章节作业(答案解析)2 高中数学选修4-1 北师大版

合集下载

2012年北师大数学选修4-1：第1章1.4 知能优化训练

[学生用书P 12～P 13]1．如图，已知AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，那么下列比例式成立的是( )A.OA ′OA ＝OCOC ′ B.A ′B ′AB ＝B ′C ′BC C.A ′C ′AC ＝OC OC ′ D.AB A ′B ′＝OC CC ′答案：B2．已知一组平行线截两条直线，截得的线段长度如图所示，则x ＝( )A.125 B.512 C.712 D.127 答案：A3．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ∶DB ＝2∶3，BC ＝20 cm ，则BF ＝( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．12 cm解析：选C.∵DE ∥BC ， ∴AD DB ＝AE EC. 又∵EF ∥AB ， ∴BF FC ＝AE EC ， ∴BF FC ＝AD DB ＝23.设BF ＝2x ，则FC ＝3x ， ∴5x ＝20，x ＝4， ∴BF ＝2x ＝8(cm)．4．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN ∥BC 且交对角线BD 于O ，AD ＝DO ＝p ，BC ＝BO ＝q ，则MN 为多少？解：∵AD ∥BC ，MN ∥BC ， ∴AD ∥BC ∥MN ， ∴MO AD ＝BO BD ＝q p ＋q ， ON BC ＝OD BD ＝p p ＋q， ∴MO ＝AD ·q p ＋q ＝pqp ＋q ，ON ＝BC ·p p ＋q ＝pqp ＋q，∴MN ＝MO ＋ON ＝2pqp ＋q.5．如图，l 1∥l 2∥l 3，那么下列结论正确的是( )A.AB BC ＝FBBD B.AE EC ＝DB DF C.AB BC ＝DE EF D.AE CE ＝EF ED 答案：C 6.AB ∥CD ∥EF ，AF ，BE 相交于O ，若AO ＝OD ＝DF ，BE ＝10 cm ，则BO 的长为( ) A.103 cm B ．5 cm C.52cm D ．3 cm 解析：选A.∵CD ∥EF ，OD ＝DF ， ∴C 为OE 中点，∴OC ＝CE .∵AB ∥CD ，AO ＝OD ，∴O 为BC 中点，∴BO ＝OC ，∴OB ＝13BE ＝103cm.7.如图，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( ) A ．2∶1 B ．3∶1 C ．4∶1 D ．5∶1 解析：选C.过D 作DG ∥AC 交BE 于G (图略)，∴DG ＝12EC ，又AE ＝2EC ，∴AE ＝4DG ，∴AF ＝4FD ，即AF ∶FD ＝4∶1. 8.如图所示，在梯形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ∥AB ，EF ＝30 cm ，AC 交EF 于G ，若FG －EG ＝10 cm ，则AB ＝( ) A ．30 cm B ．40 cm C ．50 cm D ．60 cm 解析：选B.∵EF ∥AB ∥CD ， ∴GF AB ＝CF CB ＝12， ∴AB ＝2GF .又∵EF ＝EG ＋GF ＝30， FG －EG ＝10， ∴GF ＝20，∴AB ＝2×20＝40(cm)． 9.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ∶BC ＝a ∶b ，中位线EF ＝m ，则图中MN 的长是( ) A.m (a ＋b )b －a B.m (b －a )a ＋bC.m (b －a )2(a ＋b )D.m (b －a )a ＋b 解析：选D.∵EF 是梯形ABCD 的中位线，∴EF ＝12(AD ＋BC )，即AD ＋BC ＝2m .又∵EM ∥AD ，E 为AB 的中点，∴EM ＝12AD .同理EN ＝12BC ，∴MN ＝EN －EM ＝12(BC －AD )＝12·2m (BC －AD )AD ＋BC ＝m (b －a )a ＋b . 10.在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，已知AB 、BD 、DC 的长度分别是3、2、4，则AC 的长为________．解析：如图所示，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点E .则BD DC ＝AEEC.又∵AD 为∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠DAE .∵DE ∥AB ，∴∠BAD ＝∠ADE . ∴∠DAE ＝∠ADE .∴AE ＝DE . ∴BD DC ＝AE EC ＝DE EC ＝AB AC .即BD DC ＝AB AC. ∴AC ＝AB ·DC BD ＝3×42＝6.答案：611．若等腰三角形的一边长为7，三条中位线之和为16，则此三角形的三边长分别为________．解析：当底长为7时，腰长为16×2－72＝252；当腰长为7时，底边长为16×2－2×7＝18，但7＋7＜18，不合题意，故三边长分别为252，252，7.答案：252，252，712.如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：∵AE ∥BC ，D 为AC 的中点， ∴AE ＝CF ， ∴AE BF ＝AG BG ＝13，设AE ＝x ，又BC ＝8， ∴x x ＋8＝13，3x ＝x ＋8，∴x ＝4， ∴AE ＝4. 13.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD . (1)求证：OE ＝OF ；(2)求OE AD ＋OEBC(3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.解：(1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥AD ∥BC ， ∴OE BC ＝AE AB， OF BC DF DC ，AE AB ＝DF DC ， ∴OE BC ＝OF BC 即OE ＝OF .(2)∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝BEAB.由(1)知，OE BC ＝AEAB，∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AE AB ＝1. (3)证明：由(2)，知 OE AD ＋OEBC ＝1， ∴2OE AD ＋2OE BC＝2. 由(1)，知EF ＝2OE ， ∴EF AD ＋EFBC ＝2， ∴1AD ＋1BC ＝2EF。

圆的切线的判定和性质课后作业(答案解析)提升高中数学选修4-1 北师大版

第二课时圆的切线的判定和性质1．下列直线是圆的切线的是() A．与圆有公共点的直线B．垂直于圆的半径的直线C．过圆半径的外端点的直线D．到圆心距离等于该圆半径的直线答案：D2．已知AB是⊙O的切线，下列条件可推出AB⊥CD的是() A．AB与⊙O相切于CD上的C点B．CD经过圆心C．CD为直径D．AB与⊙O相切于C点，且直线CD经过圆心答案：D3．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB 的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径是()A.533 B.536C．10 D．5答案：A4．下列说法正确的是()A．垂直于半径的直线是圆的切线B．垂直于切线的直线必经过圆心C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过切点答案：C5．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC ＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于()A.45 B.54C.34 D.56答案：A6．如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O 的半径为3，△ABC的周长为________．答案：207．如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为________．答案：23 38．如图，从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，点A、B为切点．求证：(1)PO平分∠APB；(2)PO垂直平分线段AB.证明：(1)连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB.又PO＝PO，所以△PAO≌△PBO.故∠APO＝∠BPO，即PO平分∠APB.(2)由上面证明可知△PAO≌△PBO，所以PA＝PB.又PO平分∠APB，由等腰三角形三线合一定理，知PO垂直平分线段AB.9．如图，BD为⊙O的直径，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4.(1)求AB的长；(2)延长DB到点F，使BF＝BO，连接FA，证明：FA与⊙O相切．解：(1)AB＝2 3.(2)证明：连接OA.∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°.∴BD＝AB2＋AD2。

切割线与相交弦定理课后作业(答案解析)提升高中数学选修4-1 北师大版

第四课时切割线与相交弦定理1．点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则() A．OC2＝CA·CB B．OC2＝PA·PBC．PC2＝PA·PB D．PC2＝CA·CB答案：D2．如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN 上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为()A．1 B.2 2C.3－1D. 2答案：D3．如图，两个等圆⊙O和⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于()A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B4．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，PA＝3 cm，PB＝5 cm，PC＝2.5 cm，则弦CD的长为() A．6 cm B．7.5 cm C．8 cm D．8.5 cm答案：D5．圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是() A．2 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm答案：C6．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．答案：127．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C，图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)．答案：AB OP8．如图，P为圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，A、B为切点，OP与AB相交于点M，且点C是上一点．求证：∠OPC＝∠OCM.证明：连接OB，由切线长定理，得PA＝PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2＝OP·OM，∵OB＝OC，∴OC2＝OP·OM，即OCOP＝OMOC，∴△OCP∽△OMC，∴∠OPC＝∠OCM.9．A点在圆周上，BC与圆切于M，AB、AC分别与圆相交于D、E，且M为的中点．求证：DB∶BM＝EC∶CM.证明：如图，连接AM.∵BC与圆切于点M，∴CM2＝CE·CA，BM2＝BD·BA.即CE∶CM＝CM∶CA，BD∶BM＝BM∶BA.又∵M为的中点，∴∠1＝∠2，∴BM∶BA＝CM∶CA，∴BD∶BM＝EC∶MC.10．如图，弦AD和CE相交于⊙O内一点F，延长EC与过点A的切线相交于点B，且AB＝BF＝FD，BC＝1 cm，CE＝8 cm，求EF和AF的长．。

北师大版数学高二-选修4-1 第2章2.12课时作业

选修4-1 第2章2.1+2课时作业一、选择题1．从球外一点引球的切线，则()A．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆B．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆C．只可以引两条切线，两切点的连线过球心D．只可以引两条切线，两切点的连线不过球心【解析】根据球的切线性质知B正确．【答案】 B2．已知球的半径R＝6，过球外一点P作球的切线长为8，则P点到球面上任意一点Q的最短距离为()A．3B．4C．5 D．6【解析】设点P到球心的距离为d，则d＝62＋82＝10.∴PQ的最短距离为10－6＝4.【答案】 B3．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图2－1－4所示，则截面图可能是()图2－1－4A．①③B．②③C．①④③D．①②③【解析】根据截面的位置不同，可得到的截面形状可能是①②③，但不可能为④，故选D.【答案】 D4．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3π D．4π【解析】如图所示，由题意知OA＝OB＝OS＝r，易知△ACB为直角三角形，所以V球V锥＝43πr313×12(2r)2×r＝4π.【答案】 D二、填空题5．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________．【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，则有(2R)2＝(3)2＋(3)2＋(3)2＝9，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝9π.【答案】9π6．如图2－1－5所示，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于________．图2－1－5【解析】∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，DA⊥AC.又BC⊥AB，AB∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥DB，则DC的中点即为球心O.又DA＝AB＝BC＝3，∴AC＝6，DC＝3，∴球O的体积V球＝43π(32)3＝9π2.【答案】9π2三、解答题7．已知半径为R的四个球两两相切，下面三个球与桌面相切，求上面一个球的球心到桌面的距离．【解】设四个球的球心分别为O1、O2、O3、O4，将它们两两连接恰好组成一个正三棱锥，各棱长均为2R，如图作O1H⊥面O2O3O4，垂足为H，则O1H 为棱锥的高连接O4H，则O4H＝233R.∵△O1HO4为直角三角形，∠O1HO4＝90°，∴O1H＝263R，∴从上面一个球的球心到桌面的距离为(263＋1)R .8．若正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，求这个正四面体的高．【解】如图，设正四面体边长为x ，设球半径为R .∴AH ＝33x,4πR 2＝36π.∴R ＝3，在Rt △AHS 中，SH 2＝SA 2－AH 2，∴SH 2＝x 2－(33x )2＝23x 2，( 23x －R )2＋(33x )2＝9，∴x ＝2 6∴SH ＝4，故正四面体的高为4.图2－1－69．如图2－1－6所示，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？【解】由题意，轴截面PAB 为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r ，水面半径为3r ，容器内水的体积就是V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3.将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面半径为33h.此时容器内水的体积为V′＝13π(33h)2·h＝19πh3.由V＝V′，得h＝315r.即铁球取出后水深为315r.10．已知球面上的三点A、B、C，且AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，球的半径为13 cm.求球心到平面ABC的距离(如图)．【解】因为62＋82＝102，所以△ABC是直角三角形．因为球心O在平面ABC内的射影M是△ABC所在截面圆的圆(外接圆)心，所以M是直角三角形斜边AC上的中点，且OM⊥AC.在Rt△OAM中，OM＝OA2－AM2＝132－52＝12，所以球心到平面ABC的距离为12 cm.。

北师大版数学选修4-1练习(第2章)截面欣赏(含答案)

截面欣赏同步练习一、选择题1．如图所示，直线l 1，l 2，l 3，的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则（）A ． k 1< k 2< k 3B ． k 3< k 1< k 2C ． k 3< kk 2< k 1D ． k 1< k 3< k 22．点（0，5）到直线y=2x 的距离是（）A ．25 B ． 5C ．23 D ．25 3．经过点P （3，2），且倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是（）A ．8x-15y+6=0B ．x -8y+3=0C ．2x -4y+3=0D ．8x +15y+6=04．方程| x |+| y |=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是（）A ．2B ．1C ．4D ． 25．过点P （2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A ．x +y-5=0或x -y+1=0B ．x -y+1=0C ．3x -2y=0或x +y-5=0D ．x -y+1=0或3x -2y=06．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x +ay+c=0与bx -sinB ·y+sinC=0的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直7．直线x -y+4=0被圆(x +2)2+(y-2)2=2截得的弦长为（）A ． 2B ．22C ．32D ．428．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（）A ．| x |-| y |=1B ．x -y=1C ．( | x |-| y | )2=1D ．| x -y |=19．若集合,}1)2(|),{(},16|),{(2222B B A a y x y x B y x y x A =-≤-+=≤+= 且则a 的取值范围是（）A ．1≤aB ．5≥aC ．51≤≤aD ．5≤a10．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0111y x y x 下，目标函数y x z 2+=的最小值和最大值分别是（）A ．1，3B ．1，2C ．0，3D ．2，3二、填空题11．如果直线l 与直线x +y-1=0关于y 轴对称，那么直线l 的方程是． 12．直线3x +y-23=0截圆x 2+y 2=4，得劣弧所对的圆心角为．y xl 2l 1l 3o13．过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是．14．如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x -4y=0平分，且不经过第四象限，则l 的斜率的取值范围是三、解答题15．求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R)的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围．16．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l １，l ２，若l １交x 轴于A 点，l 2 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．17．已知圆的半径为10，圆心在直线x y 2=上，圆被直线0=-y x 截得的弦长为24，求圆的方程．18．已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），求P 点的轨迹方程.xyoAB CDE FG P参考答案一．选择题二．填空题11．x - y +1=0 12．3π 13．y=33 x 14． [0，2] 三、解答题15．[解析]：(1)当m=2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π(2)当m ≠2时，直线l 的斜率k=21-m 当m ＞2时，k ＞0． ∴α=arctan 21-m ,α∈（0，2π），当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan 21-m ，α∈(2π,π)．16．[解法1]：设点M 的坐标为(x,y),∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0，2y)，∵l １⊥l ２，且l １、l ２过点P(2，4)， ∴PA ⊥PB,k PA ·ｋＰＢ＝－１．而)1(,0224,2204≠--=--=x yk x k AB PA).1(11212≠-=-⋅-∴x y x 整理，得x+2y-5=0(x ≠1)∵当x=1时，A 、B 的坐标分别为(2，0)、(0，4)．∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x+2y-5=0，综上所述，点M 的轨迹方程是x+2y-5=0．[解法2]：设M 的坐标为(x,y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连接PM ，∵l １⊥l ２，∴2｜ＰＭ｜＝｜ＡＢ｜，而｜ＰＭ｜＝22)4()2(-+-y x22)2()2(y x AB += 222244)4()2(2y x y x +=-+-∴ 化简，得x+2y-5=0,为所求轨迹方程． 17．[解析]：设圆心坐标为（m ，2m ）,圆的半径为10，所以圆心到直线x -y=0的距离为2||2||m m =-由半径、弦心距、半径的关系得228102±=∴+=m m∴所求圆的方程为10)4()2(,10)4()2(2222=+++=-+-y x y x18．[解析]：根据题设条件可知，点P(x ，y)的轨迹即直线GE 与直线OF 的交点. 据题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤===k k DADC CD CF BC BE ，由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为：0)12(20420040=-+⇒---=--y k ax k x a y ， ① 直线GE 的方程为：02)12()2(2)2()44(4)44(=-+--⇒----=----a y x k a x ak a ak ak a y . ②从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）的轨迹方程是：022222=-+ay y x a ，。

北师大版数学高二-选修4-1 第1章1.2.4课时作业

选修4-1 第1章1.2.4课时作业一、选择题1. 如图1－2－73，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论：图1－2－73①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ； ②AF ·AG ＝AD ·AE ； ③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③【解析】 ∵CF ＝CE ，BF ＝BD ， ∴BC ＝CE ＋BD .∴AB ＋BC ＋CA ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ，故结论①正确．连接DF ，则∠FDA ＝∠DGA . 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADF ∽△AGD . ∴AD AG ＝AF AD . ∴AD 2＝AF ·AG . 又AE ＝AD ， ∴AD ·AE ＝AF ·AG .故结论②正确，容易判断结论③不正确，故选A. 【答案】 A2．PT 切⊙O 于点T ，割线PAB 经过O 点交⊙O 于A 、B ，若PT ＝4，PA ＝2，则cos ∠BPT ＝( )A.45B.12C.38D.34【解析】如图所示，连接OT ，根据切割线定理，可得PT 2＝PA ·PB ，即42＝2×PB ， ∴PB ＝8，∴AB ＝PB －PA ＝6， ∴OT ＝r ＝3，PO ＝PA ＋r ＝5， ∴cos ∠BPT ＝PT PO ＝45. 【答案】 A3．如图1－2－74，点P 在⊙O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切⊙O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝( )图1－2－74A ．2 3 B. 3 C ．2D ．4【解析】如题图，连接OC ，由切割线定理知， PC 2＝PA ·PB ，∴PC 2＝(2＋4)×2＝12，∴PC ＝23， ∴PO ＝PC 2＋OC 2＝4.又OC ⊥PC ，∴CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3. 【答案】 B4．如图1－2－75，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 的直径CE 在BC 上，且与AB 相切于D 点，若CO ∶OB ＝1∶3，AD ＝2，则BE 等于( )图1－2－75A. 3 B ．2 2 C ．2D ．1【解析】连接OD ，则OD ⊥BD ， ∴Rt △BOD ∽Rt △BAC ， ∴OD AC ＝BD BC ，设⊙O 的半径为a ，∵OC ∶OB ＝1∶3，OE ＝OC ， ∴BE ＝EC ＝2a ， BO ＝3a ，BD ＝22a ， BC ＝4a ，由题知AD 、AC 均为⊙O 的切线，∵AD＝2，∴AC＝2.∴a 2＝22a4a，即a＝2，∴BE＝2 2.【答案】 B二、填空题5．(2013·北京高考)图1－2－76如图1－2－76，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.【解析】由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.根据切割线定理有PA2＝PD·PB.又PA＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a＝15，∴PD＝95，PB＝5.在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.【答案】95 46．(2013·周口模拟)如图1－2－77，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O 的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与PQ相交于Q点，若AQ＝6，AC＝5，则弦AB的长是________．图1－2－77【解析】∵PQ为切线，∴∠PAC ＝∠ABC . ∵AC 是∠PAB 的平分线， ∴∠BAC ＝∠PAC . ∴∠ABC ＝∠BAC ， ∴AC ＝BC ＝5，由切割线定理，可得AQ 2＝QB ·QC ， ∴62＝QB ·(QB ＋5)，解得QB ＝4. ∵∠QAB ＝∠QCA ， ∴△QAB ∽△QCA ， ∴AB AC ＝QA QC ， ∴AB 5＝64＋5，解得AB ＝103. 【答案】 103 三、解答题7．已知如图1－2－78所示，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于点C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2，求：图1－2－78(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .【解】 (1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x . 根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )．解得x ＝2， ∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中，AC ＝BC 2－AB 2＝14，由割线定理，得CD ·AC ＝CN ·CM ，∴CD ＝CN ·CM AC ＝2147，∴r ＝12(AC －CD )＝12(14－2147)＝51414.8．如图1－2－79，自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP ＝∠MPB .图1－2－79【证明】 ∵PA 与圆相切于A ， ∴MA 2＝MB ·MC . ∵M 为PA 中点， ∴PM ＝MA ， ∴PM 2＝MB ·MC ， ∴PM MC ＝MBPM . ∵∠BMP ＝∠PMC ， ∴△BMP ∽△PMC ，∴∠MCP＝∠MPB.9．如图1－2－80，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC ＝∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E.图1－2－80(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长．【解】(1)证明∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上．连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC.∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6.又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴BC AC ＝ECEA＝22，即AC＝2BC.又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2 3.10．如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C，TA、TB与小圆分别相交于点E 、F ，FE 的延长线交两圆的公切线TP 于点P .求证：(1)；(2)AC ·PF ＝BC ·PT .【证明】 (1)设小圆的圆心为点O ，连接OC .∵AB 切小圆于点C ， ∴OC ⊥AB . ∵∠1＝∠3＝∠2， ∴EF ∥AB ，∴OC ⊥EF ， ∴.(2)∵EF ∥AB ， ∴AE BF ＝AT BT ＝TE TF. ∵AB 切小圆于点C ，∴AC 2＝AE ·AT ， BC 2＝BF ·BT ，∴AC 2BC 2＝AE ·AT BF ·BT ＝TE 2TF 2，AC BC ＝TE TF . ∵PT 是公切线，∴∠PTF ＝90°，∵TF 是⊙O 的直径， ∴TE ⊥PF ，△PTF ∽△TEF ， ∴PT PF ＝TE TF ，∴AC BC ＝PT PF ， ∴AC ·PF ＝BC ·PT .。

直角三角形的射影定理课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版

选修4-1 第1章1.1.5课时作业一、选择题1．一个直角三角形两条直角边的比为1∶5，则它们在斜边上的射影比为() A．1∶2B．1∶3C．1∶ 5 D．1∶5【解析】设Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，ACBC＝15，则AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴ADBD＝(ACBC)2＝(15)2＝15.【答案】 D2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若ACAB＝34，则BDCD等于()A.34 B.43C.169 D.916【解析】如图，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC ， ∴AC 2AB 2＝CD BD ＝(34)2，即CD BD ＝916，∴BD CD ＝169. 【答案】 C3．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( )A.14B.13C.12D ．2【解析】如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又∵BD ∶AD ＝1∶4，令BD ＝x ，则AD ＝4x (x ＞0) ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2， ∴CD ＝2x . 在Rt △CDB 中， tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 【答案】 C4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的相似比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.6∶3D ．不确定【解析】如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，即CD AD ＝BDCD . 又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD .又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ，BD ＝3x (x ＞0)， ∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .∴△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63，即相似比为6∶3.【答案】 C 二、填空题5．如图1－1－49所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，OF ⊥AB ，DE ∶EB ＝1∶3，OF ＝a ，则对角线BD 的长为________．图1－1－49【解析】由题意知，AD ＝2a ，DE ＝14BD ， ∴AD 2＝DE ·BD ＝14BD 2， ∴BD 2＝4AD 2＝16a 2， ∴BD ＝4a . 【答案】 4a6．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．【解析】如图，过C 点作CE ⊥AB 于E .。

北师大版高中数学选修4-1专题练习(含答案)

《几何证明选讲》习题一考试大纲说明的具体要求：1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.2会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).5.了解下面定理：定理在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线.一、基础知识填空：1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________. 3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90o的圆周角所对的弦是________. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________. 6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________. 7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________. 8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等. 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；圆心和这点的连线平分_____的夹角.二、经典试题：1.如图所示，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则EF FG+=BC AD．2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ：EB=1：2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6cm 2，则△ABC 的面积为cm 2．3.如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8则圆O 的半径等于．A BC D E F GBCDE F4.如图所示，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= __.5.已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2. AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB=1，则圆O 的半径R=_______.6. 如图所示，圆O 的直径AB=6，C 圆周上一点，BC=3，过C过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点 D 、E ，则∠DAC ＝ __，线段AE 的长为 __.三、基础训练：1.如图所示，PC切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 点E ，PC=4，PB=8，则CD=________.2.如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=AC=6，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为________.3.如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8则圆O 的半径等于．4.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=AB=BC=3. 则BD 的长______，AC 的长_______．5. 如图， ⊙O′和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙O′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ， MN=3，NQ=15，则 PN ＝______．6.如图所示, 圆的内接△ABC 的∠C 的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段 BE= .7.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ， ∠MAB=250，则∠D= ___ .8.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC于F ，则BF=FC.9.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 .10. 如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD=1，∠ABC=300，则圆O 的面积是______.BADCEN CBADEF11.如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB=6，CD=52，则线段AC 的长度为．12.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ， E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H. 若 AD=5，BC=7，则GH=________.13.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D. AD=2，AC= 52，则AB=____ __,CD=___ __.14.如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且1PB =BC 2，则PAPB的值是________.15.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线 PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。

新北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(含答案解析)(2)

一、选择题1．设点P 是函数24(1)y x =---图象上任意一点，点Q 坐标为(2,3)()a a a R -∈，当||PQ 取得最小值时圆221:()(1)4C x m y a -+++=与圆222:()(2)9C x n y +++=相外切，则mn 的最大值为 A ．5B ．52C ．254D ．12．圆（x +1）2+y 2＝4与圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9的位置关系为（） A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离3．已知半圆()()()22x-1+y-2=4y 2≥与直线()15y k x =-+有两个不同交点，则实数k 的取值范围是（）A ．55,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．3553,,2222⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦4．如图所示，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，EF 切O 于点C ，那么图中与DCF ∠相等的角的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．75．（2014•石景山区一模）直线l ：x+y ﹣4=0与圆C ：x 2+y 2=4的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定6．已知点()2,3M ,点P 在y 轴上运动，点Q 在圆()()4=2++1-:22y x C 上运动，则MQ MP +的最小值为（）A ．3B ．5C ．152－D ．1+52 7．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．[] B ．[] C ．[D ．8．若圆22:(5)(1)4C x y -++=上有n 个点到直线4320x y +-=的距离为1，则n 等于（）A ．2B ．1C ．4D ．39．设在圆上运动，且，点在直线上运动，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知点(0,2)A 为圆22:220(0)C x y ax ay a +--=>外一点，圆C 上存在点使得45CAP ∠=，则实数a 的取值范围是（）A.(0,1)B.[31,1)-C.(0,31]-D.[31,31]---11．已知P 是直线01143:=+-y x l 上的动点,PA 、PB 是圆1)1()1(:22=-+-y x C 的两条切线, 圆心为C ,那么四边形PACB 面积的最小值是（）A ．2B ．22C ．3D ．3212．（2013•文昌模拟）过点A （a ，a ）可作圆x 2+y 2﹣2ax+a 2+2a ﹣3=0的两条切线，则实数a 的取值范围为（） A ．a ＜﹣3或B ．C ．a ＜﹣3D ．﹣3＜a ＜1或二、填空题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 在E 上，以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．14．已知0a >，0b >，0c >，且222c a b =+，()1,0A a -，()2 ,0A a ，()0,B b ，() ,0F c ．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得i 1i 2P A P A ⊥，则实数ca的取值范围是___． 15．过点P (t ，t ）作圆C ：（x 一2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，若直线AB 过点（2，18），则t ＝____. 16．若直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数，且2πθ≠)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）相切，则直线的倾斜角θ=______.17．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长为时，的值等于________.18．当曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点时，实数k 的取值范围是________．19．已知圆C 过抛物线24y x =的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C 的圆心不在x 轴上，且与直线330x y +-=相切，则圆C 的半径为__________．20．（几何证明选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆心到的距离为，则点与圆上的点的最短距离为_______．三、解答题21．已知F (3,0)是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆O ：221x y +=，直线:1l mx ny +=. 求当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.22．（1）已知圆C 的圆心是10x y -+=与x 轴的交点，且与直线30x y ++=相切，求圆C 的标准方程.（2）若点(),P x y 在圆22430x y x +-+=上，求yx的最大值. 23．记事件A 为“直线0=-by ax 与圆6)22(22=+-y x 相交”（1）若将一颗骰子先后掷两次得到的点数分别记为b a ,，求事件A 发生的概率（2）若实数b a ,满足4)1()3(22≤-+-b a ，求事件A 发生的概率．24．（本题12分）已知圆()22:21M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，,QA QB 分别切圆M 于,A B 两点．（1）若点Q 的坐标为()1,0-，求切线,QA QB 的方程；（2）求四边形QAMB 的面积的最小值．25．已知直线l 过点()0,1P ，圆22:680C x y x +-+=，直线l 与圆C 交于,A B 不同两点．（Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点()6,4Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ？若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由． 26．已知圆的方程：，（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）当圆与圆：相外切时，求直线:被圆，所截得的弦的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】根据题意，分析函数y ()241x =--x ﹣1）2+y 2＝4，（y ≤0），分析可得其对应的曲线为圆心在C （1，0），半径为2的圆的下部分，由Q 的坐标可得Q 在直线x ﹣2y ﹣6＝0上，据此分析可得当|PQ |取得最小值时，PQ 与直线x ﹣2y ﹣6＝0垂直，此时有321a a -=--2，解可得a 的值，即可得圆C 1的方程，结合两圆外切的性质可得2()n m +=3+2＝5，变形可得（m +n ）2＝25，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，函数y ()241x =---x ﹣1）2+y 2＝4，（y ≤0），对应的曲线为圆心在C （1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q （2a ，a ﹣3），则Q 在直线x ﹣2y ﹣6＝0上，当|PQ |取得最小值时，PQ 与直线x ﹣2y ﹣6＝0垂直，此时有321a a -=--2，解可得a ＝1，圆C 1：（x ﹣m ）2+（y +2）2＝4与圆C 2：（x +n ）2+（y +2）2＝9相外切，2()n m +=3+2＝5，变形可得：（m +n ）2＝25，则mn 2()2544m n +≤=，故选：C ．【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，涉及直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．2．C解析：C 【解析】【分析】求出两圆圆心的距离，比较圆心距与两圆半径的关系，即可得出结论. 【详解】由圆的方程知圆1C 的圆心为1(1,0),2C r -=，圆2C 的圆心为2(2,1)3C R =,圆心距d ==，因为132325d =-<<+=，所以两圆相交. 故选C. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，属于中档题.3．D解析：D 【解析】【分析】绘制半圆的图形和直线，考查临界条件，确定k 的取值范围即可. 【详解】绘制半圆如图所示，直线()15y k x =-+表示过点()1,5K ，斜率为k 的直线，如图所示的情形为临界条件，即直线与圆相切，此时圆心()1,2到直线50kx y k --+=的距离等于圆的半径2，2=，解得：1k =2k =且523112KA k -==+，523132KB k -==--，据此可得：实数k的取值范围是33,22⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 本题选择D 选项.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．B解析：B 【解析】试题分析:因CAD CBD ∠=∠,CAD CDB CAB ∠=∠=∠,故应选B ．考点：弦切角等于同弦所对圆周角,同弧所对圆周角相等．5．B解析：B 【解析】试题分析：根据圆心C 到直线l 的距离正好等于半径，可得直线和圆相切．解：由于圆心C （0，0）到直线l ：x+y ﹣4=0的距离为=2，正好等于半径，故直线和圆相切，故选：B ．考点：直线与圆的位置关系．6．A解析：A 【解析】试题分析：方法1：作y 轴关于点M 的对称直线6=x ，P 关于M 的对称点P '在直线6=x 上运动，P M PM '-=，故QP P M MQ MQ MP '='=,则P Q '的最小值为325=-．方法2：设)2,3(),,(),,0(00M y x Q a P ，)2,3(),2,3(00--=--=y x MQ a MP()202024)6(-++-=+a y x MQ MP ，表示4)2()1(:22=++-y x C 上的点),(00y x 与)4,6(a -的距离，可看作圆4)2()1(:22=++-y x C 上的点到定直线6=x 距离的最小值，为325=-，故选择A考点：圆上点到直线的最小距离7．B解析：B 【解析】因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为则根据圆心到直线的距离和园的半径的关系可知，直线的倾斜角的取值范围是，选B8．B解析：B 【解析】【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论．【详解】圆C ：（x ﹣5）2+（y+1）2＝4是一个以（5，﹣1）为圆心，以2为半径的圆．圆心到4x+3y ﹣2＝0的距离为|2032|d 35--==，所以圆C ：（x ﹣5）2+（y+1）2＝4上有1个点到直线4x+3y ﹣2＝0的距离为1. 故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．D解析：D【解析】试题分析：设的中点为，由平行四边形法则可知所以当且仅当三点共线时，取得最小值，此时直线，因为圆心到直线的距离为，所以取得最小值为故答案选考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平面向量.10．B解析：B 【解析】试题分析：圆心为(),a a ，半径2r a =，设圆的参数方程为2cos 2sin x a a y a a θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，所以2cos 2AP AC CAP AP AC⋅∠==⋅，()222AC a a =+-，因为,AC PC 长度固定，当P 为切点时，CAP ∠最大，要存在点P 使45CAP ∠=，则需最大角度不小于45，所以()2222sin 4522PC a AC a a =≥=+-，整理得2220a a +-≥，解得31a ≥-，由于A 在圆外()2222,1AC a a a a =+-<<，综上所述[31,1)a ∈-.考点：点和圆的位置关系.【思路点晴】化圆的一般方程为标准方程易得圆心为(),a a ，半径2r a =，由题意可得1sin PCCAP AC≥≥∠，有距离公式可得a 的不等式，解这个不等式可得a 的的取值范围.考查了划归与转化的数学思想方法.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果.如利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离等.11．C解析：C 【解析】试题分析：四边形面积最小时，圆心与点P 的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ,PB 最小，圆心到直线的距离34112916d -+==+，所以3PA PB ==四边形的最小面积为12232PAC S PA r ∆=⨯⨯⨯=C ．考点：圆的标准方程及其切线性质．12．A解析：A 【解析】试题分析：圆x 2+y 2﹣2ax+a 2+2a ﹣3=0的圆心（a ，0）且a ＜，并且（a ，a ）在圆外，可求a 的范围．解：圆x 2+y 2﹣2ax+a 2+2a ﹣3=0的圆心（a ，0）且a ＜，而且（a ，a ）在圆外，即有a 2＞3﹣2a ，解得a ＜﹣3或．故选A ．考点：圆的切线方程．二、填空题13．【解析】【分析】根据条件以A 为圆心的圆与y 轴相切且交AF 于点B 求出半径然后根据垂径定理建立方程求解【详解】设以为圆心的圆与轴相切则半径由抛物线的定义可知又∴解得则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为解析：2【解析】【分析】根据条件以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，2AB BF =，求出半径，然后根据垂径定理建立方程求解【详解】设11(,)A x y ，以A 为圆心的圆与y 轴相切，则半径1r x =，由抛物线的定义可知，12pAF x =+，又2AB BF =， ∴111122p AF x x x =+=+，解得1x p =，则32pAF =，圆A 截线段AF 7，即2297164p p -=，解得2p =．故答案为2．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义，合理利用圆的弦长是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【解析】【分析】利用距离关系即可列出不等式从而得到取值范围【详解】解：直线方程即由已知得且则可得到由于所以则由于则所以所以解得：【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的关系利用点线距建立不等式是解题的12ca<【解析】【分析】利用距离关系即可列出不等式，从而得到取值范围.【详解】解：直线BF方程1x yc b+=，即b x+c y-b c=0，由已知得d a=<且a b<则可得到42310e e-+<，由于e>1，所以e>1，则e<,由于a b<则222a c a<-，所以e>12ca<<ca<<【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的关系，利用点线距建立不等式是解题的关键，难度中档. 15．8【解析】【分析】根据圆的方程得到圆C的圆心坐标和圆的半径从而求得以为直径的圆的方程将两圆方程相减求得两圆公共弦所在直线的方程根据直线过点的条件得到关于的等量关系式最后求得结果【详解】因为圆C：的圆解析：8【解析】【分析】根据圆的方程得到圆C的圆心坐标和圆的半径，从而求得以CP为直径的圆的方程，将两圆方程相减，求得两圆公共弦所在直线的方程，根据直线过点的条件，得到关于t的等量关系式，最后求得结果.【详解】因为圆C：22(2)1x y-+=①的圆心为(2,0)C，(,)P t t，所以以CP为直径的圆的方程为(2)()()0x x t y y t--+-=，即22(2)20x y t x ty t+-+-+=②，①-②可得：(2)320t x ty t-++-=，即直线AB的方程为(2)320t x ty t-++-=，因为直线AB过点1(2,)8，所以12(2)3208t t t -++-=，解得8t =，故答案是：8. 【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有以某条线段为直径的圆的方程，两圆的公共弦所在直线的方程，点在直线上的条件，属于中档题目.16．或【解析】【分析】先把直线的方程转化为普通方程再根据直线与圆的位置关系求解【详解】直线的普通方程为圆的普通方程为当它们相切时有解得故直线的倾斜角或【点睛】本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化以解析：6π或56π 【解析】【分析】先把直线的方程转化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系求解。

(北师大版)北京市高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(答案解析)

一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，直线4y kx =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB 0⋅=，则k =（）A ．2-或2B ．3-或3C ．5-或5D ．7-或72．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦3．设点P 是函数24(1)y x =---图象上任意一点，点Q 坐标为(2,3)()a a a R -∈，当||PQ 取得最小值时圆221:()(1)4C x m y a -+++=与圆222:()(2)9C x n y +++=相外切，则mn 的最大值为 A ．5B ．52C ．254D ．14．若直线:10(0,0)l ax by a b ++=>>把圆()()22:4116C x y +++=分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是（） A ．4 B ．817 C ．2 D ．8175．圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（）A ．30x y +=B ．30x y -=C ．390x y --=D ．390x y ++= 6．如图所示，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，EF 切O 于点C ，那么图中与DCF ∠相等的角的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 7．已知圆:,过轴上的点向圆引切线，则切线长为（） A ． B ．C ．D ．8．已知圆922=+y x 的弦过点)2,1(P ，当弦长最短时，该弦所在直线方程为（） A ．02=-y B ．052=-+y x C ．02=-y x D ．01=-x9．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=10．一条光线从点24P （，）-射出，经直线20xy +﹣＝反射后与圆22430x y x +++＝相切，则反射光线所在直线的方程是（） A ．1520x y +-＝ B ．1520x y ＝+- C ．1520x y --＝D ．1520x y --＝11．设直线10x ky --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数k 的值是（）A ．3-B ．3±C ．33D ．33±12．过)1,21(M 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+= 交于A 、B 两点，当ACB ∆面积最大时，直线的方程为（）A ．0342=+-y xB ．2450x y +-=C ．430x y -+=D ．20x y -=二、填空题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 在E 上，以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．14．已知0a >，0b >，0c >，且222c a b =+，()1,0A a -，()2 ,0A a ，()0,B b ，() ,0F c ．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得i 1i 2PA PA ⊥，则实数ca的取值范围是___． 15．过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________.16．已知点A 在直线20x y a ++=上，过点A 引圆22:1O x y +=的切线，若切线长的最小值为25，则实数a 的值为__________． 17．过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________.18．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且60AOB ∠=，则实数k 的值为__________．19．如右图,PT 切圆O 于点T,PA 交圆O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝______．20．如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C 为圆上任意一点，过C 点做圆的切线分别与过,A B 两点的切线交于,P Q 点，则CP CQ ⋅=________________．三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F . 求证：（1）∠=∠DEA DFA ；（2）2AB AE BD AE AC =⋅-⋅22．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:220l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 的长；（3）过点()1,3G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,M N ，求直线MN 的方程． 23．已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：22(4)(5)4x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对相互垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标（1）0=y 或028247=-+y x ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,25或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】试题分析：（1）由直线与圆的位置关系知直线4=x 与圆1C 不相交，则直线的斜率存在。

北师大版数学选修4-1练习(第2章)圆锥曲线(2)(含答案)

第二章圆锥曲线同步练习(二)
1. 球的半径为3 ，球面外一点和球心的距离为6 ，则过该点的球的切线和过切点的半径所成的角为（）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 不确定
2. 已知AD 是等边三角形ABC 上的高，直线l 与AD 相交于点P ，且与AD 的夹角为β，直线l 与AB （或AB 的延长线）、AC 都相交时，β的取值范围是（） A. )6,
0(π B. )3,0(π C. )2,3(ππ D. )2,6(π
π
3. 一圆锥面的母线与轴线成α角，不过顶点的平面和轴线成β角，且与圆锥面的交线是椭圆，则β和α的大小关系为（）
A. βα<
B. βα>
C. βα=
D. 无法确定
4. 一圆柱面底面的半径等于2 ，一个截割圆柱面的平面与轴成60°角，从割平面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离为（） A. 332 B. 3
34 C. 34 D. 38
5. 将两个半径为2的球嵌入底面半径为2的圆柱中，使两球的距离为6 ；用一个平面分别与两个球相内切，所成的截线为一个椭圆，则该椭圆的长轴长为_______，短轴长为______，焦距为_____，离心率为_____。

6. 定长为3 的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2
上移动，设线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离。

参考答案：
1. C ；
2. D ；
3. A ；
4. B ；
5. 6 ；4 ；52 ； 3
5
6. 45。

高二精选题库数学选修4-1-1北师大版

选修4-1 第1节一、选择题1．若三角形三边上的高分别为a 、b 、c ，这三边长分别为6、4、3，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．6∶4∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶6解析：由三角形面积公式： 12×6a ＝12×4b ＝12×3c ， ∴6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝k ，则a ＝k 6，b ＝k 4，c ＝k 3，∴a ∶b ∶c ＝k 6∶k 4∶k3＝2∶3∶4.答案：C2．如下图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm解析：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形， ∴FC ＝DE ＝5 cm ， ∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BDDA ，即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 答案：D3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9解析：由△ABD ∽△CBA 得AB 2＝BD ·BC ，由△ADC ∽△BAC 得AC 2＝DC ·BC ， ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 答案：D4．已知：如右图，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54 C.32D. 2解析：∵PQ ⊥PC ，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △PBC ， ∴AP BC ＝AQBP. ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1， ∴AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34，∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 答案：B5．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．答案：D6．如右图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636解析：过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13， ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.答案：C 二、填空题7．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.解析：2个，△ACD 和△CBD . 答案：28．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案．答案：1∶29．如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△P AD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP ，即333＝x 6－x，解得x ＝32，所以符合条件的点P 有两个．答案：两三、解答题10．如右图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H .求证：(1)DG 2＝BG ·CG ； (2)BG ·CG ＝GF ·GH .证明：(1)DG 为Rt △BCD 斜边上的高， ∴由射影定理得DG 2＝BG ·CG . (2)∵DG ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠H ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ABC ＋∠ECB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ， ∴∠H ＝∠ECB .又∵∠HGB ＝∠FGC ＝90°， ∴Rt △HBG ∽Rt △CFG ， ∴BG GF ＝GHGC，∴BG ·CG ＝GF ·GH . 11．如右图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设P A ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°， ∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°，又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)∵△DQA ∽△ABP ，∴DA AP ＝DQ AB，∴DQ ＝DA ·AB P A ，即y ＝4x.12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125.因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB . 所以CN CM ＝DE AB ，即125－x 125＝x 5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ，因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BCA . 所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127.因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y .所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。

高二精选题库数学选修4-1-2北师大版

选修4-1 第2节[知能演练]一、填空题1．一平面截球面产生的截面形状是________；它截圆柱面所产生的截面形状是________．答案：圆圆或椭圆2．如下图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC ＝________.解析：由弦切角定理，可知∠DCA ＝∠B ＝60°，又AD ⊥l ，故∠DAC ＝30°. 答案：30°3．一个圆的两弦相交，一条弦被分为12 cm 和18 cm 两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．解析：设另一弦被分的两段长分别为3k,8k (k >0)，由相交弦定理，得3k ·8k ＝12×18，解得k ＝3，故所求弦长为3k ＋8k ＝11k ＝33 cm. 答案：33 cm4．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R 的长为________．解析：如右图，连接AB ，∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AB ＝∠C ，又∵∠APB ＝∠CP A ， ∴△P AB ∽△PCA ， ∴P A AC ＝PB AB ，即P A 2R ＝PBAB， ∴R ＝P A ·AB 2PB ＝2×22－122×1＝ 3.答案： 35．已知如下图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为________．解析：∵AC 、AD 分别是两圆的切线，∴∠C ＝∠2，，1＝∠D ， ∴△ACB ∽△DAB . ∴BC AB ＝ABBD， ∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝8＝22(舍去负值)．答案：2 26．如右图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝________.解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ，连接OD ，得OD ⊥AC ，故AD AC ＝OD BC ，即x 8＝r 6，故x ＝43r . 又由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ，即169r 2＝(10－2r )×10，故r ＝154. 由射影定理知DF ＝3. 答案：3 二、解答题7．如下图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在∠P AC 的内部，点M 是BC 的中点．(1)证明：A ，P ，O ，M 四点共圆；(2)求∠OAM ＋∠APM 的大小．(1)证明：连结OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP .因为M 是⊙O 中弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .于是∠OP A ＋∠OMA ＝180°，由圆心O 在∠P AC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．(2)解：由(1)，得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM ＝∠OPM .由(1)，得OP ⊥AP .由圆心O 在∠P AC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°，所以∠OAM ＋∠APM ＝90°. 8．如右图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC .(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明：因为BE 切⊙O 于B ，所以∠ABE ＝∠ACB .由于AD ∥BC ，所以∠BAE ＝∠ABC . 所以△EAB ∽△ABC . 所以AE AB ＝ABBC .故AB 2＝AE ·BC .(2)解：由(1)，知△EAB ∽△ABC ，所以BE AC ＝AB BC .又AE ∥BC ，所以EF AF ＝BE AC .所以AB BC ＝EFAF .又AD ∥BC ，所以AB ＝CD .所以AB ＝CD .所以58＝EF6.所以EF ＝308＝154.[高考·模拟·预测]1．如右图，已知P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.解析：连结OA 、OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P 、A 、O 、B 四点共圆，故∠APB ＝60°.答案：60°2．如右图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：由切割线定理知，PC 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3.答案： 33．如下图，圆O 和圆O ′相交于A 、B 两点，AC 是圆O ′的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则BD ＝________.解析：易证△CBA ∽△ABD ，所以BC AB ＝ABBD ，BD ＝8.答案：84．如右图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．解析：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．知∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，在Rt △OAB 中，得OA ＝22，即r ＝22，∴S ＝πr 2＝8π.答案：8π5．如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC上的点(不与点A ，C 重合)，延长BD 到E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的面积．解：(1)如右图，设F 为AD 延长线上一点． ∵A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴∠CDF ＝∠ABC .又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，且∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF . 对顶角∠EDF ＝∠ADB ，故∠EDF ＝∠CDF ，即AD的延长线平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连结AO交BC于H，则AH⊥BC. 连结OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆面积为4π.。

1.2.3弦切角定理课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版

学业分层测评(六)2.3 弦切角定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.P在⊙O外，PM切⊙O于C，P AB交⊙O于A、B，则()【导学号：96990026】A.∠MCB＝∠BB.∠P AC＝∠PC.∠PCA＝∠BD.∠P AC＝∠BCA【解析】如图所示，由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】 C2.如图1-2-64，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE等于()图1-2-64A.14°B.38°C.52°D.76°【解析】∵EC为⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC＝12∠BOC＝38°.【答案】 B3.如图1-2-65，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()图1-2-65A.4B.5C.6D.7【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】 B4.如图1-2-66所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A＝20°，则∠DBE＝()图1-2-66A.55°B.65°C.75°D.85°【解析】连结OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°.∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.又OB＝OD，∴∠OBD＝12(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.【答案】 A5.在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB ＝30°，AP＝3，则CP＝()A. 3B.2 3C.23－1D.23＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥P A，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OP A中，AP＝3，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.【答案】 A二、填空题6.如图1-2-67，已知P A是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC＝3，∠P AB＝30°，则线段PB的长为________.图1-2-67【解析】如图，连接OA，又P A为⊙O切线，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠P AB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠P AB＝30°，∴PB＝AB.又AC＝3，BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.【答案】 17.如图1-2-68，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上.AD是⊙O 的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________.【导学号：96990027】图1-2-68【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.。

弦切角定理课后作业(答案解析)提升高中数学选修4-1 北师大版

第三课时弦切角定理1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则() A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA答案：C2．在⊙O的直径CB的延长线上取一点A，AP与⊙O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝3，则CP等于()A. 3 B．2 3C．23－1 D．23＋1答案：A3．在△ABC中，AB＝12 cm，∠C＝30°，则这个三角形的外接圆的直径是() A．24 cm B．18 cmC．36 cm D．12 3 cm答案：A4．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为()A．105°B．115°C．120°D．125°答案：B5．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()A．2 B．3C．2 3 D．4答案：C6．如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE＝2，则AB＝________，AC ＝________，BC＝________.答案：323 37．如图，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________．答案：∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB8. 在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，作DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线．证明：如图，连接AD、OD.∵AB为⊙O的直径，∠ADB＝90°，∴在Rt△ADB中，O为AB的中点，则AO＝OD，∴∠1＝∠2.在等腰△ABC中，∵AD⊥BC，∠1＝∠5，在Rt△ACD中，DE⊥AC.∴∠5＝∠3，∠2＝∠3，∠ADC＝90°.即∠3＋∠4＝90°∴∠2＋∠4＝90°，ED⊥OD.∴DE是⊙O的切线．9．如图，已知⊙O1与⊙O2交于A、C两点，P为⊙O1上任一点，连接PA、PC 并延长，分别交⊙O2于B、D.求证：O1P⊥BD.证明：过P作⊙O1的切线PE，P为切点，连接AC，所以∠1＝∠2，O1P垂直于PE.因为∠2＝∠B，所以∠1＝∠B.因此PE平行于BD，所以O1P⊥BD.。

高中数学第一章直线、多边形、圆1.2圆与直线1.2.4切割线定理学案北师大版选修4-1

1.2．4 切割线定理课标解读1.掌握切割线定理及其推论．2．会用切割线定理及推论解决问题.1．切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)图形表示图1－2－60如图1－2－60，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.2．切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积．(2)图形表示如图1－2－61，PAB与PCD是⊙O的两条割线，则有PA·PB＝PC·PD.图1－2－613．切割线定理的逆定理(1)文字叙述给定⊙O外一点P，若割线PAB交⊙O于A，B两点，点T在⊙O上，且PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线．(2)图形表示图1－2－62如图1－2－62，PAB是⊙O的割线，点T在⊙O上，若PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线．1．应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？【提示】只有从圆外一点才可能产生切割线定理或其推论，切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．2．应用切割线定理应注意什么？【提示】应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错．(1)如图所示，把PC2＝PA·PB错写成PC2＝PO·PB；(2)如图所示，把关系式PT2＝PB·PA错写成PT2＝PB·BA，把关系式PB·PA＝PD·PC 错写成PB·BA＝PD·DC.切割线定理图1－2－63如图1－2－63，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2＝EC·EB.【思路探究】由于EA2＝EC·EB，故只需证ED＝EA.【自主解答】如题图，∵AE是圆的切线，∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.∵∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE ＝∠CAE ＋∠CAD ， ∴∠ADE ＝∠DAE ，故EA ＝ED .∵EA 是圆的切线，∴由切割线定理知，EA 2＝EC ·EB .而EA ＝ED ， ∴ED 2＝EC ·EB .切割线定理给出线段之间的关系，在计算与证明有关线段关系时，应注意灵活运用．图1－2－64(2012·衡阳六校联考)如图1－2－64，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝BC ＝3，则AC 的长为________．【解析】由切割线定理知CD 2＝BD ·AD ＝BD ·(3＋BD )，即(27)2＝BD 2＋3BD ，解得BD ＝4或BD ＝－7(舍去)．∵∠BDC ＝∠ADC ，∠DCB ＝∠CAD ， ∴△CAD ∽△BCD ，∴CD BD ＝AC BC ，即274＝AC 3，解得AC ＝372.【答案】 372切割线定理的推论图1－2－65如图1－2－65，PAB 和PCD 为圆的两条割线，交圆于A ，B 和C ，D 各点，若PA ＝5，AB ＝7，CD ＝11.求AC ∶BD .【思路探究】线段AC 、BD 分别在△PAC 和△PBD 中，可考虑它们的相似关系．【自主解答】由切割线定理的推论知，PA ·PB ＝PC ·PD ①即PA PD ＝PC PB，又∠P 为公共角， ∴△PAC ∽△PDB . ∴AC BD ＝PA PD.②又∵PA ＝5，AB ＝7，CD ＝11，∴PB ＝12. 由①知5×12＝PC (PC ＋11)， ∴PC ＝4或PC ＝－15(舍去)， ∴PD ＝PC ＋CD ＝4＋11＝15.由②得AC BD ＝515＝13，即AC ∶BD ＝1∶3.1．本题求解的关键是证明△PAC ∽△PDB ，而证明的依据是切割线定理的推论． 2．切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用．图1－2－66(2012·湖南高考)如图1－2－66所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA ＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．【解析】设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的切割线定理的推论知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ 6.【答案】 6定理的综合应用图1－2－67如图1－2－67，P 是⊙O 的直径CB 的延长线上一点，PA 和⊙O 相切于A ，若PA ＝15，PB ＝5.(1)求tan ∠ABC 的值；(2)弦AD 使∠BAD ＝∠P ，求AD 的长．【思路探究】求tan ∠ABC 可利用△ABC 中边角关系求出；而AD 的长，可综合利用切割线定理和图形中的相似三角形，建立边长关系求出．【自主解答】 (1)如图，连接AC ，AB ， ∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°. 又∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠BAP ＝∠C .又∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△PCA ， ∴AP BP ＝AC AB ＝155＝3.∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝AC AB＝3. (2)由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ，即PA 2＝PB (PB ＋BC )．又PA ＝15，PB ＝5，∴BC ＝40. 设AB ＝x ，则AC ＝3x .由勾股定理，AC 2＋AB 2＝BC 2，即x 2＋(3x )2＝402，得x ＝410，x ＝－410(舍去)．如图，连接BD ，在△PAB 和△ADB 中，∠PAB ＝∠D ，∠P ＝∠BAD ， ∴△PAB ∽△ADB . ∴AD AP ＝AB PB， ∴AD ＝AP ·AB PB ＝15×4105＝1210.1．在本题求解过程中，每一小题都用到了利用三角形相似寻找线段之间的关系． 2．综合应用切割线定理及推论，利用三角形之间的关系，是解决直线与圆关系中的基本思路．图1－2－68如图1－2－68，已知AC 切⊙O 于C 点，CP 为⊙O 的直径，AB 切⊙O 于D ，与CP 的延长线交于点B，若AC＝PC，求证：BD＝2BP.【证明】如图，连接OD.∵AB切⊙O于D，AC切⊙O于C，∴OD⊥AB，AC⊥BC，∴△BOD∽△BAC，∴ODBD＝ACBC，∴RBD＝2RBC，∴BC＝2BD.∵BPC为割线，∴BD2＝BP·BC＝2BD·BP，∴BD＝2BP.图1－2－69(教材第21页练习1－2A组第5题)如图1－2－69，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D.求BD的长．图1－2－70(2013·重庆高考)如图1－2－70，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．【命题意图】本题主要考查圆的几何性质、解直角三角形以及切割线定理等知识．【解析】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10 3.∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5 3.由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(53)2＝15DE，∴DE＝5.【答案】 51．PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC 长为( )A．4 B. 6C．24 D．2 6【解析】由题意知PA·PB＝PC·PD，设PC＝x，则PD＝2x，∴2x·x＝4×12，∴x＝26，即PC＝2 6.【答案】 D图1－2－712．如图1－2－71所示，已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2，AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径R＝________.【解析】由切割线定理知PA2＝PB·PC，即22＝PC，∴PC＝4，∴AC2＝PC2－PA2＝42－22＝12，∴AC＝23，∴⊙O的半径R＝ 3.【答案】 33．PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于B，PB＝4，PO＝8.5，则PA＝________.【解析】∵PB＝4，PO＝8.5，∴OB＝4.5.由切割线定理知，PA2＝4×13＝52，∴PA＝213.【答案】213图1－2－724．如图1－2－72所示，从⊙O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD＝23，AC ＝6，⊙O的半径为3，则圆心O到AC的距离为________．【解析】由切割线定理知，AD2＝AB·AC，即(23)2＝6AB，∴AB＝2，∴BC＝AC－AB＝4，∴圆心到AC的距离d＝32－22＝ 5.【答案】 5一、选择题1.图1－2－73如图1－2－73，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③【解析】 ∵CF ＝CE ，BF ＝BD ， ∴BC ＝CE ＋BD .∴AB ＋BC ＋CA ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ，故结论①正确．连接DF ，则∠FDA ＝∠DGA . 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADF ∽△AGD . ∴AD AG ＝AF AD. ∴AD 2＝AF ·AG . 又AE ＝AD ， ∴AD ·AE ＝AF ·AG .故结论②正确，容易判断结论③不正确，故选A. 【答案】 A2．PT 切⊙O 于点T ，割线PAB 经过O 点交⊙O 于A 、B ，若PT ＝4，PA ＝2，则cos ∠BPT ＝( )A.45B.12C.38D.34【解析】如图所示，连接OT ，根据切割线定理，可得PT 2＝PA ·PB ，即42＝2×PB ，∴PB ＝8，∴AB ＝PB －PA ＝6， ∴OT ＝r ＝3，PO ＝PA ＋r ＝5，∴cos ∠BPT ＝PT PO ＝45.【答案】 A图1－2－743．如图1－2－74，点P 在⊙O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切⊙O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．2 D ．4【解析】如题图，连接OC ，由切割线定理知，PC 2＝PA ·PB ，∴PC 2＝(2＋4)×2＝12， ∴PC ＝23， ∴PO ＝PC 2＋OC 2＝4. 又OC ⊥PC ， ∴CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3. 【答案】 B图1－2－754．如图1－2－75，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 的直径CE 在BC 上，且与AB 相切于D 点，若CO ∶OB ＝1∶3，AD ＝2，则BE 等于( )A. 3 B ．2 2 C ．2 D ．1【解析】连接OD ，则OD ⊥BD ，∴Rt △BOD ∽Rt △BAC ， ∴OD AC ＝BD BC，设⊙O 的半径为a ，∵OC ∶OB ＝1∶3，OE ＝OC ， ∴BE ＝EC ＝2a ，BO ＝3a ，BD ＝22a ， BC ＝4a ，由题知AD 、AC 均为⊙O 的切线， ∵AD ＝2，∴AC ＝2.∴a 2＝22a 4a，即a ＝2， ∴BE ＝2 2. 【答案】 B 二、填空题5．(2013·北京高考)图1－2－76如图1－2－76，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.【解析】由于PD ∶DB ＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a . 根据切割线定理有PA 2＝PD ·PB .又PA ＝3，PB ＝25a ， ∴9＝9a ·25a ，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5.在Rt △PAB 中，AB 2＝PB 2－AP 2＝25－9＝16，故AB ＝4. 【答案】 954图1－2－776．(2013·周口模拟)如图1－2－77，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与PQ 相交于Q 点，若AQ ＝6，AC ＝5，则弦AB 的长是________．【解析】 ∵PQ 为切线，∴∠PAC ＝∠ABC . ∵AC 是∠PAB 的平分线， ∴∠BAC ＝∠PAC . ∴∠ABC ＝∠BAC ， ∴AC ＝BC ＝5，由切割线定理，可得AQ 2＝QB ·QC ， ∴62＝QB ·(QB ＋5)，解得QB ＝4. ∵∠QAB ＝∠QCA ， ∴△QAB ∽△QCA ， ∴AB AC ＝QA QC，∴AB 5＝64＋5，解得AB ＝103.【答案】103三、解答题图1－2－787．已知如图1－2－78所示，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于点C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2，求：(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .【解】 (1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x . 根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )．解得x ＝2， ∴BC ＝3x ＝3 2.(2)在Rt △ABC 中，AC ＝BC 2－AB 2＝14，由割线定理，得CD ·AC ＝CN ·CM ，∴CD ＝CN ·CM AC ＝2147， ∴r ＝12(AC －CD )＝12(14－2147)＝51414.8．如图1－2－79，自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP ＝∠MPB .图1－2－79【证明】 ∵PA 与圆相切于A ， ∴MA 2＝MB ·MC . ∵M 为PA 中点， ∴PM ＝MA ， ∴PM 2＝MB ·MC ， ∴PM MC ＝MB PM. ∵∠BMP ＝∠PMC ， ∴△BMP ∽△PMC ， ∴∠MCP ＝∠MPB .图1－2－809．如图1－2－80，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E .(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)若EB ＝6，EC ＝62，求BC 的长．【解】 (1)证明 ∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴点C 在⊙O 上．连接OC ，可得∠OCA ＝∠OAC ＝∠DAC ，∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC.∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA. 又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6. 又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴BCAC＝ECEA＝22，即AC＝2BC.又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2 3.10．如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C，TA、TB与小圆分别相交于点E、F，FE的延长线交两圆的公切线TP于点P.求证：(1)CE＝CF；(2)AC·PF＝BC·PT.【证明】(1)设小圆的圆心为点O，连接OC.∵AB切小圆于点C，∴OC⊥AB.∵∠1＝∠3＝∠2，∴EF∥AB，∴OC⊥EF，∴CE＝CF.(2)∵EF∥AB，∴AEBF＝ATBT＝TETF.∵AB切小圆于点C，∴AC2＝AE·AT，BC2＝BF·BT，∴AC2BC2＝AE·ATBF·BT＝TE2TF2，ACBC＝TETF.∵PT是公切线，∴∠PTF＝90°，∵TF是⊙O的直径，∴TE⊥PF，△PTF∽△TEF，∴PTPF＝TETF，∴ACBC＝PTPF，∴AC·PF＝BC·PT.。

北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知对任意实数m ，直线1:3232l x y m +=+和直线2:2323l x y m -=-分别与圆22:(1)()1C x y m -+-=相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知两点()2,0M -，()2,0N ，若直线()3y k x =-上存在四个点(1,P i =2，3，4)，使得MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是( )A ．()2,2-B ．44,55⎛⎫-⎪⎝⎭C ．44,00,55⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2525,00,55⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知直线:2l x y +=和圆222:C x y r +=，若r 是在区间()1,3上任意取一个数，那么直线l 与圆C 相交且弦长小于22的概率为（） A ．12B ．22C ．214-D ．212-5．已知圆:,过轴上的点向圆引切线，则切线长为（） A ． B ．C ．D ．6．已知圆22:40C x y x +-=, 直线03:=--y k kx l , 则直线l 与圆C 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.以上三种均有可能7．（2004•天津）若P （2，﹣1）为圆（x ﹣1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A ．x ﹣y ﹣3=0B ．2x+y ﹣3=0C ．x+y ﹣1=0D ．2x ﹣y ﹣5=08．已知圆922=+y x 的弦过点)2,1(P ，当弦长最短时，该弦所在直线方程为（） A ．02=-y B ．052=-+y x C ．02=-y x D ．01=-x9．设直线10x ky --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为3k 的值是（）A ．3B ．3C 3D ．3±10．已知直线20x y -+=与圆()()22:334C x y -+-=交于点,,A B 过弦AB 的中点的直径为,MN 则四边形AMBN 的面积为（）A ．82B ．8C ．42D ．411．已知点(0,2)A 为圆22:220(0)C x y ax ay a +--=>外一点，圆C 上存在点使得45CAP ∠=，则实数a 的取值范围是（）A.(0,1)B.[31,1)-C.(0,31]-D.[31,31]--- 12．已知恒过定点（1,1）的圆C 截直线所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若圆22(1)4x y +-=上恰有2个不同的点到直线30x y m ++=的距离为1，则m 的取值范围为_______ 14．过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________.15．如果直线l ：x+y ﹣b=0与曲线21C y x =-：有两个公共点, 那么的取值范围是_______________16．（几何证明选做题）如图,,B D AE BC ∠=∠⊥090,6,4,ACD AB AC ∠===且12,AD BE ==则___17．在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆22:4C x y +=相切的直线方程___．18．（几何证明选讲选做题）如图2所示AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连交AB 于点，若，则．19．（几何证明选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆心到的距离为，则点与圆上的点的最短距离为_______．20．以点为圆心且与直线相切的圆的方程为______．三、解答题21．已知圆C ：422=+y x 和直线l ：01243=++y x ，点P 是圆C 上的一动点，直线与x 轴,y 轴的交点分别为点A 、B 。

北师大版数学高二-选修4-1 第1章1.1.4课时作业

选修4-1 第1章1.1.4课时作业一、选择题1．如图1－1－34，D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，则以下比例成立的是( )图1－1－34A.AD BD ＝DEBC B.AE EC ＝BF FC C.DF AC ＝DE BCD.EC AC ＝BF BC【解析】 ∵DE ∥BC ，∴AD BD ＝AE EC ，∴BD AD ＝ECAE .① 又∵DF ∥AC ，∴BD DA ＝BFFC .②由①②知EC AE ＝BF FC ，即EC AE ＋EC ＝BFFB ＋FC .∴EC AC ＝BF BC . 【答案】 D2．如图1－1－35所示，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，AD 平分∠BAC ，则BD 的值是( )图1－1－35A.167B.157C.125D.52【解析】 ∵AD 平分∠BAC ，∴BD DC ＝AB AC ＝34， ∴BD BD ＋DC ＝33＋4＝37，即BD 5＝37， ∴BD ＝157. 【答案】 B图1－1－363．如图1－1－36，平行四边形ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，则BCBM －ABBN 为( )A.12 kB ．1 C.32D.23【解析】 ∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DMMN . 又∵DC ∥AN ，∴DM MN ＝MCBM ， ∴DM ＋MN MN ＝MC ＋BM BM . ∴DN MN ＝BC BM ，∴BC BM －AB BN ＝DN MN －DM MN ＝MNMN ＝1. 【答案】 B图1－1－374．如图1－1－37，P 、Q 分别在BC 和AC 上，BP ∶CP ＝2∶5，CQ ∶QA ＝3∶4，则ARRP 等于( )A ．3∶14B ．14∶3C ．17∶3D ．17∶14【解析】如图，过点Q 作QM ∥AP ，与BC 交于点M ，则QM AP ＝CQ AC ＝37，且CM PC ＝37，从而有BP BM ＝717＝RPQM . ∴QM AP ·RP QM ＝37×717＝317，即RP AP ＝317，RP AR ＝314. 【答案】 B 二、填空题图1－1－385．如图1－1－38所示，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD的值为________．【解析】结合平行线的性质可得EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，那么EF BC ＋FG AD ＝AFAC ＋FC AC ＝ACAC ＝1.【答案】 1图1－1－396．(2013·焦作模拟)如图1－1－39，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________【解析】 ∵AD ∥EF ∥BC ，∴EO AD ＝BE AB ＝CF CD ＝FO AD ，∴EO ＝FO ，而EO BC ＝AE AB ＝AB －BE AB ，EO AD ＝BEAB ，BC ＝20，AD ＝12， ∴EO 20＝1－BE AB ＝1－EO 12， ∴EO ＝7.5，∴EF ＝15. 【答案】 15 三、解答题图1－1－407．如图1－1－40，已知：AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，过O 作OM ∥AD 交AB 于点M ，求证：1AD ＋1BC ＝1OM【证明】 ∵AD ∥BC ∥OM ， ∴BM AB ＝OM AD ，AM AB ＝OM BC ，∴OM AD ＋OM BC ＝BM ＋AM AB ， ∴OM AD ＋OMBC ＝1， ∴1AD ＋1BC ＝1OM .图1－1－418．如图1－1－41，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：AF ＝13AC .【证明】如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于点G . ∵BD ＝DC ，DG ∥BF ， ∴FG ＝GC .又∵EF ∥DG ，AE ＝ED ， ∴AF ＝FG ，于是AF ＝13AC .图1－1－429．如图1－1－42所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求证：OE ＝OF ； (2)求OE AD ＋OEBC 的值； (3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF .【解】 (1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥AD ∥BC .∴OE BC ＝AEAB ， OF BC ＝DF DC ，AE AB ＝DF DC ，∴OE BC ＝OF BC ，即OE ＝OF . (2)∵OE ∥AD ， ∴OE AD ＝BE AB. 由(1)知，OE BC ＝AEAB ，∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AE AB ＝1. (3)证明：由(2)知， ∵OE AD ＋OEBC ＝1， ∴2OE AD ＋2OEBC ＝2. 由(1)，知EF ＝2OE ， ∴EF AD ＋EFBC ＝2， ∴1AD ＋1BC ＝2EF .10．已知，如图在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，F 为对角线AC 上一点，FE ∥BC 交AB 于E ，DF 的延长线交BC 于H ，DE 的延长线交CB 的延长线于G .求证：BC ＝GH .【证明】 ∵FE ∥BC ，∴EF BC ＝AE AB ，EF GH ＝DFDH . ∵AD ∥EF ∥BH ，∴AE AB ＝DF DH .∵EF BC ＝EFGH . ∴BC ＝GH .。

北师大版数学高二-选修4-1 第1章课时作业

选修4-1 第1章1.2.2课时作业一、选择题1．AB 是⊙O 的切线，能确定CD ⊥AB 的条件是( ) A ．O ∈CD B ．CD 过切点 C ．O ∈CD ，且CD 过切点D ．CD 是⊙O 的直径【解析】由切线的性质定理知，选项C 正确．【答案】 C2．如图1－2－33所示，在△ABC 中，BC ＝14 cm ，AC ＝9 cm ，AB ＝13 cm ，内切圆分别和BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，那么AF ，BD ，CE 分别为()图1－2－33A ．AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cmB ．AF ＝4 cm ，BD ＝5 cm ，CE ＝9 cmC ．AF ＝5 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝9 cm D ．AF ＝9 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝5 cm【解析】由题意知AE ＝AF ，CE ＝CD ，BD ＝BF ，且AC ＝9 cm ，BC ＝14 cm ，AB ＝13 cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧AF ＋BD ＝13BD ＋CE ＝14CE ＋AF ＝9，解得AF ＝4，BD ＝9，CE ＝5.【答案】 A3．(2013·商丘模拟)如图1－2－34所示，⊙O 是正△ABC 的内切圆，切点分别为E 、F 、G ，点P 是弧EG 上的任意一点，则∠EPF 等于( )图1－2－34A．120°B．90°C．60°D．30°【解析】如图所示，连接OE、OF.∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°.∴∠EOF＋∠ABC＝180°.∴∠EOF＝120°.∴∠EPF＝12∠EOF＝60°.【答案】 C4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin ∠ACO等于()A.1010 B.210C.55 D.24【解析】连接BD，作OE⊥AC于E. ∵BC切⊙O于B，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BD⊥AC，∵AD＝DC，∴BA＝BC，∠A＝45°，设⊙O的半径为R，∴OC＝BC2＋OB2＝4R2＋R2＝5R.OE＝22R，∴sin∠ACO＝OEOC ＝22R5R＝1010.【答案】 A二、填空题5．如图1－2－35，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为________cm.图1－2－35【解析】连接OA、OC，∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，∴AC＝12AB.∵在Rt△AOC中，AC ＝52－32＝4(cm)，∴AB ＝8 cm. 【答案】 86．如图1－2－36所示，AC 切⊙O 于D ，AO 的延长线交⊙O 于B ，且AB ⊥BC ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB ＝________图1－2－36【解析】如图所示，连接OD ，则OD ⊥AC .∵AC 是⊙O 的切线，∴OB ＝OD ，OC ＝OC ，∠ODC ＝∠OBC ＝90°.∴△CDO ≌△CBO .∴BC ＝DC . ∵AD AC ＝12，∴AD ＝DC . ∴BC ＝12AC .又OB ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°. ∴OB ＝OD ＝12AO . ∴AO OB ＝21. 【答案】 2∶1 三、解答题7．如图1－2－37，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF ＝∠E .求证：CF 是⊙O 的切线．图1－2－37【证明】连接OC，∵AB是⊙O的直径．∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝60°.在Rt△EMB中，∵∠E＋∠MBE＝90°，∴∠E＝30°.∵∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴∠ECF＋∠OCB＝90°，又∵∠ECF＋∠OCB＋∠OCF＝180°，∴∠OCF＝90°，∴CF为⊙O的切线．8．如图1－2－38，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB 于E，∠POC＝∠PCE.图1－2－38(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径．【解】(1)证明：在△OCP与△CEP中，∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，∴∠OCP＝∠CEP.∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，∴∠OCP＝90°. 又C点在圆上，∴PC是⊙O的切线．(2)法一设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，∴△OCE∽△OPC，∴OCOE ＝OP OC.即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.法二由(1)知PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同法一．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm.(1)求△ABC内切圆的半径；(2)若移动圆心O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC和边BC都相切，求r的取值范围．【解】(1)如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.连接OD，OE，OF，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，∴AB＝5 cm.∵OE＝OD，∠C＝90°，∴四边形CEOD是正方形．∴CD＝DO.∵OB＝OB，OD＝OF，∠ODB＝∠OFB＝90°，∴△ODB≌△OFB.∴BD＝BF.同理可得，AE＝AF.∴AC＋BC－AB＝AE＋EC＋BD＋DC－AF－BF＝EC＋DC＝2OD.∴内切圆的半径r＝OD＝AC＋BC－AB2＝3＋4－52＝1 cm.(2)如图所示，动⊙O与AC，BC相切的最大的圆与AC，BC的切点分别是A，D，连接OA，OD，则四边形AODC是正方形，此时应有OA＝AC＝3 cm，∴动圆的半径r的范围为(0,3]．10. 如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，且∠AOD＝∠APC.求证：AP是⊙O的切线．【证明】连接OP.∵PD⊥BE，∴∠OCD＝90°.∴∠ODC＋∠COD＝90°.∵OD＝OP，∴∠ODC＝∠OPC.∵∠AOD＝∠APC，∴∠OPC＋∠APC＝90°.∴∠APO＝90°，即AP⊥PO.∴AP是⊙O的切线．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

综合学习与测试(二)
1. Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则C B D A C D S S ∆∆=（） A. 85 B. 6425 C. 3925 D. 89
25
2. 如图，ABCD 是边长为4的正方形，
PC PQ PB AP ⊥=,3
1
，则PQ 的长是（） A.
54 B. 4
5
C. 34
D. 4
3
3. 已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ；（3）
AB
AC AD CD = ；（4）BC BD AB ⋅=2。

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（）
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 0个
4. 下列命题正确的是（）
A. 弧等，则它们所对弦相等，所对圆心角相等
B. 在同心圆或等圆中，等弦所对圆周角相等
C. 在圆O 中，∠AOB=弧AB 的度数
D. 顶点在圆周上的角叫圆周角
5. AB//CD ，AE//CF ，连结BE 、DF ，则（）
A. E B ∠=∠
B. E D ∠=∠
C. BF//ED
D. BF 与DE 相交
6. 如图，⊿ABC 的内切圆与三角形各边切于点D ，E ，F ，
且∠FOD=∠EOD=135°，则⊿ABC 是（）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
7. AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、
F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（）
A. 20
B. 30
C. 40
D. 2
1
35
8. 圆O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交
BC 于点D ，AC=4，CD=1，则圆
O 的半径为（）
A. 54
B. 45
C. 43
D. 6
5
9. Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AC ：AB=3：4，则BD ：CD=_______。

C
E
D B D
A
C E
F
F
10. 若△ABC 和△ABD 同时内接于圆O ，则圆心O 是这两个三角形的___________。

11. 在△ABC 中，O 是其外心，BC=24cm ，O 到BC 的距离是5cm ，则△ABC 的外接圆半径是______。

12. 已知：从圆外一点P ，作切线PA ，A 为切点，从PA 中点B 作割线BCD ，交圆于C 、D ，连结PC 、PD ，分别交圆于点Ｅ、Ｆ，求证：EF//PA 。

13. 如图，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，MB=MC ，DE ⊥AM ，E 是垂足，求证：
2
2
42b
a a
b DE +
=
M
C。