圆锥曲线的定义性质与结论(解析版)

圆锥曲线的基本定义性质与结论考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2.椭圆的标准方程：①x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2−b 2． ②y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2−b 2．3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：−a ≤x ≤a ，−b ≤y ≤b ；2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2．5）椭圆的离心率：e =ca ，焦距与长轴长之比，0<e <1，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆． (二) 双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．依定义，设P 是双曲线上一点，则有||PF 1|−|PF 2||=2a 且2a <2c2.双曲线的标准方程：①)0,0(12222>>=-b a by a x ，焦点坐标为()()0,0,21c F c F ，-，c 2=a 2+b 2； ②)0,0(12222>>=-b a bx a y ，焦点坐标为()()c F c F ,0,021，-，c 2=a 2+b 2； 3.双曲线的几何性质1）范围：x ≥a 或x ≤−a ；如图．2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．3）顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．4）实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，A 1，A 2为顶点，线段A 1A 2为双曲线的实轴．在y 轴上作点()()b B b B ,0,,021-，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴． 5）渐近线：直线y =±ba x ；6）离心率：e =ca叫做双曲线的离心率，e >1．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．（三）抛物线及其标准方程1.基本定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2.抛物线的标准方程：y 2=2px(p >0)，焦点在x 轴正半轴上，坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p F ，准线方程是x =−p2，其中p 是焦点到准线的距离．3.抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程y 2=2px(p >0)研究性质）： 1）范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． 2）对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．4）离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，e =1． 4.抛物线方程的四种形式如下典例精讲1．已知方程x 2m2+y2m+2=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1【分析】先根据椭圆的焦点在x轴上m2＞2+m，同时根据2+m＞0，两个范围取交集即可得出答案．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1，又∵2+m＞0，∴m＞﹣2，∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程的问题．即对于椭圆标准方程x 2a2+y2b2=1，当焦点在x轴上时，a＞b；当焦点在y轴上时，a＜b．2．已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．(13，23)B．(12，1) C．(23，1)D．(13，12)∪(12，1)【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2＝F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞13．当e =12时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠12同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e ＞13且e ≠12时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形 综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（13，12）∪（12，1）故选：D ．【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形，求椭圆离心率e 的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．3．AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是（ ） A ．2B ．12C ．32D ．52【分析】先设出A ，B 的坐标，进而根据抛物线的定义可知|AB |＝x 1+x 2+p 求得x 1+x 2的值，进而求得AB 的中点的横坐标．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）根据抛物线的定义可知 |AB |＝x 1+x 2+p ＝x 1+x 2+1＝4，∴x 1+x 22=32，故选：C ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义．在涉及抛物线的焦点弦问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．4．抛物线的准线为x ＝﹣4，则抛物线的方程为（ ）A ．x 2＝16yB ．x 2＝8yC ．y 2＝16xD ．y 2＝8x【分析】由已知可设抛物线方程为y 2＝2px （p ＞0），并求得p ，则答案可求． 【解答】解：∵抛物线的准线为x ＝﹣4，∴可知抛物线是开口向右的抛物线，设方程为y 2＝2px （p ＞0）．则p2=4，p ＝8．抛物线方程为y 2＝16x ．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，是基础题．5．若椭圆22:184x y C +=的右焦点为F ，且与直线:320l x y -+=交于P ，Q 两点，则PQF ∆的周长为( )A ．62B ．82C ．6D ．8【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可． 【解答】解：直线l 过椭圆C 的左焦点(2,0)F '-， 直线:320l x y -+=经过左焦点F '，PQF ∴∆的周长||||||PQ PF QF ++||||||||PF PF QF QF ''=+++482a ==，故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，是基本知识的考查．6．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点0(2,)A y 在抛物线C 上，若||2AF =，则(p = ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由A 的坐标满足抛物线方程，以及抛物线的定义，可得方程组，解方程可得p ．【解答】解：抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,)2p F ，准线方程为2py =-，0(2,)A y 在抛物线C 上，可得024py =，即02py =，①由||2AF =，结合抛物线的定义可得022py +=，② 由①②解得2p =，01y =，故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查方程思想和运算能力，是一道基础题．7．已知抛物线y 2＝24ax （a ＞0）上的点M （3，y 0）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（ ）A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x【分析】利用抛物线的定义可得3+6a ＝5，从而可求a 的值及抛物线方程 【解答】解：由题意知，3+6a ＝5，∴a =13，∴抛物线方程为y 2＝8x ．故选：A ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义的应用，属于对基本概念的考查，属于基础试题． 8．与椭圆x 249+y 224=1有公共焦点，且离心率e =54的双曲线的方程为（ ）A ．x 29−y 216=1 B ．x 216−y 29=1 C ．y 29−x 216=1 D ．y 216−x 29=1【分析】先求出椭圆x 249+y 224=1的焦点为（±5，0），由此得到与椭圆x 249+y 224=1有公共焦点，且离心率e =54的双曲线方程中，c ＝5，a ＝4，从而能求出双曲线方程． 【解答】解：∵椭圆x 249+y 224=1的焦点为（±5，0），∴与椭圆x 249+y 224=1有公共焦点，且离心率e =54的双曲线方程中，c ＝5，a ＝4，b 2＝25﹣16＝9，∴所求的双曲线方程为：x 216−y 29=1．故选：B ．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的简单性质的应用．9．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点( )A ．(1,B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．(1, 【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后判断选项是否正确即可．【解答】解：由双曲线22221x y a b-=的离心率为2，可得2c a =2=，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为y =，由选项可知，(1,在双曲线的渐近线上．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是基础题．考点二 圆锥曲线的性质与结论 （一） 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系 位置关系：相交、相切、相离．判定条件：设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆方程C ：()0,=y x f ，由()⎩⎨⎧==++0,0y x f C By Ax消去y （或消去x ）得：ax 2+bx +c =0．Δ=b 2−4ac ， Δ>0⇔相交，直线与椭圆有两个交点； Δ<0⇔相离，直线与椭圆无交点； Δ=0⇔相切，直线与椭圆有一个交点． 2.直线与双曲线的位置关系 位置关系：相交、相切、相离；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切； 判定条件：设直线l ：Ax +By +C =0，双曲线C ：()0,=y x f ，由()⎩⎨⎧==++0,0y x f C By Ax 消去y （或消去x ）得：ax 2+bx +c =0． 若a ≠0，Δ=b 2−4ac ，Δ>0⇔相交，直线与双曲线有两个交点； Δ<0⇔相离，直线与双曲线无交点； Δ=0⇔相切．直线与双曲线有一个交点．若a =0，得到一个一次方程，与双曲线相交，有一个交点，l 与双曲线的渐近线平行． 3.直线与抛物线的位置关系 位置关系：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切； 判定条件：设直线l ：Ax +By +C =0，抛物线C ：()0,=y x f ，由()⎩⎨⎧==++0,0y x f C By Ax 消去y （或消去x ）得：ax 2+bx +c =0． 若a ≠0，Δ=b 2−4ac ， Δ>0⇔相交； Δ<0⇔相离； Δ=0⇔相切．若a =0，得到一个一次方程，与抛物线相交，有一个交点，l 与抛物线的对称轴平行．4.圆锥曲线的弦：连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦． 求弦长方法：1）将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求； 2）如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为()()2211,,,y x y x ，则弦长公式为|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+(1k )2|y 1−y 2|．两根差公式：如果21,x x 满足一元二次方程：ax 2+bx +c =0， 则|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(−b a )2−4⋅c a =√b 2−4ac |a |=√Δ|a |（Δ>0）．注意：（1）讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元（x 或y ），若消去y 得到ax 2+bx +c =0，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注意的是： ①二次项系数a 可能有a =0或a ≠0两种情况，只有当a ≠0，才能用Δ判断根的个数； ②直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切．（2）在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较．（3）当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍． (二)圆锥曲线的常用结论 1.椭圆1）点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2）PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3）以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4）若P 0(x 0,y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上，则过P 0的椭圆的切线方程是x 0xa 2+y 0y b 2=1.5）若P 0(x 0,y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1外 ，则过P 0作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是x 0xa 2+y 0y b 2=1.6）椭圆x 2a +y 2b =1 (a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点∠F 1PF 2=γ，则椭圆的焦点角形的面积为S ΔF 1PF 2=b 2tan γ2.7）椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦半径公式：|MF 1|=a +ex 0,|MF 2|=a −ex 0 (F 1(−c,0) ，F 2(c,0)，M(x 0,y 0)). 8）AB 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1的不平行于对称轴的弦，M(x 0,y 0)为AB 的中点，则k OM ⋅k AB =−b 2a2，即K AB =−b 2x 0a 2y 0。