“abc猜想”讲义(十三)
“abc猜想”讲义(17)
相同的正实数（z11，z12，z13，…，z1e，y11）和（z21，z22，z23，…，z2e，y12）， 即至少有一个 z1i≠z2i（i＝１，２，３，…，e）或者 y11≠y12，那么必然存在两
2
个正实数
x11
和
x12（x11≠x12），使得（
g z11 11
·
g z12 12
·
g z13 13
函数ψ（zi，y）=
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
-
d
y
，由第六讲中的定义
3.2
可
知，定义域中任一一组 zi 和 y 的确定值有唯一函数ψ（zi，y）的值与之对应，
同时任一函数ψ（zi，y）的值有唯一
rad（
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
·
g v2 11
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
）÷m}存在正实数极限。令
x+
d
y
=
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
，x
和
y
以及
zi
均为不小于
1
的正实数。设
函数
f （ zi ， y ） = （
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
）÷
g ve 1e
） ÷m ， 不 管
m
和
1
“abc猜想”讲义(十二)
“abc 猜想”讲义（十二）第十二讲证明“abc 猜想”主讲王若仲在第九讲中，对于②如果rad（g ）为恒定的值，则rad（n ）不可能为恒定的值。
对于③，rad（g ）和rad（n ）均不为恒定的值。
这一讲中我们就具体分析这两种情形：（二）对于②，rad（g ）为恒定的值，由第七讲中的定理4.1以及推论4.1可知，则rad（n ）不可能为恒定的值。
因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。
又因n=[rad（n ）]·H；当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。
（1）因为R+h d =n ，d 为大于1的恒定正整数，h 为不小于1的整数；由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。
当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大。
对于n 和rad（n ），因为n=h d +R ，设函数ψ（x）=)(x rad x ，x 为不小于1的实数，函数ψ（x）=)(x rad x 的情形包含了)(n rad n 的情形，同时也包含了)(R d rad R d h h++的情形。
由第六讲中的定义3.2可知，函数ψ（x）=)(x rad x 是连续函数，那么由前面第十讲和第十一讲中的证明可知，函数ψ（x）=)(x rad x 为x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]上的有界函数。
即存在恒定的正实数F （0＜F ＜1），存在恒定的正实数G （1＜G ＜+∞），使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤ψ（x）≤G 恒成立。
“abc猜想”讲义(14)
“abc 猜想”讲义（14）第十四讲证明“abc 猜想”主讲王若仲第九讲中，（iv ）对于等式m +g ＝n ，m 和g 以及n 均不为恒定的值。
我们现在就分析第（iv ）的情形。
（iv ）对于m +g ＝n ，当m ，g ，n 均不为恒定的值时，由前面第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，随着m 和g 以及n 的变化，rad（m ）和rad （g ）以及rad（n ）必为下列情形之一：①rad（m ）和rad（g ）均为恒定的值，rad（n ）不可能为恒定的值。
②rad（n ）和rad（g ）均为恒定的值，rad（m ）不可能为恒定的值。
③rad（n ）和rad（m ）均为恒定的值，rad（g ）不可能为恒定的值。
④rad（n ）为恒定的值，rad（m ）和rad（g ）均不为恒定的值。
⑤rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值。
⑥rad（g ）为恒定的值，rad（m ）和rad（n ）均不为恒定的值。
⑦rad（n ）和rad（m ）以rad（g ）均不为恒定的值。
我们注意观察第（iv ）中①，②，③，④，⑤，⑥，⑦的情形，可得出这样的结论；①和⑤以及⑥和⑦中，rad（n ）均不为恒定的值，那么①和⑤以及⑥和⑦这几种情形与第（ii ）中（三）的情形同理可得出同样的结论。
②和③的情形可互换，只分析其中的一种情形即可。
⑤和⑥的情形可互换，只分析其中的一种情形即可。
（一）对于第（iv ）中①的情形，rad（m ）和rad（g ）均为恒定的值，由前面第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，rad （n ）不可能为恒定的值。
因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。
又因n=[rad（n ）]·H；当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。
“abc猜想”讲义(十四)
“abc 猜想”讲义（十四）第十四讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中②的情形我们仍然是分成四种情形来讲解，这四种情形分别如下：（1）b=g=h d ，c=n=v p ，其中d 和p 均为大于1的恒定的正整数，h ，v 均为不小于1的整数；（2）b=g=h d ，c=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，其中11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，d 为大于1的恒定的正整数，s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。
h ，v ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数；（3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
p 均为大于1的恒定的正整数；（4）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。
1h ，2h ，3h ，…，s h ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数。
这一讲我们就只分析第（1）和第（2）的情形：（二）对于②，rad（n ）和rad（g ）均为恒定的值，由第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，那么rad（m ）不可能为恒定的值。
“abc猜想”讲义(21)
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
-g）}=（
g11
·
g12
·
g13
·…·
g1e
）÷（ g11 · g12 · g13 ·…· g1e -1）。
则函数 f（zi，y）在 ziϵ[1+ε，+∞-ε]，yϵ[1+ε，+∞-ε]的闭区域中有界。
即存在恒定的正实数 E（1＜E＜+∞），使得 1＜f（zi，y）≤E 或者 1＜f（zi，y）
＜E
恒成立。那么对于（
g v1 11
·
g v2 11
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
） ÷m ， 不 管
m
和
g v1 11
·
g v2 11
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
以及
g
如何变化，1＜
（
g v1 11
·
g v2 11
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
） ÷m ≤ E
或者
1＜
（
g v1 11
·…·
g ze 1e
）]=1÷[1-y÷（
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
）]
=1 。 因 为
1＜（
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
） ÷x ＜ 2 ，
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
“abc猜想”讲义(十五)
“abc 猜想”讲义（十五）第十五讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中②的情形我们分成四种情形,第十四讲我们讲解了（1）和（2）的情形，这一讲我们讲解（3）和（4）的情形。
（3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，因为m+111h q ·212h q ·313hq ·…·s h s q 1=v p ，m=[rad（m ）]t ·H；其中t 为正整数，rad（m ）＞rad（H）。
当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，幂差极值n-max (g )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数m 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数g 不断减小时，那么正整数m 也是不断增大。
那么根数rad（m ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（m ）也趋向于正无穷大。
这种情形下，因为v p ÷（v p -111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）=1÷[1-（111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p ]，设函数f（x ）=x 1，x 为不小于1的实数。
函数f（x ）=x 1的情形包含了（111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p 的情形。
函数f（x ）=x 1是连续函数，因为-+∞→x lim f（x ）=-+∞→x lim x 1=0，+→1lim x f（x ）=+→1lim x x 1=1，那么函数f （x ）在xϵ[1+ε，+∞-ε]中有界，即存在恒定的正实数E （0＜E ＜1），存在恒定的正实数L （0＜L ＜1），E ＜L 。
“abc猜想”讲义(十七)
“abc 猜想”讲义（十七）第十七讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中⑤的情形，rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值；对于第（iv ）中⑥的情形，rad（g ）为恒定的值，rad（n ）和rad （m ）均不为恒定的值；对于第（iv ）中⑦的情形，rad（m ）和rad（g ）以及rad（n ）均不为恒定的值。
这一讲我们主要讲解⑤的情形。
⑥的情形和⑦的情形同理可得。
（五）对于⑤，rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值；当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，n-max (m )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数g 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数m 不断减小时，那么正整数g 也是不断增大。
那么根数rad（g ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad （g ）和根数rad （n ）也趋向于正无穷大。
因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。
由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。
当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。
令m=k q 或m=111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1，其中11p ，12p ，13p ，…，r p 1均为素数，q 为大于1的正整数，i p 1≠j p 1（i ≠j ）；i ，j=1，2，3，…，r 。
“abc猜想”讲义(22)
“abc 猜想”讲义（22）第二十二讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中⑤的情形，这一讲我们讲解⑤的情形。
（五）对于⑤，rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值；当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，n-max (m )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数g 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数m 不断减小时，那么正整数g 也是不断增大。
那么根数rad（g ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad （g ）和根数rad （n ）也趋向于正无穷大。
因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。
由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。
当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。
对于n 和rad（n ），设函数ψ（x）=z，x 和z 均为不小于1的实数。
这种情形下，由第六讲中的定义3.2可知，任一函数ψ（x）的值有唯一的rad（x）与之对应。
那么这种情形下，我们总可以令rad（x）=az′+r（r＜a），其中a 和r 均为恒定的正实数。
因为对于任一正实数x 1，总有一个正实数z 1，使得rad （x 1）=az 1′+r 成立。
那么对于任意两个不小于1的正实数x 11和x 12（x 11≠x 12），必然存在两个正实数z 11和z 12（z 11≠z 12），使得[rad（x 11）-r]÷z 11=[rad（x 12）-r]÷z 12。
“abc猜想”讲义(16)
“abc 猜想”讲义（16）第十六讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中②的情形我们仍然是分成四种情形来讲解，这四种情形分别如下：（1）b=g=h d ，c=n=v p ，其中d 和p 均为大于1的恒定的正整数，h ，v 均为不小于1的整数；（2）b=g=h d ，c=n=111v g ·211v g ·311v g ·…·e v e g 1，其中11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，d 为大于1的恒定的正整数，s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。
h ，v ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数；（3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
p 均为大于1的恒定的正整数；（4）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=111v g ·211v g ·311v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。
1h ，2h ，3h ，…，s h ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数。
本讲就只分析第（1）的情形。
（二）对于②，rad（n ）和rad （g ）均为恒定的值。
令b=g=h d 或b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p 或c=n=111v g ·211v g ·311v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
“abc猜想”讲义(3)
“abc猜想”讲义第三讲“abc猜想”证明（1）主讲王若仲有了前面有界函数一些性质的储备，现在探讨求证“abc猜想”。
abc定理:任何三个满足a+b＝c以及a和b互质的正整数a，b，c。
对于任何ε＞0,存在常数kε＞0，有：kεrad(abc)1+ε＞c。
其中rad(abc)表示(a·b·c) 中无重复质因数的积。
证明：对于“abc猜想”中的正整数a，b，c。
从表象看似乎没有什么规律可循，只要仔细研究不等式，可以设置任意两个素数p和q，设b＝p k·n-q h·m，且（p k·n-q h·m）和p k·n以及q h·m两两互质，p k·n＞q h·m,p k＞q h,k为正整数,h为非负正整数。
再按照n≥m和n≤m这两种情形进行分析讨论：下面就根据这两种类型，从一般化的角度逐一分析讨论：首先分析讨论第一种情形：设置任意两个素数p和q（p≠q），设b＝p k·n-q h·m，且p k·n和q h·m互质，p k＞q h，p k·n＞q h·m(n≥m)。
设c=p k·n，a=q h·m(n≥m)，p和q为任意两个素数（p≠q），且p k＞q h，p k·n ＞q h·m，p k·n和q h·m互质，则b=p k·n-q h·m。
假定p和q均为设定的两个素数,k为设定的正整数,h为设定的非负正整数时。
因为c＞a＞0，c＞b＞0，那么在这种情形下，则有p k-q h≤（p k·n-q h·m）÷n＜p k；说明对于任意两个正整数n和m(n≥m)，[（p k·n-q h·m）÷n]不大于某一定值H,[（p k·n-q h·m）÷n]不小于某一定值H′。
解析“哥德巴赫猜想”及“abc猜想”(3)
第一章“哥德巴赫猜想”的来历哥德巴赫（Christian Goldbach），1690年3月18日出生于普鲁士哥尼斯堡（俄罗斯现在的加里宁格勒）的一个官员家庭。
当时的普鲁士是德意志的一个邦国，哥尼斯堡（Konigsberg）是一座历史名城[2]。
哥德巴赫年轻时在家乡的哥尼斯堡大学学习数学和医学，20岁大学毕业，由于年轻，渴望出去看看外面的世界，加之家庭状况也不错，于是1710年之后，哥德巴赫云游欧洲，结识了不少当时欧洲的数学名家。
哥德巴赫首先去莱比锡，拜访了大数学家莱布尼茨。
莱布尼茨（G. W. Leibniz，1646-1716）对于数学的最大贡献是发明了微积分。
哥德巴赫的到来，使莱布尼茨感到很高兴，对于这位朝气蓬勃的晚辈，莱布尼茨少不了给予指点和教诲。
莱布尼茨广博的学识和高屋建瓴的观点，也使哥德巴赫终身受益。
接着哥德巴赫又到伦敦访问棣莫弗。
棣莫弗（De Moivre，1667-1754）是法国人，因躲避宗教迫害移居英国。
棣莫弗最擅长的研究领域是概率论，并对此做出了很大的贡献。
哥德巴赫对于理论研究和实际问题都很有兴趣。
后来哥德巴赫去了欧洲其它一些城市，分别见到伯努利家族的几位成员，其中丹尼尔•伯努利和哥德巴赫关系密切。
16世纪末，伯努利家族的祖辈为躲避宗教迫害，从比利时的安特卫普辗转来到瑞士的巴塞尔，在那里繁衍生息。
这个家族以经商为传统，也有个别人行医，似乎都和数学沾不上边。
但是在一个世纪之后，却在三代人中出现了八位数学家，其中几位有相当大的成就。
欧洲的旅行，使哥德巴赫不断开阔眼界，增长了学识，还在学术圈里交了不少朋友，收获颇丰。
1724年哥德巴赫回到故乡哥尼斯堡，此时的哥德巴赫已经 34岁了，过了而立之年，该见的世面也见过了，是到好好规划一下未来的时候了。
事也凑巧，就在哥德巴赫回家后不久，正好有两位学者路过哥尼斯堡，他们是去圣彼得堡参与俄罗斯圣彼得堡科学院筹建工作。
在与他们的言谈中，哥德巴赫了解到一些基本情况，感觉正对心思。
卡普雷卡尔黑洞数证明abc
卡普雷卡尔黑洞数证明abc文章标题：探秘卡普雷卡尔黑洞数证明abc：从简单到复杂的数学奇迹引言：在数学的广袤宇宙中，隐藏着许多令人着迷的数学奇迹，而卡普雷卡尔黑洞数证明abc便是其中之一。
abc猜想自从被提出以来，一直挑战着数学家们的智慧和想象力。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式，带领读者揭开这个奇妙数学现象的面纱。
第一部分：初识卡普雷卡尔黑洞数与abc猜想1.1 卡普雷卡尔黑洞数的背景卡普雷卡尔黑洞数，亦称为卡普雷卡尔数，最早由维克托·卡普雷卡尔于1985年提出。
它是一个与数论密切相关的数列，定义为将每个正整数的数字按递增顺序排列后所得到的数。
数1234的卡普雷卡尔黑洞数即为1234。
1.2 abc猜想的由来与关键概念abc猜想是由法国数学家乔志尧在1985年提出的。
它涉及到三个正整数a，b，c，满足条件a+b=c，并且a，b，c没有大于1的公共因子。
猜想认为，对于任意给定的正整数ε>0，存在一个常数K(ε)，当abc满足上述条件时，成立不等式：c<K(ε)·rad(abc)^{1+ε}，其中rad(abc)是a，b，c的乘积的正因子的乘积。
第二部分：揭开卡普雷卡尔黑洞数与abc猜想的奇妙关联2.1 卡普雷卡尔黑洞数与高指数初等代数近年来，数学家们通过研究卡普雷卡尔黑洞数与高指数初等代数的关系，发现了它们之间的奇妙联系。
具体来说，他们发现了某种情况下，abc猜想与卡普雷卡尔黑洞数的性质相吻合。
2.2 卡普雷卡尔黑洞数证明abc的较简单策略根据数学家们的研究成果，他们提出了一种相对较简单的策略来证明abc猜想与卡普雷卡尔黑洞数的关联。
该策略通过引入一系列数论结构和代数理论，追溯卡普雷卡尔黑洞数的数学规律，并将其与abc猜想的条件进行对比和分析。
第三部分：个人观点与进一步思考3.1 我对卡普雷卡尔黑洞数与abc猜想的理解卡普雷卡尔黑洞数与abc猜想的奇妙关联使我对数学的美妙之处有了更深刻的认识。
模型13 半角模型(原卷版)-中考数学解题大招复习讲义
模型介绍角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（2）（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小【专题说明】半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。
“Abc猜想”证明(完整版)
“abc 猜想”证明王若仲 （王洪）贵州省务川自治县实验学校 贵州564300摘要：“abc 猜想”最先由英国数学家大卫·马瑟（DavidMasser)和法国数学家乔瑟夫·奥斯达利（JosephOesterl é）于1985年彼此独立提出。
它说明对于任何ε＞0,存在常数k ε＞0，并对于任何三个满足a+b ＝c 以及a 和b 互质的正整数a ，b ，c 。
有：c ＜k εrad(abc)1+ε,rad(abc)表示(abc)中质因数的积。
2012年日本数学家望月新一在日本京都大学公布了“abc 猜想”长达500页的证明，我猜测望月新一的证明有很大的可能性是正确的。
但是“abc 猜想”还有一种更为简捷的证明方法，这种证明很直接，使人易懂明了。
十七世纪那场旷世最降速问题的挑战，当时莱布尼兹，牛顿，雅可布·伯努利，洛比达，约翰·伯努利都分别作出了自己的解，其中约翰·伯努利的解法最漂亮，雅可布·伯努利的解法虽繁琐，但是方法最一般化，体现了变分思想。
后来欧拉给出了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新的数学分支。
虽然我们用简捷的方法证明了“abc 猜想”，我认为思想比方法更重要。
我猜测望月新一的证明一定有一些思想更重要。
关键词：abc 猜想；奇数；奇质数；质因数 中图分类号：0156引言“abc 猜想”最先由英国数学家大卫·马瑟（David Masser ）及法国数学家乔瑟夫·奥斯达利（Joseph Oesterl é）在1985年提出，一直未能被证明。
其名字来自把猜想中涉及的三个数字称为a ，b ，c 的做法。
它说明对于任何ε＞0,存在常数k ε＞0，并对于任何三个满足a+b ＝c 以及a 和b 互质的正整数a ，b ，c 。
有：c ＜k εrad(abc)1+ε,rad(abc)表示(abc)中质因数的积。
著名机构七年级数学春季班讲义第13讲-等腰三角形一-马秋燕
等腰三角形一内容分析等腰三角形从边和角两方面出发，阐述了它的特殊性．在理解等腰三角形的性质和判定的基础上，能够熟练的进行边和角之间的计算及证明，本节课的内容相对基础．知识结构模块一：等腰三角形性质知识精讲等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）．（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．例题解析【例1】等腰三角形底边长为7cm，它的周长不大于25cm，则它的腰长x的取值范围是____________．【难度】★【答案】【解析】【例2】 （1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______； （2）等腰三角形一腰上的高于底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 已知：AB =AC ，AD =DE =BE ，BD =BC ，那么∠A 的度数为________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 已知：在三角线ABC 中，D 是AC 上一点，且AB =BC =CD ，BE =DE ，AD =AE ，连接DE ，则∠C 的度数为_________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例5】 如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:1，那么顶角为（）A ．30°或120°B ．120°或20°C ．30°或20°D ．以上都不正确【难度】★ 【答案】 【解析】【例6】 如图，在△ABC 中，已知∠C =90°，AD =BD ，如果∠DBC =15°，那么∠A （）A ．75°B ．37.5°C ．60°D ．以上都不对【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEABCD E ABCD【例7】等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2 厘米，则它的腰长为（）A．4厘米B．8厘米C．4厘米或8厘米D．不确定【难度】★★【答案】【解析】【例8】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，那么△ABC的最大外角为（）A．160°B．140°C．135°D．145°【难度】★★【答案】【解析】【例9】在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（）A．6个B．7个C．8个D．9个【难度】★★【答案】【解析】【例10】如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，求∠DAE的度数．【难度】★★【答案】【解析】ABC DE【例11】 如图，在△ABC 中，AC =BC ，CD 为AB 边上的中线，点E 为BC 边上的一点，EF ⊥AB ，垂足为F ，试说明∠ACD =∠BFE 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】 如图，AB =AC ，AD =CE ，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明∠EAC =∠ACB 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 上一点，EC ⊥BC ，EC =BD ，DF =EF ，说明AF ⊥DE 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例14】 等腰三角形的周长为30cm（1） 若腰长为xcm ，则x 的取值范围是____________cm ； （2） 若底边长为acm ，则a 的取值范围是____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEFABCDE13 42 AEFA B CAB CABCE DF EDF DF图1图2图3【例15】 如图，已知∠A =150，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM =_____________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例16】 如图，在△ABC 中，AB =BC ，M ，N 为BC 边上两点，并且∠BAM =∠CAN ，MN =AN ，则∠MAC 的度数是____________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例17】 已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠C =900，D 为AB 边中点，∠EDF =900，将∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC ，BC (或它们的延长线)于E 、F ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时(如图1)，易证：S △DEF +S △CEF =12S △ABC ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）．【例18】 下列说法中，不正确的是（）A ． 如果三角形ABC 是等腰三角形，那么∠B =∠C B ． 如果△ABC 中，∠B =∠A ，那么△ABC 是等腰三角形 C ． 如果三角形的两条边相等，那么此三角形一定是等腰三角形D ． 有两个角相等的三角形是等腰三角形 【难度】★ 【答案】 【解析】【例19】 （1）在△ABC 中，如果AB =AC ，∠B =52°，那么∠A =__________；（2）在Rt △ABC 中，如果∠B =45°，那么△ABC 是___________三角形；（3）在△ABC 中，如果∠BCA =30°，∠ABC =50°，那么△ABC 是________三角形 （按角分类）． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例20】 已知AC =BC ，∠ACD =∠BCE ，试说明△CDE 是等腰三角形的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】模块二：等腰三角形的判定知识精讲例题解析ABCD EED CABF 【例21】 如图：BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，DE ∥BC ，说明EF =BE -CF 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 如图，△ABC 中BA =BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 试说明△DBE 是等腰三角形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 △ABC 中，在（1）∠1=∠2；（2）AD ⊥BC ；（3）BD =CD ；这三个条件中有两个条件成立，能否得出AB =AC ?证明所有的可能． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的一点，且BD =CE ，∠DEF =∠B ，说明△DEF 是等腰三角形的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEFABCD1 2 A BDEF【例25】已知三角形三个内角度数如图所示，试画一条直线MN，将这个三角形分割成两个等腰三角形．【难度】★★【答案】【解析】【例26】（1）如图，在△ABC中，已知∠A=36°，∠ABC=72°，CD平分∠ACB，交边AB于点D．图中那几个是的等腰三角形?为什么?（2）在第（1）小题中，如果再作DE∥BC，交边AC于E，那么上图中还有哪几个三角形是等腰三角形?为什么?【难度】★★【答案】【解析】【例27】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，说明AG⊥EF的理由．【难度】★★【答案】【解析】AB CDEF GAB CD120°40°20°120°40°20°【例28】 如图，已知：D 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，DF ∥AC ，交BC 于点F ，如果BC =12cm ，求△DEF 的周长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例29】 把一张长为8厘米，宽4厘米的长方形的纸条，像如图所示的那样折叠，重合部分是△BDE ，求△ABE 的周长，并简单说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例30】 如图，在△ABC 中，∠ACB =45°，∠ABC =60°，AD 、CF 分别是BC 、AB 边上的高，且相交于点P ，∠ABC 的平分线BE 分别交AD 、CF 于点M 、N ，试找出图中所有的等腰三角形，并简述理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】A BCDEFP NM AB CDEC ,ABCDE F【习题1】 在△ABC 中，已知AB =3，∠B =52°，如果AC =3，那么∠A =________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为__________．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，且BD =BE ，∠A =84°，则∠DEC =___________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 如图，△ABC 中AB =AC ，CD 平分∠BCA ，CE ⊥AB 于点E ，∠DCE =51°，则∠ACB =________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测A BCD EABCDE【习题5】如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）【难度】★★【答案】【解析】【习题6】（1）如果等腰三角形中有一个角为120°，另外两个角的度数为________；（2）如果等腰三角形中有一个角为30°，另外两个角的度数为____________．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】（1）等腰三角形的两边长分别为6厘米和12厘米，它的周长为________；（2）等腰三角形的两边长分别为8厘米和12厘米，它的周长为___________．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，∠DAB=∠DBA，又知AC=18，△CBD的周长为28，求BC的长．【难度】★★【答案】【解析】AC DEA B C D36°ABC10890°45°ABBB CCCAA【习题9】 如图，已知：△ABC 中∠C 的平分线CD 交AB 于点D ，DE ∥BC 于点E ，若DE =3，AE =4，求AC 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题10】 如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，∠BAD =∠CAE ，CE =BD ．说明：（1）△ADE 也是等腰直角三角形；（2）BD ⊥CE 的理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 等腰三角形周长为13㎝，其中一边长为3㎝，则该等腰三角形的底边长为（ ）A ． 7cmB ．3 cmC ．7 cm 或3 cmD ．5 cm【难度】★ 【答案】 【解析】课后作业A BDFG ABDE【作业2】已知等腰三角形的周长为24㎝，其中一边长为7㎝，则与它相邻的另一边长（）A．7 cm或10 cm B．8.5 cm或7 cmC．7 cm或10 cm或8.5 cm D．10 cm或8.5 cm.【难度】★【答案】【解析】【作业3】在△ABC中，AB=AC．若∠A=50°，则∠B= ，∠C=_____ ；若∠B=45°，则∠A= ，∠C= ；若∠C=60°，则∠A= ，∠B= ；若∠A=∠B，则∠A= ，∠C= ．【难度】★【答案】【解析】【作业4】等腰三角形中，AB的长是BC长2倍，三角形的周长是40，求AB的长．【难度】★★【答案】【解析】【作业5】已知下列语句：①有一个角为300，腰长相等的两个等腰三角形全等．②有一个角为1100的腰长相等的两个等腰三角形全等．③腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等．④底角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑤一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑥顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑦底和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等．其中不能判断两个等腰三角形全等的方法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★★【答案】【解析】【作业6】 如图，△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BC =BD =BE ，则图中等腰三角形共有_________个．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 如图，在△ABC 中，AB =AC=CE ，D 是BC 上一点，∠ABC =40°，E 是AC 上一点，AE =DE ．求∠EDC 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图，在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN 经过点O ，且MN ∥BC ，若AB =12，AC =18，求△AMN 的周长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，∠ABC 的平分线交CD 于点E ，交AC 于点F ，问△CEF 是等腰三角形吗?请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ACDE FAB COMNABCD EAB C D E【作业10】 如图，在△ABC 中， AB =AC ，E 在BA 延长线上，AE =AF ，求证：EF ⊥BC ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业11】 如图，已知：在△ABC 中，AB >AC ，BD 是∠ABC 的平分线且与∠ACB 的角平分线交于点D ，作ED ∥BC ，问线段EF 、BE 、CF 之间有怎样的数量关系?并说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】A BCDEFGAB CEF。
人教版七年级数学上册同步讲义 第十三讲 归纳猜想——找规律
第十三讲归纳猜想——找规律13.1数字排列规律题【例1】一群整数朋友按照一定的规律排成一排，可排在□位置的数跑掉了，请帮它们把跑掉的朋友找回来．（1）5，8，11，14，□，20；（2）1，3，7，15，31，□；（3）1，1，2，3，5，8，□，21【答案】(1)17，(2)63，(3)13【练习1.1】下面数列后两位应该填上什么数字呢？2 3 5 8 12 17 ______ _______ ；3 6 10 15 21 ______【答案】23，30；28．【例2】观察下列一组数的排列：1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、…，那么第2015个数是__________．【答案】3．【练习2.1】观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…聪明的你猜猜第210个数是_________．【答案】2．【练习2.2】有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……聪明的你猜猜第100个数是________．【答案】34．13.2几何图形变化规律题【例3】观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球__________个．【答案】602．【练习3.1】现有黑色三角形“▲”和“△”共200个，按照一定规律排列如下：▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲……则黑色三角形有个，白色三角形有个．【答案】101，99．【练习3.2】观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是___________（填图形名称）．【答案】圆．【例4】如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第6个图形中，互不重叠的三角形共有____________个．【答案】19【练习4.1】“◆”代表甲种植物，“★”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植. 按此规律第六个图案中应种植乙种植物_________ 株.【答案】49．【练习4.2】已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）．（1）当n = 5时，共向外作出了个小等边三角形（2）当n = k时，共向外作出了个小等边三角形（用含k的式子表示）．……n=3n=4n=5【答案】9，3（k-2）．13.3数、式计算规律题【例5】观察下列顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41……猜想：第10个等式应为．【答案】9×9+10=91．【例5.1】已知下列等式：①13＝12；②13＋23＝32；③13＋23＋33＝62；④13＋23＋33＋43＝102；由此规律知，第⑤个等式是．【答案】13＋23＋33＋43＋53＝152．【例5.2】观察下面的几个算式：1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=__________.【答案】10000【例5.3】已知：22222233445422,33,44,55,338815152415+=⨯+=⨯+=⨯+=⨯ =+⨯=+b a aba b 则符合前面式子的规律，，若 (21010)【答案】109.【例6】观察：11111()37437⨯=-11111()7114711⨯=- 11111()111541115⨯=- ……计算：1111111111++++37711111515171721⨯⨯⨯⨯⨯．【答案】114．【例6.1】观察：11111() 35235⨯=-，11111() 57257⨯=-11111() 79279⨯=-…………计算：11111111 2446681820⨯+⨯+⨯++⨯＝。
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“abc猜想”讲义（十三）
第十三讲
证明“abc猜想”
主讲王若仲
在第九讲中，（iv）对于等式m+g＝n，m和g以及n均不为恒定的值。
我们现在就分析第（iv）的情形。
（iv）对于m+g＝n，当m，g，n均不为恒定的值时，由第七讲中的定理4.1和推论4.1可知，随着m和g以及n的变化，rad（m）和rad（g）以及rad（n）必为下列情形之一：
①rad（m）和rad（g）均为恒定的值，rad（n）不可能为恒定的值。
②rad（n）和rad（g）均为恒定的值，rad（m）不可能为恒定的值。
③rad（n）和rad（m）均为恒定的值，rad（g）不可能为恒定的值。
④rad（n）为恒定的值，rad（m）和rad（g）均不为恒定的值。
⑤rad（m）为恒定的值，rad（n）和rad（g）均不为恒定的值。
⑥rad（g）为恒定的值，rad（m）和rad（n）均不为恒定的值。
⑦rad（n）和rad（m）以rad（g）均不为恒定的值。
我们注意观察，从第（iv）中的①，②，③，④，⑤，⑥，⑦等情形来看，我们不难发现：①和⑤以及⑥和⑦的情形中，rad（n）均不为恒定的值。
那么①和⑤以及⑥和⑦这几种情形就与（ii）中（三）的情形同理可得出同样的结论。
②和③的情形可互换，即②和③为同类型的情形。
⑤和⑥的情形可互换，即⑤和⑥为同类型的情形。
我们下面逐步分析研究：
（一）对于①，rad（m）和rad（g）均为恒定的值，由第七讲中的不定方
lim 程定理4.1和推论4.1可知，rad（n）不可能为恒定的值。
因n÷n=1，那么
+∞
→
n lim（n）=1。
（n）÷
n
→
+∞
又因n=[rad（n）]·H；当正整数n不断增大时，那么根数rad（n）总趋势也是随着正整数n的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n趋向于正无穷大时，根数rad（n）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n）]·H}=1恒成立。
（1）令k q+h d=n，q和d均为大于1的恒定正整数且互质，k q＞h d，k和
h 均为不小于1的整数。
由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。
当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大。
对于n 和rad（n ），因为n=k q +h d 。
在k q ＜h d 的情形下，由第七讲中的定理4.1以及推论4.1可知，这种情形下，不可能存在这样的情形：即p =1k q +1h d ，e=2k q +2h d ，k 1≠k 2或h 1≠h 2，使得rad （p）=rad （e ）。
我们设函数ψ（x）=)(x rad x ，x 为不小于1的实数，那么函数ψ（x）=)(x rad x 的情形包含了)(n rad n 的情形，同时也包含了)(h k h k d q rad d q ++
的情形。
由第六讲中的定义3.2可知，函数ψ（x）=)(x rad x 是连续函数，那么由前面第十讲和第十一讲中的证明可知，函数ψ（x）=)(x rad x 为x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]上的有界函数。
即存在恒定的正实数F （0＜F ＜1），存在恒定的正实数G （1＜G ＜+∞），使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤ψ（x）≤G 恒成立。
因为函数ψ（x）的情形包含了n ÷rad （n ）的情形，那么在n 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤n ÷rad （n ）≤G 恒成立。
因为n=rad（n ）·H，H∈N，那么F ≤H≤G 恒成立。
又因为rad （g ）≥1，rad （m ）≥1，那么这种情形下，不等式G ·rad （n ）·rad （m ）·rad（g ）≥n 恒成立。
（2）令111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1+111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1=n ，其中
111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1＞111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，11p ，12p ，13p ，
…，r p 1，11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，i p 1≠j p 1（i ≠j ）；i ，j=1，2，3，…，r ；w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
1k ，2k ，3k ，…，r k ，1h ，2h ，3h ，…，s h 均为不小于1的整数。
由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。
当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大。
对于n 和rad （n ），因为n=111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1+111h q ·212h q ·3
13h
q
·…·s h s q 1。
我们设函数ψ（x）=)(x rad x ，x 为不小于1的实数，那么函数ψ（x）=)(x rad x 的情形包含了)(n rad n 的情形，同时也包含了)(1313212111131321211113132121111313212111r k r k k k s h s h h h r k r k k k s h s h h h p p p p q q q q rad p p p p q q q q ∙∙∙+∙∙∙∙∙∙∙∙+∙∙∙∙ 的情形。
由第六讲中的定义3.2可知，函数ψ（x）=)(x rad x 是连续函数，由前面第十讲和第十一讲中的证明可知，函数ψ（x）=)(x rad x 为x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]上的有界函数。
即存在恒定的正实数F （0＜F ＜1），存在恒定的正实数G （1＜G ＜+∞），使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤ψ（x）≤G 恒成立。
因为函数ψ（x）的情形包含了n ÷rad（n ）的情形，那么在n 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤n ÷rad（n ）≤G 恒成立。
因为n=rad（n ）·H，H∈N，那么F ≤H≤G 恒成立。
又因为rad （g ）≥1，rad （m ）≥1，那么这种情形下，不等式G ·rad （n ）·rad （m ）·rad（g ）≥n 恒成立。
（3）令111k p ·212k p ·313k p ·…·r k
r p 1+h d =n ，这种情形与（1）和（2）同理可得出同样的结论。
（4）令k q +111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1=n ，这种情形与（1）和（2）同理可得出同样的结论。
2020年10月11日。