平面和平面垂直的判定课件公开课
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《平面与平面垂直》课件
。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
《平面与平面垂直的判定》公开课PPT课件
AA1 1
DD1 1
CC1 1 BB1 1
N
DDM
C
C
O
A
B
A
B
引入定义
D1
A1
C1 B1
D
C
A
B
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
引入定义 定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
记作：
探究（二）——平面与平面垂直的判定定理
【直观感知】
【概念生成】
问题1 在平面几何中“角”是怎样定义的？ 构成角的基本要素有几个？
类比平面内“角”的定义，在空间立体 几何中，我们可以如何定义二面角？用你 自己的话说一说。
【概念生成】
角
二面角
【概念定义】
A
类比
面
OB
棱l
平面中的角
二面角
面
二面角：从空间一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面.
找到一个面面垂直的实例，指出实例中哪两个平面互相垂直， 说明使得该组平面垂直的原因，并尝试总结判定两平面垂直的 一般方法，4人一组开展讨论.
探究（二）——平面与平面垂直的判定定理
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直.
简称：线面垂直， 则面面垂直
图
符像号表表 Nhomakorabea示
β
示
m
α
深化概念 判断题：
×
×
√ √
概念应用
例题：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在 的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点， 求证：平面PAC 平面ABC.
《平面与平面垂直》课件
- 使用垂线和锐角判定法。 - 使用球、柱、锥等几何体来判断。 - 使用向量的内积。
平面垂直的应用
- 常规角度如直角、45度、30度等可以由平面垂直得出。 - 在建筑、雕塑等领域中的设计、测量、制作等面是指位于同一平面内的点的集合。 - 平面垂直是指两个平面在它们交线上的垂线相交。 - 平面垂直的判断方法有多种，应用广泛。
《平面与平面垂直》PPT 课件
探索平面与平面垂直的奇妙世界。了解什么是平面，什么是平面垂直，以及 它们在不同领域中的应用。
什么是平面？
平面是指位于同一平面内的、无限多的点的集合。它没有方向，只有长度和宽度。
什么是平面垂直？
平面垂直是指两个平面在它们交线上的垂线相交，它们互相垂直。
如何确定平面垂直？
平面与平面垂直的判定ppt课件
B A
O
如果两个平面相交 所成的二面角是直二 面角，那么我们称这 两个平面相互垂直.
记作：
画法：
25
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直．
A
已知：AB⊥β，AB⊂α. 求证：α⊥β。
C
E
B
D
[证明]：设α∩β=CD，
∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD．
二面角 AB
QB
二面角P l Q
l
P
二面角P AB Q A
二面角的画法
F
E
l
A
二面角－ l－
B
D
C
C
B D
A
二面角C－AB－ D
角
二面角
图形
顶点 O
A 边
边B
A 棱a 面
B面
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
l
A C
二面角的大小的范围:
O
A
0 180
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
13
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中
求:二面角D’-AB-D的大小
D’
C’
求:二面角A’-AB-D的大小 A’
B’
D C
A
B
例2:已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A 到 的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－ 的大小。
在Rt △ADO中， ∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
《平面与平面垂直》课件
平面与平面垂直的性质定理的推论
推论1
证明
如果一个直线与两个互相垂直的平面都垂 直，那么这条直线与这两个平面的交线也 垂直。
由于直线与两个平面都垂直，所以这条直 线与这两个平面的二面角都是直角。因此 ，这条直线与这两个平面的交线也垂直。
推论2
证明
如果一个直线与两个相交的平面都平行， 那么这条直线与这两个平面的交线也平行 。
解答题
结合平面与平面的平行和垂直 关系，解答有关空间几何的问
题。
THANKS.
选择题
若平面与平面垂直，则它们的 法线之间的夹角是锐角、直角
还是钝角？
简答题
简述平面与平面垂直的判定定 理。
综合练习题
解答题
综合运用平面与平面垂直的性 质和判定定理，判断两个给定
平面是否垂直。
应用题
结合实际生活，举例说明平面 与平面垂直的应用场景。
证明题
证明一个给定平面与另一个已 知垂直的平面垂直。
《平面与平面垂直》 ppt课件
目 录
• 平面与平面垂直的定义 • 平面与平面垂直的性质 • 平面与平面垂直的判定定理 • 平面与平面垂直的应用 • 练习题
平面与平面垂直的
01
定义
平面与平面垂直的文字定义
平面与平面垂直
如果一个平面中的任意一条直线 都与另一个平面垂直，则这两个 平面互相垂直。
平面与直线垂直
平面与平面垂直的判定定理的符号表述
符号表示
设两个平面分别为α和β，交线为l。选取直线a、b在平面α内，且a、b相交于 点A。如果直线a、b都与平面β垂直，则表示为a⊥β，b⊥β。
符号表述的详细解释
在数学符号表示中，如果一个直线或平面与另一个平面垂直，则用符号⊥来表 示。因此，如果直线a和b都与平面β垂直，则表示为a⊥β和b⊥β。
平面与平面垂直的判定 课件
C D ⊥ A D ． 又 PA ∩ A D ＝ A ， ● 所以CD⊥平面PAD． ● 又CD⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD． ● 所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.
● (2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA．所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面 角 ． 又 由 题 意 知 ∠ B A D ＝ 9 0 ° ， 所 以 二 面 角 B － PA － D 的 平 面 角 的 度 数 为 9 0 ° .
● (3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角． ● 又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°. ● 所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
(4)作 BE⊥PC 于 E，连接 DE，BD，且 BD 与 AC 交于点 O，连接 EO，如图．由题 意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE， 从而△PBE≌△PDE.
● 规律总结：证明平面与平面垂直的方法
● 根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利 用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法 ，即要证面面垂直，只要转证 线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
• 求二面角的大小
● 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．
● (1)求二面角A－PD－C的平面角的度数； ● (2)求二面角B－PA－D的平面角的度数； ● (3)求二面角B－PA－C的平面角的度数； ● (4)求二面角B－PC－D的平面角的度数．
● [探究] 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解． ● [解析] (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．因为四边形ABCD为正方形，所以
● (2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA．所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面 角 ． 又 由 题 意 知 ∠ B A D ＝ 9 0 ° ， 所 以 二 面 角 B － PA － D 的 平 面 角 的 度 数 为 9 0 ° .
● (3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角． ● 又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°. ● 所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
(4)作 BE⊥PC 于 E，连接 DE，BD，且 BD 与 AC 交于点 O，连接 EO，如图．由题 意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE， 从而△PBE≌△PDE.
● 规律总结：证明平面与平面垂直的方法
● 根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利 用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法 ，即要证面面垂直，只要转证 线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
• 求二面角的大小
● 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．
● (1)求二面角A－PD－C的平面角的度数； ● (2)求二面角B－PA－D的平面角的度数； ● (3)求二面角B－PA－C的平面角的度数； ● (4)求二面角B－PC－D的平面角的度数．
● [探究] 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解． ● [解析] (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．因为四边形ABCD为正方形，所以
平面与平面垂直的判定PPT名师课件
5．“木欣欣以向荣，泉涓涓而始流”既 是实景 ，又是 心景， 由物及 人，自 然生出 人生短 暂的感 伤。 6．“善万物之得时，感吾生之行休”， 这是作 者在领 略到大 自然的 真美之 后，所 发出的 由衷赞 美和不 能及早 返归自 然的惋 惜之情 。
感谢指导！
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B
C
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知识盘点
• 二面角的相关概念： • 二面角的平面角的范围：
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课后作业
• 教材P73—A组4
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1、半平面：
• 平面内的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做半平面。
半平面 半平面
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2、二面角：
• 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。
• 即：将一个平面沿平面上的一条直线折起， 得到的空间图形称为二面角。
C1
D1
B1
A1
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C
B
O
D A
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追踪练习
• 如 图 ， 在 三 棱 锥 V-ABC 中 ， 有
VA=VB=AC=BC=2，AB= 2 3 ，VC=1，
试 画 出 二 面 角 V-AB-C 的 平 面 角 ， 并 求
出它的度数。
V
A O
α
A
B
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感谢指导！
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• 教材P73—A组4
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1、半平面：
• 平面内的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做半平面。
半平面 半平面
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2、二面角：
• 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。
• 即：将一个平面沿平面上的一条直线折起， 得到的空间图形称为二面角。
C1
D1
B1
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C
B
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追踪练习
• 如 图 ， 在 三 棱 锥 V-ABC 中 ， 有
VA=VB=AC=BC=2，AB= 2 3 ，VC=1，
试 画 出 二 面 角 V-AB-C 的 平 面 角 ， 并 求
出它的度数。
V
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2.3.2平面与平面 垂直的判定(2)
复习回顾：
从一条直线出发的两个半 1、二面角的平面角 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 面角。这条直线叫做二面 2、二面角的平面角 1、定义法 角的棱。这两个半平面叫 的大小与 其顶点 2、垂面法 做二面角的面。 在棱上的位置无关 3、三垂线法 二、二面角的表示方法： 3、二面角的大小用 o o 它的平面角的大 二面角的范围： [ 0 , 180 ]． 三、二面角的平面角： 小来度量
面PAC 面PBC
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
课堂小结：
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 2、 线线垂直
线面垂直 面面垂直
课后作业
• 思考：你还能从右图 中找出几对相互垂直 的面？
课堂练习：
一、判断：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线，则α⊥β.（× ）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线，则α⊥β.（× ） 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
探究1： 如图为正方体,请问哪些平面与 面A1 B 垂直?
我们怎样用所学知识去描述“墙面 不倾斜”这一事实呢？
一、两个平面垂直的定义:
平面与平面垂直的定义: 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面 角），就说这两个平面互相垂直．
记作:
观 察 生 活
你发现了什么？
二、两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
一、二面角的定义：
二 四、二面角的平面角的作法： 面 角 －AB－ 二 面 角 － l－ 二 面 角 C－AB－ D
五、二面角的计算：
[情境问题] （1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满 足怎样的位置呢？ （2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所 在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？
D1 A1 B1 C1
面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
D A B
C
面A1B 面AD1
面面垂直
线面垂直
线线垂直
例1:如图，AB是圆O的直径，PA垂直 于圆O所在的平面，C是圆周上不同 于A,B的任意一点，求证：
典例剖析
平面PAC 平面PBC.
P C
A
O
符号: l l
简记：线面垂直，则面面垂直
α
β
l
线线垂直
线面垂直
面面垂直
线面垂直判定定理：
l
n
B
m
A
mα nα m∩n=B l⊥m l⊥n
l ⊥α
应 用 于 生 活
建筑工人砌墙时， 如何使所砌的墙和水平面垂直？
证明两个平面垂直有那些方法？
（1）定义法：如果两个平面所成的二面 角是直二面角，我们就说这两个平面互相 垂直 （2）判定定理：如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两个平面互相 垂直（“线面垂直”则“面面垂直”）
B
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC PA BC AC BC PA AC A PA 面PAC
BC 面PAC
BC 面PBC
AC 面PAC
复习回顾：
从一条直线出发的两个半 1、二面角的平面角 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 面角。这条直线叫做二面 2、二面角的平面角 1、定义法 角的棱。这两个半平面叫 的大小与 其顶点 2、垂面法 做二面角的面。 在棱上的位置无关 3、三垂线法 二、二面角的表示方法： 3、二面角的大小用 o o 它的平面角的大 二面角的范围： [ 0 , 180 ]． 三、二面角的平面角： 小来度量
面PAC 面PBC
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
课堂小结：
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 2、 线线垂直
线面垂直 面面垂直
课后作业
• 思考：你还能从右图 中找出几对相互垂直 的面？
课堂练习：
一、判断：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线，则α⊥β.（× ）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线，则α⊥β.（× ） 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
探究1： 如图为正方体,请问哪些平面与 面A1 B 垂直?
我们怎样用所学知识去描述“墙面 不倾斜”这一事实呢？
一、两个平面垂直的定义:
平面与平面垂直的定义: 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面 角），就说这两个平面互相垂直．
记作:
观 察 生 活
你发现了什么？
二、两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
一、二面角的定义：
二 四、二面角的平面角的作法： 面 角 －AB－ 二 面 角 － l－ 二 面 角 C－AB－ D
五、二面角的计算：
[情境问题] （1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满 足怎样的位置呢？ （2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所 在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？
D1 A1 B1 C1
面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
D A B
C
面A1B 面AD1
面面垂直
线面垂直
线线垂直
例1:如图，AB是圆O的直径，PA垂直 于圆O所在的平面，C是圆周上不同 于A,B的任意一点，求证：
典例剖析
平面PAC 平面PBC.
P C
A
O
符号: l l
简记：线面垂直，则面面垂直
α
β
l
线线垂直
线面垂直
面面垂直
线面垂直判定定理：
l
n
B
m
A
mα nα m∩n=B l⊥m l⊥n
l ⊥α
应 用 于 生 活
建筑工人砌墙时， 如何使所砌的墙和水平面垂直？
证明两个平面垂直有那些方法？
（1）定义法：如果两个平面所成的二面 角是直二面角，我们就说这两个平面互相 垂直 （2）判定定理：如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两个平面互相 垂直（“线面垂直”则“面面垂直”）
B
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC PA BC AC BC PA AC A PA 面PAC
BC 面PAC
BC 面PBC
AC 面PAC