九年级数学上册第22章一元二次方程22.3实践与探索2平行线分线段成比例教案新版华东师大版12
九年级数学上第22章一元二次方程22.3实践与探索3用一元二次方程解一般应用问题课华东师大
条，即 A 同学的说法不正确．
8．【中考·德州】为积极响应新旧动能转换，提高公司经 济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备， 每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售 价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元 时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位： 台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
解：设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝kx＋ b(k≠0)，由题意得4405kk＋＋bb＝＝650500，，解得kb＝＝－1 01000，. ∴年销售 量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝－10x＋1 000.
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元， 如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的 销售单价应是多少万元？
安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应邀请 x 支球队参加比赛， 根据题意，可列出方程x（x－ 2 1）＝28.解这个方程， 得 x1＝8，x2＝－7(舍去)． 答：应邀请 8 支球队参加比赛．
5．一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把 这两个数字调换位置，所得的两位数与原两位数的 乘积等于765，求原两位数． 解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为x ＋4，根据题意得(10x＋x＋4)[10(x＋4)＋x]＝765， 整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)， 则x＋4＝5，故原两位数为15.
2019秋九年级数学上册第22章一元二次方程22.3实践与探索1成比例线段教案
23.1 成比例线段 1.成比例线段1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）2.理解成比例线段的概念；（重点）3.掌握成比例线段的判定方法.（难点）一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】 求线段的比已知线段AB ＝2.5m ，线段CD ＝400cm ，求线段AB 与CD 的比.解析：要求AB 和CD 的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB 和CD 的单位统一.解：∵AB ＝2.5m ＝250cm ，∴AB CD ＝250400＝58. 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】 比例尺在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是 m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm ＝1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.探究点二：成比例线段【类型一】 判断线段成比例 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）A.3cm ，4cm ，5cm ，6cmB.4cm ，8cm ，3cm ，5cmC.5cm ，15cm ，2cm ，6cmD.8cm ，4cm ，1cm ，3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C 项排列后有25＝615.故选C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【类型二】 由线段成比例求线段的长 已知：四条线段a 、b 、c 、d ，其中a ＝3cm ，b ＝8cm ，c ＝6cm. （1）若a 、b 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度；（2）若b 、a 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度.解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.解：（1）由a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a b ＝c d ，即38＝6d，解得d ＝16. 故线段d 的长度为16cm ；（2）由b 、a 、c 、d 是成比例线段，得b a ＝cd ，即83＝6d ，解得d ＝94. 故线段d 的长度为94cm. 方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x ：1＝2：2，则x ＝22；若1：x ＝2：2，则x ＝2；若1：2＝x ：2，则x ＝2；若1：2＝2：x ，则x ＝2 2.所以所添加的线段的长有三种可能，可以是22cm ，2cm ，或22cm. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.三、板书设计成比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD＝m：n，或写成ABCD＝mn成比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.。
华师版九年级数学上册教案：第22章 一元二次方程3 实践与探索(2课时)
22.3实践与探索第1课时列一元二次方程解应用题一、基本目标1．掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤．2．能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解,并检验方程的解是否合理．二、重难点目标【教学重点】掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤．【教学难点】找出具体问题中的数量关系．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P38～P39的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的矩形？设矩形的一边为x cm,根据题意,可列方程为__x(20－x)＝75__.2．某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为108元,已知两次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x.根据题意,列方程得__168(1－x)2＝108__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】东台市为打造“绿色城市”,积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程,已知2015年投资1000万元,预计2017年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同,求平均每年投资增长的百分率．【互动探索】(引发学生思考)根据题意可知,题中的等量关系是什么？怎样求出平均每年投资增长的百分率？【解答】设平均每年投资增长的百分率是x.由题意,得1000(1＋x)2＝1210,解得x1＝0.1,x2＝－2.1(舍去)．故平均每年投资增长的百分率为10%.【互动总结】(学生总结,老师点评)在应用一元二次方程解决实际问题时,要注意分析题意,抓住等量关系,列出方程,把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的解之后,要注意检验是否符合题意,最后得到实际问题的解答．活动2巩固练习(学生独学)1．某药品经过两次降价,每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率,若设每次降价的百分率为x,则得到的方程为(A)A．112(1－x)2＝63 B．112(1＋x)2＝63C．112(1－x)＝63 D．112(1＋x)＝632．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停；当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停．若一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是__(1－10%)(1＋x)2＝1__.3．如图所示,在长32 m、宽20 m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向、一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小不等的六块作试验田,要使试验田面积为570 m2,问道路应多宽？解：设道路为x m宽．由题意,得(32－2x)(20－x)＝570.整理,得x2－36x＋35＝0,解得x1＝1,x2＝35.经检验,x＝35＞20,不合题意,故舍去．即道路为1 m宽．4．某服装店销售一种服装,每件进货价为40元,当以每件80元销售的时候,每天可以售出50件,为了增加利润,减少库存,服装店准备适当降价．据测算,该服装每降价1元,每天可多售出2件．如果要使每天销售该服装获利2052元,每件应降价多少元？解：设每件服装应降价x元．依题意,得(80－40－x)(50＋2x)＝2052,解得x1＝2,x2＝13.为了减少库存,取x＝13.故每件应降价13元．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】为进一步促进义务教育均衡发展,某市加大了基础教育经费的投入,已知2015年该市投入基础教育经费5000万元,2017年投入基础教育经费7200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算,该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台,调配给农村学校,若购买一台电脑需3500元,购买一台实物投影仪需2000元,则最多可购买电脑多少台？【互动探索】确定题中等量关系→建立方程模型→解方程解决问题．【解答】(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.根据题意,得5000(1＋x)2＝7200,解得x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2(舍去)．故该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.(2)2018年投入基础教育经费为7200×(1＋20%)＝8640(万元)．设购买电脑m台,则购买实物投影仪(1500－m)台．根据题意,得3500m＋2000(1500－m)≤86 400 000×5%,解得m≤880.故2018年最多可购买电脑880台．【互动总结】(学生总结,老师点评)求(2)问时,先根据题意求出2018年投入的基础教育经费,在此基础上根据题中的数量关系,列出不等式求解．环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)列一元二次方程解应用题的一般步骤：1．审：审题,明确已知量、未知量及题中的等量关系；2．设：设未知数,有直接设和间接设两种设法,因题而异；3．列：用含所设未知数的代数式表示等量关系中其他未知量,列出方程；4．解：求出所列方程的解；5．验：检验方程的解是否正确,是否符合题意；6．答：写出答案．请完成本课时对应练习！第2课时一元二次方程与生活实践及探索性问题一、基本目标1．利用一元二次方程的知识解决实际问题,将实际问题转化为数学模型,并探究相关问题．2．在解决实际问题的过程中增强学数学、用数学的意识,获得更多运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验,提高探究学习的能力．二、重难点目标【教学重点】根据实际问题建立数学模型．【教学难点】探究并解决实际问题．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P40～P41的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．裕丰商店一月份的利润为50万元,二、三月份的利润平均增长率为m,则这个商店第一季度的总利润是__50＋50(1＋m)＋50(1＋m)2___万元．2．如果用长20米的铁丝围成一个面积为24平方米的长方形,那么长方形的长是__6__米,宽是__4__米．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】某市曾爆发登革热疫情,登革热是一种传染性病毒,在病毒传播中,若1人患病,则经过两轮传染就共有144人患病．(1)每轮传染中平均一人传染了几人？(2)若病毒得不到有效控制,按照这样的传染速度,三轮传染后,患病的人数共有多少人？【互动探索】(引发学生思考)若1人患病,经过一轮传染后患病的有几人？经过两轮传染后,题中的等量关系如何？三轮传染后,患病的人数共有多少人？【解答】(1)设每轮传染中平均一人传染了x人．由题意,得1＋x＋x(x＋1)＝144,解得x＝11或x＝－13(舍去)．故每轮传染中平均一人传染了11人．(2)由(1)可得,144＋144×11＝1728(人)．即三轮传染后,患病的人数共有1728人．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题的关键是求出每轮传染中平均每人传染了多少人．活动2巩固练习(学生独学)1．三个连续偶数,其中两个数的平方和等于第三个数的平方,则这三个数是(D) A．－2,0,2或6,8,10B．－2,0,2或－10,－8,－6C．6,8,10或－10,－8,－6D．－2,0,2或－10,－8,－6或6,8,102．如图,在长和宽分别为6,4的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,正方形的边长为__3__.【教师点拨】设正方形的边长为x,根据剪去部分的面积等于剩余部分的面积建立方程,求解即可．3．甲型H1N1流感传染能力很强．若有一人患这种流感,经过两轮传染后共有64人患流感,则每轮传染中平均一人传染了__7__人,若不加以控制,以这样的速度传播下去,经过三轮传播,将共有__512__人患流感．4．据大数据统计显示,某省2015年公民出境旅游人数约100万人次,2016年与2017年两年公民出境旅游总人数约264万人次．若这两年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题：(1)求这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率；(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2018年该省公民出境旅游人数约多少万人次？解：(1)设这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率为x.根据题意,得100(1＋x)＋100(1＋x)2＝264,解得x1＝0.2,x2＝－3.2 (舍去)．故这两年公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%.(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率,则2018该省公民出境旅游人数为100×(1＋20%)3＝172.8(万人次)．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图所示,在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝5 cm,BC＝7 cm,点P从点A开始沿AB 边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积为4 cm2?(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5 cm?(3)在(1)中△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．【互动探索】P、Q分别从A、B同时出发,经过一段时间后,AP、PB、BQ的长分别是多少？△PBQ的面积计算公式是什么？怎样求PQ的长？△PBQ的面积能否等于7 cm2?【解答】(1)设x s后,△BPQ的面积为4 cm2,此时AP＝x cm,BP＝(5－x) cm,BQ＝2x cm.由12BP ×BQ ＝4,得12(5－x )×2x ＝4. 整理,得x 2－5x ＋4＝0,解得x ＝1或x ＝4.当x ＝4时,2x ＝8＞7,说明此时点Q 越过点C ,不合要求,舍去．故1 s 后,△BPQ 的面积为4 cm 2.(2)在Rt △ABC 中,∠B ＝90°,则BP 2＋BQ 2＝52,即(5－x )2＋(2x )2＝52,解得x ＝0(舍去)或x ＝2.故2 s 后,PQ 的长度等于5 cm.(3)不能．理由如下：假设△PBQ 的面积能等于7 cm 2,则12(5－x )×2x ＝7. 整理,得x 2－5x ＋7＝0,此时b 2－4ac ＝－3＜0,即该方程没有实数根,所以△BPQ 的面积不能等于7 cm 2.【互动总结】(学生总结,老师点评)此题主要考查了一元二次方程的应用,找到关键描述语“△PBQ 的面积等于4 cm 2”“PQ 的长度等于5 cm ”,得出等量关系是解决问题的关键．环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)在日常生活和社会实践中,许多问题都可以通过建立一元二次方程模型进行求解,然后回到实际问题中进行解释和检验,从而体会数学建模的思想方法．生活中的常见问题⎩⎪⎨⎪⎧ 面(体)积问题变化率问题利息问题利润问题请完成本课时对应练习！。
华师版数学九年级上册 22.3实践与探索
问题3：一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b， 则这个两位数是 10a + b .
问题4：一个三位数，百位 x，十位 y，个位 z，表 示为 100x + 10y + z .
华师版数学九年级上册
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第 1 课时 利用一元二次方程解决图形、数字问题
观察与思考
问题1 解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 问题2 解方程：
(80－2x)(60－2x)＝1500
(80－2x)(60－2x)＝1500 解：(1) 先把方程化为一元二次方程的一般形式
2.地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一 方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同， 求捐款的增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位 能收到多少捐款？
解：(1)设捐款增长率为 x，则依题意列方程 10 000(1＋x)2＝12 100，解方程，得 x1＝－2.1(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10％． 答：捐款的增长率为 10％； (2)12 100×(1＋10％)＝13 310(元)． 答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收 到捐款 13 310元．
典例精析
例 两个连续奇数的积为 63，求这两个数.
解：设两个奇数为 x 和 x + 2， x(x + 2) = 63
九年级数学上册第22章一元二次方程22.3实践与探索22.3.2实践与探索导学案华东师大版(202
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22.3。
2 实践与探索【学习目标】1.能根据实际问题，体会方程刻画现实世界的模型作用.2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理3.通过自主探究,独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程。
【学习重难点】建立数学模型，找等量关系，列方程。
【学习过程】一、课前准备通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题。
二、学习新知自主学习：自探1:自学完成课本40页问题3的两个问题通过观察第二问中表格的数据探索在你观察到的变化中，你感到折叠而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况?先在上面的表格中记录下你得到的数据,再以剪去的正方形的连长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致.自探2：自学完成课本40页问题4分析:番一番，即为原产值的2倍,若设原产值为1个单位,那么两年后的产值就是2个单位归纳：○1在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决错误!.对于比较复杂的问题,可以通过设间接未知数的方法来列方程.实例分析：例3、小明把一张长为10厘米的正方形纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，在折合成一个无盖的长方体盒子.如图例4、某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少?若调整计划，两年后的产值为原产值的1。
汾阳市第六中学九年级数学上册 第22章 一元二次方程22.3 实践与探第2课时 建立一元二次方程解决
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
,各対应比边相等
A
B
AB AC BC
D
新课导入
它们是相似三角形吗 ？为什么 ？
A
5 82° 3
B 47°
66
C 10
A′
82°
6
在相似多边形中,最简单的就是相似三角形 在△ABC和△A´B´C´中,如果
∠A=∠A´, ∠B=∠B´, ∠C=∠C´,
我们就说△ABC与△A´B´C´相似,
第22章 一元二次方程
22．3 实践与探索
第2课时 建立一元二次方程解决增长率、销售利润问题
知识点❶ : 增长(降低)率问题
1．(2019·遵义)新能源汽车节能、环保 , 越来越受消费者喜爱 , 各种品
牌相继投放市场 , 我国新能源汽车近几年销量全球第一 , 2016年销量为
50.7万辆 , 销量逐年增加 , 到2018年销量为125.6万辆．设年平均增长率
10．(乌鲁木齐中考)宾馆有 50 间房供游客居住，当每间房每天定价为 180 元 时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房．如果 有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 20 元的费用．当房价定为多少元
时，宾馆当天的利润为 10890 元？设房价定为 x 元．则有( B )
解：(1)由题意可得 40n＝12，解得 n＝0.3 (2)由题意可得，40＋40(1＋m)＋40(1＋m)2＝190，解得 m1＝12 ，m2
＝－72 (舍去)，∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为 40(1＋m)＝40(1＋ 50%)＝60(家)
(3)设第一年用乙方案治理降低了 100n＝100×0.3＝30，则(30－a)＋ 2a＝39.5，解得 a＝9.5，则 Q＝20.5
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
通过本章的学习，学生能理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.理解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
2.利用数形结合法，帮助学生理解一元二次方程的性质。
3.运用实例讲解法，让学生感受一元二次方程的应用。
4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生学习一元二次方程。
2.准备一元二次方程的例题，用于讲解一元二次方程的解法。
3.准备一元二次方程的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过呈现一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
例如，某商品打8折后售价为120元，求原价。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义和性质，让学生了解一元二次方程的概念。
同时，通过例子讲解一元二次方程的解法，让学生掌握解一元二次方程的方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 22.3.1 实践与探索导学案 (新版)华东师大版
22.3.1 实践与探索【学习目标】1、使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.2、通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活,通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力,经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤3、通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
【学习重难点】建立数学模型，找等量关系，列方程.【学习过程】一、课前准备1、列方程解应用题的步骤是什么？2、解方程的方法有几种？通常如何进行选择？3、请同学们总结列一元二次方程解应用题的步骤。
二、学习新知自主学习：问题1、学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2，问道路的宽为多少m？分析1：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图22.3.1，不难发现小道的占地面积与位置无关，设小道宽为x m，则两条小道的面积分别为32xm2和20 xm2，其中重叠部分小正方形的面积为x2 m2，根据题意，得32×20-32x-20x+x2=540分析2：如果设想把小道平移到两边，如图22.3.2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？在应用一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答。
探究课本39页问题2分析：若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零售价为原来的（1-x）倍，即56（1-x）元，第二次降价后的零售价为56（1-x）的（1-x）倍。
根据题意，得方程56（1-x）2=31.5 归纳：通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？归纳：以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．实例分析：例1、学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2，问道路的宽为多少m？解：例2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.解：【随堂练习】1、一个长方体的长与宽的比为5：2，高为5厘米，表面积为40平方厘米。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 面积问题》公开课教案_2
新授课课时教案模版（初中）课题22.3.2实践与探索图形面积问题教师学科数学课时2课时课型新授课学生9.1 时间课节第3节内容选择第22章一元二次方程实践与探索第二课时图形面积问题课标要求能根据具体问题中的数量关系列出方程，感受和经历在实际问题中抽象出数学模型学情分析学生们已经学习了用一元一次方程，二元一次方程（组）、分式方程解决实际问题，对列方程解决实际问题是有学习基础的，但实践与探索是本章的难点，教学中要引导学生审题、分析题意，抓住等量关系，列出方程、求得方程的根、检验解的合理性及准确作答。
教学目标知识与技能：掌握应用面积法建立一元二次方程的模型并能运用它解决实际问题.过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程进行描述．情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．重点运用图形的平移建立一元二次方程数学模型并解决实际问题难点根据面积之间的等量关系建立一元二次方程数学模型教学过程复习导入由学生设计的培元学校空地修路导入如图1，培元学校要在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？分析:解法1 此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为______．纵向的路面面积为_____．解法2 利用“图形平行移动”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）如图3，设路宽为x米，耕地矩形的长(横向)为______．耕地矩形的宽(纵向)为______．学生活动：学生分小组动手操作、讨论、探索、交流和汇报解决实际问题的思路与方法，经历知识的形成过程.培养学生观察、分析、合情推理的能力.激发学生自主探究的兴趣.教学过程新知呈现如图1，培元学校要在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修建同样宽的一横两纵（如图2）所示的道路，余下部分作为绿化区，要使绿化面积为 504米2，道路的宽应为多少？分析：这类问题的特点是修建小路所占的面积只与小路的条数、宽度有关，而与位置无关．为了研究问题方便，可分别把纵横修建的小路移到一起（最好靠一边）．解：设道路的宽为x米，则草坪长（32－2x）米，宽（20－x）米（32－2x）（20－x）=504解这个方程，得x1=2，x2=34∵30－2 x >0 20－x >0∴x =34不合题意，舍去x =2答：道路的宽为2米．变式训练：上题中改变方式修小路，设小路的宽为x，请用含x的代数式表示草坪面积，并指出x的取值范围．变式一变式二变式一：长为（40－2x)米宽为(26－2x)米变式二：长为（40－x)米宽为(26－x)米面积：（40－2 x) (26－2 x)平方米面积：（40－x) (26－x)平方米x的取值范围0＜x＜13 x的取值范围0＜x＜26 归纳：解答这类问题，并没有用到什么复杂的数学知识，只是运用化归思想，把几条小路归在一起，草坪归在一起，这种做法给综合分析问题、解决问题带来很大方便．学生探究学生通过类比、平移操作、小组互助去构建知识体系，体验获取知识的过程，突破重难点.感受获得知识的喜悦.教学新知小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，准备在该空地上建造一个花园（阴影部分），使花园面积为原矩形空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案，帮小明求出图中的各个x值．图1 图2巩固分析：等量关系（1）花园面积=矩形面积的一半（2）空白地方=矩形面积的一半解：（1）x1=2，x2=12（舍）（2）x1=1，x2=6（舍）（3）x1=2，x2=12（舍）（4）x1=2，x2=12（舍）小结：1．解面积问题的应用题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，再根据几何图形的面积以及它们之间的数量关系来列方程，因此画出符合题意的图形，有助于解题．2．要仔细审题，理解题意中的已知条件，并结合实际，正确决定一元二次方程两个根的取舍问题．．课堂小结(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)说一说本节课你还有哪些疑惑.当堂检测如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面四周修建同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为A.0.5米B．1米C．1.5米D．2米学生作业基础作业选择题1．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是() A．x(x－60)＝1600 B．x(x＋60)＝1600C．60(x＋60)＝1600 D．60(x－60)＝16002．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是() A．100 m2B．64 m2C．121 m2D．144填空题3．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为4.一块长28 cm、宽20 cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180 cm2，求截去的小正方形的边长.解答题5.矩形ABCD是由三个矩形拼接而成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为过程教学准备教师准备多媒体、三角板学生准备教材练习本笔板书设计22.3.2一元二次方程的应用——面积问题学生板书教后反思本节课的教学设计立足于学生：提出问题，请同学们设计出培元学校矩形空地的绿化与小路方案。
九年级数学上册第22章实践与探索3用一元二次方程解一般应用问题说课稿新版华东师大版
九年级数学上册新版华东师大版:用一元二次方程解一般应用说课稿今天我说课的内容是华师版初中数学九年级上册第22.3节《用一元二次方程解一般应用》的第3课时实践与探索。
它是继几何问题、营销问题这几个基本问题的学习后的探索活动课，对于本节课我将从教材分析与学生现实分析、教学目标分析，教法的确定与学法指导，教学过程这四个方面加以阐述。
（一）教材分析与学生现实分析一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。
本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其他学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。
这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。
本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。
对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，这就构成了本节课的难点。
数学新课程标准要求：人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点，确定了如下教学目标的:1、知识与技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
以一元二次方程解决实际问题为载体，加强学生对数学建模的基本方法的掌握。
2、过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
重庆市九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索(二)教案 (新版)华东师大版
实践与探索课题名称实践与探索（二）三维目标1、使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型。
2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
3、通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神。
重点目标列一元二次方程解决实际问题难点目标寻找实际问题中的相等关系导入示标学会将实际问题转化为数学模型目标三导学做思一：1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的27，求这个两位数。
（这个两位数是63）2、如图，一个院子长10cm，宽8cm，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度。
（花圃的宽度为1m）学做思二：阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？达标检测1、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。
平均每次降价百分之几？反思总结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验课后练习。
九年级数学上册《平行线分线段成比例》教案、教学设计
2.注重培养学生的几何直观，通过具体实例让学生感受平行线分线段成比例的性质。
3.针对学生个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.加强师生互动，关注学生的心理需求，营造轻松、愉快的学习氛围。
三、教学重难点和教学设想
随后，教师引入平行线分线段成比例的概念，并让学生尝试用自己的语言描述这一概念。通过这种方式，激发学生的好奇心，使他们产生学习的兴趣。
（二）讲授新知
在导入新课的基础上，教师开始讲授平行线分线段成比例的性质。首先，通过几何画板演示平行线分线段成比例的动态过程，让学生直观地感受这一性质。接着，教师引导学生运用几何语言，对这一性质进行严谨的证明。
3.教学评价：
-采用形成性评价，关注学生在学习过程中的表现，如课堂参与度、小组合作、问题解决能力等。
-适时进行总结性评价，通过测试、作业等方式，了解学生对平行线分线段成比例知识的掌握程度。
-鼓励学生进行自我评价和同伴评价，培养他们的反思能力和批判性思维。
4.教学拓展：
-引导学生探索平行线分线段成比例在生活中的应用，如摄影、设计等领域。
在讲授过程中，教师注重讲解与示范相结合，让学生掌握以下知识点：
1.平行线分线段成比例的定义和性质。
2.如何运用比例关系解决几何问题。
3.证明平行线分线段成比例的方法和步骤。
（三）学生小组讨论
讲授新知后，教师组织学生进行小组讨论。每个小组围绕以下问题展开讨论：
1.平行线分线段成比例的性质在现实生活中有哪些应用？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，遇到问题可先尝试自行解决，实在解决不了的可请教同学或老师。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 面积问题》公开课教案_0
教学目标：1.知识与技能目标（1）经历把实际问题中的等量关系抽象为一元二次方程的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的有效的数学模型。
（2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程.2.过程与方法目标通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。
3.情感态度与价值观目标通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.教学重点列一元二次方程解决实际问题.教学难点：发现问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题.教学方法讲授法、自学释疑法、分组讨论法教学过程：一、复习回顾，引入新知提问:列方程解应用题的基本步骤是什么？①审（审题）；②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）；③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）；④列（列方程）；⑤解（解方程）；⑥检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）⑦.答（写出答案）二、探索新知问题1. 学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？方法一：如图，由题意得，32×20-32x-20x+x2=540解之得x1=50,x2=2由题意可得x＜20,∴x=2答：小道的宽应2米。
方法二：如图，采用平移的方法更简便.由题意可得：（20-x ）（32-x ）=540解得x 1=50,x 2=2由题意可得x ＜20,∴x=2【教学说明】引导学生学会一题多解,同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.例2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？分析：这类销售问题，涉及的数量关系比较多，我们可以通过列表的方式来分析其中的数量关系．（40－x ）（20＋2x ）＝1200．整理得：x2－30x ＋200＝0．解得，x1＝10，x2＝20．答：每件衬衫应降价10元或20元．三、拓展训练1．现有长方体塑料片一块，19cm,宽15cm,给你锋利小刀一把，粘胶、直尺、你能做一个底面积为77cm2的无盖的长方体水槽吗？说说你是怎样做的？2．某超市在销售中发现，某品牌牛奶平均每天可售出20箱，每箱获利20元，为尽快减少库存，超市决定采取降价措施，经调查发现，每箱牛奶每降价2元，那么平均每天可多售出8箱，要想平均每天在销售这种牛奶上获利600元，那么每箱牛奶应降价多少元？四、师生互动，课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.3.商品销售中的等量关系单件利润=售价-进价；总利润=（售价-进价）*数量4.谈谈你对本节所探讨的知识有何体会，你能否结合你的体会编制一道应用题，在小组内交流。
九年级数学上册第22章《一元二次方程》(第9课时)实践与探索导学案新华东师大版
九年级数学上册第22章《一元二次方程》（第9课时）实践与探索导学案新华东师大版一、学习目标1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2.会运用方程模型解决面积问题、经济问题，并能求出最值。
二、学习重点重点：一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题；难点：会用含未知数的代数式表示等量关系，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。
三、自主预习请同学们自学教材,完成下列问题：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）这两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。
四、合作探究某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？五、巩固反馈1.有一个长是宽3倍的矩形铁皮，四周各截去一个完全相同的正方形，做成高是6cm,容积是300cm3的长方体容器，设矩形的宽为xcm,则长为cm,长方体的底面长为cm,宽为cm，则可列方程为。
2.一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？3.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？4.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？。
2020九年级数学上册 第22章 22.2.3 一元二次方程的解法(三)教案 (新版)
3、 ；4、
例2、解方程
达标检测书上练习源自反思总结1.知识建构2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦， 能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
学做思二：
问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程 转化为 呢？
问题2：当 ，且 时， 大于等于零吗？
问题3：在研究问题1和问题2中，你能得 出什么结论？
学做思三：
例 1、解下列方程：
一元二 次方程的解法
课题名称
一元二 次方程的解法（三）
三维目标
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式 中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
重点目标
掌握一元二次方程的求 根公式，并应用它熟练地解一元二次方程
难点目标
对文 字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根 公式常出符号错误
导入示标
1、熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、经历探索求根公式的过程，培养抽象思维能力。
目标三导
学做思一：
1、用配方法解下列方程：
（1） (2)
2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索(一)教案 (新版)华东师大版
实践与探索课题名称实践与探索（一）三维目标1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。
3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
重点目标利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题难点目标学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案导入示标能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题目标三导学做思一：小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？ （长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？ （长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。
4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。
（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为381181cm ⨯=）5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。
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九年级数学上册第22章一元二次方程22.3实践与探索2
平行线分线段成比例教案新版华东师大版12
1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；（重点）
2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）
一、情景导入
梯子是我们生活中常见的工具.
如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？
二、合作探究
探究点一：平行线分线段成比例
如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交
这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.
解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72
，EF ＝4， ∴根据平行线分线段成比例可得AB BC ＝DE
EF
， 即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72
×3＝247. 方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.
如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）
A.AD DF ＝CE BC
B.AD BE ＝BC AF
C.CE DF ＝AD BC
D.AF DF ＝BE CE
解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝
BC CE ，故A 选项不成立；由AD BC ＝AF BE 可知B 选项不成立；由CE DF ＝BC AD
可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D. 方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点
位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全
”.
探究点二：平行线分线段成比例的推论
如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）
A.3
B.4
C.6
D.8
解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC ，即34＝6AC
，∴AC ＝8.故选D. 易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.
如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和
BC 的延长线相交于P ，求证：BP CP ＝BD CE
. 解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BD
DF
，此时只需证得CE ＝DF 即可.
证明：如图，过点C作CF∥PD交AB于点F，则BP
CP
＝
BD
DF
，
AD
DF
＝
AE
CE
.
∵AD＝AE，∴DF＝CE，∴
BP
CP
＝
BD
CE
.
方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.
三、板书设计
平行线
分线段
成比例⎩⎪
⎨
⎪⎧基本事实：两条直线被一组平行线所截，
所得的对应线段成比例
推论：平行于三角形一边的直线与其他
两边相交，截得的对应线段成比例
通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了
解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.。