2011徐汇区数学二模答案
2011年数学二模答案
解：（1）画图正确；……………………………………………………………………2分
（2）画图正确；……………………………………………………………………4分
（3）（－2，3）．……………………………………………………………………6分
20．（本题7分）
解：表格填写正确；……………………………………………………………………2分
∵k＝－1，W随x的增大而减小，
∴当x＝48时，即A型住房建48套，B型住房建32套获得利润最大．…5分
（3）由题意知W＝5x＋（6－a）(80－x)＝(a－1)x＋480－80a．………………6分
∴当0＜a＜l时，x＝48，W最大，即A型住房建48套，B型住房建32套．
………………………………………………………………………………7分
解得：48≤x≤50．………………………………………………………2分
∵x取非负整数，∴x为48，49，50．
∴有三种建房方案：
方案①
方案②
方案③
A型
48套
49套
50套
B型
32套
31套
30套
………………………………………………………………3分
（2）设该公司建房获得利润W(万元)．
由题意知W＝5x＋6(80－x)＝480－x，………………………………………4分
13．2414.4(30＋x)＝6(30－x)15.(－2，1)或(2，－1)16.①③④
三、解答题（本大题共12小题，共计88分）
17．（本题6分）
解：
由②得y＝6－x代入①得2x－3(6－x)＝2，解得x＝4．……………………3分
代入②得y＝2．…………………………………………………………………5分
2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学 习 能 力 诊 断 卷 文科试卷参考答案及评分标准（2012.4）一． 填空题：1．1- 2．3π3．220x y +-= 4. ()3,4 5．17.64 6．1- 78． 10 9． 10．3411．581213．8 14．9二．选择题： 15．C 16．D 17．A 18．D三．解答题:19．解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得BbA a sin sin =将32,35,6π===B b a 代入上式得，32sin35sin 6π=A…………………2分解得53sin =A ；………………………………………………4分 （2）ABC ∆中，π=++CB A ,且B 为钝角，所以54cos =A …………………6分 54cos )cos(-=-=+A C B ……………………………………………8分257sin 212cos 2=-=A A ……………………………………………10分 所以2513257542cos )cos(-=+-=++A C B …………………………………12分20．解： （1）设1AA h =，则111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=--------------------2’1110222210323hh h ∴⨯⋅-⨯⨯⨯⨯==，解得：3h =-----------------------6’（2）13=2232232222S ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅表24=---------------------------10’主视图与俯视图各得2分.21．解： （1）2222()(42log )log 2(log 1)2h x x x x =-⋅=--+…………………2分因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2x ∈，…………………4分 故函数()h x 的值域为[]0,2…………………6分（2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅令2log t x =，因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2t x =∈所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[]0,2t ∈恒成立…………………8分 ① 当0t =时，k R ∈；…………………9分② 当(]0,2t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-…………………11分因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号…………………12分所以9415t t+-的最小值为3-…………………13分综上，(),3k ∈-∞-…………………14分22．解：（1）设2,F M的坐标分别为0)y -------------------1分因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22M F b =------------2分在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b =------------3分由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -=-------------------4分 （2）由条件可知：两条渐近线分别为120;0l y l y -=+=-------------------5分 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ，则点Q到两条渐近线的距离分别为12d d ==-------------------7分所以22001223x y d d -⋅==-------------------8分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -=-------------------9分 故2200122233x y d d -⋅==-------------------10分 （3）解一：因为00(,)P x y 为圆O ：222x y +=上任意一点，设00,x y αα所以切线l的方程为：cos sin x y αα+=分代入双曲线C ：22222(cos sin )x y x y αα-==+两边除以2x ，得222(1sin )()2sin cos ()cos 20y y xxαααα+++-=-------------------13分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212,y y x x 是上述方程的两个根 由韦达定理知：212212cos 21sin 1y y x x αα-==-+，即12120x x y y +=-------------------15分所以12120OA OB x x y y ⋅=+=-------------------16分解二：设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=-------------------12分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=----------------------13分 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 所以222200001212222222000000(24)8242()0(2)22y x x y O A O B x x y y y x y x y x +--+⋅=+=-+==--------------15分 ②当00y =时，易知上述结论也成立。
2011年考研数学二真题及答案解析
x2 f x x2 f 0 2 f x3 2 f 0
lim x0
x3
f x f 0 f x3 f 0
lim x0
x
2
x3
f 0 2 f 0 f 0．
故答案选(B)． (3)【答案】(C)．
1
1
2
1 O
1
x
x2 y2 1 1
图１
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ，f (x,1) 0 ， f (x, y)dxdy a ，
D
其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 I xy fxy (x, y)dxdy ．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为 0 x 时， 0 sin x cos x 1 cot x ， 4
又因 ln x 是单调递增的函数，所以 ln sin x ln cos x ln cot x ．
故正确答案为(B)． (7)【答案】 (D)．
【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故
xyd ．
D
(14) 二次型 f (x1, x2, x3) x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ，则 f 的正惯性指数
为
．
三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定位置上．解答应写出文
．
xy x1
y 1
(18) (本题满分 10 分)
数学(二)试题 第 2 页 (共 13 页)
设函数 y(x) 具有二阶导数，且曲线 l : y y(x) 与直线 y x 相切于原点，记 为曲线 l
上海市徐汇区初三数学二模考试(含答案)
上海市徐汇区初三数学二模考试(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2013-2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷（二模）九年级数学学科 2014.4（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1. 本试卷含三个大题，共25题；2. 答题时，考生务必按答题要求作答在答题纸规定位置，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列运算正确的是（ ▲ ）（A ）236a a a ⋅=； （B ）623a a a ÷=； （C ）236()a a =； （D ）624a a a -=． 2. 一次函数21y x =+的图像不经过的象限是（ ▲ ）（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限． 3. 如图，AF 是∠BAC 的平分线，EF ∥AC 交AB 于点E ． 若∠1=25°，则BAF ∠的度数为（ ▲ ） （A ）15°； （B ）50°； （C ）25°； （D ）12.5°4. 在ABC △中，∠A 、∠B 都是锐角，且1sin cos 2A B ==，那么ABC △的形状是（ ▲ ）. （A ）钝角三角形； （B ）直角三角形； （C ）锐角三角形； （D ）无法确定．5. “大衣哥”朱之文是从“我是大明星” 这个舞台走出来的民间艺人。
受此影响，卖豆腐的老张也来参加节目的海选，当天共有15位选手参加决逐争取8个晋级名额。
已知他们的分数互不相同，老张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列15名选手成绩统计量中的（ ▲ ）（A ） 众数； （B ） 方差； （C ） 中位数； （D ）平均数． 6. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，联结BC ，若∠A=36°，则∠C 等于（ ▲ ）（A ）36°； （B ）54°； （C ）60°； （D ）27°．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 函数1y x =+的定义域是 ▲ ．8. 分解因式：2ab ab -= ▲ ．9. 如果反比例函数的图像经过点（1，－2），那么这个函数的解析式是 ▲ ．AOBC10. 2014年政府报告中安排财政赤字约为13500亿元，13500亿用科学记数法表示为 ▲ 亿．11. 不等式组320622x x ->⎧⎨-≥⎩的解集是 ▲ ．12. 若关于x 的方程2430ax x -+=有两个相等的实数根，则常数a 的值是 ▲ ． 13. 掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数的概率是 ▲ ．14. 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，设AB a =，AC b =，则 BD = ▲ ．15. 解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务，若设原计划每小时清除公路冰雪x 米，则可列出方程16. 如图，ABC △中，AC 、BC 上的中线交于点O ，且BE ⊥AD ．若5BD =，4BO =，则 AO 的长为 ▲ ．17. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为223y x x =--，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为 ▲ .18．如图，已知ABC △中，90B ∠=︒，3BC =，4AB =，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将ADE △沿DE 翻折得到'A DE △，若'A EC △是直角三角形，则AD 长为 ▲ . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分） 计算： 020141182(22014)(1)22()2-÷+---+-+-.20. （本题满分10分）先化简，再求值：21111x x x x ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，其中3x =．21.（本题满分10分）BACD 如图，在△ABC 中，AB =AC =10，sin C =35，点D 是BC 上一点，且DC =AC ．（1） 求BD 的长； （2） 求tan ∠BAD ．22. （本题满分10分）春季流感爆发，某校为了解全体学生患流感情况，随机抽取部分班级对患流感人数的进行调查，发现被抽查各班级患流感人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名这六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：（1） 抽查了 ▲ 个班级，并将该条形统计图补充完整；（2） 扇形图中患流感人数为4名所在扇形的圆心角的度数为 ▲ ； （3） 若该校有45个班级，请估计该校此次患流感的人数． 23. （本题满分12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，BC=2AD ，点 E 是BC 的中点、F 是CD 上的点，联结AE 、EF 、AC ．（1） 求证：AO OF OC OE ⋅=⋅；（2） 若点F 是DC 的中点，联结BD 交AE 于点G ， 求证：四边形EFDG 是菱形．24. （本题满分12分）如图，直线44y x =+与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠过点B 、C ，且与x 轴另一个交点为A ，以OC 、OA 为边作矩形OADC ，CD 交抛物线于点G ．（1）求抛物线的解析式以及点A 的坐标；（2）已知直线x m =交OA 于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线（CD 上方部分）于点P ，请用含m 的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，联结PC ，若△PCF 和△AEM 相似，求m 的值．2班2名1名1234566名20%5名4名1名2名3名各种患流感人数情况的班级数 占抽查班级总数的百分比分布图54432人数班级个数6名5名4名3名2名1名123456抽查班级患流感人数条形统计图抽查班级患流感人数条形图25. （本题满分14分）如图，已知∠MON两边分别为OM、ON，sin∠O=35且OA=5，点D为线段OA上的动点(不与O重合)，以A为圆心、AD为半径作⊙A，设OD=x．（1）若⊙A交∠O 的边OM于B、C两点，BC y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′．①若⊙A′与直线OA相切，求x的值；②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．图1 备用图2013-2014学年第二学期徐汇区初三年级数学学科BCA D HE 学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．D ； 3．C ； 4．B ； 5．C ； 6．D ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7． 1x ≥-； 8．()1ab b -； 9．2y x=-； 10．41.3510⨯； 11．223x -<≤； 12．43a =；13．13；14．1122a b →→-； 15．150015002420x x -=+； 16．6； 17．33+； 18．78或258．三、（本大题共7题，满分78分）19．解：原式＝211222+-+-- …………………………………………………（7分）＝22- ………………………………………………………（3分）20．原式=2211(1)11x x x xx x -++-÷-+……………………………………………………（2分）=22211x x x x +∙- ………………………………………………………（2分） =221(1)(1)x x x x x +∙+-=11x - ……………………………………………（3分）将3x =代入11x -，11311231x +==-- ……………………………………（3分） 21．解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则BH=CH =12BC ………………………（2分） 在Rt △ACD 中，sin C =35AH AC =， ∵AC =10，∴AH=6， ………………………………（2分） ∴22221068HC BH AC AH ==-=-= ………………………………（1分）∴BD =BC －CD =6．……………………………………………………………………（1分） （2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ， …………………………………………… （1分） Rt △BED 中，sin B =ED BD 35=，BD = 6，∴185DE = ……………………………（1分）∴22245BE BD DE =-=,∴265AE = …………………………………（1分） ∴tan ∠BAD =ED AE 913=………………………………………………………（1分） 22. 解：（1）20个班级；条形统计图中，缺少的部分对应纵轴值为2；…………… （4分）（2）︒=⨯︒72204360； ………………………………………………………（2分） （3）45(122233445564)18020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．…………… （1分）23．（1）证明：∵点E 是BC 的中点，∴BC =2EC= 2BE ．又∵BC =2AD ，∴EC=AD ． ………………………………（1分）//AD EC ，∴四边形AECD 为平行四边形．……………………（1分）∴//AE CD ， ………………………………………………………（1分）∴AO OEOC OF=即AO OF OC OE ∙=∙．………………………………（1分） （2）证明：∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴//EF BD 且12EF BD =．………………………………………………（1分）又//AE CD ，∴四边形EFDG 为平行四边形．………………… ……（1分）∵AD 平行且等于BE ，∴ 四边形ABED 是平行四边形．………… ……（1分） 又∵∠ABE =90°，∴ 四边形ABED 是矩形．…………………………………（1分） ∴ BD=AE 且12EG AE =12BD =…………………………………………（2分） ∴EG EF =，∴四边形EFDG 是菱形……………………………………（2分）24. 解：（1）直线44y x =+与x 轴、y 轴交于B （－1，0）、C （0，4），……………（1分）∵抛物线22y ax ax c =-+（a ≠ 0）经过点B （－1，0）、C （0，4），∴204a a c c ++=⎧⎨=⎩，解得434a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为248433y x x =-++．……（1分）∵抛物线22y ax ax c =-+的对称轴为直线1x =，∴A （3，0）．……………………（1分） （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b （k ≠ 0）．∵A （3，0）、点C （0，4）．F CD AO B∴304k b b +=⎧⎨=⎩，解得434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为443y x =-+．…………（1分）∵点M 在AC 上，点P 在抛物线248433y x x =-++上，且点M 的横坐标为m ， ∴M （m ，443m -+）、P （m ，248433m m -++），∴ PM=PE －ME =2443m m -+．……………………………………………………（2分）（3）由题意PG= PE －EF= 24833m m -+， CG=m ………………………………（1分）∵//ME CO ，∴所以∆AOC ∽∆AEM ．∵∆PCF 和∆AEM 相似，∴∆PCF 和∆AOC 相似 ……………………………（1分）①若∆PFC ∽∆AOC ，则PCF ACO ∠=∠，有3tan tan 4PG PCG ACO CG ∠==∠=，即2483334m m m ⎛⎫-+÷= ⎪⎝⎭；解得2316m =．（2分） ②若∆PFC ∽∆ACO ，则PCF AOC ∠=∠， 有3tan tan 4CG CPG ACO PG ∠==∠=，即2484333m m m ⎛⎫-+÷= ⎪⎝⎭，解得1m =．………………………………………（2分） 综上所述，当∆PCF 和∆AEM 相似时，2316m =或1m =25.（1）解：作AF OB ⊥，垂足为点F ． ……（1分） 在Rt AOF ∆中，3sin 5AFO OA∠==， 因为OA ＝5，∴3AF =， …………… （1分） ∴2222534OF OA AF =-=-=O D x=，∴5AB AD x ==-，……（1分） ∴2222(5)3BF AB AF x =-=--21016x x =-+……（1分）,A B A C A FBC =⊥， ∴2122016y BF x x ==-+(02)x <<． …… （2分）。
2011年上海徐汇区高三年级数学(文科)二模试卷
2010学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2011.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数()41xf x =-的反函数1()fx -= 。
2、设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{2}A B ⋂=，则A B ⋃= 。
3、函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间为(,1)()n n n Z +∈，则n = 。
4、在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a = 。
5、若复数z 同时满足112,011z z i z iz ==（i 为虚数单位），则复数z = 。
6、系数矩阵为1221⎛⎫ ⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是 。
7、在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C2sin c A =，则角C 的大小为 。
8、已知直线l经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为 。
9、从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 。
（结果用数值表示）10、在一个水平放置的底面半径为3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R cm ，则R =________cm ．11、若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则双曲线的标准方程为 。
12、在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点。
定义11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-。
已知(1,0)B ，点M 为直线20x y -+=上的动点，则(,)d B M 的最小值为 。
沪教版(五四制)九年级数学下徐汇初三二模(含答案)
2011学年第二学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷 2012．4（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列实数中，无理数是( ) ．A ．9；B ．38；C ．2π；D ．3030030003.3．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是( ) ．A ．正六边形；B ．正五边形；C ．等腰梯形；D ．等边三角形．3．如果32=-b a ，那么b a 426+-的值是( ) ．A ． 3；B ． 2；C ． 1；D ． 0．4．下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是( ) ．A ．瓮中捉鳖；B ．守株待兔；C ．旭日东升；D ．夕阳西下．5．某商店在一周内卖出某种品牌球鞋的尺寸（单位：码）整理后的数据如下：36，38，38， 39，40，40， 41，41，41，41，42，43，44．那么这组数据的中位数和众数分别为( ) ．A ．40，40；B ．41，40；C ．40，41；D ．41，41．6．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是( ) ．A ．对角线互相平分；B ．对角线互相垂直；C ．对角线互相平分且垂直；D ．对角线互相平分且相等．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算：=⋅223a a ．8．求值：=︒⋅︒60tan 30sin ．9．函数63+=x y 的定义域是 ．10．如果方程032=+-m x x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 ．11．如果将抛物线32-=x y 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．12．纳米是一个长度单位，1纳米＝0.000 000 001米，如果把水分子看成是球形，它的直径约为0.4纳米， 用科学记数法表示为n104⨯米，那么n 的值是 ．13．如图，一斜坡AB 的坡比4:1=i ，如果坡高2=AC 米，那么它的水平宽度BC 的长是 米．14．一次函数)0(≠+=k b kx y 中两个变量y x 、的部分对应值如下表所示：x … -2 -1 0 1 2 … y…852-1-4…那么关于x 的不等式1-≥+b kx 的解集是 ．15．点G 是△ABC 的重心，如果a AB =，b AC =，那么向量BG 用向量a 和b 表示为 ．16．为了了解全区近6000名初三学生数学学习状况，随机抽取600名学生的测试成绩作为样本，将他们 的成绩整理后分组情况如下：（每组数据含最低值，不含最高值）根据上表信息，由此样本请你估计全区此次测试成绩在70～80分的人数大约是 ．17．如图，矩形ABCD 中，4,2==BC AB ，点B A 、分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点C 在第一象 限，如果︒=∠30OAB ，那么点C 的坐标是 ．18．如图，在菱形ABCD 中，3=AB ，︒=∠60A ,点E 在射线CB 上，1=BE ，如果AE 与射线DB 相交于点O ，那么=DO ．分组（分） 40～50 50～60 60～70 70～8080～9090～100频数 12 18 180 频率0.160.04三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）化简：2122622--++÷----m mm m m m m m ．20．（本题满分10分）如图4，在AOB ∆中，点)0,1(-A ，点B 在y 轴正半轴上，且OA OB 2=． （1）求点B 的坐标； （3分）（2）将AOB ∆绕原点O 顺时针旋转︒90，点B 落在x 轴正半轴的点B '处，抛物线22++=bx ax y 经过点B A '、两点，求此抛物线的解析式及对称轴．（7分） 21．（本题满分10分）如图5，AC 和BD 相交于点O ，B D ∠=∠，CD AB 2=．（1）如果COD ∆的周长是9，求AOB ∆的周长； （4分） （2）联结AD ，如果AOB ∆的面积是16，求ACD ∆的面积． （6分） 22．（本题满分10分）为迎接“五一”国际劳动节，某公司机床车间举行“车工技能竞赛”活动，竞赛规则：先车好240个零件 的选手获胜．小李为了这次比赛刻苦训练、积极准备，在比赛中，小李每小时比原来多车10个零件，结果比原来提前2小时完成任务，荣获第一名．问小李比赛中每小时车多少个零件？ 23．（本题满分12分）如图6，在四边形ABCD 中，CD AD =，AC 平分DAB ∠，BC AC ⊥，︒=∠60B ． （1）求证：四边形ABCD 是等腰梯形； （6分） （2）取边AB 的中点E ，联结DE ．求证：四边形DEBC 是菱形． （6分）24．（本题满分12分）函数x k y =和x k y -=)0(≠k 的图像关于y 轴对称，我们把函数x k y =和xky -=)0(≠k 叫做互为 “镜子”函数．类似地，如果函数)(x f y =和)(x h y =的图像关于y 轴对称，那么我们就把函数)(x f y =和)(x h y =叫做互为“镜子”函数．（1）请写出函数43-=x y 的“镜子”函数： ，（3分） （2）函数 的“镜子”函数是322+-=x x y ； （3分） （3）如图7，一条直线与一对“镜子”函数x y 2=（x ＞0）和xy 2-=（x ＜0）的图像分别交于点 C B A 、、，如果2:1:=AB CB ，点C 在函数xy 2-=（x ＜0）的“镜子”函数上的对应点的横坐标是21，求点B 的坐标． （6分）25．（本题满分14分）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ， 点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（4分） （2）如图2，在（1）的条件下，当OMP ∆是等腰三角形时，求OA 的长； （5分）（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设y NB =，x OA =，求y 关于x 的函数关系式及定义域．（5分）．xy2011学年第二学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．D ； 6．D ．二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．36a ；8．23； 9．2-≥x ； 10．49； 11．2)2(+=x y （442++=x x y ）； 12．10-； 13．8； 14．1≤x ；15．a b3231-；16．2700； 17．)2,321(+； 18．49或29．三、解答题：（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14 分，满分78分） 19． 解：原式＝221)1)(2()2)(3(--++⋅+-+-m mm m m m m m （6分） ＝223----m mm m （2分） ＝23--m （2分）20．解：（1）∵)0,1(-A ，∴1=OA （1分）∵OA OB 2=，∴2=OB （1分）∴)2,0(B ． （1分）解：（2）由题意，得)0,2(B '， （1分）∴ ⎩⎨⎧=++=+-022402b a b a ，解得，⎩⎨⎧=-=11b a （3分）∴22++-=x x y ． （1分） 对称轴为直线21=x ． （2分） 21．解：（1）∵B D ∠=∠，BOA DOC ∠=∠；∴COD ∆∽AOB ∆， （1分）∴212===∆∆CD CD AB CD C C AOB COD （2分）∵9=∆COD C ，∴18=∆AOB C ． （1分）解：（2）∵COD ∆∽AOB ∆，∴2==CD AB CO AO ，41)(2==∆∆AB CD S S AOB COD ． （2分） ∵16=∆AOB S ，】∴4=∆COD S （1分） 设ADC ∆中边AC 上的高为h ．∴22121==⋅⋅=∆∆CO AO h CO hAO S S CODADO ，∴8=∆AO D S ． （2分） ∴12=+=∆∆∆AO D CO D AD C S S S ． （1分）22．解：设小李比赛中每小时车x 个零件，则小李原来每小时车)10(-x 个零件． （1分）由题意，得224010240=--x x ； （4分） 化简，得01200102=--x x ； （2分） 解得，401=x ，302-=x ； （2分）经检验401=x ，302-=x 都是原方程的根，但302-=x 不合题意，舍去 （1分） 答： 小李比赛中每小时车40个零件．23． 证明：（1）∵CD AD =，∴DAC DCA ∠=∠∵AC 平分DAB ∠， ∴CAB DAC ∠=∠ ∴CAB DCA ∠=∠ ，∴DC ∥AB （2分） 在ACB Rt ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠60B ∴︒=∠30CAB ,∴︒=∠30DAC （1分） ∴B DAB ∠=︒=︒+︒=∠603030， ∴BC AD = ………………（1分）∵︒≠︒=︒+︒=∠+∠1801206060DAB B∴AD 与BC 不平行， （1分）∴四边形ABCD 是等腰梯形． （1分）证明：（2）∵CD AD =，AD BC =，∴CD BC = （1分）在ACB Rt ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠30CAB∴BE AB BC ==21, （1分） ∴BE CD =，∵DC ∥AB （2分） ∴四边形DEBC 是平行四边形 （1分） ∵CD BC =∴四边形DEBC 是菱形． （1分）24．解：（1）43--=x y ； （3分） （2）322++=x x y ； （3分） （3）分别过点A B C 、、作A A B B C C '''、、垂直于x 轴，垂足分别为A B C '''、、．设点)2,(m m B 、)2,(nn A ，其中m ＞0，n ＞0． （1分） 由题意，得点)4,21(-C ． （1分）∴4='C C ,m B B 2='，n A A 2='，m n B A -=''，21+=''m C B ．易知 C C '∥B B '∥A A ', 又2:1:=AB CB所以，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-)24(3222)21(2n n m m m n ， （2分）化简，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-3431113n m m n ，解得 6101±=m （负值舍去） （1分） ∴341042-=m ， ∴)34104,6101(-+B （1分）25． 解：（1）在R t △ABC 中，︒=∠90ACB ，∵53sin ==AB AC B ，6=AC ∴10=AB ，86102222=-=-=AC AB BC （1分）过点M 作AB MD ⊥，垂足为D ． （1分） 在MDB Rt ∆中，︒=∠90MDB ，∴53sin ==MB MD B ， ∵2=MB ， ∴56253=⨯=MD ＞1 （1分） ∴⊙M 与直线AB 相离． （1分）解：（2）分三种情况：︒1 ∵56=MD ＞MP =1， ∴OM ＞MP ； （1分）︒2 当MP OP =时，易得︒=∠90MOB ，∴108cos ===AB BC BM OB B ， ∴58=OB ，∴542=OA ； （2分）︒3 当OP OM =时，过点O 作BC OE ⊥，垂足为E ．∴108cos ===AB BC OB EB B ， ∴815=OB ，∴865=OA ． （2分）综合︒︒︒321、、，当OMP ∆是等腰三角形时，OA 的长为542或865．解：（3）联结ON ，过点N 作AB NF ⊥，垂足为F ．在NFB Rt ∆中，︒=∠90NFB ，53sin =B ，y NB =；∴y NF 53=，y BF 54=；∴y x OF 5410--=， （1分）∵⊙N 和⊙O 外切，∴y x ON +=； （1分） 在NFB Rt ∆中，︒=∠90NFB ， ∴222NF OF ON +=；即222)53()5410()(y y x y x +--=+； ∴4050250+-=x xy ； （2分）定义域为：0＜x ＜5． （1分）初中数学试卷灿若寒星 制作。
2011学年第二学期高三数学区期末统测试卷理科答案
即 AB 2 OM 成立 ②当切线 l 的斜率不存在时， A( 2, 2), B ( 2, 2)或A( 2, 2), B ( 2, 2) 此时 AB 2 2, OM
2 ，即 AB 2 OM 成立-------------------10 分
（3）由条件可知：两条渐近线分别为 l1 : 2 x y 0; l2 : 2 x y 0 -------------------11 分 设双曲线 C 上的点 P ( x0 , y0 ) ，
因为平面 CDE 平面 CD1O ，所以 m n 0 ，得 2 -------------------14 分
5 17 16 5 17 x 8 1 5 17 x 21．解： （1） x 2 2 x 2 --------2 分 2 2 0 x 2 0 x 2 4 x 1 2 x 3 -------------4 分 2 x 4
若 b1 b2 b3 bn0 ，则 a b1 a b2 a b3 a bn0 即对数列 bn 中的任意一项 bi (1 i n0 )
a bi b1 (n0 i )d bn0 1i bn -------------------6 分
12． 9 15．A
13．
81 2
17．C
14． 0, a b 18．D
2
2
16．B
19．解： （1）由正弦定理
c a sin C a 2a 2 5 -------------------4 分 ,得 c sin C sin A sin A
（2）由余弦定理，得 cos A
上海中考二模徐汇数学（含答案）
2011学年第二学期徐汇区初三年级数学教改先锋学习能力诊断卷 2012．4 （时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列实数中，无理数是（A ）；（B ）；（C ）；（D ）．9382π3030030003.32．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（A ）正六边形； （B ）正五边形； （C ）等腰梯形； （D ）等边三角形．3．如果，那么的值是32=-b a b a 426+-（A ） ；（B ） 2；（C ） 1；（D ） 0．34．下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（A ）瓮中捉鳖； （B ）守株待兔； （C ）旭日东升； （D ）夕阳西下．5．某商店在一周内卖出某种品牌球鞋的尺寸（单位：码）整理后的数据如下：36，38，38， 39，40，40，41，41，41，41，42，43，44．那么这组数据的中位数和众数分别为（A ）40，40；（B ）41，40；（C ）40，41； （D ）41，41．6．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（A ）对角线互相平分；（B ）对角线互相垂直；（C ）对角线互相平分且垂直；（D ）对角线互相平分且相等．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算： ▲ ． =⋅223a a 8．求值：▲．=︒⋅︒60tan 30sin 9．函数的定义域是 ▲ ．63+=x y 10．如果方程有两个相等的实数根，那么m 的值是▲．032=+-m x x 11．如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物32-=x y 线表达式是▲．12．纳米是一个长度单位，1纳米＝0.000 000 001米，如果把水分子看成是球形，它的直径约为0.4纳米，用科学记数法表示为米，那么的值是 ▲．n104⨯n13．如图1，一斜坡的坡比，如果坡高米，那么它的水平宽度的长AB 4:1=i 2=AC BC 是 ▲ 米．14．一次函数中两个变量的部分对应值如下表所示：)0(≠+=k b kx y y x 、x …-2-1012…y…852-1-4…那么关于的不等式的解集是 ▲．x 1-≥+b kx 15．点是△ABC 的重心，如果，，那么向量用向量和表示G a AB =b AC =BG a b 为▲．16．为了了解全区近6000名初三学生数学学习状况，随机抽取600名学生的测试成绩作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：（每组数据含最低值，不含最高值）根据上表信息，由此样本请你估计全区此次测试成绩在70～80分的人数大约是 ▲ ．17．如图2，矩形中，，点分别在轴、轴的正半轴上，ABCD 4,2==BC AB B A 、y x 点在第一象限，如果，那么点的坐标是▲．C ︒=∠30OAB C 18．如图3，在菱形中，，,点在射线上，，如果ABCD 3=AB ︒=∠60A E CB 1=BE 与射线相交于点，那么 ▲ ．AE DB O =DO 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）化简：．2122622--++÷----m mm m m m m m 分组（分）40～5050～6060～7070～8080～9090～100频数1218180频率0.160.04A CB图1A20．（本题满分10分）如图4，在中，点，点在轴正半轴上，且．AOB ∆)0,1(-A B y OA OB 2=（1）求点的坐标； （3分）B （2）将绕原点顺时针旋转，点落在轴正半轴的点处，抛物线AOB ∆O ︒90B x B '经过点两点，求此抛物线的解析式及对称轴．（7分）22++=bx ax y B A '、21．（本题满分10分）如图5，和相交于点，，．AC BD O B D ∠=∠CD AB 2=（1）如果的周长是9，求的周长； （4分）COD ∆AOB ∆（2）联结，如果的面积是16，求的面积． （6分）AD AOB ∆ACD ∆22．（本题满分10分）为迎接“五一”国际劳动节，某公司机床车间举行“车工技能竞赛”活动，竞赛规则：先车好240个零件的选手获胜．小李为了这次比赛刻苦训练、积极准备，在比赛中，小李每小时比原来多车10个零件，结果比原来提前2小时完成任务，荣获第一名．问小李比赛中每小时车多少个零件？23．（本题满分12分）如图6，在四边形中，，平分，，．ABCD CD AD =AC DAB ∠BC AC ⊥︒=∠60B （1）求证：四边形是等腰梯形； （6分）ABCD （2）取边的中点，联结．求证：四边形是菱形． （6分）AB E DE DEBCA BCDO图524．（本题满分12分）函数和的图像关于轴对称，我们把函数和x k y =x k y -=)0(≠k y x k y =xky -=叫做互为“镜子”函数．)0(≠k 类似地，如果函数和的图像关于轴对称，那么我们就把函数)(x f y =)(x h y =y 和叫做互为“镜子”函数．)(x f y =)(x h y =（1）请写出函数的“镜子”函数： ，（3分）43-=x y （2）函数的“镜子”函数是； （3分）322+-=x x y （3）如图7，一条直线与一对“镜子”函数（＞）和（＜）的图像x y 2=x 0xy 2-=x 0分别交于点，如果，点在函数（＜）的“镜C B A 、、2:1:=AB CB C xy 2-=x 0子”函数上的对应点的横坐标是，求点的坐标． 21B 25．（本题满分14分）在中，，，ABC Rt ∆︒=∠90C 6=AC 于点，点是边上的动点．CB P O AB （1）如图8，将⊙绕点旋转得到⊙，请判断⊙与直线的位置关系；B P ︒180M M AB （4分）（2）如图9，在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的长； （5分）OMP ∆OA （3）如图10，点是边上的动点，如果以为半径的⊙和以为半径的N BC NB N OA ⊙外切，设，，求关于的函数关系式及定义域．（5O y NB =x OA =y x 分）．BOACP图9BOACP图8图10ONBAC2011学年第二学期徐汇区初三年级数学教改先锋学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．D ； 6．D ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．； 8．； 9．； 10．； 11．（）； 36a 232-≥x 492)2(+=x y 442++=x x y 12．；10-13．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．或81≤x a b 3231-2700)2,321(+49．29三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19. 解：原式＝……………………………（6分）221)1)(2()2)(3(--++⋅+-+-m mm m m m m m ＝………………………………………………（2分）223----m mm m ＝ ………………………………………………………（2分）23--m 20．解：（1）∵，∴……………………………………………（1分）)0,1(-A 1=OA ∵，∴ ………………………………………（1分）OA OB 2=2=OB ∴．…………………………………………………………（1分）)2,0(B （2）由题意，得，………………………………………………（1分）)0,2(B '∴ ，解得， …………………………（3分）⎩⎨⎧=++=+-022402b a b a ⎩⎨⎧=-=11b a ∴．………………………………………………（1分）22++-=x x y 对称轴为直线．………………………………………………（2分）21=x 21．解：（1） ∵，；B D ∠=∠BOA DOC ∠=∠∴∽，……………………………………………（1分）COD ∆AOB ∆∴…………………………………（2分）212===∆∆CD CD AB CD C C AOB COD ∵，∴．…………………………………（1分）9=∆COD C 18=∆AOB C （2）∵∽，COD ∆AOB ∆∴，．………………………（2分）2==CDABCO AO 41(2==∆∆AB CD S S AOB COD ∵，∴ ………………………………………（1分）16=∆AOB S 4=∆COD S 设中边上的高为．ADC ∆AC h ∴，∴． ………………（2分）22121==⋅⋅=∆∆CO AOh CO hAO S S CODADO8=∆AOD S ∴．……………………………………（1分）12=+=∆∆∆AOD COD ADC S S S 22．解： 设小李比赛中每小时车个零件，则小李原来每小时车个零件．（1分）x )10(-x 由题意，得；………………………………………（4分）224010240=--x x 化简，得 ； ……………………………………（2分）01200102=--x x 解得， ，； ……………………………………（2分）401=x 302-=x 经检验，都是原方程的根，但不合题意，舍去（1分）401=x 302-=x 302-=x 答： 小李比赛中每小时车个零件．4023．证明：（1）∵，∴CD AD =DAC DCA ∠=∠∵平分，∴AC DAB ∠CABDAC ∠=∠∴ ，∴∥…………………………………（2分）CAB DCA ∠=∠DC AB 在中，，ACB Rt ∆︒=∠90ACB ︒=∠60B ∴,∴ …………………………………（1分）︒=∠30CAB ︒=∠30DAC ∴，∴ ………………（1分）B DAB ∠=︒=︒+︒=∠603030BC AD =∵︒≠︒=︒+︒=∠+∠1801206060DAB B ∴与不平行， ………………………………………………（1分）AD BC ∴四边形是等腰梯形． ………………………………………（1分）ABCD （2）∵，，∴ …………………………（1分）CD AD =AD BC =CD BC =在中，，ACB Rt ∆︒=∠90ACB ︒=∠30CAB ∴, …………………………………………………（1分）BE AB BC ==21∴，∵∥……………………………………………（2分）BE CD =DC AB ∴四边形是平行四边形…………………………………………（1分）DEBC ∵CDBC =∴四边形是菱形．………………………………………………（1分）DEBC 24．解：（1）；………………………………………………………………（3分）43--=x y （2）；…………………………………………………………（3分）322++=x x y （3）分别过点作垂直于轴，垂足分别为A B C 、、A A B B C C '''、、x ．A B C '''、、设点、，其中＞，＞． ………………………（1分）)2,(m m B )2,(nn A m 0n 0由题意，得 点．……………………………………………………（1分）)4,21(-C ∴,，，，．4='C C m B B 2='n A A 2='m n B A -=''21+=''m C B 易知 ∥∥, 又C C 'B B 'A A '2:1:=AB CB 所以，可得 ，…………………………………………（2分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-24(3222)21(2n n m m m n 化简，得 ，解得 （负值舍去）……………（1分）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-3431113n m m n 6101±=m ∴， ∴…………………………（1分）341042-=m )34104,6101(-+B 25．解：（1）在R t △ABC 中，，∵，︒=∠90ACB 53sin ==AB AC B 6=AC ∴， ………………（1分）10=AB 86102222=-=-=AC AB BC 过点作，垂足为．……………………………………（1分）M AB MD ⊥D 在中，，∴， MDB Rt ∆︒=∠90MDB 53sin ==MB MD B ∵，∴＞……………………………………（1分）2=MB 56253=⨯=MD 1∴⊙与直线相离．…………………………………………………（1分）M AB （2）分三种情况：∵＞，∴＞；……………………………（1分）︒156=MD MP =1OM MP 当时，易得，︒2MP OP =︒=∠90MOB ∴，∴，∴；………（2分）108cos ===AB BC BM OB B 58=OB 542=OA当时，过点作，垂足为．︒3OP OM =O BC OE ⊥E∴，∴，∴．………（2分） 108cos ===AB BC OB EB B 815=OB 865=OA 综合，当是等腰三角形时，的长为或． ︒︒︒321、、OMP ∆OA 542865（3）联结，过点作，垂足为．ON N AB NF ⊥F 在中，，，；NFB Rt ∆︒=∠90NFB 53sin =B y NB =∴，；∴，…………………（1分）y NF 53=y BF 54=y x OF 5410--=∵⊙和⊙外切，∴；…………………………………（1分）N O y x ON +=在中，，∴；NFB Rt ∆︒=∠90NFB 222NF OF ON +=即；222)53()5410()(y y x y x +--=+∴；…………………………………………………………（2分）4050250+-=x xy 定义域为：＜＜．……………:………………………………………（1分）0x 5。
上海市徐汇区中考数学二模试卷(含解析)
中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项 是正确的】1.如果数轴上表示 2和-4的两点分别是点 A 和点B ,那么点A 和点B 之间的距离是（ ）A .— 2 B. 2 C.— 6 D. 6.2 .已知点M （1- 2m m- 1）在第四象限内，那么 m 的取值范围是（ ）A . m> 1B .— C.m< 1 D .或 m> 1如图所示的条形统计图，根据图中相关信息，这次调查获取的样本数据的众数和中位数分别是（）人数A . 12 和 10B . 30 和 50 C. 10 和 12 D. 50 和 30.6 .如图，在△ ABC 中，AC=BC 点 D E 分别是边 AB AC 的中点，延长 DE 到F ,使得EF=DE 那么 四边形ADCF 是（）A .等腰梯形B .直角梯形C .矩形D .菱形那么/ ABE 的大小是（A . x= - 3 5. 某校开展 y=ax+b ( 0)经过点 A (- 3,B . x= - 1 C. x=0 D. x=2“阅读季”活动，小明调查了班级里0）和点B （0, 2），那么关于 x 的方程ax+b=0的解40名同学计划购书的花费情况，并将结果绘制成已知直线 4. / C=36 ,、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48 分）7 •人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077m, 0.0000077用科学记数法表示为 ______&方程」：上的解是_•9 .如果反比例函数丫=（k z 0）的图象经过点P （- 1, 4）,那么k的范围是K ------10 .如果关于x的方程X2+3X - k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是.11. 将抛物线y=x2- 2X+1向上平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是_ .12. 在实数! , n , 3°, tan60 ° , 2中，随机抽取一个数，抽得的数大于2的概率是13. 甲，乙，丙，丁四名跳高运动员赛前几次选拔赛成绩如表所示，根据表中的信息，如果要从中,选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，那么应选甲乙丙丁平均数（cm）185180185180方差 3.6 3.67.98.214. __________________________________________________________ 如果t是方程X2-2X-仁0的根，那么代数式2t2-4t的值是 ____________________________________________ .15. 如图，四边形DEFG^A ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB, AC上，点E、F在边BC上,AH=15那么矩形DEFG勺周长是AE丄CD 垂足为E，AF丄BC,垂足为F，AD=4 BF=3, / EAF=60，设"=一，如果向量匚L=k - （k丰0），那么k的值是317.如图，在△ ABC中，AD平分/ BAC交边BC于点D, BD=AD AB=3 AC=2,那么AD的长是318.如图，在△ ABC中，/ ACB=a (90°v aV 180°)，将△ ABC绕着点A逆时针旋转2 3 (0°<3 < 90°)后得△ AED其中点E、D分别和点B C对应，联结CD如果CDLED,请写出一个关于a与3的等量关系的式子_______ .三、(本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24每题12分；第25题14分；满分78分),-3自X 时3 」19.先化简，再求值：一十.--厂：(其中a= )3十日\-2y=320.解方程组：「4,-12 耳y+g/二I©21•某足球特色学校在商场购买甲、乙两种品牌的足球•已知乙种足球比甲种足球每只贵20元，该校分别花费2000元、1400元购买甲、乙两种足球，这样购得甲种足球的数量是购得乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球的单价各是多少元？22 .如图，已知梯形ABCD中, ADBC, AC BD相交于点O, AB丄AC,AD=CD AB=3, BC=5.求:(1) tan / ACD的值;23.如图1，在Rt△ ABC中，/ ACB=90，点D是边AB的中点，点E在边BC上, AE=BE点M是AE的中点，联结CM,点G在线段CM上，作/ GDN M AEB交边BC于N.(1)如图2,当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形;(2) 如图1,当点G和点M C不重合时，求证：DG=DN24 .如图，已知抛物线y=ax2+4 (a^ 0)与x轴交于点A和点B (2, 0),与y轴交于点C,点D是抛物线在第一象限的点.(2)梯形ABCD勺面积.C图2(1)当厶ABD的面积为4时，①求点D的坐标；②联结0D点M是抛物线上的点，且/ MDO W BOD求点M的坐标；(2)直线BD AD分别与y轴交于点E、F,那么OE+OF勺值是否变化，请说明理由.25.如图，已知△ ABC中，AB=AC=5 BC=6点O是边BC上的动点，以点O为圆心，OB为半径作圆O,交AB边于点D,过点D作/ ODP2 B,交边AC于点P,交圆O与点E.设OB=x(1)当点P与点C重合时，求PD的长；(2)设AP- EP=y,求y关于x的解析式及定义域；(3)联结OP当OP丄OD时，试判断以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆O的位置关系.参考答案与试题解析一、选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1.如果数轴上表示2和-4的两点分别是点A和点B,那么点A和点B之间的距离是( )A.- 2B. 2C.- 6D. 6.【考点】13:数轴.【分析】本题可以米用两种方法：( 1)在数轴上直接数出表示- 4和表示2的两点之间的距离.(2)用较大的数减去较小的数.【解答】解：根据较大的数减去较小的数得： 2 -( - 4) =6, 故选D.【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上两点间的距离的计算方法是解题的关键.2 .已知点M( 1 - 2m m- 1)在第四象限内，那么 m 的取值范围是( )1 1 —A . m> 1B .— C. =v m< 1 D .或 m> 1【考点】CB:解一元一次不等式组； D1:点的坐标. 【分析】根据坐标系内点的横纵坐标符号特点列出关于m 的不等式组求解可得.[l-2m>0 ①【解答】解：根据题意，可得：：….解不等式①，得：m < 解不等式②，得：m < 1, 1•••* ， 故选：B.【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大; 同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.【考点】JA :平行线的性质；IJ :角平分线的定义. 1【分析】先根据平行线的性质，得出/ ABC=36，再根据 BE 平分/ ABC 即可得出/ ABE 冃/ ABC【解答】解：••• AB// CD / C=36 ,•••/ ABC=36 ,/ C=36，那么/ ABE 的大小是(又••• BE平分/ ABC•••/ ABE=： / ABC=18 ,故选：A.【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等.4 .已知直线y=ax+b( 0)经过点A (- 3, 0)和点B (0, 2)，那么关于x的方程ax+b=O的解是( )A. x= - 3B. x= - 1C. x=0D. x=2【考点】FC: —次函数与一元一次方程.【分析】直线y=ax+b与x轴交点的横坐标的值即为关于x的方程ax+b=0的解.【解答】解：T直线y=ax+b (0)经过点A (- 3, 0),•关于x的方程ax+b=0的解是x= - 3.故选A.【点评】本题本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系.任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 (a, b为常数，a丰0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.5.某校开展“阅读季”活动，小明调查了班级里40名同学计划购书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，根据图中相关信息，这次调查获取的样本数据的众数和中位数分别是( ) 人数A. 12 和10B. 30 和50C. 10 和12D. 50 和30.【考点】VC:条形统计图；W4中位数；W5众数.【分析】众数就是出现次数最多的数，据此即可判断，中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断. 【解答】解：这组数据中30元出现次数最多，故众数是：30元;40个数据中位数是第20个数据50元与第21个数据50元的平均数，故中位数是：50元. 故选B.【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.6 .如图，在△ ABC中，AC=BC点D E分别是边AB AC的中点，延长DE到F,使得EF=DE那么四边形ADCF^( )A.等腰梯形B •直角梯形C •矩形D.菱形【考点】LI :直角梯形；L9:菱形的判定；LC:矩形的判定.【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可.【解答】解：••• E是AC中点，••• AE=EC•/ DE=EF•四边形ADCF是平行四边形，•/ AD=DB AE=EC1•DE=-BC,•DF=BC•/ CA=CB•AC=DF•四边形ADCF是矩形；故选：C.【点评】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键.、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48 分)7•人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077m , 0.0000077用科学记数法表示为7.7 X 10【考点】1J :科学记数法一表示较小的数.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a x 10「n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决疋.【解答】解：0.0000077=7.7 X 10—6,故答案为：7.7 X 10「.【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a x 10「n,其中1 w|a| v 10, n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.&方程t工_龙=w £的解是X[=2, x?=— 1 .【考点】AG无理方程.【分析】将方程两边平方整理得到关于x的一元二次方程，然后求解即可.【解答】解：方程两边平方得，x2—x=2 ,整理得，x2—x—2=0,解得X1=2, X2=—1,经检验，X1=2, X2=- 1都是原方程的根，所以，方程的解是X1=2, X2=—1 .故答案为：X1=2, X2= —1.【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握.k9 .如果反比例函数y=：( k z 0)的图象经过点P (—1, 4),那么k的范围是 -4【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征.k【分析】直接把点P (—1, 4 )代入反比例函数y=—( k工0)，求出k的值即可.k【解答】解：•••反比例函数y=：( k z0)的图象经过点P (—1, 4),k4= _，解得k=—4.故答案为：-4.【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.、2910. 如果关于x的方程x+3x - k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k>^ —.--------- 4—【考点】AA根的判别式.【专题】11 :计算题.2【分析】禾U用判别式的意义得到△=3 - 4 (- k)> 0,然后解不等式即可.【解答】解：根据题意得厶=32- 4 (- k )> 0,9解得k>- ,| .故答案为k >-.【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0 (0)的根与△ =b2- 4ac有如下关系：当厶>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当厶=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根.11. 将抛物线y=x2- 2x+1向上平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是(1, 2).【考点】H6:二次函数图象与几何变换.【分析】根据配方法先化为顶点式，再根据上加下减左加右减的原则得出解析式，最后确定顶点坐标即可.【解答】解：y=x2-2x+仁(x - 1) 2,平移后的解析式为y= (x - 1) 2+2,•••顶点的坐标为(1 , 2),故答案为(1, 2).【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握用配方法把一般式化为顶点式以及顶点坐标的求法是解题的关键.VE 212. 在实数，n , 3°, tan60 ° , 2中，随机抽取一个数，抽得的数大于2的概率是_「一.【考点】X4:概率公式.【分析】先找出大于2的数，再根据概率公式即可得出答案.【解答】解：在实数 \ n , 3°, tan60 ° ,2中，大于2的数有厂，n ,2则抽得的数大于2的概率是| ;2故答案为：| .5【点评】本题考查了概率的知识•用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.13•甲，乙，丙，丁四名跳高运动员赛前几次选拔赛成绩如表所示，根据表中的信息，如果要从中, 选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，那么应选甲.【考点】W7方差；W2加权平均数.【分析】先确定平均数较大的运动员，再选出方差较小的运动员.【解答】解：因为甲的平均数较大，且甲的方差较小，比较稳定，所以选择甲参加比赛.故答案为：甲.【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量•方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好14•如果t是方程x2- 2x-仁0的根，那么代数式2t2-4t的值是2.【考点】A3: —元二次方程的解.【专题】11 :计算题.【分析】根据一元二次方程的解的定义得到t2-2t -仁0,则t2-2t=1，然后利用整体代入的方法计算代数式2t2- 4t的值.【解答】解：当x=t时，t2- 2t - 1=0，则t2- 2t=1 ,所以2t2- 4t=2 (t2- 2t ) =2.故答案为2.【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.15. 如图，四边形DEFG^A ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB, AC上，点E、F在边BC上,【考点】S9:相似三角形的判定与性质；LB:矩形的性质.【分析】根据相似三角形的判定和性质结论得到结论.【解答】解：••• DGII BC AHL BC ••• AHL DG △AD3A ABCDG 二AH-DE 2DE 二15-DE口，即」| -，•DE=6•DG=2DE=12•矩形DEFG的周长=2X( 6+12) =36.故答案为：36.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.16. 如图，在平行四边形ABCD中, AE L CD垂足为E, AF L BC,垂足为F , AD=4 BF=3, / EAF=60设「= •，如果向量：：=k (k工0),那么k的值是 -【考点】LM *平面向量；L5 :平行四边形的性质.【分析】根据AE L CD AF L BC及/ EAF=60可得/ C=120，由平行四边形得出/ B=Z D=60、// CD且AB=CD利用三角函数求得DE=2 AB=6, CE=4最后可得狂冷肛=—彳Dl= 一彳AB.【解答】解：••• AE L CD AF L BC• / AEC=Z AFC=90 ,•••/ EAF=60 ,• / C=360 —Z AEC-Z AFC=120 ,BC=20 AH=15那么矩形DEFG的周长是36AB•••四边形ABCD是平行四边形，•••/ B=Z D=60 ,1 BF 3_• DE=ADcosD=4 _=2, AB=---：T=」.=6,T则CE=CD- DE=AB- DE=6- 2=4,•/ AB// CD 且AB=CD•瓦_2饭__ 2瓦__2忑__ 2；=「=-=;=;，2故答案为：-【点评】本题主要考查四边形内角和、平行四边形的性质、三角函数的应用及平面向量的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.17. 如图，在厶ABC中，AD平分/ BAC交边BC于点D, BD=AD AB=3, AC=2那么AD的长是【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出三角形相似的条件.18. 如图，在△ ABC中，/ ACB=a (90°v aV 180°)，将△ ABC绕着点A逆时针旋转2 3 (0°<3 < 90°)后得△ AED其中点E、D分别和点B C对应，联结CD如果CDLED,请写出一个关于a与3的等量关系的式子 a + 3 =180°【考点】R2:旋转的性质；K7:三角形内角和定理；KH等腰三角形的性质.【分析】先过A作AF丄CD根据旋转的性质，得出/ ADE=/ ACB=a , AC=AD / CAD=3，再根据等腰三角形的性质，即可得到Rt △ ADF中，/ DAF+Z ADF=3 +a - 90° =90°,据此可得a与3的等曰.¥ W 量关糸.S9:相似三角形的判定与性质.【分析】根据题意得到△ ACD^A BCA然后根据题目中的数据即可求得AD的长.【解答】解：•••在△ ABC中，AD平分/ BAC交边BC于点D, BD=AD•••/ BAD=Z CAD / BAD=/ ABD•••/ ABC=Z CAD又•••/ ACD=/ BCA• △AC3A BCAAD _ AC 二CD•/ BD=AD AB=3, AC=2AD_ 2 _CD~~BD+CD ~ 2 ?解得,3V10AD=，CD「—【考故答案为:【解答】解：如图，过A作AF丄CD由旋转可得，Z ADE=Z ACB=a ,•/ CDL DE,•••Z ADC=a - 90°,由旋转可得，AC=AD Z CAD=2p ,•Z DAF=3 ,•Rt△ ADF中，Z DAF+Z ADF=90，即3 +a - 90° =90°,• a + 3 =180°.故答案为：a + 3 =180°.B【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据等腰三角形三线合一的性质进行计算.三、(本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24每题12分；第25题14分；满分78 分)【点评】本题考查的是分式的化简求值，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再 把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即 可求出代数式的值.鼻吃尸320 •解方程组：［q/TNy+g/二 IE ， 【考点】AF ：高次方程.【分析】由②得出(2x -3y ) 2=16,求出2x -3y= ±4，把原方程组转化成两个二元一次方程组，求 出方程组的解即可.(x-2y=3®【解答】解：一，--1 i ■■ ■ -j r,二 由②得：(2x - 3y ) 2=16, 2x - 3y= ± 4,解得:即原方程组的解为:【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键.19•先化简，再求值:-3 a 3i —3 西土3, 1 2 ,—十 - a+1 (其中 a=、他T ) a J丄【考点】6D:分式的化简求值.【分析】先算除法，再算减法，最后把 a 的值代入进行计算即可.a -3 (a+1) (a _l )3 (a+1)【解答】解：原式=「 」 --- 已一 3 a+1=(a - 1)- 3 =a - 1 - 3 =a - 4 • 当a 八.时，原式4= I 3.即原方程组化为1x-2y=3和2s-3y=4J x-2y=3 I 2x-3y=-421 •某足球特色学校在商场购买甲、乙两种品牌的足球•已知乙种足球比甲种足球每只贵 校分别花费2000元、1400元购买甲、乙两种足球，这样购得甲种足球的数量是购得乙种足球数量 的2倍，求甲、乙两种足球的单价各是多少元？ 【考点】B7:分式方程的应用. 【分析】设购买一个甲品牌的足球需 x 元，则购买一个乙品牌的足球需（ x+20）元，根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可.【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需要 x 元,解得，x=50, 经检验，x=50是原分式方程的解， 所以 x+20=70 （元），答：购买一个甲种足球需 50元，一个乙种足球需 70元.【点评】本题考查分式方程的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程.22 .如图，已知梯形 ABCD 中, ADBC, AC BD 相交于点 O, AB 丄 AC,AD=CD AB=3, BC=5.求:(1) tan / ACD 的值； (2) 梯形ABCD 勺面积.C【考点】LH:梯形；T7:解直角三角形.【分析】（1）作DE// AB 交BC 于E ,交AC 于 M 证出DEL AC,由等腰三角形的性质得出AM=CM 证明四边形ABED 是平行四边形，得出DE=AB=3在Rt △ ABC 中，由勾股定理求出 AC=4,得出AM=CM=213 DM 3由平行线分线段成比例定理得出DM=EM= DE 十，即可求出tan / ACD^.=,;（2）梯形ABCD 勺面积=△ ABC 的面积+△ ACD 的面积，即可得出答案. 【解答】解：（1 ）作DE / AB 交BC 于E ,交AC 于M 如图所示： •/ AB 丄 AC, DE// AB, ••• DEL AC, •/ AD=CD20元，该 2000 =1400x x+20 X 2,••• AM=CM•/ AD// BC, DE// AB,•四边形ABED是平行四边形，• DE=AB=3在Rt △ ABC中, AC= 1 2 1 L「= =4,• AM=CM=2•/ AD// BC,• DM EM=AM CM=1 1 , • DM=EM= DE=.：,DM 3_• tan / ACD="=三=；2(2)梯形ABCD的面积=△ ABC的面积+△ ACD的面积=-X 3X 4+,：X 4X - =9.【点评】本题考查了梯形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、梯形和三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度.23.如图1，在Rt△ ABC中，/ ACB=90，点D是边AB的中点，点E在边BC上, AE=BE点M是AE的中点，联结CM点G在线段CM上，作/ GDN M AEB交边BC于N.【分析】（1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME=MD卩可证明.（2）如图1中，取BE的中点F,连接DM DF.只要证明厶DM QA DFN即可.1如图2,当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形;2如图1,当点G和点M C不重合时，求证：DG=DN【考点】LA:菱形的判定与性质.C图2【解答】证明：（1）如图2中,•/ AM=ME AD=DB••• DIM/ BE,•••/ GDN社DNE=180 ,•••/ GDN2 AEB•••/ AEB+Z DNE=180 ,• AE// DN•四边形DMEN H平行四边形,11•/ DM= BE,EM=：AE, AE=BE• DM=EM•四边形DMEN H菱形.（2）如图1中，取BE的中点F,连接DM DF.由（1）可知四边形EMDF是菱形,•Z AEB=Z MDF DM=DF•Z GDN Z AEB•Z MDF Z GDN•Z MDG Z FDNvZ DFN=Z AEB=/ MCE Z GMD Z EMD-Z CME、在Rt△ ACE中，T AM=ME••• CM=M,•••/ MCE2 CEM M EMD•••/ DMG M DFN•△ DMG^ DFN•DG=DN【点评】本题考查菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.24 .如图，已知抛物线y=ax2+4 (0)与x轴交于点A和点B (2, 0),与y轴交于点C,点D是抛物线在第一象限的点.(1)当厶ABD的面积为4时，①求点D的坐标；②联结OD点M是抛物线上的点，且/ MDO M BOD求点M的坐标；(2)直线BD AD分别与y轴交于点E、F,那么OE+OF勺值是否变化，请说明理由.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)先确定出抛物线解析式，①设出点D坐标，用三角形ABD的面积建立方程即可得出点D坐标；②分点M在OD上方，禾I」用内错角相等，两直线平行，即可得出点M的纵坐标，即可得出M的坐标, 带你M在OD下方时，求出直线DG的解析式，和抛物线解析式联立求出直线和抛物线的交点即可判断不存在；(2)设出点D的坐标，利用平行线分线段成比例定理表示出OE OF求和即可得出结论.【解答】解：(1 )•••抛物线y=ax2+4 (0)与x轴交于点A和点B (2，0)，• A (- 2，0)，4a+4=0，/• a=— 1, AB=4,•••抛物线的解析式为 y=- X 3+4, ① 设 D ( m — m+4), •••△ ABD 的面积为4, 1 24= x 4 (— m+4) • m=± ,•••点D 在第一象限， • m=, • Dr _, 2),② 如图1，点M 在OD 上方时， •••/ MDO M BOD • DIM/ AB, • M(— ，7, 2)，当M 在OD 下方时, 设DM 交X 轴于G,设G (n , 0), • OG=n•••D(「，2),•DG = -rbU•••/ MDO M BOD • OG=DG •一 (i)•直线DG 的解析式为y= — 2 ' X +6①, •••抛物线的解析式为 y=- X 2+4②，联立①②得，x=「，y=2，此时交点刚好是 D 点, 所以在OD 下方不存在点M3 OE+OF 勺值不发生变化,…n=3^2 3^2~T 0),理由：如图2,过点D作DH L AB于H,••• OF// DH.OF OA•r :-■，设 D (b , - b2+4),• AH=b+2 DH=- b2+4 , •/ OA=2.OF 二2…：-i 」i-i ，• OF= ： "「b+2同理：OE=2(2+b),• OE+OF=2(2 - b) +2 (2+b) =8.【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，解（1）的关键是求出抛物线解析式，难点是分情况求出点M的坐标，解（2）的关键是作出辅助线.25.如图，已知△ ABC中，AB=AC=5 BC=6点O是边BC上的动点，以点O为圆心，OB为半径作圆O,交AB边于点D,过点D作/ ODP2 B,交边AC于点P,交圆O与点E.设OB=x（1）当点P与点C重合时，求PD的长；=2(2-b)，(2) 设AP- EP=y,求y关于x的解析式及定义域；(3) 联结0P当0P丄0D时，试判断以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆0的位置关系.图I•/ AB=AC=5 AH丄BC, ••• BH=CH=3 AH=4,1 1•/ - ?BC?AH= ?AB?CG24 -CG 『• CG= ：, AG= ' =「，3--cos / B= I ,7cos /BAC=L：-,如图2中，当点P与C重合时,【考点】MR圆的综合题.【分析】(1)如图1中，首先求出cos/B, cos / A,如图2中，当点P与C重合时，只要证明PA=PD 即可;(2)如图2中，作CGL AB于G OH丄BD于H.分两种情形①当丄丄w x<625」土命亠一「625■:时，如图4中.②当<X V :时,如图5中，作PGL AB于G.(3)如图6PC 3中，连接OP•根据cos / C=cos Z 話，列出方程，求出两圆的半径，圆心距即可判断.【解答】解：(1)如图1中，作AH丄BC于H, CGL AB于G•••/ B=Z ODB M ACB•••/ ADO=/ B+Z BOD=/ CDO y ADR / ODP M B, •••/ ADP=Z BOD Z BAC• PA=PD=5(2)如图2中，作CGL AB于G OH L BD于H.14•/ AD=2AG= -,6•/ BD=2BH=2OB?coS B=-x ,6 14x+ =5,11• x=,G•/ OB=OD根据对称性可知，B、E 关于直线0D 对称, DB=DE=AE= x ,5当点D 与A 重合时；-x=5 ,25…x=625 234 6••• y 「x ，解得x=6257 256时，如图4中,■/ y=PA- PE=PD- PE=DE=BD=x ,625 25当…：v X V .，时，如图5中，作PGLAB于G.PC 3_• • cos / C=cos / B= = i ,25••• AP=AO cos / A=-- y=AP- EP= . (5 6 6 25 6 x )-[Y - ： (5 - x )]=192125''x+ .，综上所述, J普峠%严) 黔W 务)2346(3)如图6中，连接0P.35 * 75 “ 25 ••• x「”，PA”，0P「，25 35 75---- <r+■ < , •••以点P为圆心，PC为半径的圆P与圆0的位置关系是相交.【点评】本题考查圆综合题、锐角三角函数、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找特殊点解决问题，学会构建方程的解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.。
2011年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11 宝山 24” ，拖动点 B 在 y 轴正半轴上运动，观察 b 随 c 变化 的跟踪图像，可以体验到， b＋c 等于定值 1；在运动过程中，△AOB 保持等腰直角三角形， 四边形 OABC 保持平行四边形．双击按钮“点 C 落在抛物线上” ，可以看到，此时点 B 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，△BPM 是等腰直角三角形．
例
2011 年上海市宝山区中考模拟第 25 题
图4 由 y x2
图5
图6
1 1 1 1 1 1 1 x (2 x 1)( x 1) ，知 A( , 0) ， B(0, ) ， C ( , ) ． 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ； x ，得 Q（－1，－1 ） 2 2
如图 4，当 AQ//BC 时，根据对称性，易知点 Q 的坐标为（1， 0） ； 如图 5，当 CQ//AB 时，设 Q（x，x） ，解方程 x x 2
目录
华东师大出版社荣誉出品 《挑战中考数学压轴题》系列产品·5
例
且 OA＝OB．
2011 年上海市宝山区中考模拟第 24 题
如图 1，已知抛物线 y＝－x ＋ bx＋c 与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 B ， （1）求 b＋c 的值； （2）若点 C 在抛物线上，且四边形 OABC 是平行四边形，试求抛物线的解析式； （3）在（2 ）的条件下，作∠OBC 的角平分线，与抛物线交于点 P，求点 P 的坐标．
2 2
1 ． 2
华东师大出版社荣誉出品 《挑战中考数学压轴题》系列产品·5
此时抛物线的解析式为 y x 2
1 1 x ． 2 2
（3）过点 P 作 PM⊥y 轴，垂足为 M． 因为 BP 平分∠ CBO，所以△BPM 是等腰直角三角形． 设点 P 的坐标为 ( x， x2 由 BM＝PM，列方程 解得 x
2011二模数学答案
2011年中考数学模拟试题答案及评分参考一、选择题（共8个小题,每小题3分,共24分）二、填空题（共10个小题, 每小题3分, 共30分） 9、2110、70 11、()()n m n m 222-+ 12、2-或113、35 14．6 15．5 16．6- 17．x <1 18．（）三、解答题（共10题，共96分） 19．（本题满分8分）计算：31860tan )1(12-+︒---．解：原式＝22 …………………………………………6分 4 …………………………………………………8分 20．（本题满分8分）解：原式=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷-x x x x x 112 …………………………………2分 =()()111-+⋅-x x xx x …………………………………4分 =11+x …………………………………6分 当x =3－1时，原式=1131+- ………………………7分=33…………………………8分 21．（本题满分8分）解：（1）这个班有369121848++++=(人)参加了本次数学调研考试；…………………2分 （2）60.5～70.5分数段的频数为12，频率为1210.25484==； ……………………5分（3）提出问题合理，解答正确即可． …………8分 （如：本次调查数据的中位数落在第几组内；分数在60分以下的人数所占的比例等．）22．（1（2）该班同学这天不会被淋雨的概率是43． ……………8分 23．（本题满分10分）解：设原计划有x 人参加植树活动． ………………………………1分 根据题意，得180180250%x x x-=+． ………………………………6分 解这个分式方程，得 30x =． …………………………………8分 经检验：30x =是原方程的解，且符合题意． ……………………9分 ∴ 50%300.53045x x +=+⨯=．答：实际参加这次植树活动的人数为45人． ……………………10分 24．（本题满分10分）解：（1）由已知设交点()A m ，-4， ………1分则22434m k k m-=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩ …………………3分 解得：11m k =-⎧⎨=⎩ ………………………5分 经检验：11m k =-⎧⎨=⎩ 是所列方程组的解， 122y x =-∴，24y x = …………………6分（2）由方程组224x yy x-=⎧⎪⎨=⎪⎩得22240x x --=， ∴11x =-，22x = ……………………………………………8分 由图象可知，当1x <-或02x <<时12y y <．…………………10分25．（本题满分10分）（1）∵△ABC 与△EDC 是等边三角形，∴∠ACB =∠DCE =60°，AC=BC ，DC=EC ．……3分又∵∠BCD=∠ACB －∠ACD ，∠ACE=∠DCE －∠ACD ， ∴∠BCD=∠ACE ．…………………………………5分HFEFBH ∴△ACE ≌△BCD ．…………………………………6分 （2）∵ACE ≌△BCD ，∴∠ABC =∠CAE =60°，……………………………7分 又∵∠ACB =60°，∴∠CAE =∠ACB ， …………………………………8分 ∴ AE ∥BC ． …………………………………10分26．(本题满分10分)解：（1）证明：连结BO 并延长交⊙O 于H ，连结HC ，……1分则A H ∠=∠HB ∵是直径，∴︒=∠90HCB ∴︒=∠+∠90CBH H . 又A CBF =∵∠∠∴90CBF CBH ∠+∠=︒∴EF HB ⊥. ……………………………………………3分 又OB ∵是半径，∴EF 是⊙O 的切线． …………………4分 （2）解：在Rt △HCB 中，2=BC ，30H A ∠=∠=︒， ∴4=HB ，2=OB ． ∵260BOM A ∠=∠=︒， ∴×BM OB =︒= tan607分OBM OBC S S S =-△扇形216022360OB BM π⨯=-12223π=⨯⨯23π=．………………………………………………10分 ∴由弧BC 、线段BM 和CM 所围成的图形的面积为23π．27．(本题满分12分)解：（1）A ∵、B 两点关于1x =对称，且(10)A -，，∴B 点坐标为(30)，，………………………………………………1分根据题意得：09303a b ca b c c =++⎧⎪=-+⎨⎪-=⎩解得123a b c ==-=-，，．∴抛物线的解析式为223y x x =--． …………………………5分（2）存在一个点P ，使PAC △的周长最小． ………………6分A 点关于1x =对称点B 的坐标为(30)，，设直线BC 的解析式为y kx b =+∴303k b b +=⎧⎨=-⎩∴1k =，3b =-，即BC 的解析式为3y x =-． ………………10分当1x =时，2y =-，∴P 点坐标为(12)-，．……………………………………………12分28．(本题满分12分)（1）2AB = ． ········································································································· 2分 （2）S 梯形ABCD =12 ． ·································································································· 4分 （3）当平移距离BE 大于等于4时，直角梯形ABCD 被直线l 扫过的面积恒为12．······················································································································ 6分（4）当42<<t 时，如下图所示，直角梯形ABCD 被直线l 扫过的面积S =S 直角梯形ABCD －S Rt △DOF 2112(4)2(4)842t t t t =--⨯-=-+-． ······················································· 8分（5）①当20<<t 时，有4:(124)1:3t t -=，解得34t =． ····································································· 10分 ②当42<<t 时，有:3)]48(12[:)48(22=-+---+-t t t t 即28130t t -+=，解得341-=t ，342-=t （舍去）． 答：当23=t 或34-=t 时，直线l 将直角梯形ABCD 分成的两部分面积之比为1: 3． ······································································································ 12分。
数学_2011年上海市徐汇区、金山区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)
2011年上海市徐汇区、金山区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 函数f(x)=4x −1的反函数f −1(x)=________．2. 设集合A ={5, log 2(a +3)}，集合B ={a, b}．若A ∩B ={2}，则A ∪B =________．3. 函数f(x)=lnx −2x 的零点所在的区间为(n, n +1)(n ∈Z)，则n =________．4. 在(x −a)10的展开式中，x 7的系数是15，则实数a =________．5. 若复数z 同时满足|z 1z¯1|=2i ，|z ¯1iz 1|=0（i 为虚数单位），则复数z =________． 6. 写出系数矩阵为[1221]，且解为[x y ]=[11]的一个线性方程组是________． 7. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且√3a =2csinA ，则角C 的大小为________．8. 已知直线l 经过点(−√5，0)且方向向量为(2, −1)，则原点O 到直线l 的距离为________．9. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为________．（结果用数值表示）10. 在一个水平放置的底面半径为√3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，则R =________cm ．11. 若双曲线的渐近线方程为y =±3x ，它的一个焦点与抛物线y 2=4√10x 的焦点重合，则双曲线的标准方程为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)两点之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|．已知B(1, 1)，点M 为直线x −y +4=0上的动点，则d(B, M)的最小值为________．13. 若曲线|y|=2x +1与直线y =b 没有公共点，则实数b 的取值范围是________．14. 设不等式组{x >0y >0y ≤−nx +4n(n ∈N ∗)所表示的平面区域D n 的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为a n ，则12010(a 2+a 4+⋯+a 2010)=________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15. 已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，若点C 满足AC →=CB →，则向量OC →等于（ ）A OA →−OB → B OA →+OB →C 12(OA →−OB →)D 12(OA →+OB →) 16. 设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件17. 如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（ ）A (2)(3)(4)B (1)(2)(3)C (1)(3)(4)D (1)(2)(4)18. 已知椭圆E:x2m +y24=1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E所截弦长与l:y=kx+1被椭圆E所截得的弦长不可能相等的是（）A kx+y+k=0B kx−y−1=0C kx+y−2=0D kx+y−k=0三、解答题（共5小题，满分74分）19. 关于x的不等式|x+m 21 x|<0的解集为(−1, n)．(1)求实数m、n的值；(2)若z1=m+ni，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求tan(α−π4)的值．20. 如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120∘．（1）求三棱锥A1−APB的体积．（2）求异面直线A1B与OP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）21. 已知公比为q(0<q<1)的无穷等比数列{a n}各项的和为9，无穷等比数列{a n2}各项的和为815．（1）求数列{a n}的首项a1和公比q；（2）对给定的k(k=1, 2, 3,…,n)，设数列T（k）是首项为a k，公差为2a k−1的等差数列，求数列${T^{（2）}}的通项公式及前{10}$项的和．22. 已知函数f(x)=|x|⋅(a−x)，a∈R．（1）当a=4时，画出函数f(x)的大致图象，并写出其单调递增区间；（2）若函数f(x)在x∈[0, 2]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；（3）若不等式|x|⋅(a−x)≤6对x∈[0, 2]恒成立，求实数a的取值范围．23.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：x 24+y2=1．(1)若椭圆C2：x216+y24=1，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆C b的方程；若在椭圆C b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？(3)如图：直线y=x与两个“相似椭圆”M：x2a2+y2b2=1和Mλ：x2a2+y2b2=λ2(a>b>0,0<λ<1)分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆Mλ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）2011年上海市徐汇区、金山区高考数学二模试卷（文科）答案1. log4(x+1)2. {1, 2, 5}3. 24. −125. −1+i6. {x +2y =3，2x +y =37. π3或2π3 8. 19. 35 10. 3211. x 2−y 29=112. 413. [−1, 1]14. 301815. D16. C17. A18. C19. 解：(1)原不等式等价于(x +m)x −2<0，即x 2+mx −2<0，由题意得，{−1+n =−m ，−1×n =−2，解得m =−1，n =2．(2)z 1=−1+2i ，z 1z 2=(−cosα−2sinα)+i(2cosα−sinα)，若z 1z 2为纯虚数，则cosα+2sinα=0，即tanα=−12. 所以tan(α−π4)=tanα−tan π41+tanα⋅tan π4=−12−11−12=−3.20. 解：（1）由题意S 表=2π⋅22+2π⋅2⋅AA 1=24π，解得AA 1=4．在△AOP 中，OA =OP =2，∠AOP =120∘，所以AP =2√3在△BOP 中，OB =OP =2，∠BOP =60∘，所以BP =2V A 1−APB =13S △APB ⋅AA 1 =13⋅12⋅2√3⋅2⋅4=8√33（2）取AA 1中点Q ，连接OQ ，PQ ，则OQ // A 1B ，得∠POQ 或它的补角为异面直线A 1B 与OP 所成的角． 又AP =2√3，AQ =AO =2，得OQ =2√2，PQ =4，由余弦定理得cos∠POQ =PO 2+OQ 2−PQ 22PO⋅OQ =−√24， 得异面直线A 1B 与OP 所成的角为arccos√24． 21. 解：（1）依题意可知，{a 11−q =9a 121−q 2=815 ⇒{a 1=3q =23（2）由（1）知， 数列${T^{（2）}}的首项为{t_{1}= a_{2}= 2}，公差{d= 2a_{2}-1= 3}{T^{（2）}= 2+ (n-1)\times 3= 3n-1(n\in N^{\ast })}{S_{10}= 10\times 2+ \dfrac{1}{2}\times 10\times 9\times 3= 155}，即数列{T^{（2）}}的前{10}项之和为{155}$．22. 解：（1）a =4时，f(x)={−x 2+4x(x ≥0)x 2−4x(x <0)， f(x)的图象如图所示，所以其单调递增区间为[0, 2]．（2）x ∈[0, 2]时，f(x)=x(a −x)=−x 2+ax =−(x −a 2)2+a 24 ∴ f(x)在(−∞, a 2)上单调递增，在[a 2, +∞)上单调递减．又函数f(x)在x ∈[0, 2]上是单调递减函数，所以a 2≤0．解得a ≤0．（3）当x =0时，0≤6成立，所以a ∈R ；当0<x ≤2时，a −x ≤6x ，即a ≤x +6x ，只要a ≤(x +6x )min设g(x)=x +6x ，则g′(x)=1−6x 2，∴ g(x)在(0,√6]上递减，在[√6，+∞)上递增， ∴ 当0<x ≤2时，g(x)min =g(2)=5．所以a ≤5．综上，|x|(a −x)≤6对x ∈[0, 2]恒成立的实数a 的取值范围是(−∞, 5]．23. 解：(1)椭圆C 2与C 1相似．因为椭圆C 2的特征三角形是腰长为a =4，底边长为2c =4√3的等腰三角形， 而椭圆C 1的特征三角形是腰长为2，底边长为2√3的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2．(2)椭圆C b 的方程为：x 24b 2+y 2b 2=1(b >0)，设l MN :y =−x +t ，点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，MN 中点为(x 0, y 0)， 则{y =−x +t ，x 24b 2+y 2b 2=1， 所以5x 2−8tx +4(t 2−b 2)=0， 则x 0=x 1+x 22=4t 5，y 0=t 5．因为中点在直线y =x +1上， 所以有 t 5=4t 5+1，t =−53，即直线l MN 的方程为：l MN ：y =−x −53，由题意可知，直线l MN 与椭圆C b 有两个不同的交点， 即方程5x 2−8(−53)x +4[(−53)2−b 2]=0有两个不同的实数解， 所以Δ=(403)2−4×5×4×(259−b 2)>0，即b >√53． (3)作法：过原点作直线y =kx(k ≠1)，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ， 则△CDF 和△ABE 即为所求相似三角形，且相似比为λ．。
数学_2011年上海市高考数学模拟试卷2(理科)_(含答案)
2011年上海市高考数学模拟试卷2（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 矩阵A =[10−12]，B =[241−3]，则2A −3B =________．2. 参数方程{x =1+secαy =tanα（α为参数）化为普通方程，则这个方程是________．3. 在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB ＝CD ＝2，则四面体ABCD 的体积的最大值为________．4. 某组样本数据为2、3、−1、0、−3、4、2，试计算总体标准差的点估计值________．5. 若角α终边落在射线3x −4y =0(x ≤0)上，则tan[α+arccos(−√22)]=________．6. 如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…、P n …，记纸板P n 的面积为S n ，则limn →∞S n=________．7. 已知椭圆4x 2+y 2−8kx −4ky +8k 2−4=0（k 为参数），存在一条直线，使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于√5，求直线方程________． 8. 不等式|1x −1|≥2的解集为________． 9. 设|z 1|=5，|z 2|=2，|z 1−z 2¯|=√13，求z 1¯z 2=________．10. 已知函数f(x)=3sin (ωx −π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x +φ)+1的图像的对称轴完全相同，若x ∈[0,π2]，则f(x)的取值范围是________． 11. 对任意的a 、b 、c ∈R +，代数式a 2+b 2+c 2ab+2bc的最小值为________．12. △ABC 内接于以O 为圆心半径为1的圆，且3OA →+4OB →+5OC →=0→，则△ABC 的面积S =________．13. 函数f(x)的定义域是D ，任意的a ，b ∈D ，有f(a)+f(b)=f(a+b1+ab )，f(x)的反函数为H(x)，已知H(a)，H(b)，则H(a +b)=________．14. 如图，4×4的方阵共16个黑点中，中间的4个点在一个圆内，其余的12个点内在圆外，若从这16个点中任取3个，使之构成三角形，且至少有一个顶点在圆内的三角形共有________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15. 行列式|(12)x7x 13456321|中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f(x)，1+f(x)的零点属于区间（ ）A (23, 1) B (12, 23) C (13, 12) D (0, 13)16. 函数f(x)、g(x)都是定义在R 上的函数，若x =g[f(x)]方程有解，则函数g[f(x)]不可能是（ ）A x 2+x −15 B x 2−15 C x 2+x +15 D x 2+1517. 设abc >0，二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的图象可能是（ ）A B C D18. 有一堆形状、大小都相同的珠子，其中有一颗比其它的要轻，假设用天平三次一定能找到这颗珠子，则这堆珠子最多有几颗（ ） A 24 B 27 C 30 D 33三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（本题满分74分）19.如图，直三棱柱容器ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，其容积为10(L)，高为4(dm)，且在棱AA 1和CC 1上有D 、E 两处泄露，DA 1=3(dm)，EC 1=2(dm)，则此容器最多能盛水多少．20. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C ，的对边，且cosBcosC =−b2a+c ． （1）求角B 的大小．（2）在△ABC 中，作角B 的角平分线，交AC 于D ，求证1AB +1CB =1BD ．21. 已知函数f(x)=ax 2+bx +1（a ，b ∈R ），x ∈R ． (1)若函数f(x)的最小值是f(−1)=0，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，f(x)>x +k 在区间[−3, −1]上恒成立，试求k 的范围． 22. 已知{a k }数列是等差数列．（1）若m +n =p +q ，求证a m +a n =a p +a q ．（2）若a k =2k −1，求证a 12+a 22+...+a k 2=13k(4k 2−1)．（3）若对于给定的正整数s ，有a 12+a s+12=1，求S =a s+1+...+a 2s +a 2s+1的最大值．23. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)（1）若a =4，b =3，过点P(6, 3)的动直线l 与双曲线C 相交于不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，求证点Q 总在某定直线上．（2）在双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，过双曲线外一点P(m, n)的动直线l 与双曲线C 相交于不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，则点Q 在哪条定直线上？（3）试将该结论推广至其它圆锥曲线上，证明其中的一种情况，并猜想该直线具有的性质．2011年上海市高考数学模拟试卷2（理科）答案1. [−4−12−513]2. (x −1)2−y 2=13.4√334. √65. 17 6. π37. y =2x ±2 8. [−1, 0)∪(0, 13] 9. 2±32i 10. [−32,3] 11.2√55 12. 6513. H(a+b)=H(a)+H(b)1+H(a)⋅H(b)14. 31215. B16. C17. D18. B19. 解：由三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=π2 V ABC−A1B1C1=S△ABC⋅AA1=12⋅AC⋅BC⋅4=10，得：AC⋅BC=5V B−ADEC=1S四边形ADEC⋅BC=13⋅12(AD+CE)⋅AC⋅BC=2.5此容器最多能盛水：V ABC−A1B1C1−V B−ADEC=7.5(L)．20. 解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：cosB cosC =−sinB2sinA+sinC，整理得：2sinAcosB+sinCcosB=−sinBcosC，即2sinAcosB=−(sinBcosC+cosBsinC)=−sin(B+C)，又sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，∴ 2sinAcosB=−sinA，又sinA≠0，∴ cosB=−12，又B为三角形的内角，则B=120∘；（2）根据题意画出图形，如图所示：∵ ∠ABC=120∘，BD为角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD=60∘，又DE // AB，∴ ∠BDE=∠ABD=60∘，∴ ∠CBD=∠BDE=60∘，∴ △BDE为等边三角形，∴ BD=BE=DE，又DE // AB，∴ CEBE =CDAD，即BC−BEBE=CDAD，即BC−BDBD =CDAD，又BD为角平分线，可得BCAB =CDAD，∴ BC−BDBD =BCBD−1=BCAB，则两边同时除以BC得：BCBD ⋅1CB−1CB=BCAB⋅1CB，则1BD −1CB=1AB，即1AB+1CB=1BD．21. 解：(1)因为函数f(x)的最小值是f(−1)=0，所以a≠0．由题意有：f(−1)=a−b+1=0，同时说明f(x)的对称轴为−b2a=−1，故而a=1，b=2即f(x)=x2+2x+1．(2)由f(x)>x+k，有x2+x+1>k，问题转化为求函数g(x)=x2+x+1在x∈[−3, −1]上的最小值，又函数g(x)=x2+x+1的对称轴为x=−12，所以g(x)在[−3, −1]上为减函数，故g(x)min=g(−1)=1，所以k<1．22. 证明：（1）因为{a k}是等差数列，设其首项为a1，公差为d，所以a m+a n=a1+(m−1)d+a1+(n−1)d=2a1+(m+n−2)d．a p+a q=a1+(p−1)d+a1+(q−1)d=2a1+(p+q−2)d．因为m+n=p+q，所以2a1+(m+n−2)d=2a1+(p+q−2)d，所以a m+a n=a p+a q．（2）因为a k=2k−1，所以a k2=4k2−4k+1，所以a12+a22+...+a k2=4(12+22+...+k2)+4(1+2+3+...+k)+k=4k(k+1)(2k+1)6+4(1+k)k2+k=13k(4k2−1)．即a12+a22+...+a k2=13k(4k2−1)．（3）解：S=a s+1+a s+2+⋯+a2s+1=(s+1)(a s+1+a2s+1)2设a s+1+a2s+1=A，则A=a s+1+a2s+1+a1−a1=a s+1+2a s+1−a1=3a s+1−a1．则a s+1=A+a13，由a12+(A+a13)2=1，可得：10a12+2Aa1+A2−9=0，由△=4A2−40(A2−9)≥0，可得：−√10≤A≤√10．所以S =(s+1)(a s+1+a 2s+1)2=(s+1)A 2≤√10(s+1)2． 所以S =a s+1+...+a 2s +a 2s+1的最大值为m+12√10． 23. 解：（1）由题意得双曲线C 的方程为x 216−y 29=1．设点Q 、A 、B 的坐标分别为(x, y)，(x 1, y 1)，(x 2, y 2)． 由题设知|AP →|，|PB →|，|AQ →|，|QB →|均不为零，记λ=|AP →||PB →|=|AQ →||QB →|，则λ>0且λ≠1又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP →=−λPB →，AQ →=λQB →于是6=x 1−λx 21−λ，3=y 1−λy 21−λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ从而x 12−λ2x 221−λ2=6x①，y 12−λ2y 221−λ2=3y②，又点A 、B 在椭圆C 上，即x 1216−y 129=1③，x 2216−y 229=1④，①×9−②×16并结合③、④得9x −8y =24， 即点Q(x, y)总在定直线9x −8y =24上．（2）类似于（1）可得结论：在双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，过双曲线外一点P(m, n)的动直线l 与双曲线C 相交与不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，得出点Q 在定直线b 2mx −a 2ny =a 2b 2上； （3）该结论推广至其它椭圆上，有：在椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0, b >0)，过椭圆外一点P(m, n)的动直线l 与椭圆C 相交与不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，得出点Q 在定直线b 2mx +a 2ny =a 2b 2上； 类似于（1）得： 于是m =x 1−λx 21−λ，n =y 1−λy 21−λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ从而x 12−λ2x 221−λ2=mx①，y 12−λ2y 221−λ2=ny②，又点A 、B 在椭圆C 上，即x 12a 2+y 12b 2=1③，x 22a 2+y 22b 2=1④，①×b 2+②×a 2并结合③、④得b 2mx +a 2ny =a 2b 2， 即点Q(x, y)总在定直线b 2mx +a 2ny =a 2b 2上．。
上海市徐汇区2011届高三数学上学期期末学习能力诊断卷 文
上海市徐汇区2011届高三上学期期末质量调研（数学文）（考试时间：120分钟，满分150分） 2011.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数12log (1)y x =-的定义域为 。
2、抛物线24y x =的准线方程是 。
3、方程4220xx+-=的解是 。
4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。
5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。
6、若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第4项含3x ,则n 的值为 。
7、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。
8、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。
9、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。
（用数字作答）10、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。
11、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。
12、在数列{}n a 中，13a =，点*(1,)n n N >∈在直线0x y --=上，则2lim(1)nn a n →∞+= 。
13、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。
14、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令*a b mq np =-。
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2011年徐汇区初三年级数学评分标准和参考答案
一．选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．C ； 2．A ； 3．C ； 4．D ； 5．B ； 6．C ．
二．填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）
7．'A (2,1)； 8．2x ≥； 9．2(2)(2)a a +-； 10．2x =； 11．
14
m <； 12．22(1)1y x =-++； 13．58； 14．2x <； 15．25； 16．12； 17．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,21； 18．△DP 2P 5、△DP 2P 4、△DP 4P 5．
三．（本大题共78分）
19．解：原式
=51)1)3
-++ …………………………………7分
233
= ……………………………………………3分
（说明：对一个2分，2个4分，3个5分，4个6分，5个7分）
20．解：2(3)2(4)2(4)(4)(3)4
a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪+-++⎝⎭ ……………………………………4分 =
2(3)244
a a a a +-++ …………………………………………2分 =64
a + ……………………………………………………………2分 当45a =时，64a +=54
……………………………………………………2分
21．（1）答案略； （2）5120； (3) 1690.
22．（1） ∵正方形ABCD ，∴AD//BC ，AB//CD ，且
AB=CD=BC=AD ， …………1分
∵B M =14BC ，∴34
MC b →→=，DC AB a →→→== ………………………2分 ∴34
DM a b →→→=- ……………………………………………………1分 （2）∵AB=4，且B M =14BC ，∴MC=3，BM=1， 在Rt △DMC 中，
DM 5.=== ……………………1分
在Rt △ABM 中，
AM == ……………1分 过点A 作AE ⊥DM 于E ， …………………………………………1分
S △ADM=1122DM AE AD AB ⋅=⋅,∴165
AE =. ………………1分 在Rt △AEM 中，sin ∠
AMD 85
AE AM == …………………………………2分 23．解：（1）连接OC ． ……………………………………………1分
∵OA OC =， ∴12∠=∠ …………………………………………1分
由翻折得，13∠=∠，90F AEC ∠=∠=︒．…1分 ∴23∠=∠． …………………………………1分
∴OC ∥AF ．……………………………… ……1∴90OCG F ∠=∠=︒．…………………………1分
∵点C 在圆上 ∴直线FC 与⊙O 相切． ………………………1分 （2）解一：
在Rt △OCG 中，∵BG OB =，∴12BC OG OB ==， ………1分
∵直径AB 垂直弦CD ， ∴ CB
BD = ……………………1分 ∴CB BD = …………1分 ∵OB OC OD ==
∴OB OC OD BD ===． ………………1分 ∴四边形OCBD 是菱形． ………………………1分 解二：在Rt △OCG 中，∵BG OB =，∴12
BC OG OB ==， ……1分
∵OB OC =，∴CB CO = ………………………1分 ∵AB 垂直于弦CD ， ∴OE EB = ………………………1分 ∵直径AB 垂直弦CD ， ∴CE ED = ………………………1分 ∴四边形OCBD 是平行四边形
∵AB 垂直于弦CD ，∴四边形OCBD 是菱形． ……………………1分
24．（1）∵△ABE 与△ABC 的面积之比为3∶2．，E （2，6），
∴C （0，4），D （0，2）， …………………………………2分
设直线AD 的解析式为b kx y +=， 由题意得⎩⎨⎧=+=6
42b k b ，解得
⎩⎨⎧==2
2k b ，直线AD 的解析式为22+=x y ……1分 ∴A （1-，0）. ………………………1分
抛物线经过A 、C 、E 三点，得⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+-=641604c b a c b a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==314b a c .
所求抛物线的解析式为：432++-=x x y ． …………………………2分 （第23题）
(2)当△ABQ 与△CED 相似时，
由（1）有B （4，0），F （2
3，0） …………………………2分 ①若△ABQ ∽△AFD ，
AB AF AQ AD =，即2
15=AQ ，52=AQ ，Q （1，4）…2分
②若△ABQ ∽△ADF ，AQ AF AB AD =， 即AQ 25
55=，255=AQ ，Q （5,23）…2分
25．(1) 过点D 作BC DG ⊥于点G ．
可得8,3,,4=====BC GC AD BG AB DG ，x EG -=5；……2分
在Rt △DEG 中，
∴222DG EG DE +=，即222)5(4)(x y x -+=+ ∴x x y -+-=16)5(2(负值舍去)……………………………1分
定义域：x <0＜ 4.1≤ ………………………………1分
（2）设EF 的中点O ，联结OE ，过点O 作BC OH ⊥于点H ．
,23225===HC OH OC ，，2
38--=x EH ； ︒1⊙O 与⊙E 外切时，2
5+=x OE 在OEH Rt ∆中，222EH OH OE +=， ∴222)25()238(2+=--+x x 化简并解得 9
20=x ……2分 ︒2⊙O 与⊙D 内切时， 2
5-=x OE 在OEH Rt ∆中，222EH OH OE +=，
∴222)2
5()238(2-=--+x x ，化简并解得 5x = …………2分 综上所述，当⊙O 与⊙D 相切时，5x =或9
20． （3） 当4==AB AF 时， 由BE=EF ，AE=AE ，有△ABE 和△AEF 全等，…1分
∴ 90=∠=∠ABE AFE ，即DE AF ⊥
在AFD Rt ∆中，22AF AD DF -==34522=- …………1分 由x x y -+-=16)5(2=3，解得2=x ； ……………1分 当FB FA =时，过点F 作AB QF ⊥于点Q ，有AQ=BQ ，且AD ∥BC ∥FQ …………………………………………………………………………1分
∴EF DF =， ……………1分 x x y -+-=16)5(2=x ，3
3725±-=x （负值舍去）； ………1分 综上所述，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时时，2=x 或3
3725+-=x ．。