2-4大一上学期几何、代数

x1 1 2 3 3 ⇒ x 2 = 2 2 1 0 , x 3 4 3 1 3
−1
x1 1 2 3 3 ⇒ x2 = 2 2 1 0 x 3 4 3 1 3
det Aj =
a21 L a2, j−1 b2 a2, j+1 L a2n an1 L L L L L L an, j−1 bn an, j+1 L a2n
= b1 A j + b2 A2 j +L+ bn A . 1 nj
x1 A 11 x2 −1 1 A 12 X = = A b = 证明 M det A M x n An 1
方阵A可逆的充要条件为 可逆的充要条件为|A|≠0。当A可逆时 定理 方阵 可逆的充要条件为 。 可逆时
1 * A = A. A
−1
证明
A可逆的充要条件为 可逆的充要条件为|A|≠0。（前面已证） 可逆的充要条件为 。 前面已证） 可逆时， 当A可逆时， |A|≠0： AA = A I, 可逆时 ：
( j) a i 1
M
(i) a i 1
M a n1
det A, i = j ai1Aj1 +L+ ainAjn = i≠ j 0, L a1 n M M L a in M M = a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + L + a in A jn L a in =0 M M L a nn
det A = a11 a 21
b1 , det A1 = a 22 b2
a12
a11 a12 , det A2 = a21 a 22
b1 b2

det A1 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 当det A ≠ 0时, , x1 = det A a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , 则方程组的解为： a x + a x + a x = b ; 则方程组的解为： = det A2 , x2 31 1 32 2 33 3 3
det Aj = b1 A j + b2 A2 j +L+ bn Anj . 1
克拉默法则给出了方程组 唯一解的形式， 克拉默法则给出了方程组AX=b唯一解的形式， 给出了方程组 唯一解的形式
det Aj xj = , ( j = 1, ..., n) det A
其在理论讨论中有重要的指导意义， 其在理论讨论中有重要的指导意义， 但实际计算时，因克拉默法则工作量太大， 但实际计算时， 克拉默法则工作量太大， 工作量太大 一般会使用高斯消元法。 一般会使用高斯消元法。
A11 ∗ A = A12 A 13
A21 A22 A23
A31 2 6 − 4 A32 = − 3 − 6 5 A33 2 2 − 2
A = 2,
A11 ∗ A = A12 A 13
故
A21 A22 A23
−1
1 3 = − 2 1
− 2 3 1 5 = − 2 −3 0 2 1 − 1 1 2 3
x 2 = − 2,
方程组有唯一解： 方程组有唯一解： x1 = 1,
x3 = 2
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 ⇔ AX = b LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn x1 a11 a12 L a1n b1 x2 a21 a22 L a2n b2 其中 A = , X = M , b = M , M M M x a b an2 L ann n n1 n
2.4 克拉默法则
一、逆矩阵的一个简明表达式 二、克拉默法则
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 .
当det A ≠ 0时, 二元线性方程组的解为
det A det A 1 2 , x2 = x1 = det A det A
可逆时） 可逆时 方程组有唯一解： ⇔ A ≠ 0 （即A可逆时）方程组有唯一解：X = A−1b 唯一解
二、 克拉默法则
已有定理：方阵 可逆的充要条件为 可逆的充要条件为AX=b有唯一解 有唯一解. 已有定理：方阵A可逆的充要条件为 有唯一解 克拉默法则： 可逆， 克拉默法则：设A可逆，则AX=b的唯一解 X = A−1b 为： 可逆 的唯一解 det Aj xj = , ( j = 1, ..., n) det A detAj是用 代替 是用b代替 代替detA中的第 列得到的行列式 中的第j列得到的行列式 中的第 列得到的行列式. a11 L a1, j−1 b1 a1, j+1 L a1n
A11 ∗ ∴ A = A12 A 13
A21 A22 A23
引理 试证 : AA* = A* A = A I 证明
a11 a12 L a1n A A21 L An1 11 a a22 L a2n A A22 L An2 12 ∗ 21 AA = i La L a+AL L+ a L L A = j L L+ aL = A L ai1Aj1 a11A Aj2 12 12 + in Ajn nA = 1 1n 2 + i11 + a a L a A A L A≠ j 0 i nn n1 n2 nn 1n 2n
a12 a 22 a 32
b1 b2 . b3
一、逆矩阵的一个简明表达式
引理 设A=(aij)n ,则 则 证明
det A, i = j ai1 Aj1 + ai 2 Aj2 +L+ ain Ajn = i≠ j 0,
a11 M (i = j) a j 1 M a n1
a12 M a j2 M
1 * A11 1 A = A= A ad − bc A12
−1
A21 A22
d −b 1 = ad − bc −c a
1 2 3 的逆矩阵. 求方阵 A = 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3
1 2 3 1 * 解Q A = 2 2 1 = 2 ≠ 0 ∴ A−1存在. A−1 = A A 3 4 3
A21 L An1 A22 L An 2 称为矩阵 A 伴随矩阵. L L L 的伴随矩阵. A2 n L Ann
例
1 2 3 求方阵 A = 2 2 1 的伴随矩阵. 的伴随矩阵. 3 4 3
解 A11 =
2 1 4 3
= 2,
A12 = −
A L A 1 b1 21 n A L A 2 b2 22 n M M M A n L A bn 2 nn
det A 1 et 2 1 d A , ∴x = det Aj , ( j = 1, ..., n) = j det A M det A det A n
1 2 3 1 2 3 det A = 2 2 1 = 0 − 2 − 5 3 4 3 0 −2 −6 =2
6 − 4 2 0 0 1 2 3 2 * AA = 2 2 1 − 3 − 6 5 = 0 2 0 = 2 I 3 4 3 2 2 − 2 0 0 2
a11 M M
a12 M M ai 2 M
L a1 n M M M M
( j) a j 1 a j 2 L a jn (i) a i 1
M a n1 L a in M M
a n 2 L a nn
a n 2 L a nn
引理 设A=(aij)n ,则 则
a11 M
a12 M ai 2 M ai 2 M an2
2 1 3 3
= −3,
2 2 = 2, A13 = 3 4
A21 = 6, A22 = − 6, A23 = 2,
A = −4, A = 5, A = −2, 31 32 33
A31 2 6 − 4 A32 = − 3 − 6 5 2 2 A33 − 2
行列式任一行 的元素与另一行 所以 行列式任一行 列） 的对应 （ 的元素与另一行 列） （ 元素的代数余子式乘积之和等于零。 元素的代数余子式乘积之和等于零。 定义 A = a ij
( )
n
行列式 det A 的各个元素的代数余子式 Aij 所 构成的如下矩阵
A11 A12 ∗ A = L A 1n
A31 2 6 − 4 A32 = − 3 − 6 5 , A33 2 2 − 2
6 − 4 1 3 − 2 2 1 ∗ 1 −1 A = A = − 3 − 6 5 = − 3 2 − 3 5 2 . A 2 2 2 − 2 1 1 −1
a11 det A = a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
b1 det A1 = b2 b3
a12 a 22 a 32
a13 a 23 , a 33