圆锥曲线的定义性质与结论(解析版)

圆锥曲线的基本定义性质与结论

考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

2.椭圆的标准方程：

①x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21

c F c F ，-，且c 2=a 2−b 2． ②

y 2a

2+

x 2b 2

=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2−b 2．

3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：−a ≤x ≤a ，−b ≤y ≤b ；

2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2．

5）椭圆的离心率：e =c

a ，焦距与长轴长之比，0

1.双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．依定义，设P 是双曲线上一点，则有||PF 1|−|PF 2||=2a 且2a <2c

2.双曲线的标准方程：

①)0,0(122

22>>=-b a b

y a x ，焦点坐标为()()0,0,21c F c F ，-，c 2=a 2+b 2； ②)0,0(122

22>>=-b a b

x a y ，焦点坐标为()()c F c F ,0,021，-，c 2=a 2+b 2； 3.双曲线的几何性质

1）范围：x ≥a 或x ≤−a ；如图．

2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．

3）顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．

4）实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，A 1，A 2为顶点，线段A 1A 2为双曲线的实轴．在y 轴上作点()()b B b B ,0,,021-，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴． 5）渐近线：直线y =±b

a x ；

6）离心率：e =c

a

叫做双曲线的离心率，e >1．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．

（三）抛物线及其标准方程

1.基本定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．

2.抛物线的标准方程：y 2=2px(p >0)，焦点在x 轴正半轴上，坐标是⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,2

p F ，准线方程是x =−p

2，其

中p 是焦点到准线的距离．

3.抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程y 2=2px(p >0)研究性质）： 1）范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． 2）对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．

4）离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，e =1． 4.抛物线方程的四种形式如下

典例精讲

1．已知方程x 2

m2+y2

m+2

=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）

A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1

【分析】先根据椭圆的焦点在x轴上m2＞2+m，同时根据2+m＞0，两个范围取交集即可得出答案．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0

解得m＞2或m＜﹣1，又∵2+m＞0，∴m＞﹣2，∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1

故选：D．

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程的问题．即对于椭圆标准方程x 2

a2+y2

b2

=1，当焦点在x轴上时，a

＞b；当焦点在y轴上时，a＜b．

2．已知椭圆C：x 2

a2+y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△

F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A．(1

3，2

3

)B．(1

2

，1) C．(2

3

，1)D．(1

3

，1

2

)∪(1

2

，1)

【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．

【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，

△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，

此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；

②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，

以F2P作为等腰三角形的底边为例，

∵F1F2＝F1P，

∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上

因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，

存在2个满足条件的等腰△F1F2P，

在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，

由此得知3c＞a．所以离心率e＞1

3

．