七年级下册数学培优训练 平面直角坐标系综合问题(压轴题)
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（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【例5】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）
（1）在坐标系中，画出此四边形；
（2）求此四边形的面积；
（3）在坐标轴上，你能否找一个点P，使S△PBC=50，
【例10】如图，y轴的负半轴平分∠AOB， P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N.（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？
（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，
其他条件都不变时,等式∠APM= （∠OBA－∠A）是否成立？为什么？
（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由.
（3）在（2）的条件下，在E点处水平放第二个平面镜，如图所示，光线CD经过二次反射后，反射光线为EG．射线CD、EG的反向延长线交于点P．求证：∠P= 2∠OHF．
（3）E在y轴负半轴上运动时，连EC，点P为AC延长线上一点，EM平分∠AEC，且PM⊥EM，PN⊥x轴于N点，PQ平分∠APN，交x轴于Q点，则E在运动过程中， 的大小是否发生变化，若不变，求出其值.
【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-5,0），B（5.0），D（2，7），
（1）求C点的坐标；
【例8】如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+b）²+|a-b+4|=0，
过C作CB⊥x轴于B。
（1）求三角形ABC的面积。
（2）若过B作BD//AC交y轴于D，且AE、DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图，求∠AED的度数。
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等，若存在，求出P点的坐标；
（1）求B、C的坐标；
（2）如图，AB//CD，Q是CD上一动点，CP平分∠DCB，BQ与CP交于点P，求∠DQB+∠QBC+∠QPC的值。
【例7】如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴的正方向运动。
（1）若|m+2n-5|+|2m-n|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标。
【例3】如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=2∠BAO，P为x轴正半轴上一动点，BC平分∠ABP，PC平分∠APF，OD平分∠POE。
（1）求∠BAO的度数；（2）求证：∠C=15°+12∠OAP
（3）P在运动中，∠C+∠D的值是否变化，若发生变化，说明理由，若不变求其值。
【例4】如图，A为x轴负半轴上一点，C（0,-2），D（-3，-2）。
（3）在（2）的条件下，四边形QBPO的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．
【例9】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D连结AC，BD．
(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
若不存在，请说明理由。
【例9】如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C.
(1)若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；
(2)延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB=∠EOB，∠OAE=∠OEA，求∠A度数；
(3)如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P.当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在(2)的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．
【例7】在平面直角坐标系中，点B（0，4），C（-5，4），点A是x轴负半轴上一点，S四边形AOBC=24.
（1）线段BC的长为，点A的坐标为；
（2）如图1，EA平分∠CAO，DA平分∠CAH，CF⊥AE点F，试给出∠ECF与∠DAH之间满足的数量关系式，并说明理由；
（3）若点P是在直线CB与直线AO之间的一点，连接BP、OP，BN平分 ，ON平分 ，BN交ON于N，请依题意画出图形，给出 与 之间满足的数量关系式，并说明理由.
（2）在y轴上是否存在一点P，连结PA，PB，使S△PAB＝S△PDB，若存在这样一点，求出点P点坐标，若不存在，试说明理由；
（3）若点Q自O点以0.5个单位/s的速度在线段AB上移动，运动到B点就停止，设移动的时间为t秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB的面积是四边形ABCD面积的三分之一？
若能，求出P点坐标，若不能，说明理由．
【例6】如图，A点坐标为（－2，0），B点坐标为（0，－3）.
(1)作图，将△ABO沿x轴正方向平移4个单位，得到△DEF，延长ED交y轴于C点，过O点作OG⊥CE，垂足为G；
(2)在(1)的条件下，求证:∠COG＝∠EDF；
（3）求运动过程中线段AB扫过的图形的面积．
【例13】在直角坐标系中，A（-4，0），B（2，0），点C在y轴正半轴上，且S△ABC= 18．
（1）求点C的坐标；
（2）是否存在位于坐标轴上的点P，S△ACP= S△ABC．若存在，请求出P点坐标，若不存在，说明理由．
【例14】如图，（1）DO平分∠EDC，探究∠E，∠C，∠DOC的关系．
（2）在直角坐标系中，第一象限AB方向放有一个平面镜，一束光线CD经过反射的反射光线是DE，法线DH交y轴于点H．交x轴于点F（∠DCE＞∠DEC），若平面镜AB绕点D旋转，则是否存在一个正整数k，使∠DCE-∠DEC=k∠OHF．若存在，请求出k值，若不存在，请说明理由．
【例8】在平面直角坐标系中，OA＝4，OC＝8，四边形ABCO是平行四边形．
（1）求点B的坐标及的面积 ；
（2）若点P从点C以2单位长度/秒的速度沿CO方向移动，同时点Q从点O以1单位长度/秒的速度沿OA方向移动，设移动的时间为t秒，△AQB与△BPC的面积分别记为 ， ，是否存在某个时间，使 ＝ ，若存在，求出t的值，若不存在，试说明理由；
【例2】在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（-2，-2），将线段AB平移至线段CD.
（1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；
（2）如图2，若线段AB移动到CD，C、D两点恰好都在坐标轴上，求C、D的坐标；
（3）若点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACD=5，求C、D的坐标；
（4）在y轴上是否存在一点P，使线段AB平移至线段PQ时，由A、B、P、Q构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P、Q的坐标，若不存在，说明理由；
【例3】如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（－2，3），C（－3，0）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若把△ABC向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△ ，请你在图中画出△ ；
（4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB的面积等于△ACO面积的二分之一？
【例10】在直角坐标系中，△ABC的顶点A（—2，0），B（2，4），C（5，0）．
（1）求△ABC的面积
（2）点D为y负半轴上一动点，连BD交x轴于E，是否存在点D使得 ？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
培优训练三：平面直角坐标系（压轴题）
一、坐标与面积：
【例1】如图，在平面直角坐标中，A(0，1)，B(2，0)，C（2，1.5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，0.5），试用a的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【例11】在平面直角坐标系中，点 ， ， ，且满足 ，过点C作 轴，D是MN上一动点.
（1）求 的面积；
（2）如图1，若点 的横坐标为-3， 交 于 ，求点 的坐标；
（3）如图2，若 ， 是 上的点，Q是射线DM上的点，射线QG平分 ，射线PH平分 ， ，请你补全图形，并求 的值.
【例12】如图，直角坐标系中，C点是第二象限一点，CB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴正半轴上一点，A（a，0）是x轴负半轴上一点，且 ，S四边形AOBC=9。
（3）点F（5，n）是第一象限内一点，，连BF，CF，G是x轴上一点，若△ABG的面积等于四边形ABDC的面积，则点G的坐标为（用含n的式子表示）
二、坐ຫໍສະໝຸດ Baidu与几何：
【例1】如图，已知A(0，a)，B（0，b），C（m，b）且（a－4）2＋|b＋3|＝0，S△ABC＝14.
（1）求C点坐标
（2）作DE⊥DC，交y轴于E点，EF为∠AED的平分线，且∠DFE＝900.求证：FD平分∠ADO；
（3）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上什么位置时，使 ；
（4）若点B、 C的位置不变，当点Q在x轴上什么位置时，使 ．
【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足 ，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数；
（2）如图，设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由。
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由。
（2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）。设从出发起运动了x秒。
①请用含x的代数式分别表示P,Q两点的坐标；
②当x=2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？
若存在，求E的坐标，若不存在，说明理由？
（1）求C点坐标；
（2）设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交与点P，求∠APD的度数？
（3）当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交CB于M，∠BMD，∠DAO的平分线交于N，则D点在运动的过程中∠N的大小是否变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由。
（1）求△BCD的面积；
（2）若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，判断∠CPQ与∠CQP的大小关系，
并说明你的结论。
（3）若∠ADC=∠DAC，点B在x轴正半轴上任意运动，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于点E，
在B点的运动过程中， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由。
【例5】如图，已知点A（-3,2），B（2,0），点C在x轴上，将△ABC沿x轴折叠，使点A落在点D处。
（1）写出D点的坐标并求AD的长；
（2）EF平分∠AED，若∠ACF-∠AEF=15º，求∠EFB的度数。
【例6】如图，在直角坐标系中，已知B（b，0），C（0，a），且|6–2b| +（2c-8）²=0.BD⊥x轴于B.
【例5】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）
（1）在坐标系中，画出此四边形；
（2）求此四边形的面积；
（3）在坐标轴上，你能否找一个点P，使S△PBC=50，
【例10】如图，y轴的负半轴平分∠AOB， P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N.（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？
（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，
其他条件都不变时,等式∠APM= （∠OBA－∠A）是否成立？为什么？
（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由.
（3）在（2）的条件下，在E点处水平放第二个平面镜，如图所示，光线CD经过二次反射后，反射光线为EG．射线CD、EG的反向延长线交于点P．求证：∠P= 2∠OHF．
（3）E在y轴负半轴上运动时，连EC，点P为AC延长线上一点，EM平分∠AEC，且PM⊥EM，PN⊥x轴于N点，PQ平分∠APN，交x轴于Q点，则E在运动过程中， 的大小是否发生变化，若不变，求出其值.
【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-5,0），B（5.0），D（2，7），
（1）求C点的坐标；
【例8】如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+b）²+|a-b+4|=0，
过C作CB⊥x轴于B。
（1）求三角形ABC的面积。
（2）若过B作BD//AC交y轴于D，且AE、DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图，求∠AED的度数。
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等，若存在，求出P点的坐标；
（1）求B、C的坐标；
（2）如图，AB//CD，Q是CD上一动点，CP平分∠DCB，BQ与CP交于点P，求∠DQB+∠QBC+∠QPC的值。
【例7】如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴的正方向运动。
（1）若|m+2n-5|+|2m-n|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标。
【例3】如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=2∠BAO，P为x轴正半轴上一动点，BC平分∠ABP，PC平分∠APF，OD平分∠POE。
（1）求∠BAO的度数；（2）求证：∠C=15°+12∠OAP
（3）P在运动中，∠C+∠D的值是否变化，若发生变化，说明理由，若不变求其值。
【例4】如图，A为x轴负半轴上一点，C（0,-2），D（-3，-2）。
（3）在（2）的条件下，四边形QBPO的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．
【例9】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D连结AC，BD．
(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
若不存在，请说明理由。
【例9】如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C.
(1)若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；
(2)延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB=∠EOB，∠OAE=∠OEA，求∠A度数；
(3)如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P.当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在(2)的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．
【例7】在平面直角坐标系中，点B（0，4），C（-5，4），点A是x轴负半轴上一点，S四边形AOBC=24.
（1）线段BC的长为，点A的坐标为；
（2）如图1，EA平分∠CAO，DA平分∠CAH，CF⊥AE点F，试给出∠ECF与∠DAH之间满足的数量关系式，并说明理由；
（3）若点P是在直线CB与直线AO之间的一点，连接BP、OP，BN平分 ，ON平分 ，BN交ON于N，请依题意画出图形，给出 与 之间满足的数量关系式，并说明理由.
（2）在y轴上是否存在一点P，连结PA，PB，使S△PAB＝S△PDB，若存在这样一点，求出点P点坐标，若不存在，试说明理由；
（3）若点Q自O点以0.5个单位/s的速度在线段AB上移动，运动到B点就停止，设移动的时间为t秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB的面积是四边形ABCD面积的三分之一？
若能，求出P点坐标，若不能，说明理由．
【例6】如图，A点坐标为（－2，0），B点坐标为（0，－3）.
(1)作图，将△ABO沿x轴正方向平移4个单位，得到△DEF，延长ED交y轴于C点，过O点作OG⊥CE，垂足为G；
(2)在(1)的条件下，求证:∠COG＝∠EDF；
（3）求运动过程中线段AB扫过的图形的面积．
【例13】在直角坐标系中，A（-4，0），B（2，0），点C在y轴正半轴上，且S△ABC= 18．
（1）求点C的坐标；
（2）是否存在位于坐标轴上的点P，S△ACP= S△ABC．若存在，请求出P点坐标，若不存在，说明理由．
【例14】如图，（1）DO平分∠EDC，探究∠E，∠C，∠DOC的关系．
（2）在直角坐标系中，第一象限AB方向放有一个平面镜，一束光线CD经过反射的反射光线是DE，法线DH交y轴于点H．交x轴于点F（∠DCE＞∠DEC），若平面镜AB绕点D旋转，则是否存在一个正整数k，使∠DCE-∠DEC=k∠OHF．若存在，请求出k值，若不存在，请说明理由．
【例8】在平面直角坐标系中，OA＝4，OC＝8，四边形ABCO是平行四边形．
（1）求点B的坐标及的面积 ；
（2）若点P从点C以2单位长度/秒的速度沿CO方向移动，同时点Q从点O以1单位长度/秒的速度沿OA方向移动，设移动的时间为t秒，△AQB与△BPC的面积分别记为 ， ，是否存在某个时间，使 ＝ ，若存在，求出t的值，若不存在，试说明理由；
【例2】在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（-2，-2），将线段AB平移至线段CD.
（1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；
（2）如图2，若线段AB移动到CD，C、D两点恰好都在坐标轴上，求C、D的坐标；
（3）若点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACD=5，求C、D的坐标；
（4）在y轴上是否存在一点P，使线段AB平移至线段PQ时，由A、B、P、Q构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P、Q的坐标，若不存在，说明理由；
【例3】如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（－2，3），C（－3，0）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若把△ABC向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△ ，请你在图中画出△ ；
（4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB的面积等于△ACO面积的二分之一？
【例10】在直角坐标系中，△ABC的顶点A（—2，0），B（2，4），C（5，0）．
（1）求△ABC的面积
（2）点D为y负半轴上一动点，连BD交x轴于E，是否存在点D使得 ？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
培优训练三：平面直角坐标系（压轴题）
一、坐标与面积：
【例1】如图，在平面直角坐标中，A(0，1)，B(2，0)，C（2，1.5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，0.5），试用a的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【例11】在平面直角坐标系中，点 ， ， ，且满足 ，过点C作 轴，D是MN上一动点.
（1）求 的面积；
（2）如图1，若点 的横坐标为-3， 交 于 ，求点 的坐标；
（3）如图2，若 ， 是 上的点，Q是射线DM上的点，射线QG平分 ，射线PH平分 ， ，请你补全图形，并求 的值.
【例12】如图，直角坐标系中，C点是第二象限一点，CB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴正半轴上一点，A（a，0）是x轴负半轴上一点，且 ，S四边形AOBC=9。
（3）点F（5，n）是第一象限内一点，，连BF，CF，G是x轴上一点，若△ABG的面积等于四边形ABDC的面积，则点G的坐标为（用含n的式子表示）
二、坐ຫໍສະໝຸດ Baidu与几何：
【例1】如图，已知A(0，a)，B（0，b），C（m，b）且（a－4）2＋|b＋3|＝0，S△ABC＝14.
（1）求C点坐标
（2）作DE⊥DC，交y轴于E点，EF为∠AED的平分线，且∠DFE＝900.求证：FD平分∠ADO；
（3）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上什么位置时，使 ；
（4）若点B、 C的位置不变，当点Q在x轴上什么位置时，使 ．
【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足 ，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数；
（2）如图，设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由。
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由。
（2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）。设从出发起运动了x秒。
①请用含x的代数式分别表示P,Q两点的坐标；
②当x=2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？
若存在，求E的坐标，若不存在，说明理由？
（1）求C点坐标；
（2）设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交与点P，求∠APD的度数？
（3）当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交CB于M，∠BMD，∠DAO的平分线交于N，则D点在运动的过程中∠N的大小是否变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由。
（1）求△BCD的面积；
（2）若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，判断∠CPQ与∠CQP的大小关系，
并说明你的结论。
（3）若∠ADC=∠DAC，点B在x轴正半轴上任意运动，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于点E，
在B点的运动过程中， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由。
【例5】如图，已知点A（-3,2），B（2,0），点C在x轴上，将△ABC沿x轴折叠，使点A落在点D处。
（1）写出D点的坐标并求AD的长；
（2）EF平分∠AED，若∠ACF-∠AEF=15º，求∠EFB的度数。
【例6】如图，在直角坐标系中，已知B（b，0），C（0，a），且|6–2b| +（2c-8）²=0.BD⊥x轴于B.