《1.1.1集合的含义与表示～1.1.2集合间的基本关系》测试题及答案
第一章1.1-1.1.2集合间的基本关系 答案
1.1.2 集合间的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．解析：由x 2－4＝0，得x ＝±2，所以P ＝{－2，2}．因此PT .答案：D2．解析：集合{0，1，2}的非空子集为：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A3．解析：由x (x －1)＝0得x ＝0或x ＝1，则集合A 中有两个元素0和1，所以0∈A ，1∈A .答案：A4．解析：①集合M 表示由点(1，2)组成的单元素集，集合N 表示由点(2，1)组成的单元素集，故①错误；②由集合中元素的无序性可知M ，N 表示同一个集合，故②正确；③假设空集不是唯一的，则不妨设∅1、∅2为不相等的两个空集，易知∅1⊆∅2，且∅2⊆∅1，故可知∅1＝∅2，矛盾，则空集是唯一的，故③正确；④M ，N 都是由大于或等于1的实数组成的集合，故④正确．答案：D5．解析：A ＝{x |0≤x <4，且x ∈N}＝{0，1，2，3}，故其真子集有24－1＝15(个)．答案：C二、填空题6．解析：A 为非空集合时，方程x 2＝a 有实数根，所以a ≥0.答案：{a |a ≥0}7．解析：因为∅{x |x 2－x ＋a ＝0}． 所以{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅，即x 2－x ＋a ＝0有实根．所以Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≤148．解析：当a ＝0时，B ＝∅⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－1a ，若B ⊆A ，则－1a ＝－1或－1a ＝1，解得a ＝1或a ＝－1.综上，a ＝0或a ＝1或－1.答案：{－1，0，1}三、解答题9．解：若B ＝∅，则p ＋1>2p －1，解得p <2；若B ≠∅，且B ⊆A ，则借助数轴可知，⎩⎨⎧p ＋1≤2p －1，p ＋1≥－2，2p －1≤5，解得2≤p ≤3.综上可得p ≤3.10．解：因为{x ∈N|－1<x <3}＝{0，1，2}，A{0，1，2}且A 中至少有一个元素为奇数，故这样的集合共有3个．当A 中含有1个元素时，A 可以为{1}；当A 中含有2个元素时，A 可以为{0，1}，{1，2}．B 级 能力提升1．解析：满足条件的集合是{－1}，{1}，{4}，{－1，1}，{－1，4}，{1，4}，{－1，1，4}，共7个．答案：C2．解析：因为A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，A ＝B ，所以⎩⎨⎧4＝ab ，a ＝2，解得a ＝2，b ＝2， 所以a ＋b ＝4.答案：43．解：集合A ＝{0，－4}，由于B ⊆A ，则：(1)当B ＝A 时，即0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1.(2)当B A 时， ①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.②当B ＝{0}或B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4.则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件．综上可知a＝0或a≤－1.。
1.1.1集合的含义与表示精选必考题2
1.1.1集合的含义与表示精选必考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分 一、单选题 1．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|21,}B x x k k ==+∈Z ，{|41,}C x x k k ==+∈Z ，又a A ∈，b B ∈，则必有（ ）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．以上都不对 2．已知{}32,,1a a ∈-，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．3或 4 D ．无解 3．下列写法正确的是（ ）A ．∅{}0 B ．0∅C ．{}0∅∈D ．0∈∅4．下列表示正确的是( )A ．0∈NB ．27∈NC ．–3∈ND ．π∈Q 5．集合{|32}x x ∈-<N 用列举法表示是A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{0，1，2，3，4}6．已知集合{}2320,A x ax x x R =-+=∈.若集合A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围是（ ）A ．98a ≥B ．908a a ≥=或 C ．908a a >=或 D ．908a a <=或 7．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为 ( )A ．{1,1}B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0} 8．已知集合A ＝{a ，b ，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{0,1,2} 9．已知集合()()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,1,0A =--，(){},2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）．A ．77B ．49C ．45D ．3010．已知集合A={12，a 2+4a ，a –2}，且–3∈A ，则a=A ．–1B ．–3或–1C ．3D ．–311．将集合(){5,|21x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭表示成列举法，正确的是( ) A ．{2，3} B ．{(2，3)}C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2，3)12．已知集合{}10A x x =≤，a =a 与集合A 的关系是（ ） A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A = D ．{}a A ∈ 13．下列关系中，正确的个数为（ ）①72∈R ；Q ；③π∈Q ；④|-3|∉N ；⑤∈Z. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 14．下列元素与集合的关系表示正确的是( )①1-∈N *；∉Z ；③32∈Q ；④π∈Q A ．①② B ．②③C ．①③D ．③④ 15．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ）A ．-3或-1或2B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或216．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝0,,b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ，则b －a 等于( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－217．集合{}22,4,0x x --中的x 不能取的值的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．518． 若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( ) A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对19．以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）A ．中国古代四大发明B ．周长为10cm 的三角形C ．方程210x -=的实数解D ．地球上的小河流20．已知集合{M x x =≤，a =）． A ．a M ∈B ．a M ÜC ．{}a M ∈D ．{}M a Ü二、填空题21．已知集合22{(,)|3,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为_____.22．已知{}31,2,A x =，且x A ∈，则实数x 的取值集合是______．23．若集合(){}210A x k x x k =++-=中只有一个元素，则k =______.24．已知集合()()21|,}0{x x x x a x R --+=∈中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为_____．25．己知1a ≤，集合{}2x a x a ≤≤-中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围为________.26．设,,x y z 都是非零实数，则可用列举法将x y z xy xyz x y z xy xyz++++的所有可能值组成的集合表示为________.27．已知集合A={a+2，2a 2+a}，若3∈A ，则a 的值为________．28．已知全集U ＝{1，2，a 2－2 a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于________．29．若集合2{|10}x ax x ++=有且只有一个元素,则实数a 的取值集合是___________. 30．已知集合{}21,2,4=++M m m ，如果5M ∈，那么m 的取值集合为________. 31．已知集合{}21,1,3A a a a =+--，若1A ∈，则实数a 的值为______．32．若集合A =2{|310}x ax x -+=中只含有一个元素，则a 值为__________；若A 的真子集个数是3个，则a 的范围是 __________。
第一章1.1-1.1.1第2课时集合的表示 答案
1.1.1 集合的含义与表示第2课时 集合的表示A 级 基础巩固一、选择题1．解析：{x ∈N ＋|x －2<4}＝{x ∈N ＋|x <6}＝{1，2，3，4，5}．答案：D2．解析：集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x ＋3，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合．答案：C3．解析：因为0是整数且满足－3≤x ≤3，所以0∈A .答案：B4．解析：{x |x ＝2k ，k ∈Z}表示所有偶数组成的集合．由－3<x <11及x ＝2k ，k ∈Z ，可限定集合中元素．答案：D5．解析：解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝－x ，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，所以答案为{(－1，1)，(0，0)}．答案：B二、填空题6．解析：④中的两个集合的元素对应相等，其余3组都不表示同一个集合．所以答案为④.答案：④7．解析：因为A ＝{－2，－1，0，1，2}，所以B ＝{3，0，－1}．答案：B ＝{3，0，－1}8．解析：因为x ∈Z ，106－x∈N ，所以6－x ＝1，2，5，10， 得x ＝5，4，1，－4.故A ＝{5，4，1，－4}．答案：{5，4，1，－4}三、解答题9．解：因为a ∈A ，则a ＝2k 1(k 1∈Z)；b ∈B ，则b ＝2k 2＋1(k 2∈Z)，所以a ＋b ＝2(k 1＋k 2)＋1.又k 1＋k 2为整数，2(k 1＋k 2)为偶数，故2(k 1＋k 2)＋1必为奇数，所以a ＋b ∈B 且a ＋b ∉A .10．解：(1)不超过10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，共6个元素，故集合用列举法表示为{0，2，4，6，8，10}，集合是有限集．(2)大于10的自然数有无限个，故集合用描述法表示为{x |x >10，x ∈N}，集合是无限集．B 级 能力提升1．解析：两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素．答案：C2．解析：①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M 是实数3，4的集合，而集合N 是实数对(3，4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．答案：④3．解：由⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1可得a ≠0，a ≠1(否则不满足集合中元素的互异性)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a ＋b ，1＝a 2，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a 2，1＝a ＋b ，b a ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0. 经检验a ＝－1，b ＝0满足题意．所有a 2 016＋b 2 017＝(－1)2 016＝1.。
《第一章 集合与常用逻辑用语》同步练习及答案
《第一章 集合与常用逻辑用语》同步练习§1．1集合的含义与表示一．选择题5．集合8|,,3M y y x y Z x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭的元素个数是 （ ）A ． 2个B ． 4个C ． 6个D ．8个6．方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是 （ ） A ．()5,4 B ．()4,5-C ．(){}4,5-D ．(){}4,5-7．集合{}20,A x x px q x R =++=∈{}2=，则p q += （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28．由所有奇数组成的集合可用下列哪几个集合表示 （ ）（1）{}Z k k x x ∈+=,12 （2）{}Z k k x x ∈-=,12（3）{}Z k k x x ∈±=,14 （4）{} 5,3,1,1,3-- A ．1，2 B ．1,2,4C ．1,2,3D ．1,2,3,4二．填空题9．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝___ _．10．设集合(){,|6,,}=A x y x y x N y N =+=∈∈ ．三．解答题11．已知{},A x x a a Z b Z ==+∈∈（1）试写出集合A 的五个元素；（2）判断下列元素是否属于A ，0，12-（3）若x ∈A, y ∈A ，试判断x + y ，xy 与A 的关系．12．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，求a 的取值范围．【参考答案】一．选择题5．集合8|,,3M y y x y Z x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭的元素个数是（ ）A ． 2个B ．4个C ． 6个D ．8个解析：D6．方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是 （）A ．()5,4B ．()4,5-C ．(){}4,5-D ．(){}4,5-解析：D7．集合{}20,A x x px q x R =++=∈{}2=，则p q += （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2解析：B8．由所有奇数组成的集合可用下列哪几个集合表示 （ ）（1）{}Z k k x x ∈+=,12 （2）{}Z k k x x ∈-=,12（3）{}Z k k x x ∈±=,14 （4）{} 5,3,1,1,3-- A ．1，2 B ．1,2,4C ．1,2,3D ．1,2,3,4解析：D二．填空题9．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝___ _____． 解析：{1,3}10．设集合(){,|6,,}=A x y x y x N y N =+=∈∈ ． 解析：()()()()()()(){}0,6,1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,6,0三．解答题11．已知{},A x x a a Z b Z ==+∈∈（1）试写出集合A 的三个元素；（2）判断下列元素是否属于A ，0，12-（3）若x ∈A, y ∈A ，试判断x + y ，xy 与A 的关系．解析：(1) 1,2++(2)10,,2A A A A A ∈ （3）,x y A xy A +∈∈12．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，求a 的取值范围． 解析：98a ≥或0a =§1．2集合间的基本关系一．选择题 1．能正确表示集合M ＝{x |x ∈R 且0≤x ≤1}和集合N ＝{x ∈R |x 2＝x }关系的Venn 图是( )2．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．设A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，若A ⊆B ，则m 的取值范围是( )A ．m >3B ．m ≥3C ．m <3D ．m ≤34． 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则( )A ．3,2b c =-=B ．3,2b c ==-C ．2,3b c =-=D ．2,3b c ==-5．集合{}2,P x x k k Z ==∈，{}21,Q x x k k Z ==+∈，{}41,R x x k k Z ==+∈， a P ∈，b Q ∈，设c a b =+，则有 ( )A ．c P ∈B ． c Q ∈C ．c R ∈D ． 以上都不对二．填空题6．已知集合：(1){0}；(2){∅}；(3){x |3m <x <m }；(4){x |a ＋2<x <a }；(5){x |x 2＋2x ＋5＝0}．其中，一定表示空集的是________(填序号)．7．{}20,A x x px q x R =++=∈{}2=，则p q += ．8．满足{}{},,,,a b A a b c d ⊆⊆的集合A 的个数有 个．9．已知集合{}2560A x x x =-+=， {}10B x mx =+=，且A B A =，实数m 的值组成的集合为 ．10．已知集合A ＝{1,3,5}，则集合A 的所有子集的元素之和为________．三．解答题 11．集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A ．求实数m 的取值范围．12．若{}2|10,A x x ax x R =++=∈， {}1,2B =，且A B A =，求a 的范围．【参考答案】一．选择题 1．能正确表示集合M ＝{x |x ∈R 且0≤x ≤1}和集合N ＝{x ∈R |x 2＝x }关系的Venn 图是( )解析：B2．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：B3．设A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，若A ⊆B ，则m 的取值范围是( )A ．m >3B ．m ≥3C ．m <3D ．m ≤3解析：D4．若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则( )A ．3,2b c =-=B ．3,2b c ==-C ．2,3b c =-=D ．2,3b c ==-解析：A5．集合{}2,P x x k k Z ==∈，{}21,Q x x k k Z ==+∈，{}41,R x x k k Z ==+∈， a P ∈，b Q ∈，设c a b =+，则有 ( )A ．c P ∈B ． c Q ∈C ．c R ∈D ． 以上都不对解析：B二．填空题 6．已知集合：(1){0}；(2){∅}；(3){x |3m <x <m }；(4){x |a ＋2<x <a }；(5){x |x 2＋2x ＋5＝0}．其中，一定表示空集的是________(填序号)．解析：(4)(5)7．{}20,A x x px q x R =++=∈{}2=，则p q += ． 解析：08．满足{}{},,,,a b A a b c d ⊆⊆的集合A 的个数有 个． 解析：49．已知集合{}2560A x x x =-+=， {}10B x mx =+=，且A B A =，实数m 的值组成的集合为 ．解析：110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 10．已知集合A ＝{1,3,5}，则集合A 的所有子集的元素之和为________． 解析：36三．解答题 11．集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A ．求实数m 的取值范围．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎨⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上得m ≥－1. 即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．12．若{}2|10,A x x ax x R =++=∈， {}1,2B =，且A B A =，求a 的范围． 解析：[)2,2-§1.3.1 集合的基本运算—交集、并集一．选择题 1．已知集合M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{－3，－2，－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．{－3，－2，－1}2．已知集合A ＝{x |x ≥－3}，B ＝{x |－5≤x ≤2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x ≥－5}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－3<x ≤2}D ．{x |－5≤x ≤2}3．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}4．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤25．已知集合{}220M x x px =++=，{}20N x x x q =--=，且{}2M N =，则q p ,的值为 （ ） A ．3,2p q =-=- B ．3,2p q =-=C ．3,2p q ==-D ．3,2p q ==3,2p q == 6．设集合(){},46A x y x y =+=，(){},327B x y x y =+=，则满足()C A B ⊆的集合C 的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题 7．定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，则N －M ＝________．8．已知集合{}2560A x x x =-+=，{}10B x mx =+=，且A B A =，实数m 的值组成的集合为 ．三．解答题9．已知集合{}3+≤≤=a x a x A ，{}51>-<=x x x B 或（1）若A B =∅，求实数a 的取值范围． （2）若A B R =，求实数a 的取值范围．10．已知集合{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，且A B A =，试求a 的取值范围．【参考答案】一．选择题 1．已知集合M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{－3，－2，－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．{－3，－2，－1}解析：C2．已知集合A ＝{x |x ≥－3}，B ＝{x |－5≤x ≤2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x ≥－5}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－3<x ≤2}D ．{x |－5≤x ≤2}解析：A3．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}解析：C4．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤2解析：C5．已知集合，，且，则的值为 （ ）A ．B ．C ．D ．解析：B6．设集合，，则满足的集合的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：C二．填空题7．定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，则N －M ＝________．解析：{}68．已知集合，，且，实数的{}220M x x px =++={}20N x x x q =--={}2M N =q p ,3,2p q =-=-3,2p q =-=3,2p q ==-3,2p q ==(){},46A x y x y =+=(){},327B x y x y =+=()C A B ⊆C {}2560A x x x =-+={}10B x mx =+=A B A =m值组成的集合为 ．三．解答题9．已知集合， （1）若，求实数的取值范围．解析：12x -≤≤（2）若，求实数的取值范围．解析：4x <-或5x >10．已知集合，，且，试求的取值范围．解析：{}0,4A =-，A B ⊇（1）当{}0,4B =-，即120,4x x ==-是()222110x a x a +++-=的两个根，由韦达定理可得1a =；（2）当{}0B =时，20110a a ∆=⎧⇒=-⎨-=⎩； （3）当{}4B =-时，()20168110a a ∆=⎧⎪⇒∅⎨-++-=⎪⎩； （4）当B =∅时，01a ∆<⇒<-；综上：a 的取值范围为1a =或1a ≤-．§1.3.2 集合的基本运算—补集一．选择题1．设全集U ＝R ，集合P ＝{x |－2≤x <3}，则∁U P 等于( )A ．{x |x <－2或x ≥3}B ．{x |x <－2或x >3}C ．{x |x ≤－2或x >3}D ．{x |x ≤－2且x ≥3}2．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )＝( ){}3+≤≤=a x a x A {}51>-<=x x x B 或A B =∅a A B R =a {}240A x x x =+=(){}222110B x x a x a =+++-=A B A =aA ．{1,2,5,6}B ．{1}C ．{2}D ．{1,2,3,4}3．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )等于( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}4．设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A.{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}5．已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}6．设集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若(∁R M )⊇(∁R N )，则k 的取值范围是( )A ．k ≤2B ．k ≥－1C ．k >－1D ．k ≥27．已知全集U ≠∅以及集合N P M ,,，且P C N N C M U U ==,，则( )A ．P C M U =B ．P M =C ．M P ⊆D ．P M ⊆8．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是A ．()MP S B ． ()M P S C ． ()()I MP C S D ． ()()I M P C S二．填空题9．已知全集U =R ，集合{}20M x x x m =-+=，{}230,N x x nx =-+= 若(){}2U M C N =，则m n += ．10．已知全集U ＝{不大于20的素数}，M ，N 为U 的两个子集，且满足M ∩(∁U N )三．解答题11．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}．求：(1)A∩B；(2)∁U(A∪B)；(3)A∩(∁U B)．12．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．(1)当m＝1时，求A∪B；(2)若B⊆(∁R A)，求实数m的取值范围．【参考答案】一．选择题1．设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x<3}，则∁U P等于()A．{x|x<－2或x≥3} B．{x|x<－2或x>3}C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x≤－2且x≥3}解析：A2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁U B)＝() A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}解析：B3．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于() A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：D4．设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝()A.{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}解析：B5．已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：B6．设集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若(∁R M )⊇(∁R N )，则k 的取值范围是( )A ．k ≤2B ．k ≥－1C ．k >－1D ．k ≥2解析：D7．已知全集U ≠∅以及集合N P M ,,，且P C N N C M U U ==,，则( )A ．P C M U =B ．P M =C ．M P ⊆D ．P M ⊆解析：B8．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是A ．()MP S B ． ()M P S C ． ()()I MP C S D ． ()()I M P C S 解析：C二．填空题9．已知全集U =R ，集合{}20M x x x m =-+=，{}230,N x x nx =-+= 若(){}2U M C N =，则m n += ．解析：6-10．已知全集U ＝{不大于20的素数}，M ，N 为U 的两个子集，且满足M ∩(∁U N )＝{3,5}，(∁U M )∩N ＝{7,19}，(∁U M )∩(∁U N )＝{2,17}，则 M ＝ ；N＝ ．解析： 如图，∴M ＝{3,5,11,13}，N ＝{7,11,13,19}．三．解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x ≤3}．求：(1)A ∩B ；(2)∁U (A ∪B )；(3)A ∩(∁U B )．解析：(1)因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <2}∩{x |0<x ≤3}＝{x |0<x <2}．(2)A ∪B ＝{x |－1<x <2}∪{x |0<x ≤3}＝{x |－1<x ≤3}，∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x >3}．(3)A ∩(∁U B )＝{x |－1<x <2}∩{x |x >3或x ≤0}＝{x |－1<x ≤0}．12．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆(∁R A )，求实数m 的取值范围．解析：(1)m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}，A ∪B ＝{x |－1<x <4}．(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤－12，满足B ⊆(∁R A )，当B ≠∅时，要使B ⊆(∁R A )成立，则⎩⎨⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎨⎧m <1＋3m ，m >3，解之得m >3.综上可知，实数m 的取值范围是m >3或m ≤－12．§1．4充分条件和必要条件一．选择题 1．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝14．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]6．已知:12p x +>，2:5+60q x x -<, 则非p 是非q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二．填空题7．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x 2－1＝0”是“|x |－1＝0”的____ _；(2)“x <3”是“x <5”的_____ ___；8．方程)(01032R k k x x ∈=+-有相异的两个同号实根的充要条件是 ．三．解答题9．已知命题⎩⎨⎧≤-≥+01002:x x p ，命题)0(11:>+≤≤-m m x m q ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．10．求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是．【参考答案】一．选择题1．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A2．“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：A3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：A4．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件x 20ax bx c ++=0a b c ++=解析：B5．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：A6．已知:12p x +>，2:5+60q x x -<, 则非p 是非q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件解析：B二．填空题8．方程)(01032R k k x x ∈=+-有相异的两个同号实根的充要条件是 ． 解析：2503k <<三．解答题9．已知命题⎩⎨⎧≤-≥+01002:x x p ，命题)0(11:>+≤≤-m m x m q ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解析：:210p x -≤≤，:11,0q m m m m -≤≤+>，p 是q 的必要不充分条件，则p q ⊃，即012110m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩03m ⇒<≤10．求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是．x 20ax bx c ++=0a b c ++=解析：假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．§1．5 全称量词与存在量词一．选择题1．判断下列命题是存在量词命题的个数()①每一个一次函数都是增函数；②至少有一个自然数小于1；③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；④圆内接四边形，其对角互补．A．1个B．2个C．3个D．4个2．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为()A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0 B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0 D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>04．命题“∃x>0，都有x2－x≤0”的否定是()A．∃x>0，使得x2－x≤0 B．∃x>0，使得x2－x>0C．∀x>0，都有x2－x>0 D．∀x≤0，都有x2－x>05．已知命题p：∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是() A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)6．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x ∈R ，x 2－2x >0； ④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题三．解答题9．设函数f (x )＝x 2－2x ＋m .(1)若∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围；(2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，求m 的取值范围．10．已知m ∈R ，设命题:53P m -≤；命题Q ：函数()24323f x x mx m =+++与x 轴有两个相异的交点．求使命题“P 或Q ”为真命题的实数的取值范围．【参考答案】一．选择题 1．判断下列命题是存在量词命题的个数( )①每一个一次函数都是增函数；②至少有一个自然数小于1；③存在一个实数x ，使得x 2＋2x ＋2＝0；④圆内接四边形，其对角互补．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：B2．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2解析：D3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为()A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0 B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0 D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0解析：C4．命题“∃x>0，都有x2－x≤0”的否定是()A．∃x>0，使得x2－x≤0 B．∃x>0，使得x2－x>0C．∀x>0，都有x2－x>0 D．∀x≤0，都有x2－x>0解析：C5．已知命题p：∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是() A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：D6．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：B二．填空题三．解答题9．设函数f(x)＝x2－2x＋m.(1)若∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围；(2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，求m 的取值范围．解析：（1）1m ≥；（2）3m ≥-10．已知m ∈R ，设命题:53P m -≤；命题Q ：函数()24323f x x mx m =+++与x 轴有两个相异的交点．求使命题“P 或Q ”为真命题的实数的取值范围． 解析：当P 为真时：28m ≤≤；函数()24323f x x mx m =+++与x 轴有两个相异的交点， 可得：04m ∆>⇒>或1m <-，当命题Q 为真时：4m >或1m <-；由“P 或Q ”为真，可得,P Q 至少一个为真，当,P Q 同时为假命题时，满足8214m m m ><⎧⎨-≤≤⎩或，解得12m -≤<， 即由“P 或Q ”为真，m 的取值范围是2m ≥或1m <-．。
高中数学(人教版A版必修一)全册课时练习及期末测试题(含答案)
第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果________的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A 不属于如果________中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________________一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是()A．著名的科学家B．留长发的女生C．2010年广州亚运会比赛项目D．视力差的男生2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．25．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.能力提升12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．(1)研究对象小写拉丁字母a，b，c，…(2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，… 2.确定性互异性无序性3．一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N N*或N＋Z Q R作业设计1．C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．] 2．C[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C[因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]6．A[方法一因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．方法二令x＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．] 7．①④解析①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.9．∈∈∉∉10．解(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，∴a＝－3 2.12．解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3表示成列举法，正确的是()A．{2,3}B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有() A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6()A．BC．{1,2}D．{(1,2)}二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.14159}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1}B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1}D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时 集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法 {x |x <10} {x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z } 作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．] 5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2} 解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}． 8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标； ②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集． 9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④. 10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1000，n ∈N }；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．12．C[由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]13．A[M＝{x|x＝2k＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋24，k∈Z}，∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]1.1.2集合间的基本关系课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中，了解空集的含义．1．子集的概念一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果__________，就说集合A与B相等A＝B真子集如果集合A⊆B，但存在元素__________，称集合A是B的真子集A B(或B A)(1)定义：______________的集合叫做空集．(2)用符号表示为：____.(3)规定：空集是任何集合的______．5．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么___________________________．一、选择题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()A．P＝Q B．C．Q D．P∩Q＝∅2．满足条件M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A．3B．6C．7D．83．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B中的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A4．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．35．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()A．S P M B．S＝MC．S P＝M D．P＝S题号二、填空题7．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若B，则实数a的取值范围是________．9．已知集合{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．三、解答题10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a 的取值范围．11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围．能力提升12．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．13．已知集合{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.拓展当A不是B的子集时，我们记作“A B”(或A)．2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含)等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的．1．1.2 集合间的基本关系知识梳理1．任意一个 A ⊆B B ⊇A A 含于B B 包含A 2.封闭 3．A ⊆B 且B ⊆A x ∈B ，且x ∉A 4.(1)不含任何元素 (2)∅ (3)子集 5.(1)A ⊆A (2)A ⊆C 作业设计1．B [∵P ＝{x |y ＝x ＋1}＝{x |x ≥－1}，Q ＝{y |y ≥0} ∴Q ，∴选B.]2．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．] 3．C4．B [只有④正确．] 5．B [由N ＝{－1,0}，知M ，故选B.]6．C [运用整数的性质方便求解．集合M 、P 表示成被3整除余1的整数集，集合S 表示成被6整除余1的整数集．] 7．①②解析 ①、②显然正确；③中π与M 的关系为元素与集合的关系，不应该用”符号；④中{π}与M 的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号． 8．a ≥2解析 在数轴上表示出两个集合，可得a ≥2. 9．6解析 (1)若A 中有且只有1个奇数， 则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}； (2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅. 10．解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0， (1)当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立； (2)当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12}，B ⊆A 不成立；(3)当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立， 则B ＝{－3,2}， ∴a ＝－3×2＝－6.综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6. 11．解 ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1，∴m <2.②若B ≠∅，将两集合在数轴上表示，如图所示．要使B ⊆A ，则⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得⎩⎨⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.由①、②，可知m ≤3. ∴实数m 的取值范围是m ≤3.12．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a }． 又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a }．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.13．5解析若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．(1)定义：一般地，________________________的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作________．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_________________________________________________________________ _______.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为下图中的阴影部分：(4)性质：A∪B＝________，A____，A∪B＝A⇔________，A____A∪B.2．交集(1)定义：一般地，由________________________元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝_________________________________________________________________ _______.(3)(4)性质：A∩B＝______，A∩____，A∩B＝A⇔________，1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于()A．{x|x<1}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1}D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N 为()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于() A．1B．2C．3D．46．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N二、填空题7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B ∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.三、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．613．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．1.3 集合的基本运算 第1课时 并集与交集知识梳理一、1.由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B 2.{x |x ∈A ，或x ∈B } 4.B ∪A A A B ⊆A ⊆ 二、1.属于集合A 且属于集合B 的所有 A ∩B 2.{x |x ∈A ，且x ∈B } 4.B ∩A A ∅ A ⊆B ⊆ 作业设计 1．A2．D [由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}．]3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C .] 4．D [M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.] 5．C [依题意，由A ∩B ＝{2}知2a ＝2， 所以，a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选C.] 6．B [∵M ，∴M ∪N ＝M .] 7．0或1解析 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ， ∴t 2－t ＋1＝－3① 或t 2－t ＋1＝0② 或t 2－t ＋1＝1③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1. 8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴ (B ∪C ) ∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}， ∴a ＝－1，b ＝2.10．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}， 即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3. ∴⎩⎨⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－4q ＝3. 11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a＝0或a＝1 2.12．D[x的取值为1,2，y的取值为0,2，∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.] 13．解符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．第2课时补集及综合应用课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．2．补集自然语言对于一个集合A，由全集U中________________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁U A＝____________图形语言3.补集与全集的性质(1)∁U U＝____；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁U A)＝____；(4)A∪(∁U A)＝____；(5)A∩(∁UA)＝____.一、选择题1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于()A．{x|－2<x<2}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{2}B．{2,3}C．{3}D．{1,3}4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是() A．A＝∁U P B．A＝PC．A P D．P5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)二、填空题7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________________，∁U B＝________________，∁B A＝____________.9．已知全集U，B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．三、解答题10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.能力提升12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x ∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.第2课时补集及综合应用知识梳理1．全集U 2.不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}3．(1)∅(2)U(3)A(4)U(5)∅作业设计1．D[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.]2．C[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．]3．D[由B＝{2,5}，知∁U B＝{1,3,4}．A∩(∁U B)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]4．B[由A＝∁U B，得∁U A＝B.又∵B＝∁U P，∴∁U P＝∁U A.即P＝A，故选B.]5．C[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a ∈∁I S，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S，故选C.]6．D[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．U9．∁U∁U A解析画Venn图，观察可知∁U∁U A.10．解∵∁U A＝{5}，∴5∈U且5∉A.又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．11．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}； 当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}， U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．12．D [借助于Venn 图解，因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，所以选D.]13.解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎨⎧a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．§1.1习题课课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于()A．{x|x>－1}B．{x|x<3}C．{x|－1<x<3}D．{x|1<x<3}2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于() A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}3．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()A．A B．a∉AC．{a}∉A D．{a A4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于()A．∅B．{d}C．{b，e}D．{a，c}5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为____________．6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩(∁A(B∪C))．一、选择题1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．符合条件{a P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2B．3C．4D．53．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是()A．M＝P B．PC．M D．M与P没有公共元素4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩S)∩(∁S P) D．(M∩P)∪(∁V S)5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的范围是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．∅二、填空题6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁U A＝{5}，则a＝________.9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)＝________________.三、解答题10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B 者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？能力提升12．对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合问题可变得更简单．§1.1习题课双基演练1．C[∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{x|－1<x<3}，故选C.]2．A[画出数轴，将不等式－3<x≤5，x<－5，x>5在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]3．D4．A[∵∁I M＝{d，e}，∁I N＝{a，c}，∴(∁I M)∩(∁I N)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.]5．A＝B解析4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.6．解∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}(1)又∵B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}∴A∩(∁A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．作业设计1．B[Q＝{x|－2<x<2}，可知B正确．]2．B[集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．]3．B[∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴P.]4．C [阴影部分是M ∩S 的部分再去掉属于集合P 的一小部分，因此为(M ∩S )∩(∁S P )．]5．B [根据题意可画出下图．∵a ＋2>a －1，∴A ≠∅.有⎩⎨⎧a －1≤3，a ＋2≥5.解得3≤a ≤4.]6．a ≤2解析 如图中的数轴所示，要使A ∪B ＝R ，a ≤2. 7．1解析 当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ； 当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ； 当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ； 当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ； 综上可知，A 中只有一个孤立元素5. 8．4解析 ∵A ∪(∁U A )＝U ， 由∁U A ＝{5}知，a 2－2a －3＝5， ∴a ＝－2，或a ＝4.当a ＝－2时，|a －7|＝9,9∉U ，∴a ≠－2. a ＝4经验证，符合题意． 9．{x |x <1或x ≥5}解析 ∁U M ＝{x |x <1}，∁U N ＝{x |x <0或x ≥5}， 故(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x <1或x ≥5}或由M ∩N ＝{x |1≤x <5}，(∁U M )∪(∁U N )＝∁U (M ∩N ) ＝{x |x <1或x ≥5}． 10．解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)∵C＝{x|x>－a2}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－a2<2，∴a>－4.11.解由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B 表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．12．解依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．13．解在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－13＝0且m＋34＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|23≤x≤34}，长度为34－23＝112；当n＝13且m＝14时，M∩N＝{x|14≤x≤13}，长度为13－14＝112.综上，M∩N的长度的最小值为1 12.§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A 中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A．1个B．2个C．3个D．4个2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝(x)2x和g(x)＝x(x)24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有()A．10个B．9个C．8个D．4个5．函数y＝1－x＋x的定义域为()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}6．函数y＝x＋1的值域为()A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x 1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应关系所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.]3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．] 5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2，g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数， 所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．。
数学必修一1.1.1集合概念章节练习(有答案)
1.1.1集合的含义与表示1已知集合M={3,m+1},且4∈M,则实数m等于( ).A.4B.3C.2D.12已知M={0,x-1},则实数x满足的条件是( ).A.x≠0B.x≠1C.x=0或1D.x≠0且x≠13用描述法表示方程x<-x-3的解集为.4集合A={x∈N|2x2-x-1=0}用列举法表示为.5选择适当的方法表示下列集合:(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值组成的集合;(3)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.1下列关系正确的是( ).A.0∈NB.1∉RC.π∈QD.-3∉Z2集合{(x,y)|y=2x-1}表示( ).A.方程y=2x-1B.点(x,y)C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合3已知集合M中的元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不( ).A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形4.2010年10月31日,为期6个月的上海世博会落幕.本次世博会的主题是:城市,让生活更美好.副主题是:城市多元文化的融合;城市经济的繁荣;城市科技的创新;城市社区的重塑;城市和乡村的互动.共有189个国家、57个国际组织参展上海世博会.设上海世博会的展馆组成的集合为M,上海世博会的志愿者组成的集合为Q,下列表示集合M 和Q正确的是( ).A.M={x|x是上海世博会展馆},Q={x|x是志愿者}B.M={x|x是世博会展馆},Q={x|x是上海世博会的志愿者}C.M={x|x是世博会展馆},Q={x|x是志愿者}D.M={x|x是上海世博会展馆},Q={x|x是上海世博会的志愿者5设集合A=,若x1∈A,x2∈A,则必有( ).A.x1+x2∈AB.x1x2∈AC.x1-x2∈AD.∈A6集合{x∈N|2x-5<0}中所有元素的和为.8集合A={x|x2-2x+m=0}含有两个元素,则实数m满足的条件是.9用适当的方法表示下列集合:(1)不超过10的非负偶数组成的集合;(2)大于10的所有自然数组成的集合.10(能力拔高题)若集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},M={x|x=6n+3,n∈Z}.若m∈M,问是否存在a∈A,b∈B,使m=a+b?1解析:∵4∈M,∴m+1=4.∴m=3.答案:B2解析:由题意得x-1≠0,则x≠1.答案:B3答案:{x|x<-x-3}4解析:解方程2x2-x-1=0,得x=1或x=-.又因为x∈N,则A={1}.答案:{1}5解:(1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3,共有7个,则用列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.(2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值有无数个,用描述法表示为{y|y=-3x2+2x+4}.(3)一次函数y=x+6图象上有无数个点,用描述法表示为{(x,y)|y=x+6}.1.答案:A2.答案:D3.解析:∵a∈M,b∈M,c∈M,∴a,b,c互不相等.∴△ABC一定不是等腰三角形.答案:D4.解析:A项中,集合Q中的元素是志愿者,没有指明是上海世博会的志愿者,所以A项不正确;B项中,集合M是世博会展馆,没有指明是上海世博会展馆,所以B项不正确;同理,C项也不正确;很明显D项正确.答案:D5.解析:如果元素具有(n∈N)的形式,则这个元素属于集合A.由于x1∈A,x2∈A,可设x1=(m∈N),x2=(k∈N).又x1x2=·=,m+k∈N,∴x1x2∈A,故B项正确;取x1=,x2=,可验证A项、C项、D项是错误的.答案:B6解析:{x∈N|2x-5<0}=={0,1,2},0+1+2=3.答案:38解析:集合A是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的解集,∵A中含有两个元素,∴Δ=4-4m>0,∴m<1.答案:m<19.解:(1)不超过10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,共6个,故可用列举法表示为{0,2,4,6,8,10}.(2)大于10的所有自然数有无数个,故可用描述法表示为{x|x>10,x∈N}.10(能力拔高题)解:设m=6k+3=(3k+1)+(3k+2)(k∈Z),令a=3k+1,b=3k+2,则m=a+b.∵k∈Z,∴a∈A,b∈B.故若m∈M,一定存在a∈A,b∈B,使m=a+b成立.。
集合知识点汇总与练习试题
集合知识点汇总与练习试题1.1 集合1.1.1 集合的含义与表⽰⼀集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常⽤⼤写字母A、B、C，…表⽰，元素常⽤⼩写字母a、b、c，…表⽰。
2.集合中元素的属性（1）确定性：⼀个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝⽆模棱两可的情况。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现⼀次。
（3）⽆序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。
4.集合相等如果构成两个集合的元素⼀样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序⽆关。
⼆集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有⼀个元素的集合叫单元素集合；2.⽆限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做?.三集合的表⽰⽅法1.常⽤数集（1）⾃然数集：⼜称为⾮负整数集，记做N；（2）正整数集：⾃然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表⽰⽅法（1）⾃然语⾔法：⽤⽂字叙述的形式描述集合。
如⼤于等于2且⼩于等于8的偶数构成的集合。
（2）列举法：把集合的元素⼀⼀列举出来，并⽤花括号“｛｝”括起来表⽰集合的⽅法，⼀般适⽤于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够⼀⽬了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项：①元素间⽤逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不⽤考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表⽰：｛0,1,2,3，…，100｝表⽰不⼤于100的⾃然数构成的集合。
（3）描述法：⽤集合所含元素的共同特征表⽰集合的⽅法，⼀般形式是｛x∈I | p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使⽤“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句⼒求简明、准确。
《1.1.1集合的含义与表示～1.1.2集合间的基本关系》测试题与答案
《1.1.1集合的含义与表示～1.1.2集合间的基本关系》测试题一、选择题1.下列对象能构成集合的是( ).①不超过的正整数；②必修一课本中的所有难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤平面上到点O的距离等于1的所有点.A.①②③B.③④⑤C.①④⑤D.①②④考查目的：考查集合的意义.答案：C.解析：①④⑤中对象的性质明确，能够构成集合；②中的“难题”没有具体的标准，难以确定；③中的“大城市”也没有具体的标准，不能构成集合.本题答案选C.2.若以集合A的四个元素为边长构成一个四边形，那么这个四边形可能是( ).A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形考查目的：考查集合元素具有互异性这一特征.答案：A.解析：由于集合A中的四个元素互不相等，故它们组成的四边形的四条边互不相等，因此本题选A.3.方程组的解集是( ).A. B. C. D.考查目的：考查集合的表示法.答案：C.解析：解方程组得，用描述法表示为，用列举法表示为，因此本题选C.二、填空题4.已知集合，若，则实数的值为 .考查目的：考查元素与集合的属于关系.答案：，或.解析：依题意得，即，解得，或.5.已知集合，，则B中所含元素的个数为 .考查目的：本题是信息迁移题，主要考查集合与元素的关系，以及对信息的理解和处理能力.答案：10.解析：依题意，在集合B中，当时，1，2，3，4；当时，1，2，3；当时，1，2；当时，1，故B中所含元素共10个.6.将集合用列举法表示为 .考查目的：考查二元一次方程自然数解的意义，以及集合表示法之间的相互转化.答案：.解析：∵，∴是偶数，且，∴当时，；当时，；当时，，故原集合用列举法表示为.三、解答题7.已知含有三个元素的集合，求的值.考查目的：考查集合相等及集合元素的互异性.答案：-1.解析：由题意知且，由两个集合相等得或，解得或.经检验不合题意，∴，∴=.8.已知集合，，若，求实数的所有可能取值的集合.考查目的：考查集合之间的关系，空集的意义及其相关性质.答案：.解析：当时，，符合要求．当时，，或，解得或，∴实数的所有可能取值的集合为.。
必修第一册1.1.1集合的含义与表示练习题及答案
1.1.1集合的含义与表示课后配餐一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1.已知3∈{1,a,a−2}，则实数a的值为()．A. 3B. 5C. 3或5D. 无解2.定义集合运算：A∗B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2}，B={0,2}，则集合A∗B中的所有元素之和为()．A. 0B. 2C. 3D. 63.下列各组对象：(1)接近于0的数的全体；(2)比较小的正整数的全体；(3)平面上到点O的距离等于1的点的全体；(4)正三角形的全体；(5)√2的近似值的全体.其中能构成集合的组数是()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列说法中正确的是()A. 2019年某汽车制造厂生产的所有汽车组成一个集合B. 某中学年龄较小的学生组成一个集合C. {1,2，3}与{2,1，3}是不同的集合D. 由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素5.已知x2∈{1,0，x}，则实数x的值为()A. 0B. 1C. −1D. ±16.给出下列命题：①√2∈Q；②{1,2}={(1,2)}；③2∈{1,2}；④{⌀}⊆{1,2}，其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 37.对于数集M，N，定义M+N={x|x=a+b,a∈M,b∈N}，M÷N={x|x=ab,a∈M,b∈N}.若集合P={1,2}，则集合(P+P)÷P的所有元素之和为()A. 272B. 232C. 212D. 152二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）8.下面说法正确的是()①{2,3}≠{3,2}；②{(x,y)|x+y=1}={y|x+y=1}；③{x|x>1}={y|y>1}；④{x|x+y=1}={y|x+y=1}A. ①B. ②C. ③D. ④第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）9.若A={2,3,a2+2a−3},B={a+3,2}，若5∈A,5∉B，则a=．∈Z}，用列举法表示集合A，则A=______．10.已知集合A={x∈Z|32−x四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）11.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R．(1)若1是集合A中的一个元素，用列举法表示集合A．(2)若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B．(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．∈A，且1∉A．12.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则11−a(1)若3∈A，求A；∈A．(2)证明：若a∈A，则1−1a13.用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3)一次函数y =2x −3图象上所有点的集合；(4)方程组{x +y =1x −y =−1的解集．14. 设集合A ={x ∈N|63+x ∈N}．(1)试判断0，2与集合A 的关系;(2)用列举法表示集合A ．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查集合中元素的性质，属于基础题．根据元素与集合的关系和元素的性质进行求解即可．【解答】解：因为3∈{1,a,a−2}，所以a−2=3或a=3．当a−2=3，即a=5时，满足题意；当a=3时，不满足集合元素的互异性，故舍去．综上可得a的值为5，故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合中元素的性质，元素与集合的关系，属中档题.根据题意求出集合A∗B中所有的元素即可得解．【解答】解：依题意，A={1,2}，B={0,2}，当x=1，y=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=2，当x=2，y=0时，z=0，当x=2，y=2时，z=4，则A∗B={0,2，4}，其所有元素之和为6，故选D．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的概念和性质，属于基础题．根据集合元素的“确定性”，各组进行分析，即可得正确选项．【解答】解：(1)“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；(2)“比较小的正整数的全体”的对象不确定，不能构成集合；(3)“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定，能构成集合；(4)“正三角形的全体”的对象是确定，能构成集合；(5)“√2的近似值的全体”的对象不确定，不能构成集合；故(3)(4)正确．故选A．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查集合的含义及集合中元素的性质，属于基础题．根据集合的含义即可得．【解答】解：A项中因为标准明确所以可以构成一个集合；B项中“较小”标准不明确不能构成集合；C项中三个元素组成的集合相等；D项中组成的集合有4个元素．故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．属于较易题．根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．【解答】解：∵x2∈{1,0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1,0，0}不成立．当x=1时，集合为{1,0，1}不成立．当x=−1时，集合为{1,0，−1}，满足条件．故x=−1．故选C．6.【答案】B【解析】解：①√2为无理数，∴√2∉Q，故①是假命题；②{1,2}是以1，2为元素的集合，{(1,2)}可以看成是以点(1,2)为元素的集合，故两个集合不相等，所以②是假命题；③由元素与集合的关系，知③是真命题；④集合{⌀}包含了一个元素⌀，而集合{1,2}包含了元素1，2，所以{⌀}⊈{1,2}，故④是假命题．故真命题的个数是1，故选：B．①根据√2为无理数，即可判断出①的真假；②{1,2}是以1，2为元素的集合，{(1,2)}可以看成是以点(1,2)为元素的集合，即可判断出真假；③由元素与集合的关系，即可判断出真假；④集合{⌀}包含了一个元素⌀，而集合{1,2}包含了元素1，2，即可判断出真假．本题考查了元素与集合之间的关系、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵P ={1,2}，∴a =1或2，∴P +P ={x|x =a +b,a ∈P,b ∈P}={2,3，4}，∴(P +P)÷P ={x|x =2,3，4，1，32}，∴元素之和为2+3+4+1+32=232， 故选：B ．根据定义分别求出(P +P)÷P 中对应的集合的元素即可得到结论．本题主要考查集合元素的确定，根据定义分别求出对应集合的元素是解决本题的关键．8.【答案】CD【解析】【分析】本题考查集合的概念和性质，解题时要熟练掌握基本知识和基本方法．集合中的元素具有无序性，故①不成立；{(x,y)|x +y =1}是点集，而{y|x +y =1}不是点集，故②不成立；③④正确．【解答】解：∵集合中的元素具有无序性，∴①{2,3}={3,2}，故①错误；{(x,y)|x +y =1}是点集，而{y|x +y =1}不是点集，故②错误；由集合的性质知③④正确．故选CD ．9.【答案】−4【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系，由题意得{a 2+2a −3=5a +3≠5，解出即可． 【解答】解：若A ={2,3,a 2+2a −3},B ={a +3,2}，若5∈A,5∉B ，则{a 2+2a −3=5a +3≠5，解得a =−4， 故答案为−4．10.【答案】{−1,1，3，5}【解析】解：∵x ∈Z ，32−x ∈Z ，∴2−x =±1或±3，即x =1，3，−1，5， 故A ={−1,1，3，5}，故答案为：{−1,1，3，5}．由x ∈Z 且32−x ∈Z 知2−x =±1或±3，从而求得．本题考查了集合的化简与列举法的应用，属于基础题．11.【答案】解：(1)∵1是A 的元素，∴1是方程ax 2+2x +1=0的一个根， ∴a +2+1=0，即a =−3，此时A ={x|−3x 2+2x +1=0}．∴x 1=1，x 2=−13，∴此时集合A ={−13,1};(2)若a =0，方程化为x +1=0，此时方程有且仅有一个根x =−12，若a ≠0，则当且仅当方程的判别式△=4−4a =0，即a =1时，方程有两个相等的实根x 1=x 2=−1，此时集合A 中有且仅有一个元素，∴所求集合B ={0,1};(3)集合A 中至多有一个元素包括有两种情况， ①A 中有且仅有一个元素，由(2)可知此时a =0或a =1， ②A 中一个元素也没有，即A =⌀，此时a ≠0，且△=4−4a <0，解得a >1， 综合 ① ②知a 的取值范围为{a|a ≥1或a =0}【解析】本题考查的知识点是集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题.(1)若1∈A ，则a =−3，解方程可用列举法表示A;(2)若A 中有且仅有一个元素，分a =0，和a ≠0且△=0两种情况，分别求出满足条件a 的值，可得集合B ．(3)集合A 中至多有一个元素包括有两种情况， ①A 中有且仅有一个元素， ②A 中一个元素也没有，分别求出即可得到a 的取值范围．12.【答案】解：(1)因为3∈A ，所以11−3=−12∈A ，所以11−(−12)=23∈A ， 所以11−23=3∈A ，所以A ={3,−12,23}.(2)证明：因为a ∈A ，有11−a ∈A ，所以11−11−a =1−a −a =1−1a ∈A ．【解析】(1)根据集合A 的定义，找出A 的所有元素即可；(2)有集合A 的定义证明即可．本题是新概念的题目，考查了元素与集合的关系的判断与应用，属于中档题．13.【答案】解：(1){−2,0，2}，(2){m|m =3k +1,k ∈N}，(3){(x,y)|y =2x −3}，(4)由{x +y =1x −y =−1，解得x =0，y =1，所以集合为{(0,1)}．【解析】本题考查了集合的概念，数集和点集，属于基础题．(1)根据条件直接表示集合即可；(2)根据条件直接表示集合即可；(3)根据条件直接表示集合即可；(4)先求出方程的解，再表示集合即可；14.【答案】解：(1)因为0，2∈N ，当x =0时，63+0=2∈N ，所以0∈A;当x =2时，63+2=65∉N ，所以2∉A .∈N，x∈N，(2)因为63+x所以x只能取0，3，所以A={0,3}．【解析】本题主要考查了集合的表示法，元素与集合的关系，属于基础题．(1)分情况讨论当x=0时，当x=2时，即可求解．∈N，x∈N，只能取0，3，即可得到结论．(2)由题可得63+x。
【优质文档】1.1.1集合的含义与表示精选必考题4
22．已知集合 A { x | ax 2 3x 2 0, x R, a R} ，若集合 A 中只有一个元素， 则实
数 a 的取值为 ______ ．
23．已知全集 I R ，集合 A { x | x2 2 x a 0}
， B { x | x 2008 0} ，则
A U B 中所有元素的和是
.
24．若 a,b, R ，且 a 0, b 0 ，则 a a
31．集合 A x | x2 x 2 0, x Z ，则集合 A 中所有元素之积为 _______.
32．已知集合 A 1,2,3 ，B 1, m ，若 3 m A ，则非零实数 m 的数值是 ______．
33．设集合 M {1, 3，6， 9， 12， 15}. 集合 N 满足： ① 有两个元素； ② 若 x N ，
C ．全体很大的自然数
D．平面内到 ABC 三个顶点距离相等
的所有点
10．若集合 A x | kx2 4x 4 0, x R 中只有一个元素 ,则实数 k 的值为 ( )
A ．0
B．1
C． 0 或 1
D． k 1
11．若 S 是由 “我和我的祖国 ”中的所有字组成的集合，则 S 中元素个数是（ ）
A ．4
B．5
C． 6
D．7
12．下列说法正确的是 ( )
A ．我校爱好足球的同学组成一个集合
B ． 1,2,3 是不大于 3 的自然数组成的集合
C．集合 1,2,3,4,5 和 5,4,3,2,1 表示同一个集合
D ．由
1， 0，
1
，
3
，
1 组成的集合有
5 个元素
22 4
13．集合 M
yy
高一数学集合知识点及练习题
第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()A C B UA A U U U ==∅=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)例题讲解1.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 ( )答案 B解析 由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.2.设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U AB =ð( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x > 答案 B解析 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B =ð{|01}x x <≤3.（北京文）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<答案 A解析 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运 算的考查∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤， ∴{12}AB x x =-≤<，故选A.4.(山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4 答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 5.（全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )=( ) A.{5，7} B.{2，4} C. {2.4.8} D. {1，3，5，6，7} 答案 C6.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 答案 B解析 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 7．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-答案 C8．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝答案 D解析 {}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D 。
1.1.1集合的含义与表示同步练习及答案解析.doc
1.1.1 集合的含义与表示 建议用时实际用时 满分 实际得分 45分钟 100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．下列几组对象可以构成集合的是( )A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．某校高一所有聪明的同学D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人2．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中最小的数为1；②若a ∈N ，则－a N ；③若a ∈N ，b ∈N ，a b ，则a ＋b 的最小值 为2；④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．33．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )，选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B4．已知集合S 的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正 确的是( )A ．0MB ．2∈MC ．－4MD ．4∈M6. 若集合}044|{2=++=x kx x A 中有且仅有一个元素，则实数k 的值为（ ）A.{0}k ∈B.{1}k ∈C.{1,0}k ∈D.{1,1}k ∈-二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）7．用“∈”或“”填空.(1)－3 ______N ； (2)3.14 ______Q ；(3)13 ______Z ； (4)－12______R ； (5)1 ______N *； (6)0 _______N .8．定义集合运算A *B ＝{M |M ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为________．9．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过3的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考数学成绩在90分以上的学生．三、解答题（本大题共3小题，共46分）10．（14分）已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x11．（15分）下面三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？12．（17分）设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则a11∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集一、选择题1. D 解析：A 、B 、C 都不满足元素的确定性，故不能构成集合.2. A 解析：N 是自然数集，最小的自然数是0，故①错；当为0时，也为0，是自然数，故②错；③中最小值应为1，故③错；“所有小的正数”范围不明确，不满足集合元素的确定性，故不能构成集合，故④错.故选A.3.C 解析：集合A 中元素y 是实数，不是点，故选项B ，D 不对．集合B 的元素(x ，y )是点而不是实数，2∈B 不正确，所以A 错．4. D 解析：由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等,故一定不是等腰三角形.5. D 解析 当x 、y 、z 中三个为正、两个为正、一个为正、全为负时，代数式的值分别为：4,0,0，－4，∴4∈M 正确，故选D.6.C 解析：（1）若0=k，则{1}A =-； （2）若0≠k ，16160k ∆=-=，1k =，∴{1,0}.k ∈ 二、填空题7. (1) (2)∈ (3) (4)∈ (5)∈ (6)∈解析：理解各符号的意义是关键.N 是自然数集，N *是正整数集，Q 是有理数集，Z 是整数集，R 是实数集.8. 6 解析: ∵A *B ＝{0,2,4}，所以集合A *B 的所有元素之和为6.9.①④⑤ 解析：②中“难题”标准不明确，不满足确定性；③中“大城市”标准不明确，不满足确定性.三、解答题10.解：当3x 2＋3x －4＝2时，3x 2＋3x －6＝0，x 2＋x －2＝0，x ＝－2或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．当x 2＋x －4＝2时，x 2＋x －6＝0，x ＝－3或2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意． ∴x ＝－3或x ＝2.11.解：(1)在、、三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合的代表元素是x ，满足＝2＋1，故＝{|＝2＋1}＝.集合的代表元素是，满足＝2＋1的≥1，故＝{|＝2＋1}＝{|≥1}.集合的代表元素是(，)，满足条件＝2＋1，即表示满足＝2＋1的实数对(，)；也可认为满足条件＝2＋1的坐标平面上的点．12.证明：(1)若a ∈A ，则a-11∈A （≠1）.又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中必还有另外两个元素，为－1，12. (2)若A 为单元素集，则a ＝a -11，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a ≠a-11，∴A 不可能为单元素集。
同步测控优化训练：1.1.1-集合的含义与表示
第一章 集合与函数概念1.1 集合集合的含义与表示5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)1.以下说法正确的选项是( )C.集合{1，2，3}与{3，1，2}表示不同的集合D.1，0.5，23，21组成的集合有四个元素 思路解析：考查集合元素的三个性质：确定性、互异性、无序性.A 中各比赛项目是确定的且各不相同的，∴A 正确.B 中元素是不确定的，C 中两集合是相等的，D 中有3个元素，∴选A.答案：A∈或∉填空.Q ，0_________ N ，2_________ Z ，(-1)0_________ N ，0_________∅； (2)23__________{x|x<11},32__________｛x ｜x ＞4｝，2+5__________｛x ｜x ≤2+3｝；(3)3__________｛x ｜x=n 2+1，n ∈N ｝，5_________｛x ｜x=n 2+1，n ∈N ｝；(4)(-1，1)_________ ｛y ｜y=x 2｝,(-1,1)__________｛(x,y)｜y=x 2｝.思路解析：分清元素与集合之间的关系.(1)∈ ∈ ∉ ∈ ∉ (空集不含任何元素) (2)23＝1112>，32＝1618>＝4，2)52(52+=+ =12271027+<+ ＝32)32(2+=+，故填∉,∈,∈.(3)令n 2+1=3，n ＝±2，n ∉N.令n 2+1＝5，n ＝±2，2∈N ，故填∉,∈.(4)(因为｛y ｜y ＝x 2｝中元素是数，而(-1，1)代表一个点),故填∉,∈.答案：(1)∈ ∈ ∉ ∈ ∉ (2) ∉ ∈ ∈ (3) ∉ ∈ (4) ∉ ∈3.试用适当的方法表示以下集合.〔1〕24的正约数；〔2〕数轴上与原点的距离小于1的所有点；〔3〕平面直角坐标系中，Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的所有点；〔4〕所有非零偶数；〔5〕所有被3除余数是1的数.思路解析：用列举法或描述法表示集合.无限集一般用描述法表示；当有限集中的元素个数不多便于枚举时，采用列举法表示.答案：〔1〕{1，2，3，4，6，8，12，24}；〔2〕{x||x|＜1}；〔3〕{〔x ，y 〕|y=x}；〔4〕{x|x=2k ，k ∈Z ，k ≠0}或{x|2x ∈Z 且x ≠0}； 〔5〕{x|x=3k+1，k ∈Z }.10分钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.以下各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；(2)高一数学课本中所有的难题；(3)方程x 4+x 2+2=0的实数根；(4)图中阴影部分的点(含边界上的点).思路解析：根据集合中元素的特点解答，只要对象是确定的，看作一个整体，便形成一个集合，否则，不然.解：(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.可用两种方法表示这个集合：描述法：｛(x,y)｜y ＝-x ｝；图示法：如图中直线l 上的点.(2)不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x 4+x 2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：∅或者｛x ∈R ｜x 4+x 2+2=0｝.(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在题图的阴影部分(包括边界上的点). 题图本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合：｛(x,y)｜-1≤x ≤2，-25≤y ≤2，且xy ≤0｝. 2.下面有四个命题：①集合N 中的最小元素为1；②方程〔x-1〕3〔x+2〕〔x-5〕=0的解集含有3个元素；③0∈∅；④满足1＋x ＞x 的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是 …( )A.0B.1 C思路解析：集合N 表示自然数集，最小的自然数是0，故①不对；据集合中元素的互异性知方程〔x －1〕3〔x+2〕〔x －5〕=0有3个不同的解1、－2、5，所以②对；空集不含有任何元素，故③错，容易误以为0∈∅.假设认为0∈∅，说明了空集中有一个元素0.而事实上空集中不含有任何元素，当然也就不会有元素0了.1＋x ＞x 表示x 可以为任意实数，因此④对，故选C.答案：C3.〔1〕实数a 、b 满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}是有限集；〔2〕a 、b 满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}为无限集；〔3〕a 、b 满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}为空集.思路解析：〔1〕集合A={x|ax+b=0}是有限集，即方程ax+b=0有有限个解，即x=-a b ≠0，b ∈R .〔2〕集合A={x|ax+b=0}是无限集，即方程ax+b=0有无数多个解.∴a=b=0.〔3〕集合A={x|ax+b=0}为空集，即方程ax+b=0无解.∴a=0，b ≠0.答案：(1)a ≠0，b ∈R (2)a=b=0 (3)a=0，b ≠04.下面有五个命题：①假设-a ∈N ，则a ∈N ；②假设a ∈N ，b ∈N ，则a+b 的最小值是0；③x 2+4=4x 的解集可表示为{2，2}；④高一〔6〕班个子较高的学生可构成一个集合.其中正确命题的序号是_________.思路解析：N 是自然数集，∴-a ∈N ，则a ∈N 不正确；x 2+4=4x 的解集为{2}，单元素集；个子较高的学生是不确定的.∴只有②正确.答案：②5.设A={4,a},B={2,ab},假设A=B,则a+b=_________.思路解析：两个集合相等，则两集合的元素完全相同，则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案：4人6.已知集合A=｛p ｜x 2+2(p-1)x+1=0,x ∈R ｝，求一次函数y=2x-1，x ∈A 的取值范围. 思路解析：2+2(p-1)x+1=0有实数根.解：由已知，Δ＝4(p-1)2-4≥0，得p ≥2或p ≤0.所以A ＝｛p ｜p ≥2或p ≤0｝.因为x ∈A ，所以x ≥2或x ≤≥3或2x-1≤-1.所以y 的取值范围是｛y ｜y ≤-1或y ≥3｝.快乐时光道破天机父亲心血来潮，测试儿子：“宝贝，你晓得什么话能一语道破天机吗？”“爸爸，”儿子很快答复：“天气预报!”30分钟训练 (稳固类训练，可用于课后)1.下面六种表示法：①｛x=-1，y=2｝;②｛(x,y)｜x=-1,y=2｝;③｛-1，2｝;④(-1，2);⑤｛(-1，2)｝;⑥｛(x,y)｜x=-1或y=2｝，能正确表示方程组⎩⎨⎧=+-=+03,02y x y x 的解集的是( )A.①②③④⑤⑥B.①②④⑤C.②⑤D.②⑤⑥思路解析一〔直接法〕:由于此方程组的解是⎩⎨⎧=-=,2,1y x ，因而写成集合时，应表示成一对有序实数(-1，2).因为｛(x,y)｜⎩⎨⎧=+-=+0302y x y x ｝＝｛(x,y)｜⎩⎨⎧=-=21y x ｝＝｛(-1，2)｝，故选C.思路解析二〔排除法〕：集合①③表示由-1和2两个数组成的集合.④是一个点.⑥中的元素是(-1，y)或(x,2)，x 、y ∈R 是一个无限集.以上均不合题意.故选C.答案：C2.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式xyzxyz z z y y x x ||||||||+++的值所组成的集合是M ，则以下判断正确的选项是( )A.0∉∈M C.-4∉∈M思路解析：分4种情况讨论：x 、y 、z 中三个都为正，代数式值为4；x 、y 、z 中两个为正，一个为负，代数式值为0；x 、y 、z 中一个为正，两个为负，值为0；x 、y 、z 都为负数时，代数式值为-4.∴选D.答案：D3.已知集合S={a ，b ，c}中的三个元素可构成△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是 …( )思路解析：由集合元素的互异性，知a 、b 、c 各不相同.∴选D.答案：D∈{1，2，x 2}，则x=_________.思路解析：由集合的定义可建立方程求解.答案：0或25.已知A=｛x ｜x=a+b2，a 、b ∈Z ｝，判断以下元素x 与集合A 之间的关系：(1)x=0; (2)x=321+; (3)x=249+. 思路解析：研究元素与集合的关系，一要注意集合的表示方法(列举法或描述法)，二要准确判断元素的属性.x 与A 的关系只有x ∈A 和x ∉A 两种.判断x 是不是A 中的元素，即观察x 能否写成a+b2(a 、b ∈Z )的形式.解：(1)因为0=0+0×2，所以0∈A.(2)因为x=321+=23-，无论a 、b 为何整数，a+b 2=23-不能成立，所以x=321+∉A. (3)因为x=2)122(249+=+=1+22，所以249+∈A. 6.已知f(x)=x 2-ax+b(a 、b ∈R )，A=｛x ｜f(x)-x=0,x ∈R ｝，B=｛x ｜f(x)-ax=0,x ∈R ｝，假设A=｛1，-3｝，试用列举法表示集合B.思路解析：集合B 是方程f(x)-ax=0的解集；要求集合B ，需设法求出a 、b 的值，于是可通过集合A=｛1，-3｝为突破口来寻找此题的解题途径.解：f(x)-x=0，即x 2-(a+1)x+b=0.∵A=｛1,-3｝,∴由韦达定理得⎩⎨⎧=-⨯+=-+.)3(1,1)3(1b a ∴⎩⎨⎧-=-=.3,3b a ∴f(x)=x 2+3x-3.f(x)-ax=0，亦即x 2+6x-3=0，∴B=｛x ｜x 2+6x-3=0｝=｛-3-23,-3+23｝.7.在任意两个正整数m 、n 间定义某种运算(用⊗表示运算符号)：当m 、n 都为正偶数或都为正奇数时，m ⊗n=m+n ，如4⊗6=4+6=10，3⊗7=3+7=10，当m 、n 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m ⊗n=mn ，如3⊗4=3×4=12，4⊗3=4×3=12.则在上述定义下，集合M=｛(a,b)｜a ⊗b=36，a 、b ∈N ｝中的元素个数为_________.思路解析：在充分理解题目中给出的新的定义的基础上，利用所学的知识求解.分两类：①当m 、n 都为正偶数或都为正奇数时：∵m ⊗n=m+n=36，∴m=1，n=35；m=2，n=34;m=3，n=33；…；m=35，n=1,集合M 共有35个元素.②当m 、n 一个为正偶数，一个为正奇数时，m ⊗n=m ·n=36.又∵1×36=36，3×12=36,4×9=36，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==,4,99,43,1212,31,3636,1n m n m n m n m n m n m 或或或或或故M 中有6个元素.综上M 中共有6+35=41个元素.答案：41∈{x|x 2+px+q=0}，2∈{x|x 2+px+q=0}，求p 、q 的值.思路解析：2+px+q=0的解，最后利用方程解的定义或根与系数的关系求解.解：方法一：∵1∈{x|x 2+px+q=0}，2∈{x|x 2+px+q=0}，∴1，2都是方程x 2+px+q=0的解，即1，2都适合方程.分别代入方程，得)2()1(,024,01⎩⎨⎧=++=++q p q p ②-①得3+p=0，∴p=-3.代入①，得q=-〔p+1〕=2.故所求p 、q 的值分别为-3，2.方法二：∵1∈{x|x 2+px+q=0}，2∈{x|x 2+px+q=0}，∴1和2都是方程x 2+px+q=0的解.由根与系数的关系知⎩⎨⎧=⨯-=+.21,21q p ∴p=-3，q=2.故所求p=-3，q=2.9.求：〔1〕方程x 2-4x+4=0的所有根的和；〔2〕集合S={x|x 2-4x+4=0}的所有元素的和.思路解析：此题极易忽略的一个问题是，方程根的个数与方程解集中元素的个数不一定相同，由于方程x 2-4x+4=0有两个重根x 1=x 2=2，但其解集中却只有一个元素2，即S={2}，所以两个问题有区别，应用了集合中元素的互异性.解：〔1〕方程x 2-4x+4=0的所有根的和为4.〔2〕由于集合S={x|x 2-4x+4=0}={2}，∴S 中所有元素之和为2.10.设S={x|x=m+n 2，m 、n ∈Z }. 〔1〕假设a ∈Z ，则a 是否是集合S 中的元素？〔2〕对S 中的任意两个x 1、x 2，则x 1+x 2、x 1·x 2是否属于S?思路解析：考查集合的元素满足的条件.解：〔1〕a 是集合S 的元素，因为a=a+0×2∈S.〔2〕不妨设x 1=m+n 2，x 2=p+q 2，m 、n 、p 、q ∈Z .则x 1+x 2=〔m+n 2〕+〔p+q 2〕=〔m+n 〕+〔p+q 〕2，m 、n 、p 、q ∈Z .∴x 1+x 2∈S ，x 1·x 2=〔m+n 2〕·〔p+q 2〕=〔mp+2nq 〕+〔mq+np 〕2，m 、n 、p 、q ∈Z .∴x 1x 2∈S.综上，x 1+x 2、x 1·x 2都属于S.11.向100名学生调查对A 、B 两件事的看法，得到如下结果：赞成A 的人数是全体的53，其余不赞成；赞成B 的人数比赞成A 的人数多3人，其余不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的人数比对A 、B 都赞成的学生数的31多1人，问对A 、B 都赞成的学生数和对A 、B 都不赞成的学生数各有多少人?思路解析：数量关系比较复杂，可采用Venn 图来直观表示.解：赞成A 的人数为100×53 =60， 赞成B 的人数为60+3=63.如图，记100名学生组成的集合为U ，赞成A 的学生的全体记为集合A ，赞成B 的学生的全体记为集合B ，并设对A 、B 都赞成的学生数为x ，则对A 、B 都不赞成的人数为3x +1， 由题意，知〔60-x 〕+〔63-x 〕+x+3x +1=100，解得x=36. 所以对A 、B 都赞成的学生数为36人，对A 、B 都不赞成的学生数为13人.12.已知集合A={x ｜ax 2＋2x ＋1=0，a ∈R }，假设A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素.思路解析：集合A 为单元素集，即方程ax 2+2x+1=0有唯一解或两个相等的实数解.由于此方程二次项的系数不确定，所以要对a 分类讨论.弄清集合元素的特征和元素与集合的关系，应用等价转化和分类讨论思想.转化分类时，要注意不重不漏.形如ax 2+2x+1=0的方程让人很容易想当然地认为方程为一个二次方程，而实际上它当a=0时为一个一次方程.解：对a 分类讨论：①a=0时，x=-21； ②a ≠0时，Δ=4-4a=0，所以a=1，此时x=-1.。
数学人教版A必修1同步训练：1.1.1集合的含义与表示(附答案)
第一章 集合与函数概念1．1 集合1．1.1 集合的含义与表示1．下列说法正确的是( )A ．2008年北京奥运会的比赛项目组成一个集合B ．某个班年龄较小的学生组成一个集合C ．集合{1,2,3}与{3,1,2}表示不同的集合D ．1,0.5，32，12组成的集合有四个元素2．已知集合M 具有性质：若a ∈M ，则2a ∈M ，现已知－1∈M ，则下列元素一定是M 中的元素的是…( )A ．1B ．0C ．－2D ．23．用符号∈或∉填空．(1)3.14______Q,0________N ，2________Z ，(－1)0________N ； (2)23________{x|x<11},32________{x|x ＞4}，2＋5________{x|x ≤2＋3}；(3)3________{x|x ＝n 2＋1，n ∈N },5________{x|x ＝n 2＋1，n ∈N }；(4)(－1,1)________{y|y ＝x 2}，(－1,1)________{(x ，y)|y ＝x 2}．4．试选择适当的方法表示下列集合：(1)直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的点的集合；(2)一年之中的四个季节组成的集合；(3)方程x 2＋x －1＝0的实数解组成的集合；(4)满足不等式1＜1＋2x ＜19的素数组成的集合．课堂巩固1．若方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的所有解构成的集合为M，则M中元素的个数为()A．4 B．3 C．2 D．12．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,5}，x∈A，且x∉B，则x 等于()A．1 B．2 C．3 D．54．已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，设d＝a－b＋c，则()A．d∈M B．d∈NC．d∈P D．d∈M且d∈N5．设直线y＝2x＋3上的点集为P，则P＝__________；点(2,7)与点集P的关系为(2,7)__________P.6．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}．定义P⊖Q＝{x|x＝p －q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊖Q的所有元素之和为________．7．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？8．设S＝{x|x＝m＋n2，m、n∈Z}．(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？(2)对S中的任意两个x1、x2，则x1＋x2、x1·x2是否属于S?1．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则必有( )A ．－1∈AB ．0∈A C.3∈A D ．2∈A2．已知集合M ＝{x ∈N |(8－x)∈N }，则M 中元素的个数是( )A ．10B ．9C ．8D ．无数个3．(2008江西高考，2)定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．64．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，b a ，b}，则b －a等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－25．集合{3，52，73，94，…}可表示为( )A ．{x|x ＝2n ＋12n ，n ∈N *}B ．{x|x ＝2n ＋3n ，n ∈N *}C ．{x|x ＝2n －1n ，n ∈N *}D ．{x|x ＝2n ＋1n ，n ∈N *}6．填空题：(1)用列举法表示集合{x ∈R |(x －1)2(x ＋1)＝0}为__________；(2)用列举法表示集合{x ∈N |66－x∈N }为__________； (3)用描述法表示集合{2,4,6,8}为__________；(4)用描述法表示集合{1，12，13，14}为__________．7．已知x ∈{1,2，x 2}，则x ＝__________.8．设a，b是非零实数，则y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|的所有值组成的集合为________．9．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素．10．数集M满足条件，若a∈M，则1＋a1－a∈M(a≠±1且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的集合M的元素全部求出来．11．已知f(x)＝x2－ax＋b(a、b∈R)，A＝{x∈R|f(x)－x＝0}，B＝{x∈R|f(x)－ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.答案与解析第一章集合与函数概念1．1集合1．1.1集合的含义与表示课前预习1．A∵A中各比赛项目是确定的且各不相同，∴A正确；B中元素是不确定的；C中两集合是相等的；D中有3个元素．2．C∵－1∈M，∴2×(－1)∈M，即－2∈M.3．(1)∈∈∉∈(2)∉∈∈(3)∉∈(4)∉∈(1)略．(2)23＝12>11，32＝18>16＝4，2＋5＝(2＋5)2＝7＋210<7＋212＝(2＋3)2＝2＋ 3.(3)令n2＋1＝3，n＝±2，n∉N.令n2＋1＝5，n＝±2，取n＝2，则n∈N.(4){y|y＝x2}中元素是数，而(－1,1)代表一个点．4．解：(1){(x，y)|y＝x}；(2){春季，夏季，秋季，冬季}；(3){－12－52，－12＋52}；(4){2,3,5,7}．课堂巩固1．B∵x2－5x＋6＝0，∴x＝2或x＝3.又∵x2－x－2＝0，∴x＝2或x＝－1.由集合中元素的互异性，知M＝{－1,2,3}．2．D由集合元素的互异性，知a、b、c各不相同．3．B由已知，易知x可能等于1、2、3，且不能等于1、3、5，所以只能等于2.4．B三个集合都是整数集的子集，集合M中的整数都能被3整除，集合N中的整数被3整除余数是1，集合P中的整数被3整除余数是2.三个集合中的整数n也可用其他字母来表示．于是，d＝3n－3l－1＋3s－1＝3(n－l＋s)－2＝3(n－l＋s－1)＋1∈N.5．{(x，y)|y＝2x＋3}∈点集P＝{(x，y)|y＝2x＋3}．当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.6．15当p＝4，q＝1,2,3时，p－q＝3,2,1；当p＝5，q＝1,2,3时，p－q＝4,3,2；当p＝6，q＝1,2,3时，p－q＝5,4,3.所以P⊖Q＝{1,2,3,4,5}，其所有元素之和为1＋2＋3＋4＋5＝15.7．解：(1)不是相同的集合．(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许取到的值组成的集合，因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R；集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y所允许取到的值组成的集合，由二次函数图象，知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合③是函数y＝x2＋1图象上的所有点的坐标组成的集合．如图所示：8．解：(1)a是集合S的元素，因为a＝a＋0×2∈S.(2)不妨设x1＝m＋n2，x2＝p＋q2，m、n、p、q∈Z.则x1＋x2＝(m＋n2)＋(p＋q2)＝(m＋p)＋(n＋q)2，m、n、p、q∈Z.∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋n2)·(p＋q2)＝(mp＋2nq)＋(mq ＋np)2，m、n、p、q∈Z.∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2、x1·x2都属于S.课后检测1．B 化简集合A ＝{0,1}，显然0∈A.2．B ∵x ∈N ，且(8－x)∈N ，∴x ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8，共9个数．3．B ∵z ＝x·y ，x ∈A ，y ∈B ，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B ＝{0,2,4}．∴集合A*B 的所有元素之和为0＋2＋4＝6.4．C 由题意得，a ≠0，b ≠0，所以a ＋b ＝0，a ＝－b.于是，{1,0，a}＝{0，－1，－a}．显然，a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2.5．D 由3，52，73，94可得，31，52，73，94从中发现规律，关键要分清起始数并限定范围．6．(1){－1,1} (2){0,3,4,5}(3){x|(x －2)(x －4)(x －6)(x －8)＝0}或{大于1小于9的偶数}等(4){x|x ＝1n ，n ≤4且n ∈N *}7．0或2 当x ＝1时，x 2＝1，这与集合中元素的互异性相矛盾，故x ≠1；当x ＝2时，x 2＝4符合题意；当x ＝x 2时x ＝0或x ＝1(舍去)．综上可知x ＝0或2.8．{－1,3} 当ab<0时，y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝－1；当ab>0时，则a>0，b>0或a<0，b<0，若a>0，b>0，则有y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝3；若a<0，b<0，则有y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝－1.所以y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|的所有值组成的集合元素共有两个元素－1和3，用列举法表示为{－1,3}．9．解：集合A 为单元素集，即方程ax 2＋2x ＋1＝0有唯一解或两个相等的实数解．由于此方程二次项的系数不确定，所以要对a 分类讨论．①a ＝0时，x ＝－12；②a ≠0时，Δ＝4－4a ＝0，所以a ＝1，此时x ＝－1.10．解：∵a ＝3∈M ，∴1＋a 1－a ＝1＋31－3＝－2∈M. ∴1－21＋2＝－13∈M.∴1－131＋13＝12∈M. ∴1＋121－12＝3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程，由集合中元素的互异性可知M ＝{3，－2，－13，12}．点评：集合中的元素是互异的，即同一集合中的元素是互不相同的．它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意．只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是相等的，与两个集合中元素的排列顺序无关．11．解：f(x)－x ＝0，即x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0.∵A ＝{1，－3}，∴由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋(－3)＝a ＋1，1×(－3)＝b. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－3.∴f(x)＝x 2＋3x －3.f(x)－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0.∴B ＝{x|x 2＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}．点评：列举法和描述法是表示集合的两种常用方法．用列举法时要注意：元素间用逗号隔开；元素不重复；可不考虑元素间的顺序；若元素的个数较多需要省略时，必须把元素间的规律显示清楚后方可使用省略号．用描述法时要注意：写清元素的一般符号及取值范围；明确集合中元素的特征；不能出现未被说明的字母；准确使用“且”与“或”等．。
课时作业23：1.1.1 第1课时 集合的含义
§1.1 集 合1．1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义一、选择题1．已知集合A 由满足x <1的数x 构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A答案 C解析 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．下列关系正确的个数为( ) ①2∈Q ；②0∈N *；③|－3.14|∈R ；④－23∈Q . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 因为2是无理数，所以①错误；因为0是自然数，不是正整数，所以②错误；|－3.14|＝3.14，所以③对；－23是有理数，所以④对，故正确的个数是2. 3．现有以下说法，其中正确的是( )①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案 D解析 在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．4．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为()A．－5 B．－4 C．4 D．5答案 A解析因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.5．设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是() A．a∈M B．a∉M C．a＝M D．a≠M答案 B解析因为集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，所以a不是集合M中的元素，故a∉M.6．已知x，y为非零实数，代数式x|x|＋y|y|的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是() A．0∉M B．1∈M C．－2∉M D．2∈M答案 D解析①当x，y为正数时，代数式x|x|＋y|y|的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式x|x|＋y|y|的值为0；③当x，y均为负数时，代数式x|x|＋y|y|的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2,0,2，故选D.7．已知A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是() A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A答案 C解析令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.令3k－1＝－11，解得k＝－103∉Z，∴－11∉A；∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.8．已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A,2∈A，则() A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2答案 D解析∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.二、填空题9．在方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素．答案 1解析 易知方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．10．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2＜x ＜a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.答案 6解析 ∵x ∈N,2＜x ＜a ，且P 中只有三个元素，∴结合数轴知a ＝6.11．集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 答案 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x∈N ， ∴0≤x <3且x ∈N ，∴x ＝0,1,2.当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ； 当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ； 当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N . ∴A 中的元素为0,1,2.三、解答题12．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a ,12三个元素组成，且－3∈A ，求实数a 的值． 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意． ∴实数a 的值为－32. 13．设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x .(1)求实数x 应满足的条件；(2)若－2∈A ，求实数x 的值．解 (1)根据集合中元素的互异性，可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠3，x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3，即x ≠0且x ≠3且x ≠－1.(2)因为x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，且－2∈A ，所以x ＝－2.14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，由其中任意2个不同元素的和组成的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值组成的集合中的元素是________． 答案 1,2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，c ＝2，∴集合A 中元素为0,1,2，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值组成的集合中的元素是1,2.15．设P ，Q 为两个数集，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，求P ＋Q 中元素的个数．解 当a ＝0时，由b ∈Q 可得a ＋b 的值为1,2,6；当a ＝2时，由b ∈Q 可得a ＋b 的值为3,4,8；当a ＝5时，由b ∈Q 可得a ＋b 的值为6,7,11.由集合元素的互异性可知，P ＋Q 中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．。
1.1.2集合间的基本关系同步练习及答案解析
6. 满足{1, 2,3} M {1, 2,3, 4,5, 6} 的集合的个数为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
7．满足{1} Ü A{1,2,3}的集合 A 的个数
是________．
1
b1
c1
8．已知集合 A＝{x|x＝a＋6，a∈Z}，B＝{x|x＝2－3，b∈Z}，C＝{x|x＝2＋6，c∈Z}，则 A、
{0}，其中写法错误的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5. M {x | 2x2 5x 3 0}， N {x | mx 1}，若 N M ，则 m 的取值集合为（ ）
A. {2}
B.
1 3
C.
2,
1 3Biblioteka D.2, 0,
1 3
1.1.2 集合间的基本关系
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45 分钟
100 分
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分)
1．下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅ A，则 A≠∅，
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知集合 A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合 A 有且仅有 2 个子集，则 a 的取值
是( )
A．1
B．－1
C．0,1
D．－1,0,1
3．设 B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则 A 与 B 的关系是( )
A．A⊆B
1.1.1集合有含义基础训练题(含详解)
1.1.1集合有含义基础训练题（含详解） 一、单选题 1．下列集合表示正确的是 A ．{2，4} B ．{2，4，4} C ．{1，3，3} D ．{漂亮女生}2．集合A ={x |x 2=x }中所含元素为 A ．0，1 B ．{0，1} C ．–1，0 D ．1 3．下列全体能构成集合的有:①我校高一年级数学成绩好的学生；②比2小一点的所有实数；③大于1但不大于2的实数；④方程x 2+2=5的实数解． A ．①②③ B ．②③ C ．③④ D ．都不能 4．集合{}22,4,0x x --中的x 不能取的值的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．下列语句能构成集合的是( ) A ．大于2且小于8的实数全体 B ．某班中性格开朗的男生全体 C ．所有接近1的数的全体 D ．某校高个子女生全体 6．下列集合表示正确的是( ) A ．{}2,4 B ．{}2,4,4 C ．()1,2,3 D ．{高个子男生} 7．将集合5(,)|21x y x y x y ⎧+=⎧⎫⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩表示成列举法，正确的是 A ．{2,3} B ．{(2,3)} C ．{(3,2)} D ．(2,3) 8．把集合{}2|450x x x --=用列举法表示为 A ．{1,5}x x =-= B ．{|15}x x x =-=或 C ．{}2450x x --= D ．{1,5}-9属于集合（ ）A ．{}25,25-B ．{}5,0,5-C ．{}625,625-D ．{- 10．已知a ={|A x x =≥，则（ ） A ．a A ∉ B ．a A ∈ C ．{}a A = D ．{}a a ∉ 11．下列元素与集合的关系表示正确的是( ) ①1-∈N *∉Z ；③32∈Q；④π∈Q A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④12．下列关系中，正确的是( )A ．0∈N +B ．32∈Z C ．π∉Q D ．0∉N13．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是( )①{}(){}3,1,3,1M P =-=-；②(){}(){}3,1,1,3M P ==；③{}{}221,1M y y x P t t x ==-==-； ④{}(){}221,,1M y y x P x y y x ==-==-A ．①B ．②C ．③D ．④14．集合{x ∈N*|x –3<1}用列举法可表示为( )A ．{0，1，2，3}B ．{0，1，2，3，4}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}15．方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是（ ） A ．{1} B ．(1,1) C ．{}(1,1) D ．{}1,116．集合2，3，4，，，，，则集合B 所含元素个数为 )A ．3B ．6C ．8D ．10第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 17．用列举法表示集合{x ||x |<6，且x ∈Z }是___________． 18．若,,a b R ∈，且0,0a b ≠≠，则a a b b+的可能取值组成的集合中元素的个数为_____． 19．若，则的值为________． 20．已知集合{|2,12,}A y y x x y Z ==--≤≤∈，用列举法表示集合A =______．参考答案1．A【解析】【分析】集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，利用元素的三个特性对四个命题逐一的进行判断，能够得到答案。
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《1.1.1集合的含义与表示～1.1.2集合间的基本关系》测试题
一、选择题
1.下列对象能构成集合的是( ).
①不超过的正整数；②必修一课本中的所有难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤平面上到点O的距离等于1的所有点.
A.①②③
B.③④⑤
C.①④⑤
D.①②④
考查目的：考查集合的意义.
答案：C.
解析：①④⑤中对象的性质明确，能够构成集合；②中的“难题”没有具体的标准，难以确定；③中的“大城市”也没有具体的标准，不能构成集合.本题答案选C.
2.若以集合A的四个元素为边长构成一个四边形，那么这个四边形可能是( ).
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
考查目的：考查集合元素具有互异性这一特征.
答案：A.
解析：由于集合A中的四个元素互不相等，故它们组成的四边形的四条边互不相等，因此本题选A.
3.方程组的解集是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查集合的表示法.
答案：C.
解析：解方程组得，用描述法表示为，用
列举法表示为，因此本题选C.
二、填空题
4.已知集合，若，则实数的值为 .
考查目的：考查元素与集合的属于关系.
答案：，或.
解析：依题意得，即，解得，或.
5.已知集合，，则B中所含元素的个数为 .
考查目的：本题是信息迁移题，主要考查集合与元素的关系，以及对信息的理解和处理能力.
答案：10.
解析：依题意，在集合B中，当时，1，2，3，4；当时，1，2，3；当时，1，2；当时，1，故B中所含元素共10个.
6.将集合用列举法表示为 .
考查目的：考查二元一次方程自然数解的意义，以及集合表示法之间的相互转化.
答案：.
解析：∵，∴是偶数，且，∴当时，
；当时，；当时，，故原集合用列举法表示为
.
三、解答题
7.已知含有三个元素的集合，求的值.
考查目的：考查集合相等及集合元素的互异性.
答案：-1.
解析：由题意知且，由两个集合相等得或，解得或
.
经检验不合题意，∴，∴=.
8.已知集合，，若，求实数的所有可能取值的集合.
考查目的：考查集合之间的关系，空集的意义及其相关性质.
答案：.
解析：当时，，符合要求．当时，，或，解得或，∴实数的所有可能取值的集合为.。