2019年甘肃省高考数学三诊试卷(文科)

2019年甘肃省高考数学三诊试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）函数lg()y x =-的定义域为A ，函数x y e =的值域为B ，则A B =（A ）(0,)+∞ （B ）(0,)e （C ）R （D ）∅（2）已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量AB 的方向相反的单位向量是（A ）（－35，45） （B ）（－45，35） （C ）（35，－45） （D ）（45，－35） （3）函数sin()1y x π=--的图象（A（B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于x π=对称（4）若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则以下为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）()p q ∧⌝ （C ）()p q ⌝∨ （D ）()()p q ⌝∧⌝ （5）曲线x y =与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（A ）003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩ （B ）003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （C ）003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩ （D ）003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩（6）函数2()f x x =＋bx 的图象在点A （l ，f(1））处的切线与直线3x - y ＋2＝0平行，若数列｛1()f n ｝的前n 项和为S n ，则S 2015＝ （A ）1 （B ）20132014 （C ）20142015 （D ）20152016（7）若则“”是“2248200x x y y -+++=”成立的,,R y x ∈()324log 2=-+y x xy俯视图（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知向量(3,1),(sin ,cos )αα==a b ，且a ∥b ，则tan 2α=（A ）35 （B ）35- （C ）34（D ）34-（9）若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积等于（A ）310cm（B ）320cm （C ）330cm （D ）340cm（10）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=.0ln ,0),ln()(x x x x x f ， 若)()(m f m f ->,则实数m 的取值范围是（A ）)1,0()0,1( - （B ）)1,0()1,( --∞ （C ）),1()0,1(+∞- （D ）),1()1,(+∞--∞（11）在中，的对边分别为，且，，则的面积为（A ） 2 （B ）23（C ） 22 （D ）24 （12）已知抛物线C ：x 2 =8y 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF与C 的一个交点，若2PF FQ =，则|QF|=（A ）6 （B ）3（C ）83（D ）43第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、数列{}n a 中，若11(1)0,1n n a a a ++==，则6a =14、已知实数,x y 满足240103x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最大值是15、已知抛物线28y x =上一点P 到焦点的距离为4，则PFO ∆的面积为 16、已知函数221x x y x +-=-与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）设数列{}1n a +是一个各项均为正数的等比数列，已知377,127a a ==. （1）求的1a 值；（2）求数列{}n a 的前n 项和.18、（本小题满分12分）甘肃省瓜州县自古就以生产“美瓜”面名扬中外，生产的“瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%~19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用,,x y z 表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big 对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w x y z =++的值平定蜜瓜的顶级，若4w ≥，则为一级；若23w ≤≤，则为二级；若01w ≤≤，则为三级，今年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量； （2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w 至少有一个为4的概率.19、（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，点,D E 分别在,AB AC 上，2,3AD DB AC EC ==，沿DE 将ADE ∆翻折起来，使得点A 到P 的位置，满足PB .（1）证明：DB ⊥平面PBC ；（2）若PB BC PC ===点M 在PC 上，且，求三棱锥P BEM -的体积.20、（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的顶点到直线:l y x =的距离分别为. （1）求椭圆1C 的离心率；（2）过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆1C 的两条切线PM 和PN 分别与圆交于点,M N ，求PMN ∆面积的最大值.21、（本小题满分12分） 已知函数()sin cos f x x x x =+.（1）当(,)4x ππ∈时，求函数()f x 的单调区间；（2）若存在(,)42x ππ∈，使得()2cos f x kx x >+成立，求实数k 的取值范围.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程已知直线2:(x l t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）. （1）使判断l 与C 的位置关系；（2）若把曲线1C 上个点的横坐标压缩为原来的12倍，倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 设函数()3,2f x x g x =--. （1）解不等式()()2f x g x +<；（2）对于实数,x y ，若()()1,1f x g y ≤≤，证明：213x y -+≤.2019年甘肃省高考数学三诊试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）D（7）B （8）D （9）B （10）B （11）C （12）A第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.61 14. 31- 15.4 16.()()1115-，，16. 答案提示： 2 21(2)(1)()12 2 1.x x x x f x x x x x ---≤<+-⎧==⎨-+<->⎩，，，或 直线2-=kx y 过定点)20(-，，由函数图像可知结果为：()()1115-，，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（I ）由题可知1281,8173=+=+a a ， ………2分则有1288)1)(1()1(7325⨯=++=+a a a ，可得3215=+a 即315=a ； ……… 6分 （II ）}1{+n a 是一个以2为首项， 2为公比的等比数列，n n n a 22211=⨯=+-所以21n n a =- ， …………9分利用分组求和可得12122212n n n S n n +-=-=---（）. …………12分18. 解：（I ）计算10块种植地的综合指标，可得下表：3分用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为三级的块数为……6分 （II ）由（I ）可知：等级是一级的（4ω≥）有B ，D ，F ，G ，I ，共5块，从中随机抽取两块，所有的可能结果为： (,)B D ，(,)B F ，(,)B G ，(,)B I ，(,)D F ，(,)D G ，(,)D I ，(,)F G ，(,)F I ，(,)G I ，共计10个； ………10分其中综合指标4ω=的有：D ，F 2个，符合题意的可能结果为(,)B D ，(,)B F ，(,)D F ，(,)D G ,(,)D I ，(,)F G ,(,)F I 共7个，设“两块种植地的综合指标ω至少有一个为4”为事件M………12分19. （I ）证明：设3,,,2AB b BD b PB PD b ====则∵222PD PB BD =+ ∴B D P B ⊥ ………4分BC BD ⊥ ，B BC PB =⋂ PBC BD 面⊥∴ ………6分（II ）解：∵PB BC PC === ∴P B B C ⊥ ∵,BD PB BD BC B 且^=I ∴B C E PB 面⊥, ∴3348P MBE E PMB E PBC V V V ---===. ……………12分20.解：（I ）由直线1l 的方程知，直线1l 与两坐标轴的夹角均为45，故长轴端点到直线1l ，短轴端点到直线1l求得1a b ==, …………3分所以C 1的离心率3c e a ===. ……5分 （II ）设点(,)P P P x y ，则224p p x y +=.（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则P x =1P y =±， 另一切线的斜率为0，从而PM PN ⊥.此时，11||||222PMN S PM PN ∆=∙=⨯⨯= ………6分（ⅱ）若切线的斜率均存在，则P x ≠ 设过点P 的椭圆的切线方程为()P P y y k x x -=-， 代入椭圆方程，消y 并整理得：222(31)6()3()30P P P P k x k y kx x y kx ++-+--=.依题意0∆=，得222(3)210p P P p x k x y k y -++-=.设切线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，从而22122213133p p ppy x k k x x --===---，…8分即PM PN ⊥，线段MN 为圆O 的直径，||4MN =. 所以，222111||||(||||)||4244PMN S PM PN PM PN MN ∆=∙+==≤当且仅当||||PM PN ==PMN S ∆取最大值4. 综合（ⅰ）（ⅱ）可得：PMN S ∆取最大值4. …12分 21.解：（I ）x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='， ………………2分∴42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()cos 0f x x x '=>，∴函数f (x )在42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数；2x π⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，时，()cos 0f x x x '=<， ∴函数f (x )在2π⎛⎫π ⎪⎝⎭，上是减函数； …………5分（II ）由题意等价于x x x cos sin +x kx cos 2+>，整理得xxk sin <． 令xxx h sin )(=，则2sin cos )(x x x x x h -='，令x x x x g sin cos )(-=，0sin )(<-='x x x g ，∴g (x )在()42x ππ∈，上单调递减，∴()()(1)044g x g ππ<=-<，即0sin cos )(<-=x x x x g ， ……10分∴0sin cos )(2<-='x x x x x h ，即xxx h sin )(=在()42ππ，上单调递减，∴sin42()44h x π<==πππ，即k < ………………12分22. 解：（I ）1:02:221=+=--y x C y x l ，, ………… 2分122200>=--=d , 所以直线与曲线相离. ……………… 5分（II）变化后的曲线方程是1cos ,2sin .2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设点1(cos )2P θθ , …7分则点到直线的距离是d ==则最小距离是22. ………………10分 23. 解：（I ）解不等式|3||2| 2.x x -+-<①当2x ≤时，原不等式可化为322,x x -+-< 可得3.2x >所以32.2x <≤②当23x <≤时，原不等式可化为322,x x -+-< 可得1 2.< 所以2 3.x <≤③当3x ≥时，原不等式可化为322,x x -+-< 可得7.2x < 所以73.2x <≤由①②③可知，不等式的解集为37.22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ …………………5分（II ）|21||3)2(2)|32212 3.x y x y x y -+=----+-+=（≤≤当且仅当 4213x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 时等号成立. ………………10分 也可用线性规划得出结论.。