成人高考专升本高数试题

(满分150分。

考试时间l20分钟。

)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只
有一项是符合题目要求的．
（1）4(1)x +的展开式中2
x 的系数为
（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）20 （2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为
（A ）5 （B ）6 （C ）8 （D ）10
（3）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =，则实数m 的值为
（A ）32- （B ）3
2 （C ）2 （D ）6
（4
）函数y =
（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)
（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为
了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年
职工为7人，则样本容量为
（A ）7 （B ）15 （C ）25 （D ）35
（6）下列函数中，周期为π，且在[
,]42ππ上为减函数的是
（A ）sin(2)2y x π=+ （B ）cos(2)2y x π=+ （C ）sin()2y x π
=+ （D ）cos()2y x π
=+
（7）设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩
则32z x y =-的最大值为
（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6
（8）若直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为
（A
）(2 （B
）[22-+
（C ）(,22)(22,)-∞-++∞ （D ）(22,22)-+
（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
（A ）只有1个 （B ）恰有3个 （C ）恰有4个 （D ）有无穷多个
（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2
人，每人值班1天；若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法
共有
（A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
（11）设{}{}|10,|0A x x B x x =+>=<，则A B =____________ .
（12）已知0t >，则函数241t t y t
-+=的最小值为____________ . （13）已知过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，2AF =，则 BF =_ _ .
（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的
次品 率分别为170、169、168
，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .
（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条
封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C
上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则
23
23
1
1
cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________ .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）
已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.
（Ⅰ）求通项n a 及n S ；
（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n
项和n T .
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中
安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.
（18）（本小题满分13分），（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a
(Ⅰ) 求sinA 的值；
(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C A
ππ
+++-的值.
(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)
已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数.
(Ⅰ)求()f x 的表达式;
(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间上的最大值和最小值.
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）
如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩
形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==
，点E 是棱PB
的中点.
（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦
值.
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）
已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率5e =. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题（21）图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：
1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的
直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，
直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OG OH 的值.
参考答案
1-10 BADCB ACDDC
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
（11）解析：{}{}{}
|1|0|10x x x x x x >-⋂<=-<< （12）解析：241142(0)t t y t t t t
-+==+-≥->，当且仅当1t =时，min 2y =- （13）解析：由抛物线的定义可知12AF AA KF ===
AB x ∴⊥轴 故AF =BF =2
（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率6968673170696870
p =-
⨯⨯= （15）解析：23231
2311cos cos sin sin cos 33333
ααααααααα++++-= 又1232αααπ++=，所以1231cos 32ααα++=- 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）解：（I ）因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列，
所以,212)1(219+-=--=n n a n
2
)1(19++=∆n n n S （II ）由题意,31+=-n n n a b 所以,1+=n n b b
.21320)
331(21-++-=++++=-n n n n n n S T
（17）
解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有
3026=A 种等可能的结果。

（I ）设A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”
则A 包含的结果有623=A 种， 故所求概率为.5
1306)(==A P （II ）设B 表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻” 则B 表示甲、乙两单位序号相邻，B 包含的结果有10!25=⨯种。

从而.3
230101)(1)(=-=-=B P B P （18）解：（I ）由余弦定理得,3
222cos 222=-+=bc a c b A 又.3
1cos 1sin ,02=-=<<A A A 故π （II ）原式A A A 2cos 1)4sin()4
sin(2-+-+
=πππ
A A A 2sin 2)4sin()4sin(2ππ++
= A
A A A A 2sin 2)cos 22sin 22)(cos 22sin 22(
2-+= .2
7sin 2cos sin 222-=-=A A A （19）
解：（Ⅰ）由题意得.23)(2b x ax x f ++=' 因此)(.)2()13()()()(22x g b x b x a ax x f x f x g 因为函数+++++='+=是奇函数，
所以,),()(x x g x g 即对任意实数-=-有
],)2()13([))(2())(13()(2223b x b x a ax b x b x a x a +++++-=+-++-++- 从而的解析表达式为因此解得)(,0,31,0,013x f b a b a =-===+ .3
1)(23x x x f +-=。