河北省清河县清河中学高一数学 1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积》学案
【人教A版】高中数学必修二：1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积和体积》ppt课件.pptx
三表棱面柱积的为高为32，4 则2底 2面等1 边 4三角2 形3 的 2边4 长 8为34，所以该正三棱柱的
答案：C
2
已知棱长为,各面a 均为等边三角形的四面体S-ABC ，求它的表面积．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作，SD BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a
3.一个圆台的上、下底面面积分别是1和c4m92 ， 一个cm平2 行底面的截面面积为25则这个截面cm与2
上、下底面的距离之比是
A
A.2:1B.3:1C2.:1D.:1 3
4.已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且 面积为S，则圆锥的底面面积___S___.
2
作业精选巩固提高
5.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称 主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图 （或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
h
D
S C
B
S' S
x2 (h x)2
S'
x
x
S h x
S'h S S'
V 1 h[Sh (S S' ) 3
S'
]
1 [S
S S' 3
SS' S' ]h
典型例题
• 例3（1）两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那 么圆锥被分成的三部分的体积的比是
A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27
• A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8
解：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的 面积之比为1∶4，将三棱锥A—A1BC转化为三棱锥A1—ABC，这 样三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A1—ABC的高相等，底面积之比为 1∶4，于是其体积之比为1∶4. 答案：B
高一数学人教A版必修2课件：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
第二十一页，编辑于星期日：二十一点 五十九 分。
误区警示:多面体沿着各棱的展开有时图形类似,有时图形完全不 一样,应区别对待,本题长､宽､高都不相等,因而求AC′的最小值应为
三种情况讨论比较才能得到.
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变式训练3:如下图,已知三棱锥A-BCD的底面是等边三角形,三条 侧棱长都等于1,∠BAC=30°,M､N分别在棱AC和AD上,求 BM+MN+NB的最小值.
1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为
的全面积是( )
A.3π
C.6πD.9π
B.3 π3
3,则这个圆锥
解析:设圆锥的母线长为l,则由 1 l 3 l 3, 且圆锥的底面周长为2π,所以圆锥2的全2面积
S 12 1 2 2 3 .
2
答案:A
得l=2.
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4 14(cm3) 3
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能力提升 9.圆台上､下底面积分别为π､4π,侧面积为6π,求这个圆台的体积
.
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解:设圆台的上､下底面半径分别为r､R,母线长为l,高为h,轴截面如
下图所示.
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§1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1
柱体､锥体､台体的表面积与体积
第一页，编辑于星期日：二十一点 五十九分。
自学导引
1.了解多面体的平面展开图的概念,能画出多面体的展开图.
2.了解棱柱､棱锥､棱台的概念,掌握它们的侧面展开图的图形,会
2021年高中数学1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 新人教A版必修
2021年高中数学1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积新人教A版必修2【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表） 体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？ 五）交流展示 略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。
人教高一数学教学设计之《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》
人教高一数学教学设计之《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》一. 教材分析《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》这一节内容，主要让学生掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法。
在高一数学教材中，这部分内容属于立体几何的范畴，是学生进一步学习空间几何的基础。
通过本节课的学习，学生将能够熟练运用公式计算柱体、锥体、台体的表面积和体积，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析在导入这一节内容之前，学生已经学习了平面几何的基础知识，对几何图形的性质和公式有一定的了解。
同时，学生也掌握了初等函数的相关知识，这为学习立体几何奠定了基础。
然而，由于立体几何与平面几何在思考方式和解决问题上存在较大差异，学生可能需要一定的时间来适应。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答疑问。
三. 教学目标1.让学生掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法。
2.培养学生空间想象能力，提高解决实际问题的能力。
3.通过对立体几何的学习，增强学生对数学的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重难点：柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的记忆和运用。
2.难点：空间想象能力的培养，以及如何将实际问题转化为几何问题。
五. 教学方法1.采用直观教学法，通过模型、图片等直观教具，帮助学生建立空间几何观念。
2.采用启发式教学法，引导学生主动探索、发现和总结几何图形的性质和公式。
3.采用小组合作学习法，鼓励学生互相讨论、交流，提高解决问题的能力。
4.运用案例教学法，结合生活实际，让学生学会将几何知识应用于解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、图片、模型等直观教具。
2.准备练习题和案例，用于巩固所学知识。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实物，如圆柱形的饮料瓶、锥形的雪糕棒等，引导学生关注柱体、锥体的特征。
然后提问：“如果我们想知道这些物体的体积和表面积，应该如何计算呢？”从而引出本节课的主题。
人教版高中数学必修二1.3.1--柱体、锥体、台体的表面积和体积课件
（2010 浙江文数）（8）若某几何体的三视图（单位：cm） 如图所示，则此几何体
的体积是
（A） 352 cm3 3
（B） 320 cm3 3
列出下列几何体的表面积或体积的计算式
2、一个六角螺，已知底面是正六边形，边长为 12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这种螺 帽的体积是多少？
E'
D'
F'
C'
A'
B'
E
D
F
C
A
B
V [(12 2 12) 12 sin 10 (10)2 ] 10
3
2
小结：
1.弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；
的高．
常见几何体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
S S
S 0
S为底面面积， S、S'分别为上、下底 S为底面面积，
h为锥体高
面面积，h 为台体高 h为柱体高
柱、锥、台的表面积和体积比较
h
l
h斜
h'
r
S棱柱侧 C底 h
S棱锥侧
1 2
C底
h 斜
S棱柱表 2S底 S侧 S棱锥表 S底 S侧
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
S 解：先求 ABC的面积，过点S作 SD BC， 交BC于点D．
B
A D
C
因为BC=a， S△ABC
3 a2 4
学高一数学1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积1必修2
1．表面积是各个面的面积之和，求多面 体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪 开后展成平面图形，利用平面图形求多面 体的表面积．求旋转体的表面积时，可从 回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手， 将其展开求表面积，但要搞清它们的底面 半径、母线长与对应的侧面展开图中的边 长关系．
2．几何体占有空间部分的大小，叫做几何 体的体积．这里的“大小”没有比较大小 的含义，而是要用具体的“数”来定量表 示几何体占据了多大的空间．相同几何体 的体积相等，但体积相同的几何体不一定 相同．
3.柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积公式
柱体 锥体
V＝ Sh (S 为底面面积，h 为柱体的高)
V＝
1 3Sh
(S
为底面面积，
h
为锥体的高)
台体
V＝13(S′＋ S′S＋S)h (S，S′分别为上、 下底面面积，h 为台体的高)
探究：根据柱体、锥体、台体之间的关系， 你能发现三者的体积公式之间的关系吗？
了一个圆锥得到的组合体，所以 V＝23－13π(22)2·2＝8－
23π.
答案：A
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握 柱体、锥体、台体的表面积和体积的求 法．
2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的表 面积，并且熟悉台体、柱体和锥体之间的 转换关系．
3．培养学生的空间想象能力和思维能力．
2008年北京奥运会的重要前奏是奥运圣火 的传递，圣火由“祥云”火炬承载，传遍 五洲四海，宏扬奥林匹克精神．“祥云” 火炬外形是细长的圆台形式，长72 cm，重 985克，燃料为丙烷．那么在“祥云”的外 层着色要覆盖多大的面积，其内部能盛装 多少液态的丙烷？本节课我们将探求计算 几何体表面积与体积的方法.
高中数学新人教A版必修2 .1柱体、锥体、台体的表面积与体积课件
体 (其中S为底面面积，h为高)
它是同底同高的圆柱的体积的 1
3
S h
O S
棱锥的体积公式也是 V 1 Sh 3
h C
A
B
高中数学新人教A版必修2 .1柱体、锥体、台体的表面积与体积课 件
高中数学新人教A版必修2 .1柱体、锥体、台体的表面积与体积课 件
探究
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系？ 它也是同底同高的棱柱的体积的 1
l
2r
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O
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圆台的展开图是一个扇环，它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积，即
S (r'2 r2 r'l rl)
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15cm.那么花盆的表面多 积少 约平 是方厘 (取米
3.14,结果精确 1c到 m)?
10cm
15cm
7.5cm
高中数学新人教A版必修2 .1柱体、锥体、台体的表面积与体积课 件
高中数学新人教A版必修2 .1柱体、锥体、台体的表面积与体积课 件
2、柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统
2r 、 2r
O`
O
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O S 、 A A E AB B 即 S A E A B B O 、 Arr 、 lr、
C
S
2r 、
o、
A
r、
l
D
S扇 SA Cr、 SA r（ 、rr、 lr、 ）
河北省清河县清河中学高一数学 1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积》学案
§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积一、学习目标1. 了解柱、锥、台的表面积和体积计算公式；2．能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.二、考纲要求：了解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式。
三、学法指导：预习教材P23~ P26，找出疑惑之处，填写自主学习部分。
四、自主学习引入：1.研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？2.初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式V Sh=（S为底面面积，h为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？※探索新知探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？结论：正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.新知1：棱柱,棱锥,棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积. 试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？新知2：（1）设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即2222()S r rl r r lπππ=+=+.正四棱锥正四棱台正六棱柱（2）设圆锥的底面半径为r r ，母线长为l ，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即2()S r rl r r l πππ=+=+.试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？新知3：设圆台的上、下底面半径分别为 r ，r ′，母线长为 l ，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即 2222()()S r r r l rl r r r l rl ππππ''''=+++=+++.反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？ 五、 典型例题例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S ABC -，求它的表面积.例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm ,盆底直径为15cm ,底部渗水圆孔直径为1.5cm ,盆壁长15cm .为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14,结果精确到1毫升)?新知3：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理) 柱体体积公式为：V Sh =，（S 为底面积，h 为高）锥体体积公式为：13V Sh =，（S S 为底面积，h 为高）台体体积公式为：1()3V S S S S h ''=++ （S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高）补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.反思. 比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？例 3. 如图(1)所示，三棱锥的顶点为P ，,,PA PB PC 是它的三条侧棱,且,,PA PB PC 分别是面,,PBC PAC PAB 的垂线，又2PA ，3,4PB PC ==，求三棱锥P ABC -的体积V .变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥B A BC '''-的体积.小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会图(1)PCB A 图B 'C 'D 'A 'D CB A学习)，它会给我们的计算带来方便.例4。
河北省清河县清河中学高一数学 1.1.2《圆柱、圆锥、圆台》学案
§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、学习目标1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及一些简单组合体的结构二、考纲要求：认识各种旋转体及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
三、学法指导：先预习教材P5~ P7，找出疑惑之处，再填写导学案,弄清概念特征，通过做练习巩固认识。
四、自主学习：复习：①_______________________叫多面体,___________________叫旋转体.②棱柱的几何性质：_______是对应边平行的全等多边形，侧面都是________，侧棱____且____，平行于底面的截面是与_____全等的多边形；棱锥的几何性质：侧面都是______，平行于底面的截面与底面_____，其相似比等于____________.引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我们来探究旋转体的结构特征.探究1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？新知1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的____所围成的几何体，叫做圆柱（circular cylinder），旋转轴叫做圆柱的轴；____于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；____于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，______于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如上图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为OO . 圆柱和棱柱统称为柱体.探究2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来.新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边_____形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.探究3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).用平行于________的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？探究4：球的结构特征问题：球也是旋转体，怎么得到的?新知4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，______旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），简称球；半圆的圆心叫做球的____，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母O表示，如球O.探究5：简单组合体的结构特征问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.五、典型例题例 1 将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有_____________；②棱锥结构特征的有_______________；③圆柱结构特征的有_____________；④圆锥结构特征的有_____________；⑤棱台结构特征的有_______________；⑥圆台结构特征的有______________；⑦球的结构特征的有______________；⑧简单组合体___________________.例2.一个圆台的母线长为12cm,两底面的面积分别为4π和25π㎝2.求：（1）圆台的高；（2）截得此圆台的圆锥的母线长。
数学：1.3.1教案(新人教A版必修2)河北地区专用
§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、教学目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：实物几何体，投影仪四、教学设想1、创设情境（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
2、探究新知（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3、质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:)''22rl l r r r S +++=（圆台表面积πr 1为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。
高中数学 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积精品教案 新人教A版必修2
第一课时柱体、锥体、台体的表面积〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕了解柱体、锥体与台体的表面积〔不要求记忆公式〕.〔2〕能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.〔3〕培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.3．情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.〔二〕教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.难点：展开图与空间几何体的转化.〔三〕教学方法学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？学生先思考讨论，然后回答.学生：将正方体沿AA′展开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图那么17AA'=即所求.师：(肯定后)这个题考查的是正方体展开图的应用，这节课，我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积.情境生动，激发热情教师顺势带出主题.A′D′C′BCAB′DA′A探索新知1．空间多面体的展开图与表面积的计算.〔1〕探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.〔2〕棱长为a，各面均为等边三角形S–ABC (图1.3—2)，求它的表面积.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC = a，22223()22aSD SB BD a a=-=-=∴211332224SBCS BC SD a a a=⋅=⨯=.∴四面体S–ABC的表面积223434S a a=⨯=.师：在初中，我们学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？生：相等.师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.师：〔肯定〕棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？……生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.生：由于四面体S–ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.学生分析，教师板书解答过程.让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状.推而广之，培养探索意识会探索新知2．圆柱、圆锥、圆台的表面积〔1〕圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导S圆柱 = 2πr (r + 1)S圆锥 = πr (r + 1)S圆台 = π(r12 + r2 + r1l + rl )〔2〕讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系〔3〕例题分析例2 如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.解：如下图，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积22151520 1.5[()1515]()2222Sππ=⨯+⨯+⨯-⨯≈1000(cm2) = 0.1(m2).涂100个花盆需油漆：0.1×100×100=1000(毫升).答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，那么它们的表面积是多少？师：打出投影片〔教材图和图1.3—4〕生1：圆柱的底面积为2rπ，侧面面积为2rlπ，因此，圆柱的表面积：2222()S r rl r r lπππ=+=+生2：圆锥的底面积为2rπ，侧面积为rlπ，因此，圆锥的表面积：2()S r rl r r lπππ=+=+师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，那么它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧=1(22)()2r r l r r lπππ''+=+所以它的表面积为122()S r r r l rlπ'=+++现在请大家研究这三个表面积公式的关系.学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论.师：下面我们共同解决一个实际问题.〔师放投影片，并读题〕师：此题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表面积.生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.(学生分析、教师板书)让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题.S圆台=π(r12+r2+rl+r′l)S圆柱=2πr(r+l) S圆锥=πr(r+l)r = 0r = 1随堂练习1．练习圆锥的表面积为a cm 2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱〔底面是正六边形，侧面是全等的矩形〕形，上面是圆柱〔尺寸如图，单位：mm 〕形. 电镀这种零件需要用锌，每平方米用锌0.11kg ，问电镀10 000个零件需锌多少千克〔结果精确到0.01kg 〕答案：1． 233a ππm ；2．1.74千克.学生独立完成归纳总结1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系. 学生总结，老师补充、完善作业 1.3 第一课时 习案学生独立完成固化知识提升能力备用例题例1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q 1，Q 2，求直平行六面体的侧面积.[分析]解决此题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.[解析]如下图，设底面边长为a ，侧棱长为l ，两条底面对角线的长分别为c ，d ，即BD = c ，AC = d ，那么12222(1)(2)11()()(3)22c l Qd l Q c d a ⎧⎪⋅=⎪⋅=⎨⎪⎪+=⎩ 由〔1〕得1Q c l =，由〔2〕得2Q d l =，代入〔3〕得22212()()22Q Qa l l+=， ∴2222124Q Q l a +=，∴22122la Q Q =+.∴S 侧 =221242al Q Q =+.例2 一个正三棱柱的三视图如下图，求这个三棱柱的表面积. [解析]由三视图知正三棱柱的高为2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为23mm. 设底面边长为a ，那么3232a =，∴a = 4. ∴正三棱柱的表面积为S = S 侧 + 2S 底 = 3×4×2 + 2×14232⨯⨯2483=+(mm 2).例3 有一根长为10cm ，底面半径是0.5cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，那么铁丝的最短长度为多少厘米？〔精确到0.01cm 〕[解析]如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD .由题意知，BC =10cm ，AB = 20.588ππ⨯⨯=cm ，点A 与点C 就是铁丝的起止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度.∴AC =2210(8)27.05π+≈(cm). 所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.[评析]此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折〔曲〕为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm 和440mm ，高是200mm. 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？[分析] 问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.[解析]如下图，O 、O 1是两底面积的中心，那么OO 1是高，设EE 1是斜高，在直角梯形OO 1E 1E 中，EE 1=221E F EF +=22111()OO EO E O +-图4—3—2∵边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.∴S正棱台侧 = 11()()22c c h n a a h''''+⋅=+⋅= 514(44080)269 2.8102⨯⨯+⨯≈⨯〔mm2〕答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.。
河北省清河县清河中学1.3.2《球的体积和表面积》学案
§1.3.2 球的体积和表面积一、学习目标1. 了解球的表面积和体积计算公式；2. 能运用柱、锥、台、球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题. 二、考纲要求：三、学习指导：预习教材P 27~ P 28，找出疑惑之处，填写自主学习部分，再做练习巩固。
四、自主学习 复习：柱体包括_____和_____,它的体积公式为___________；锥体包括_______和_______,它的体积公式为_____________；台体包括_____和______,它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为_____________________.※ 探索新知新知：球的体积和表面积球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：球的体积公式 343V R π=球的表面积公式 24S R π=其中，R 为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径R 有关.五、典型例题例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍?变式：若三个球的表面积之比为1﹕2﹕3，则它们的体积之比为多少?例2 一种空心钢球的质量是142g ，外径是5.0cm ，求它的内径. （钢密度7.93/g cm ）例3 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证（1）球的体积等于圆柱体积的23；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.变式：半径为R的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为r，则Rr为多少?小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系，从而把空间问题转化为平面问题来解决.※动手试试练1.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.练2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.六、学习小结1. 球的表面积及体积公式的应用；B CA D4522. 空间问题转化为平面问题的思想.※ 知识拓展极限的思想推导球的表面积公式过程：如图,将球的表面分成n 个小球面，每个小球面的顶点与球心O 连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这n 个小棱锥的体积和，表面积是这n 个小球面的面积和.当n 越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当n 趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式.七、 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 2倍，则球的表面积扩大（ ）. 2 B.2倍 2倍 D.8倍 2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为1,V 2V ，球直径为d ，正方体的棱长为a ，则（ ）.A.12,d a V V >>B.12,d a V V ><C.12,d a V V <>D. 12,d a V V << 3. 记与正方体各个面相切的球为1O ，与各条棱相切的球为2O ，过正方体各顶点的球为3O 则这3个球的体积之比为（ ）.A.1:2:3 23 C.1:2233 D.1:4:94. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.5. 把一个半径为352cm 的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高应为_______cm .八、课后作业1、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )Aππ221+ B ππ441+ C ππ21+ D ππ241+ 2、已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为π6，则它的体积是( )A π559B 955C π553D 5533、若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（ ）A 2B 2.5C 5D 104、若圆锥的侧面展开图是圆心角为1200，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（ ）A 3：2B 2：1C 4：3D 5：35、如图，在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点， 且PB 1＝41A 1B 1，则多面体P-BCC 1B 1 的体积为（ ）A38 B 316 C 4 D 16 6、两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A 1：2：3B 1：7：19C 3：4：5D 1：9：277. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R 的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.8. 半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少?CABDP A 1B 1C 1D 1。
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§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、学习目标
1. 了解柱、锥、台的表面积和体积计算公式；
2．能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
二、考纲要求：了解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式。
三、学法指导：预习教材P23~ P26，找出疑惑之处，填写自主学习部分。
四、自主学习
引入：1.研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？
2.初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式V Sh
=（S为底面面积，h为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？
※探索新知
探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？
结论：正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.
新知1：棱柱,棱锥,棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积. 试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？
探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？
你能推导它们表面积的计算公式吗？
新知2：（1）设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即2
222()
S r rl r r l
πππ
=+=+.
正四棱锥
正四棱台
正六棱柱
（2）设圆锥的底面半径为r r ，母线长为l ，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底
面积（圆形），即2()S r rl r r l πππ=+=+.
试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇
形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？
新知3：设圆台的上、下底面半径分别为 r ，r ′，母线长为 l ，则它的表面积等上、下底面
的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即 2222()()S r r r l rl r r r l rl ππππ''''=+++=+++.
反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？ 五、 典型例题
例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S ABC -，求它的表面积
.
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm ,盆底直径为15cm ,底部渗水圆孔直径为1.5cm ,盆壁长15cm .为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14,结果精确到1毫升
)?
新知3：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理) 柱体体积公式为：V Sh =，（S 为底面积，h 为高）
锥体体积公式为：1
3V Sh =，（S S 为底面积，h 为高）
台体体积公式为：1
()3
V S S S S h ''=++ （S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高）
补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、
下底面之间的距离.
反思. 比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？
例 3. 如图(1)所示，三棱锥的顶点为P ，,,PA PB PC 是它的三条侧棱,且,,PA PB PC 分别是面,,PBC PAC PAB 的垂线，又2PA ，3,4PB PC ==，求三棱锥P ABC -的体积V .
变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥B A BC '''-的体积.
小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会
图(1)
P
C
B A 图B '
C '
D 'A '
D C
B A
学习)，它会给我们的计算带来方便.
例4。
高12
cm 的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为2252cm π,体积为32800cm ，求截得它的圆锥的体积.
变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的正六棱锥的体积.
※ 动手试试
练1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a ，求它的表面积.
练2. 在△ABC 中,3
2,,1202
AB BC ABC ==∠=°,若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，求所形
成的旋转体的体积.
练3. 直三棱柱高为6cm ,底面三角形的边长分别为3,4,5cm cm cm ，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值. 六、 学习小结
1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式；
2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法. ※ 知识拓展
1.当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的条件，想办法求出各个面的面积，最后相加.
2. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；
3. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.
七、 当堂检测 （时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（ ）.
A.43
B.34
C.42
D.16
2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）.
A.122ππ+
B.144ππ+
C.12ππ+
D.142ππ
+
3. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.
4. 圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（ ）.
A.6倍
B.9倍
C.12倍
D.16倍
5. 一个斜棱柱的的体积是303cm ，和它等底等高的棱锥的体积为________. 八、课后作业
C
B A
1. 一个正四棱台的两底面边长分别为m ,n ()m n >,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（ ）.
A.mn m n +
B.mn m n -
C.m n mn +
D.m n mn
- 2. 各棱长均为a 的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（ ）.
A.6a
B.3a
C.3a
D.2a
3. 若圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.
4. 已知圆台两底面的半径分别为,a b ()a b >,则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.
5. 圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的圆心角为θ，求证：360r
l
θ=⋅（度）.
6. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为123,,h h h ，则1h ﹕2h ﹕3h =?
7. 如图，在长方体中，AB b =，BC c =，1CC a =，且a b c >>，求沿着长方体表面A 到1
C 的最短路线长.
8. 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是37.8/g cm )六角螺帽共重10kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14).
B '
C '
D '
A '
D
C
B
A。