6.2 Kendall 相关性检验

计算成品的收率与温度之间的 Spearman 秩相关检验和 Kendall 相 关系数.成品的收率与温度之间正相关吗？
a b ，且大样本近似也 易得，在没有打结的情况下， 一样
在实际问题中，不失一般性，假定x i 已从小到 yi 大排列，因此协同性问题就转化为 的秩的变化问 题. y1, y2 , , yn d1 , d 2 , , d n ,(n, dn ), 1 i n的秩，因而x,y的 令(1, d1 ),(2, d2 ), 为 秩形成 p i I ( d j d i ) , i 1, 2, ，若记 ,n
Kendall相关系数统计量由二者的平均差定义如下：
2
Nc Nd 2S a n(n 1) / 2 n(n 1)
其中，S Nc Nd , 1
1.
1）若所有的数对协同一致，则 Nc n(n 1) / 2, Nd 0, 1
表示两组数据正相关
2）若所有的数对都相反，则 Nc 0, Nd n(n 1) / 2, 1 表示两组数据负相关 3）Kendall 为零时，表示数据中同向或反向的数对 势力均衡，没有明显趋势，这与相关性的含义是一 致的.
例：现在想研究体重和肺活量的关系，调查了某地 10 名女初中生的体重和肺活量的数据如下所示，， 进行相关性检验. 学生体重和肺活量比较表
指标\学生编号 体重x 肺活量y 1 75 2 95 3 85 4 70 5 76 6 68 7 60 8 66 9 80 10 88
2.62 2.91 2.94
2 31 K 0.6889 90
K 0.6889 C 0.467
故拒绝零假设，认为体重和肺活量之间有相关关系
例 2：为了研究某化学反应中成品的收率与温度之间的关系，记录了 10 次试验的数据（见下表） ：
温度 成品的收益 45 52 54 100 110 120 63 130 62 140 68 75 150 160 76 92 170 180 88 190
2.11 2.17
1.98 2.04
2.20
2.65
2.69
解：建立假设检验问题为
H 0 : 体重和肺活量没有相关关系
H1 : 体重和肺活量有相关关系
计算每个变量的秩如下表：
秩\学生编号 体重x的秩 肺活量y的秩 7 1 2 8 2 5 6 3 1 4 4 3 1 5 6 5 6 4 9 7 7 3 8 10 10 9 8 2 10 9
反之，则称数对不协同，表示变化方向相反.
协同性测量了前后两个数对的秩大小变化为同 向还是反向.
Kendall 检验统计量
n n ( n 1) 全部的数据所有可能前后对数共有 2 2
N d 表示反向数对的 对，用 N c 表示同向数对的数目， n ( n 1) 数目，则 N c N d
t1 i ( i 1) j ( j 1) / 2n(n 1) j i t2 i ( i 1)( i 2) j ( j 1)( j 2) / 9n(n 1)( n 2) j i
6.2Kendall 相关检验

Spearman （斯伯曼 / 斯皮尔曼）秩相关分析模 仿了 Pearson （皮尔逊）相关的思想， Kendall （肯 德尔）于1938年提出了另一种与Spearman秩相关相 似的检验方法，他从两个变量 ( xi , y i )(i 1,2, , n) 是否 协同一致的角度出发检验两变量之间是否存在相关 性，其适用条件和Spearman秩相关检验相同. 首先引入协同的概念
ji
qi
P
I
n
令

n
ji
( d j di )
, i 1, 2,
,n
i 1
pi , Q

i 1
qi

，则Kendall
P Q K n(n 1) / 2
统计量的值为
也就是说，对于每一个y i ，求当前位置后比 y i
大的数据的个数，将这些数相加所得就是 N c ，同理 可计算 N d .
( X i , X j , Yi , Yj ) 是 p((xj xi )( yj yi ) 0) 的核估计量， 式中， 因而 为U统计量
定理：在零假设成立的条件下，
1）E ( ) 0, D( ) n(n 1)(2n 5)
18
2）关于原点O对称
大样本计算 当样本容量n较大时，

18 N (0,1) n(n 1)(2n 5)
对于打结的情况，Kendall给出了调整后的结果为 S b n(n 1) / 2 i ( i 1) / 2 n(n 1) / 2 j ( j 1) / 2 i j j 为Y观测 其中， i 是X观测值中第i组打结的个数， 值中第j组打结的个数.
当样本容量n较大时，相应的大样本近似公式为
Nc Nd n(n 1)(2n 5) t t /18 t1 t2 N (0,1)
i ( i 1)(2i 5), t j ( j 1)(2 j 5) 其中 t i j
Kendall b 还经常用于分析列联表数据，度量两 个有序变量的相关性，当列联表中的行列数目 r 和 c 较大时，使用 Kendall c 更合适.
2q ( N c N d ) c , q min(r , c) 2 n (q 2)
Kendall 检验结果 当 K C 时拒绝零假设，当 K C 时不能拒绝零 假设. 临界值 C 满足 p ( K C ) ，由对称性得，K 小于0时，取绝对值查表即可.
9
10 合计
8
9
1
0 38
0
0 7
由公式得
C 0.467 在给定显著性水平 0.05 下 ，
2 31 K 0.6889 90
K 0.6889 C 0.467
故拒绝零假设，认为体重和性水平 0.05 下 ，
定义：假设n对观测值 (x1, y1),(x2, y 2), ,(xn, y n) ，如果 乘积(xj xi ) ( yj y i ) 0 对于 j i, i, j 1,2, , n ，则称数 对( x i , y i ) 与( x j , y j ) 满足协同性，或者说它们的变化 方向一致.
N 3 8 ,N 7 ,S N N 3 1 ,n 1 0 ,nn ( 1 ) 1 0 9 9 0 c d c d
Nc 和 N d 的求解方法如下：
秩 ( xi , yi )
1 2
Nc
8
Nd
1
2
3 4 5 6 7 8
5
1 3 6 4 7 10
5
7 6 4 4 3 0
3
0 0 1 0 0 2
如果定义
1;( x j xi ) ( y j y i ) 0 ( X i , X j , Yi , Y j ) 0;( x j xi ) ( y j y i ) 0 1;( x j xi ) ( y j y i ) 0
则Kendall 相关系数统计量又可定义为 2 a ( X i , X j , Yi , Y j ) n(n 1) 1i j n