上海高中数学十六章习题题目及答案及压轴题

1.《不等式》综合训练题一．填空题1．不等式0652≤+-x x 的解集为_______________． 答案：]3,2[2．不等式821≤≤x 的解集为__________________． 答案：]3,0[3．不等式11111≤-+xx 的解集为__________________． 答案：)0,1[-4．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=037x x xA ，函数)86lg(2-+-=x x y 的定义域为集合B ，那么集合=B A ________________．答案：)4,3(5．若不等式621<-ax 的解集为),1(∞+-，则实数a 等于__________．答案：4-6．已知a 、R ∈b ，b a >且1=ab ，则ba b a -+22的最小值等于_______________．答案：227．若关于x 的不等式)1(2+>+x b ax 的解集为}1{<x x ，则b 的取值范围是_________．答案：),2(∞+8．若2|||1|≥-+-a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______________． 答案：),3[]1,(∞+--∞9．若不等式012>-+-k kx x 对)2,1(∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是___________． 答案：]2,(-∞10．观察下列不等式：232112<+，353121122<++，474131211222<+++，照此规律，第五个不等式为_______________________．答案：6116151********2222<+++++11．不等式1|||2|<-+x x 的解集为_____________．答案⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,12．已知函数b ax x x f ++=2)(（R ∈b a ,）的值域为),0[∞+，若关于x 的不等式c x f <)(的解集为)6,(+m m ，则实数c 的值为________________． 答案：913．问题“求不等式xxx543≤+的解”有如下的思路：不等式xxx543≤+可变形为15453≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx ，考察函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=5453)(可知，函数)(x f 在R 上单调递减，且1)2(=f ，所以，原不等式的解是2≥x ．仿照此解法可得到不等式x x x x -+>+-33)32()32(的解是_________________． 答案：3-<x14．设a 、b 为正实数，现有下列命题：①若122=-b a ，则1<-b a ；②若111=-ab ，则1<-b a ；③若1||=-b a ，则1||<-b a ；④若1||33=-b a ，则1||<-b a ．其中的真命题有________________（写出所有真命题的编号）． 答案：①④二．选择题15．不等式0121≤+-x x 的解集为（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C ．),1[21,∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞- D ．),1[21,∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-答案：A16．下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．x x lg 41lg 2>⎪⎭⎫⎝⎛+（0>x ） B ．2sin 1sin ≥+x x （πk x ≠，Z ∈k ） C ．||212x x ≥+（R ∈x ） D ．1112>+x （R ∈x ） 答案：C17．下列四个条件中，使b a >成立的充分不必要条件是（ ）A ．ab b a >⎪⎭⎫ ⎝⎛+22 B ．bc ac > C ．22b a > D ．1>-b a答案：D 18．函数1)3(log -+=x y a （0>a 且1≠a ）的图像恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx （0>m ，0>n ）上，则nm 21+的最小值等于（ ） A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 答案：B三．解答题19．记关于x 的不等式01<+-x ax 的解集为P ，不等式1|1|≤-x 的解集为Q ． （1）若3=a ，求集合P ；（2）若P Q ⊆，求正数a 的取值范围．解答：（1）由013<+-x x ，得}31{<<-=x x P ． （2）}20{}1|1|{≤≤=≤-=x x x x Q ，由0>a ，得}1{a x x P <<-=，因为P Q ⊆，所以2>a ，即a 的取值范围是),2(∞+．20．设关于x 的不等式0)1(<--a x x （R ∈a ）的解集为M ，不等式031≤-+x x 的解集为N ． （1）当1=a 时，求集合M ；（2）若N M ⊆，求实数a 的取值范围．解答：（1）当1=a 时，由已知得0)2(<-x x ，得}20{<<=x x M ． （2）由已知得}31{<≤-=x x N ， ①当1-=a 时，∅=M ，N M ⊆成立；②当1->a 时，因为01>+a ，所以}10{+<<=a x x M ，由N M ⊆，得31≤+a ，所以21≤<-a ；③当1-<a 时，，因为01<+a ，所以}01{<<+=x a x M ，由N M ⊆，得11-≥+a ，所以12-<≤-a ．综上，实数a 的取值范围是]2,2[-21．设函数x a x x f 3||)(+-=，其中0>a ． （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集； （2）若不等式0)(≤x f 的解集为}1{-≤x x ，求a 的值．解答：（1）当1=a 时，原不等式可化为2|1|≥-x ，解集为),3[]1,(∞+--∞ ． （2）由0)(≤x f ，得03||≤+-x a x ，可化为⎩⎨⎧≤-≥04,a x a x 或⎩⎨⎧≤+<.02,a x a x解得⎪⎩⎪⎨⎧≤≥4,a x a x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤<.2,ax a x 因为0>a ，所以不等式组的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤2a x x ，故2=a ．22．已知|1|)(+=ax x f （R ∈a ），不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x ． （1）求a 的值；（2）若k x f x f ≤⎪⎭⎫⎝⎛-22)(恒成立，求实数k 的取值范围． 解答：（1）由3|1|≤+ax ，得24≤≤-ax ，因为3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x ，所以2=a ．（2）因为2=a ，故|12|)(+=x x f ，记⎪⎭⎫⎝⎛-=22)()(x f x f x h ，则|1|2|12|)(+-+=x x x h ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->--≤≤----<=,21,1,211,34,1,1x x x x 所以1|)(|≤x h ，因此1≥k ．23．已知a 为实数，设函数||)(2)(2a x a x x x f -⋅-+=． （1）若1)0(≥f ，求a 的取值范围； （2）求)(x f 的最小值；*（3）设函数)()(x f x h =，),(∞+∈a x ，直接写出（不需给出演算步骤）不等式1)(≥x h 的解集．解答：（1）因为1||)0(≥-=a a f ，所以0>-a ，0<a ，由12≥a ，得]1,(--∞∈a ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-+=,,3233,,2)()(2222a x a a x a x a a x x f ①当0≥a 时，22)(a a f -=-，由上面两式知22)(a x f -≥，此时2min 2)(a x f -=； ②当0<a 时，3232aa f =⎪⎭⎫ ⎝⎛，由上面第一式知32)(2a x f ≥，此时32)(2min a x f =．综上得⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=.0,2,0,32)(22min a a a a x f（3）①当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-∈,2226, a 时，原不等式的解集为),(∞+a ； ②当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈22,22a 时，原不等式的解集为⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡∞+-+,3232a a ； ③当⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∈22,26a 时，原不等式的解集为⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡∞+-+⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛--,323323,22a a a a a ．（3）的详细解答：222223)(2)(a ax x a x x x h +-=-+=，由1)(≥x h 得012322≥-+-a ax x ，令=-+-=123)(22a ax x x g 03323322≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a x ，12)(2-=a a g当0≥a 时，只要0)(≥a g ，即22≥a 时，不等式解集为),(∞+a ；当220<≤a 时，0)(<a g ，3232a a x -+≥．当0<a 时，若0322≥-a ，即26-≤a 时，),(∞+∈a x ；当026<<-a 时，0322<-a 且0122>-a ，即2226-<<-a 时，因为 3232a a a --<，所以⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡∞+-+⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈,323323,22a a a a a x ； 当0322<-a 且0122≤-a ，即022<≤-a 时，因为32332322a a a a a -+<<--，所以⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡∞+-+∈,3232a a x ．2.《函数的基本性质》综合训练题一．填空题1．函数x x f 2log 21)(-=的定义域是__________________． 答案：]2,0(2．已知)(x f 是奇函数，，4)()(+=x f x g ，2)1(=g ，则=-)1(f __________．答案：23．若)(x f 是定义在R 上的周期为5的奇函数，且满足1)1(=f ，2)2(=f ，则=-)4()3(f f _____________． 答案：1-4．已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-．若方程0)(=x f 有2013个实数解，则这2013个实数解之和为____________． 答案：05．设)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)5,2[，则函数)()(x g x f -的值域为_______________． 答案：]2,5(--6．函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,2,0,1)(2x xx x x f 的反函数是=-)(1x f _________________．答案：⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,21,1x xx x7．已知函数)5(424)(1+-⋅-⋅=+k k k x f x x 在区间]2,0[上存在零点，则实数k 的取值范围是_____________．答案：),5[]4,(∞+--∞8．已知偶函数)(x f 在),0[∞+上单调递增，则满足⎪⎭⎫ ⎝⎛<-31)12(f x f 的实数x 的取值范围是_______________．答案：⎪⎭⎫⎝⎛32,31 9．定义在R 上的函数)(x f 的图像过点)2,6(-M 和)6,2(-N ，且对任意正实数k ，有)()(x f k x f <+成立，则当不等式4|2)(|<+-t x f 的解集为)4,4(-时，实数t 的值为________________． 答案：210．设)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间]1,1[-上，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++<≤-+=,10,12,01,1)(x x bx x ax x f ，其中R ∈b a ,，若⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2321f f ，则=+b a 23________．答案：2-11．已知函数)(x f 是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x ，都有)1(+⋅x f x)()1(x f x ⋅+=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f 的值是______________．答案：012．已知函数1|1|2--=x x y 的图像与函数2-=kx y 的图像恰有两个不同交点，则实数k 的取值范围是__________________． 答案：)4,1(13．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=+，且在区间]2,0[上是增函数，若方程m x f =)(（0>m ）在区间]8,8[-上有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，则=+++4321x x x x _________． 答案：8-14．对于实数a 和b ，定义运算“”如下：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=,,,,*22b a ab b b a ab a b a 设)1(*)12()(--=x x x f ，且关于x 的方程m x f =)(（R ∈m ）恰有三个互不相等的实数解1x ，2x ，3x ，则321x x x 的取值范围是_____________．答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,1631二．选择题15．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．1+=x y B ．2x y -= C ．xy 1=D ．||x x y ⋅= 答案：D16．下列函数中，不满足)(2)2(x f x f =的是（ ）A ．||)(x x f =B ．||)(x x x f -=C ．1)(+=x x fD ．x x f -=)( 答案：C17．若函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是（ ）A ．)0,0(B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛81,2C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,2D ．⎪⎭⎫⎝⎛21,2答案：B18．对于定义域和值域都是]1,0[的函数)(x f ，定义)()(1x f x f =，))(()(12x f f x f =，…，))(()(1x f f x f n n -=，1=n ，2，3，…，将满足x x f n =)(的点称为)(x f 的n 阶周期点，设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=,121,22,210,2)(x x x x x f 则)(x f 的n 阶周期点的个数是（ ）A ．12-nB ．12-nC ．n 2D ．2n答案：C详解：由已知，=)(1x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=,121,22,210,2)(x x x x x f 则)(x f 的图像是在一个单位正方形内的一个等腰三角形，与直线x y =的交点有两个，即)(x f 一阶周期点有两个，代入选择支得C 正确，其余都错．三．解答题19．已知函数xx x x f -+-=11log 1)(2．求函数)(x f 的定义域，并讨论函数)(x f 的奇偶性和单调性． 解答：（1）函数)(x f 的定义域是)1,0()0,1( -，奇函数，在)0,1(-上单调递减，在)1,0(上单调递减．20．已知函数xax x f 1)(2+=（常数R ∈a ）． （1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（2）若函数)(x f 在区间),1[∞+上单调递增，求a 的取值范围．解答：（1）当0=a 时)(x f 为奇偶函数，当0≠a 时，)(x f 为非奇非偶函数．（证明略） （2）任取1x ，),1[2∞+∈x 且21x x <，恒有0)()(21<-x f x f ，即011)(212221<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x ax ax ，亦即01)()(212121<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-x x x x a x x ，因为021<-x x ，所以01)(2121>-+x x x x a ，故2121)(1x x x x a +>， 因为21)(12121<+x x x x ，所以21≥a ，即a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,21．21．已知函数tx f x+-=221)(（t 是实常数）． （1）若函数)(x f 的定义域为R ，求)(x f y =的值域；（2）若存在实数t 使得)(x f y =是奇函数，证明函数)(x f y =的图像在函数12)(1-=+x x g 图像的下方．解答：（1）因为02≠+t x 恒成立，所以0≥t ，当0=t 时，函数)(x f y =的值域为)1,(-∞，当0>t 时，由t y x +-=221得0122>-+-=y ty t x，所以121<<-y t ，值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21t ．（2）由题意，0)0(=f ，得1=t ，此时12121221)(+-=+-=x x x x f ， )(21211212)(x f x f xxx x -=+-=+-=---，)(x f 是奇函数． 要证明原结论，等价于证明)()(x g x f <对一切实数x 成立．因为012212)12)(12()12()12(1212)()(1211<+-=+-+--=--+-=-+++x x x x x x x xx x g x f 恒成立，所以)()(x g x f <对一切实数x 成立，即函数)(x f y =的图像在函数12)(1-=+x x g 图像的下方．22．设函数22||)(ax x x x f -+=，其中R ∈a ． （1）当2=a 时，求函数)(x f 的零点；（2）当0>a 时，求证：函数)(x f 在),0(∞+内有且仅有一个零点； （3）若函数)(x f 有四个不同的零点，求a 的取值范围．解答：（1）当0≥x 时，由0)(=x f 得0222=-+x x x ，即0)142(2=-+x x x ，解得0=x 或262+-=x （262--=x 舍去）；当0<x 时，由0)(=x f 得0222=-+-x x x ，即0)142(2=++x x x （2-≠x ），解得222+-=x 或222--=x ． 综上，函数)(x f 的零点为0，262+-，222+-，222--． （2）当0>a 且0>x 时，由0)(=x f 得022=-+ax x x，即0122=-+ax ax ， 记12)(2-+=ax ax x g ，则函数)(x g 的图像是开口向上的抛物线，又01)0(<-=g ，所以)(x g 在),0(∞+内有且仅有一个零点，即函数)(x f 在),0(∞+内有且仅有一个零点．（3）0=x 是函数)(x f 的零点，对于0>x ，由（2）知，当0>a 时，函数)(x f 在),0(∞+内有且仅有一个零点；当0≤a 时，12)(2-+=ax ax x g 0<在),0(∞+内恒成立，)(x f 在),0(∞+内无零点．于是，要使)(x f 有四个不同的零点，须0>a 且)(x f 在)0,(-∞内要有两个不同的零点．当0<x 时，由0)(=x f 得022=-+-ax x x 即0122=++ax ax ，x x a212+=-， 作函数x x x h 2)(2+=，)(x h 在)0,(-∞内的值域为),1[∞+-，所以011<-<-a，解得1>a ，所以a 的取值范围是),1(∞+．23．对于两个定义域相同的函数)(x f 、)(x g ，如果存在实数m 、n ，使得)()()(x ng x mf x h +=，则称函数)(x h 是由“基函数)(x f 、)(x g ”生成的．（1）若x x x f +=2)(，2)(+=x x g 生成一个偶函数)(x h ，求)2(h 的值；（2）若132)(2-+=x x x h 是由函数ax x x f +=2)(，b x x g +=)(（R ∈b a ,且0≠ab ）生成，求b a 2+的取值范围；（3）给定实系数基函数11)(b x k x f +=，22)(b x k x g +=（021≠k k ），问任意一个一次函数)(x h 是否都可以由它们生成？请给出你的结论，并说明理由．解答：（1）令n x n m mx x ng x mf x h 2)()()()(2+++=+=，由)(x h 为偶函数，得0=+n m ，m n -=，故m mx x h 2)(2-=，所以0)2(=h ．（2）由bn x n am mx b x n ax x m x x +++=+++=-+)()()(132222对R ∈x 恒成立，得⎪⎩⎪⎨⎧-==+=,1,3,2bn n am m ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==⇒,1,23,2n b n a m 由0≠ab 可得3≠n ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+n n b a 22232，由),2[]2,(22∞+--∞∈+ n n ，得b a 2+的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2721, ． （3）假设一次函数b kx x h +=)(可由)(x f 、)(x g 生成，即)()(2211b x k n b x k m b kx +++=+)()(2121nb mb x nk mk +++=对R ∈x 恒成立，得⎩⎨⎧=+=+,,2121b nb mb k nk mk 111221)(kb bk n b k b k -=-⇒ （*），令21211221b b k k b k b k D =-=，则当0≠D 时，方程（*）有唯一解，此时一次函数b kx x h +=)(可由)(x f 、)(x g 生成．当0=D 时，若01=b ，由021≠k k 得02=b ，此时对0≠b ，方程（*）无解；若01≠b ，令1b k -=，1k b =，则0212111>+=-b k kb bk ，方程（*）无解． 所以，当0=D 时，存在某一个一次函数不能由)(x f 、)(x g 生成．3.《幂函数、指数函数与对数函数》综合训练题一．填空题1．设集合}3123{≤-≤-=x x A ，})1lg({-==x y x B ，则=B A ___________． 答案：]2,1( 2．方程02241=--+x x的解是_________________．答案：3log 23．已知函数)1(log )(2+=x x f ，若1)(=a f ，则=a ___________．答案：14．函数)13(log )(2+=x x f 的值域是________________． 答案：),0(∞+ 5．函数21)(-=x x f 的反函数为=-)(1x f _________________．答案：21+x（0≠x ） 6．=⋅4log 9log 32____________． 答案：47．已知函数x x f lg )(=，若1)(=ab f ，则=+)()(22b f a f ___________． 答案：28．已知函数432)(--=m m x x f （Z ∈m ）是幂函数，且当0>x 时，)(x f 是减函数，则m 的取值集合是_________________． 答案：}3,2,1,0{9．函数)1(log 22+=x y 的值域为实数集R 的充要条件是________________． 答案：0≤a10．已知函数15||2)(2-+=x x x f ，定义域是],[b a （Z ∈b a ,），值域是]0,15[-，则满足条件的整数对),(b a 有___________对．答案：711．里氏震级M 的计算公式为0lg lg A A M -=，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为001.0，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_________倍． 答案：6，1000012．函数1212+-=x x y 的值域是________．答案：)1,1(-13．已知函数⎩⎨⎧≥-<-=,1,2,1,|12|)(x x x x f x 若a ，b ，c 互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则cb a 222++的取值范围是_____________．答案：)6,4(．不妨设c b a <<，作出函数)(x f 的图像知21<<c ，且a a f 21)(-=，12)(-=bb f ，由)()(b f a f =得1221-=-b a ，故222=+ba ．14．已知函数1|1|2--=x x y 的图像与函数kx y =的图像恰好有两个交点，则实数k 的取值范围是________________． 答案：)2,1()1,0(二．选择题15．已知命题A ：若函数)(x f y =是幂函数，则函数)(x f y =的图像不经过第四象限．那么命题A 的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C16．已知函数⎩⎨⎧>++-≤+=,1,32,1,3)(2x x x x x x f 则函数xe xf xg -=)()(的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B17．函数a a y x -=（0>a 且1≠a ）的图像可能是（ ）18．下列区间中，函数|)2(log |)(3x x f -=在其上为增函数的是（ ） A ．]1,(-∞ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,1 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,0 D ．)2,1[ 答案：D三．解答题19．若函数x a x f =)(（0>a 且1≠a ）在]2,1[-上的最大值为4，最小值为m ，且函数x m x g ⋅-=)41()(在),0[∞+上是增函数，求实数a 的值．解答：因为函数x m x g ⋅-=)41()(在),0[∞+上是增函数，所以41<m ． 当1>a 时，)(x f 在]2,1[-上的最大值为=2a 4，得2=a ，2121==-m （舍）． 当10<<a 时，)(x f 在]2,1[-上的最大值为41=-a ，41=a ，41412<⎪⎭⎫⎝⎛=m 成立．综上，41=a ．20．已知函数)12(log )(2+=xx f ．（1）求证：函数)(x f 在),(∞+-∞内单调递减；（2）记)(1x f -为函数)(x f 的反函数，若关于x 的方程)()(1x f m x f +=-在]2,1[上有解，求实数m 的取值范围． 解答：（1）证明略． （2）)12(log )(21-=-x x f（0>x ），所以)12(log )12(log )()(221+--=-=-xx x f x f m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=1221log 1212log 22x x x ，当21≤≤x 时，3212252≤+≤x ，53122131≤+-≤x， 所以，m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log ,31log 22．21．已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，当)1,0(∈x 时，142)(+=x xx f ，且)1()1(f f =-．（1）求)(x f 在]1,1[-上的解析式；（2）求证：当)1,0(∈x 时，21)(<x f ．解答：（1）当)0,1(-∈x 时，)1,0(∈-x ，于是，142142)()(1+-=+-=--=--x xx x f x f ，由)0()0(f f -=-，得0)0(=f ，又)1()1()1(f f f -=-=-，所以0)1()1(==-f f ．综上，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+--∈-∈+=.)1,0(,142,)1,0,1{,0,)0,1(,142)(x x x x f x x x x（2）因为x x x 2214214⋅=⋅≥+，只有0=x 时取等号，所以当)1,0(∈x 时，xx 2214⋅>+，所以21142)(<+=x x x f ．22．定义在+R 上的单调递减函数)(x f 同时满足：①当且仅当M x ∈≠⊂+R 时，函数值)(x f 的集合为]2,0[；②121=⎪⎭⎫⎝⎛f ；③对M 中的任意1x 、2x 都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅；④函数)(x f 在M 上的反函数为)(1x f -．（1）求证：M ∈41，但M ∉81；（2）求证：)()()(2112111x x f x f x f +=⋅---；（3）解不等式：21)1()(121≤-⋅---x f x x f ．解答：（1）因为M ∈21，又212141⨯=，所以22121212141=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f ，所以M ∈41．又]2,0[32141214181∉=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f ，所以M ∉81．（2）因为)(x f y =在M 上递减，所以)(x f y =在M 上有反函数)(1x f y -=，]2,0[∈x ，作取1x ，]2,0[2∈x ，设)(111x f y -=，)(212x f y -=，则)(11y f x =，)(22y f x =(其中1y ，M y ∈2)，因为)()()(212121y y f y f y f x x =+=+，所以)(21121x x f y y +=-，所以，)()()(2112111x x f x f x f +=⋅---．（3）因为)(x f y =在M 上递减，所以)(1x f -在]2,0[上也递减，21)1()(121≤-⋅---x f x x f 等价于)1()1(121--≤-+-f x x x f ，所以， ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤≤-≤,11,210,2022x x x x 解得]2,2[∈x ．23．设x x axx f +--=11log )(21为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值；（2）判断)(x f 在),1(∞+上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间]4,3[上的每一个x 值，不等式m x f x+⎪⎭⎫⎝⎛>21)(恒成立，求实数m 的取值范围．解答：（1）1-=a ．（2）单调递增（证明略）（3）不等式xx f m ⎪⎭⎫⎝⎛-<21)(恒成立，所以min21)(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x x f m ，因为)(x f 在区间]4,3[上单调递增，x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21在区间]4,3[上单调递减，所以，()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛-21的区间]4,3[上单调递增，故当3=x 时，xx f ⎪⎭⎫⎝⎛-21)(取最小值815．所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈815,m ．4.《三角比与三角函数》综合训练题一．填空题1．与︒-612终边相同的最小正角是______________． 答案：53π 2．已知角α的终边上有一点)3,4(a a P -（0≠a ），则ααcos sin 2+的值为__________． 答案：52或52- 3．若πθπ≤<2，且1sin -=m θ，2cos -=m θ，则实数m 的值是__________．答案：14．已知53cos =α，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，则=x x x sin 1cos sin 2___________．答案：2575．在△ABC 中，若3=a ，3=b ，3π=A ，则角C 的大小为_____________．答案：2π 6．方程1cos sin -=+x x 的解集是____________________________．答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=-=Z n n x n x x ,22)12(πππ或 7．已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,2sin x a π ，)1,)(sin(--=x b π ，则函数b a x f ⋅=)(的最小正周期是______________．答案：π8．等比数列}{n a 中，x a cos 1=，),0(π∈x ，公比x q sin =，若)(lim 21n n a a a +++∞→3=，则=x ______________．答案：6π9．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ，8732sin =θ，则=θsin __________． 答案：43 10．已知212tan =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πα_____________． 答案：10334+ 11．△ABC 的三个内角的正弦值之比为6:5:4，则此三角形的最大内角为_________（结果用反三角函数值表示）．答案：81arccos 12．周长为20cm 的扇形面积的最大值是______________2cm ，此时的圆心角α的弧度数是____________． 答案：25，213．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 2)(πx x f ，若对任意的R ∈x ，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则||21x x -的最小值为______________． 答案：π2 14．设函数11)(+=x x f ，O 为坐标原点，n A 为函数)(x f y =图像上横坐标为n （*N ∈n ）的点，向量n OA 与)0,1(=i的夹角为θ，则满足=+++∞→)tan tan (tan lim 21n n θθθ ____． 答案：1二．选择题 15．“42ππα+=k （Z ∈k ）”是“1tan =α”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（ ） A ．23 B ．22C ．21D ．21-答案：C17．已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若⎪⎭⎫⎝⎛≤6)(πf x f 对R ∈x 恒成立，且)(2ππf f >⎪⎭⎫ ⎝⎛，则)(x f 的单调递增区间是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππk k （Z ∈k ） B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k （Z ∈k ） C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡5++6,3ππππk k （Z ∈k ） D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k （Z ∈k ） 答案：D18．当R ∈x 时，令)(x f 为x sin 与x cos 中的较大或相等者，设b x f a ≤≤)(，则b a +的值为（ ）A ．221+B ．221- C ．0 D ．2 答案：B三．解答题19．化简：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x x 4sin 4tan 221cos 2cos 2224ππ．解答；原式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x x x x x x x x x 22sin 22cos 4cos 4sin 4)1cos 2(4cos 4cos 4sin 21cos 4cos 421222224ππππππ x x x 2cos 212cos 22cos 2==．20．已知△ABC 中，60=ab ，B A cos sin =，△ABC 的面积15=S ，求该三角形的各内角．解答：由15sin 21==C ab S ，得21sin =C ，所以6π=C 或65π=C ， 又由⎪⎭⎫⎝⎛-==B B A 2sin cos sin π，得B A -=2π或ππ=-+B A 2．若2π=+B A ，则2π=C （矛盾）；故2π=-B A ，此时A 为最大角．所以6π=C ．因此，32π=A ，6π=B ，6π=C ．21．已知函数2cos 2)cos (sin )(22-++=x x x x f ． （1）求函数)(x f 的值域；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,4ππx 时，求函数)(x f 的最大值与最小值． 解答：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=42sin 22cos 2sin )(πx x x x f ，故函数)(x f 的值域是]2,2[-．（2）因为434ππ≤≤x ，所以474243πππ≤+≤x ，所以函数)(x f 的最大值为1，最小值为2-．22．设函数23cos sin cos 3)(2-+=x x x x f ． （1）求函数)(x f 的最小正周期T ，并求出函数)(x f 的单调递增区间；（2）求在)30[π，内使)(x f 取到最大值的所有x 值的和． 解答：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f ，所以，π=T ，由223222πππππ+≤+≤-k x k ，得单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）．（2）令1)(=x f ，即132sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx ，则12ππ+=k x （Z ∈k ）， 因为π30<≤x ，所以0=k ，1，2，则4131221212ππππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++． 所以，在)30[π，内使)(x f 取到最大值的所有x 值的和为413π．23．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，函数1611sin cos )2cos 1(2sin 43)(22+⋅-+⋅=C x C x x f 的图像过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,6π． （1）求C sin 的值；（2）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 、c 边的长．解答：（1）由1611sin 43cos 223432122+⋅-⋅⋅=C C ，解得410sin =C ． （2）由C c A a sin sin =，42==a c ，因为46cos ±=C ， 由余弦定理，C ab b a c cos 2222-+=，得01262=-⨯b b ．所以6=b 或62=b ．24．已知向量),3sin 3(y x a -=，)3cos ,(m x m b -= （R ∈m ），且0 =+b a ，设)(x f y =．（1）求函数)(x f 的表达式，并求)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡92,18ππ上图像最低点M 的坐标； （2）若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈9,0πx ，19)(+->x t x f 恒成立，求实数t 的取值范围．解答：（1）由0=+b a ，得⎩⎨⎧=-+-=+,03cos ,03sin 3m x y m x 消去m 得x x y 3cos 3sin 3+=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=63s i n 23c o s 3s i n 3)(πx x x x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈92,18ππx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+65,363πππx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,2163sin πx ，即)(x f 的最小值为1，此时92π=x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛1,92πM ． （2）由19)(+->x t x f ，得1963sin 2+>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t x x π，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈9,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+2,663πππx ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛+=63sin 2)(πx x f 单调递增，又x y 9=单调递增，所以x x y 963sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈9,0πx 是单调递增，最小值为1，所以只要11<+t ，即t 的取值范围为)0,(-∞．5.《数列》综合训练题一．填空题1．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和=4S ______________． 答案：152．已知}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若211=a ，32a S =，则=n S ___________． 答案：n n 41412+ 3．设公比为q （0>q ）的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2322+=a S ，2344+=a S ，则=q ____________．答案：234．数列}{n a 的前n 项和为n S ，若点),(n S n （*N ∈n ）在函数)1(log 2+=x y 的反函数的图像上，则=n a _______________．答案：12-n5．已知递增的等差数列}{n a 满足11=a ，4223-=a a ，则=n a ______________．答案：12-n6．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，公比不为1，若11=a ，且对任意的*N ∈n 都有0212=-+++n n n a a a ，则=5S _________________．答案：117．已知等差数列}{n a 中，101=a ，当且仅当5=n 时，前n 项和n S 取得最大值，则公差d 的取值范围是________________．答案：⎪⎭⎫⎝⎛--2,25 8．等比数列}{n a 中，若12=a ，则其前3项的和3S 的取值范围是________________． 答案：),3[]1,(∞+--∞9．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若236=S ，579=S ，则=n S __________．答案：n n 67652-10．在等比数列]{n a 中，0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则54a a +的最小值为_______．答案：2211．若把nx x x )1()1()1(12+++++++ 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a （*N ∈n ），则=--∞→112limn n n a a ____________．答案：212．已知数列}{n a 为等比数列，且π5227131=+a a a ，则=)cos(122a a __________．答案：2113．若数列}{n a 的项都是正数，且n n a a a n 3221+=+++ （*N ∈n ），则=++++13221n aa a n _______________． 答案：n n 622+14.设等差数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意正整数n 都有3432--=n n T S n n ，则843759b b a b b a +++的值等于_________________． 答案：4119二．选择题15．在等比数列}{n a 中，已知2121=+a a ，143=+a a ，10987a a a a +++的值为（ ） A ．12 B ．24 C ．48 D ．96答案：A16．已知数列}{n a 中，23=a ，15=a ，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a 11是等差数列，则11a 等于（ ） A ．0 B ．61 C ．31 D ．21答案：A17．观察下列各式：1=+b a ，322=+b a ，433=+b a ，744=+b a ，1155=+b a ，…，则=+1010b a （ ）A ．199B ．123C ．76D ．28 答案：B18．等比数列}{n a 中，11>a ，其前n 项和为n S ，若11lim a S n n =∞→，那么1a 的取值范围是（ ） A ．),1(∞+ B ．)2,1( C ．)3,1( D ．)2,1( 答案：D 三．解答题19．已知数列}{n a 中，11=a ，前n 项和n n a n S 32+=． （1）求2a ，3a ； （2）求}{n a 的通项公式．解答：由11=a 及n n a n S 32+=可得2122322a a a S +=+=，3312==a a ， 32133223a a a a S ++=+=，432213=+=a a a ，63=a ．（2）当2≥n 时，1131--+=n n a n S ，所以113132--+-+=-=n n n n n a n a n S S a ， 得13131-+=-n n a n a n ，故111-+=-n n a a n n （2≥n ）， 所以，22112211n n a a a a a a a a n n n n n +=⋅⋅⋅⋅=--- ，而11=a 也满足此式． 所以22n n a n +=（*N ∈n ）20．设}{n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且5a ，3a ，4a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的公比；（2）证明：对任意*N ∈k ，2+k S ，k S ，1+k S 成等差数列．解答：（1）设数列}{n a 的公比为q （0≠q ，1≠q ），由5a ，3a ，4a 成等比数列，得4532a a a +=，即3141212q a q a q a +=，由01≠a ，0≠q 得022=-+q q ， 解得2-=q ．（2）对任意*N ∈k ，1211212)()(2+++++++++=-+-=-+k k k k k k k k k k a a a S S S S S S S0)2(211=-⋅+=++k k a a ，所以，2+k S ，k S ，1+k S 成等差数列．21．某企业在第1年衩购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始实行，每年初M 的价值为上年初的%75． （1）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；（2）设na a a A nn +++=21，若n A 大于80万元，则M 继续使用；否则，必须在第n 年初对M 更新．证明：必须在第9年初对M 更新． 解答：（1）当6≤n 时，数列}{n a 是首项为120，公差为10-的等差数列，n a n 10130-=．当6≥n 时，}{n a 是以6a 为首项，公比为43的等比数列，又706=a ，故64370-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n a ．因此第n 年初M 的价值n a 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅≤-=-.7,4370,6,101306n n n a n n （2）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，则nSA n n =，当61≤≤n 时，n n S n 12552-=，故1255+-=n A n ，956=≥A A n 80>．当7≥n 时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+=++++=-687643144370570)(n n n a a a S S 643210780-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=n ，nA n n 643210780-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=，因为}{n a 是递减数列，所以}{n A 也是递减数列， 又8064478284321078028>=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=A ，8096797694321078039<=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=A ， 所以必须在第9年初对M 更新．22．设同时满足条件：①122++≥+n n n b b b ；②M b n ≤（*N ∈n ，M 是与n 无关的常数）的无穷数列}{n b 叫“嘉文”数列．已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(1--=n n a a aS （a 为常数，且0≠a ，1≠a ）． （1）求}{n a 的通项公式；（2）设12+=n nn a S b ，若数列}{n b 为等比数列，求a 的值，并证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“嘉文”数列． 解答：（1）a S a ==11，当2≥n 时，[])1()1(111----=-=--n n n n n a a a aS S a ， 即)(11---=n n n a a a aa ，得1-⋅=n n a a a ，所以}{n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列． 所以，n n a a =．（2）由（1）知，nn n n n a a a a a a a a ab )1(2)13(1)1(12---=+--⨯=，若}{n b 是等比数列，则有3122b b b =，而31=b ，a a b 232+=，223223a a a b ++=，故222223323a a a a a ++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得31=a ，再代入得nn b 3=，其为等比数列．所以31=a 成立．又由于 ①1122213123131223131211+++++==⋅>+=+n n n n n n n n b b b ， ② 31311≤=n n b ，故存在31≥M ．所以符合①，②，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“嘉文”数列．23．已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若24=a ，205=S ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设||||||21n n a a a T +++= ，求n T ； （3）设)12(1n n a n b -=（*N ∈n ），n n b b b R +++= 21，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N ∈n ，均有mR n 32>成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 解答：（1）由24=a ，205=S ，得231=+d a ，421=+d a ，解得81=a ，2-=d ．所以，n a n 210-=．（2）当5≤n 时，0≥n a ，当6≥n 时，0<n a ．所以，当5≤n 时，n n S T n n 92+-==；当6≥n 时，n n n S S a a a a a T -=++-+++=565212)()( 4092+-=n n ．所以，⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=.6,409,5,922n n n n n n T n（3）由已知得⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=-=11121)1(21)12(1n n n n a n b n n ，所以)1(2121+-=n R n， 因为n R 随着n 的增大而增大，所以41)(min =n R ，故4132<m ，8<m ， 因为Z ∈，所以m 的最大值为7．6.《平面向量》综合训练题一．填空题1．已知向量),2(m a =，)1,1(-=b ，若a 与b 互相垂直，则=m __________． 答案：22．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点)1,2(A ，),5(y B ，若⊥，则=y _____． 答案：5-3．若非零向量a 、b 满足||||b a =，且0)2(=⋅+b b a，则a 与b 的夹角大小为_________．答案：32π 4．向量)4,3(=a在向量)0,1(=b 方向上的投影为____________． 答案：35．设1e 与2e 是两个不平行的向量，已知212e k e AB +=，213e e CB +=，212e e CD-=，则当A 、B 、D 三点共线时，=k _________． 答案：8-6．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+,,222111c y b x a c y b x a 若记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21a a a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21b b b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21c c c ，则该方程组存在唯一解的条件为__________（用a 、b 、c表示）．答案：a与b 不平行7．设向量a 、b 满足)1,2(=a，52||=b ，且b 与a 的方向相反，则b 的坐标为______． 答案：)2,4(--8．已知向量)1,(sin θ=a，)cos ,1(θ=b ，其中R ∈θ，若b a ⊥，则=θ______________．答案：4ππ-k （Z ∈k ）9．边长为1的正三角形ABC 中，=⋅+⋅+⋅__________． 答案：23-10．设a 与b 是平面内两个互相垂直的单位向量，向量c 满足0)()(=-⋅+b c a c，则||c 的最大值为_____________．答案：211．已知二次函数)(x f y =的图像是开口向下的抛物线，且对任意R ∈x 都有)1()1(x f x f +=-．若向量)1,(-=m a ，)2,(-=m b ，则满足不等式)1()(->⋅f b a f的实数m 的取值范围是______________． 答案：)1,0[13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆222r y x =+（0>r ）内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若b a ⋅+⋅=（a 、R b ∈）， 则a 、b 满足的一个等式是______________________． 答案：2122=+b a 13. 若圆C 的半径为3，单位向量ee AB ⋅的最大值为 . 答案：314．设()x a x OA -=,，()2,x OB =，[)2,1∈x ，且OB OA ⊥，则函数11log )(-=x ax f a 的最大值为 ．答案：)1(log 1a a -+- 二．选择题15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的 （ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件答案：C16．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，⋅的值为（ ）A ．23B ．23-C ．233D ．233- 答案：B17．已知向量)0,2(=OB ，2||=CA ，)2,2(=OC ，则OA 与OB 夹角的最小值和最大值依次是（ ） A ．0，4π B ．4π,125π C ．12π,125π D ．125π,2π答案：C18．已知O 、A 、B 、C 是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数1λ、2λ、3λ，使得1230OA OB OC λλλ++=，则三个角AOB ∠、BOC ∠、COA ∠（ ）A ．都是钝角B ．至少有两个钝角C ．恰有两个钝角D ．至多有两个钝角答案：B三．解答题19．在A B C ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()a c b m ,2-=，()C A n cos ,cos -= ,且n m ⊥.（1）求角A 的大小； （2）若3=a ，ABC ∆面积为433，试判断ABC ∆的形状，并说明理由.解答：（1） 由n m ⊥ 得 0=⋅ ，故()0cos cos 2=--C a A c b ,由正弦定理得()0cos sin cos sin sin 2=--C A A C B ，()0sin cos sin 2=+-∴C A A B3,21cos ,0sin ,0ππ=∴=≠<<A A B A ． 【解2】. 由()0cos cos 2=--C a A c b ，余弦定理得()022*******=-+--+-ab c b a a bc a c b c b 整理得bc a c b =-+222， 212cos 222=-+=∴bc a c b A 3,21cos ,0ππ=∴=<<A A A ． （2）433sin 21==∆A bc S ABC 即34333sin 21=∴=bc bc π又A bc c b a cos 2222-+=, 622=+∴c b故()302==∴=-c b c b 所以，ABC ∆为等边三角形．20．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为︒120，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动． 若y x +=，其中R y x ∈,，求y x +的最大值．解答：由已知得1||222=-+=xy y x ，即3)(2-+xy y x 又22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x xy ，所以22223)(3)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+≥-+y x y x xy y x ，即1)(43)(22≤+-+y x y x ，所以4)(2≤+y x ，所以y x +的最大值为2．21．已知ABC △的面积为1，且满足2≥⋅，设AB 和AC的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4cos 22cos 3)(2πθθθf 的最小值．解答：（1）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 21=θbc ，2cos ≥θbc ， 可得1cot ≥θ，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴4,0πθ．（2）132sin 24cos 22cos 3)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πθπθθθf ⎥⎦⎤⎝⎛∈4,0πθ ，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+∴65,332πππθ，所以，当6532ππθ=+，即4πθ=时，.0)(min =θf22．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，左右焦点分别为21,F F ，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，直线l 经过点2F ，倾斜角为︒45，与椭圆交于B A ,两点.（1）若22|21=F F ｜，求椭圆方程； （2）对（1）中椭圆，求1ABF ∆的面积；（3）M 是椭圆上任意一点，若存在实数μλ,，使得μλ+=，试确定μλ,的关系式.解答：（1）由已知，可得2=c ，b a 3=，∵222c b a +=，∴3=a ，1=b ， ∴1322=+y x .（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，直线:l y x =代入椭圆方程得2430x x -+=，12x x +=，1234x x =，12||x x -=1212||||y y x x -=-=，∴12S ∆=⨯=（3）由已知椭圆方程为22233x y b += ①，右焦点F 的坐标为,0)，直线AB 所在直线方程为y x = ②，由①②得：22430x b -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x +=，21234b x x =，设(,)M x y ，由OM OA OB λμ=+得， 12x x x λμ=+，12y y y λμ=+， ∵点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=，整理得：222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++=，212121212121233()()4()60x x y y x x x x x x x x b +=+=-++= ③，又点,A B 在椭圆上，故2221133x y b += ④，2222233x y b += ⑤，由③④⑤式得221λμ+=.7.《直线与圆》综合训练题一．填空题1．方向向量为)4,3(=d，且过点)1,1(的直线方程为________________． 答案：0134=--y x2．过点)3,2(A 且垂直于直线052=-+y x 的直线方程是____________________． 答案：042=+-y x3．直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得的弦长为________________．答案：224．已知直线062=++y a x 与直线023)2(=++-a ay x a 平行，则a 的值是_________． 答案：0或1-5．设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则a 、b 满足___________． 答案：b a =。