能带理论 -2 Band Theory - 欢迎来到重庆邮电大学理学院 …

能带理论-2（Band Theory）
简约波矢
之前的讨论建立在以近自由电子近似为零级近似的微扰理论之上。

这时，零级能量作为波矢k的函数，具有抛物线的形式。

而最终的状态也可以用波矢来标记。

这一点只有在以近自由电子近似作为零级近似才是可行的。

与之对应的是，简约波矢作为平移算符本征值的标
k
记则总可以用来标记状态。

波矢和简约波矢之间有联系有区别：简约波矢在FBZ中取值，而自由电子的波矢取值没有限制；在近自由电子作为零级近似的情形下，简约波矢和波矢之间相差一个倒格矢。

简约波矢和自由电子波矢的这种差别表明，简约波矢不能唯一确定一个状态。

唯一确定一个状态除了需要指定简约波矢外，还需要指定它和自由电子波矢之间相差的倒格矢。

这个倒格矢确定该状态所属的能带。

2, ,.m k k k a a a πππ⎛⎞=+=−⎜⎟⎝⎠
Fig 4.4 能带示意图。

能带理论的基本结果
周期场的起伏使不同的能带相同简约波矢的状态之间的相互影响。

在0,k a π
=±附近，存在两个状态，能量
相等或相近。

因此对于一般的简约波矢，可以利用非简并微扰计算；在0,k a π
=±及其附近，必须用简并微扰来处理。

由于“能级间的排斥作用”，使得在0,k a π=±处能
级分裂，在能带之间出现带隙。

三维周期场中电子()()()()()
22112233; 2,=.m m V r V r R V r r E r m R m m m ψψααα=⎡⎤−∇+=⎢⎥⎣⎦+++G G G =G G G G G G G ()22
0001, , .2ik r
k k k H T V r e E V m V ψ⋅=+==+G G G G =G
31i i
i i
l k b N ==∑G G 周期性边界条件()()1000'''2200''','.
k k k k k k k k k k k k V k
E E
k V k
E E E ψ≠≠Δ=−Δ=−∑∑G G G G G G G G G G G G G G G , for ';'0, otherwise.n n V k k G k V k ⎧=+⎪Δ=⎨⎪⎩G G G G G ()31,.n
iG r n i i n i n G n b V r V e ⋅===∑∑G G G G G
()()10002200''1, .n n
iG r ik r n k n k k G n k k k k k V e e E E V V E E E ψ⋅⋅≠+≠=−=−∑∑G G G G G G G G G
G G G G 容易验证，波函数满足Bloch 定理的要求。

当k G 和
'n k k G =+G G G 对应的状态零级能量相近或相等时应采用简
并微扰理论进行处理。

这时有22n k k G =+G G G 或
()20n n G k G ⋅+=G G G .
(1)(2) Fig 4.5 (1) 零级能量简并条件；(2) 简单立方格子的情况
这意味着在该平面上需采用简并微扰理论。

三维情况下，简并的状态可以是两个，也可以多于两个。

总之，对于三维自由电子近似，n G −G 的垂直平分面
(Bragg Planes)附近应采用简并微扰论，“能级间的排斥作用”使得能级在该平面 (BZ 边界) 处断开，发生突变；对于其他点非简并微扰结论成立。

三维晶格的能带需要借助于BZ的概念来理解。

如果在k空间中，把原点和所有倒格子倒格矢之间连线的中垂面都画出来，就可以把k空间分割成许多区域，每个区域内能量作为k的函数是连续的；在区域的边界处，该函数发生突变。

这些区域称为布里渊区(Brillouin Zone, BZ).
BZ中能量是连续的; 属于一个BZ的能级构成一个能带,不同的BZ 对应于不同的能带;所有BZ 的体积相等, 都等于倒格子原胞的体积;记入自旋,每个BZ 有2N个电子态。

三维和一维情况有一个重要的区别，不同能带之间可以有交叠。

沿各方向，能量在BZ边界是不连续的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能发生能量交叠。

Fig 4.6 三维晶格能带的交叠
与一维情况相同的是，简约波矢和平面波波矢既有联系又有区别。

简约波矢取值限制在简约BZ 中，简约BZ就是FBZ。

对于FBZ以外的平面波
波矢则总可以通过改变某一倒格矢而移入FBZ。

每一个简约波矢对应于能量高低不同的一系列量子态，分属于不同的能带。

因而利用简约波矢标记量子态时必须标明所属能带。

例4.1简单立方格子的FBZ 。

,1,2,3i b i =G 相互垂直，长度为2a π，形成的倒格子仍然是简单立方。

FBZ 就是原点和六个近邻格子连线的垂直平分面围成的立方体。

例4.2体心立方格子的FBZ 。

倒格子为面心立方。

如体心立方的晶格常数为a ，则倒格子晶格常数为4a π。

FBZ 为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。

例4.3面心立方格子的FBZ。

倒格子为体心立方。

如面心立方的晶格常数为a，则
π。

FBZ为原点和8个近邻格点以倒格子晶格常数为4a
及6个次近邻连线的垂直平分面围成的十四面体-有时也称作截角八面体。

在14个面中，有8个正六边形和6个正四边形。

Fig 4.7 简单立方格子BZ 的二维示意图
在FBZ中，Γ点，X点和Δ轴因为具有较高的对称性，对应的状态都是高度简并的。

引入周期势场的微扰后，可以消除部分简并。

在一维情况下，BZ中心和边界的简并都是二重的，从而可以用统一的表达式来描述简并微扰的结果。

而在三维情况下，简并微扰计算需要不同的波矢和不同的能带来进行。

Fig 4.8 体心、面心立方格子BZ 示意图
近自由电子近似假设周期场的起伏很小。

在一维自由电子近似中，除了0,/k a π=±及其附近该条件是满足的从而使计算大大简化。

在实际材料中，周期场的起伏并不
是很小，在原子核附近，库仑吸引作用使()V r G 偏离平均
值很远，相关计算变得困难，甚至无法完成。

另一方面，许多金属材料的实验结果和近自由电子近似的计算结果符合较好。

据此人们引入赝势（pseudo potential）来简化能带计算。

在固体中，人们最关心的是价电子。

原子结合成固体的过程中，价电子的运动状态发生了较大的变化，而内层电子的变化则比较小。

在离子势内部，以假想的势能取代真实地势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间的区域的波函数，则称这个假想的势为赝势。

实际采用的赝势总是要使离子实内部的电子波函数尽可能的平坦。

利用赝势计算的波函数称为赝势波函数。

赝势包含离子势和价电子的作用，是有效势，可以有多种形式。

人们利用赝势方法对很多金属材料作了能带计算，计算结果和近自由电子近似模型相近。

目前，赝势方法也被用来研究半导体的价带和导带。

The End。