知识点127直接开平方法填空题
直接开平方法解一元二次方程基础练习50题含详细答案
此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
6．C
【详解】
解：要利用直接开平方法解一元二次方程，先将一元二次方程进行变形，变形为等号左边是数的平方或完全平方形式，等号右边为常数，且当常数要大于或等于0时，方程有实数解，因为选项C，移项后变形为 ，根据平方根的性质，此时方程无解，
10． 2或-1．
【解析】
①∵－ － ,
∴min{－ ，－ }=－ ;
②∵min{(x−1)2,x2}=1，
∴当x>0.5时,(x−1)2=1，
∴x−1=±1，
∴x−1=1，x−1=−1，
解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去)，
当x⩽0.5时,x2=1，
解得：x1=1(不合题意,舍去),x2=−1，
11．方程x2－3＝0的根是__________．
12．一元二次方程 的解是______．
13．方程x2﹣4＝0的解是_____．
14．如图，已知sinO＝ ，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝________．
15．方程（x−2）2=9的解是_________.
16．方程 的根是______________．
17．若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 =.
18．方程4x2-4x+1=0的解为_______．
三、解答题
19．解方程：
20．解方程： .
21．按指定的方法解方程：
（1）9（x﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣8=0（配方法）
（3）6x2﹣5x﹣2=0（公式法）
故选:A.
【点睛】
人教版数学九年级上学期课时练习- 一元二次方程解法-直接开平方法(人教版)
专题21.5 一元二次方程解法-直接开平方法（专项练习）一、单选题1．方程24x =的解是（ ） A ．x=2B ．x=﹣2C ．x1=1，x2=4D ．x1=2，x2=﹣22．方程2(1)4x +=的解是（ ） A ．12x =，22x =- B ．1233x x ==-，C ．1213x x ==-， D ．1212x x ==-，3．若()222a =-，则a 是（ ） A ．-2B ．2C ．-2或2D ．44．方程（x +1）2＝0的根是（ ） A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1，x 2＝1D ．无实根5．一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是（ ）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-6．如果代数式3x 2-6的值为21，则x 的值为（ ） A ．3B ．±3C ．-3D ．7．方程 x 2=（x ﹣1）0 的解为（ ） A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=08．若2x+1与2x -1互为倒数，则实数x 为( )A．x=12±B ．x ＝±1C ．D ．9．若a ,b ,c 满足0,0,a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩则关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的解是( )A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无实数根10．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（ ） A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝2311．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ） A ．3125x x +=- B ．31(25)x x +=-- C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-12．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）A 1B ．1C 1或1D ．无法确定13．若方程()200++=≠ax bx c a 中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（ ）A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2-14．如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 M 是边 BC 上的点，DE⊥AM 于点 E ，BF⊥DE ，交 AM 于点 F ．若E 是 AF 的中点，则 DE 的长为（ ）AB ．C ．4D 二、填空题15．方程x 2－3＝0的根是__________．16．方程x 2的两根为x 1=__________，x 2=__________．17．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a ﹡b ＝a 2﹣b 2，根据这个规则，方程（x +1）﹡3＝0的解为_____．18．方程的()()222134x x -=+解是_______________．19．若实数,a b 满足()()2211a b a b ++-=，则a b +=___________________． 20．方程22(1)2020x -=的根是__________．21．若实数a 、b 满足()22229a b +-=，则22a b +的值为___________．22．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是2m +与25m -，则ba=________.23．如果关于x 的方程（m ﹣1）x 3﹣mx 2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____． 24．已知关于x 的方程a （x +m ）2+b =0（a ，b ，m 均为常数，且a ≠0）的两个解是x 1=3，x 2=7，则方程21402a x m b ⎛⎫++=⎪⎝⎭的解是________． 25．已知2222(2)(2)5a b a b +++-=,那么22a b +=_____. 4224009999x x x --=26.方程的解是27．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为______．2(1)(3)27x x −−→-−−→⨯-−−→-输入输出三、解答题 28．解方程：（1）23270x -=； （2）2(5)360x --=； （3）21(2)62x -=； （4）()()4490+--=y y ．参考答案1．D解：x 2=4，x =±2. 故选D.【点拨】本题利用方程左右两边直接开平方求解. 2．C解：⊥(x ＋1)2=4，⊥x +1=±2， 解得x 1=1，x 2=﹣3. 故选C. 3．C 【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可． 解：()2224a =-=2a ∴=±故选C【点拨】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．4．B 【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解. 解：(x +1)2＝0, 解: x +1=0,所以x1＝x2＝﹣1, 故选B.【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.5．D解：将()2x 616+=两边开平方，得x 64+=±，则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ．6．B解：根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，故选B．【点拨】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．7．A【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可.解：⊥(x-1)0有意义，⊥x-1≠0，即x≠1，⊥x2=（x﹣1）0⊥x2=1，即x=±1⊥x=-1.故选A.【点拨】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.8．C解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2=12；开方得：x故选C．9．C解：【分析】由方程组得到a+c=0, 即a=-c，b=0，再代入方程可求解.因为a+b+c=0——⊥；a-b+c=0——⊥且a≠0,联立两式⊥+⊥得a+c=0, 即a=-c,b=0,代入ax²+bx+c=0得：ax²-a=0解得x=1或x=-1故选C【点睛】本题考核知识点：一元二次方程.解题关键点：由方程组推出a,b,c 的特殊关系. 10．D 【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12， 解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827， 所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点拨】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．11．C 【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-， 故选：C ．【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．12．C 【分析】先根据数值运算程序可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即可得．解：由题意得：()2319x --=-，()213x -=，1-=x ，1x =±即1x =或1x =， 故选：C ．【点拨】本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键． 13．D 【分析】联立420a b c ++=和420a b c -+=，前式减后式，可得0b =，前式加后式，可得4c a =-，将a 、c 代入原方程计算求出方程的根．解：⊥根据题意可得：420420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩①②，⊥－⊥＝40b =，得0b =， ⊥＋⊥＝820a c +=， ⊥解得：0b =，4c a =-．将a 、b 、c 代入原方程()200++=≠ax bx c a 可得，⊥240ax bx a +-=， 240ax a -= 24ax a =⊥2x =± 故选：D ．【点拨】本题考查解一元二次方程，联立关于a 、b 、c 的方程组，由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键．14．B 【分析】因为AF ＝AE +EF ，则可以通过证明ABF ⊥DAE ，从而得到AE ＝BF ，便得到了AF ＝BF +EF ，再利用勾股定理求出DE 的长即可．解：⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝AB ，⊥BAD ＝90° ⊥DE ⊥AG ，⊥⊥DEM ＝⊥AED ＝90° ⊥⊥ADE +⊥DAE ＝90°又⊥⊥BAF +⊥DAE ＝⊥BAD ＝90°， ⊥⊥ADE ＝⊥BAF ． ⊥BF ⊥DE ，⊥⊥AFB ＝⊥DEG ＝⊥AED ． 在ABF 与DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥ABF ⊥DAE （AAS ）． ⊥BF ＝AE ，⊥BF ⊥DE ，⊥AED ＝90° ⊥⊥AFB ＝90°， ⊥E 是AF 的中点， ⊥AE ＝EF ， 又⊥BF ＝AE ， ⊥BF ＝EF ＝AE ， 设BF 为x ，则AF 为2x ， ⊥AB 2＝AF 2+BF 2， ⊥52＝（2x ）2+x 2，解得x＝， ⊥AF ＝2x＝ ⊥DE ＝AF ， ⊥DE＝ 故选：B ．【点拨】此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各种有关性质．15．x1x 2.解：试题分析：移项得x 2=3，开方得x 1=，x 2= -．考点：解一元二次方程． 16． -【分析】先移项，然后用直接开平方法，即可求出两根. 解：移项得28x =，解得：12x x ==-故答案为-【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解题方法是解题的关键. 17．x=2、-4 【分析】先根据新定义得到()22130x +-=，再移项得()219x +=，然后利用直接开平方法求解. 解：(x+1)﹡3＝0，∴()22130x +-=， ∴()219x +=，13x +=±，所以2x =、4-. 故答案为：2x =、4-.【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成2x p =的形式，那么可得x p =±，如果方程能化成()2nx m p +=（0p ≥）的形式，那么nx m p +=±.18．1235,5x x =-=-【分析】运用直接开平方法求解即可． 解：()()222134x x -=+开方得：2134x x -=+，()2134x x -=-+1235,5x x ∴=-=-【点拨】此题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解答此题的关键．19．1或12-【分析】根据题意设a+b=x ，根据()()2211a b a b ++-=，得出x （2x -1）=1，解方程即可． 解：设a+b=x ，则x （2x -1）=1，则有（x -1）（2x+1）=0，解得x=1或12-，即a b +=1或12-.故答案为： 1或12-.【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．20．122021,2019x x ==- 【分析】利用直接开平方法进行求解一元二次方程即可． 解：()2212020x -=12020x -=±，解得：122021,2019x x ==-； 故答案为122021,2019x x ==-．【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．21．5 【分析】利用平方根的含义求解2223,a b +-=±再利用非负数的性质可得答案．解：()22229ab +-=，2223,a b ∴+-=±225a b ∴+=或221a b +=-，又220,a b +≥22 5.a b ∴+=故答案为：5.【点拨】本题考查的是非负数的性质，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．22．9解：分析：本题利用直接开平方法求出解互为相反数，从而解出m 的值，得出所求的值即可.解析：2,b x x a == 所以这两个解互为相反数，即2m ++25m -=0，解得m=1,⊥这两个根为±3，所以b a=9. 故答案为9.23．【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m 的取值范围，再代入方程解方程即可．解：由题意得：10{0m m -=-≠， ⊥m=1，原方程变为：﹣x 2+2=0，x=故答案为【点拨】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键．24．32或72【分析】首先根据一元二次方程解的定义求出m 和b a的值，然后代入所求方程整理求解即可． 解：⊥方程()20a x m b ++=的解为：x 1=3，x 2=7，⊥()()223070a m b a m b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩， 解得：54m b a=-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ⊥21402a x m b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，0a ≠， ⊥21402b x m a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， ⊥254402x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ⊥32x =或72， 故答案为：32或72． 【点拨】本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解题关键．25．3.【分析】把22a b +看成一个整体设为x ，再解一元二次方程舍去负值即可.解：设22a b x +=,则原方程化为:()()225x x +-=,29x =,3x =±,220a b +>,223a b ∴+=,故答案为:3.【点拨】本题考查的是解方程，关键是将22a b +看成一个整体，即整体思想的应用，易错点是要注意22a b +的非负性，注意根的取舍.26．﹣9或11解：由题意可得：x 4﹣2x 2﹣400x=9999（x 2+1）2=（2x+100）2⊥当x 2+1=2x+100时，经化简可得（x ﹣1）2=100解得x=﹣9或x=11．⊥当x 2+1=﹣2x ﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，因此x 的值应该是﹣9或11．故答案是：﹣9或11.【点睛】本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关键．27．4或2-【分析】根据运算程序可得关于x 的方程，解方程即得答案．解：根据题意得：2(1)(3)27x -⨯-=-，化简得2(1)9x -=，13x ∴-=±，解得4x =或2x =-．故答案为：4或2-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握直接开平方法是解题的关键．28．（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．解：（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=， 2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点拨】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．。
直接开平方法 练习题
直接开平方法要点：左边平方右边数的形式.一、(例题讲解)请你用直接开平方法解下列方程:023252)1(==x x ）（05022)4(042)3(=-=-x x二、用直接开平方法解下列一元二次方程:（1）2435x -= （2）(2)(2)21x x -+=（3）22(2)(12)x -=+ （4）2269(52)x x x -+=-三、选择与填空1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ）A. 230x -=B. 2(1)40x --=C. 220x x +=D. 22(1)(21)x x -=+2. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于( )A. 1±B. 2±C. 0或2D. 0或－23. 方程22)1(=-x 的根是（ ）A.－1、3B.1、－3C.1－2、1＋2D.2－1、2＋14. 用直接开平方法解方程k h x =+2)(，满足的条件是（ ）A. k≥0 B ．h≥0C ．hk ＞0D ．k ＜05.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是( )A. 169b x a= B.43b x a = C.43b x a=± D.2243b x a =± 6. 方程220(0)x m m +=<的根( )A.2m - B.2m - C.22m -±D.2m -± 7．下列解方程的过程中，正确的是（ ）A. 22-=x ，解方程，得x ＝±2B. 42)2(=-x ，解方程，得x －2＝2，x ＝4C ．92)1(4=-x ，得4(x －1)＝±3，x 1＝47，x 2＝41D. 252)32(=+x ，得2x ＋3＝±5，x 1＝1，x 2＝－48．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q)2，则有（ ）．A ．p ＝4，q ＝2B ．p ＝4，q ＝－2C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－29. 若222(3)25a b +-=，则22a b +＝_______.以下两题，写出解答过程：10. 一元二次方程22(21)(3)x x -=-的解是___________11. 方程()412=-x 的解是_________.四、补充练习：1．解关于x的方程：(x＋m)2＝n．2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？附答案：三、选择与填空1C，2D，3C，4A，5C，6C，7D，8B；9. 8；10. x1＝4/3，x2＝－2；11. x1＝3，x2＝－1.。
新人教版九年级数学上学期期末复习知识点填空(最佳、最优、最全、最有效)
期末复习重点知识点：一、一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 次的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n+=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 .公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式ax 2+bx +c =0; 2.确定系数:用a ,b ,c 写出各项系数; 3.计算: b 2-4ac 的值;4.判断：若b 2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b 2-4ac <0，则方程没有实数根. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）ac b 42-≥0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有 实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .同时：若α、β为一元二次方程0132=++x x 的两个实数根，则有01α3α2=++ 和01β3β2=++5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。
初中数学《直接开平方法》微课+知识点+练习题+教学设计汇编
初中数学《直接开平方法》微课+知识点+练习题+教学设计汇编知识点总结1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：类型二、因式分解法解一元二次方程【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴(x+2)(x-3)＝0，∴x+2＝0或x-3＝0．∴x1＝-2 x2＝3．【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
中考数学专题练习直接开平方法解一元二次方程(含解析)
2019中考数学专题练习-直接开平方法解一元二次方程（含解析）一、单选题1.若分式的值为0，则x的值是（）A.1或-1B.1C. -1D.0【答案】B【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】根据分子为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，则x=1，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分子为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，x=± ，故答案为：A【分析】观察次方程缺一次项，可以用直接开平方法求解或利用因式分解法求解。
3.方程的根是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】用开平方法可得【分析】将原方程变形为=4，用直接开平方法解得x=2，即= 2 ，= − 2.4.一元二次方程x2=2的解是（）A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4D.x=或x=﹣【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x2=2，∵x=±．故选：D．【分析】直接开平方解方程得出答案．5.方程x2=9的解是（）A.x1=x2=3B.x1=x2=9C.x1=3，x2=﹣3D.x1=9，x2=﹣9【答案】C【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．【分析】利用直接开平方法求解即可．6.一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=-4，故选：D．7.方程x2=9的解是（）A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【答案】D【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵x2=9，∵x=±3，故选：D．【分析】直接开平方法即可得．8.若是反比例函数，则b的值为（）A.1B.－1C.D.任意实数【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程，反比例函数的定义【解析】【解答】，解得.故答案为：A.【分析】根据反比例函数的定义知，自变量次数为-1，b2-2=-1，得b=1，,又因为比例系数k≠0，得b+1≠0，得b≠-1，综合分析可得b=1。
用直接开平方法解一元二次方程知识点及练习
用直接开平方法解一元二次方程知识点及练习（1）定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．（2）类型：①x 2=a (a ≥0)，其解为x=±a ；②（x+m ）2=n (n ≥0)，其解为x=±m -n ③（mx+n ）2=c (m ≠0,c ≥0) ；其解为x=mn -±c （3）用直接开平方法解一元二次方程的步骤：①通过配方等相关运算将一元二次方程的左边化为含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式；②开方、降次，得两个一元一次方程；③移项，解出一元一次方程。
特别提示：①因为正数的平方根有两个且互为相反数，所以用直接开平方法时要防止丢根；②注意解中的二次根式要化为最简二次根式。
例：解下列方程：2x 2=54 9x 2+6x+1=8练习一、选择题：1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ）A. 230x -=B. 2(1)40x --=C. 220x x +=D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（ ）A. 方程24x =两边开平方，得原方程的解为 2x =B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x =C. 方程2250x -=的根是5x =±D. 方程232640x x -+=有两个相等的根3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是（ ） A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a=± D.2243b x a =± 4. 方程220(0)x m m +=<的根为（ ）A.2m - B.2- C.2± D.2± 5. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于（ ）A. 1±B. 2±C. 0或2D. 0或-26、若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-27、若2x 2+3与2x 2-4是互为相反数，则x 的值为（ ）A 、 21B 、 2C 、±2D 、±21 二、填空题：1.当x =________时，分式293x x -+无意义；当x =________时，分式293x x -+的值为零。
一元二次方程知识点总结及相关练习题
一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。
直接开平方法20道例题
直接开平方法20道例题一、方程$x^{2}=9$这是最简单的直接开平方法的例子啦。
我们知道，啥数的平方等于9呢？对喽，3和 - 3。
所以这个方程的解就是$x = 3$或者$x = - 3$。
就像我们找东西，知道这个东西的特征（平方后是9），然后就直接把符合特征的东西（3和 - 3）找出来。
二、方程$(x - 1)^{2}=4$那这个呢？其实就是问，哪个数（这里是$x - 1$）的平方等于4。
那这个数就是2或者 - 2呗。
所以就有$x - 1 = 2$或者$x - 1 = - 2$。
解得$x = 3$或者$x = - 1$。
这就好比你知道一个盒子里装着的东西（$x -1$）的平方值，你要倒推这个东西是啥，那就把可能的值都找出来。
三、方程$(2x + 3)^{2}=25$25是谁的平方呢？是5和 - 5呀。
那就是说$2x + 3 = 5$或者$2x + 3 = - 5$。
从$2x + 3 = 5$，能算出$2x = 2$，$x = 1$；从$2x + 3 = - 5$，能算出$2x=-8$，$x = - 4$。
这就像拆包裹，知道包裹里东西（$2x + 3$）平方后的情况，然后去解开包裹找到$x$的值。
四、方程$4(x - 2)^{2}=16$先把系数4除掉，方程就变成$(x - 2)^{2}=4$。
就像分糖果，先把多余的包装（系数4）去掉，再按之前的方法来。
那就是$x - 2 = 2$或者$x- 2 = - 2$，解得$x = 4$或者$x = 0$。
五、方程$(3x - 1)^{2}=0$这个特殊哦，只有0的平方是0。
所以$3x - 1 = 0$，解得$x=\frac{1}{3}$。
这就像独一无二的宝藏，只有一种可能的情况。
六、方程$x^{2}-6x + 9 = 4$左边是个完全平方式$(x - 3)^{2}$，那方程就变成$(x - 3)^{2}=4$。
然后就有$x - 3 = 2$或者$x - 3 = - 2$，解得$x = 5$或者$x = 1$。
直接开平方法
解:
ax bx c 0 b c 2 x x 0 把方程两边都除以 a a a
2
移项，得
配方，得
即
b c x x a a 2 2 b c b b 2 x x a a 2a 2a 2 2 b b 4ac x 2a 4a 2
（2）x2+2x+2=0
（3）2x2-7x=0
（4）4x² +1=-4x
（1）3x2+5x-1=0 解：a=3，b=5，c=-1， b² -4ac=5² -4×3×（-1）=37>0
X= Х1= = Х2=
（2）x2+2x+2=0
解：a=1，b=2，c=2 ∵b² -4ac=2² -4×1×2=-4<0 ∴此方程无实数解
2
2 当 4a 0 b 4ac 0 时 2
b b 4ac x 2 2a 4a
2
特别提醒
即
b b2 4ac x 2a 2a
一元二次方程 的求根公式
b b 4ac x 2a
2
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程
（1）3x2+5x-1=0
∴x1=1, x2=-1
能用因式分解法解一元二次方程遇到类 似例2这样的，移项后能直接因式分解 就直接因式分解，否则移项后先化成一 般式再因式分解.
用因式分解法解下列方程：
(1) 4x =12x;
(3) x +9=-6x ;
2 x (5) 9 0 4
2
(2) (x -2)(2x -3)=6;
巩固练习 （1）x² +3x-4=0
沪科数学八下《17.2直接开平方法》
3
x 2 15 或x 2 15
3
3
? x1 2
15 3
,
x2
2
15 3
交流讨论以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，
可归纳为怎样的步骤？
一元二次方程
x2 p p 0 mx n2 p p 0
开平方法 降次
一元一次方程
x p, mx n p
解:直接开平方得:
x2 5
x 2 5或x 2 5
?x1 2 5, x2 2 5
例题讲解
解方程 : (4)3(x 2)2 5 0
解: 先移项得: 3(x 2)2
方程两边同除以3得:
5
(x
2)2
5
直接开平方得: x 2 5 3
x2 p p 0
x p
（2）形如的 方程的解为
mx n2 p p 0
p n x
m
4 25
的平方根是____52__
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的；
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
尝试
如何解方程（1）x2=25，（2）x2-0.81=0呢?
解:（1）∵x是25的平方根 ∴x＝±5
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=5，x2 =－5
（2）移项，得x2=0.81
直接开平方法
如果方程能化成 x2 p或(mx n)2 p( p 0) 的形式，那么可得 x p或mx n p.
典型例题
例2 解下列方程： (1) （x－1）2－4 = 0 (2)12（3－2x）2－3 = 0 分析：第1小题先将－4移到方程的右边，再同 第1小题一样地解；
22.2.1 直接开平方法(一课一练))
22．2.1 直接开平方法一、选择题1．若x2-6x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=9，q=3 B．p=9，q=-3 C．p=-9，q=3 D．p=-9，q=-32．方程x2+4=0的根为（）．A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（）．A．（x-）2=，x=±B．（x-）2=-，原方程无解C．（x-）2=，x1=+，x2=D．（x-）2=1，x1=，x2=-二、填空题1．若2x2-4=0，则x的值是_________．2．如果方程3（x-1）2=27，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足+（b-3）2=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长8米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？参考答案一、1．B 2．D 3．B二、1．±2．4或-2 3．-4三、1．当n≥0时，x+m=±，x1=-m，x2=--m．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x1=10+，x2=10-；同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．解：设矩形的长为x，则宽为(4-x)米则矩形的面积S=x(4-x)=4x- x2 = —（x-2）2+4≤4当x=2时，面积最大，此时长与宽相等，既边长为2米得正方形。
直接开平方法
解：
（1） χ2=25 （2）移项，得 χ2=900
直接开平方，得: χ=1=5，χ2=－5
∴χ1=30,
χ2=－30
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（2－χ）2－9=0
3
x2 4 x 4 9
分析： 我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
a<0, b<0时无解
∵ ∴ 即: χ2=4 χ= 4 ∴方程的两个根为：χ1=2，χ2=－2. 根据平方根的定义可知:χ是4的(平方根 ). χ=±2
这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
1、利用直接开平方法解下列方程: (1). χ2=25 (2). χ2－900=0
2
4 3 x 1 6 、
2
9 3 x 1
2
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。 3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ=
a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ=
a b
以变形为： （χ+1）2=4 再运用直接开平方的方法可求得χ的值。
解：
(1) 移项，得 （χ+1）2=4
∴ χ+1=±2
∴
χ1=1，χ2=－3.
如何解方程x2 4x 4 9呢？
解下列方程：
1 x 5 2 2 x 7 0 2 3 2 x 1 2 2 4 x 8 x 16 7 2 5 a 2a 5
完整版知识点127直接开平方法解答题
2 2 2 2 21. ( 2010?三明)(1 )请从三个代数式 4x - y , 2xy+y , 4x +4xy+y 中，任选两个构造一个 分式，并化简该分式；(2 )解方程:(x — 1)2+2x — 3=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；分式的混合运算；分式的化简求值。
分析：(1)根据所给代数式的特点， 三个代数式分解因式后都有公因式，因而可以任意进行组合.(2) 对方程进行变形后，再应用直接开平方法解答.(2) x2— 2x+1+2x — 3=0 ( 3 分)x 2 - 2=02x =2 (6 分)• •• X 1= 1, x 2=—.：'二.(8 分)点评：(1)用直接开方法求一兀二次方程的解的类型有：x 2=a (a^0) ； ax 2=b ( a , b 同号且2 2a 旳)；(x+a ) =b (b %); a (x+b ) =c (a , c 同号且a 和).法则：要把方程化为 左平方，右常数，先把系数化为 1,再开平方取正负，分开求得方程解 ”.(2) 运用整体思想，会把被开方数看成整体.(3) 用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.2 （ 2010?鞍山）解方程: （1） （2x+3） 2— 25=02 2- yF2s+y ） C2z-y ） 2x y y C2x4y ） y（旳2 1（2旳）（2i-y ） "2x-y 2zy+y 2y4工2 -_y ） 2s； _ y2sy+ y 2 y t2x+y ） yn 2~ 4x(2x4y)门比；张+4i ［尸y（2^y ） 2 2z+y4^~y 2 _（2z+y ） （2i _ y ）2^~y ；（2 2x4y2xy+ y 2y （2齢y ） " y⑤②③④⑥2(2)3x2- 5x+5=7 .考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法。
分析：(1)把常数项25移到方程的右边，运用直接开平方法解方程，注意把2x+3看作一个整体；(2 )可以运用因式分解法解方程.解答：解: ( 1) (2x+3) 2=25 ,2x+3= i5,2x= i5 - 3,x i = 1 , X2= - 4 .2(2)3x2- 5x- 2=0(x - 2) (3x+1 ) =0,x i=2, x2=-3点评：此题考查了运用直接开平方法解方程和运用因式分解法解方程的方法.(1 )用直接开方法求一兀二次方程的解的类型有：x2=a (a%) ；ax2=b ( a, b同号且a^0)；2 2(x+a) =b (b为)；a (x+b) =c (a, c 同号且a M D).法则：要把方程化为左平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解”(2)运用整体思想，会把被开方数看成整体.(3)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.3. (2009?定西)在实数范围内定义运算爼”，其法则为：a® b=a2- b2,求方程(4 ® 3) ® x=24的解.考点：解一元二次方程-直接开平方法。
一元一次方程的解法--直接开平方法练习题
C 用直接开平方法解下列方程:
1. (x-1) 2=8 3.1 (x- 1 ) 2=9
32
2. (2x+3) 2=24 4. ( 1 x+1) 2-3=0
2
课本第42页 习题22.2第1题。
(2). χ2－900=0
解： 直接开平方，得
χ=±5
解：
移项，得 χ2=900 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、利用直接开平方法解下列方程： （1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解并 说明理由.
316x2 -49=0; 42x-32 =5;
5x-52 36=0; 66x-12 = 25;
注意：解方程 时，应先把方 程变形为：
x2 = p p 0; 或 mx n2 = p p 0。
1、利用直接开平方法解下列方程:
(1). χ2=25
评
4. 如果25x2-16=0那么x1=__________,x2=___________.
价 5. 如果x2=a(a≥0)那么 x1=__________,x2=___________. B 用直接开平方法解下列方程
（1）x23=28 （2）25x2-16=0
。 （3）(x-4)2=25； （4）9(x1)2=4
1） x2=2(√ຫໍສະໝຸດ )2） p2 - 49=0
( √)
3） 6 x2=3
( √)
4) （5x+9）2+16=0
(×)
5) 121-(y+3) 2 =0
(√ )
选择上题中的一两个一元二次方程进行求解，在小
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．（2011•淄博）方程x2﹣2=0的根是±．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：这个式子先移项，变成x2=2，从而把问题转化为求2的平方根，直接得出答案即可．解答：解：移项得x2=2，∴x=±．故答案为：±．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．2．（2011•淮安）一元二次方程x2﹣4=0的解是x=±2．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：方程思想。
分析：式子x2﹣4=0先移项，变成x2=4，从而把问题转化为求4的平方根．解答：解：移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．点评：本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．3．（2010•眉山）一元二次方程2x2﹣6=0的解为±．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：先把式子移项，变成x2=3，从而把问题转化为求3的平方根．解答：解：2x2﹣6=0，2x2=6，x2=3，x=±．点评：主要考查直接开平方法解方程．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．4．（2010•贵阳）方程x2+1=2的解是±1．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：先把等号左边的1移到等号的右边，再用直接开方法求解．解答：解：移项，得x2=2﹣1，合并，得x2=1，开方，得x=±1．点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．5．（2009•温州）方程（x﹣1）2=4的解为3或﹣1．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：观察方程的特点，可选用直接开平方法．解答：解：（x﹣1）2=4，即x﹣1=±2，所以x1=3，x2=﹣1．点评：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．6．（2009•綦江县）一元二次方程x2=16的解是±4．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：由于本题符合直接开平方法必须具备两个条件：①方程的左边是一个完全平方式；②右边是非负数，所以利用数的开方解答．解答：解：开方得x=±，即x1=4，x2=﹣4．点评：解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．7．（2008•孝感）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=±6．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：新定义。
分析：按照题中给出的规则运算．其规则为：a☆b=a2﹣b2．解答：解：其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13解的步骤为：（42﹣32）☆x=13，7☆x=13，49﹣x2=13，x2=36，∴x=±6．点评：此题是典型的新定义题型，解题的关键是要根据所给的规则把数或字母代入相应的位置，进行计算．该题中用到了直接开平方法解方程，所以要熟悉直接开平方法．8．（2008•桂林）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根是1±．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：先将方程两边加2，再根据完全平方公式，将方程左边转化为完全平方的形式，再利用数的开方直接求解．解答：解：两边同时加1，得，x2﹣2x+1=2，整理得，（x﹣1）2=2，开方得x﹣1=±，即x1=1﹣，x2=1+．点评：本题先将方程转化为完全平方的形式，再开方．要注意（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．9．（2007•南通）一元二次方程（2x﹣1）2=（3﹣x）2的解是x1=，x2=﹣2．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：一元二次方程（2x﹣1）2=（3﹣x）2表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解答：解：开方得2x﹣1=±（3﹣x）即：当2x﹣1=3﹣x时，x1=；当2x﹣1=﹣（3﹣x）时，x2=﹣2．点评：本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．10．（2007•梅州）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，则x=．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：新定义。
分析：利用上述规律列出式子（x+1）2+（x﹣1）2=6，再化简，直接开平方解方程．解答：解：定义=ad﹣bc，若=6，∴（x+1）2+（x﹣1）2=6，化简得x2=2，即x=±．点评：本题需要利用上述规律先列出式子，再进行开平方．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．11．（2007•大连）方程x2﹣2=0的解为±．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：这个式子先移项，变成x2=2，从而把问题转化为求2的平方根．解答：解：移项得：x2=2，开方得：x=±．点评：解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．12．（2005•南昌）若方程x2﹣m=0有整数根，则m的值可以是0（只填一个）．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：这个式子先移项，变成x2=m，从而把问题转化为求m的平方根．当方程有整数根时，等号右边的数字应该是大于等于0的完全平方数．所以答案不唯一．解答：解：x2﹣m=0，移项后得x2=m，x=±．若方程x2﹣m=0有整数根，即m必须是大于等于0的完全平方数，如0，1，4，9，16等．所以答案不唯一，只要是大于等于0的完全平方数皆可，如0，1，4，9，16等．点评：此题是用直接开方法求一元二次方程的解的类型：x2=a（a≥0）；当方程有整数根时，等号右边的数字应该是大于等于0的完全平方数．13．（2005•江西）若方程x2﹣m=0有整数根，则m的值可以是4（只填一个）．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：开放型。
分析：由于x2=m，所以m是完全平方数且为正数．解答：解：把方程变形得：x2=m，∵方程有整数根，∴m必须是完全平方数且为正数．故答案不唯一，如4，9，16等．本题答案可为：4．点评：本题形式简单，不用根的判别式也可，直接利用解一元二次方程的基本方法：直接开平方，根据根为整数的条件直接可得出答案．14．（2000•福建）一元二次方程（x﹣1）2=2的根是x=1±．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：先求得x﹣1的解，进而求得x的解．解答：解：x﹣1=±，x=1±．点评：用到的知识点为：一个数的平方等于a，那么这个数是a的平方根，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．15．（1999•天津）若代数式（2x+1）2的值为9，则x的值为1或﹣2．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：由题意可知2x+1=±3，由此求x的值即可．解答：解：由题意可知2x+1=±3即x=1或﹣2．点评：解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．16．（1998•丽水）关于x的方程x2﹣a=0（a≥0）有实数根，则方程的根是±．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：这个式子先移项，变成x2=a，从而把问题转化为求a的平方根．解答：解：方程x2﹣a=0（a≥0）有实数根，∴x2=a，∴x=±．点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．17．方程（x﹣1）2=4的解为﹣1或3．考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：方程左边是一个完全平方式，右边是个常数，可用直接开平方法进行求解．解答：解：（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，即x﹣1=2或x﹣1=﹣2，解得：x1=3，x2=﹣1．点评：解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．18．方程：（2x﹣1）2﹣25=0的解为3或﹣2．考点：解一元二次方程-直接开平方法。