置关系中，直线与圆相交时研究与弦长有关的问题是一个重点内容．解决这类弦长问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形． 三、设而不求，整体代入对于圆的一些综合问题，比如弦的中点问题，常运用整体思想．整体思想就是在处理问题时，利用问题中整体与部分的关系．灵活运用整体代入、整体运算、整体消元(设而不求)、整体合并等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美． 例3 已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0，设l 与圆C 交于A ，B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )． 当直线l 不垂直于x 轴时，依题意，得x 21＋(y 1－1)2＝5，① x 22＋(y 2－1)2＝5.②由①－②，可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－(y 1＋y 2－2)(y 1－y 2)． 所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－y 1＋y 2－＝2x －y －＝x1－y. 而直线恒过点(1,1)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －1. 所以y －1x －1＝x1－y， 即x 2－x ＋(y －1)2＝0， 即(x －12)2＋(y －1)2＝14.当直线l 垂直于x 轴时，点M (1,1)也适合方程(x －12)2＋(y －1)2＝14.综上所述，点M 的轨迹方程是 (x －12)2＋(y －1)2＝14.评注 本题中设出A ，B 两点的坐标，但求解过程中并不需要求出来，只是起到了桥梁的作用，简化了解题过程．这种设而不求，整体处理的技巧，常能起到减少运算量、提高运算效率的作用．12 “三注意”避免“三种错”有关圆方程的求解一直是高考考查的重点和热点，而其错解问题一直困扰着同学们，常见的错解主要有：“忽视隐含条件致错”、“忽视多解过程致错”、“忽视检验结论致错”三种．下面就如何从三个角度避免错解进行例说，以助同学们一臂之力． 一、注意条件，避免忽视隐含条件致错圆方程问题的破解关键是“圆心”和“半径”，特别是对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即r ＝12D 2＋E 2－4F ，r >0，否则，易造成增解或漏解．例1 若过点A (4,2)可以作两条直线与圆C ：(x －3m )2＋(y －4m )2＝25(m ＋4)2相切，则点A 在圆C 的________(填“外部”、“内部”、“上面”)，m 的取值范围是________． 错解 因为过点A 与圆有两条切线，可见点A 必在圆的外部．因为点A 在圆的外部，则有(4－3m )2＋(2－4m )2>25(m ＋4)2，因此有240m <－380，解得m <－1912.故填外部，m <－1912.剖析 此题的错解在于忽视了圆方程的半径一定要大于0的隐含条件．应注意条件25(m ＋4)2>0.正解 因为过点A 与圆有两条切线，可见点A 必在圆的外部．因为点A 在圆的外部，则有(4－3m )2＋(2－4m )2>25(m ＋4)2，因此有240m <－380，解得m <－1912.再结合圆的条件中半径必须大于0，即有25(m ＋4)2>0，所以m ≠－4，因此m 的取值范围是m <－1912且m ≠－4.答案 外部 m <－1912且m ≠－4二、注意过程，避免忽视多解过程致错有关圆方程的问题在求解的过程中要特别注意增解的情况，因为决定圆方程的条件一般是两个：“圆心”、“半径”，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生． 例2 圆心在x 轴上，半径等于5，且经过原点的圆的方程是________________________． 错解 因为圆心在x 轴上，半径等于5，且经过原点，所以圆心为(5,0)．因此圆的方程为(x －5)2＋y 2＝25.剖析 造成以上错解的原因是在解题过程中忽视了多种情况的存在性．正解 因为圆心在x 轴上，半径等于5，且经过原点，所以圆心为(5,0)或(－5,0)．因此圆的方程有两个，即(x －5)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋y 2＝25. 答案 (x －5)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋y 2＝25 三、注意结论，避免忽视检验结论致错圆方程的求解，对于求得的结论要注意检验，检验时要以事实为依据，对于题中的条件至结论要进行充分的挖掘，避免结论不严谨而出错．例3 已知Rt△ABC 的斜边为AB ，点A (－2,0)，B (4,0)，求点C 满足的方程．错解 设C (x ，y )，由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半，如图，这样直角三角形斜边上的中点为M (1,0)，。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_1_3第2课时两条直线的垂直学案苏教版必修2
- 让每一个人同等地提高自我第 2 课时两条直线的垂直学习目标 1. 理解并掌握两条直线垂直的条件.2. 能依据已知条件判断两条直线垂直.3. 会利用两直线垂直求参数及直线方程.知识点两条直线垂直的判断思虑 1两条垂直直线的倾斜角之间有什么关系？思虑 2假如两条直线垂直，那么斜率必定互为负倒数吗？梳理图示l 1的斜率不存在，l2的斜率为0?对应关系l 1⊥ l 2(两直线斜率都存在) ? __________种类一两条直线垂直关系的判断例 1判断以下各组中的直线l 1与 l 2能否垂直：(1)l 1经过点 A(－1，－2)， B(1,2)， l 2经过点 M(－2，－1)， N(2,1)；(2)l 1的斜率为－10， l 2经过点 A(10,2)， B(20,3)；(3)l 1经过点 A(3,4)， B(3,100)，l 2经过点 M(－10,40)， N(10,40).- 让每一个人同等地提高自我反省与感悟判断两直线垂直的步骤方法一方法二若两条直线的方程均为一般式： l 1：A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝ 0，l 2：A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0. 则 l 1⊥ l 2? A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0.追踪训练 1 以下各组中直线l 1与 l 2 垂直是 ________.( 填序号 )① l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2： 3x ＋ 2y ＋ 4＝ 0；②l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2： 3y － 2x ＋ 4＝ 0；③l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2：－ 4x ＋ 6y － 8＝ 0；④ l 1： ( － a －1) x ＋ y ＝5 和 l 2： 2x ＋(2 a ＋ 2) y ＋ 4＝ 0.种类二由两直线垂直求参数或直线方程命题角度 1 由两直线垂直求参数的值例 2 三条直线 3 x ＋2 ＋6＝0,2x － 32＋ 18＝ 0 和 2 －3 ＋ 12＝0 围成直角三角形，务实y my mx y数 m 的值 .反省与感悟此类问题常依照两直线垂直的条件列对于参数的方程或方程组求解 .追踪训练 2已知直线 l 1 经过点 A (3 ，a ) ， B ( a － 2，－ 3) ，直线 l 2 经过点 C (2,3) ，D ( － 1，a－ 2) ，假如 l 1⊥ l 2，则 a 的值为 ________.命题角度 2由垂直关系求直线方程例 3 求与直线 4 x － 3 ＋ 5＝ 0 垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为 10 的直线方程 .y AOB- 让每一个人同等地提高自我反省与感悟(1) 若直线 l 的斜率存在且不为 0，与已知直线 y ＝ kx ＋ b 垂直，则可设直线 l1的方程为 y ＝－ k x ＋ m ( k ≠0) ，而后利用待定系数法求参数 m 的值，进而求出直线 l 的方程 .(2) 若直线 l 与已知直线＋ ＋ ＝ 0 垂直，则可设 l 的方程为－ ＋ ＝ 0，而后利用Ax By CBx Ay m待定系数法求参数 m 的值，进而求出直线 l 的方程 .追踪训练 3 已知点 A (2,2) 和直线 l ：3x ＋ 4y －20＝ 0，求过点 A 且与直线 l 垂直的直线 l 1 的方程 .种类三垂直与平行的综合应用例 4 已知四边形 ABCD 的极点 B (6 ，－ 1) ，C (5,2)，D (1,2). 若四边形 ABCD 为直角梯形，求A 点坐标 .反省与感悟相关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是依据已知条件列方程 ( 组 ) 求解 .假如波及到相关四边形已知三个极点求此外一个极点，注意判断图形能否唯一，以防漏解.追踪训练 4 已知矩形 ABCD 的三个极点的坐标分别为 A (0,1) ， B (1,0) ， C (3,2) ，求第四个极点 D 的坐标 .1. 以下直线中，与直线： ＝ 3 ＋ 1 垂直的是 __________.( 填序号 )- 让每一个人同等地提高自我①y ＝－ 3x ＋ 1；② y ＝3x － 1；11③y ＝ 3x － 1;④ y ＝－ 3x － 1.2. 已知3. 直线4. 直线A (1,2) ，B ( m,1) ，直线 AB 与直线 y ＝0 垂直，则 m 的值为 ________.l ，l 2 －3x － 1＝0 的两个根， 则 l 与 l 的地点关系是 ________.2 的斜率分别是方程 x1 21 x ＋ ＝0 和直线 x － ay ＝0 相互垂直，则 ＝ ________.ya5. 过点 (3 ，－ 1) 与直线 3x ＋ 4y － 12＝ 0 垂直的直线方程为 __________.1. 两条直线垂直与斜率的关系图形表示l 1 ，l 2 的斜率都存在，分别为 l 1 与 l 2 中的一条斜率不存在，另一条对应 k 1， k 2，l 1 与 l 2 的地点关系是关系则 l 1⊥ l 2? k 1· k 2＝－ 1斜率为零，则 l 1⊥ l 22. l 1： A 1x ＋ B 1y ＋C 1＝ 0， l 2： A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0，l 1⊥ l 2? A 1A 2＋ B 1B 2＝0.3. 与 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 垂直的直线可设为 Bx － Ay ＋ C 1＝ 0.- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点思虑 1两条直线的倾斜角相差 90°.思虑 2假如两条直线垂直，当斜率都存在时互为负倒数，当一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0.梳理k 1· k 2＝－ 1 l 1⊥ l 2题型研究例 1 (1) l 1 与 l 2 不垂直．(2) l 1⊥ l 2.(3) l 1⊥ l 2.追踪训练 1 ①④例 2 解 ①当直线 3 ＋ 2 y ＋ 6＝0 与直线 2 － 3 2 ＋18＝ 0 垂直时，有 6－6 2＝ 0，∴ ＝ 1x x my m m或 m ＝－ 1.当 m ＝ 1 时，直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 也与直线 3x ＋ 2y ＋ 6＝0 垂直，因此不可以组成三角形，故m ＝ 1 应舍去．∴m ＝－ 1.②当直线 3x ＋ 2y ＋ 6＝ 0 与直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 垂直时，有 6m － 6＝ 0，得 m ＝ 1( 舍 ) ．③当直线 2与直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 垂直时，有 22x － 3my ＋ 18＝ 0 4m ＋ 9m ＝ 0，4∴m ＝ 0 或 m ＝－ 9. 经查验，这两种情况均知足题意．4综上所述，所求的结果为m ＝－ 1 或 0 或－ 9.追踪训练 2 5或－6例 3解 设所求直线方程为 3x ＋ 4y ＋ b ＝ 0.bb 令 x ＝ 0，得 y ＝－ 4，即 A 0，－ 4 ；bb令 y ＝ 0，得 x ＝－ 3，即 B － 3， 0 .又∵三角形周长为10，即 OA ＋ OB ＋ AB ＝ 10，bb∴ －4＋－3＋b 2 b 2－4＋－3＝10，解得 b＝±10，故所求直线方程为3x＋ 4y＋ 10＝ 0 或 3x＋ 4y－ 10＝ 0.追踪训练 3 解由于 k l· k1＝－1，41＝3，因此 k4故直线 l 1的方程为 y－2＝3( x－2)，即 4x－ 3y－ 2＝ 0.例 4 解①若∠ A＝∠ D＝90°，如图(1)，由已知 AB∥ DC，AD⊥ AB，而 k ＝0，故 A(1，－CD1)．②若∠ A＝∠ B＝90°，如图(2)．b － 2设 A ( a ， b ) ，则 k BC ＝－ 3， k AD ＝ a － 1，b ＋ 1k AB ＝ a － 6.b － 2 由 AD ∥ BC ? k AD ＝k BC ，即＝－ 3；①a － 1由 AB ⊥ BC ? k AB ·k BC ＝－ 1，b ＋ 1即a － 6·( － 3) ＝－ 1. ②12a ＝ 5 ，1211解①②得＝－ 11 ， 故 A ( 5，－ 5)．b 51211综上所述： A 点坐标为 (1 ，－ 1) 或 5 ，－ 5 .追踪训练 4解 设第四个极点 D 的坐标为 ( x ， y ) ，由于 AD ⊥ CD ， AD ∥ BC ，因此 k AD · k CD＝－1，且 k AD ＝ k BC .y － 1 y －2× ＝－ 1，x ＝ 2， x － 0 x －3因此2－ 0解得y － 1 y ＝ 3.x － 0＝ 3－ 1，因此第四个极点 D 的坐标为 (2,3) ．当堂训练1．④3. 垂直5． 4x － 3y － 15＝ 0。
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.2 第2课时 直线的两点式和一般式方程学案 新
2.2.2 第2课时 直线的两点式和一般式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.理解直线方程的一般式的特点与方程其它形式的区别与联系.3.会直线方程的一般式与其它形式之间相互转化，进一步掌握求直线方程的方法．知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．思考 2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？梳理 直线方程的两点式知识点二 直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．梳理 直线方程的截距式思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？思考3 当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？梳理 直线的一般式方程知识点四 直线方程五种形式的比较类型一 直线的两点式方程例1 在△ABC 中，已知点A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)．(1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．反思与感悟 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．跟踪训练1 已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2,2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．类型二 直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程． 引申探究1．若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x 轴上的截距是y 轴上的截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？2．若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是92”，其他条件不变，如何求解？反思与感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． 跟踪训练2 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 类型三 直线的一般式方程例3 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.反思与感悟 (1)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．跟踪训练3 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0.(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．1．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是( )A．30° B．60° C．150° D．120°2．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为( )A．2 B．－3 C．－27 D．273．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________________．5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．1．求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．2．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)在选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．3．(1)直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤①移项，By ＝－Ax －C ； ②当B ≠0时，得y ＝－A B x －C B.(2)在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B ，它表示一条与y 轴垂直的直线； 若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线．答案精析问题导学 知识点一 思考1 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 梳理y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0 知识点二思考1 能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a0－a， 即x a ＋y b＝1.梳理 x a ＋y b＝1 斜率存在且不为0，不过原点 知识点三 思考1 能． 思考2 一定．思考3 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A B，在y 轴上的截距为－C B的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－C A， 所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线． 梳理 Ax ＋By ＋C ＝0 A 2＋B 2≠0 题型探究例1 解 (1)BC 边过点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －－－2－－＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (a ，b )， 则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋－2＝－3，所以M (52，－3)．又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －－52－－，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程是10x ＋11y ＋8＝0.跟踪训练1 解 ∵A (2，－1)，B (2,2)，A 、B 两点横坐标相同， ∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2. ∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式，可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理由直线方程的两点式，得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.例2 解 方法一 (1)当直线l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .又∵l 过点A (5,2)， ∴5－2＝a ，解得a ＝3. ∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x －y －3＝0. 方法二 由题意知，直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y －2＝k (x －5)，当x ＝0时，y ＝2－5k ； 当y ＝0时，x ＝5－2k.根据题意，得2－5k ＝－(5－2k)．解得k ＝25或1.当k ＝25时，直线方程y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0；当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)， 即x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x －y －3＝0. 引申探究1．解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时， 方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0，符合题意．(2)当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为x 2a ＋ya ＝1.又l 过点(5,2)， ∴52a ＋2a ＝1， 解得a ＝92.∴直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.2．解 由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在． 设其方程为x a ＋yb＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1， ①12|a ||b |＝92， ②②可化为ab ＝±9， 由⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，ab ＝9，解得此方程组无解；由⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，ab ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－152，b ＝65或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3.∴l 的方程为4x －25y ＋30＝0或x －y －3＝0.跟踪训练2 B [当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1，|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y－4＝1， ∴满足条件的直线共有3条．故选B.] 例3 (1)－53 (2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由直线l 化为斜截式方程，得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.跟踪训练3 解 (1)令x ＝0，则y ＝a －2， 令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1. ∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴a －2＝a －2a ＋1， 解得a ＝2或a ＝0.(2)由(1)知，在x 轴上的截距为a －2a ＋1， 在y 轴上的截距为a －2，∴由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2a ＋1≥0，a －2≤0，解得a ＜－1或a ＝2.∴实数a 的取值范围为{a |a ＜－1或a ＝2}． 当堂训练 1．C 2.D 3.C 4．2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程，可得y －35－3＝x －12－1， 即2x －y ＋1＝0.5．解 设直线l 的横截距为a ， 由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y6－a ＝1.又因为点(1,2)在直线l 上， 所以1a ＋26－a ＝1，解得a ＝2或3.当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、二、四象限； 当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、二、四象限． 综上所述，所求直线的方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.。
【小初高学习】2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第3课时直线的一般式学案苏教版必修2
2.1.2 第3课时直线的一般式1．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点)2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系．(易错、易混点)3．能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程．(重点)[基础·初探]教材整理1 二元一次方程与直线的关系阅读教材P85练习以下的部分，完成下列问题．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．(2)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为________．【解析】方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不同时为0，即A2＋B2≠0.【答案】A2＋B2≠02．过点(1,2)，斜率为0的直线对应的二元一次方程为________．【解析】过点(1,2)，斜率为0的直线方程为y＝2，其对应的二元一次方程为y－2＝0.【答案】y－2＝0教材整理2 直线的一般式方程阅读教材P85～P86，完成下列问题．1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线．方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫做直线方程的一般式．2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B.3．直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列． (3)x 的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，任何一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0都表示一条直线．(×)(2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．(×)(3)直线方程的一般式同二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)之间是一一对应关系．(√)(4)方程①x ＋2y －3＝0；②x －3＝0；③y ＋1＝0均表示直线．(√) 2．方程x 3－y2＝1，化成一般式为________．【解析】 由x 3－y2＝1，得2x －3y －6＝0.【答案】 2x －3y －6＝03．经过点(－2,3)，且斜率为2的直线方程的一般式为______________． 【解析】由点斜式方程得y －3＝2(x ＋2)，整理得y ＝2x ＋7，即2x －y ＋7＝0. 【答案】 2x －y ＋7＝0[小组合作型]求直线的一般式方程根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (2,3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－1； (3)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是3，－1.【精彩点拨】 选择恰当方程形式，代入条件，再化成一般式． 【自主解答】 (1)由点斜式方程可知， 所求直线方程为y －3＝3(x －2)， 化为一般式为3x －y ＋3－23＝0. (2)由斜截式方程可知， 所求直线方程为y ＝4x －1， 化为一般式为4x －y －1＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为y －5－1－5＝x －－2－－.化为一般式方程为2x ＋y －3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x 3＋y－1＝1.化成一般式方程为x －3y －3＝0.求直线的一般式方程，设一般式用待定系数法求解并不简单，通常是根据题干条件选用点斜式，斜截式，两点式或截距式先求出方程，再化为一般式．[再练一题]1．求满足下列条件的直线方程，并化成一般式． (1)斜率为3，经过点(5，－4)； (2)斜率为－2，经过点(0,2)； (3)经过两点(2,1)和(3，－4)； (4)经过两点(2,0)和(0，－3)．【解】 (1)∵直线的斜率为3，过点(5，－4)， 由直线的点斜式方程，得y ＋4＝3(x －5)， ∴所求直线方程为3x －y －19＝0.(2)∵直线的斜率为－2，在y 轴上的截距为2， 由直线的斜截式方程，得y ＝－2x ＋2， ∴所求直线方程为2x ＋y －2＝0.(3)∵直线过两点(2,1)和(3，－4)，由直线的两点式方程，得y －1－4－1＝x －23－2，∴所求直线方程为5x ＋y －11＝0.(4)∵直线在x 轴，y 轴上的截距分别为2和－3， 由直线的截距式方程，得x 2＋y－3＝1，∴所求直线方程为3x －2y －6＝0.直线方程的实际应用一根铁棒在20℃时，长10.402 5米，在40℃时，长10.405 0米，已知长度l和温度t 的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25℃时的长度．【精彩点拨】 把(20,10.402 5)和(40,10.405 0)视为直线l 上的两个点，利用两点式求l 的方程，并估计t ＝25℃时的值．【自主解答】 这条直线经过两点(20,10.402 5)和(40,10.405 0)，根据直线的两点式方程，得l －10.402 510.405 0－10.402 5＝t －2040－20，即l ＝0.002 5×t20＋10.400 0，当t ＝25℃时，l ＝0.002 5×2520＋10.400 0＝0.003 125＋10.400 0＝10.403 125. 即当t ＝25℃时，铁棒长为10.403 125米．在解决实际问题时，选择直线方程的形式不同，导致运算的繁简程度也不一样．待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法．一般地，已知一点，设k 为待定系数，但要注意分k 存在与不存在两种情况进行讨论．若已知斜率k ，则设在y 轴上的截距b 为待定系数．有关直线与坐标轴围成的三角形问题，则设横截距和纵截距为待定系数，总之，应因题而异，寻找解题的最佳方法．[再练一题]2．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图2－1－6，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．图2－1－6【解析】 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.【答案】 10[探究共研型]直线方程一般式的综合应用探究1 直线5ax －5y －a ＋3＝0是否一定过第一象限？为什么？ 【提示】 5ax －5y －a ＋3＝0变形为a (5x －1)＋3－5y ＝0.当5x －1＝0时，3－5y ＝0即直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35， 所以不论a 为何值，直线一定过第一象限．探究2 要使直线5ax －5y －a ＋3＝0不经过第二象限，那么a 的取值范围是什么？ 【提示】 易知直线5ax －5y －a ＋3＝0过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3. 而直线l 的方程整理得y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15.∵l 不经过第二象限，∴k ＝a ≥3.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)是否存在实数a ，使直线l 不经过第二象限？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【精彩点拨】 (1)分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解． (2)分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解．【自主解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，即截距相等， ∴a ＝2时满足条件，此时l 的方程为3x ＋y ＝0；当a ＝－1时，直线平行于x 轴，在x 轴无截距，不合题意； 当a ≠－1，且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，即a ＝0. 此时直线在x 轴，y 轴上的截距都为－2，l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等． (2)假设存在实数a ，使直线l 不经过第二象限．将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋，a －2≤0，解得a ≤－1.1．本题(1)在求解过程中，常因忽略直线l 过原点的情况而产生漏解；本题(2)在求解过程中，常因漏掉“－(a ＋1)＝0”的情形而漏解．2．解答此类综合问题，常采用分类讨论(或数形结合)的思想求解．解题时应结合具体问题选好切入点，以防增(漏)解．[再练一题]3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围.【解】 (1)证明：直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0. 故k 的取值范围为{k |k ≥0}．1．过点(0，－1)，倾斜角为60°的直线的一般式方程为________． 【解析】 k ＝tan 60°＝3，由斜截式方程得y ＝3x －1，化为一般式：3x －y －1＝0. 【答案】3x －y －1＝02．已知直线的一般式方程为2x ＋y －4＝0，且点(0，a )在直线上，则a ＝__________. 【解析】 把点(0，a )的坐标代入方程2x ＋y －4＝0，得a －4＝0，所以a ＝4. 【答案】 43．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过第________象限. 【解析】 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b >0，直线在y 轴上的截距c b<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限． 【答案】 一、三、四4．斜率为－3，在y 轴上的截距为2的直线的一般式方程是________． 【解析】 由斜截式方程得y ＝－3x ＋2， 化为一般式：3x ＋y －2＝0. 【答案】 3x ＋y －2＝05．已知一个等腰三角形，两腰长是5，底边长是8，建立适当坐标系，求两腰所在的直线的方程．【解】 如图，以底边BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，易知点B ，C 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)．在Rt △AOC 中，AC ＝5，OC ＝4，则OA ＝3.所以点A 的坐标为(0,3)．由直线的截距式方程得腰AB 所在的直线方程为：x －4＋y 3＝1，即3x －4y ＋12＝0；腰AC 所在的直线方程为x4＋y3＝1，即3x ＋4y －12＝0.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3两条直线的位置关系学案含解析新人教B版
2.2.3 两条直线的位置关系1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标.(重点)2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别.(重点)3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系.(难点)[基础·初探]教材整理1 两条直线相交、平行与重合的条件 阅读教材P 81～P 83“例1”以上内容，完成下列问题. 1.代数方法判断两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如下表所示)若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y 轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，①l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2； ②l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2； ③l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2且b 1＝b 2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行.( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.( )(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交.( )(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行.( )【解析】 (1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确.【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 教材整理2 两条直线垂直阅读教材P 84～P 86“例3”以上内容，完成下列问题. 两条直线垂直与斜率的关系直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.相交但不垂直D.垂直【解析】 设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1，故l 1与l 2垂直. 【答案】 D[小组合作型]12(1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5).【精彩点拨】 先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行.【自主解答】 (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－－－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－－3－－＝1，故直线l 1与直线l 2重合.(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合.(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.1.判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断.在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不重合才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.2.应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解.[再练一题]1.已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，求m 的值. 【解】 当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－mm －－＝4－m m ＋2，k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1.因为直线PQ ∥直线MN ，所以k PQ ＝k MN ， 即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1. 当m ＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m 的值为0或1.(1)l 12，判断l 1与l 2是否垂直；(2)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2,3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，若l 1⊥l 2，求a 的值.【精彩点拨】 (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解.【自主解答】 (1)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为0，所以l 1⊥l 2. (2)由题意，知l 2的斜率k 2一定存在，l 1的斜率可能不存在. 当l 1的斜率不存在时，3＝a －2，即a ＝5，此时k 2＝0， 则l 1⊥l 2，满足题意. 当l 1的斜率k 1存在时，a ≠5， 由斜率公式，得k 1＝3－a a －2－3＝3－a a －5，k 2＝a －2－3－1－2＝a －5－3.由l 1⊥l 2，知k 1k 2＝－1，即3－a a －5×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5－3＝－1，解得a ＝0. 综上所述，a 的值为0或5.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1.一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步.2.二代：就是将点的坐标代入斜率公式.3.求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.[再练一题]2.(1)l 1经过点A (3,4)和B (3,6)，l 2经过点P (－5,20)和Q (5,20)，判断l 1与l 2是否垂直；(2)直线l 1过点(2m,1)，(－3，m )，直线l 2过点(m ，m )，(1，－2)，若l 1与l 2垂直，求实数m 的值.【解】 (1)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为0， ∴l 1⊥l 2.(2)①当两直线斜率都存在，即m ≠－32且m ≠1时，有k 1＝1－m 2m ＋3，k 2＝m ＋2m －1.∵两直线互相垂直，∴1－m 2m ＋3×m ＋2m －1＝－1.∴m ＝－1.②当m ＝1时，k 1＝0，k 2不存在，此时亦有两直线垂直.当2m ＝－3，m ＝－32时，k 1不存在，k 2＝m ＋2m －1＝－32＋2－32－1＝－15，l 1与l 2不垂直.综上可知，实数m ＝±1.[探究共研型]探究1 ABC 的形状吗？【提示】 如图，AB 边所在的直线的斜率k AB ＝－12，BC 边所在直线的斜率k BC ＝2.由k AB ·k BC ＝－1，得AB ⊥BC ，即∠ABC ＝90°.∴△ABC 是以点B 为直角顶点的直角三角形.探究2 若已知直角三角形ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，你能求出m 的值吗？【提示】 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1， 即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.已知四点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状.【精彩点拨】 画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明.【自主解答】 A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置如图.由斜率公式可得k AB ＝5－32－－＝13， k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－－＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，∴AB ∥CD . 由k AD ≠k BC ， ∴AD 与BC 不平行.又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD .故四边形ABCD 为直角梯形.1.利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.2.由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.[再练一题]3.已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标. 【解】 设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×y －4x ＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6，即D (10，－6).1.已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( ) A.－3 B.3 C.－13D.13【解析】 因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－1＝3.【答案】 B2.过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为( ) A.垂直 B.平行 C.重合D.以上都不正确【解析】 过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k 2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k 1·k 2＝－1，所以两条直线垂直. 【答案】 A3.已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2的斜率k 2＝m 2＋3－4，若l 1∥l 2，则m 的值为________.【解析】 由题意得m 2＋3－4＝tan 60°，解得m ＝±2.【答案】 ±24.直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7. 【答案】 －1 75.已知四点A (2,2＋22)，B (－2,2)，C (0,2－22)，D (4,2)，顺次连接这四点，试判断四边形ABCD 的形状.(说明理由)【解】 ∵k AB ＝2－＋22－2－2＝22， k BC ＝2－22－20－－＝－2，k AD ＝2－＋224－2＝－2， k CD ＝2－－224－0＝22， ∴k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD . ∴AB ∥CD 且BC ∥AD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵k AB ·k BC ＝－1， ∴AB ⊥BC ，∴四边形ABCD 是矩形.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学案(含解析)新人教B版必
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学案（含解析）新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学案（含解析）新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学案（含解析）新人教B版必修2的全部内容。
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1。
理解直线的倾斜角和斜率的概念.（重点)2.理解直线斜率的几何意义;掌握倾斜角与斜率的对应关系。
（重点)3.掌握过两点的直线的斜率公式.(重点)4。
直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用。
（难点）[基础·初探]教材整理1 直线方程的概念阅读教材P74内容，完成下列问题.如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
如何判断点P(2，1）是否在直线y＝x－1上？【解析】把点的坐标代入方程,若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上。
教材整理2 直线的斜率及斜率公式阅读教材P75～P75“倒数第15行”以上内容,完成下列问题.1。
斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示,即k＝tanα。
2。
斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2,y2)（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝错误!.当x1＝x2时，直线P 1P2没有斜率.3.斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的倾斜程度.判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直学案苏教版
2.1.3 两条直线的平行与垂直1．理解两条直线平行与垂直的判断条件．(重点)2．能根据斜率判定两条直线平行与垂直，体会用代数方法研究几何问题的思想．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 两条直线平行 阅读教材P 89，完成下列问题．若直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2(k 1，k 2均存在)． 【拓展】 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l 1与l 2斜率相等，则l 1∥l 2.(×)(2)若直线l 1∥l 2(两条直线的斜率分别为k 1，k 2)，则k 1＝k 2.(√) (3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．(√)2．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝________. 【解析】 k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.【答案】 3教材整理2 两条直线垂直阅读教材P 90例2～P 91思考以上部分内容，完成下列问题． 两条直线垂直与斜率的关系(1)如图2－1－7①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1(k 1，k 2均存在)．(2)如图2－1－7②，若l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是垂直．① ②图2－1－71．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______.【解析】 直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.【答案】 22．过点(0,1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________.【导学号：41292081】【解析】 直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x ＋2y－2＝0.【答案】 x ＋2y －2＝0[小组合作型]两直线平行的判定判断下列各题中直线l 1与l 2是否平行． (1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1,1)，Q (3,3)；(2)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5,5)； (3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点C (－1,3)，D (2,0)．【精彩点拨】 依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．【自主解答】 (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－－＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法[再练一题]1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)． 【解】 (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－－8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．两直线垂直的判定判断下列各题中直线l 1与l 2是否垂直． (1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 【精彩点拨】 利用两直线垂直的斜率关系判定． 【自主解答】 (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1．判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2．直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．[再练一题]2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10,40)． 【解】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－－1－－＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－－2－－＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－－＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.[探究共研型]两直线平行与垂直的应用探究 如图2－1－8，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？图2－1－8【提示】 α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．【精彩点拨】 利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．【自主解答】 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求． (2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2，∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用1．求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法，一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程，二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.2．由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．[再练一题]3．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD . (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．【解】 (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－－－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－－0－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3.1．下列说法正确的有________． ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．【解析】 ①中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；②中，斜率不存在时，错误；④错误．只有③正确．【答案】 ③2．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为________.【导学号：41292082】【解析】 过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．【答案】垂直3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________.【解析】由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a＝2.【答案】 24．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为________．【解析】由l1⊥l2及k1＝tan 45°＝1，知l2的斜率k2＝－1，∴l2的倾斜角为135°.【答案】135°5．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．【解】直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×(2a)＝0，即a＝0.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_1_1直线的斜率学案苏教版必修2
- 让每一个人同等地提高自我直线的斜率学习目标 1. 理解直线的斜率和倾斜角的观点.2. 理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性 .3. 认识斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.知识点一直线的倾斜角思虑 1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不可以确立一条直线呢？思虑 2在平面直角坐标系中，过定点P 的四条直线以下图，每条直线与x 轴的相对倾斜程度能否同样？梳理(1) 倾斜角的定义①在平面直角坐标系中，关于一条与x 轴订交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按__________旋转到和直线重合时所转过的__________ 称为这条直线的倾斜角.②与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α 的取值范围为____________.(3)确立平面直角坐标系中一条直线地点的几何因素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，两者缺一不行 .知识点二直线的斜率与倾斜角的关系高升量思虑 1在平时生活中，我们常用“行进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度同样吗？- 让每一个人同等地提高自我思虑 2思虑1中图的“坡度”与角α，β 存在等量关系吗？梳理(1) 直线的斜率把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝tanα.(2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°(范围)斜率(范k＝0 不存在k>0 k<0 围 )知识点三过两点的直线的斜率公式已知两点 P( x1，y1)，Q( x2，y2)，假如 x1≠ x2，那么直线 PQ的斜率为 k＝____________( x 1≠ x2).种类一直线的倾斜角例 1图中α是直线l的倾斜角吗？试用α 表示图中各条直线l 的倾斜角.反省与感悟(1) 解答此类问题要注意倾斜角的观点及倾斜角的取值范围.- 让每一个人同等地提高自我(2) 求直线的倾斜角主要依据定义，其重点是依据题意画出图形，找准倾斜角，有时要依据状况分类议论 .追踪训练 1 已知直线l 向上方向与 y 轴正向所成的角为 30°，则直线 l 的倾斜角为________.种类二直线的斜率例 2 经过以下两点的直线的斜率能否存在？假如存在，求其斜率，并确立直线的倾斜角 α.(1) A (2,3) ， B (4,5) ；(2) C ( － 2,3) ， D (2 ，－ 1) ；(3) P ( － 3,1) ， Q ( － 3,10).反省与感悟 (1) 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“ x 1≠x 2”，即直线不与 x 轴垂直，因为当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点 1， 2 的先后次序没关，也就是说公式中的x 1与 x 2， 1 与 y 2能够同时交PPy换地点 .(2) 在 0°≤ α<180°范围内的一些特别角的正切值要熟记.倾斜角 α0° 30° 45°60° 120° 135°150°斜率 k313 － 3 － 133－ 3追踪训练 2以下图，直线l 1，l 2，l 3 都经过点 P (3,2) ，又 l 1，l 2，l 3 分别经过点 Q 1( － 2，－ 1) ， Q 2(4 ，－ 2) ， Q 3( －3,2) ，计算直线 l 1， l 2，l 3 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角仍是钝角 .种类三直线的倾斜角、斜率的应用命题角度 1 三点共线问题例 3假如三点A (2,1) ， B ( －2， m ) ，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值 .- 让每一个人同等地提高自我反省与感悟斜率是反应直线相关于x 轴正方向的倾斜程度的.直线上随意两点所确立的方向不变，即同向来线上任何不一样的两点所确立的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原由 .追踪训练 3 已知倾斜角为 90°的直线经过点(2 3) ， (2，－ 1)，则的值为 ________.A m,B m命题角度 2 数形联合法求倾斜角或斜率范围例 4 已知直线l 过点 (1,0) ，且与以(2,1) ， (0，3) 为端点的线段有公共点，求直线P A Bl 的斜率和倾斜角的范围.反省与感悟(1) 直线的倾斜角与斜率的关系ππtanα，α∈[0，2∪ 2 ，π ，k＝π不存在，α＝2.详细变化规律：①当倾斜角α 为0°时，斜率k 为0，直线平行于x 轴或与 x 轴重合；②当倾斜角α 为锐角时，斜率k 为正且跟着倾斜角α 的增大而增大；③当倾斜角α 为90°时，斜率k 不存在，直线平行于y 轴或与 y 轴重合；④当倾斜角α 为钝角时，斜率k 为负且跟着倾斜角的增大而增大，其值能够由与之互补的锐角求得 .(2)研究直线的斜率的变化规律，往常先研究直线倾斜角的变化状况，再依据它们之间的关系求出斜率的范围 .y－ y0(3) 代数式的几何意义表示动点P( x， y)与定点 Q( x0， y0)连线的斜率.x－ x0追踪训练4已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包含端点)挪动，求直线 AD的斜率的变化范围.1.关于以下说法：①若α 是直线l 的倾斜角，则 0°≤α<180°；②若 k 是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不必定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不必定有倾斜角.此中正确的有 ________个 .2. 若经过( 3) ， (1,2) 两点的直线的倾斜角为45°，则＝ ________.A m,B m3. 若三点(2,3) ， (3,2) ， ( 1 ， ) 共线，则实数的值为 ________.A B C 2 m m4. 经过 A( m,3)， B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________.( 此中 m≥1)5.已知交于点 M(8,6)的四条直线 l 1， l 2，l 3， l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知 l 2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角.直线的斜率和倾斜角反应了直线的倾斜程度，两者密切相连，以下表：直线状况垂直于 x 轴平行于 x 轴α 的大小0°0°<α<90°90°90°<α <180°k 的范围0 k>0 不存在k<0k 随α的增大k 随α的增大而增k的增减状况而增大大答案精析问题导学知识点一思虑 1不可以．思虑 2不一样．梳理(1) ①逆时针最小正角(2)0 °≤α<180°知识点二3 2思虑 1 不一样，因为2≠2.思虑 2存在，图(1)中，坡度＝tanα，图(2)中，坡度＝tanβ.知识点三y2－y1x2－x1题型研究例 1解设直线l的倾斜角为β ，联合倾斜角的定义可知，图①中α是直线l的倾斜角，即β＝α.图②中α 不是直线l 的倾斜角，但α 与β 互补，即有β＝180°－α.图③中α 不是直线l 的倾斜角，但α 与β 是对顶角，故β＝α.图④中α 不是直线l 的倾斜角，但β＝90°＋α.追踪训练 1 60°或 120°例 2 解 (1) 存在．直线AB的斜率5－ 3k AB＝4－2＝1，即tan α＝1，又 0°≤α<180°，因此倾斜角α ＝45°.－1－3(2) 存在．直线CD的斜率 k CD＝2－－2 ＝－ 1，即 tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为 x P＝ x Q＝－3，因此直线 PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.追踪训练2解设k1，k2，k3分别表示直线l 1， l 2， l 3的斜率．因为 Q1， Q2， Q3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，－1－2 3因此 k1＝－2－3＝5，- 让每一个人同等地提高自我k 2＝－ 2－ 2＝－ 4， k 3＝ 2－ 2 ＝ 0.4－ 3 －3－ 3由 k 1>0 知，直线 l 1 的倾斜角为锐角；由 k 2<0 知，直线 l 2 的倾斜角为钝角；由 k 3＝ 0 知，直线 l 3 的倾斜角为 0°. 例 3m － 1 1－ m解 k ＝－ 2－ 2＝ 4 ，AB8－17k AC ＝＝ ，∵A ， B ， C 三点共线，∴ k AB ＝ k AC ，1－ m 7 即4＝ 4，∴ m ＝－ 6.追踪训练 3 1例 4解 以下图．1－03－0∵k AP ＝2－ 1＝ 1， k BP ＝ 0－ 1 ＝－ 3，∴ k ∈( －∞，－ 3] ∪[1 ，＋∞ ) ，∴ 45°≤ α≤120°.追踪训练 4 解以下图．- 让每一个人同等地提高自我当点 D由 B运动到 C时，直线 AD的斜率由 k AB增大到 k AC，因此直线 AD的斜率的变化范围是1 57，3 .当堂训练1． 3 93.4.(0 °， 90°] 25．解l6－ 3的倾斜角为45°，由题意可得：l 的倾斜角为 22.5 °，2的斜率为8－5＝ 1，∴ l 2 1l 3的倾斜角为67.5 °，l4的倾斜角为 90°.。
2018版高中数学第2章 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质含解析
2.3.3直线与平面垂直的性质2。
3.4 平面与平面垂直的性质1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点) 2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．（重点、难点）3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．（易错点)［基础·初探］教材整理1 直线与平面垂直的性质定理阅读教材P70的内容，完成下列问题．文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言错误!⇒a∥b图形语言判断(正确的打“√”，错误的打“×"）（1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．（）（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行．（）(3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．( ）【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、（2)、（3）均正确．【答案】（1)√(2)√(3)√教材整理2 平面与平面垂直的性质定理阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容,完成下列问题．文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言错误!⇒a⊥β图形语言在长方体ABCD。
A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是（）A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直D［在长方体ABCD。
A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确．][小组合作型］ 线面垂直性质定理的应用如图2.3.31所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC 。
图23。
31求证:(1）MN ∥AD 1；（2）M 是AB 的中点．【精彩点拨】 (1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD 1⊥平面A 1DC 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 平面解析几何初步 学习目标 1.掌握与直线有关的对称问题.2.通过解决最值问题体会数形结合思想与转化化归思想的应用.知识点一 对称问题1.点关于直线对称设点P (x 0，y 0)，l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)，若点P 关于l 的对称点为点Q (x ，y )，则l 是线段PQ 的垂直平分线，故PQ ⊥l 且PQ 的中点在l 上，解方程组⎩⎨⎧ y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0，即可得点Q 的坐标.常用的结论(1)A (a ，b )关于x 轴的对称点为A ′(a ，－b ).(2)B (a ，b )关于y 轴的对称点为B ′(－a ，b ).(3)C (a ，b )关于原点的对称点为C ′(－a ，－b ).(4)D (a ，b )关于直线y ＝x 的对称点为D ′(b ，a ).(5)E (a ，b )关于直线y ＝－x 的对称点为E ′(－b ，－a ).(6)P (a ，b )关于直线x ＝m 的对称点为P ′(2m －a ，b ).(7)Q (a ，b )关于直线y ＝n 的对称点为Q ′(a,2n －b ).2.直线关于点对称已知直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)和点P (x 0，y 0)，求l 关于点P 的对称直线l ′的方程.设P ′(x ′，y ′)是对称直线l ′上的任意一点，它关于点P (x 0，y 0)的对称点(2x 0－x ′，2y 0－y ′)在直线l 上，则A (2x 0－x ′)＋B (2y 0－y ′)＋C ＝0，即Ax ′＋By ′＋C ′＝0为所求的对称直线l ′的方程.3.直线关于直线对称一般转化为点关于直线对称的问题.在已知直线上任取一点，求此点关于对称轴的对称点，对称点必在对称直线上.常用的结论设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则：(1)l 关于x 轴对称的直线是Ax ＋B (－y )＋C ＝0.(2)l 关于y 轴对称的直线是A (－x )＋By ＋C ＝0.(3)l 关于原点对称的直线是A (－x )＋B (－y )＋C ＝0.(4)l 关于直线y ＝x 对称的直线是Bx ＋Ay ＋C ＝0.(5)l 关于直线y ＝－x 对称的直线是A (－y )＋B (－x )＋C ＝0.知识点二 最值问题1.利用对称转化为两点之间的距离问题.2.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.3.利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值.类型一 对称问题命题角度1 关于点对称问题例1 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标；(2)求直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程.反思与感悟 (1)点关于点的对称问题若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则点P 是线段AB 的中点，并且⎩⎨⎧ x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.(2)直线关于点的对称问题若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上.②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等.③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点.跟踪训练1 已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是________.命题角度2 关于直线对称问题例2 点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是__________.反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题求点P (x 0，y 0)关于Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P ′(x ，y )时，利用⎩⎨⎧ y －y 0x －x 0－A B ＝－1，A ·x 0＋x 2＋B ·y 0＋y 2＋C ＝0可以求出点P ′的坐标.(2)直线关于直线的对称问题若两条直线l 1，l 2关于直线l 对称，则①l 1上任意一点关于直线l 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于直线l 的对称点必在l 1上.②过直线l 上的一点P 且垂直于直线l 作一直线与l 1，l 2分别交于点A ，B ，则点P 是线段AB 的中点.跟踪训练2 求直线x－2y－1＝0关于直线x＋y－1＝0对称的直线l的方程.类型二最值问题例3 在直线y＝x＋2上求一点P，使得点P到直线l1：3x－4y＋8＝0和直线l2：3x－y－1＝0的距离的平方和最小.反思与感悟解决此类问题通常有两种途径：一是利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离；二是利用距离公式转化为二次函数求最值问题.跟踪训练3 已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则x2＋y2－2y＋1 的最小值为________. 类型三对称与最值的综合应用例4 在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)点P到点A(4,1)和点B(0,4)的距离之差最大；(2)点P到点A(4,1)和点C(3,4)的距离之和最小.反思与感悟利用对称转化为两点间的距离是求解最值的一种常用方法.跟踪训练4 已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).(1)在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB－PA|最大.1.过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为____________________.2.设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0.已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0(0≤c ≤18)的两实根，则这两直线间距离的最大值为________.3.若点P (3,4)和点Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＝________，b ＝________.4.已知点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使PA ＋PB 取最小值，则点P 坐标是__________.5.x ，y 满足x ＋y ＋1＝0，求x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值.1.对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称.在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型.转化思想是解决对称问题的主要思想方法，其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题.2.最值问题数形结合思想和转化化归思想常体现在求最值问题中.答案精析题型探究例1 解 (1)根据题意可知点A (a ，b )为PP ′的中点，设点P ′的坐标为(x ，y )，则根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x ＋x 02，b ＝y ＋y 02，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2a －x 0，y ＝2b －y 0.所以点P ′的坐标为(2a －x 0,2b －y 0)．(2)设直线l 上任意一点M 的坐标为(x ，y )，则此点关于点(2，－1)的对称点为M 1(4－x ，－2－y )，且M 1在直线3x －y －4＝0上，所以3(4－x )－(－2－y )－4＝0，即3x －y －10＝0.所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.跟踪训练1 17例2 (－2,5)跟踪训练2 解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝0，x ＋y －1＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0.∴两直线的交点为A (1,0)．在直线x －2y －1＝0上取点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12， 设点B 关于直线x ＋y －1＝0的对称点为C (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＋x 02＋－12＋y 02－1＝0，y 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 0－0－＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝32，y 0＝1，即点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1. 由所求直线经过A 、C 两点，得y －01－0＝x －132－1，即2x －y －2＝0， ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0.例3 解 设直线y ＝x ＋2上一点(x 0，x 0＋2)到两直线的距离分别为d 1和d 2. ∵d 1＝|3x 0－x 0＋＋8|5＝|－x 0|5， d 2＝|3x 0－x 0＋－1|10＝|2x 0－3|10， 设S ＝d 21＋d 22，∴S ＝x 2025＋4x 20－12x 0＋910＝2250[(x 0－1511)2＋45242]， ∴当x 0＝1511时，S 有最小值， 这时，x 0＋2＝3711. ∴所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1511，3711. 跟踪训练3 710例4 解 (1)如图，点B 关于l 的对称点为B ′(3,3)．直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝5，即P (2,5)．(2)如图，点C 关于l 的对称点为C ′(35，245)，由图象可知PA ＋PC ≥AC ′.当点P 是AC ′与l 的交点P (117，267)时“＝”成立， ∴P (117，267)． 跟踪训练4 解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．因为P 为直线l 上的一点，则PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A ′B ，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，PA ＋PB 取得最小值A ′B ，点P 即为直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，点P 是直线l 上的一点，则|PB －PA |≤AB ，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，|PB －PA |取得最大值AB ，点P 即为直线AB 与直线l 的交点． 又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)．当堂训练1．x ＋2y －5＝0 2.22 3.5 2 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 5．解 原式可化为(x －1)2＋(y －1)2，其几何意义为点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方，而点(x ，y )在直线x ＋y ＋1＝0上．设d 为点Q 到直线x ＋y ＋1＝0的距离，由PQ ≥d ， 得x －2＋y －2≥|1＋1＋1|2， 即x 2＋y 2－2x －2y ＋2≥92. 故所求的最小值为92.。