2016届 数学一轮(理科) 人教A版 课时作业 第九章 平面解析几何-5
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (2)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.11 圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题例1 已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．(1)解 圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4.设动圆M 的半径为r 2，依题意有r 2＝|MB |.由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3.所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－41＋4k 2， 于是k PN ＋k QN ＝kx 1＋b x 1－4＋kx 2＋b x 2－4＝2kx 1x 2－4k －bx 1＋x 2－8b x 1－4x 2－4， 由∠ONP ＝∠ONQ 知k PN ＋k QN ＝0.即2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b ＝2k ·4b 2－41＋4k 2－(4k －b )－8kb 1＋4k 2－8b ＝8kb 2－8k 1＋4k 2＋32k 2b －8kb 21＋4k 2－8b ＝0， 得b ＝－k ，Δ＝16(3k 2＋1)>0.故动直线l 的方程为y ＝kx －k ，过定点(1,0)．教师备选在平面直角坐标系中，已知动点M (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点N (4,4)作斜率为k 1，k 2的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且1k 1＋1k 2＝1.证明：直线AB 恒过定点．(1)解 由题意可知x 2＋y －12＝y ＋1，化简可得曲线C ：x 2＝4y .(2)证明 由题意可知，N (4,4)是曲线C ：x 2＝4y 上的点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则l NA ：y ＝k 1(x －4)＋4，l NB ：y ＝k 2(x －4)＋4，联立直线NA 的方程与抛物线C 的方程，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －4＋4，x 2＝4y⇒x 2－4k 1x ＋16(k 1－1)＝0，解得x 1＝4(k 1－1)，①同理可得x 2＝4(k 2－1)，②而l AB ：y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，③又1k 1＋1k 2＝1，④ 由①②③④整理可得l AB ：y ＝(k 1＋k 2－2)x －4，故直线AB 恒过定点(0，－4)．思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．跟踪训练1 (2022·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线x ＝12上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点N .(1)解 椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12，即3a 2＋14b2＝1， 又2c ＝23，得a 2＝b 2＋3，所以a 2＝4，b 2＝1，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，设AB 的中点M 为(x 0，y 0)，得x 0＝－4km 1＋4k 2＝12， 即1＋4k 2＝－8km ，所以y 0＝kx 0＋m ＝12k －1＋4k 28k ＝－18k. 所以AB 的中垂线方程为y ＋18k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －38， 故AB 的中垂线恒过点N ⎝⎛⎭⎫38，0.题型二 定值问题例2 (2022·江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的动点M 到直线x ＝－1的距离比到抛物线E 的焦点F 的距离大12. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点Q 是直线x ＝－1(y ≠0)上的任意一点，过点P (1,0)的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，记直线AQ ，BQ ，PQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，k PQ ，证明：k AQ ＋k BQ k PQ为定值． (1)解 由题意可知抛物线E 的准线方程为x ＝－12， 所以－p 2＝－12，即p ＝1， 故抛物线E 的标准方程为y 2＝2x .(2)证明 设Q (－1，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的斜率显然不为0，故可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2＝0.Δ＝4t 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2，k PQ ＝－y 02. 又k AQ ＋k BQ ＝y 1－y 0x 1＋1＋y 2－y 0x 2＋1 ＝y 1－y 0x 2＋1＋y 2－y 0x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝y 1－y 0ty 2＋2＋y 2－y 0ty 1＋2ty 1＋2ty 2＋2＝2ty 1y 2＋2－ty 0y 1＋y 2－4y 0t 2y 1y 2＋2t y 1＋y 2＋4 ＝2t ·－2＋2－ty 0·2t －4y 0t 2·－2＋2t ·2t ＋4＝－y 0t 2＋2t 2＋2＝－y 0. 所以k AQ ＋k BQ k PQ ＝－y 0－y 02＝2(定值)． 教师备选(2022·邯郸模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝2，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)MA →＝λF 1A —→，MB →＝μF 1B —→，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解 (1)因为△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，解得a ＝2，由|F 1F 2|＝2，得2a 2－b 2＝24－b 2＝2，所以b 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.设M (0，k )，又F 1(－1,0)，所以MA →＝(x 1，y 1－k )，F 1A —→＝(x 1＋1，y 1)，则λ＝x 1x 1＋1. 同理可得MB →＝(x 2，y 2－k )，F 1B —→＝(x 2＋1，y 2)，则μ＝x 2x 2＋1. 所以λ＋μ＝x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝x 1x 2＋1＋x 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝8k 2－24－8k 24k 2－12－8k 2＋3＋4k 2＝－24－9＝83， 所以λ＋μ为定值83. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k >0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值．(1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 为椭圆C 上的点， 所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＝－y 1＋y 2y 1－y 23， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 24y 1＋y 2＝－3x 04y 0. 又k ＝y 0x 0， 故k 1k ＝－34，为定值． 课时精练1．(2022·运城模拟)已知P (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．(1)解 将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0⇒16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k P A ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 同理k PB ＝4y 2＋2，由题意知4y 1＋2＋4y 2＋2＝2， 即4(y 1＋y 2＋4)＝2(y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4)，解得y 1y 2＝4，故－4t ＝4，即t ＝－1，故直线AB ：x ＝my －1恒过定点(－1,0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a ＋c ＝5，解得a ＝3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①若直线MN 与x 轴垂直，由对称性可知|x 1|＝|y 1|，将点M (x 1，y 1)代入椭圆方程，解得|x 1|＝37014， 原点到该直线的距离d ＝37014； ②若直线MN 不与x 轴垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 25＝1，消去y 得(9k 2＋5)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝9m 2－459k 2＋5，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋5，由题意知，OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 得(k 2＋1)9m 2－459k 2＋5＋km ⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋5＋m 2＝0， 整理得45k 2＋45＝14m 2，则原点到该直线的距离d ＝|m |k 2＋1＝4514＝37014， 故存在定点P (0,0)，使得P 到直线MN 的距离为定值．3．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点F (c ,0)到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ，求证：|AB ||FD |为定值．(1)解 设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ>0)，由题意知c ＝2，所以λ3＋λ＝4⇒λ＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)代入x 2－y 23＝1， 整理得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，Δ＝36(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4k 23－k 2，x 1x 2＝－4k 2－33－k 2， 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6k 2＋1|3－k 2|， 设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 23－k 2， 代入l 得y 0＝－6k 3－k 2， AB 的垂直平分线方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 23－k 2－6k 3－k 2，令y ＝0得x D ＝－8k 23－k 2， 即|FD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23－k 2－2＝61＋k 2|3－k 2|， 所以|AB ||FD |＝1为定值． 当k ＝0时，|AB |＝2，|FD |＝2，|AB ||FD |＝1， 综上所述，|AB ||FD |为定值．4．(2022·河南九师联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ，0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x ＝ny －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny －1，x 24＋y 23＝1， 得(3n 2＋4)y 2－6ny －9＝0，所以Δ＝(－6n )2＋36(3n 2＋4)>0，所以y 1＋y 2＝6n 3n 2＋4，y 1y 2＝－93n 2＋4， 又x 1x 2＝(ny 1－1)(ny 2－1)＝n 2y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋1＝－9n 23n 2＋4－6n 23n 2＋4＋1 ＝－12n 2－43n 2＋4， x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)－2＝6n 23n 2＋4－2 ＝－83n 2＋4. 直线ME ，MD 的斜率分别为k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m ， 所以k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－m x 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－93n 2＋4－12n 2－43n 2＋4－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83n 2＋4＋m 2 ＝－9－12n 2＋4＋8m ＋3m 2n 2＋4m 2＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12， 要使直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值，3m 2－12＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，存在点M (2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－936＝－14， 当m ＝－2时，存在点M (－2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－94， 综上，在x 轴上存在点M ，使得ME ，MD 的斜率之积恒为定值，当点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14， 当点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.。
2016届数学一轮(文科)人教A版课时作业第九章平面解析几何阶段回扣练9含答案
阶段回扣练9 平面解析几何(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2015·北京西城区模拟)直线y ＝2x 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是( )A. 3B.32 C. 5D.52解析 由题意知b a ＝2，得b ＝2a ，c ＝5a ，所以e ＝ca ＝5，故选C. 答案 C2．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝13B ．(x ＋2)2＋y 2＝17C ．(x ＋1)2＋y 2＝40D ．(x －1)2＋y 2＝20解析 设圆心坐标为C (a,0)，则|AC |＝|BC |，即(a －5)2＋22＝(a ＋1)2＋42，解得a ＝1，所以半径r ＝(1＋1)2＋42＝20＝25，所以圆C 的方程是(x －1)2＋y 2＝20. 答案 D3．(2014·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )·x ＋y －3＝0表示的曲线是 ( )A ．一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线 C ．一个圆D.一条直线解析 依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0，故选D. 答案 D4．(2014·东北三省四市联考)以椭圆x 28＋y 25＝1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的离心率为( )A.22613B.263 C.83D.138解析 由题意知双曲线的a ＝3，c ＝22，所以e ＝c a ＝223＝263.答案 B5．(2015·福州质量检测)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为 ( )A ．－1 B.0 C ．1D.10解析 依题意，圆心C (3,3)到直线x －y ＋2＝0的距离等于|3－3＋2|2＝2，cos∠ACB 2＝22，∠ACB 2＝45°，∠ACB ＝90°，CA →·CB →＝0，故选B.答案 B6．(2014·成都诊断)已知实数1，m,4构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.22B.3C.22或 3D.12或3解析 由已知得m ＝±2.当m ＝2时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝2，b ＝1，c ＝1，e ＝22；当m ＝－2时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝2，c ＝3，e ＝3，故选C.答案 C7．若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为() A．1 B.2C．4 D.8解析依题意得1a＋1b＝1，a＋b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫ab＋ba≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，因此a＋b的最小值是4，即该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值是4，故选C.答案 C8．(2015·长沙模拟)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝2，右焦点F(c,0)．方程ax2－bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝8的位置关系是() A．点P在圆外 B.点P在圆上C．点P在圆内 D.不确定解析依题意得a＝b，c＝2a，x1＋x2＝ba＝1，x1x2＝－ca＝－2，x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋22＜8，因此点P位于圆x2＋y2＝8内，故选C. 答案 C9．(2014·海口调研)已知点F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，且|PF2|＝2|PF1|，若△PF1F2为等腰三角形，则双曲线的离心率为() A．3 B.2C．2 D.3 2解析依题意得|PF2|－|PF1|＝2a，又|PF2|＝2|PF1|，所以|PF2|＝4a，|PF1|＝2a.又△PF1F2为等腰三角形，所以|PF2|＝|F1F2|，即4a＝2c，所以双曲线的离心率为e＝ca＝2，故选C.答案 C10．(2014·西安模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为 ( ) A ．－2 B.－8116 C ．1D.0解析 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2，选A. 答案 A 二、填空题11．(2014·成都诊断)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 解析 依题意得a a －3＝－12，解得a ＝1. 答案 112．(2015·济南模拟)已知直线3x －4y ＋a ＝0与圆x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0相切，则实数a 的值为________．解析 圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，由直线3x －4y ＋a ＝0与圆(x －2)2＋(y －1)2＝4相切得圆心(2,1)到直线的距离d 等于半径，所以d ＝|6－4＋a |5＝2，解得a ＝－12或8. 答案 －12或813．(2015·云南统一检测)已知双曲线S 与椭圆x 29＋y 234＝1的焦点相同，如果 y ＝34x 是双曲线S 的一条渐近线，那么双曲线S 的方程为________．解析 由题意可得双曲线S 的焦点坐标是(0，±5)．又y ＝34x 是双曲线S 的一条渐近线，所以c ＝5，a b ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线S 的标准方程为y 29－x 216＝1. 答案 y 29－x 216＝114．(2015·湖北七市(州)联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的左支没有公共点，则此双曲线离心率的取值范围是________．解析 依题意，0＜b a ≤tan 45°＝1，所以双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈(1，2]． 答案 (1，2]15．(2014·山东卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________． 解析 c 2＝a 2＋b 2.①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知， 双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p 24b 2＝1.②由|F A |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③由①③得p 2＝4b 2.④ 将④代入②，得c 2a 2＝2. ∴a 2＋b 2a 2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 答案 x ±y ＝0 三、解答题16．(2014·东北三省四市联考)圆M 和圆P ：x 2＋y 2－22x －10＝0相内切，且过定点Q (－2，0)．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；(2)斜率为3的直线l 与动圆圆心M 的轨迹交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，求直线l 的方程．解 (1)由已知|MP |＝23－|MQ |， 即|MP |＋|MQ |＝23， 且23大于|PQ |，所以M 的轨迹是以(－2，0)，(2，0)为焦点，23为长轴长的椭圆，即其方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝3x ＋m ，代入椭圆方程得10x 2＋63mx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－335m ，则AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310 3m ，110m ，AB 的垂直平分线方程为 y －110m ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋310 3m ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12代入得m ＝52， 所以直线l 的方程为y ＝3x ＋52.17．(2014·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |. (1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得， |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0， 而a ＋k ＞0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2， 可得F 1A ⊥F 2A ，△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.18．已知椭圆C ：x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距离为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋3与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解(1)设椭圆的焦半距为c ，则由题设，得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1，故所求椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O . 理由如下：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l 的方程y ＝kx ＋3代入y 24＋x 2＝1， 并整理，得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.(*) 则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4.因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ， 所以OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3，于是－1＋k 2k 2＋4－6k 2k 2＋4＋3＝0，解得k ＝±112，经检验知：此时(*)式的Δ＞0，符合题意．所以当k ＝±112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O .19.(2014·浙江卷)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF→＝3FM →.(1)若|PF→|＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．解 (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或 P (－22，2)．由PF →＝3FM →，分别得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0. 于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )． 由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)， 所以⎩⎨⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m . 由x 20＝4y 0，得k 2＝－15m ＋415. 由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43. 又因为|AB |＝41＋k 2·k 2＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k2. 所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＜m ≤43. 令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0， 解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243， 此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.。
高考数学总复习(人教A版,理科)配套课件第九章 平面解析几何 9.2
R A（理）
§9.2 两直线的位置关系
第九章 平面解析几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1、 l2， 其斜率分别为 k1、 k2， 则有 l1∥ l2 ⇔ k1＝k2 .特别地，当直线 l1、 l2 的斜率都不存在时， l1 与 l2
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.三种距离公式 (1)点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)间的距离： 2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 |AB|＝ . (2)点 P(x0， y0)到直线 l： Ax＋By＋ C＝0 的距离： d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
①
②
由①②联立，解得 a＝2，b＝2.
(1)l1⊥ l2，且 l1 过点 (－ 3，－ 1)； (2)∵l2 的斜率存在，l1∥l2，
∴直线 l1 的斜率存在， a k1＝k2，即 ＝1－a. b
相等，且 l1∥l2，
③
又∵坐标原点到这两条直线的距离
题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
思维启迪 解析 思维升华
a，b 的值.
即 b＝0.
(1)l1⊥l2， 且 l1 过点(－3， －1)； 又∵l1 过点(－3，－1)，
4 (2)l1∥l2，且坐标原点到这两 ∴－3a＋4＝0，即 a＝3(矛盾). ∴此种情况不存在，∴k2≠0.
条直线的距离相等 .
即 k1，k2 都存在， a ∵k2＝1－a，k1＝ ，l1⊥l2， b
2 ∴a＝2，b＝－2 或 a＝ ，b＝2. 3
题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
2016届高三数学一轮阶段性测试题9《立体几何》(含解析)新人教A版
阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题①若m∥n，m⊥α，则n⊥α②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] D[解析]由线面垂直的性质知①正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，∴②正确；由m⊥α，m∥n知n⊥α，又n⊂β，∴α⊥β，∴③正确；如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD与平面ADD1A1分别为α、β，CC1为m，则m∥α，α∩β＝n，但m与n不平行，∴④错，故选D．(理)(2014·浙江台州中学期中)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] B[解析]①中可能有b⊂α；②中a⊂β，或a∥β，a与β斜交，a⊥β，都有可能；③中可能有a⊂α；若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，又b⊥β，∴α⊥β，∴④正确，故选B．2．(2014·山东省博兴二中质检)设m、n是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是()A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β[答案] B[解析] 设m 与n 相交，m 、n 都在平面γ内，γ∥α，γ∥β时，满足A 的条件，∴A 错；若m ⊥α，α⊥β，则m ⊂β或m ∥β，又n ⊥β，∴n ⊥m ，∴B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，结合n ⊂β得不出α⊥β，故C 错；当m ∥n 且满足D 的条件时，得不出α∥β，故D 错．3．(2015·河南八校联考)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．16π3B ．8π3C ．43D ．23π[答案] A [解析] 由三视图知该几何体为三棱锥，底面是等腰三角形，其底长为2，高为1，棱锥高为3，顶点在底面射影为等腰直角三角形底边的中点D ，直观图如图，BD ⊥AC ，PD ⊥平面ABC ，DA＝DB ＝DC ＝1，故球心O 在PD 上，设OP ＝R ，则(3－R)2＋12＝R2，∴R ＝233.∴S 球＝4πR2＝16π3.4．(文)(2014·吉林市摸底)下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A ．17＋65B ．34＋6 5C ．6＋65＋43D ．6＋63＋413[答案] B[解析] 由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6,2，四棱锥的高是4，其直观图如图，作PE ⊥平面ABCD ，则垂足E 为AD 的中点，PE ＝4，作EF ⊥BC ，垂足为F ，则PF ⊥BC ，∵EF ＝2，∴PF ＝25，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥PA ，PA ＝PE2＋AE2＝5，∴S ＝6×2＋12×6×4＋12×6×25＋2×(12×2×5)＝34＋65，故选B ．(理)(2015·豫南九校联考)已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．25C ．6D ．8 [答案]C [解析] 由三视图知，该几何体是四棱锥，其直观图如图，其四个侧面中面积最大的是△PBC ，由图中数据知AB ＝2，BC ＝4，PA ＝PD ＝3，∴PE ＝5，取BC 中点F ，则EF ⊥BC ，∴PF ⊥BC ，PF ＝PE2＋EF2＝3，∴S △PBC ＝12BC·PF ＝6.5．(2014·云南景洪市一中期末)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π3[答案] B[解析] 由三视图知，这是一个半径为1的球，截去14，故其体积为V ＝34·(4π3·13)＝π.6．(2015·江西三县联考)平面α与平面β平行的条件可以是( )A ．α内有无穷多条直线与β平行B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行[答案] D[解析] 当α∩β＝l 时，α内与l 平行的直线都与β平行，故A 错；当α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β时，满足B 的条件，∴B 错；当α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l 时，有a ∥β，b ∥α，∴C 错，故选D ．7．(2014·长春市一调)某几何体的三视图如图(其中俯视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为( )A ．92＋14πB ．82＋14πC ．92＋24πD ．82＋24π[答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是一个组合体，下部是长宽分别为5、4，高为4的长方体，上部为底半径为2，高为5的半圆柱，故其表面积S ＝5×4＋(5＋4)×2×4＋π·22＋12(2π×2×5)＝92＋14π，故选A ．8．(2015·许昌、平顶山、新乡调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．103B ．10C ．30D ．24＋2 5[答案] B[解析] 由三视图可知，该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，S 底＝12×(2＋3)×2＝5，棱柱高为2，V ＝5×2＝10.9．(2015·广东揭阳一中期中)下列命题中，错误的是( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线[答案] D[解析] 当直线l 在平面α内时可知D 错误．10．(文)(2015·广东执信中学期中)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为( )[答案] B[解析] 其左视图可考虑在原正方体中，将该几何体投射到平面BCC1B1上，则A 点射影为B ，D 点射影为C ，D1点射影为C1，AD1的射影为BC1，应为实线，DD1的射影CC1为实线，B1C 应为虚线(左下到右上)，故应选B ．(理)(2015·甘肃天水一中段测)在正方体ABCD －A1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是( )A ．3010B ．12C ．3015D ．1510[答案] A[解析] 以A 为原点，直线AB 、AD 、AA1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则B(1,0,0)，E1(12，0,1)，F1(12，12，1)，∴AF1→＝(12，12，1)，BE1→＝(－12，0,1)．cos 〈AF1→，BE1→〉＝AF1→·BE1→|AF1→||BE1→|＝3452×62＝3010，故选A ． 11．(2015·深圳市五校联考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A ．233B ．223C ．6D ．7[答案] A[解析] 由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V ＝V 正方体－2V 三棱锥＝2×2×2－2×(13×12×1×1×1)＝233.12．(2014·长沙市重点中学月考)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．2＋1＋52πB ．2＋1＋252πC ．2＋(1＋5)πD ．2＋2＋52π[答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是倒立的半个圆锥，圆锥的底半径为1，高为2，故其表面积为S ＝12π·12＋12×2×2＋12π·1·22＋12＝2＋1＋52π，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2015·甘肃天水一中段测)若某几何体的三视图如下，该几何体的体积为2，则俯视图中的x ＝________.[答案] 2[解析] 由三视图可知，该几何体为四棱锥，高为2，底面为直角梯形，面积S ＝12(1＋x)×2＝1＋x ，因此V ＝13Sh ＝13·(1＋x)·2＝2，解得x ＝2.14．(2014·成都七中模拟)已知正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为1，点M 是BC1的中点，P 是BB1一动点，则(AP ＋MP)2的最小值为________．[答案] 52[解析] 将平面ABB1A1展开到与平面CBB1C1共面，如下图，易知当A 、P 、M 三点共线时(AP ＋MP)2最小．AM2＝AB2＋BM2－2AB×BMcos135°＝12＋(22)2－2×1×22×(－22)＝52.15．(2014·海南省文昌市检测)边长是22的正三角形ABC 内接于体积是43π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为________．[答案] 433[解析] 设球半径为R ，则由条件知43πR3＝43π，∴R ＝3，正三角形ABC 所在平面截球得截面如图，OO1⊥平面ABC(O1为△ABC 的中心)，OA ＝3，O1A ＝23×32×22＝263，∴OO1＝OA2－O1A2＝33，∴球面上的点到平面ABC 的最大距离为PO1＝PO ＋OO1＝433.16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．[答案] 9[解析] 由三视图可得该几何体是一个三棱锥，底面是等腰三角形，底边长为6，高为3，三棱锥的高为3，所以V ＝13×(12×6×3)×3＝9.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2015·石光中学月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求证：平面PDC ⊥平面PAD ；(3)求四棱锥P －ABCD 的体积．[解析] (1)连接EF ，AC ，∵四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点， ∴对角线AC 经过F 点，又点E 为PC 的中点，∴EF 为△PAC 的中位线，∴EF ∥PA ．又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ．(2)∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，∴CD ⊥AD ，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，∴CD ⊥平面PAD ．又CD ⊂平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面PAD ．(3)过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，即PG 为四棱锥P －ABCD 的高，又PA ＝PD ＝22AD 且AD ＝a ，∴PG ＝a 2.∴V 四棱锥P －ABCD ＝13S 正方形ABCD·PG ＝13×a2×a 2＝16a3.18．(本小题满分12分)(文)(2014·合肥市质检)如图，在多面体ABCDFE中，底面ABCD 是梯形，且AD ＝DC ＝CB ＝12AB ．直角梯形ACEF 中，EF 綊12AC ，∠ECA 是直角，且平面ACEF ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC ⊥AF ；(2)试判断直线DF 与平面BCE 的位置关系，并证明你的结论．[解析] (1)证明：取AB 的中点H ，连接CH ，∵底面ABCD 是梯形，且AD ＝DC ＝CB ＝12AB ，易证四边形AHCD 为菱形，∴AD ＝HC ＝12AB ，∴∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ．∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，∴BC ⊥平面ACEF ，而AF ⊂平面ACEF ，故BC ⊥AF.(2)DF ∥平面BCE.证明如下：连接DH 交AC 于点M ，易知M 为AC 的中点，连接FM.在菱形AHCD 中，DM ⊥AC ，由第一问知BC ⊥AC ，故DM ∥BC ．在直角梯形ACEF 中，EF 綊CM ，四边形EFMC 是平行四边形，故FM ∥EC ．而BC ，CE ⊂平面BCE ，BC ∩CE ＝C ，而DM ，MF ⊂平面DMF ，DM ∩MF ＝M ，故平面BCE ∥平面DMF ，DF ⊂平面DMF ，从而，DF ∥平面BCE.(理)(2014·天津南开中学月考)如图，三棱柱ABC －A1B1C1的底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为3，且侧棱与底面垂直，D 为B1C1的中点．(1)求证AC1∥平面A1BD ；(2)求异面直线AC1与BD 所成角的余弦值；(3)求二面角B1－A1B －D 的平面角的正弦值．[解析] 因为三棱柱的侧棱垂直于底面，所以平面BB1C1C ⊥平面A1B1C1.在等腰三角形A1B1C1中，D 为B1C1中点，∴A1D ⊥B1C1，∴A1D ⊥平面BB1C1C ．取BC 的中点E ，连接DE ，则直线ED ，B1C1，A1D 两两垂直．如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，在等边三角形A1B1C1中，边长为2，所以A1D ＝3，所以D(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(－1,0,0)，A1(0,0，3)，B(1，－3，0)，C(－1，－3，0)，A(0，－3，3)．(1)证明：DA1→＝(0,0，3)，DB →＝(1，－3，0)．设平面A1BD 的一个法向量为m ＝(x1，y1，z1)，则⎩⎨⎧ 3z ＝0，x1－3y1＝0.令y1＝3，则x1＝3，z1＝0. 所以m ＝(3，3，0)．又AC1→＝(－1，3，－3)，AC1→·m ＝0，∴AC1→⊥m ，又∵AC1⊄平面BDA1，∴AC1∥平面BDA1.(2)AC1→＝(－1，3，－3)，DB →＝(1，－3，0)，cos 〈AC1→，DB →〉＝AC1→·DB →|AC1→|·|DB →|＝－1－37·2＝－277. 异面直线AC1与BD 所成角的余弦值为277.(3)B1B →＝(0，－3，0)，B1A1→＝(－1,0，3)，设平面B1BA1的一个法向量为n ＝(x2，y2，z2)，则⎩⎨⎧ －3y2＝0，－x2＋3z2＝0.令z2＝3，则x2＝3. 所以n ＝(3,0，3)．cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝912＝34.∴二面角B1－A1B －D 的平面角的正弦值为74.19．(本小题满分12分)(文)(2015·江西三县联考)如图，四边形ABEF 是等腰梯形，AB ∥EF ，AF ＝BE ＝2，EF ＝42，AB ＝22，ABCD 是矩形．AD ⊥平面ABEF ，其中Q ，M 分别是AC ，EF 的中点，P 是BM 中点．(1)求证：PQ ∥平面BCE ；(2)求证：AM ⊥平面BCM ；(3)求点F 到平面BCE 的距离．[解析] (1)因为AB ∥EM ，且AB ＝EM ，所以四边形ABEM 为平行四边形．连接AE ，则AE 过点P ，且P 为AE 中点，又Q 为AC 中点，所以PQ 是△ACE 的中位线，于是PQ ∥CE.∵CE ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE.(2)AD ⊥平面ABEF ⇒BC ⊥平面ABEF ⇒BC ⊥AM.在等腰梯形ABEF 中，由AF ＝BE ＝2，EF ＝42，AB ＝22，可得∠BEF ＝45°，BM ＝AM ＝2，∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM ⊥BM.又BC ∩BM ＝B ，∴AM ⊥平面BCM.(3)解法一：点F 到平面BCE 的距离是M 到平面BCE 的距离的2倍，∵EM2＝BE2＋BM2，∴MB ⊥BE ，∵MB ⊥BC ，BC ∩BE ＝B ，∴MB ⊥平面BCE ，∴d ＝2MB ＝4.解法二：VC －BEF ＝13S △BEF·BC ＝43BC ，VF －BCE ＝13S △BCE·d ＝d 3BC ．∵VC －BEF ＝VF －BCE ，∴d ＝4.(理)(2014·成都七中模拟)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上且AG ＝13GD ，GB ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点，四面体P －BCG 的体积为83.(1)求过P 、C 、B 、G 四点的球的表面积；(2)求直线DP 与平面PBG 所成角的正弦值；(3)在棱PC 上是否存在一点F ，使DF ⊥GC ，若存在，确定点F 的位置，若不存在，说明理由．[解析] (1)∵四面体P －BCG 的体积为83，GB ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，PG ⊥平面ABCD ，∴PG ＝4，以GP ，GB ，GC 为棱构造长方体，外接球的直径为长方体的对角线．∴(2R)2＝16＋4＋4，∴R ＝6，∴S ＝4π×6＝24π.(2)∵GB ＝GC ＝2，∠BGC ＝π2，E 为BC 的中点，∴GE ＝2，BGsin ∠AGB ＝2，∴∠AGB ＝π4，作DK ⊥BG 交BG 的延长线于K ，∴DK ⊥平面BPG ，∵BC ＝BG2＋CG2＝22，∴DG ＝34BC ＝322，∴DK ＝GK ＝32，PD ＝412. 设直线DP 与平面PBG 所成角为α，∴sinα＝DK DP ＝38282.(3)假设F 存在，过F 作FF ′⊥GC 交GC 于F ′，则必有DF ′⊥GC ．因为AG ＝13GD ，且AD ＝22，所以GD ＝322，又∠DGF ′＝45°，∴GF ′＝32＝34GC ，∴PF ＝34PC ．∴当CF CP ＝14时满足条件．20．(本小题满分12分)(2015·大连市二十中期中)如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．(1)当BE ＝1时，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，指出P 点位置，若不存在，说明理由；(2)设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A －CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．[解析] (1)存在点P 使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时AP AD ＝35.证明如下：AP AD ＝35，过点P 作MP ∥FD ，与AF 交于点M ，则有MP FD ＝35，又FD ＝5，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP 綊EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以PC ∥ME ，又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．(2)因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC ． 由已知BE ＝x ，所以AF ＝x(0<x<4)，FD ＝6－x.故VA －CDF ＝13·(12DF·EF)·AF ＝13·12·2·(6－x)·x ＝13(6x －x2)＝13[－(x －3)2＋9]＝－13(x －3)2＋3.所以，当x ＝3时，VA －CDF 有最大值，最大值为3.21．(本小题满分12分)(文)如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，BC ＝2，AB ＝AC ＝AA1＝1，D 是棱CC1上的一点，P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.(2)求证：CD ＝C1D ；(2)求点C 到平面B1DP 的距离．[解析] (1)证明：连接B1A 交BA1于O ，∵PB1∥平面BDA1，B1P ⊂平面AB1P ，平面AB1P ∩平面BA1D ＝OD ，∴B1P ∥OD ．又∵O 为B1A 的中点，∴D 为AP 的中点，∴C1为A1P 的中点，∴△ACD ≌△PC1D ，∴CD ＝C1D ；(2)因为VC －B1PD ＝VB1－PCD所以13h·S △B1PD ＝13A1B1·S △PCD ，∵A1B1＝1，S △PCD ＝12CD·PC1＝14，在△B1PD 中，B1D ＝32，B1P ＝5，PD ＝52，∴cos ∠DB1P ＝255，sin ∠DB1P ＝55.∴S △B1PD ＝12×32×5×55＝34，∴h ＝13.(理) (2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若∠DAB ＝∠DBF ＝60°，且FA ＝FC ．(1)求证：FC ∥平面EAD ；(2)求二面角A －FC －B 的余弦值．[解析] (1)证明：∵四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∴AD ∥BC ，DE ∥BF.∵AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ，∴AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC ，又AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ，∴平面FBC ∥平面EAD ，又FC ⊂平面FBC ，∴FC ∥平面EAD ．(2)连接FO 、FD ，∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°，∴△DBF 为等边三角形， ∵O 为BD 中点．所以FO ⊥BD ，O 为AC 中点，且FA ＝FC ，∴AC ⊥FO ，又AC ∩BD ＝O ，∴FO ⊥平面ABCD ，∴OA 、OB 、OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设AB ＝2，因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，∴O(0,0,0)，A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(－3，0,0)，F(0,0，3)，∴CF →＝(3，0，3)，CB →＝(3，1,0)，设平面BFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n·CF →＝0，n·CB →＝0，∴⎩⎨⎧3x ＋3z ＝0，3x ＋y ＝0， 令x ＝1，则n ＝(1，－3，－1)，∵BD ⊥平面AFC ，∴平面AFC 的一个法向量为OB →＝(0,1,0)．∵二面角A －FC －B 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cosθ＝|cos 〈n ，OB →〉|＝|n·OB →||n|·|OB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－35＝155， ∴二面角A －FC －B 的余弦值为155.22．(本小题满分14分)(文)(2014·黄石二中检测)如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AA1＝AC ＝2AB ＝2，且BC1⊥A1C ．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D 是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E ，使DE ∥平面ABC1；若存在，求三棱锥E －ABC1的体积．[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A1B1C1中，有A1A ⊥平面ABC ．∴A1A ⊥AC ，又A1A ＝AC ，∴A1C ⊥AC1.又BC1⊥A1C ，∴A1C ⊥平面ABC1，∵A1C ⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1CC1.(2)存在，E 为BB1的中点．取A1A 的中点F ，连EF ，FD ，当E 为B1B 的中点时，EF ∥AB ，DF ∥AC1，∴平面EFD ∥平面ABC1，则有ED ∥平面ABC1.当E 为BB1的中点时，VE －ABC1＝VC1－ABE ＝13×2×12×1×1＝13.(理)(2014·浙北名校联盟联考)已知在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 为棱CC ′上任意一点，AB ＝BC ＝2，CC ′＝1.(1)求证：平面ACC ′A ′⊥平面BDE ；(2)若点P 为棱C ′D ′的中点，点E 为棱CC ′的中点，求二面角P －BD －E 的余弦值．[解析] (1)∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∵CC ′⊥平面ABCD ，∴BD ⊥CC ′，又CC ′∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC ′A ′，∴平面BDE ⊥平面ACC ′A ′.(2)以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以DD ′为z 轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(0,2，12)，P(0,1,1)，设平面BDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，∵DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2，12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m·DB →＝2x ＋2y ＝0，m·DE →＝2y ＋12z ＝0， 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝4，∴m ＝(1，－1,4)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， ∵DP →＝(0,1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n·DB →＝2x ＋2y ＝0，n·DP →＝y ＋z ＝0， 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，∴n ＝(1，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝63，∴二面角P －BD －E 的余弦值为63.。
【创新设计】2016届 数学一轮(理科) 人教A版 课件 第九章 平面解析几何 专题探究课 圆锥
则 y
18－8t2 xM＝ 2 ， 4t ＋ 9 12t . M＝ 2 4t ＋9
8t2－2 xN＝ 2 ， 4t ＋1 同理得到 (10 分) 4t yN＝ 2 . 4t ＋1
由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上， 不妨设这个定点为Q(m，0)，
热点突破 热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题
x2 y2 【例 1】(13 分)(2015· 石家庄模拟)椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的离 a b 3 心率为 ，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x＝1 上的动 点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点 为 N.求证：直线 MN 经过一定点．
热点突破 热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题
x2 y2 【例 1】(13 分)(2015· 石家庄模拟)椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的离 a b 3 心率为 ，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. 2 (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x＝1 上的动 点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点 为 N.求证：直线 MN 经过一定点．
热点一 圆锥曲线中的定点、定值 问题
圆锥曲线中的最值、范围问 热点二 题
热点三
圆锥曲线中的探索性问题
热点突破
热点一
圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关
的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标
等的定值问题．
热点突破 热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题
2016届人教A版高考数学大一轮复习课件 第9章 平面解析几何 第1讲
基础诊断
考点突破第二十页，编辑于星期课五堂：十总八点结四十三分。
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x－5＝0； 当斜率存在时，设其为 k， 则所求直线方程为 y－10＝k(x－5)， 即 kx－y＋(10－5k)＝0. 由点线距离公式，得|10k－2＋51k|＝5，解得 k＝34. 故所求直线方程为 3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为 x－5＝0 或 3x－4y＋25＝0.
y＝______2_______， 段 P1P2 的中点坐标公式．
基础诊断
考点突破第六页，编辑于星期五课：堂十八总点 结四十三分。
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ×)
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．
( ×)
基础诊断
考点突破第二十三页，编辑于星课期堂五：总十八结点 四十三分。
解 (1)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a， 若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(4,1)， ∴l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵l 过点(4,1)，∴4a＋1a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0. 综上可知，直线 l 的方程为 x－4y＝0 或 x＋y－5＝0.
种方法不妨试一
∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是34π，π∪
0，π4. 答案 (1)D
(2)34π，π∪0，π4
试，在线性规划 中提到过．
基础诊断
考点突破第十五页，编辑于星期课五堂：十总八点结四十三分。
规律方法 (1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围 或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正 切函数 y＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意， 正切函数在[0，π)上并不是单调的；(2)过一定点作直线与已 知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直 线无斜率．
近年高考数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆作业本理(2021年整理)
（北京专用）2019版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆作业本理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（北京专用）2019版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆作业本理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第五节椭圆A组基础题组1。
已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( ）A. B。
（1，+∞) C.(1,2) D。
2.已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为（）A.+=1 B。
+=1C。
+=1 D.+=13.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC｜=3,则以A，B为焦点,且过C，D两点的椭圆的短轴的长为（）A.2 B。
2C。
4 D.44.设椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为（）A。
3 B.3或 C. D.6或35。
已知椭圆+=1(0〈b〈2)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A，B两点,若|BF2|+｜AF2|的最大值为5，则b的值是（）A。
1 B. C.D。
6。
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上,离心率为,且过点P(—5，4)，则椭圆的标准方程为.7.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C 的方程是。
8.椭圆+=1的左,右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1｜=4，则∠F1PF2的大小为。
9.（2017北京丰台一模，19）已知椭圆C:+=1（a〉b>0）的离心率为，右焦点为F，点Q （0，1）在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程;（2）过点F的直线交椭圆C于M，N两点,交直线x=2于点P,设=λ,=μ，求证:λ+μ为定值.B组提升题组10.已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1，F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2。
2016届人教A版高考数学大一轮复习课件 第9章 平面解析几何 第2讲
最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂 直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌 握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直 线间的距离.
基础诊断
考点突破第一页，编辑于星期五课：十堂八总点 四结十三分。
知识梳理
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有 l1∥l2⇔__k_1＝__k_2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1 与l2_平__行__． (2)两条直线垂直 如 果 两 条 直 线 l1 ， l2 斜 率 都 存 在 ， 设 为 k1 ， k2 ， 则 l1⊥l2⇔__k_1_·k_2_＝_－__1__，当一条直线斜率为零，另一条直线斜 率不存在时，两条直线____垂__直．
基础诊断
考点突破第二页，编辑于星期五课：十堂八总点 四结十三分。
2．两直线相交
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的公共点
的坐标与方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， 的解一一对应． 相交⇔方程组有__唯__一__解___，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组__无__解__； 重合⇔方程组有___无__数_个__解___．
基础诊断
考点突破第二十三页，编辑于星课期五堂：总十八结点 四十三分。
法二 当 AB∥l 时，有 k＝kAB＝－13，直线 l 的方程为 y－2 ＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当 l 过 AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线 l 的方程为 x＝－1. 故所求直线 l 的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1. 答案 (1)－16，12 (2)x＋3y－5＝0 或 x＝－1
人教A版高考数学一轮总复习课后习题 第九章 平面解析几何 课时规范练40
课时规范练40《素养分级练》P374基础巩固组1.(山东青岛模拟)设集合A={(x,y)|y=2x-3},B={(x,y)|4x-2y+5=0},则A∩B=( )A.⌀B.{(118,1 4 )}C.{(18,-114)} D.{(-18,-134)}答案:A解析:由直线4x-2y+5=0,得y=2x+52.因为直线y=2x+52与直线y=2x-3的斜率相等,截距不相等,所以两直线相互平行,故A∩B=⌀.2.(江苏无锡高三检测)在平面直角坐标系xOy中,点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点为( )A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,3)D.(3,1)答案:D解析:设点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点是(a,b),则{a2-b+42+1=0,b-4 a =-1,解得{a=3,b=1.3.(多选)(山东青岛高三开学考试)已知直线l 1:4+2)+5=0(m ∈R),则( )A.直线l 2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l 1⊥l 2C.当m=2时,l 1∥l 2D.当l 1∥l 2时,两直线l 1,l 2之间的距离为1 答案:ACD解析:对于A,l 2:(m+2)+5=0(m ∈R)变形为m(x-y+2)+2x-y+5=0,令{x -y +2=0,2x -y +5=0,则{x =-3,y =-1,因此直线l 2过定点(-3,-1),故A 正确;对于B,当m=1时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:3x-2y+7=0,4×3+(-3)×(-2)≠0,故两直线不垂直,故B 错误;对于C,当m=2时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,44=-3-3≠94,故两直线平行,故C 正确;对于D,当l 1∥l 2时,则满足m+24=-(m+1)-3≠2m+54⇒m=2,此时l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,则两直线间的距离为√42+(-3)2=1,故D 正确.故选ACD.4.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后,再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )A.3√3B.6C.2√10D.2√5答案:C解析:由题意直线AB 的方程为x+y=4,设P 关于直线AB 的对称点Q(a,b),则{b a-2=1,a+22+b 2=4,解得{a =4,b =2,即Q(4,2).又P 关于y 轴的对称点为T(-2,0),所以光线所经过的路程为|QT|=√(-2-4)2+(0-2)2=2√10.5.(福建福州高三检测)若直线ax+2y+1=0与直线xcos 2π3+y-1=0互相垂直,则a= . 答案:4解析:由题意得a2·cos 2π3=-1,解得a=4.6.已知直线l 过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l 的距离相等,则直线l 的方程为 . 答案:x+3y-5=0或x=-1解析:(方法1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知|2k -3+k+2|√k 2+1=|-4k -5+k+2|√k 2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13,所以直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-1,符合题意.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当AB ∥l 时,直线l 的斜率k=k AB =-13,则直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 过AB 的中点(-1,4)时,直线l 的方程为x=-1.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.综合提升组7.(湖北武汉模拟)某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+c 1=0和3x-4y+c 2=0,则|c 1-c 2|=( ) A.2√3 B.2√5 C.2 D.4答案:B解析:设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为A,联立{x +2y +1=0,3x -4y +c 2=0,解得{x =-c 2+25,y =c 2-310,故A -c 2+25,c 2-310. 同理,设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为B,则B -c 1+25,c 1-310,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为C,则C -c 1+65,c 1-910,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为D,则D -c 2+65,c 2-910.由菱形的性质可知AC ⊥BD,且AC,BD 的斜率均存在,所以k AC ·k BD =-1,则c 2-310-c 1-910-c 2+25+c 1+65·c 1-310-c 2-910-c 1+25+c 2+65=-1,即36-(c 2-c 1)24[16-(c 2-c 1)2]=-1,解得|c 1-c 2|=2√5.8.(河北大名高三检测)已知点P(-2,2),直线l:(λ+2)x -(λ+1)y -4λ-6=0,则点P 到直线l 的距离的取值范围为 . 答案:[0,4√2)解析:把直线l:(λ+2)x -(λ+1)y -4λ-6=0化为(2x-y-6)+λ(x -y-4)=0,联立{2x -y -6=0,x -y -4=0,解得{x =2,y =-2,即直线l 过定点M(2,-2).又k PM =-2-22-(-2)=-1,且λ+2λ+1×(-1)≠-1,所以直线PM 与l 不垂直,所以点P 到直线l 的距离的最大值小于|PM|=√(2+2)2+(-2-2)2=4√2,即点P 到直线l 的距离的取值范围为[0,4√2).9.(四川成都七中高三检测)已知△ABC 的顶点B(5,1),AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0. (1)求直线AB 的方程.(2)在①②两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. ①角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0; ②BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.,求直线AC 的方程.解:(1)因为AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线AB 的斜率为k=-2.又因为△ABC 的顶点B(5,1),所以直线AB 的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0.(2)若选①:角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0, 由{2x +y -11=0,x +2y -13=0,解得{x =3,y =5,所以点A(3,5).设点B 关于x+2y-13=0的对称点B'(x 0,y 0),则{y 0-1x 0-5×(-12)=-1,x 0+52+2×y 0+12-13=0,解得{x 0=375,y 0=295,所以B'375,295.又点B'375,295在直线AC 上,所以k AC =5-2953-375=211.所以直线AC 的方程为y-5=211(x-3),即2x-11y+49=0.若选②:BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, 由{2x +y -11=0,2x -y -5=0,解得{x =4,y =3,所以点A(4,3).设点C(x 1,y 1),则BC 的中点在直线2x-y-5=0上,所以2×5+x 12−1+y 12-5=0,即2x 1-y 1-1=0,所以点C 在直线2x-y-1=0上.又点C 在直线x-2y-5=0上,由{x -2y -5=0,2x -y -1=0,解得{x =-1,y =-3,即C(-1,-3),所以k AC =-3-3-1-4=65.所以直线AC 的方程为y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.创新应用组10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A(2,0),B(0,4),C(-4,0),则其欧拉线方程为 . 答案:x-y+2=0解析:设△ABC 的重心为G,垂心为H,由重心坐标公式得x=2+0+(-4)3=-23,y=0+4+03=43,所以G -23,43.由题,△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x=0,直线BC:y=x+4,A(2,0),所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y=-x+2,联立{x =0,y =-x +2⇒H(0,2).所以欧拉线GH 的方程为y-2=2-430-(-23)x,即x-y+2=0.。
2016届人教A版高考数学大一轮复习课件 第9章 平面解析几何 第3讲
基础诊断
考点突破第三页，编辑于星期五课：堂十八总点结四十三分。
基础诊断
考点突破第二十三页，编辑于星课期堂五：总十结八点 四十三分。
规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同 常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出 方 程 ； (2) 定 义 法 ， 根 据 圆 、 直 线 等 定 义 列 方 程 ； (3) 几 何 法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已 知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
基础诊断
考点突破第七页，编辑于星期五课：堂十八总点结四十三分。
5．(2014·山东卷)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半 轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方 程为________． 解析 因为圆心在直线 x－2y＝0 上，且圆 C 与 y 轴相切， 所以可设圆心坐标为(2a，a)，则(2a)2＝a2＋( 3)2，解得 a ＝±1.又圆 C 与 y 轴的正半轴相切，所以 a＝1，故圆 C 的标 准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 答案 (x－2)2＋(y－1)2＝4
基础诊断
考点突破第十五页，编辑于星期课五堂：十总八结点 四十三分。
考点二 与圆有关的最值问题 【例 2】 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求yx的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值； (3)求 x2＋y2 的最大值和最小值． 解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为 半径的圆． (1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k，即 y＝kx.
2016届数学一轮(理科)人教A版课时作业第九章平面解析几何-8含答案
第 8 讲曲线与方程基础稳固题组(建议用时： 40 分钟 )一、选择题1． (2015 ·家庄质检石 )已知命题“曲线 C 上的点的坐标是方程 f(x ，y)＝0 的解”是正确的，则以下命题中正确的选项是 A ．知足方程 f(x ，y)＝0 的点都在曲线 C 上 B ．方程 f(x ，y)＝ 0 是曲线 C 的方程C ．方程 f(x ，y)＝ 0 所表示的曲线不必定是D ．以上说法都正确C()分析 曲线 C 可能不过方程 f(x ， y)＝0 所表示的曲线上的某一小段，所以只有C 正确．答案 C．设圆 C 与圆 x 2＋(y －3)2 ＝ 1 外切，与直线 ＝ 相切，则 C 的圆心轨迹为 ()2 y 0A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆分析 设圆 C 的半径为 r ，则圆心 C 到直线 y ＝0 的距离为 r ，由两圆外切可得，圆心 C 到点 (0，3)的距离为 r ＋1，也就是说，圆心C 到点 (0，3)的距离比到直线 y ＝0 的距离大 1，故点 C 到点 (0， 3)的距离和它到直线 y ＝－ 1 的距离相等，切合抛物线的特点，故点C 的轨迹为抛物线．答案A3． (2015 大·连模拟 )已知M(－ 2，0)，N(2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角极点P 的轨迹方程为()A ． x 2＋y 2＝2B ．x 2＋ y 2＝4C． x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋ y2＝4(x≠±2)1分析MN 的中点为原点 O，易知 |OP|＝2|MN|＝ 2，∴P 的轨迹是以原点 O 为圆心，以 r ＝2 为半径的圆，除掉与x 轴的两个交点．答案D4． (2015 ·珠海模拟 )已知点 A(1，0)，直线 l：y＝2x－4，点 R 是直线 l 上的一点，→→()若RA＝AP，则点 P 的轨迹方程为A. y＝－ 2x B．y＝ 2xC． y＝ 2x－8D．y＝2x＋4x＋x1分析设 P(x，y)，R(x1，1，由→＝→知，点A 是线段RP的中点，∴2＝ 1，y )RA AP y＋y12＝0，x ＝ 2－ x，1即y1＝－ y.∵点R(x1，y1)在直线 y＝2x－ 4 上，∴y ＝ 2x － 4，∴－y＝2(2－x)－4，即 y＝2x.11答案B5． (2015 ·天津津南一模 )平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)， B(－1，3)，若点→→→C 知足 OC＝λ1OA＋λ2OB(O 为原点 )，此中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点 C的轨迹是()A ．直线B．椭圆C．圆D．双曲线→→→，＝λ1，＋λ2－，，1)OA OB(x y)(3( 1 3) x＝3λ1－λ2，即y＝λ1＋ 3λ2，y＋3xλ1＝10，解得又λ1＋λ2＝1，3y－xλ2＝10 ，y＋3x3y－x所以10 ＋10＝1，即x＋2y＝5，所以点 C 的轨迹为直线，应选 A.答案A二、填空题6．已知两定点A(－2，0)， B(1，0)，假如动点 P 知足 |PA|＝2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为 __________．分析设 P(x，y)，由 |PA|＝2|PB|，2222得（x＋2）＋y ＝2（x－1）＋y，∴P 的轨迹为以 (2，0)为圆心，半径为 2 的圆．即轨迹所包围的面积等于4π.答案4π7．(2013 ·新课标全国Ⅱ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在y 轴上截得线段长为 2 3.则圆心P 的轨迹方程为__________．分析设 P(x，y)，圆P 的半径为 r.由题设 y2＋2＝r 2，x2＋ 3＝ r2，进而 y2＋2＝x2＋3.故 P 点的轨迹方程为y2－x2＝1.答案y2－ x2＝1x2y28．(2015 ·南京模拟 )P 是椭圆a2＋b2＝ 1 上的随意一点， F1，F2是它的两个焦点， O→→→为坐标原点， OQ＝ PF1＋PF2，则动点 Q 的轨迹方程是 __________．→ → →分析因为 OQ ＝PF 1＋ PF 2，→ → → → →又 PF 1＋PF 2＝ PM ＝ 2PO ＝－ 2OP ，设 Q(x ，y)，→1 →xy则OP ＝－2OQ ＝(－2，－2)，xy即 P 点坐标为 (－2，－ 2)，（－ x ）2 （－ y ）2 又 P 在椭圆上，则有 2 ＋2 ＝1 上， a 2 2b x2y2即 4a 2＋4b 2＝1.x 2 y 2答案2＋ 2＝14a4b→ → → →9．设 F(1， 0)，M 点在 x 轴上， P 点在 y 轴上，且 MN ＝2MP ，PM ⊥PF ，当点 P在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程．解 设 M(x 0， 0)，P(0，y 0)，N(x ，y)，→ → → →∵ PM ⊥PF ，PM ＝(x 0 ，－ y 0)，PF ＝ (1，－ y 0 )， ∴ (x 0，－ y 0) ·(1，－ y 0)＝0，∴ x 0＋y 20＝0.→ →由 MN ＝2MP 得(x －x 0， y)＝2(－x 0， y 0)，x －x 0＝－ 2x 0 ，x 0＝－ x ，1 ∴ 即y ＝2y 0，y 0＝2y ，2∴－ x ＋y4 ＝0，即 y 2＝4x.故所求的点 N 的轨迹方程是 y 2＝4x.．已知两个定圆 O 1 和 O 2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O 1 2＝，动圆 M 与圆10 O | 4O 1 内切，又与圆 O 2 外切，成立适合的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解 如下图，以 O 1O 2 的中点 O 为原点， O 1O 2 所在直线为 x 轴成立平面直角坐标系．由 |O1O2|＝4，得 O1(－2，0)、O2(2，0)．设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1内切，有 |MO1 |＝r －1；由动圆 M 与圆 O2外切，有 |MO2|＝r ＋2.∴|MO2 |－|MO1 |＝3.∴点 M 的轨迹是以 O1，O2为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支．32227∴ a＝2， c＝ 2，∴ b ＝c－ a ＝4.4x24y23∴点 M 的轨迹方程为9－7＝1(x≤－2)．能力提高题组(建议用时： 25 分钟 )11．(2015 ·合肥模拟 )动点 P 在直线 x＝ 1 上运动， O 为坐标原点．以 OP 为直角边，()点 O 为直角极点作等腰直角三角形OPQ，则动点 Q 的轨迹是A ．圆B．两条平行直线C．抛物线D．双曲线分析设 Q(x，y)， P(1，y0)，由题意知|OP|＝|OQ|，→→且 OP·OQ＝0，222x＋y ＝ 1＋ y0，①x＋y0y＝0，②∴y0＝－x代入①得 x2＋y2＝ 1＋－x2，y y化简即 y2＝1，∴y＝±1，表示两条平行直线，应选 B.答案B→→12．已知两点 M(－2，0)，N(2， 0)，点 P 为坐标平面内的动点，知足 |MN|· |MP|→→()＋MN·NP＝0，则动点 P(x， y)的轨迹方程为A ． y2＝8x B．y2＝－ 8x C．y2＝4x D．y2＝－ 4x分析设点 P 的坐标为→，，→＝＋，，→＝－，(x，y)，则 MN＝(40)MP NP(x(x 2 y)2y)．→＝，→＝（＋）2＋ 2 ，→ →－．依据已知条件得4|MP |4(x2)|x2y MN NP4 （ x＋ 2）2＋y2＝ 4(2－x)．22整理得 y ＝－ 8x.∴点 P 的轨迹方程为 y ＝－ 8x.13．(2015 ·杭州模拟 )坐标平面上有两个定点A，B 和动点 P，假如直线 PA，PB 的斜率之积为定值m，则点 P 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：__________．分析设 A(a，0)， B(－a，0)， P(x， y)，则y·y＝ m，即 y2＝ m(x2－a2)．x－ a x＋ a①当 m＝－ 1 时，为圆；②当 m＞0 时，为双曲线；③当 m＜0 且 m≠－ 1 时为椭圆；④当 m＝ 0 时，为直线．应选①②④⑤ .答案①②④⑤14．(2015 ·烟台模拟 )已知点 C(1，0)，点 A，B 是⊙ O：x2＋ y2＝9 上随意两个不一样→→的点，且知足 AC· BC＝ 0，设 P 为弦 AB 的中点．(1)求点 P 的轨迹 T 的方程；(2)尝试究在轨迹T 上能否存在这样的点：它到直线x＝－ 1 的距离恰巧等于到点 C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明原因．→→解 (1)连结 CP， OP，由 AC·BC＝0，知 AC⊥ BC，1∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝2|AB|，由垂径定理知 |OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，设点 P(x， y)，有 (x2＋y2)＋ [(x－1)2＋y2] ＝9，化简，得 x2－x＋y2＝ 4.(2)存在，依据抛物线的定义，到直线x＝－ 1 的距离等于到点 C(1，0)的距离的点都在抛物线 y2＝2px 上，此中p＝1. 2∴ p＝ 2，故抛物线方程为 y2＝ 4x，y2＝ 4x，由方程组得 x2＋ 3x－4＝0，x2－ x＋ y2＝4解得 x1＝ 1， x2＝－ 4，由 x≥0，故取 x＝ 1，此时 y＝±2.故知足条件的点存在，其坐标为(1，－ 2)和(1，2).。
高三数学理科一轮复习试卷详解_第9单元平面解析几何
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测九 平面解析几何第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α的值为( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π42．已知点P (x ，y )在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线3．(·潍坊模拟)设F 是椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，椭圆上的点与点F 的最大距离为M ，最小距离是m ，则椭圆上与点F 的距离等于12(M ＋m )的点的坐标是( ) A ．(0，±2)B ．(0，±1)C ．(3，±12)D ．(2，±22) 4．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( ) A ．2B ．1 C.14 D.1165．若AB 是过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．486．(·武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．47．(·北京海淀区期末练习)双曲线C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰好为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2B ．1＋ 2C ．1＋ 3D ．2＋ 38．P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，欲使不等式x ＋y ＋c ≥0恒成立，则实数c 的取值范围是( )A ．[－1－2，2－1]B ．[2－1，＋∞)C ．(－1－2，2－1)D ．(－∞，－2－1)9．(·福州质检)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝bx a对称，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B. 5C. 2D ．2 10．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF等于( ) A.45B.23C.47D.1211．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为2π3，离心率为e ，则a 2＋e 22b的最小值为( )A ．2 3 B.233 C. 3 D ．3 312．(·河南豫东豫北十校联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C 的焦点，A 为双曲线上一点，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1等于( ) A.32 B.54 C.55 D.14第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 225＋y 216＝1上，F 是椭圆C 的右焦点，若点M 满足|M F →|＝1且M P →·M F →＝0，则|PM →|的最小值为________．14．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝163，则α＝________.15．(·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.16．设A ，B 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m ＝(1,0)，|AB →|＝6，AB →·m |m |＝3，则双曲线的离心率为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(·安徽六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．18．(12分)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．19.(12分)如图所示，离心率为12的椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P 的两条直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且满足AP →＝λPC →，BP →＝λPD →，其中λ为常数，过点P 作AB 的平行线交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆Ω的方程；(2)若点P (1,1)，求直线MN 的方程，并证明点P 平分线段MN .20．(12分)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴除F 外的另一个交点．(1)求抛物线C 与圆M 的方程；(2)已知直线n ：y ＝k (x －1)(k ＞0)，n 与C 交于A ，B 两点，n 与l 交于点D ，且|F A |＝|FD |，求△ABQ 的面积．21.(12分)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．22．(12分)(·青岛质检)已知椭圆C 1的中心为原点O ，离心率e ＝22，其一个焦点在抛物线C 2：y 2＝2px 的准线上，若抛物线C 2与直线l ：x －y ＋2＝0相切．(1)求该椭圆的标准方程；(2)当点Q (u ，v )在椭圆C 1上运动时，设动点P (2v －u ，u ＋v )的运动轨迹为C 3.若点T 满足：O T →＝M N →＋2OM →＋O N →，其中M ，N 是C 3上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，试说明：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|TF 1|＋|TF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析1．A 2.B 3.B 4.D 5.B 6.C7．B [依题意可知，点A (1，±2)，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，|AF 1|＝22＋22＝22，|AF 2|＝|F 1F 2|＝2，双曲线C 的离心率为e ＝|F 1F 2||AF 1|－|AF 2|＝222－2＝2＋1，故选B.]8．B [设圆上任一点P 的坐标为(cos α，sin α＋1)，即x ＝cos α，y ＝sin α＋1，则x ＋y ＋c ＝cos α＋sin α＋1＋c ＝2[22cos α＋22sin α]＋1＋c ＝2sin(α＋π4)＋1＋c ≥0， 即c ≥－1－2sin(α＋π4)， 又因为－1≤sin(α＋π4)≤1， 所以得到－1－2≤－1－2sin(α＋π4)≤－1＋2， 则c ≥－1＋ 2.]9．B [记线段PF 2与直线y ＝b ax 的交点为M ， 依题意，直线y ＝b ax 是题中的双曲线的一条渐近线，M 是PF 2的中点，且|PF 2|＝2|MF 2|＝2b ； 又点O 是F 1F 2的中点，因此有|PF 1|＝2|OM |＝2a ；由点P 在双曲线的左支上得|PF 2|＝|PF 1|＋2a ＝4a ＝2b ，b ＝2a ，该双曲线的离心率是e ＝ 1＋(b a )2＝5，故选B.] 10．A [如图，过A ，B 作准线l ：x ＝－12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |.又∵△B 1BC ∽△A 1AC ，∴|BC ||AC |＝|BB 1||AA 1|， 由抛物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |， 由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3， ∴AB ：y －0＝33－32(x －3)，把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2， ∴|AF |＝|AA 1|＝52. 故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45.] 11．B [由题意，b a ＝3，∴b ＝3a ， ∴c ＝2a ，e ＝2，a 2＋e 22b ＝a 2＋423a ＝a 23＋23a≥233(当且仅当a ＝2时取等号)， 则a 2＋e 22b 的最小值为233.] 12．C [因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以b ＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，且|F 1A |－|F 2A |＝2a ，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，而c 2＝5a 2，得2c ＝25a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F A 2|2－|F 1A |22|F 1F 2||F A 2|＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a＝55，故选C.] 13. 3解析 由题意可得F P →·F M →＝|F M →|2＝1，所以|P M →|＝|F M →－F P →|＝1＋|F P →|2－2＝|F P →|2－1≥(5－3)2－1＝3，当且仅当点P 在右顶点时取等号，所以|PM →|的最小值是 3. 14．60°或120°解析 当α＝90°时，|AB |＝4不成立；当α≠90°时，设直线方程为y ＝tan α(x －1)，与抛物线方程联立得：(tan α)2x 2－[2(tan α)2＋4]x ＋(tan α)2＝0，∴由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2(tan α)2＋4(tan α)2， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2(tan α)2＋4(tan α)2＋2＝163， ∴tan α＝±3，∴α＝60°或120°.15．12解析 取MN 的中点G ，G 在椭圆上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |， 所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.16．2或233解析 设AB →与m 的夹角为θ，则AB →·m |m |＝6cos θ＝3，所以cos θ＝12. 所以双曲线的渐近线与x 轴成60°角，可得b a＝ 3. 当λ>0时，e ＝c a＝ 1＋(b a )2＝2； 当λ<0时，e ＝c b ＝ 1＋(a b )2＝233. 17．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1 得圆心C (3,2)，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0， ∴|3k －2＋3|k 2＋1＝1， ∴|3k ＋1|＝k 2＋1，∴2k (4k ＋3)＝0，∴k ＝0或k ＝－34， ∴所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3， 即y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)∵圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，∴设圆心C 为(a,2a －4)，则圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1.又∵|MA |＝2|MO |，∴设M (x ，y ), 则x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，设为圆D ，∴点M 既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，∴2－1≤a 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤2＋1，解得a 的取值范围为[0，125]． 18．解 (1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由题意得b ＝3，c a ＝12， 解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0.整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2. 将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1， 故切点M 的坐标为(1，32)． 19．解 (1)由题意得e ＝c a ＝12，a ＋c ＝3， 联立a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝λPC →可得C (1－x 1λ＋1，1－y 1λ＋1)． ∵点C 在椭圆上，故(1＋λ－x 1)24λ2＋(1＋λ－y 1)23λ2＝1， 整理得712(1＋λ)2－16(1＋λ)(3x 1＋4y 1)＋(x 214＋y 213)＝λ2，又点A 在椭圆上可知x 214＋y 213＝1， 故有712(1＋λ)2－16(1＋λ)(3x 1＋4y 1)＝λ2－1.① 由BP →＝λPD →，同理可得712(1＋λ)2－16(1＋λ)(3x 2＋4y 2)＝λ2－1.② ②－①得3(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝－34. 又AB ∥MN ，故k MN ＝－34， ∴直线MN 的方程为y －1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，3x ＋4y －7＝0可得21x 2－42x ＋1＝0⇒x M ＋x N ＝2＝2x p ，∴P 是MN 的中点，即点P 平分线段MN .20．解 (1)由抛物线的定义知，圆M 经过焦点F (p 2，0)， Q (－p 2，3p )， 点M 的纵坐标为3p ，又M ∈C ，则M (3p 2，3p )，|MF |＝2p . 由题意，M 是线段EF 的垂直平分线上的点，故3p 2＝p 2＋52，解得p ＝2. 故抛物线C ：y 2＝4x ，圆M ：(x －3)2＋(y －23)2＝16.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x ＝－1得y ＝－2k ， 则D (－1，－2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1) 得ky 2－4y －4k ＝0(k ＞0)，即y ＝2＋21＋k 2k 或y ＝2－21＋k 2k. ∵|F A |＝|FD |，则A 的纵坐标为2＋21＋k 2k， 且2＋21＋k 2k＝2k ， 解得k ＝ 3. ∴A (3,23)，B (13，－233)， 直线n ：y ＝3(x －1)，Q (－1,23)，则|AB |＝163， 点Q 到直线n 的距离d ＝23，△ABQ 的面积S ＝12|AB |·d ＝1633. 21．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ， 由双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，可得b a＝1，解之得a ＝b ， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝b ＝ 2.由此可得双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设A 的坐标为(m ，n )，可得直线AO 的斜率满足k ＝n m ＝－1－3，即m ＝3n .① ∵以点O 为圆心，c 为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，∴将①代入圆的方程，得3n 2＋n 2＝c 2，解得n ＝12c ，m ＝32c ， 将点A (32c ，12c )代入双曲线方程，得 (32c )2a 2－(12c )2b 2＝1， 化简得34c 2b 2－14c 2a 2＝a 2b 2， ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2代入上式，化简整理得34c 4－2c 2a 2＋a 4＝0， 两边都除以a 4，整理得3e 4－8e 2＋4＝0，解之得e 2＝23或e 2＝2， ∵双曲线的离心率e >1，∴该双曲线的离心率e ＝2(舍负)．22．解 (1)由⎩⎨⎧ y 2＝2px ，x －y ＋2＝0⇒y 2－2py ＋22p ＝0， ∵抛物线C 2：y 2＝2px 与直线l ：x －y ＋2＝0相切， ∴Δ＝4p 2－82p ＝0⇒p ＝2 2.∴抛物线C 2的方程为y 2＝42x ，其准线方程为x ＝－2，∴c ＝ 2.∵离心率e ＝c a ＝22，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ′，y ′)，T (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2v －u ，y ′＝u ＋v ⇒⎩⎨⎧ u ＝13(2y ′－x ′)，v ＝13(x ′＋y ′).∵点Q (u ，v )在椭圆C 1上，∴u 24＋v 22＝1⇒[13(2y ′－x ′)]2＋2[13(x ′＋y ′)]2＝4 ⇒x ′2＋2y ′2＝12，∴点P 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝12.由O T →＝M N →＋2OM →＋O N →得(x ，y )＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＋2(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12， 因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0.∵点M，N在椭圆x2＋2y2＝12上，∴x21＋2y21＝12，x22＋2y22＝12，故x2＋2y2＝(x21＋4x22＋4x1x2)＋2(y21＋4y22＋4y1y2) ＝(x21＋2y21)＋4(x22＋2y22)＋4(x1x2＋2y1y2)＝60＋4(x1x2＋2y1y2)．∴x2＋2y2＝60，从而可知点T是椭圆x260＋y230＝1上的点．∴存在两个定点F1，F2，且为椭圆x260＋y230＝1的两个焦点，使得|TF1|＋|TF2|为定值，其坐标为F1(－30，0)，F2(30，0)．。
2016届数学一轮(理科)北师大版课时作业第九章平面解析几何-热点训练-探究课6含答案
(建议用时：80分钟)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O为原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围．(1)证明 由⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0， ①∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)＞0⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)＞0， ∵a ＞b ＞0，∴a 2＋b 2＞1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1 、x 2是方程①的两实根． ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2.②由OP ⊥OQ 得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2， 得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.③ 式②代入式③化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2.④∴1a 2＋1b 2＝2.(2)解 利用(1)的结论，将a 表示为e 的函数 由e ＝ca ⇒b 2＝a 2－a 2e 2，代入式④，得2－e 2－2a 2(1－e 2)＝0. ∴a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32. ∵a ＞0，∴52≤a ≤62.∴长轴长的取值范围是[5，6]．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 为圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1. (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，证明：MA →·MB→为定值．(1)解 化圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，则圆心为(－1,0)，半径r ＝1，所以椭圆的半焦距c ＝1.又椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1，所以a －c ＝2－1，即a ＝2，则b 2＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝－1. 可求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22.此时，MA →·MB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋54，22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋54，－22＝－716. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋54，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋54(x 1＋x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＋k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋54(x 1＋x 2)＋k 2＋2516＝(1＋k 2)·2k 2－21＋2k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋k 2＋2516 ＝－4k 2－21＋2k 2＋2516＝－2＋2516＝－716.所以，综上得MA →·MB→为定值，且定值为－716.3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 4.如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． (1)解 当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0， y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1， 同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4.(2)证明 设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1， 同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2，∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．5．(2015·福建质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(2,0)，焦距为2 3. (1)求椭圆Г的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过点C (－1,0)且交椭圆Г于A ，B 两点，试探究椭圆Г上是否存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知得a ＝2，c ＝3，因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆Г的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l ：y ＝k (x ＋1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设椭圆Г上存在点P (x 0，y 0)使得四边形OAPB 为平行四边形，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝x 0，y 1＋y 2＝y 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝－8k 21＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2＋2＝2k1＋4k2.于是⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8k 21＋4k 2，y 0＝2k 1＋4k 2，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k21＋4k 2，2k 1＋4k 2.又点P 在椭圆Г上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋4k 22＝1，整理得4k 2＋1＝0，此方程无解．故椭圆Г上不存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形．6．(2014·四川卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．(1)解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4， 解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明 由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ， 直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②解 由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24(m 2＋1)m 2＋3所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124·(4＋4)＝33.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1).。
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第5讲 椭 圆基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解析 由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 答案 A2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对解析 由⎩⎨⎧10－m >0，m －2>0，得2<m <10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8. 答案 C3．(2015·西安质量检测)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 24＋y 2＝1解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝ca＝12⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是x24＋y23＝1，故选C.答案 C4．(2014·汕头一模)已知椭圆x24＋y22＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有() A．3个B．4个C．6个D．8个解析当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．答案 C5．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为()A.35 B.57 C.45 D.67解析如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝82＋102－x22×8×10＝45.解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，∠F AF1＝∠F AB＋∠FBA＝90°，△F AF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14，2c＝10，∴ca＝5 7.答案 B 二、填空题6．已知P为椭圆x225＋y216＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.答案77．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于________．解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3. 答案 38．(2015·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22三、解答题9．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎨⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝ 2 7.10.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且|BF 2|＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a . 又|BF 2|＝2，故a ＝ 2. 因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2ca 2＋c 2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b （a 2－c 2）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ， 所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2， 整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2014·包头测试与评估)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝( )A.103B ．3C.83D ．2解析 依题意得|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝|AB |＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝3|AB |＝4×2，|AB |＝83，故选C. 答案 C12．(2015·云南统一检测)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为 ( )A ．10B ．12C ．15D ．18解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|， |PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|， 故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋（6－3）2＋42＝15. 答案 C13．(2015·陕西五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析 设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案 2314．(2014·辽宁卷)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点P 且离心率为 3. (1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程． 解 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时，x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)． 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1. 显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0.又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－23m m 2＋2，①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋23＝43m 2＋2，③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m2m 2＋2，④. 因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)， 由题意知AP→·BP →＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤将①，②，③，④代入⑤整理得2m 2－26m ＋46－11＝0， 解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为 x －⎝ ⎛⎭⎪⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1y －3＝0.。