【K12教育学习资料】高中数学第一章常用逻辑用语1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出
高中数学第一章常用逻辑用语1.2.12充分条件与必要条件2111数学
条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的
条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的
条件；
2021/12/9
第十二页，共二十页。
2.充要条件的证明(zhèngmíng) 例 1、已 x、 知 y是非零实 x数 y,求 ， 证 1且 ： 1 xy 的充要x条 y0件 . 是
注意(zhù yì)：分清p与qp. :xy0
" ta n 2021/12/9 A ta n B "的 （既不充分也不必要条件）
第七页，共二十页。
1、判别步骤：
① 认清(rèn qīnɡ)条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
2、判别技巧：
① 可先简化(jiǎnhuà)命题。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题(mìng tí)转化为等价的逆否命题(mìng tí)后再判断。
互 否
逆否命题
若则q p
3、若命题(mìng tí)“若p则q”为真,记 作p q(或q p).
4、如果(rúguǒ)命题“若p则q”为假，则记作p q.
第二页，共二十页。
判断下列命题(mìng tí)是真命题(mìng tí)还是假命题
(mìng tí)：
（1）若 x1，则 x2 1；
真
（2）若 x2x y1 2 ，则x2x1y；
q是p的必要条件.
㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是q 的充 分不必要条件，q是p必要不充分条件.
(三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的充要 条件
（四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的既 不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必要条 件.2021/12/9
高中数学《第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条...》743PPT课件 一等奖名师
既不充分也不必要条件
小结
1.p是q的充分条件包括两种可能，即 p是q的充分不必要条件或p是q的充要条 件；同样，p是q的必要条件也包括两种 可能，即p是q的必要不充分条件或p是q 的充要条件.
2.关于充要条件命题的证明，一般分 充分性和必要性两个方面进行，其中由 条件推出结论就是充分性，由结论推出 条件就是必要性.
若p q ，且 q p ，则p是q的既不
充分也不必要条件.
例2 下列各题中，哪些p是q的充要
条件．
（1）p：b＝0，
充要条件
q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
Hale Waihona Puke （2）p：x＞0,y＞0，充q分：非xy必＞要0；条件
（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；
（4）p：两直线平行；
q：两直线的斜率相等.充要条件
q：四边形是正方形；
必要
（3）p：|x|＜1，q：－1＜x＜1； 充要
（4）p：a＞b，q：a2＞b2.
既不充分也不必要
探究（二）：充分、必要条件的分类
若 p q ，且 q p ，则p是q的充分不必
要条件；
若 p q ，且 p q，则p是q的必要不充
分条件；
若 p q ，且 p q，则p是q的充要条件
探究（一）：充要条件的含义
一般地，如果既有p q,又有q p, 就记作p q.此时，我们说，p是q的 充分必要条件，简称充要条件.
显然，如果p q,那么p与q互为充要 条件.
概念辨析
例1下列各组语句中，p是q的什么条件？
（1）p：a＞0，b＞0，q：a＋b＞0；充分
（2）p：四边形的四条边相等，
小结
3.充要条件是一种等价关系，许 多数学问题的求解，就是求结论成立 的充要条件. 在判断p是q的什么条件 时，要“正逆互推，注意特例”.
原创2：1.3.2 命题的四种形式
(2)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 m·n<0. 否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n≥0.
题型二 四种命题真假的判断 【例 2】 有下列四个命题： ①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题； ②“若 a>b，则 a2>b2”的逆否命题； ③“若 x≤－3，则 x2－x－6>0”的否命题； ④“同位角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是________． [思路探索] 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关 知识判断真假．
4分
即 4a－7≥0，
解得 a≥74.
8分
因为 a≥74，所以 a≥1，所以原命题为真．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．12 分
【题后反思】 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即 互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个 命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
(2)“如果 p，则 q”的否定为“如果 p，则綈 q”，其否命题为
“如果綈 p，则綈 q”． (3)命题的否定的真假性与原命题相反，而否命题的真假性与原 命题的真假性没有关系．
题型一 四种命题之间的转换 【例 1】 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直 于平面； (2)如果 x>10，那么 x>0； (3)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0. [思路探索] 可先分清命题的条件和结论，写成“若 p，则 q” 的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．
解 (1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内 的两条相交直线； 否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线， 那么直线不垂直于平面； 逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内 的两条相交直线． (2)逆命题：如果 x>0，那么 x>10； 否命题：如果 x≤10，那么 x≤0； 逆否命题：如果 x≤0，那么 x≤10.
课件1：1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
• 解: (1) x=y是x2=y2的充分不必要条件. x2=y2 是x=y的必要不充分条件.
• (2) p是q的充分条件且是必要条件. • q是p充分条件且是必要条件.
例4．填表
p
q
p是q的什么条件 q是p的什么条件
y是有理数 y是实数
x5
x3
m，n全是奇数 m+n是偶数
充分不必要 充分不必要
充分不必要
必要不充分 必要不充分 必要不充分
ab
ab
x A且x B x A B
必要不充分 充分不必要
充分 必要
必要 充分
ab 0
a0
充分不必要 必要不充分
( x 1)( y 2) 0 x 1且y 2
必要不充分 充分不必要
• 例5、请用“充分不必要”、“必要不充分”、
• “充要”、“既不充分也不必要”填空： • (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿必＿要＿不＿充＿分＿条件. • (2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿充＿要＿条件. • (3)“x=3”是“x2=9”的＿充＿分＿不＿必＿要＿条件.
• (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边 形”的＿既＿不＿充＿分＿也＿不＿必＿要＿＿条件.
例1：把下列命题改写成“若则”的形式， 并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，同 时指出它们的真假： （1）全等三角形的对应边相等； （2）四条边相等的四边形是正方形。
例2：写出命题“若a=0，则ab=0”的逆命 题、否命题与逆否命题，并判断其真假。
例3 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是 p的什么条件：
高中数学《第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条...》977PPT课件 一等奖名师
定义： 对于命题“若p则q”
1.若p q, q p,则p是q的充分不必要条件. q是p的必要不充分条件.
2.若p q, q p,即p q,则p是q充分必要条件， 简称充要条件. 也说p与q互为充要条件.
3.若p q, q p,则p是q的既充分不必要条件. q是p的既必要不充分条件.
4
3、由上述命题的充分条件、必要条件的判断 过程，可确பைடு நூலகம்：命题按条件p和结论q的充分 性、必要性可分为：
(1)充分不必要条件， 即 p q 但 q p
(2)必要不充分条件， (3)充要条件，
即 p q 但 q p
即 p q且 q p
(4)既不充分又不必要条件 ，即 p q且 q p
例1. 指出下列各组命题中，p是q 的什么条件，q是p的什么条件．
（1）p：x＞0；q：x2＞0．
（2）p：x＝y；q：x2＝y2．
（3）p：两三角形面积相等；q：两三角形 全等．
（4）p：两直线平行；q：内错角相等．
（5）p：x＝y；q：x2＋y2＝1
分析：（1）p是q的充分不必要条件， q是p的必要不充分条件
（2）p是q的充分不必要条件，q是p的 必要不充分条件
一般地,如果已知 p q ,即命题“若p则q” 为真命题，
那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 说明:（1）上述定义中，“p═›q” 即如果具备了条件 p，就足以保证q成立，所以称p是q的充分条件. （2）注意条件和结论是相对而言的，由于“p═›q” 的等价命题是“¬q═›¬p”,即若q不成立，则p不成 立，所以称q 是p成立的必要条件. （3）q 成立时， p可能成立，也可能不成立，即q成 立不保证p一定成立.
1. 写出命题“若x＞0，则x2＞0”的逆 命题、否命题和逆否命题，并分别判
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.
1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)[自主预习·探新知]1．充分条件与必要条件(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p 的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p⇒/q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．[基础自测]1．思考辨析(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(2)q 不是p 的必要条件时，“p ⇒/q ”成立．( ) (3)若q 是p 的必要条件，则q 成立，p 也成立．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A [由x 2－3x ＋2>0得x >2或x <1，故选A.]3．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． (1)p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； (2)p ：x >0，y >0，q ：xy >0； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋C ．【导学号：46342015】(1)(3) [在(1)(3)中，p ⇔q ，所以(1)(3)中p 是q 的充要条件，在(2)中，q ⇒p ，所以(2)中p 不是q 的充要条件．][合 作 探 究·攻 重 难]充分条件、必要条件、充要条件的判断指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1.[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断﹁q 是﹁p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即﹁q ⇒﹁p ，但﹁p ⇒﹁q ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1； 当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件． [规律方法] 充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． (3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若﹁p ⇒﹁q ，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； 若﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ⇒/ ﹁p ，则p 是q 的必要不充分条件； 若﹁p ⇔﹁q ，则p 与q 互为充要条件；若﹁p ⇒/ ﹁q ，且﹁q ⇒/ ﹁p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 1．(1)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )【导学号：46342016】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b ”不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b ”，所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是( ) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件． A ．①④ B ．①②③ C ．①②③④D ．①②④D [①Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b 2－4ac ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．③函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b 2－4ac <0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]充要条件的探求与证明(1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( ) A ．0<x <4 B ．0<x <2 C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B.[答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y. 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.[规律方法] 1.探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A 成立的充要条件时，先将A 视为条件，并由A 推导结论(设为B )，再证明B 是A 的充分条件，这样就能说明A 成立的充要条件是B ，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．[跟踪训练]2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )【导学号：46342017】A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B [由x (x －2)<0得0<x <2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件，则A B，若p是q的必要不充分条件，B A.2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p 是q的充要条件．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路探究]p是q的充分不必要条件→p代表的集合是q代表的集合的真子集→列不等式组求解[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q⇒/p.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}． [答案] {m |m ≥9}(或[9，＋∞))母题探究：1.本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p ⇒/q . 则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10}所以⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．2．若本例题改为：已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P ”是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5即a 的取值范围是[－1,5]． [规律方法]利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围(1)化简p 、q 两命题，(2)根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围．1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，y ＝－1，则|x |＝|y |，但x ≠y ；若x ＝y ，则|x |＝|y |，故选B.] 2．“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由x 2－4x －5＝0得x ＝5或x ＝－1，则当x ＝5时，x 2－4x －5＝0成立，但x 2－4x －5＝0时，x ＝5不一定成立，故选B.]3．下列条件中，是x 2<4的必要不充分条件是( ) A ．－2≤x ≤2 B ．－2<x <0 C ．0<x ≤2D ．1<x <3A [由x 2<4得－2<x <2，必要不充分条件的x 的范围真包含{x |－2<x <2}，故选A.] 4．若“x ＜m ”是“(x －1)(x －2)＞0”的充分不必要条件，则m 的取值范围是________.【导学号：46342018】(－∞，1] [由(x －1)(x －2)＞0可得x ＞2或x ＜1， 由已知条件，知{x |x ＜m }{x |x ＞2或x ＜1}， ∴m ≤1.]5．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m ≥2.[证明] (1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1>0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2<0，所以x 1，x 2同为负数． 即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m >0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题(含解
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题（含解析）(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题（含解析）(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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充分条件、必要条件与命题的四种形式一、选择题1．“a＝2”是“直线（a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析因为两直线平行，则(a2－a）×1－2×1＝0，解得a＝2或－1，所以选A.答案A2．已知命题p：∃n∈N，2n＞1 000，则綈p为( )．A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N,2n＞1 000C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n＜1 000解析特称命题的否定是全称命题．即p:∃x∈M，p(x)，则綈p:∀x∈M，綈p（x)．故选A。
答案A3.与命题”若a M∉"等价的命题是（ )∈,则b MA。
若a M∉∉,则b MB。
若b M∈∉,则a MC.若a M∈∉,则b MD。
若b M∉∈,则a M解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可.故选D. 答案 D4．“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π"的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析函数y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax的最小正周期为π⇔a＝1或a＝－1,所以“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选A。
高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1推出与充分条件、必要条件b21b高二21数学
1－m≥－2， 1－m>－2，
故有
或
解得 m≤3.
12/10/2102＋1 m<10
1＋m≤10，
又m>0，所以(suǒyǐ)实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 第十三页，共三十四页。
引申探究
1.若本例中“p是q的必要不充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)”改为“p是q的充分不必要条件”，其 他条件不变，求实数m的取值范围.
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
解 ∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p是q的必要(bìyào)不充分条件. (2)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； 解 ∵f(x)＝x⇒f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，但f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f(x)＝x， ∴p是q的充分不必要条件. (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； 解 ∵p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件. (4)p：a>b，q：ac>bc. 解 12/1∵0/20p21⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分也不必要条件.
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1
PART ONE
自主 学习 (zìzhǔ)
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知识点一 充分条件与必要条件
1.当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作
p⇒q，并且说p是q的
条件(tiáojiàn)，q充是分p的(chōngfèn) 条件.
解析(jiě xī) ∵－2<x<1⇏x>1或x<－1，且x>1或x<－1⇏－2<x<1， ∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分也不必要条件.
新教材高中数学第1章常用逻辑用语1.2.3第1课时充分条件与必要条件课件新人教B版必修第一册ppt
[解] (1)若 x2＝y2，则 x＝y 或 x＝－y， 因此 p q，所以 p 不是 q 的充分条件． (2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于 0，即 b2－ 4ac≥0，所以 p⇒q，所以 p 是 q 的充分条件． (3)若整数 a 能被 4 整除，则 a 是偶数，所以 a 的个位数字为偶数， 所以 p⇒q，所以 p 是 q 的充分条件． (4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1 且 y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0， 所以 p⇒q，所以 p 是 q 的充分条件．
4. 设 集 合 M ＝ {x|0 ＜ x≤3} ， N ＝ {x|0 ＜ x≤2} ， 那 么 “a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”或“必要”)
必要 [由于 N⊆M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．]
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 充分条件 【例 1】 判断下列各题中，p 是否是 q 的充分条件： (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a＜b，q：ab＜1； (3)p：x＞1，q：x2＞1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (5)在△ABC 中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC； (6)已知 a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
将本例(2)的条件改为“p：0＜ab＜1，q：b＜1a”如何判断？ [解] 当 0＜ab＜1，a＜0，b＜0 时，有 b＞1a； 当 0＜ab＜1，a＞0，b＞0 时，有 b＜1a，因此 p q，所以 p 不 是 q 的充分条件．
充分条件的判断方法
[跟进训练] 1．判断下列各题中，p 是否是 q 的充分条件： (1)p：x2＝y2，q：x＝y； (2)p：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，q：b2－ 4ac≥0； (3)p：整数 a 能被 4 整除，q：整数 a 的个位数字为偶数； (4)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1.3.1 推出与充分条
1.3.1 推出与充分条件、必要条件课后导练基础达标1.设集合M={x |0＜x ≤3},N={x |0＜x ≤2}，那么“a ∈M”是“a ∈N”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：易见N M ，则“a ∈M ”/“a ∈N ”，但有“a ∈N ”⇒“a ∈M ”.故选B. 答案：B2.设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是( )A.x ＞1B.x ＜1C.x ＞3D.x ＜3解析：x ＞2⇒x ＞1,但x ＞1/x ＞2.答案：A3.条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍”，条件q ：“直线l 的斜率为-2”，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：由p 成立可知q 不一定成立，但q 成立，p 也成立.故p 是q 的必要不充分条件. 答案：B4.对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是( )A.“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件B.“ac =bc ”是“a =b ”的必要条件C.“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件D.“ac =bc ”是“a =b ”的充分条件解析：ac ＞bc /a ＞b ,例如a ＜b ＜0,c ＜0时.有ac ＞bc 但a ＜b ;反之，a ＞b /ac ＞bc ,例如a ＞b ＞0,c ＜0时不成立.答案：B5.“c o sα=-23”是“α=2k π+65π，k ∈Z ”的( ) A.必要不充分条件B.充 植槐匾跫?C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：∵cosα=-23,∴α=2k π+65π或α=2k π+67π. ∴cosα=-23/α=2k π+65π, 反之由α=2k π+65π⇒cosα=-23. 答案：A6.函数y =x 2+bx +c ,x ∈［0,+∞)是单调函数的充要条件是_________.解析：若b ≥0，设x 1＜x 2,x 1、x 2∈(0,+∞）.f (x 2)-f (x 1)=x 22+bx 2+c -(x 21+bx 1+c )=(x 2-x 1)(x 2+x 1+b )＞0.∴f (x 2)＞f (x 1).∴y =f (x )是单调函数,即b ≥0是y =f (x )为单调函数的充分条件.若f (x 2)-f (x 1)=(x 2-x 1)(x 1+x 2+b )＞0,∵x 2-x 1＞0,x 2+x 1＞0,∴此时必有b ≥0,即b ≥0是f (x )为单调函数的必要条件.故答案是b ≥0.7.设p 、r 都是q 的充分条件，s 是q 的充分必要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的_________条件，r 是t 的_________条件.解析：由题意可画出图形：由图形可看出p 是t 的充分条件，r 是t 的充要条件.答案：充分 充要8.“tan α=1”是α=4π的_________. 解析：“∵tanα=1⇒a =k π+4π”，α不一定为4π, α=4π⇒tanα=1, ∴tanα=1为α=4π的必要不充分条件. 答案：必要不充分条件9.已知：p ：|5x -2|＞3;q ：5412-+x x ＞0，则p 是q 的什么条件. 解：p :｜5x -2｜＞3.所以5x -2＞3,或5x -2＜-3,所以x ＞1,或x ＜-51, 所以p :-51≤x ≤1. 因为q :5412-+x x ＞0. 所以x 2+4x -5＞0.即x ＞1,或x ＜-5.所以q :-5≤x ≤1(如图所示）.所以p 是q 的充分非必要条件.10.已知a 、b 、c 均为实数，证明ac ＜0是关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件.证明：（1）充分性：若ac ＜0.则Δ=b 2-4ac ＞0.方程ax 2+bx +c =0有两个相异的实根，设为x 1、x 2.∵ac ＜0,∴x 1·x 2=a c ＜0,即x 1、x 2的符号相反，方程有一个正根和一个负根. (2)必要性：若方程ax 2+bx +c =0.有一个正根和一个负根，设为x 1、x 2，不妨设x 1＜0,x 2＞0,则x 1x 2=ac ＜0,∴ac ＜0. 由（1）（2）知ac ＜0是方程ax 2+bx +c =0有一个正根和一个负根的充要条件.11.求函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (-x )=(-x )｜x +0｜+0=-x ｜x ｜=-f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件.又若f (x )=x ｜x +a ｜+b 为奇函数，即f (-x )=-f (x )∴(-x )｜-x +a ｜+b =-x ｜x +a ｜-b ,则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充要条件.12.设p ：x 2-x -20＞0,q ：2||12-+x x ＜0，则p 是q 的什么条件？ 解析：p :x 2-x -20＞0,化简p :x ＞5或x ＜-4. q :2||12--x x ＜0,化简q :-1＜x ＜1或x ＜-2或x ＞2. 作数轴易得p ⇒q 但q p .∴p 是q 的充分不必要条件13.设a 、b ∈R ，已知命题p ：a =b ；命题q ：(2b a +)2≤222b a +，则p 是q 成立的什么条件？解析：充分性：当a =b 时，a a a b a =+=+22,即.2)2(,22.)2(2222222222b a b a a a a b a a b a +=+∴=+=+=+又 故当a =b 时，.2)2(222b a b a +≤+ 必要性：当,2)2(222b a b a +≤+, 展开得042422≥+-b ab a ,即（a -b )2≥0,a =b .∴p :a =b :q :2)2(222b a b a +≤+,p 是q 的充分不必要条件.。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.1 推出与充分条件、必要条件学业分层测评 新人教B版选修1-
高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1 推出与充分条件、必要条件学业分层测评新人教B版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1 推出与充分条件、必要条件学业分层测评新人教B版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1 推出与充分条件、必要条件学业分层测评新人教B版选修1-1的全部内容。
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3.1 推出与充分条件、必要条件（建议用时:45分钟)［学业达标]一、选择题1．设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】｜x－2｜〈1⇔1〈x<3，x2＋x－2>0⇔x〉1或x〈－2.由于{x｜1<x<3｝是｛x|x>1或x〈－2｝的真子集，所以“|x－2|〈1"是“x2＋x－2〉0”的充分而不必要条件．【答案】A2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1【解析】当m＝－2时，f(x）＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.【答案】A3．已知非零向量a，b,c，则“a·b＝a·c”是“b＝c"的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵a⊥b，a⊥c时,a·b＝a·c，但b与c不一定相等,∴a·b＝a·c b＝c；反之,b＝c⇒a·b＝a·c。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.3充分条件、必要条件bb高一第一册数学
分不必要条件，故选 A.
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2．(2019·金华期末)“x>a”是“x>|a|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 B.若 a≥0，由 x>|a|得 x>a，若 a<0，则由 x>|a|得 x>
－a，此时 x>－a>a 成立，即必要性成立，当 a<0 时，不妨设 a
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【解】 (1)因为 x＝1 或 x＝2⇒x－1＝ x－1，x－1＝ x－1⇒x ＝1 或 x＝2，所以 p 是 q 的充要条件． (2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分，即 p⇒q. 反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正 方形，即 q⇒/ p. 所以 p 是 q 的充分不必要条件．
所以 A B.
所以11－＋mm≤>1－0 2，或11－ ＋mm<≥－102.， 解不等式组得 m>9 或 m≥9， 所以 m≥9， 即实数 m 的取值范围是 m≥9.
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2．(变问法)本例中 p，q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充 要条件？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由． 解：因为 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)． 若 p 是 q 的充要条件，则－ 10＝2＝1＋1－mm，无解，所以 m 不存在． 故不存在实数 m，使得 p 是 q 的充要条件．
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充要条件的证明 求证：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根 的充要条件是 ac<0. 证明：充分性：(由 ac<0 推证方程有一正根和一负根) 因为 ac<0， 所以一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac>0， 所以方程一定有两个不等实根． 设两根为 x1，x2，则 x1x2＝ac<0， 所以12/方9/202程1 的两根异号．
高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1推出与充分条件、必要条件9b21b高二21数学
条件 充分(chōngfèn)不 必 必要要(bìyào条)不件充
分既不充分也不必条要件
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自主(zìzhǔ)探究
例1（1）设xR,｜x+1｜<2是 x2+x-2<0的（B ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（ 2） p是 q的 必 要 不 充 分 条 件 ， 则 p是 q的 （ A ） A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
如果你们进步(jìnbù)，
自己就会自信
谢谢 观看！ (xiè xie)
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内容 总结 (nèiróng)
1.3.2充分条件、必要条件。1.命题“若p,则q”中， 叫条件, 叫结论(jiélùn)。一般地,“若p,则q”为真命题,称
由p可以推出q,记作： ,此时称p是q的 条件,q是p的 条件.。“如果p,则q”为假命题,称由p不能推出q,记作：
如果你们(nǐ men)进 步，
老师就会高兴
1.3.2充分条件 、必要 (chōnɡ fēn tiáo jiàn)
条件
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复习(fùxí)回顾
1.命题“若p,则q”中， 叫条p件(tiáojiàn), q叫结论
2.命题的四种形式：
原命题 若p则q
互否
互逆 互为逆否
逆命题 若q则p
互否
否命题
若p则q
互逆
逆否命题 若q则p
注：互为逆否的两个(liǎnɡ ɡè)命题同真同假
高中数学第一章常用逻辑用语1.2.12充分条件与必要条件2121数学
典型(diǎnxíng) 例题
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是 p的什么条件：
（1） p:xy; q: x 2y2 （2）p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角相等．
• 解: (1) x=y是x2=y2的充分不必要条件. x2=y2是x=y的 必要(bìyào)不充分条件.
ab
必要不充分 充分不必要
x A 且 x B xAB 充分 必要
必要 充分
ab0
a0
充分不必要 必要不充分
(x 1 )y ( 2 ) 0x1且 y2 必要不充分 充分不必要
第十一页，共十四页。
典型 例 (diǎnxíng) 题
• 例3、请用“充分不必要”、“必要不充分” 、
“充要”、“既不充分也不必必要要”不填充空分：
第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)与必要条件。若﹁ q则﹁p。3、判断下列命题是真命题还是假命题：。两 三角形全等是两三角形面积相等的充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)．。两三角形面积相等是两三角形全等的必
No 要条件．。即如果p是q的充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)， p又是q的必。要条件，则称 p是q的充分必要条
• (2) p是q的充分条件且是必要条件. • q是p充分条件且是必要条件.
第十页，共十四页。Leabharlann 典型(diǎnxíng) 例题
例2．填表
p
q
p是q的什么条件 q是p的什么条件
y是有理数 y是实数
x5
x3
m，n全是奇数 m+n是偶数
充分不必要 充分不必要
高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1推出与充分条件、必要条件7b11b高二11数学
例 1（1）“若x>0，则x2>0”是一个(yī ɡè)真命题，
可写成： x>0
x2>0；
“x>0”是“x2>0”的____充__分__条，件“x2>0”是“x>0”的_________必_ 要条件
（2）“若两三角形全等，则两三角形的面积相等(xiāngděng)”是一个真命题,
可写成： 两三角形全等 两三角形面积相等.
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小结 ： (xiǎojié)
推出与充分条件、必要条件定义： 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理(tuīlǐ)可以得出q. 这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条 件，q是p的必要条件.
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第五页，共二十六页。
⑴若P Q,则p是q的充分(chōngfèn)不必要条件
⑵若P Q ,p是q的必要不充分条件
⑶ 若p q,相当于P=Q ,
即:互为充要条件的两个事物表示的是——同一事物
(4)若集合P⊆Q且Q⊆P，则p是q的既不充分也不必要条件 Q
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例3 是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？
请判断：p是q的什么(shén me)条件吗？
答 p是q的充分条件，p是q的必要条件.
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小结(xiǎojié)： 充要条件的定义(dìngyì)： p⇒q，故p是q的充分条件； 又q⇒p，故p是q的必要条件. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件.
“大故”指引起事物产生和发展的“充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)”； “小故”指的是“必要条件”。
高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1推出与充分条件、必要条件2b21b高二21数学
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第十五页，共十五页。
(6)p: a2>b2,
q:a>b.
第三页，共十五页。
二、概念(gàiniàn)形成
1：如果(rúguǒ)p，则q形式的命题其，中p称为命题的条件
【探究 (tànjiū)1】
q称为命题的结论
判断下列“如果p,则q”形式命题的真假.
(1)p: 四边形是正方形， q:它的四边相等.
真
(2)P: x2=y2 ,
q:x=y.
假
(3)p: 两个三角形全等， q:两三角形面积相等.
真
(4)p: ab=0,
q:a=0.
假
(5)p: 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像过原点, q:c=0.
真
(6)p: a2>b2,
q:a>b.
假
第四页，共十五页。
二、概念(gàiniàn)形成
2、推出
【探究
(tànjiū)2】
判断下列“如果p,则q”形式命题的真假.
(1)p: 四边形是正方形， q:它的四边相等.
(2)P: x2=y2 ,
q:x=y.
(3)p: 两个(liǎnɡ ɡè)三角形全等， q:两三角形面积相等.
பைடு நூலகம்
(4)p: ab=0,
q:a=0.
(5)p: 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像过原点, q:c=0.
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内容(nèiróng)总结
No 1.了解推出符号的意义。皇上殿试见他不仅才华横溢，而且一表人才(yī biǎo rén cái)，遂将其招为驸马。
“春风得意马蹄疾”，循惯例朱耀宗八抬大桥，新贵还乡。如果罗裙不干，天意如此，你就不用再阻拦了。 朱耀宗知是天意难为，暗暗叫苦，做好向皇上请罪的准备。朱耀宗返京后将母亲和恩师的事及“天意”报 予皇上，恳请皇上治罪。② 判断清条件和结论间的推出关系.。③ 否定一个命题只需要举出一个反例即可
高中数学第一章常用逻辑用语1.2.12.2充分条件必要条件121数学
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[解] (1)由 x2－x－2＞0， 解得 x＞2 或 x＜－1. 令 A＝{x|x＞2 或 x＜－1}， 由 4x＋p＜0，得 B＝{x|x＜－p4}． 由题意得 B⊆A，即－p4≤－1，即 p≥4， 此时 x＜－p4≤－1⇒x2－x－2＞0， 所以当 p≥4 时，“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的充分条件．
2．充分条件与判定定理、必要条件与性质定理 (1)判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据， 也就是该判定定理给出了结论成立的充分条件．对判定定理 “若 p，则 q”可叙述为“q 成立的充分条件是 p”． (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研 究对象所具有的重要性质，其作用是揭示了这个研究对象的某 个特征．事实上，性质定理给出了结论成立的必要条件．对于 性质定理“若 p，则 q”可叙述为“q 是 p 成立的必要条件”．
2．用充分条件的语言表示下列定理或结论．
(1)若ab＝dc，则 ad＝bc； (2)若 a>b>0，则 a2>b2. 解：(1)ab＝dc是 ad＝bc 的充分条件． (2)a2>b2 的充分条件是 a>b>0.
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用必要条件(bìyào tiáo jiàn)的语言表达真命题
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(2)由 p 是 q 的必要条件，得 q⇒p，其中，p：{x|－1≤x≤2}． 不等式 x2－3mx＋2m2≤0，即(x－m)(x－2m)≤0， 当 m＝0 时，解得 x＝0，符合题意； 当 m＞0 时，解得 m≤x≤2m，依题意，得m2m≥≤－2，1，所以 0 ＜m≤1； 当 m＜0 时，解得 2m≤x≤m，依题意，得2mm≤≥2－，1，所以－ 12≤m＜0. 综上所述，实数 m 的取值范围是[－12，1]．
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1.3.1 推出与充分条件、必要条件
课后训练
1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
3．直线l1，l2的斜率存在且分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( )条件．
A．充分不必要 B．既不充分也不必要
C．必要不充分 D．充要
5．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的( ) A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
7．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的__________条件．
8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件．
9．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
10．已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－2x＋m＝0，①
x2＋2mx＋m2－m－1＝0，②
求方程①②的根都是整数的充要条件．
参考答案
1.答案：B 由题意知甲乙丙丁，故命题丁是命题甲的必要不充分条件．
2.答案：C
3.答案：B 当k1＝k2时，直线l1，l2可能平行也可能重合；当l1∥l2时，k1＝k2.故选
B.
4.答案：A
5.答案：C 因{a n}是首项大于零的等比数列，故a1＜a2数列{a n}是递增数列，数列{a n}是递增数列a1＜a2，所以“a1＜a2”是数列{a n}是递增数列的充要条件．
6.答案：B 由m为平面α内一条直线，m⊥β，得α⊥β，必要性成立；由m为平面α内一条直线，α⊥β，不能推出m⊥β，充分性不成立．故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
7.答案：必要不充分
8.答案：充分不必要a＞0，c＜0b2－4ac＞0函数f(x)有两个零点；函数f(x)
有两个零点b2－4ac＞0a＞0，c＜0，故“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有
两个零点”的充分不必要条件．
9.答案：分析：先化简集合，然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“B A”，
最后利用数轴分析，得关于a的不等式求解．
解：p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}＝{x|x＞－1或x＜－3}，B＝{x||x|＜a}，
∵p是q的必要不充分条件，∴B A.
当a≤0时，B＝，满足B A；
当a＞0时，B＝{x|－a＜x＜a}，要使B A，只需－a≥－1，此时0＜a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
10.答案：分析：方程①②的根都是整数即方程①②有实数根且为整数，因此先求出方程①②有实数根的充要条件，得到m的取值范围，由m∈Z，再逐一验证．解：方程①有实根Δ＝4－4m≥0，即m≤1，
方程②有实根Δ＝(2m)2－4(m2－m－1)＝4m＋4≥0，即m≥－1，
所以①②同时有实数根－1≤m≤1.
因为m∈Z，所以m＝－1,0,1.
当m＝－1时，方程①无整数根；
当m＝0时，方程①②都有整数根；
当m＝1时，方程②无整数根．
综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是m＝0.。