2014高考数学一轮课时专练(理科浙江省专用)(四十二)[第42讲立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直的证

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2014年浙江省高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年浙江省普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm24．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．2106．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞97．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2 9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．2014年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁U A．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={2}，故选：B．【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．6．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，故选：C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．7．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确．故选：D．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．【解答】解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=．故选：A．【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1【分析】根据记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是6．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．故答案为：6．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以．故答案为：【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[] ．【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1．∴实数a的取值范围是．解法二：令z=ax+y，当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1≤a≤；当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）综上所述即：1≤a≤；故答案为：．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）．【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张．【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【分析】画出函数f（x）的图象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．当a＜0时，f（a）=a2+a=（a+）2﹣≥﹣2恒成立；当a≥0时，f（a）=﹣a2≥﹣2，即a2≤2，解得0≤a≤，则实数a的取值范围是a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设B P′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=．若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得，即可得出．（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意得，，∴，化为，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），得，即，∴；（2）由，利用正弦定理可得，得，由a＜c，得A＜C，从而，故，∴．【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，，∴q＞0，∴q=2．由题意知a n＞0∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，设直线l1的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l1的距离d=，整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，此时点P的横坐标为﹣，代入y=kx+m得点P的纵坐标为﹣k•+m=，∴点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故m＞0，故m=，故点P的坐标为P（，）．（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，则[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+3|x﹣a|=，∴f′（x）=，①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，∴M（a）﹣m（a）=8；②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，∴M（a）﹣m（a）=4；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，∵[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，由（Ⅰ）知，①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，令t（a）=﹣2﹣a3+3a，则t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，∴﹣2≤3a+b≤0；③＜a＜1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．。

2014高考数学一轮课时专练(理科浙江省专用)(十九)B[第19讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简

.2014高考数学一轮课时专练（理科浙江省专用）：(十九)B [第19讲函数y ＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2012·天津河西区质检] 给定性质：a .最小正周期为π；b .图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质a ，b 的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6C ．y ＝sin|x |D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π62．[2012·广州质检] 函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数．3．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象关于直线________对称．4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．能力提升5．[2012·保定模拟] 如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π26．[2012·宁波模拟] 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫2π9对x ∈R 恒成立．记P ＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，Q ＝f ⎝⎛⎭⎫5π6，R ＝f ⎝⎛⎭⎫7π6，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．R <P <Q B ．Q <R <P C ．P <Q <R D ．Q <P <R7．要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝32cos2x ＋sin x cos x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6单位长度D ．向右平移π6单位长度8．[2012·炎陵一中月考] 设函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数9．[2012·黄冈模拟] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图K19－2所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )图K19－2A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向左平移π12个单位长度10．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．11．[2012·银川检测] 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2＋sin 23x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．12．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．13．[2012·昆明模拟] 若π4<x <π2，则函数y ＝tan2x tan 3x 的最大值为________．14．(10分)设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．15．(13分)如图K19－3是某简谐运动的一段图象，它的函数模型是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ≥0)，其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2.(1)根据图象求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最大值和最小值．图K19－3难点突破16．(12分)[2012·浙江名校联考] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2图象如图K19－4，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且|OQ →|＝2，|OP →|＝52，|PQ →|＝132.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )图象向右平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的最大值．图K19－4。

2014年高考数学浙江卷(理科)答案word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学试题答案与解析1. 解析因为{}{}5A x x x x =∈=∈N N 厖3，所以{}{}2232U a A x x =∈<=N …ð，故选B.2. 解析当1a b ==时，有()21i 2i +=，即充分性成立.当()2i 2i a b +=时，有222i 2i a b ab -+=，得220,1,a b ab ⎧-=⎨=⎩解得1a b ==或1a b ==-，即必要性不成立，故选A.评注本题考查复数的运算，复数相等的概念，充分条件与必要条件的判定，属于容易题. 3. 解析由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成（如图），其表面积为()2135243433324324636138cm 2S =⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=.评注本题考查三视图的概念和性质，空间几何体的直观图和表面积的计算，考查运算求解能力和空间想象能力.由三视图得几何体的直观图是解题的关键.4. 解析因为πsin3cos334y x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，要得到函数π34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数y x =的图像向右平移π12个单位，故选C. 5. 解析在的展开式中，的系数为，在的展开式中，的系数为，故.从而，，，，故选C.6. 解析由得解得则有，由得.33434()61x +m x 6C m()41y +n y 4C n ()64,C C mnf m n =⋅()363,0C 20f ==()21642,1C C 60f =⋅=()12641,2C C 36f =⋅=()340,3C 4f ==()()()()12,13f f f f -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩37,413,a b a b -=⎧⎨-=⎩6,11.a b =⎧⎨=⎩()()12f f -=-=()3f -6c =-()013,f <-…69c <…7. 解析因为0a >，所以()a f x x =在()0,+∞上为增函数，故A 错.在B 中，由()f x 的图像知1a >，由()g x 的图像知01a <<，矛盾，故B 错.在C 中，由()f x 的图像知01a <<，由()g x 的图像知1a >，矛盾，故C 错.在D 中，由()f x 的图像知01a <<，由()g x 的图像知01a <<，相符，故选D.评注本题考查幂函数和对数函数的图像与单调性，考查分类讨论思想和逻辑推理能力. 8. 解析在A 中，取()1,0=a ，0=b ，则{}min ,1+-=a b a b ，而{}min ,0=a b ，不符合，即A 错.在B 中，设0=≠a b ，则{}mi n ,0+-=a b a b ，而{}mi n ,0=>a b a 不符合，即B 错.因为2222+=++⋅a b a b a b ，2222-=+-⋅a b a b a b <，则当0⋅a b …，时{}222222max ,2+-=++⋅+a b a b a b a b a b ?；当0⋅<a b <时{}222222max ,2+-=+-⋅+a b a b a b a b a b ?即总有{}2222max ,+-+a b a ba b ….故选D.9. 解析当1i =时，若从乙盒中抽取的1个球为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为1A ，则()1mP A m n=+.若从乙盒中抽取的1个球为蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为2A ，则()()2122m n P A m n m n =⨯=++，而1A 与2A 互斥，则()()()()1121222n m p P A A P A P A m n +=+=+=+.此时，1ξ的取值为1或2，()11nP m nξ==+，()12m P m n ξ==+，则()1212n m n mE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++.当2i =时，若从乙盒中抽取的2个球为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为1B ，则()212C C m m nP B +=. 若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为2B ，则()1122C C 23C m nm nP B +=⨯. 若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为3B ，则()232C 13C n m nP B +=⨯.因为1B ，2B ，3B 互斥，则()()()()()221123212312322C 3C 2C C C 13C 3C n m m n nm n m nP B p P B B B P B P B P B ++++=⨯=++=++==()()()()()()()2231334331313n m m n m m mn n n n mm n m n m n m n m n ++--++-+==++-++-+.则()1206n p p m n -=>+，即有12p p >.此时，2ξ的取值为1，2，3，则()222C 1C n m n P ξ+==，()1122C C 2C m nm nP ξ+==，()222C 3C mm nP ξ+==则()21122112222222C C C C C 2C C 3C 1233C C C C n m n m n m n mm n m n m n m nE p ξ++++++=⨯+⨯+⨯===3n mn m++，则有()()12E E ξξ<，综上，12p p >，()()12E E ξξ<，故选A.10. 解析 []0,1i a ∈ ，且0199a a a <<<，而()1f x 在[]0,1上为增函数，故有()()()1011199f a f a f a <<<，则()()()()111101211I f a f a f a f a =⎡-⎤+⎡-⎤++⎣⎦⎣⎦()()()()()()1991981991011101f a f a f a f a f f ⎡-⎤=-=-=⎣⎦. ()2f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，而495012a a <<，且49501a a +=，即有()()249250f a f a =，故()()()()()()22120250249250251I f a f a f a f a f a f a =⎡-⎤++⎡-⎤+⎡-⎤++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()29829925020250299f a f a f a f a f a f a ⎡-⎤=-+-=⎣⎦()()2225020199f f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭()224950*********,199999999⨯⨯⨯==-∈. ()3f x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，即()3f x 在[]024,a a 上为增函数，在[]2549,a a 上为减函数. 在[]5074,a a 上为增函数，在[]7599,a a 上为减函数.又()324148148sin πsin π399399f a =⋅=，()325150149sin πsin π399399f a =⋅=，则()()()3253243491981πsin πsin 399399f a f a f a >=⋅=，()35011001πsinπsin 399399f a =⋅=，即有()()349350f a f a =. ()3741148149sin πsin π399399f a =⋅=，()()3753741150151148πsin πsin π=sin 399399399f a f a =⋅=<.故有()()()()3031324325f a f a f a f a <<<<，()()()()325326349350f a f a f a f a >>>=，()()()350351374f a f a f a <<<，()()()374375399f a f a f a >>>.从而3I =()()()(){}()()()(){}3130325324325326349350fa f a f a f a f afa fa fa ⎡-⎤++⎡-⎤+⎡-⎤++⎡-⎤+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()(){}374375398399fa f a f a f a ⎡-⎤++⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()32530325350374350374399f a f a f a f a f a f a f a f a ⎡-⎤+⎡-⎤+⎡-⎤+⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()3253503743039923f a f a f a f a f a -+--=250π2100π2148πsin sin sin 399399399-+= 2492π249249πsin πsin sin π2sin π-sin 39939939939999⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.而495πsinπsin 9912>=，ππsin sin 9912<=，则3213I >>⎝⎭.所以213I I I <<. 11. 解析第一次循环，1S =,2i =；第二次循环，224S =+=,3i =；第三次循环，8311S =+=，4i =；第四次循环，22426S =+=，5i =；第五次循环，52557S =+=，6i =，5750>，退出循环，故输出结果为6. 12. 解析设()1P p ξ==，则()425P p ξ==-，从而由()14012155E p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，得35p =.故()()()()22213120111215555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=. 13. 解析不等式组构成以，，为顶点的三角形区域（包含边界）. 又，所以转化为恒成立.而表示可行区域点与定点连接的斜率，其最大值为.同理，表示可行区()1,0A 31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭()2,1C 12x剟14ax y+剟41y y a xx ---剟14y k x -=(),P x y ()0,432-21y k x-=域内点与定点连接的斜率，其最小值为，故有，即.14. 解析不同的获奖情况可分为以下两类：（1）有一个人获得两张有奖奖券，另外还有一个人获得一张有奖奖券，有2234C A 36=种获奖情况.（2）有三个人各获得一张有奖奖券，有34A 24=种获奖情况.故不同的获奖情况有362460+=种.15. 解析当0a …时，()20f a a =-…，又()00f =，故由()()()2422f f a f a a a =-=-…，得22a …，所以0a剟当10a -<<时，()()210f a a a a a =+=+<，则由()()()()()22222f f a f a a a a aa =+=+++…，得210a a +-…，得a ，则有10a -<<.当1a -…时，()()210f a a a a a =+=+…，则由，()()()()2222f f a f a a a a =+=-+…，得a ∈R ，故1a -….综上，a的取值范围为(-∞.16. 解析由得，由得，则线段的中点为.由题意得，所以，得，故，所以17. 解析过点P 作PN BC ⊥于N ，连接AN ，则PAN θ∠=，如图.(),Px y ()0,11-312a ---剟312a剟30,x y m b y x a -+=⎧⎪⎨=⎪⎩,33am bm A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭30,x y m b y x a -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩,33ambm B b a b a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭AB 2222223,99a m b m M b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭PM AB ⊥3PM k =-2222444a b c a ==-254e =2e =设PN x =m ，由30BCM ∠=，得CN =m .在直角ABC △中，AB =15m ， 25AC =m ，则20BC =m，故()20BN =-m .从而()222215203625AN x =+=-+，故2222tan PN AN θ=.当1x ==时，2tan θ取最大值2527，即当x =tan θ.18. 解析（I）由题意得1cos 21cos 22222A B A B ++-=，112cos 22cos 222A A B B -=-，ππsin 2sin 266A B ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由a b ≠，得A B ≠，又()0,πA B +∈，得ππ22π66A B -+-=，即2π3A B +=，所以π3C =. （II ）由c =4sin 5A =，sin sin a c A C =，得85a =，由a c <，得A C <.从而3cos 5A =，故()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=，所以，ABC △的面积为1sin 2S ac B =.评注本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力. 19. 解析（I ）由题意(1232nb n a a a a=，326b b -=，知3238b b a -==.又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项为()*2n n a n =∈N ，所以，123n a a a a =NMCB APθ()()1122n n n n ++=.故数列{}n b 的通项为()()*1n b n n n =+∈N .（II ）（i ）由（I ）知1111121n n n n c a b n n ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭()*n ∈N ，所以1112n n S n =-+. （ii ）因为10c =，20c >，30c >，40c >；当5n …时，()()115112n n n n c n n ⎡+⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()1112022nn n n n n ++++->，得()()51551122nn n +⋅+<…，所以，当5n …时，0n c <.综上，对任意*n ∈N ，恒有4n S S >，故4k =.评注本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识，同时考查运算求解能力.20. 解析（I ）在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==，2CD =，得BD BC ==，由AC =2AB =，得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC DE ⊥.又DE DC ⊥，从而DE ⊥平面ACD .（II ）解法一：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作//FG DE ，与AE 交于点G ，连接BG ，由（I ）知D E AD ⊥，则FG AD ⊥.所以BFG ∠是二面角B AD E --的平面角.在直角梯形BCDE 中，由222CD BC BD =+，得BD BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥.由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥.在Rt ACD △中，由DC =2，AC得AD 在Rt AED △中，由1ED =，AD =得AE 在Rt ABD △中，由BD 2AB =，AD =BF =，23AF AD =.从而23GF =.在ABE △，ABG △中，利用余弦定理分别可得cos BAE ∠=23BC =.在BFG △中，2222GF BF BG cos BFG BF GF +-∠==⋅.所以π6BFG ∠=，，即二面角的大小是π6.GFEDCBA解法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x 轴，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -如图所示.由题意知各点坐标如下：()0,0,0D ，()1,0,0E ，()0,2,0C，(A ，()1,1,0B .设平面ADE 的法向量为()111,,=x y zm ，平面ABD 的法向量为()222,,=x y zn ，可算得(0,22AD =-，(1,2,AE =-，()1,1,0DB =，由0,0,AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即1111120,20,y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩可取(0,2=m . 由0,0,AD BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即222220,0,y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩可取(1,=-n .于是cos ,⋅===⋅m n m n m n 所求二面角是锐角，故二面角B AD E --的大小是π6. 评注本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力.21. 解析（I ）设直线的方程为，由消去得.由于与只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为.又点在第一象限，xl ()0y kx m k =+<2222,1y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()22222222220b a k mx a kmx a m a b +++-=l C 0∆=22220b m a k -+=P 22222222,a km b m b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭P故点的坐标为. (II)由于直线过原点且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得因为，所以，当且仅当时等号成立.所以，点到直线的距离最大值为. 评注本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力.22. 解析（I ）因为()3333, ,33, ,x x a x a f x x x a x a ⎧+-⎪=⎨-+<⎪⎩…所以()2233, ,33, ,x x a f x x x a ⎧+⎪'=⎨-<⎪⎩…由于11x-剟，（i ）当1a -…时，有x a …，故()333f x x x a =+-.此时()f x 在()1,1-上是增函数，因此，()()143M a f a ==-，()()143m a f a =-=--，故()()()()43438M a m a a a -=----=.（ii ）当11a -<<时，若(),1x a ∈，则()333f x x x a =+-，在(),1a 上是增函数；若()1,a -，则()333f x x x a =-+在()1,a -上是减函数，所以，()()(){}max 1,1M a f f =-，()()3m a f a a ==，由于()()1162f f a --=-+，因此，当113a <…时，()()334M a m a a a -=--+；当113a <<时，()()332M a m a a a -=-++.（iii ）当1a …时，有x a …，故()333f x x x a =-+，此时()f x ，在()1,1-上是减函数，因此，()()123M a f a =-=+，()()123m a f a ===-+，P 22P ⎛⎫1l O l 1l 0x ky +=P 1l d =22d =22222b a k ab k+ (22)22a b =-…2bk a=P 1l a b -故()()()()23234M a m a a a -=+--+=.综上，()()338, 1,134, 1, 3132, 1,34, 1,a a a a M a m a a a a a -⎧⎪⎪--+-<⎪-=⎨⎪-++<<⎪⎪⎩………（II ）令()()h x f x b =+，则()3333, ,33, ,x x a b x a h x x x a b x a ⎧+-+⎪=⎨-++<⎪⎩…()2233,,33,.x x a h x x x a ⎧+⎪'=⎨-<⎪⎩卆因为()4f x b ⎡+⎤⎣⎦…对[]1,1x ∈-恒成立，即()22h x -剟对[]1,1x ∈-恒成立，所以由（I ）知，（i ）当1a -…时，()h x 在()1,1-上是增函数，()h x 在[]1,1-上的最大值是()143h a b =-+，最小值是()143h a b -=--+，则432a b -+-…且432a b -+…，矛盾.（ii ）当113a -<…时，()h x 在[]1,1-上的最小值是()3h a a b =+，最大值是()143h a b =-+，所以32a b +-…且432a b -+…，从而323362a a a b a --++-剟且103a 剟.令()323t a a =--+，则()2330t a a '=->，()t a 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故()()02t a t =-…，因此230a b -+剟.（iii ）当113a <<时，()h x 在[]1,1-上的最小值是()3h a a b =+，最大值是()132h a b -=++，所以32a b +-…且322a b ++…，解得283027a b -<+….（iv ）当1a …时，()h x 在[]1,1-上的最大值是()123h a b -=++，最小值是()123h a b =-++，所以322a b ++…且322a b +--…，解得30a b +=.综上，得3a b +的取值范围是230a b -+剟.评注本题主要考查函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力.。

2014年高考试题立体几何及答案

立体几何1、如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC . 同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD . 又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.2、如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ； (2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．20．解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1.又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2×cos π6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD ，知△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos∠ABM ＝22＋⎝⎛⎭⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214.由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝5 38.所以四棱锥P -ABMO 的体积V四棱锥P -ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×5 38×32＝516.3、[四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．4．如图在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E ABC 的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E - ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.5、如图1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .证明：(1)连接AD 1，由ABCD - A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1.因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)如图，连接AC ，BD ，A 1C 1，则AC ⊥BD . 由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得CC 1⊥BD .又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1.而AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥AC 1.因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN . 6、如图1-4所示，在三棱锥P - ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明： (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，所以DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .7、如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P - ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)V ＝13×12×P A ×AB ×AD ＝36AB ，由V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于点H .由题设知BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AH ，因为PB ∩BC ＝B ，所以AH ⊥平面PBC .又AH ＝P A ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313.8．如图1-4所示，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点． (1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，所以O 为AC 的中点．又在△P AC 中，F 为PC 的中点，所以AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知，ED ∥BC ，ED ＝BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ∥CD .又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面P AC .9、在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．图1-418．解：(1)证明：因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内的两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内的两条相交直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，所以DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC . 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .10．如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD . (ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112.又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC所成角的正弦值为21111.11、如图三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD . (2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C - ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A - MBC 的体积V A - MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112. 方法二：由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD .且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A - MBC 的体积V A MBC ＝V A BCD －V M BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD＝112. 12、如图1-2所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图1-3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M - CDE 的体积．13、[2014·江苏卷] 如图1-4所示，在三棱锥P - ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明： (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC＝4.又因为DF ＝5，所以DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .14、[2014·辽宁卷] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D -BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同G 理BG ⊥AD .又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 延长线于点O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 的中点，所以G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V 三棱锥D -BCG ＝V 三棱锥G -BCD ＝13·S △DBC ·h ＝13×12·BD ·BC ·sin 120°·32＝12.15．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高．19．解：(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，由于BC 1∩AO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，且AO ∩OD ＝O ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，且AD ∩BC ＝D ，所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝34. 因为AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114.又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高为217.17、[2014·天津卷] 如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.20．、[2014·浙江卷] 如图15，在四棱锥A BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．20．解：(1)证明：连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE .(2)在直角梯形BCDE 中，由BD ＝BC ＝2，DC ＝2，得BD ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，所以BD ⊥平面ABC .作EF ∥BD ，与CB 的延长线交于点F ，连接AF ，则EF ⊥平面ABC . 所以∠EAF 是直线AE 与平面ABC 所成的角．在Rt △BEF 中，由EB ＝1，∠EBF ＝π4，得EF ＝22，BF ＝22；在Rt △ACF 中，由AC ＝2，CF ＝322，得AF ＝262. 在Rt △AEF 中，由EF ＝22，AF ＝262，得tan ∠EAF ＝1313. 所以，直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值是1313.19．、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B ； (2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小． 19．解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 AB C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，所以DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14.所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.。

2014高考数学一轮课时专练(理科浙江省专用)(一)B[第1讲集合及其运算]

. 2014高考数学一轮课时专练（理科浙江省专用）：(一)B [第1讲集合及其运算](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．[教材改编试题] 已知M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2}＝{1，2}，则集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．[2012·江门三模] 若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，C ＝{x |3<x ≤4}，则( )A ．A ＝(∁UB )∩C B ．B ＝(∁U A )∩CC ．C ＝(∁U A )∩BD ．C ＝A ∩B3．已知集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N ＝( ) A ．{－1，1} B ．{0}C ．{－1}D ．{－1，0}4．设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <2，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1≤x <2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤1 C ．{x |x <2} D ．{x |1≤x <2}能力提升5．[2012·德州二模] 已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪y ＝1x ＋1，B ＝{x |y ＝log a (x ＋2)}，则集合(∁U A )∩B ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－1，＋∞)6．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x ∈Z 中含有的元素个数为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．127．[2012·东三省联考] 设集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3，4}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．∅B ．{0，1}C ．{－2，－1}D ．{－2，－1，0，1} 8．[2012·太原模拟] 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x 24＋3y 24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，2] B ．[0，2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1，1)，(1，1)}9．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．10．[2012·大连模拟] 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．11．[2012·江苏海安中学月考] 对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设M ＝{t |t ＝x 2－3x ，x ∈R }，N ＝{x |y ＝lg(－x )}，则M ⊕N ＝________．12．(13分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －8<0}，B ＝{x |x －m <0}．(1)若m ＝3，全集U ＝A ∪B ，试求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．难点突破13．(12分)设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .证明下列结论：(1)若m ＝1，则S ＝{1}；(2)若m ＝－12，则14≤l ≤1； (3)若l ＝12，则－22≤m ≤0.。

2014高考数学(理,浙江专版)一轮复习限时集训2.8函数与方程Word版含答案

限时集训(十) 函数与方程(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．02．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．73．(2013·宁波模拟)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 5．(2013·金华模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)6．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x 3(x ≤0)，⎝⎛⎭⎫13x －log 2x (x >0)，若x 0是y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．等于0D ．不大于08．(2013·洛阳模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x >0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为( )A ．10B ．9C ．8D ．7二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1(－1≤x ≤1)，－|x －2|＋1(1<x ≤3)，若方程f (x )－ax ＝0有5个实根，则正实数a 的取值范围是________．10．(2013·杭州七校联考)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在区间为(k ，k ＋1)，(k ∈Z)，则k ＝________.11．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 012x ＋log 2 012x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．14．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)·x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．16．若函数F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．17．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．限时集训(十一)函数模型及其应用(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()2．(2013·济南模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元3．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()A．90万m2B．87万m2C．85万m2D．80万m24．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台5．某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，则销售价应定为每件()A．100元B．110元C．150元D．190元6．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是()A．不能确定B．①②同样省钱C．②省钱D．①省钱7．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是()8．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为()A．[2,4]B．[3,4]C．[2,5]D．[3,5]二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·郑州模拟)一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．10．(2013·江南十校联考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是______万元．11．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．12．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________ cm 2.13．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．14．某人用10万元买了一辆小汽车用来跑出租，已知这辆汽车从启用的第一年起连续使用，第n 年的保养维修费为2 000 (n －1)元，使用它直到“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少)为止，则最佳报废时间为________年．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(2013·嘉兴模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？16．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．17．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫0.05t －120 000t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？限时集训(十二) 变化率与导数、导数的计算(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )2．(2013·绍兴模拟)若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定3．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角 C ．直角D ．钝角4．已知f (x )＝x (2 011＋ln x )，f ′(x 0)＝2 012，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e5．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －16．已知曲线y ＝ln x ，则过点(0，－1)的曲线的切线方程为( ) A ．x －2y －2＝0 B ．x －y －1＝0C ．x －y －1＝0或x ＋y －1＝0D ．2x －3y －3＝07．(2013·临沂模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1B.1eC.2eD.2e8．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝e x －e ，则f ′(1)＝________. 10．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 11．已知三次函数y ＝x 3－x 2－ax ＋b 在(0,1)处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________.12．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．13．(2013·杭州七校联考)过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切线的方程为________． 14．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y＝f (x )的解析式．16．(2013·杭州模拟)如右图所示，已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a<－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S1.17．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.限时集训(十三) 导数的应用(Ⅰ)(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )2．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)3．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点4．(2013·济南模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a <－1eD ．a >－1e5．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6436．(2013·丽水模拟)函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．57．(2013·咸宁模拟)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1D ．－3或18．(2012·福建高考)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝2x －4，则函数f (x －1)的单调递减区间是________． 10．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．12．(2013·温州模拟)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．13．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (1－x )，⎝⎛⎭⎫x －12f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．14．已知a >0，设函数f (x )＝a ln x －2a ·x ＋2a ，g (x )＝12(x －2a )2.则函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(0,0)，(2,0)．(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．16．已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a ＞0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围．17．(2012·天津高考)已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．限时集训(十四) 导数的应用(Ⅱ)(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对3．设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln 3) B.13ln 3 C ．1＋ln 3D ．ln 3－14．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．球的直径为d ，其内接正四棱柱体积V 最大时的高为( ) A.22d B.32d C.33d D.23d 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．[3，2)D ．(3，2)7．已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件8．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若对于区间[－3,2]上任意的x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．0B ．10C ．18D ．20二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．函数f (x )＝x 3－3x 的极大值与极小值的和为________．10．函数f (x )＝－x 3＋mx 2＋1(m ≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，设t >－2，f (－2)＝m ，f (t )＝n .函数f (x )在[－2，t ]上为单调函数时，t 的取值范围是________．12．(2013·东北三省四市质检)设f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ≤π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．13．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________．14．若函数f (x )＝13x 3－a 2x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上不是单调函数，求m 的取值范围．16．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论当a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．17．设函数f (x )＝x －1x－a ln x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值； (2)若函数f (x )在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；(3)当a ≤2时，设函数g (x )＝x －ln x －1e ，若在[1，e]上存在x 1，x 2使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．在第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．在第三或第四象限2．已知tan α>0，且sin α＋cos α>0，那么角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．sin 2cos 3tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]5．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D ．26．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－27．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 8．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C.12D ．3二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是________． 10．若点P (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx 的值为________．11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角有________．13．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．14．(2013·菏泽模拟)已知函数f (x )＝x 2cos θ－ 2 x sin θ＋34，对于任意的实数x 恒有f (x )>0，且θ是三角形的一个锐角，则θ的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求α的三角函数值．16．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .17．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．限时集训(十六) 同角三角函数的基本关系与诱导公式(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．已知tan α＝－a ，则tan(π－α)的值等于( ) A ．a B ．－a C.1aD ．－1a2．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝( )A.45B.35 C ．－45D ．－353．已知sin 34°＝－m ，则sin 2 014°＝( ) A ．－1－m 2 B.1－m 2 C ．－mD ．m4．若sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝( ) A ．－35B.35C.45D ．－455．(2013·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.536．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.137．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－128．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．sin (－210°)＝________.10．化简sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.11．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________． 12．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________. 13．(2013·绍兴模拟)已知tan α＝－12，π2<α<π，则sin α＝________.14．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π.则 sin α－cos α＝________.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．17．是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．限时集训(十七) 三角函数的图象与性质(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数2．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．13．(2013·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 (x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 4．(2013·杭州模拟)设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关5．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，且其图象相邻的两条对称轴为x ＝0，x ＝π2，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为减函数6．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π37．(2013·衡阳联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin|x |8．(2012·新课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．函数y ＝1tan x －3的定义域为________．10．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 11．(2013· 台州模拟)设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________.12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0,2π]上的零点个数为________．14．(2013·义乌模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．16．设a ＝⎝⎛⎭⎫sin 2π＋2x4，cos x ＋sin x ，b ＝(4sin x ，cos x －sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知常数ω>0，若y ＝f (ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围；17．(2012·湖北高考)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．限时集训(十八) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )2．(2013·温州模拟)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，只要将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位3．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．94.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h ⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则f (x )＝( ) A ．4sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋2B ．－4sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＋2 C ．2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋4 D ．－2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋45．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24等于( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 36．(2013·广州模拟)函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且直线AB 的斜率为1，则该函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝27．(2013·江西九校联考)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD ―→在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π68．(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 10．(2013·龙泉模拟)函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．11．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________.12．若把函数y ＝3cos x －sin x 的图象向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．13．已知直线y ＝b (b ＜0)与曲线f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b 的值是________．14．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求函数f (x )的解析式及x 0的值； (2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．16．已知函数f (x )＝23·sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．17．已知函数f(x)＝2a cos2x＋b sin x cos x－32，且f(0)＝32，f⎝⎛⎭⎫π4＝12.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间；(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？限时集训(十九) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．(2013·厦门模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则tan α等于( ) A ．－65B ．－1C ．－34D.652．(2013·舟山模拟)sin 20° 1＋cos40°cos 50°＝( )A.12B.22C. 2D ．23．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．14．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.125．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.536．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π67．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．48．(2013·合肥模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 10.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 11．已知sin (π－α)＝－1010，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.12．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．13．(2013·南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.14．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则 cos β＝________. 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域．(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．16．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．17．已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a·b ⎝⎛⎭⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值．限时集训(二十) 简单的三角恒等变换(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．(2013·济南模拟)函数y ＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π2．(2013·沈阳四校联考)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－433．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a log a 13(a ＞0，且a ≠1)，则cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α的值为( ) A.1010B ．－1010C.31010D ．－310104．已知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( ) A. 1－a2 B ．－ 1－a2 C.1＋a2D ．－1＋a25．计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．16．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C ．－45D.457．函数y ＝sin x cos x ＋ 3 cos 2 x 的图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，－32B.⎝⎛⎭⎫2π3，－32C.⎝⎛⎭⎫2π3，32 D.⎝⎛⎭⎫π3，328．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 3αcos α＋cos 3αsin α的最小值为( ) A.2764 B.325C.536D ．1二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·温州模拟)化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果为________． 10．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.11．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.12．(2013·青岛模拟)在△ABC 中，若sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝________.13．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．14．如图，圆O 的内接“五角星”与圆O 交于A i (i ＝1,2,3,4,5)点，记弧A i A i ＋1在圆O 中所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3,4)，弧A 5A 1所对的圆心角为α5，则cos 3α1·cos (α3＋α5)－sin 3α2sin 2α4等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．(1)化简4cos 4x －2cos 2x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ；(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]· 2sin 280°.16．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．17．已知函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且其图象经过点⎝⎛⎭⎫5π12，0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．限时集训(二十一) 正弦定理和余弦定理(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定2．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.323．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋3945．(2013·宁波模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sin B sin C ＝0，则tan A 的值是( )A.33B ．－33C. 3 D ．－ 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－127．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.24258．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．(2012·福建高考)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．11．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对的角分别为角A ，B ，C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．12．(2012·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________．14．(2013·南昌模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B＝________. 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .16．(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ―→·AC ―→＝3BA ―→·BC ―→. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．17．(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．限时集训(二十二)解三角形应用举例(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．如图所示，已知两船A和B与海洋观察站C的距离相等，船A在观察站C的北偏东40°，船B在观察站C的南偏东60°，则船A在船B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°2．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为()A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．33.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m5．(2012·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()。

2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习小题专项集训12

小题专项集训(十二)计数原理、统计与概率(建议用时：40分钟分值：75分)1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()．A．30种B．35种C．42种D．48种解析法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B 类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30种选法．法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，故有30种选法．答案 A2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为()．A．7 B．15C．25 D．35解析由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.答案 B3．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选中的概率相等，而且选中男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有()．A．360人B．240人C．144人D．120人解析设男教师有x人，则女教师有(x＋12)人，由选中男教师的概率为9 20，所以xx＋x＋12＝920，解得x＝54，所以男教师为54人，女教师为66人，故参加这次联欢会的教师共有120人．答案 D4．同时随机掷两颗骰子，则至少有一颗骰子向上的点数小于4的概率为( )．A.19B.89C.14D.34解析共有36种情况，其中至少有一颗骰子向上的点数小于4有27种情况，所以所求概率为2736＝34.答案 D5．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于 ( )． A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析令x ＝1可得二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 展开式的各项系数和为4n，又其各项二项式系数的和为2n，所以4n 2n ＝2n＝64＝26，解之得n ＝6，故应选C.答案 C6．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为 ( )． A.65B.65C. 2D ．2解析由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案 D7．(2013·金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是()．A.35 B.25C.13 D.23解析取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P＝1－515＝23.答案 D8．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()．A．90 B．75C．60 D．45解析产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n，则36n＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.答案 A9．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2x y＝1的概率为()．A.16 B.536C.112 D.12解析由log2x y＝1，得2x＝y.又x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3，4,5,6}，所以满足题意的有x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为336＝112，故选C.答案 C10．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()．A．s3＞s1＞s2B．s2＞s1＞s3C．s1＞s2＞s3D．s2＞s3＞s1解析∵x甲＝(7＋8＋9＋10)×520＝8.5，s21＝5×[(7－8.5)2＋(8－8.5)2＋(9－8.5)2＋(10－8.5)2]20＝1.25，x乙＝(7＋10)×6＋(8＋9)×420＝8.5，s22＝6×[(7－8.5)2＋(10－8.5)2]＋4×[(8－8.5)2＋(9－8.5)2]20＝1.45，x丙＝(7＋10)×4＋(8＋9)×620＝8.5，s23＝4×[(7－8.5)2＋(10－8.5)2]＋6×[(8－8.5)2＋(9－8.5)2]20＝1.05.由s 22＞s 21＞s 23，得s 2＞s 1＞s 3.答案 B11．甲射击命中目标的概率是12，乙射击命中目标的概率是13，丙射击命中目标的概率是14，现在三人同时射击同一目标，目标被命中的概率为________．解析设A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙射击命中目标，则P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝[1－P (A )][1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14.所以，目标被命中的概率为：P ＝1－P (A B C )＝1－14＝34.答案 3412．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析由题意，知“出现奇数点”的概率是事件A 的概率，“出现2点”的概率是事件B 的概率，则“出现奇数点或2点”的概率为P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案 2313．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为：2.5,2.6,2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．解析从5根竹竿中，一次随机抽取2根竹竿的方法数为5×42＝10(个)．而满足它们的长度恰好相差0.3 m 的方法数为2个，即2.5和2.8,2.6和2.9.由古典概型的求法得P ＝210＝15.答案 1514．(2012·浙江)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________．解析设此正方形为ABCD ，中心为O ，则任取两个点的取法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，(A ，O )，(B ，O )，(C ，O )，(D ，O )，共10种；取出的两点间的距离为22的取法有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，共4种，故所求概率为410＝25.答案2 515．(2010·北京)从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．解析∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在[140,150]中选取的学生应为3人．答案0.030 3。

2014高考数学(理,浙江专版)一轮复习限时集训8.9直线与圆锥曲线Word版含答案

限时集训(五十四) 直线与圆锥曲线(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l ：x ＋ky －3k ＝0，如果它与双曲线x 24－y 23＝1只有一个公共点，则k 的取值个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k >－baB ．k <baC ．k >b a 或k <－b aD ．－b a <k <ba3．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长等于( )A ．4 B.433C ．2D ．不能确定4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.32B.3－1C.22D.2－15．(2012·温州模拟)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A ―→与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA ―→|为( )A.21p 4B.21p 2C.136p D.1336p6．(2012·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．设斜率为1的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 22＝1相交于不同的两点A ，B ，则使|AB |为整数的直线l 共有( )A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条8．(2013·绍兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C.32D.32二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为________．10．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．11．(2012·天津高三期末)一动圆过点A (0,1)，圆心在抛物线x 2＝4y 上，且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程为________．12．设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是________．13题图14．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝____________.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．16．(2013·株洲模拟)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x＋y－20＝0.(1)求抛物线C的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线C上的两动点，且满足PO⊥OQ，证明：直线PQ 过定点．17．(2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.答案[限时集训(五十四)]1．D 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8．B9．解析：设直线方程为y ＝x ＋b ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋8bx ＋4b 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8b5，x 1x 2＝4b 2－45.则|AB |＝2·|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·45－b 25≤4105. 答案：410510．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝011．解析：由于A (0,1)为抛物线的焦点，由抛物线定义可知，圆心到A 点的距离等于到准线的距离，故l ：y ＝－1.答案：y ＝－112．解析：由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a .又因为点P 在直线y ＝b 3a x 上，所以－b 2a ＝b3a ×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝2 2b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324.答案：32413．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px 中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p2|y 1－y 2|＝12×(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2. 答案：214．解析：设过抛物线焦点的直线为 y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得12x 2－13x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝34.又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56.答案：5615．解：(1)由椭圆定义知 |AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得 |AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b )2(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2，解得b ＝22. 16．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m 2， ∴x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫5－y 14＋⎝⎛⎭⎫5－y 24＝ 10＋m8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝⎛⎭⎫m 2，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 33＝m2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎨⎧x 3＝11m 8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫m 22＝2m ⎝⎛⎭⎫11m 8－10. ∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q162＝b 2k2，∴b 2k 2＋16bk＝0.∵k ≠0，b ≠0. ∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)；当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0)．17．解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b 2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)得 k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.高考资源网版权所有！：1084591801。

2014高考数学一轮课时专练(理科浙江省专用)(一)A[第1讲集合及其运算]

. 2014高考数学一轮课时专练（理科浙江省专用）：(一)A [第1讲集合及其运算](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P2．已知集合P ＝{－1，m }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <34，若P ∩Q ≠∅，则整数m 为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．43．[2012·商丘三模] 设全集U ＝{x ∈Z |－1≤x ≤3}，A ＝{x ∈Z |－1<x <3}，B ＝{x ∈Z |x 2－x －2≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{－1}B ．{－1，2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}4．[2012·唐山三模] 设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x <0，则M ∩N 等于( ) A ．(－1，1) B ．(1，3)C ．(0，1)D ．(－1，0)能力提升5．[2012·太原三模] 已知集合A ＝{x |lg x ≤1}，B ＝{x |2x ≤4}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0，2]C ．(－∞，1]D ．[2，10)6．已知集合A ＝{x |y ＝log 2(x 2－1)}，B ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，则A ∩B 等于( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1 B ．{x |1<x <2} C ．{x |x >0} D ．{x |x >1}7．[2012·长春三模] 若集合A ＝{x |x 2<4}，则集合{y |y ＝|x ＋1|，x ∈A }＝( )A ．{y |0<y ≤1}B ．{y |0≤y <1}C ．{y |0≤y ≤3}D ．{y |0≤y <3}8．[2012·银川二中二模] A ＝{x |x ≠1，x ∈R }∪{y |y ≠2，y ∈R }，B ＝{z |z ≠1且z ≠2，z ∈R }，那么( )A ．A ＝B B ．A BC ．A BD ．A ∩B ＝∅9．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝a ＋16，a ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝b 2－13，b ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝c 2＋16，c ∈Z ，则A ，B ，C 之间的关系是________．11．对任意两个正整数m ，n ，定义某种运算()：当m ，n 都是正偶数或都为正奇数时，m n ＝m ＋n (如46＝4＋6＝10，37＝3＋7＝10等)；当m ，n 中有一个是正奇数，另一个为正偶数时，m n ＝mn (如34＝3×4＝12，43＝4×3＝12等)，则在上述定义下，集合M＝{(a，b)|a b＝36，a，b∈N*}中元素的个数为________．12．(13分)已知集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁U B)；(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．难点突破13．(12分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在实数a，使得集合A，B能同时满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B＝B；③∅(A∩B)？若存在，求出实数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．。

2014届高考数学一轮复习第7章《立体几何》(第3课时)知识过关检测理新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第7章《立体几何》（第3课时）（新人教A版）一、选择题1．若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是( )A．异面直线B．平行直线C．相交直线D．以上三种情况都有可能解析：选D.把直线放在正方体内可知a与c可以异面、平行或相交．2．(2013·石家庄调研)若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l( )A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行解析：选B.若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，故选B.3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.有2条：A1B和A1C1，故选B.4．(2013·大连质检)以下几个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得四边形的四条边可以不在一个平面上．5．(2013·聊城质检)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．①②B．②③C．①④D．③④解析：选D.当a ∩α＝P 时，P ∈a ，P ∈α，但a ⊂/ α，∴①错；当a ∩b ＝P ，a ∩β＝P 时，②错；如图，∵a ∥b ，P ∈b ，∴P ∈/ a ，∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面β，但β过直线a 与点P ，∴β与α重合，∴b ⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．二、填空题 6．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．答案：1或47．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线； ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．解析：对于①可举反例，如AB ∥CD ，A 、B 、C 、D 没有三点共线，但A 、B 、C 、D 共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.答案：②8．(2011·高考大纲全国卷)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为__________．解析：取A 1B 1的中点F ，连接EF ，AF . ∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， EF ∥B 1C 1，B 1C 1∥BC ，∴EF ∥BC ，∴∠AEF 即为异面直线AE 与BC 所成的角．设正方体的棱长为a ，则AF ＝ a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝52a ，EF ＝a .∵EF ⊥平面ABB 1A 1，∴EF ⊥AF ，∴AE ＝AF 2＋EF 2＝32a .∴cos ∠AEF ＝EF AE ＝a 32a ＝23.答案：23三、解答题9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA.∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．10.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．一、选择题1．以下四个命题中，正确命题的个数是( )①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点A、B、C∈平面M，且点A、B、C∈平面N，则平面M与平面N重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.如图(1)，平面α内∠ABC为直角，P∈/ α，过P作PD⊥AB，PE⊥BC，则四边形PDBE有三个直角，故①错误；在图(2)的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，知③错误；图(3)中，M∩N＝l，A、B、C都在l上，知④错误，只有②正确．2.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，C∈/ l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：选D.通过A，B，C三点的平面γ，即通过直线AB与点C的平面，M∈AB.∴M∈γ，而C∈γ，又∵M∈β，C∈β，∴γ与β的交线必通过点C和点M.二、填空题3．(2013·泰安调研)若A、B、C表示三个不同的点，l表示一条直线，α表示一个平面，则在下列四个命题中：①若l⊂α，C∈α，则C∈l；②若A∈l，B∈l，且B∈/ α，则l⊂/ α；③若l⊂α，C∈l，则C∈α；④若l⊂/ α，C∈l，则C∈/ α.正确的命题有________(把所有正确命题的序号都填上)．解析：①错误．直线l在平面α内，不能得到在平面α内的一点C一定在直线l上；②正确，若直线l上一点B不在平面α内，则直线l不可能在平面α内，否则，若直线l在平面α内，可得点B 也在平面α内，与题意矛盾；③正确，直线l 在平面α内，C 是直线l 上一点，则点C 必在平面α内；④错误，直线l 不在平面α内，则直线l 与平面α可能有一个公共点C 或没有公共点．答案：②③4．(2013·潍坊质检)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线有________条．解析：在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因CD 与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD ＝Q ，连接PQ ，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与A 1D 1、EF 、CD 都相交．答案：无数三、解答题5．如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD .∴∠BEF 即为异面直线BE 与CD 所成的角或其补角．在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，10 10.∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为。

2014高考数学一轮课时专练(理科浙江省专用)(十九)A[第19讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简

.2014高考数学一轮课时专练（理科浙江省专用）：(十九)A [第19讲函数y ＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0，0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝( )A ．－π2B ．－π3C ．－π6D ．0 2．[2012·长春外国语学校检测] 若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为( )A.34B.32C ．1D ．23．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是________．能力提升5．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形．其中正确命题的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，ω最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．97．函数y ＝sin3x 的图象可以由函数y ＝cos3x 的图象( )A ．向左平移π2个单位得到 B ．向右平移π2个单位得到 C ．向左平移π3个单位得到 D ．向右平移π3个单位得到 8．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π49．[2012·课程标准卷] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2]10．[2012·郑州一中模拟] 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图K19－1所示，则φ＝________．图K19－111．函数f (x )＝sin 2x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－23π，θ上的最大值为1，则θ的值是________． 12．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 13．[2012·全国卷] 当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________．14．(10分)已知向量a ＝(2sin ωx ，cos 2ωx )，向量b ＝(cos ωx ，23)，其中ω>0，函数f (x )＝a·b ，若f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意实数x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，恒有|f (x )－m |<2成立，求实数m 的取值范围．15．(13分)[2012·杭州十四中模拟] 已知函数f (x )＝32sin2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位后得函数g (x )的图象，设△ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a ，b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝3sin ωx －2sin 2ωx 2＋m (ω>0)的最小正周期为3π，且当x ∈[0，π]时，函数f (x )的最小值为0.(1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．。

浙江省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编11 立体几何理新人教A版

浙江省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编11：立体几何一、选择题 1 ．（浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷）设,,l m n 表示三条不同的直线,,αβ表示两个不同的平面,则下列说法正确的是（）A ．如l ∥m ,m α⊂,则l ∥α;B ．如,,,l m l n m n α⊥⊥⊂,则l α⊥;C ．如,,l m l m αβ⊂⊂⊥,则αβ⊥;D ．如l ∥α,l ∥β,m αβ=,则l ∥m .【答案】D2 ．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）设m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题错误．．的是（）A ．若m α⊥,//n α,则m n ⊥B ．若n α⊥,//n m , 则m α⊥C ．若m α⊥,//m β,则αβ⊥D ．若αβ⊥,//m α,则m β⊥【答案】D 3 ．（浙江省嘉兴市2014届高三9月月考数学理试题）对于空间的两条直线m.n 和一个平面α,下列命题中的真命题是【答案】D 4 ．（浙江省宁波市效实中学2014届高三上学期期始考试数学（理）试题）已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是（）A ．34000cm 3B ．38000cm 3C.32000cm D ．34000cm【答案】B5 ．（浙江省湖州市八校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列正确的是（）A ．若m ∥,n α∥α,则m ∥nB ．若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC ．若m ∥,n α∥β,则α∥βD ．若,m n αα⊥⊥,则m ∥n【答案】D 6 ．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 7 ．（浙江省台州市黄岩中学2013-2014学年高三第一学期第一次月考数学(理)试题）已知直线,l m 和平面α, （）A ．若,,l m m α⊂则l αB ．若,,l m αα⊂则l mC ．若,,l m l α⊥⊥则m α⊥D ．若,,l m αα⊥⊂则l m ⊥【答案】D8 ．（浙江省温州市2014届高三上学期八校联考数学（理）试题）已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l 【答案】D 9 ．（浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷）棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点21,P P 分别是线段1,BD AB (不包括端点)上的动点,且线段21P P 平行于平面11ADD A ,则四面体121AB P P 的体积的最大值是（）A ．241B ．121 C ．61 D ．21 【答案】A 10．（浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考数学（理）试题）已知两个不同的平面,αβ和两条不重合的直线,m n ,则下列命题不正确的是（）A ．若,//n m ,α⊥m 则,α⊥nB ．若,α⊥m ,β⊥m 则βα//C ．若,α⊥m ,//n m β⊂n ,则βα⊥D ．若,//αm ,n =⋂βα,则n m // 【答案】D11．（浙江省温州市平阳中学2014届高三10月月考数学（理）试题）设γβα,,为平面,nm l ,,为直线,则β⊥m 的一个充分不必要条件为（）A ．l m l ⊥=⊥,,βαβαB ．m =⊥⊥γαγβγα ,,C ．αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,【答案】D 12．（浙江省温州中学2014届高三10月月考数学（理）试题）已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）A ．8B ．203C ．173D ．143【答案】C 二、填空题 13．（浙江省宁波市效实中学2014届高三上学期期始考试数学（理）试题）已知点O 在二面角AB αβ--的棱上,点P 在α内,且45POB ∠=︒.若对于β内异于O 的任意一点Q,都有45POQ ∠≥︒,则二面角AB αβ--的大小是__________. 【答案】9014．（浙江省2014届金华一中高三9月月考数学试卷（理））知一个三棱锥的三视图如右图所示,其中俯视图是顶角为0120的等腰三角形,则该三棱锥的体积为_____________.俯视图左视图主视图1223【答案】332 15．（浙江省温州市2014届高三上学期八校联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为______.【答案】3π16．（浙江省温州市平阳中学2014届高三10月月考数学（理）试题）若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是_____cm 3.【答案】2123π17．（浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷）一个正四棱锥的所有棱长均为(第13题)正视图俯视图侧视图2,其俯视图如右图所示,则该正四棱锥的正视图的面积为_________.俯视图【答案】218．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值为________.【答案】219．（浙江省金华一中2014届高三10月月考数学(理)试卷）某几何体的三视图(单位:cm )如下图,则这个几何体的表面积为 ___________ 2cm .【答案】1223+20．（浙江省温州中学2014届高三10月月考数学（理）试题）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点M 是BC 的中点,点P 是正方形ABCD 所在平面内的一个动点,且满足2PM =,P 到直线11A D 的距离为5,则点P 的轨迹是__________.【答案】两个点 21．（浙江省嘉兴市2014届高三9月月考数学理试题）若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是___【答案】48 22．（浙江省湖州市八校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是__________3cm .【答案】144 三、解答题23．（浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷）ABC∆中,4,42,45AB AC BAC ==∠=,以AC 的中线BD 为折痕,将ABD ∆沿BD 折起,构成二面角A BD C --.在面BCD 内作CE CD ⊥,且2CE =. (I)求证:CE ∥平面ABD ;(II)如果二面角A BD C --的大小为90,求二面角B AC E --的余弦值.【答案】解:(1)由4,42,45AB AC BAC ==∠=得4BC =,所以ABC ∆为等腰直角三角形,由D 为AC 的中点得BD AC ⊥,以AC 的中线BD 为折痕翻折后仍有BD CD ⊥,因为CE CD ⊥,所以CE ∥BD ,又CE ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,所以CE ∥平面ABD .(2)如果二面角A BD C --的大小为90,由AD BD ⊥得AD ⊥平面BDC ,因此AD CE ⊥,又CE CD ⊥,所以CE ⊥平面ACD ,从而CE AC ⊥.由题意ABCDEABCDEFGAD DC==,所以Rt ADC∆中,4AC=.设BC中点为F,因为4AB BC==,所以BF AC⊥,且BF=,设AE中点为G,则FG∥CE,由CE AC⊥得FG AC⊥,所以BFG∠为二面角B AC E--的平面角,连结BG,在BCE∆中,因为4,135BC CE BCE=∠=,所以BE=.在Rt DCE∆中DE,于是在Rt ADE∆中,AE=.在ABE∆中,2222111332242BG AB BE AE=+-=,所以在BFG∆中,13312cos BFG+-∠==.因此二面角B AC E--的余弦值为.解法二:如果二面角A BD C--的大小为90,由AD BD⊥得AD⊥平面BDC,又由(1)知BD CD⊥,所以以D为坐标原点,,,DB DC DA分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系. 又CE CD⊥,所以CE⊥平面ACD,又CE⊂平面ACE,所以平面ACE⊥平面ACD. 设AC中点为F,连结DF,则DF AC⊥,且2DF=,从而DF⊥平面ACE.由(1)可知,BD CD AD===,所以B,C,A,因此F,即平面ACE的法向量为(0,DF=,又(22,0,AB=-,AC=-,设平面ABC的法向量为(,,)n x y z=,则0,0n AB n AC⋅=⋅=,所以x y z==,所以可以取(1,1,1)n =,设n与DF 的夹角为θ,由222cosn DFθ⋅==⋅得cosθ=,结合图形可知二面角B AC E--的余弦值为E. 24．（浙江省台州市黄岩中学2013-2014学年高三第一学期第一次月考数学(理)试题）如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面1,,2ABCD PD QA QA AB PD ==.(1)证明:平面PQC ⊥平面DCQ ;(2)求二面角Q CP D --的余弦值.QPD C BA【答案】(1),,,,,PD ABCD PD CD CD DAQP CD PQ PQ DQ PQ CDQ PQ PCQ ⊥⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥⊂∴⊥面又CD AD面又面面面PQC 面DCQ.(2)过Q 作QO PQ ⊥交于点O,过O 作OM PC ⊥交于点M.则OMQ ∠是二面角的平面角.cos OMQ ∠=25．（浙江省宁波市效实中学2014届高三上学期期始考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°,PA AB BC ==,E 是PC 的中点. (1)证明CD AE ⊥;(2)证明PD ⊥平面ABE ;(3)求二面角A PD C --的正切值.【答案】解答:(Ⅰ)证明:在四棱锥P ABCD -中,因PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,故PA CD ⊥.AC CD PA AC A ⊥=，∵,CD ⊥∴平面PAC .而AE ⊂平面PAC ,CD AE ⊥∴.(Ⅱ)证明:由PA AB BC ==,60ABC ∠=°,可得AC PA =. E ∵是PC 的中点,AE PC ⊥∴.由(Ⅰ)知,AE CD ⊥,且PC CD C =,所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ,AE PD ⊥∴.PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ,AB AD ⊥,AB PD ⊥∴. 又AB AE A =∵,综上得PD ⊥平面ABE .(Ⅲ)解法一:过点A 作AM PD ⊥,垂足为M ,连结EM .则(Ⅱ)知,AE ⊥平面PCD ,AM 在平面PCD 内的射影是EM ,则EM PD ⊥. 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知,得30CAD ∠=°.设AC a =,可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，. 在ADP Rt △中,AM PD ⊥∵,AM PD PA AD =∴··,则7a PA AD AM a PD===··. 在AEM Rt △中,sin AEAME AM==所以二面角A PD C --的正切值为7.解法二:由题设PA ⊥底面ABCD ,PA ⊂平面PAD ,则平面PAD ⊥平面ACD ,交线为AD .过点C 作CF AD ⊥,垂足为F ,故CF ⊥平面PAD .过点F 作FM PD ⊥,垂足为M ,连结CM ,故CM PD ⊥.因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知,可得30CAD ∠=°,设AC a =,可得13326PA a AD a PD a CF a FD a =====，，，，. ABCDPEABCDPEF MFMD PAD ∵△∽△,FM FDPA PD=∴. 于是,143aFD PA FM a PD ===··. 在CMF Rt △中,1tan aCF CMF FM ===所以二面角A PD C --的正切值是7.26．（浙江省温州市平阳中学2014届高三10月月考数学（理）试题）如图,已知三角形ABC∆与BCD ∆所在平面互相垂直,且090BAC BCD ∠=∠=,AB AC =,CB CD =,点P ,Q 分别在线段,BD CD 上, 沿直线PQ 将∆PQD 向上翻折,使D 与A 重合.(Ⅰ)求证:AB CQ ⊥; (Ⅱ)求直线AP 与平面ACQ 所成的角.【答案】27．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）(本小题满分15分)如图,在梯形ABCD 中,//AB CD ,AD CD CB a ===,60ABC ∠=︒,平面ACFE ⊥平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,AE a =,点M 在线段EF 上 (1)求异面直线BC 与EF 所成的角;(2)求二面角B EF D --的余弦值.【答案】解:(1)在梯形ABCD 中,∵,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=︒, ∴四边形ABCD 是等腰梯形, 且30,120,DCA DAC DCB ∠=∠=︒∠=︒∴90ACB DCB DCA ∠=∠-∠=︒,∴.AC BC ⊥又∵平面ACFE ⊥平面ABCD ,交线为AC ,∴BC ⊥平面ACFE . ∴ BC ⊥平面FE .∴异面直线BC 与EF 所成的角为900(2)方法一;(几何法)取EF 中点G ,EB 中点H ,连结DG 、GH 、DH , ∵容易证得DE =DF ,∴.DG EF ⊥∵BC ⊥平面ACFE ,∴.BC EF ⊥ 又∵EF FC ⊥,∴.EF FB ⊥ 又∵GHFB ,∴.EF GH ⊥∴DGH ∠是二面角B —EF —D 的平面角.在△BDE 中222,3,5.DE a DB a BE AE AB a ===+= ∴222BE DE DB =+∴90EDB ∠=︒,∴5.2DH 又52,.22DG GH =∴在△DGH 中,由余弦定理得10cos 10DGH ∠=即二面角B —EF —D 的平面角余弦值为101028．（浙江省慈溪中学2014届高三10月月考数学(理)试题）用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器的高为h 米,盖子边长为a 米.(1)求a 关于h 的函数解析式;(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大?求出V 的最大值. (求解本题时,不计容器的厚度)【答案】解(1)设'h 为正四棱锥的斜高.由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'41,2'2142222h a h a h a 解得)0(112>+=h h a(2))0()1(33122>+==h h hha V 易得)h1h (31V +=因为2121=⋅≥+h h h h ,所以61≤V 等式当且仅当hh 1=,即1=h 时取得xyz故当1=h 米时,V 有最大值,V 的最大值为61立方米. 29．（浙江省温州市2014届高三上学期八校联考数学（理）试题）如图,三棱锥ABCP -中,PB ⊥底面ABC ,90BCA ∠=,2===CA BC PB ,E 为PC 的中点,点F 在PA 上,且FA PF =2.(Ⅰ)求证:平面PAC ⊥平面BEF ;(Ⅱ)求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.【答案】解:(Ⅰ)∵⊥PB 底面ABC ,且⊂AC 底面ABC , ∴AC PB ⊥ 由90BCA ∠=,可得CB AC ⊥又∵PBCB B = ,∴AC ⊥平面PBC注意到⊂BE 平面PBC , ∴AC BE ⊥ ∵BC PB =,E 为PC 中点,∴BE PC ⊥ ∵PC AC C =, BE ⊥平面PAC而⊂BE 平面BEF ,∴BEF PAC 平面平面⊥(Ⅱ)如图,以C 为原点、CA 所在直线为x 轴、CB 为y 轴建立空间直角坐标系.则)1,1,0(),2,2,0(),0,0,2(),0,2,0(E P A B)1,1,0(-=BE)34,32,32(31-=+=+=PA BP PF BP BF设平面BEF 的法向量),,(z y x m =.则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-03432320z y x z y 解得)1,1,1(--=m取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=n 则33||||||,cos =⋅>=<n m n m n m , 故平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值为33 30．（浙江省温州中学2014届高三10月月考数学（理）试题）如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成060的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形,其重心为G 点,E 是线段1BC 上一点,且113BE BC =. (Ⅰ)求证:GE //侧面11AA B B ;(Ⅱ)求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值.【答案】解法1:(1)延长B 1E 交BC 于点F ,11B EC ∆∽△FEB ,BE =21EC 1,∴BF =21B 1C 1=21BC ,从而点F 为BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心,∴A 、G 、F 三点共线.且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==, 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ,∴GE //侧面AA 1B 1B .(2)在侧面AA 1B 1B 内,过B 1作B 1H ⊥AB ,垂足为H ,∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC , ∴B 1H ⊥底面ABC .又侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,AA 1=2,∴∠B 1BH =60°,BH =1,B 1H =.3在底面ABC 内,过H 作HT ⊥AF ,垂足为T ,连B 1T ,由三垂线定理有B 1T ⊥AF , 又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF ,∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH =AB +BH =3,∠HAT =30°,∴HT =AH 2330sin =︒.在Rt△B 1HT中,332tan 11==∠HT H B TH B , 从而平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233. 解法2:(1)∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ,侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,∴∠A 1AB =60°,第20题图又AA 1=AB =2,取AB 的中点O ,则AO ⊥底面ABC . 以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图, 则()0,1,0A -,()0,1,0B ,()3,0,0C,()10,0,3A ,()10,2,3B ,()13,1,3C .∵G 为△ABC 的重心,∴3,0,03G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.113BE BC =,∴33,1,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∴1310,1,33CE AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ,∴GE //侧面AA 1B 1B .(2)设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ,则由10,0.B E GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得3230,3330.3a b c b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取()3,1,3=-n 又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ,则21cos ||||7θ⋅==⋅m n m n . 由于θ为锐角,所以227sin 1cos 7θθ=-=,进而23tan 3θ=.故平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233.31．（浙江省嘉兴市2014届高三9月月考数学理试题）如图,三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,PA⊥底面ABC. (I)求证:平面PAC⊥平面PBC;(II)若AC=BC=PA,M 是PB 的中点,求AM 与平面PBC 所成角的正切值.【答案】32．（浙江省湖州市八校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）已知四棱锥ABCD P -, ⊥PA 底面ABCD ,AC AD AB BC AD ,,//⊥与BD 交于点O ,又,6,32,2,3====BC AB AD PA(Ⅰ) 求证:⊥BD 平面PAC ;(Ⅱ)求二面角A PB O --的余弦值.【答案】33．（浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考数学（理）试题）如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1. (I)证明:EM⊥BF;(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.【答案】解:( 1)33AM BM ==，如图,以A 为坐标原点,垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(3,3,0),(0,4,1)A M E B F ,(0,3,3),(3,1,1)ME BF ∴=-=-.由(0,3,3)(3,1,1)0ME BF ⋅=-⋅-=, 得MF BF ⊥, EM BF ∴⊥(2)由(1)知(3,3,3),(3,1,1)BE BF =--=- 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =,由0,0,n BE n BF ⋅=⋅= 得333030x y z x y z ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩,] 令3x 1,2y z ==,()3,1,2n ∴=,EAFMBO（第20题图）xyzA B C FMO•由已知EA ⊥平面ABC ,所以取面ABC 的法向量为(0,0,3)AE =, 设平面BEF 与平面ABC所成的锐二面角为θ, 则cos cos ,n AE θ→=<>==,平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为.。

2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习小题专项集训11

小题专项集训(十一) 圆锥曲线(建议用时：40分钟分值：75分)1．双曲线x 25－y 24＝1的焦点坐标为 ( )． A ．(3,0)和(－3,0) B ．(2,0)和(－2,0) C ．(0,3)和(0，－3)D ．(0,2)和(0，－2)解析在双曲线中，c ＝a 2＋b 2＝5＋4＝3，由焦点在x 轴上，可知其焦点坐标是(±3,0)．答案 A2．抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B ．(－1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－18 解析由题意得x 2＝－12y ，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－18.答案 D3．已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为 ( )． A.13 B.12 C.33D.22解析依题意知双曲线的顶点(c,0)，(－c,0)，焦点为(a,0)，(－a,0)，则ac ＝2，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.答案 B4．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( )．A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1解析依题意知：2m ＝12，得m ＝4.由n 2＝m 2－22＝12，所以所求椭圆方程是x 216＋y 212＝1.答案 B5．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率为62，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 ( )． A.x 24－y 22＝1 B.x 22－y 23＝1 C.x 22－y 2＝1D ．x 2－y 2＝1解析根据题目条件中双曲线的离心率为62，可以排除选项B 和D ，选项A 中，一个焦点为(6，0)，其渐近线方程为x ±2y ＝0，那么焦点到渐近线的距离为d ＝|6±2×0|12＋(2)2＝2≠1，也可以排除，故选C.答案 C6．P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→＝ ( )．A ．3 B. 3 C ．2 3D ．2解析 ∵S △PF 1F 2＝b 2tan 60°2＝3×tan 30°＝3＝12|PF 1→|·|PF 2→|sin 60°，∴|PF 1→|·|PF 2→|＝4，∴PF 1→·PF 2→＝4×12＝2. 答案 D7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )． A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.答案 B8．在焦点分别为F 1，F 2的双曲线上有一点P ，若∠F 1PF 2＝π3，|PF 2|＝2|PF 1|，则该双曲线的离心率等于 ( )．A ．2 B. 2 C ．3D. 3解析在△F 1PF 2中，由余弦定理可得cos π3＝|PF 2|2＋|PF 1|2－|F 1F 2|22|PF 2|·|PF 1|＝12，解得|PF 1|＝233c ，则|PF 2|＝433c ，由双曲线的定义可得|PF 2|－|PF 1|＝433c －233c ＝2a ，即ca ＝3，故选D.答案 D9．已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2m －y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( )． A.21 B.212C ．2D ．2 5解析抛物线的准线方程为x ＝－2，设准线与x 轴的交点为D (－2,0)，由题意得∠AFB ＝90°，故|AB |＝2|DF |＝8，故点A 的坐标为(－2,4)．由点A 在双曲线x 2m －y 2＝1上可得(－2)2m －42＝1，解得m ＝417.故c 2＝m ＋1＝2117，故双曲线的离心率e ＝ca ＝ 214＝212.答案 B10．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则 ( )．A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，∵tan ∠COx ＝2，∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 35，2a 35，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案 C11．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆中，a ＝6，b ＝2，所以c ＝2，即右焦点为(2,0)．所以p2＝2，即p ＝4.答案 412．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．解析由题意，知a 2＋1a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝2，解得a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x .答案 y ＝±3x13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.答案 5314．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析根据椭圆C 的焦点在x 轴上，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16，得4a ＝16， ∴a ＝4，b ＝22，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案 x 216＋y 28＝115．已知抛物线y 2＝4px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．解析依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，且A 点位于第一象限，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c 2c 2－a 2＝1，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1.答案2＋1。

(浙江专用)2014高考数学一轮复习方案(双向固基础+点面讲考向+多元提能力+教师备用题)第42讲立体几何中

点
＝λB→D＋D→A＋λA→E＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)
＝(0，λ－1，λ)＝(λ－1)B→C＋λB→E.
∴M→N∥平面 EBC， ∵MN⊄平面 EBC，∴MN∥平面 EBC.
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第42讲立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直的证明
► 探究点二利用空间向量证明垂直问题
±13，－23，23.
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第42讲立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直的证明
考点
考频示例(难度)
点面
1.利用空间向量证明平行问题
0
讲
2.利用空间向量证明解答 2011年浙江
考
垂直问题
(1) T20(1)(A)
向
3.利用空间向量解决探索性问题
0
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2009～2012年浙江卷情况．
表示)．
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第42讲立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直
的证明
变式题如图 7－42－4 所示，在四棱锥 P－ABCD 中，
PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA
＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．证明：
(1)AE⊥CD；
点面
(2)PD⊥平面 ABE.
讲
考
固基
(1) 平面的单位法向量是唯一
础的．( )
(2)已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则
平面 ABC 的单位法向量是 n0 ＝
±13，－23，23.(
)
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第42讲立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直

2014届高考数学文一轮复习(浙江省专用)作业手册42空间直角坐标系与空间角(附详细解析)

课时作业(四十二) [第42讲空间直角坐标系与空间角](时间：50分钟分值：100分)基础热身1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2，4，－4)，b ＝(－6，9，6)，则( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确2．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2 3．[2012·揭阳一模] 已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－143C.145D ．2 4．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75°能力提升5．如图K42－1，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A.1517B.12C.817D.32K42－1K42－26．如图K42－2，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( )A.3010 B.12 C.3015 D.1510 7．如图K42－3，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC )A.216 B.833 C.21060 D.21030 8．[2012·上海松江区模拟] 设在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点．则异面直线A 1B ，EF 所成角θ的余弦值为( )A.64B.33C.63D.139．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，二面角A —BD 1—B 1的大小为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.5π6 10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是对角线BD 1上的点，且BE ∶ED 1＝1∶3，则AE 与平面BCC 1B 1所成的角的正弦值为________．11．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，CD 的中点，则点B 到截面AEC 1F 的距离为________．12．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面DBEF 的距离为________．13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．14．(10分)如图K42－4，DC ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，AC ＝12BC ＝kCD ，点E 在BD 上，且BE ＝3ED .(1)求证：AE ⊥BC ；(2)若二面角B －AE －C 的大小为12015．(13分)如图K42－5，侧棱垂直底面的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AA 1＋AB ＋AC ＝3，AB ＝AC ＝t (t >0)，P 是侧棱AA 1上的动点．(1)试求三棱锥P －BCC 1的体积V 取得最大值时的t 值；(2)若二面角A －BC 1－C 的平面角的余弦值为10，试求实数t 的值．难点突破16．(12分)如图K42－6，已知△AOB 中∠AOB ＝π2，∠BAO ＝π6，AB ＝4，D 为线段AB 的中点．若△AOC 是△AOB 绕直线AO 旋转而成的．记二面角B －AO －C 的大小为θ.(1)当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值；(2)当θ∈⎣⎡⎦⎤π2，2π3时，求二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围．课时作业(四十二)1．B [解析] ∵a ·b ＝2×(－6)＋4×9＋(－4)×6＝0，∴a ⊥b ， ∴l 1⊥l 2.2．C [解析] 设m ＝(1，2，－2)，n ＝(－2，－4，k )，∵α∥β，∴m ∥n ，∴1－2＝2－4＝－2k ，∴k ＝4.3．D [解析] a －λb ＝(λ－2，1－2λ，3－λ)，由a ⊥(a －λb )，得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.4．B [解析] 如图，以BC ，B 1C 1的中点O ，O 1连线为z 轴，OA ，OB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，令BB 1＝m ，则AB ＝BC ＝CA ＝2m ，OA ＝6m ，OB ＝22m ，A62m ，0，0，B 0，22m ，0，B 10，22m m ，可得AB 1→＝－62m ，22m ，m ，C 1B →＝0，2m ，－m ，所以AB 1→·C 1B →＝0，故AB 1与C 1B 的夹角为90°.【能力提升】5．A [解析] 如图，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，令正方体棱长为1，则B (1，1，0)，D (0，0，0)，E 11，34，1，F 10，14，1，可得BE 1→＝0，－14，1，DF 1→＝0，14，1，所以cos 〈BE 1→，DF 1→〉＝|BE 1→·DF 1→||BE 1→|·|DF 1→|＝15161742＝1517，所以BE 1与DF 1所成角的余弦值为1517.6．A [解析] 如图，以C 1x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，设BC ＝CA ＝C 1C ＝1，则B (0，1，0)，A (1，0，0)，D 1⎝⎛⎭⎫12，12，1，F 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， BD 1→＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AF 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1，所以cos 〈BD 1→，AF 1→〉＝|BD 1→·AF 1→||BD 1→|·|AF 1→|＝3462×52＝3010，所以BD 1与AF 1所成角的余弦值为3010.7．D [解析] ∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP . 以O 为原点，射线OP 为非负z 轴，建立空间坐标系O －xyz (如图)，设AB ＝a ，则A22a ，0，0，B 0, 22a ，0OP ＝h ，则P (0，0，h ). ∵AB ＝12P A ，则P A ＝2a ，∴h ＝72a ，∴P A →＝22a ，0，－72a ，可求得平面PBC 的法向量n ＝1，－1，－17，∴cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →|·|n |＝21030.设P A 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈P A →，n 〉|＝21030.∵OD ∥P A ，∵OD 与平面PBC 所成角即P A 与平面PBC 所成角，故选D.8．C [解析] 在如图所示的空间直角坐标系中，各点坐标为A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，B 1(2，0，2)，E (0，2，1)，F (1，1，0)，∴A 1B →＝(2，0，－2)，EF →＝(1，－1，－1)，∴cos θ＝A 1B →·EF →|A 1B →|·|EF →|＝422×3＝63，故选C.9．A [解析] 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C —xyz ，设正方体的棱长为a ，则A (a ，a ，0)，B (a ，0，0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a ，0，a )．BA →＝(0，a ，0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0，0，a )．设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a ，0)＝ay ＝0， n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0，∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ，令x ＝z ＝1，则n ＝(1，0，1)，同理平面B 1BD 1的法向量为m ＝(－1，－1，0)，cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－12.且二面角A —BD 1—B 1为钝角，故为120°. 10.31111[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1.由题意易得AE →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，显然平面BCC 1B 1的法向量为AB →＝(0，1，0)，设AE 与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AE →，AB →〉|＝31111.11.63[解析] 以D 为原点，建立的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，0，E ⎝⎛⎭⎫1，12，1， ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，AF →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0. 设面AEC 1F 的法向量为n ＝(1，λ，μ)，则有n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝0，－1＋12λ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝－1，∴n ＝(1，2，－1)．又AB →＝(0，1，0)，所以点B 到截面AEC 1F 的距离为AB →·n |n |＝26＝63.12．1 [解析]DB →＝(1，1，0)，DF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，DA 1→＝(1，0，1)．设平面DBEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有 n ·DB →＝0，即x ＋y ＝0，n ·DF →＝0，即12y ＋z ＝0，令x ＝1，y ＝－1，z ＝12，取n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12，则A 1到平面DBEF 的距离h ＝|n ·DA 1→||n |＝1.13.105[解析] 如图建立空间直角坐标系，AB →＝(0，1，0)，AD 1→＝(－1，0，1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·AB →＝0，n ·AD 1→＝0，可解得n ＝(1，0，1)，设直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角为θ，则sin θ＝|AE →·n ||AE →|·|n |＝105.14．解：(1)过E 点作EF ⊥BC 交BC 于点F ，连AF ，于是EF ∥DC ，所以EF ⊥平面ABC .又∠BAC ＝90°，AC ＝12BC ，所以∠ABF ＝30°，所以AB ＝32BC ，BE BD ＝BF BC ＝34，BF ＝34BC ，所以BF AB ＝AB BC ＝32，所以△BAF 与△BCA 相似，所以∠BF A ＝90°，即AF ⊥BC .又AF ∩EF ＝F ，于是BC ⊥平面AEF ，又AE ⊂平面AEF ，所以BC ⊥AE . (2)(空间向量法)如图，以F 为原点，F A 为x 轴，FC设BC ＝2，则A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，－32，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，E ⎝⎛⎭⎫0，0，34k ，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫－32，0，34k ，AC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，0，设平面ABE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n 1＝0，AE →·n 1＝0，于是⎩⎨⎧－32x 1－32y 1＝0，－32x 1＋34kz 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝32k ，y 1＝－12k ，得n 1＝⎝⎛⎭⎫32k ，－12k ，1.设平面ACE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n 2＝0，AE →·n 2＝0，于是⎩⎨⎧－32x 2＋12y 2＝0，－32x 2＋34kz 2＝0，令z 2＝1，得x 2＝32k ，y 2＝32k ，得n 2＝⎝⎛⎭⎫32k ，32k ，1.|cos120°|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝11k 2＋1·3k2＋1，解得k ＝2＋133. 15．解：(1)∵AA 1∥平面BB 1C 1C ，∴点P 到平面BB 1C 1C 的距离等于点A 到平面BB 1C 1C 的距离，∴V ＝VP －BCC 1＝VA －BCC 1＝VC 1－ABC ＝16t 2(3－2t )＝12t 2－13t 3⎝⎛⎭⎫0<t <32， V ′＝－t (t －1)．令V ′＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝1，列表，得 ∴当t ＝1时，V max ＝16.(2)分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，C 1(0，t ，3－2t )，B (t ，0A 1(0，0，3－2t )，AC 1→＝(0，t ，3－2t )，AB →＝(t ，0，0)， CC 1→＝(0，0，3－2t )，BC →＝(－t ，t ，0)．设平面ABC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC 1→＝ty 1＋（3－2t ）z 1＝0，n 1·AB →＝tx 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝2t －3t z 1，令z 1＝t ，则n 1＝(0，2t －3，t )．设平面BCC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝－tx 2＋ty 2＝0，n 2·CC 1→＝（3－2t ）z 2＝0.由于0<t <32，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 2，z 2＝0.令y 2＝1，则n 2＝(1，1，0)．设二面角A －BC 1－C 的平面角为θ，则有|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|2t －3|2·t 2＋（2t －3）2＝1010.化简得5t 2－16t ＋12＝0，解得t ＝2(舍去)或t ＝65.所以当t ＝65时，二面角A －BC 1－C 的平面角的余弦值为1010.【难点突破】16．解：(1)如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB 的直线为x 轴，OB ，OA 所在的直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (0，0，23)，B (0，2，0)，D (0，1，3)，C (2sin θ，2cos θ，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面COD 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·OD →＝0，n 1·OC →＝0，得⎩⎨⎧x sin θ＋y cos θ＝0，y ＋3z ＝0，取z ＝sin θ，则n 1＝(3cos θ，－3sin θ，sin θ)．因为平面AOB 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)，由平面COD ⊥平面AOB 得n 1·n 2＝0，所以cos θ＝0，即θ＝π2.(2)设二面角C －OD －B 的大小为α，由(1)得当θ＝2时，cos α＝0；当θ∈⎝⎛⎦⎤π2，2π3时，tan θ≤－3，cos α＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝3cos θ3＋sin 2θ＝－34tan 2θ＋3，故－55≤cos α＜0.综上，二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围为⎣⎡⎦⎤－55，0.。

2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习小题专项集训6

小题专项集训(六) 数列(一)(建议用时：40分钟分值：75分)1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析将两个已知式做差得3a 3＝a 4－a 3，则公比q ＝a 4a 3＝4. 答案 B2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝ ( )． A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝a 3＋a 4a 1＋a 2＝6040＝32， ∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)q 4－1＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.答案 A3．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 7＝10，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 11的值是( )． A ．45 B ．50 C ．55D ．60解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 5＋a 7)2＝55.答案 C4．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) ( )．A ．15次B ．14次C ．9次D ．8次解析由题意得(1－60%)n <0.1%，即0.4n <0.001，得n >log 0.40.001，而log 0.40.001＝lg 0.001lg 0.4＝－3lg 410＝－32lg 2－1≈－30.6－1＝7.5，所以n >7.5，即至少要抽8次．答案 D5．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )．A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析设至少需n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100， ∴2n －1≥100，∴n ≥7. 答案 B6．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )． A ．18 B ．20 C ．22D ．24解析由已知S 10＝S 11，可得a 11＝0，又由等差数列公式得a 11＝a 1＋10d ，即有a 1＝0－10×(－2)＝20，故应选B. 答案 B7．设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析据题意若数列{a n }为递增数列，则必有a 1<a 2，反之由于数列为首项大于零的等比数列，且a 1<a 2⇒1<a 2a 1＝q ，故数列为递增数列，因此“a 1<a 2”是“数列{a n }为递增数列”的充要条件．答案 C8．(2013·日照模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为 ( )．A ．4B ．5C.45D.15解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列，知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15t －15×4t ，显然t ≠0，所以t ＝5. 答案 B9．(2013·深圳模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为 ( )．A.94B.32C.53D ．4解析由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4，得S 4－S 2S2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.答案 A10．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab )>1，则c 的取值范围是( )．A ．0<c <1B ．1<c <8C ．c >8D ．0<c <1或c >8解析因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b )，即b ＝2a .又因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2.所以a ＝2，b ＝4，因此log c ab ＝log c 8>1＝log c c ，有1<c <8，故选B. 答案 B11．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 解析由已知得a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝2q 2－2q ＝4⇒q ＝2或q ＝－1，由于{a n }是递增等比数列，所以q ＝2. 答案 212．(2013·苏锡常镇调研)两个等差数列的前n 项和之比为5n ＋102n －1，则它们的第7项之比为________．解析设两个数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则S n T n ＝5n ＋102n －1，而a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝S 13T 13＝5×13＋102×13－1＝3.答案 3∶113．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．解析前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.答案 n 2－n ＋6214．(2012·威海模拟)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5. ∴a n ＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.令2n －5≤0，得n ≤52，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66. 答案 66 15．已知f (x )＝11＋x，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是________．解析 ∵a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )＝11＋a n，∴a 3＝12，a 5＝23，a 7＝35，a 9＝58，a 11＝813，又由a 2 010＝a 2 012＝11＋a 2 010，可解得a 2 010＝a 2 012＝－1±52，∵a n >0，∴a 2 010＝a 2 012＝5－12，而由11＋5－12＝5－12可得数列{a n }的偶数项均为5－12，∴a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326.答案 135＋326。

2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习小题专项集训3

小题专项集训(三) 函数图象、函数与方程、导数(建议用时：40分钟分值：75分)1．(2013·北京海淀期中)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )．解析当a >1时，三个函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 均为增函数，则排除B ，C.又由直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a >1可得仅D 的图象正确，故应选D. 答案 D2.(2012·合肥质检)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是 ( )．解析据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时恒有f ′(x )<0，只有D 选项符合条件．答案 D3．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时x 的值为( )．A ．0 B.π6 C.π3D.π2解析由f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋ 3.又f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为最大值，故选B.答案 B4．(2013·厦门质检)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象，结合图形可知，它们有两个公共点，因此函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数是2，选B. 答案 B5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3. 答案 B6．(2013·潍坊模拟)若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于 ( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析据已知可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，故由两直线的位置关系可得－a2×1＝－1，解得a ＝2. 答案 D7．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x8，总的费用是800x ＋x8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8时取等号，即x ＝80.答案 B8．(2012·天津河西区质量调查)函数y ＝f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0.设a ＝f (0)，b ＝f (0.5)，c ＝f (3)，则( )． A ．a <b <c B ．c <a <b C ．c <b <aD ．b <c <a解析据已知f (x )＝f (2－x )可得函数的图象关于直线x ＝1对称，又当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，即当x <1时，f ′(x )>0，即函数在区间(－∞，1)上为增函数，故c ＝f (3)＝f (－1)<a ＝f (0)<b ＝f (0.5)．答案 B9．(2012·泉州质检)已知函数f (x )＝sin x －12x (x ∈[0，π])，那么下列结论正确的是( )．A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上是减函数C ．∃x ∈[0，π]，f (x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．∀x ∈[0，π]，f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3解析注意到f ′(x )＝cos x －12，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π上是减函数，f (x )在[0，π]内的最大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即∀x ∈[0，π]，都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，因此D 正确．答案 D10．(2013·金华十校模考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是 ( )．A ．－13B ．－15C ．10D ．15解析求导，得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.于是，f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.故选A.答案 A11．(2012·浙江名校联考)设P 为曲线C ：y ＝e x 上的点，若曲线C 在点P 处的切线不经过第四象限，则该切线的斜率的取值范围是________．解析设点P 的坐标为(x 0，e x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝e x 0>0，临界位置为过原点的切线，此时斜率取最大值，有e x 0x 0＝e x 0，所以x 0＝1，则k max ＝e ，故k ∈(0，e]．答案 (0，e]12．(2013·杭州质检)若曲线C ：y ＝ax ＋ln x 存在斜率为1的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵切线斜率k ＝a ＋1x ＝1(x >0)， ∴a ＝1－1x (x >0)，由此可得a <1. 答案 (－∞，1)13．(2012·温州五校联考)函数f (x )＝13x 3－x 2－3x －1的图象与x 轴的交点个数是________．解析 f ′(x )＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f (x )极小值＝f (3)＝－10<0，f (x )极大值＝f (－1)＝23>0知函数f (x )的图象与x 轴的交点个数为3. 答案 314．(2012·山西四校联考)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．解析依题意得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数．g (x )＝f (x )－kx －k 在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝k (x ＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，注意到直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0)，由题及图象可知，当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，相应的直线与函数y ＝f (x )在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1415．(2013·湖南部分重点中学联考)已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．解析若a ＝0，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值；若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值；若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值．所以a ∈(－1,0)．答案 (－1,0)。

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2014高考数学一轮课时专练（理科浙江省专用）：(四十二) [第42讲立体几何中的向
量方法(一)——平行与垂直的证明]
(时间：45分钟分值：100分)
基础热身
1．[2012·海口二模] 平面α经过三点A (－1，0，1)，B (1，1，2)，C (2，－1，0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )
A ．a ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，－1
B ．a ＝(6，－2，－2)
C ．a ＝(4，2，2)
D ．a ＝(－1，1，4)
2．[2012·乌鲁木齐二模] 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的可能是( )
A ．a ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)
B ．a ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)
C ．a ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)
D ．a ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)
3．[2012·哈尔滨三模] 若平面π1，π2互相垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是
( )
A ．n 1＝(1，2，1)，n 2＝(－3，1，1)
B ．n 1＝(1，1，2)，n 1＝(－2，1，1)
C ．n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，2，1)
D ．n 1＝(1，2，1)，n 1＝(0，－2，－2)
4．a ，b 是两个非零向量，α，β是两个平面，下列命题正确的是( )
A ．a ∥b 的必要条件是a ，b 是共面向量
B ．a ，b 是共面向量，则a ∥b
C ．a ∥α，b ∥β，则α∥β
D ．a ∥α，b α，则a ，b 不是共面向量
能力提升
5．[2012·郑州三模] 已知点A ，B ，C ∈平面α，点P ∉平面α，则AP →·AB →＝0且AP →·AC →＝
0是AP →·BC →＝0的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．[2012·合肥三模] 如图K42－1，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面
角，若点P 满足BP →＝12BA →－12
BC →′＋BD →，则|BP →|2的值为( )
图K42－1
A.32
B ．2
C.10－24
D.94
7．[2012·南宁三模] 二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )
A ．150°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
8．已知二面角α－l －β的大小为120°，点B ，C 在棱l 上，A ∈α，D ∈β，AB ⊥l ，CD ⊥l ，AB ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则AD 的长为( )
A.14
B.13
C ．2 2
D ．2 5
9．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，
AC →垂直，则向量a 的坐标为( )
A ．(1，1，1)
B ．(－1，－1，－1)
C ．(1，1，1)或(－1，－1，－1)
D ．(1，－1，1)或(－1，1，－1)
10．[2012·银川三模] 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝AP ＝AD ＝3，CD ＝6. 则直线PD 与BC 所成的角的大小为________．
11．[2013·长春模拟] 在直角坐标系xOy 中，设A (－2，3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时|AB |＝211，则θ的大小为________．
图K42－2
12．[2012·南京三模] 如图K42－2，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2，AD ＝2，则二面角C －AS －D 的余弦值为________．
13．如图K42－3，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．
图K42－3
14．(10分)[2012·太原三模] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：
(1)E ，F ，G ，H 四点共面；
(2)BD ∥平面EFGH .
15．(13分)如图K42－4，在四棱锥P －ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABC
成60°的角，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12
AD . (1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ；
(2)设E 是棱PD 上一点，且PE ＝13
PD ，求异面直线AE 与PB 所成的角的余弦值．
图K42－4
难点突破
16．(12分)如图K42－5，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.
(1)设G 是OC 的中点，证明FG ∥平面BOE ；
(2)证明在△ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .
图K42－5。