理论力学--第九章质点运动微分方程+动力学绪论
理论力学第9章
重点：求解质点和平动刚体的两类动力学问题 难点：理解惯性坐标系与非惯性坐标系
§ 9-1 动力学的基本定律
质点动力学的基础是牛顿三大定律 第一定律 (惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 ——惯性 第二定律（力与加速度之间关系定律） d (mv ) F dt 在经典力学范围内，质点的质量是守恒的，因此有：
例9-3 已知：一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg 的小球系 于长 l=0.3 m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与 60 铅直线成 角。 求：如小球在水平面内作匀速圆周运动，小球 的速度与绳的张力。
解： 以小球为研究的质点
选取在自然轴上投影的运动微 分方程，得： v2 m F sin θ F cos mg 0 ρ 其中：ρ l sin θ mg F 1.96 N cos
动力学
导言
动力学:研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学的基本问题大致分为两类： 1.已知运动求力； 2.已知力求运动。 具体学习以下内容： 质点动力学基本方程； 普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理； 达朗贝尔原理； 虚位移原理
力学模型
1. 质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 例如：研究卫星的轨道时，卫星 —— 质点 刚体作平动时，刚体 —— 质点
1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力
求两次导数得到质点的加速度，代入质点的 运动微分方程中，即可求解——求微分问题 2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律 按作用力的函数规律进行积分，并根据具体 问题的运动条件确定积分常数——求积分问题
3.混合问题：第一类与第二类问题的混合.
例9-1 已知：曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度
理论力学课件 质点运动微分方程
8-2 非惯性系质点动力学方程
O
θ
A
v mg
A
特点：质点在北半球运动时， 向其运行方向的右侧偏移
8-2 非惯性系质点动力学方程 4. 傅科摆证明地球自转
8-2 非惯性系质点动力学方程
ω y'
z'
o'
x'
φ
o' x' y' z' 固连在地球表面的坐标系
x' ：指向东 y' ：指向北
z' ：指向天
8-2 非惯性系质点动力学方程
1. 地球自转对重力的影响
mavr
=
v F真实
+
v Fe
+
v FC
ω
avr = 0,vvr = 0
y' FT α z'
v F
+
v FT
+
v Fe
=
0
F o' Fe
mavr
=
v F
+
v Fe
+
v FC
非惯性系
mava
=
v F
惯性系
a
Fe
FT
mg
a FT
mg
8-2 非惯性系质点动力学方程 例8-3 如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m，其悬挂点O 以加速度a0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。
a0 O
ϕ
m
8-2 非惯性系质点动力学方程
a0
O
arn
mavr
=
2
2
0
x0
质点动能定理的积分形式.
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
第9章 质点运动微分方程
已知:匀速转动 时0铁球掉下。
求:转速n.
§9-2 质点动力学的两类问题
（属于第一类问题） 解：1.研究铁球
m
v2 R
FN
mg
cos
当 0时, FN 0, 解得
其中
v n R
30
n 9.549
g R
cos
0
当 n 9.549 g 时,球不脱离筒壁。 R
vr0
r E,
F eE,不计重力
求:质点的运动轨迹。
§9-2 质点动力学的两类问题
这是第二类基本问题。
解:研究小球
d2x m dt2
m dvx dt
0
m
d2 dt
y
2
m dvy dt
eAcos kt
由 t 0时 vx v0, vy 0,
积分
dv vx
v0
x
相对加速度=0.5(m/s)沿斜面向下运动，求B对
A的法向压力和A的加速度。
解：取固连于柱A的动坐标系
，柱B的相对运动微分方程
为：
: mar Pcos60o F Feg cos30o (1)
: 0 Psin 60o N Feg cos60o (2)
F fN
( 3)
§9-2 质点动力学的两类问题
这是混合问题。 解：1. 研究小球
2. 画受力图
3. n : b:
m v2 F sin
R
F cos mg 0
其中 R l sin
解得
F mg 1.96N
cos
v
Fl sin 2
理论力学教学大纲(64学时)09-10
《理论力学》课程教学大纲（开实验2个）Theoretical Mechanics学时：64 学分： 3层次：本科适用专业：机械设计、机电、汽车服务类等第一部分大纲说明一、课程性质、目的和培养目标《理论力学》是工科大学的一门重要的技术基础课。
它既是各门后续力学课程的理论基础，又是一门具有完整体系并继续发展着的独立的学科，而且在许多工程技术领域中有着广泛的应用。
本课程的任务是使学生掌握质点，质点系和刚体机械运动（包括平衡）的基本规律和研究方法，初步学会运用这些理论和方法去分析、解决实际问题，为学习后续课程和有关的科学技术打好基础。
结合本课程的特点，使学生的逻辑思维能力（包括推理、分析、综合等能力）、表达能力（包括运用文字和图象等的能力）、计算能力，以及解决实际问题的能力（把一些简单工程实物抽象为力学模型，进行数学描述，应用力学原理求解）得到训练与提高。
二、课程的基本要求第一篇：静力学（20学时）基本要求：熟悉力、力矩和力偶的基本概念及其性质，熟练地计算力的投影，力对点之矩和力对轴之矩。
熟悉各种常见约束的性质，能熟练地取分离体并画出受力图。
掌握各种类型力系的简化方法，熟悉简化结果，能熟练地计算主矢和主矩。
能应用平衡条件和各种类型的平衡方程求解单个物体和物体系统的平衡问题。
对平面一般力系的平衡问题，能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解，掌握求解简单桁架、组合桁架内力的节点法和截面法。
掌握计算物体重心的各种方法。
理解滑动摩擦、摩擦力的概念，能求解考虑摩擦时简单的物体系统平衡问题。
了解滚动摩擦的概念、超静定问题概念。
第二篇：运动学（22学时）基本要求：掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法、自然坐标法及各种方法下点的运动轨迹、运动方程、速度和加速度。
熟悉刚体平动、刚体定轴转动的概念，能求解转动刚体的角速度、角加速度，转动刚体上各点的速度和加速度。
掌握运动合成和分解的基本概念和方法，熟练掌握点的速度合成定理，牵连运动为平动、定轴转动时的加速度合成定理及应用。
理论力学：10第九章 质点动力学的基本方程
动力学
引言
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
三.
动力学分类:
质点动力学
质点系动力学
质点动力学是质点 系动力学的基础。
四. 动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力；
第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
3
4
动力学
第九章 质点动力学的基本方程
第九章 质点动力学的基本方程
§9–1 动力学的基本定律 §9–2 质点的运动微分方程
5
动力学
第九章 质点动力学的基本方程
§9-1 动力学的基本定律
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统 的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的 关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在 总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律
c3 c4 0
则运动方程为 :
x
v0t
cos 0 ,
y
v0t
sin
0
1 2
gt2
则轨迹方程为:
y
xtan0
1 2
g
v0 2
x2 c os2
0
19
动力学
第九章 质点动力学的基本方程
代入最高点A处值，得：dy dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin 0
g
将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程， 得
9
动力学
第九章 质点动力学的基本方程
吉林大学理论力学课件-第9章
俯冲时:a >2g e
★ 牵连惯性力与科氏力实例
由于地球 的自转引起的 水流科氏惯性 力.
★ 牵连惯性力与科氏力实例
水流科氏 惯性力对右 岸的冲刷.
★ 应用举例
例 题 3 题
开有矩形槽的大盘以等角速度? 绕O轴旋转.矩形槽内安置物块 O 弹簧系统,物块P的质量为m, P m 弹簧的刚度系数为k.初始状态 下,物块处于大盘圆心O,这时 弹簧不变形.
结论:质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在 质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和.
下面讨论几种特殊情形: (1)动参考系相对定参考系作平动,有 a =0 C
则: ma r = F + F 则: Ie
(2)动参考系相对定参考系作等速直线平动,有
ae =0
则: mar = F 则:
l2 2 l x =l1- ÷ + r cosw t+ cos2 t÷ w ÷ 4 è 4 è
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试 求当 j =w t = 0和 时 , t 2 连杆AB所受的力.
p
l2 l ÷ + r cosw t + cos 2 t÷ x = l 1w 则 4 ÷ 4 è è p
m =F a
第三定律——作用反作用定律:两物体之间的作用力和反 作用力大小相等,方向相反,并沿同一条直线分别作用在两 个物体上.
* 质点在惯性系中的运动微分方程
当物体受几个力作用时,右端应为这几个力的合力. 即
ma = F
或
d r m 2 =F dt
2
* 质点在惯性系中的运动微分方程
● 矢量形式
& = & & mr = Fi ( ,r,r) i t
2023大学_理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载
2023理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载理论力学教程第三版内容简介绪论第一章质点力学1.1 运动的描述方法1.2 速度、加速度的分量表示式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学(一)1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力小结补充例题思考题习题第二章质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律 2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系 2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理小结补充例题思考题习题第三章刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的.转动 3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动__3.9 重刚体绕固定点转动的解__3.10 拉莫尔进动小结补充例题思考题习题第四章转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学(二)__4.5 傅科摆小结补充例题思考题习题第五章分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈密顿原理5.8 正则变换__5.9 哈密顿-雅可比理论__5.10 相积分与角变数__5.11 刘维尔定理小结补充例题思考题习题附录主要参考书目理论力学教程第三版目录本书是在第二版的基础上修订而成的，适用于高等学校物理类专业的理论力学课程。
本书与第二版相比内容保持不变，仅将科学名词、物理量符号等按照国家标准和规范作了更新。
本书内容包括质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参考系及分析力学等，每章附有小结、补充例题、思考题及习题。
质点运动微分方程
式中：m——质点的质量； F——作用于质点上的所有力的合力； a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其
加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点，作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初 始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
，则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压
第9章 质点动力学基本方程
再见！
9-1.9-3.9-6
2019年9月21日
2019年9月21日
牛顿第二定律
n
ma Fi i 1
（惯性参考系、质 点、宏观物体、低 速。）
n
运动微分方程： mr Fi (t, r , r ) i 1
2019年9月21日
n
mr Fi (t, r , r ) i 1
n
mx Fix i 1
n
my Fiy i 1
A
动力学方程：
L2 a2
ma (s1 s2 ) L
M
B
0
(s1
s2
)
a L
mg
S1 a
s1
mL 2a
(a 2
g)
S2 mg
2019年9月21日
s2
mL 2a
(a 2
g)
解毕
例题 质量为m的小球挂在长为 l 的细杆上
（不计杆的质量）在铅垂面内摆动，初始 在最低位置速度为u。试求杆作用在小球上 的力。
2019年9月21日
F Fe Fc
如果非惯性参考系 的角速度为零，科 氏惯性力为零。
歼击机飞行员的“黑晕”与“红视”现 象
飞 机 爬 高
当飞机
的加速
Fe
度大于 5g时
当飞
2g时
2019年9月21日
北半球上由南向北流动的河水使右岸受冲刷
vr
Fc
2019年9月21日
理 论力学
主讲：李磊
内蒙古工业大学 力学教研室
2019年9月21日
第九章 质点动力学
黄安基--第9章 动力学基本定律(1)
网上作业系统1、告知作业网站的网址：222.18.54.19\homework。
2、告知学生用户的初始密码都是：123。
3、开学三周之内改选过教学班的学生，需要同时利用作业系统的“选课”功能更改一下选课，使作业系统中的选课与教务处网站上的选课结果相同。
4、开学后才选课的学生，可先通过作业系统提交一份登录申请，并等候教师审批。
20121121例7-11 导槽滑块机构。
已知：曲柄OA = r ，匀角速度ω转动，连杆AB 的中点C 处连接一滑块C 可沿导槽O 1D 滑动，AB =l ，图示瞬时O 、A 、O 1三点在同一水平线上, OA ⊥AB , ∠AO 1C =θ=300。
求：该瞬时O 1D 的角速度角加速度。
【解】OA , O 1D 均作定轴转动, AB 作平面运动。
（1）研究AB : , 图示位置, 作瞬时平动, 所以ωωr v v r v A c B ===;ωr v A =（2）用合成运动方法，求O 1D 杆上与滑块C接触的点的速度。
动点: AB 杆上C (或滑块C ),动系: O 1D 杆, 静系: 机架绝对运动：曲线运动，方向↓相对运动：直线运动，，方向// O 1D牵连运动：定轴转动，，方向⊥O 1Dωr v v c a ==?=r v ?=e v根据，作速度平行四边形r e a v v v +=ωωθr r v v C e 2330cos cos ==⋅=∴ ωθωωωl r l r C O v C O v e D O D O e 23sin /2231111===∴⋅= 又这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题。
注意事项1、一定要多做题2、讲课顺序基本按照课本顺序；3、做作业时把作业写在纸上，交作业纸，不要交作业本。
不一定要把题全抄写，写清题意即可；但解题过程应尽量详细，养成一个良好习惯；不允许抄袭作业。
做作业时注意应该：单独取出研究对象，所取物体应标注名称、符号，每个力应有标号；画受力图；4、交作业时间为每周周一，要求每人都做作业，但不一定每次都要求全部交，按照要求交。
理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)
t
0
，x
xo，v
v
，试求质点的运动规律。
o
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
舰载飞机在解发动：机和此弹射题器推力力 求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函
假设推力和跑道可能长度，那么需要多大的初速度和一定的时间隔后才能到达飞离甲板时的速度。
数。质点运动微分方程为 (2) 力是改变质点运动状态的原因
惯性参考在系工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系
为惯性参考系。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
§9-2 质点的动力学根本方程
将动力学基本方程 (ma F) 表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d 2r m dt2 F
d 2 x
d 2y
综合问题： 局部力，局部运动求另一局部力、局部运动。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
假设推力和跑道可能长度， 那么需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能到达 飞离甲板时的速度。
载人飞船的交会与对接
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
动的初始条件，求出质点的运动。
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
§9-1 动力学根本定律
(3) 质量是物体惯性大小的度量。 ②受力分析,画出受力图 曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当
质点运动微分方程共16页文档
t
已知: m ,v r 0,E A c o sk t,v r 0 E r,F r eE r,不 计 重 力
求:质点的运动轨迹。
由t0时xy0,积分
x
t
0 dx 0v0dt ,
ydyeAtsin kdtt
0
mk0
得运动方程
xv0t, ym e2A kcoks t1
消去t, 得轨迹方程
ymeAk2 cosvk0 x1
7.2 动力学基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律（力与加速度之间关系定律）
mar
r F
力的单位:牛[顿], 1N1kg1ms2
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反, 沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
7.1 概述：动力学、质点、质点系
动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
空气动力学
动力学
结构动力学
超高速碰撞动力学
动力学的抽象模型
质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可 忽略不计的物体。
质点动力学
质点系：由几个或无限个相互有联系的质点组 成的系统。
质点系动力学
刚体：特殊质点系，其中任意两点之间的距离 保持不变。
有 mat Ft, mv2Fn, 0Fb
3 、质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力.
第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
7.4 质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力. 第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
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xl(12)r(c ot sco2 st)。
4
4
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求
当 t0和 π 时，连杆AB所受的力。
2
y
A
O
B
β
x
解： 以滑块B为研究对象，当 =ωt 时，受力如图。连杆应受平衡力
系作用，由于不计连杆质量，AB 为二力杆，它对滑块 B 的拉力 F 沿 AB方向。
0ta 1n v v0 0c sio n 0 0sta 1n 2s H31
例题 质量为1kg的重物M, 系于长度l=0.3m的线上,线的 另一端固定于天花板上的O点,重物在水平面内作匀速圆 周运动而使悬线成为一圆锥面的母线,且悬线与铅垂线 间的夹角恒为60,试求重物运动的速度和线上的张力。
解：取重物M为研究对象，选用自然坐标轴投影形式。
③运动分析，沿以O为圆心, l为半径的圆弧摆动。
动力学
第十章 质点动力学的基本方程
④列出自然形式的质点运动微方程
mat Ft
P dv Psin 1
g dt
man Fn
Pv2 gl
FT
Pcos
2
⑤求解未知量
由2式得FT
P(c
osv2),
gl
其中 ,v为变.由 量1式重 知物作 , 因 减 此 速 0 时 ,F 运 TF T m 动
c1
d
y
d t
gt
c2
x
c1t
c3
y
1 2
gt2
c2t
c4
代入初 : 始 c1v0条 co 0,s件 c2v 得 0sin 0
c3c40
则运:动 x v 0 t方 co 0 ,y s 程 v 0 ts为 i0 n 1 2g2t
则轨迹 : y 方 xta程 0 n 1 2g为 v02c x2o 2 0 s
得
Fm2 r2 l2r2
AB杆受压力。
y
A
O
F
FN
β
B x
β
B
x
mg
动力学
第十章 质点动力学的基本方程
[例2] 桥式起重机跑车吊挂一重为P的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 ν 0 ，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②受力分析如图所示
第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
maF
第三定律（作用与反作用定律） 不仅适用于平衡的物体， 而且也适用于任何运动的物体。
§9-2 质点的运动微分方程
质点的运动微分方程
n
ma Fi i 1
1.矢量形式
微分形式的方程。
d2r n
m dt2 i1 F
2.直角坐标形式
m d d t 2 2 x i n 1F xi , m d d 2 t2 y i n 1F yi , m d d t 2 2 z i n 1F zi
dv m dt Ft 0
mg
FT cos 60 19.6 N
m
v2 r
Fn FT
sin
60
0 Fb mg FT cos 60
v rFT sin 60 2.1 m s
m
60 FT r M v mg
烟囱的倾倒
一个简单问题 烟囱的倾倒分析
航空航天器 的姿态控制
工程实际中的动力学问题 高速列车的振动问题
道路转弯中的力学问题
引言
一、研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 二、力学模型
1.质点
2.质点系
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力 学时，可将其视为刚体系或 质点系。
三、动力学分类: 质点动力学
FTmax
P(1
v02 ) gl
动力学
第十章 质点动力学的基本方程
[例 ] 煤矿用填充机进行填充, 为保证
充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米
的顶板A处。求 (1)充填材料需有多
大的初速度v0 ? (2)初速 0 与水平的
夹角0？
解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
质点系动力学
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题
§9–1 动力学的基本定律 §9–2 质点运动微分方程 §9–2 质点动力学两类问题
§9-1 动力学的基本定律
牛顿三定律：
第一定律（惯性定律） 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动
t0,x00,y00;v0x v0cos0 v0y v0sin0, 其中 v0,0待求
t瞬 ,M 时 A ,x S ,y H ,v x,v y
动力学
第十章 质点动力学的基本方程
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
微分方程
积分一次
再积分一次
m
dvx dt
0
m
dvy dt
mg
dx d t
3.自然形式
m d d v t i n 1F ti ,
m v 2nF n i ,
i 1
n
0 F b i
i 1
§10-3 质点动力学两类问题
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力
（微分问题）
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动
（积分问题）
曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度ω转动，OA=r， AB=l，当λ=r/l比较小时，以O为坐标原点，滑块B的运动方 程可近似写为
本篇重点： • 动力学三大定理； • 动力学普遍定理的综合应用； • 达朗贝尔原理（动静法）；
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
工 程
爆
实
破
际
时
中 的 动 力
烟 囱 怎
学
样
问
倒
题
塌
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
工程实际中的动力学问题
动力学
第十章 质点动力学的基本方程
代入最高点A处值，得：ddyt vg
将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程， 得
v0 cos0 sg
2gH
v0sin0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
v0(v0co0)s 2(v0sin 0)2g 2g 2s2H 2gH 1.5 0 m/
写出滑块沿x轴的运动微分方程 mxaFcos
由题设的运动方程，可以求得
axd d2 t2 xr2(c o t sco 2 st)
当 t 0时，axr2(1),且 0 ，得
AB杆受的拉力
y
Fmr2(1)
A
O
F
FN
β
B
x
βB
x
mg
t 2
时， ax r2, cos l2r2 l ，
则有
mr2Fl2r2 l