34第34讲 圆的有关概念和性质

第九章圆第34讲圆的有关概念和性质本讲重点：垂径定理，圆心角、弧、弦之间相等关系定理，圆周角和圆心角关系定理.【考点链接】1．圆的有关概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．（2）圆心角：顶点在的角叫做圆心角．（3）圆周角：顶点在圆上，两边与圆都相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做．2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角；直径所对的圆周角是；90”的圆周角所对的弦是．3．三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的，外接圆的圆心就是三角形三边的线的交点，叫做三角形的外心．（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的圆，内切圆的圆心是三角形三条线的交点，叫做三角形的内心.【典例探究】考点1 圆周角定理及其应用『例1』(1)（2012汕头）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是．(2) （2012德阳）已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=30°，那么∠BAD=( )A.45°B.60°C.90°D. 30°(3)（2012黔西南）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为( ) （A）40° （B）30° （C）50° （D）60°『解析』(1) ∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对，∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°.(2) ∵∠ADC与∠ABC所对的弧相同，∴∠ADC=∠ABC=30°.∵OA=OD，∴∠BAD =∠ADC30°，故选D.(3) ∵OA=OB，∠ABO＝40°，∴∠BAO=∠ABO=40°.∴∠AOB=100°.∴∠ACB=50°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）.故选C.『备考兵法』与圆有关的角有圆周角、圆心角，它们都和其所对弧或所夹弧有着密切关系：圆心角度数=所对弧的度数=此弧所对的圆周角度数的一半.在计算或证明有关角的问题时，常转化为有关弧的问题，反之亦然．考点2 垂径定理及其应用『例2』(1)（2012陕西）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为( )A．3 B．4 C．D．24](2)（2012六盘水）当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为 cm．(3)（2012兰州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB的取值范围是．(4)（2012南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．『解析』(1) 作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB=CD=8，∴由垂径定理和全等三角形的性质得，AM=BM=CN=DN=4，OM=ON.又∵OB=5，∴由勾股定理得：OM3=∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°.∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°.∴四边形MONP是正方形.∴PM=PN=OM=ON=3.∴由勾股定理得：OP=故选C.(2) 如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OD⊥AB，∴AD=12AB=12（9﹣1）=4.设OA=r，则OD=r﹣3，在Rt△OAD中，OA2﹣OD2=AD2，即r2﹣（r﹣3）2=42，解得r=256（cm）.(3) 如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD.在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，∴AD＝4.∴AB＝2AD＝8.当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB＝10.∴AB的取值范围是8＜AB≤10.(4)分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，连接OA，OC.∵AB=30，CD=16，∴AE=12AB=15，CF=12CD=8.又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17.∴在Rt△AOE中，2O E7158 ==.在Rt△OCF中，OF 15==.∴EF=OF －OE=15－8=7.答：AB 和CD 的距离为7cm.『备考兵法』垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据．有关弦长、弦心距的计算问题，往往要作垂直于弦的直径（半径或弦心距），利用垂径定理平分弦的结论以及半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解目的．考点3 综合应用『例3』（2012常州）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 在正比例函数y=x 的图象上，点P 的横坐标为m （m ＞0）.以点P 为半径的圆交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 、D 两点（D 点在点C 的上方）.点E 为平行四边形DOPE 的顶点（如图）.（1）写出点B 、E 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）连接DB 、BE ，设△BDE 的外接圆交y 轴于点Q （点Q 异于点D ），连接EQ 、BQ.试问线段BQ 与线段EQ 的长是否相等？为什么？ （3）连接BC ，求∠DBC－∠DBE 的度数.『解析』（1）B （3m ，0），E （m ，4m ）.（2）线段BQ 与线段EQ 的长相等.理由如下：由（1）知B （3m ，0），E （m ，4m ）， ∵根据圆的对称性，点D 点B 关于y=x 对称，∴D（0，3m ）.∴()()2222BD 3m +3m =18m =，22DE 2m =，()()2222BE 3m m +4m =20m =-. ∴222BD +DE BE =.∴△BDE 是直角三角形.∴BE 是△BDE 的外接圆的直径.设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B（3m，0），E（m，4m）得G（2m，2m）.过点G作GI⊥DG于点I，则I（0，2m）.根据垂径定理，得DI=IQ ，∴Q（0，m）.∴BQ,EQ==.∴BQ=EQ.（3）延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m.根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO= m.根据圆的对称性，OC=OA= m.又∵OB=3m，DE=，DB=，∴O C O BD E D B==O C O BD E D B=.又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB.∴∠OBC=∠DBE.∴∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO.又∵OB=OC，∴∠DBO=450.∴∠DBC－∠DBE=450.『备考兵法』在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．【当堂过关】1. （2012湖州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC 的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．45° B．85° C．90° D．95°『解析』∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.∵∠C=50°，∴∠BAC=40°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°.∴∠CAD=∠DBC=45°.∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°.『答案』B2. （2011绍兴）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若16C∠=︒,则B O C∠的度数是（）A.74︒B. 48︒C. 32︒D. 16︒『解析』B O C∠=2∠C=32︒.『答案』C3. （2012衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为 mm ．『解析』连接OA ，过点O 作OD⊥AB 于点D ，则AB=2AD ，钢珠的半径是5mm,OD=3mm. 在Rt△AOD中，∵AD 4==mm ，∴AB=2AD=2×4=8mm . 『答案』84. （2012嘉兴）如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为 ．『解析』连接OC ，∵AM=18，BM=8，∴AB=26，OC=OB=13.∴OM=13﹣8=5.在Rt△OCM中，CM 12==.∵直径AB 丄弦CD ，∴CD=2CM=2×12=24.『答案』24 5. （2011衢州市）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r ，用角尺的较短边紧靠⊙O ，并使较长边与⊙O 相勤勤恳恳于点C ，假设角尺的较长边足够多，角尺的顶点为B ，较短边长为acm ，则用含a 的代数式表示r 为_______________.『解析』分类考虑.『答案』当时8a 0≤<，a r =；时当8a >，4a161r 2+=；或时8r 0≤<，a r =；时当8r >，4a161r 2+=；6. （2012青岛）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠AOC＝60º，则∠ABC＝ º．『解析』在优弧ADC 上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=60°，∴∠ADC=12∠AOC=30°.∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°－∠ADC=180°－30°=150°.『答案』1507. （2012梅州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．证明：（1）∵∠A=∠B，又∵∠AED =∠BEC，∴△ADE∽△BCE.（2）∵AD2=AE•AC，∴AE AD=AD AC.又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD.∴∠AED=∠ADC.又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°.∴∠AED=90°.∴直径AC⊥BD，∴CD=CB.8. （2012凉山）如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式解：（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB=∠DPO=13×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°.∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形.∴AB=PA，∠BAO=60°，∴AB=OP，∠BAO=∠OPD. 在△POD和△ABO中，∵∠OPD=∠BAO， OP=BA ，∠POD=∠ABO ，∴△POD≌△ABO（ASA）.（2）由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO=∠AOB.∵∠AOB=12∠APB=12×60°=30°，∴∠PDO=30°.∴OP=OD•tan30°=3×3∴点P的坐标为：0）.∵点P，D在直线y=kx+b上，∴直线l的解析式为：【浙江两年中考】1. （2012台州）如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠AOC=130°，则∠ABC等于( )A．50° B．60° C．65° D．70°『解析』∠ABC=12∠AOC=65°.『答案』C2. （2012衢州）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则sin∠AOB的值是（）A． B． C． D．2.『答案』C3. （2012台州）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为厘米．『解析』如图，过球心O作IG⊥BC，分别交BC、AD、劣弧 EF于点G、H、I，连接OF.设OH=x，HI=y，则依题意，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质，得()222x+8=x+y2x+y=16⎧⎪⎨⎪⎩，解得x=6y=4⎧⎨⎩.∴球的半径为x＋y=10（厘米）.『答案』104. （2012绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形 .乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点.2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形.对于甲、乙两人的作法，可判断（）A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确『解析』∠ABC=∠BAC=∠C=60°.∴△ABC为等边三角形.故甲作法正确.根据乙的思路，∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB.∴△BOD为等边三角形.∴∠OBD=∠BOD=60°.又∵BC垂直平分OD，∴OM=DM.∴BM为∠OBD的平分线.∴∠OBM=∠DBM=30°.又∵OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°.∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°.同理∠ACB=60°.∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC.∴△ABC为等边三角形.故乙作法正确. 『答案』A5. （2012台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．解：（1）证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD.∴∠ABD=∠CBE.在△ABD与△CBE中，BA=BC，∠ABD=∠CBE，BD=BE，∴△ABD≌△CBE（SAS） .（2）四边形BDEF是菱形.证明如下：由（1）△ABD≌△CBE，∴CE=AD.∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA=DB=DC.又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD.∴四边形BDCE是菱形.6.（2012杭州）如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明SS>π∆圆．解：（1）如图所示：（2）∵AB2+BC2=AC2=5a2，∴△ABC是直角三角形，且AC是斜边.∴AC是△ABC外接圆的直径，则半径为5a2.∵△ABC的外接圆的面积为S圆，∴S圆=22525aa=24ππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.又∵△ABC的面积S△ABC =12×3a×4a=6a2.∴2225aS254==S246a>πππ∆圆.【命题趋势提醒】有关圆的性质证明题的难度有所降低，圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现，题目较简单.【迎考精炼】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1. (2012黔东南）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为( )A．35° B．45° C．55° D．75°『解析』连接AD，∠ADB=90°.∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣∠ABD=35°.∴∠BCD=∠A=35°. 『答案』A2. （2011宁波）如图，⊙O 1 的半径为１，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2 =8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）(A)3次 (B)5次 (C)6次 (D)7次『解析』以点P 为圆心，4为半径作圆进行探究. 『答案』B3. （2012凉山模拟）如图，∠AOB ＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50B ．80 或50C ．130D ．50 或130『解析』当点C 在优弧上时，∠ACB ＝21∠AOB ＝21×100°＝50°，当点C 在劣弧上时，∠ACB＝21（360°－∠AOB ）＝21×（360°－100°）＝130°．『答案』D 4. （2012淮安）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A＝400，则∠B 的度数为( )A 、800B 、600C 、500D 、400『解析』由∠A＝400，得∠B=1800－900－400=500. 『答案』C5. （2012河池）如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D=35°，则∠OAC 的度数是（ ）A BOA 、35°B 、55°C 、65°D 、70°『解析』∵∠D=35°，∴∠AOC=2∠D=70°，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）÷2=110°÷2=55°． 『答案』B6. （2012泰安）如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB ＝6，则⊙O 的半径为（ ）A ．2B ．22C ．22 D ．26『解析』连接OA ，设⊙O 的半径为r ，AD ＝2AB ＝26，OD ＝2r ，OA 2＝OD 2＋AD 2，即r 2＝（2r ）2＋（26）2，解得r ＝2．『答案』A7. （2012海南）如图，点A 、B 、O 是正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，点P 是优弧 AmB 上的一点，则tan A P B ∠的值是( )A ．1 B．23『解析』连接AO 并延长交⊙O 于点P 1，连接AB ，BP 1.设网格的边长为a. 则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP 1=900.根据勾股定理，得AB=BP 1.根据正切函数定义，得11AB tan AP B==BP ∠.∠ABP=∠ABP.∴1tan APB=tan AP B=1∠∠.『答案』A8. （2012四川广元） 如图，A ，B 是⊙O 上两点，若四边形ACBO 是菱形，⊙O 的半径为r ，则点A 与点B 之间的距离为( )C. rD. 2r『解析』连接AB ，与OC 交于点D ， OA=OB=AC=BC ，O C⊥AB .又∵OA=OC=OB，∴△AOC 和△BOC 都为等边三角形，AD=BD.在Rt△AOD 中，OA=r ，∠AOD=60°，2..『答案』B 9. （2012攀枝花）如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O，BD⊥AC 于点D ，OM⊥AB 于点M ，OM=31，则sin∠CB D 的值等于（ ）A 、23 B 、31 C 、322D 、21『解析』∠MOB=∠C，∴sin∠CBD=sin∠OBM=OBMO =31．『答案』B10. （2012玉林）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A 、2B 、5C 、22D 、3『解析』如图，连接OA 、OB ，∵OC⊥AB，OA=OB ，∴O 即为此圆形镜子的圆心， ∵AC=1，OC=2，∴OA=22OCAC +=2221+=5．『答案』B二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）11. （2012成都）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=，0C=1，则半径OB的长为．『解析』∵AB是⊙O的弦，OC⊥A B于C，AB=，∴BC=AB=，∵0C=1，∴在Rt△OBC中，OB===2．『答案』212. （2012江苏南通）如图，在⊙O中，∠AOB＝46º，则∠ACB＝º．『解析』∵∠AOB和∠ACB是同⊙O中同弧 AB所对的圆周角和圆心角，且∠AOB＝46º，∴∠ACB=12∠AOB=12×46°=23°.『答案』2313. （2012福建南平）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=68°，则∠BAC= .『解析』∠ABC=∠ADC=68°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠BAC=90°－∠ABC=90°－68°=22°.『答案』22°14. （2012安徽省）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=°.『解析』∠AOC=2∠D，∠B=∠AOC.又∵圆内接四边形对角互补，即∠B+∠D=180°，∴∠D=60°.连接OD，则OA=OD，OD=OC，∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∴∠OAD＋∠OCD=∠ODA＋∠ODC=∠D= 60°.『答案』6015. （2012四川广元）在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 cm.『解析』当点P在圆外时，直径=6 cm－2 cm =4cm，因而半径是2cm.『答案』216. （2012山东东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．『解析』连接OB，当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大.∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，∴O点在AD上，BD=24cm.在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48－r.∴r2=（48－r）2＋242，解得r=30.∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm.『答案』30三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.（6分）（2012宁夏区）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.求∠D的度数.解：连接BD .∵AB ⊙O 是直径，∴BD ⊥AD. 又∵CF ⊥AD ，∴BD ∥CF.∴∠BDC=∠C.又∵∠BDC=12∠BOC ，∴∠C=12∠BOC.∵AB ⊥CD ，∴∠C=30°.∴∠ADC ＝60°.18.（8分）（2012遂宁模拟）如图，在⊙O 中∠ACB=∠BDC=60°，AC=23，求⊙O 的周长．解：连接OC ，作OE⊥AC 于E ．∵∠ACB=∠BDC=60°，∴∠A=∠BDC=60°， ∴△ABC 是等边三角形，∴∠OCE=30°，CE=21AC=3，∴OC=︒30cos CE =2，则⊙O 的周长是4π． 19.（8分）（2011金华）如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE . （1）求证：AP ＝AO ；（2）若弦AB ＝12，求tan ∠OPB 的值；（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为 或 或.解：（1）证明：∵PG 平分∠EPF ，∴∠DPO =∠BPO ，∵OA//PE ，∴∠DPO =∠POA ，∴∠BPO =∠POA ，∴PA =OA ； （2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH =HB =12AB ，∵ tan ∠OPB =12O H P H=，∴PH =2OH ，设OH =x ，则PH =2x ，由（1）可知PA =OA = 10 ，∴AH =PH －PA =2x －10，∵222AH OH OA +=， ∴222(210)10x x -+=，解得10x =（不合题意，舍去），28x =，∴AH =6，∴AB=2AH=12；（3）P 、A 、O 、C ；A 、B 、D 、C 或 P 、A 、O 、D 或P 、C 、O 、B . 20.（8分）（2012湖北荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图．已知图中ABCD 为等腰梯形（AB∥DC），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ．设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，∠D=56°，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）解：如图，连接AO 、BO ．过点A 作AE⊥DC 于点E ，过点O 作ON⊥DC 于点N ，ON 交⊙O 于点M ，交AB 于点F ．则OF⊥AB． ∵OA=OB=5m，AB=8m ，∴AF=BF=12AB=4（m ），∠AOB=2∠AOF，在Rt△AOF 中，0AF 4sin AO F===0.8=sin53AO5∠，∴∠AOF=53°，∴∠AOB=106°.∵（m ），由题意得：MN=1m ，∴FN=OM－OF+MN=3（m ）. ∵四边形ABCD 是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE. 在Rt△ADE 中，0AE 3tan56==D E2，∴DE=2m，DC=12m.∴2O AB ABC D O AB110651S S S S 8123832023602π∆⨯⨯=--=+⨯--⨯⨯≈阴梯形扇形（）（）（）（m 2）.答：U 型槽的横截面积约为20m 2.21.（8分）（2012贵州黔西南）如图，△ABC 内接于⊙O，AB ＝8，AC ＝4，D 是AB 边上一点，P 是优弧 BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明.解：当BD=4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形.理由如下：∵P 是优弧 的中点，∴.∴PB=PC . 若△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形，则PA=PD.又∵∠PAD=∠PCB，∴△PAD∽△PCB .∴∠DPA=∠BPC .∴∠BPD=∠CPA .在△PBD 与△PCA 中，∵PB=PC，∠BPD=∠CPA，PD=PA ，∴△PBD≌△PCA（SAS ）. ∴BD=AC=4.由于以上结论，反之也成立，∴当BD=4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形.22.（8分）（2012江苏南京）如图，A 、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 为⊙O 上关于A 、B 的滑动角. （1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角. ① 若AB 为⊙O 的直径，则∠APB=② 若⊙O 半径为1，的度数（2）已知2O 为⊙O 1外一点，以2O 为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB 为⊙O 1上关于点A 、B 的滑动角，直线PA 、PB 分别交⊙O 2于点M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN、∠ANB 之间的数量关系.解：（1）①900.②如图，连接AB 、OA 、OB ．在△AOB 中，∵OA=OB=1．2+OB 2=AB 2.∴∠AOB=90°.当点P 在优弧 AB 上时（如图1），∠APB=12∠AOB=45°；当点P 在劣弧 AB 上时（如图2），∠APB=12（360°－∠AOB）=135°.（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN-∠ANB.第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°.第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB.第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，∠APB=∠MAN+∠ANB.。