巧用对称性,妙解抛物线问题
巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题抛物线y=ax 2+bx+c 是轴对称图形，对称轴是x=-ab 2，抛物线有下面对称性质： 1、抛物线上关于对称轴对称的两点的纵坐标相等；反过来，抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称；特别地，如果抛物线交x 轴两点，那么这两点是对称点；2、抛物线上有对称的两点，它们的横坐标分别是21,x x ，那么抛物线的对称轴的直线方程是x=221x x +=-a b2；一、选择题1、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取 值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x 3、函数y=x 2-x+m(m 为常数)的图象如图，如果x=a 时，y ＜0；那么x=a-1时，函数值（ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y=m4、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x取12x x + 时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c5、已知关于x 的方程32=++c bx ax 的一个根为1x =2，且二次函数c bx ax y ++=2 的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2，－3 )B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(3，2)6、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确 的个数为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 y–1 1 3O x7、小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)，(－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 18、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个9、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ） A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.310、已知二次函数682-+-=x x y ,设自变量x 分别为321,,x x x ，且3214x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系是（ ）A. 321y y y <<B. 132y y y <<C. 123y y y <<D. 231y y y <<11、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 2二、填空题1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．3、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a 、b 、c 是常数）中，自变量x 与函数y 的对应请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 ．（写出3条即可）x … 0 12 32 52 … y … 1 74 74 14- …y –1 3 3 O x P 14、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线y=ax 2+bx+c 上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ．5、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c=6、y=a 2x +5与X 轴两交点分别为（x 1 ,0），（x 2 ,0） 则当x=x 1 +x 2时，y 值为____7、请你写出一个b 的值，使得函数22y x bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 ．8、一个关于x 的函数同时满足如下三个条件①x 为任何实数，函数值y ≤2都能成立；②当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；③当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是 。
巧解抛物线的对称性和平移问题
巧解抛物线的对称性和平移问题夹河镇黑虎中学李玉升在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容，也是中考常考的知识点。
掌握其对称和平移的规律能为我们解题带来很多方便，也能为我们从中节省很多时间。
一.抛物线关于x轴、y轴、原点对称的抛物线的解析式。
对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k关于x轴、y轴、原点对称的解析式，学生很容易想到先找到其顶点（h,k）关于x轴、y轴、原点的对称点，再根据对称后的开口方向决定是a还是-a，从而得出对称后的解析式。
可对于求一般式y=ax2+bx+c关于x轴、y轴、原点对称的解析式时，学生还是想到先将其化为顶点式后，再根据顶点式来求其对称后的解析式。
这样做固然正确，但解答过程比较繁琐。
其实抛物线的对称规律与点的对称规律一样：关于x轴对称横坐标不变，纵坐标变为它的相反数；关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变为其相反数；关于原点对称横、纵坐标都变为它的相反数。
例：求抛物线y=-2x2+3x-6关于x轴对称的抛物线的解析式时只需将y变为－y，即：－y＝-2x2+3x-6，然后化为一般形式y=2x2－3x+6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于y轴对称的抛物线的解析式时只需将x变为－x ，即：y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=－2x2－3x－6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于原点对称的抛物线的解析式时将x变为－x，y变为－y，即：－y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=2x2+3x+6即可。
二.求抛物线上、下、左、右平移的抛物线的解析式。
对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k上、下、左、右平移后的解析式学生也不是问题，即：上加下减，直接加、减在k上，左加右减，直接加、减在x上，而对于求一般式y=ax2+bx+c平移后的解析式时学生也想到将其化成顶点式后再平移。
其实没这个必要，也可直接在一般式中进行，即上或下平移时直接在c上加或减，左或右平移时直接在x上加或减。
巧用抛物线的对称性解题（含答案）
巧⽤抛物线的对称性解题（含答案）专题训练(四)巧⽤抛物线的对称性解题类型⼀利⽤抛物线的对称性求对称轴或点的坐标1．⼆次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，则该⼆次函数图象的对称轴是直线()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且经过点P(3，0)，则抛物线与x 轴的另⼀个交点的坐标为()A．(－1，0) B．(0，0)C．(1，0) D．(3，0)3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另⼀点的坐标．类型⼆利⽤抛物线的对称性⽐较函数值的⼤⼩4．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则() A．y1C．y35．若⼆次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3从⼤到⼩排列是____________．类型三利⽤抛物线的对称性求代数式的值6．已知P(a，m)，Q(b，m)是抛物线y＝2x2＋4x－3上的两个不同的点，则a＋b＝________．7．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为________．类型四利⽤抛物线的对称性确定⾃变量的取值范围8．2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表：则当9．⼆次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为________________．?类型五利⽤抛物线的对称性求⾯积10．如图4－ZT－1，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的⾯积为________．图4－ZT－111．已知⼆次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此⼆次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)如图4－ZT－2，此⼆次函数的图象经过点(0，－4)，正⽅形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的⾯积．图4－ZT－2类型六巧⽤抛物线的对称性求⼆次函数的表达式12．已知⼆次函数y有最⼤值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，则此⼆次函数的表达式为______________．13．已知⼆次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个⼆次函数的表达式为______________．14．⼆次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该⼆次函数的表达式．类型七利⽤对称性解决线段和最短问题15．已知⼆次函数y＝ax2＋bx＋6的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，B的横坐标是⼀元⼆次⽅程x2－4x－12＝0的两个根．(1)请直接写出点A、点B的坐标．(2)请求出该⼆次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标．(3)如图4－ZT－3，在⼆次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最⼩？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－316．如图4－ZT－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，它与x轴的另⼀个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找⼀点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最⼩，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴直线x＝－1上的⼀个动点，求使△BPC为直⾓三⾓形的点P的坐标．图4－ZT－4详解详析1．[解析]B ∵⼆次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，∴图象的对称轴是直线x ＝2＋（－4）2＝－1.故选B. 2．[解析]C 由于抛物线的对称轴为直线x ＝2，⽽点P (3，0)位于x 轴上，设抛物线与x 轴的另⼀个交点的坐标为(m ，0)，根据题意得m ＋32＝2，解得m ＝1，则抛物线与x 轴的另⼀个交点的坐标为(1，0)，故选C.3．解：由点A (－2，7)，B (6，7)的纵坐标相同，可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴⽅程为x ＝－2＋62＝2.设该抛物线上纵坐标为－8的另⼀点的坐标为(x 2，－8)，则有2＝3＋x 22，从⽽得x 2＝1，故该抛物线上纵坐标为－8的另⼀点的坐标为(1，－8)． 4．[解析]C 抛物线y ＝－2x 2－8x ＋m 的对称轴为直线x ＝－2，且开⼝向下，∴当x ＝－2时y 取得最⼤值．∵－4＜－1，且－4到－2的距离⼤于－1到－2的距离，根据抛物线的对称性，知y 3＜y 1.∴y 3＜y 1＜y 2.故选C.5．[答案]y 1＞y 3＞y 26．[答案]－2[解析]已知点P (a ，m )和Q (b ，m )是抛物线y ＝2x 2＋4x －3上的两个不同的点，因为点P (a ，m )和Q (b ，m )的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，⽽抛物线y ＝2x 2＋4x －3的对称轴为直线x ＝－1，故a ＋b ＝－2.故答案为－2.7．[答案]3[解析]设y ＝x 2－2x ＋3，∵当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，∴m ＋n 2＝－－22×1，∴m ＋n ＝2，∴当x ＝m ＋n ，即x ＝2时，x 2－2x ＋3＝22－2×2＋3＝3.故答案为3.8．[答案]－29．[答案]－1＜x ≤0或2≤x ＜3[解析]当y ＝2时，(x －1)2＋1＝2，解得x ＝0或x ＝2；当y ＝5时，(x －1)2＋1＝5，解得x ＝3或x ＝－1，⼜抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－1＜x ≤0或2≤x ＜3.10．[答案]2π[解析]利⽤图形的对称性可知图中阴影部分的⾯积为半圆⾯积．∵⊙O 的半径为2，∴图中阴影部分的⾯积为12π×22＝2π. 11．解：(1)∵y ＝2x 2＋m ，∴图象开⼝向上，对称轴为直线x ＝0，则当x ＞0时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，∴y 1＜y 2，故答案为：＜.(2)∵⼆次函数的图象经过点(0，－4)，将(0，－4)代⼊y ＝2x 2＋m 可得m ＝－4，∴⼆次函数的表达式为y ＝2x 2－4.设AB 与y 轴交于点E ，∵四边形ABCD 为正⽅形，∴AB ∥x 轴．由抛物线的对称性知AE ＝EB ，∴BC ＝2OC .设点C 的坐标为(p ，0)(p ＞0)，则点B 的坐标为(p ，2p )，将(p ，2p )代⼊⼆次函数表达式，得2p ＝2p 2－4，解得p ＝－1(舍去)或p ＝2，∴点B 的坐标为(2，4)，∴BC ＝4.由图形的对称性可知阴影部分的⾯积为正⽅形⾯积的⼀半，∴S 阴影＝12S 正⽅形ABCD ＝12×BC 2＝12×16＝8. 12．[答案]y ＝－14x 2－32x ＋74[解析]∵该函数图象与x 轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，∴⼆次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别是(－7，0)，(1，0)，故设该⼆次函数的表达式为y ＝a (x ＋7)(x －1)．把顶点坐标(－3，4)代⼊，得4＝a (－3＋7)(－3－1)，解得a ＝－14. 则该⼆次函数的表达式为y ＝－14(x ＋7)(x －1)，即y ＝－14x 2－32x ＋74. 13．[答案]y ＝29x 2＋49x －169[解析]∵对称轴为直线x ＝－1，且图象与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝6，∴直线与x 轴交于(－4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为－1.∵顶点在函数y ＝2x 的图象上，∴y ＝2×(－1)＝－2，∴顶点坐标为(－1，－2)．设⼆次函数的表达式为y ＝a (x ＋1)2－2，把(2，0)代⼊，得0＝9a －2，解得a ＝29. ∴y ＝29(x ＋1)2－2＝29x 2＋49x －169. 14．解：∵A ，B 两点关于⼆次函数图象的对称轴对称，∴⼆次函数图象的对称轴为直线x ＝6.∵顶点P 到x 轴的距离为3，∴顶点P 的坐标为(6，3)或(6，－3)．当⼆次函数图象的顶点P 的坐标为(6，3)时，设⼆次函数的表达式为y ＝a (x －6)2＋3，把A (0，0)代⼊表达式，得a (0－6)2＋3＝0，解得a ＝－112，∴⼆次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋3，即y ＝－112x 2＋x ；当⼆次函数图象的顶点P 的坐标为(6，－3)时，同理可求得⼆次函数的表达式为y ＝112(x －6)2－3，即y ＝112x 2－x . 故⼆次函数的表达式为y ＝－112x 2＋x 或y ＝112x 2－x . 15．解：(1)解⽅程x 2－4x －12＝0得x 1＝－2，x 2＝6，即A (－2，0)，B (6，0)．(2)将A ，B 两点的坐标代⼊y ＝ax 2＋bx ＋6，得4a －2b ＋6＝0，36a ＋6b ＋6＝0，解得a ＝－12，b ＝2，∴⼆次函数的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋6. ∵y ＝－12x 2＋2x ＋6＝－12(x －2)2＋8，∴⼆次函数图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，8)．(3)存在．如图，作点C 关于⼆次函数图象的对称轴的对称点C ′，连接AC ′，交⼆次函数图象的对称轴于点P ，此时△APC 的周长最⼩．∵C (0，6)，∴C ′(4，6)．设直线AC ′的表达式为y ＝kx ＋n ，则－2k ＋n ＝0，4k ＋n ＝6，解得k ＝1，n ＝2，∴y ＝x ＋2，当x ＝2时，y ＝4，即P (2，4)．16．解：(1)依题意，得－b 2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解之，得a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且经过点A (1，0)，∴B (－3，0)．把B (－3，0)，C (0，3)分别代⼊y ＝mx ＋n ，得－3m ＋n ＝0，n ＝3，解之，得m ＝1，n ＝3.∴直线BC 的表达式为y ＝x ＋3.(2)∵点A ，B 关于对称轴对称，点M 在对称轴上，∴MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最⼩的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．把x ＝－1代⼊y ＝x ＋3，得y ＝2，∴M (－1，2)．(3)设P (－1，t )，结合B (－3，0)，C (0，3)，得BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直⾓顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解之，得t ＝－2；②若C 为直⾓顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解之，得t ＝4；③若P 为直⾓顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解之，得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满⾜条件的点P 共有四个，坐标分别为P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172 )．。
初中数学专题复习巧用抛物线的对称性解中考题
巧用抛物线的对称性解中考题一、知识点抛物线线上有两点（x 1，y 0），（x 2，y 0），则抛物线的对称轴方程：x=122x x +． 二、应用举例例1 如图，抛物线的对称轴是x=1，与x 轴交于A 、B 两点，点B 0），则点A 的坐标是________．（2005年宁夏回族自治区中考题）简析 显然A 、B 两点关于x=1对称，设点A 的坐标为（x 1，0=1，从而解出x 1•故点A 的坐标为（0）．点评 若不用这种方法，则需由顶点（1，1）及B 0）求出抛物线的解析式，再令y=0，求出抛物线与x •而且非常麻烦．例2 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-2，7），B （6，7），C （3，-8），•则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是________．（2005年山东省中考题）简析 由点A （-2，7），B （6，7）的纵坐标相同，知A 、B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=262-+=2，于是设该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标为（x 2，-8），则有2=232x +，从而得x 2=1． 故应填答案为（1，-8）．点评 本题两次运用抛物线的轴对称性，大大降低了难度及运算量，常规解法为：由A 、B 、C 三点列出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出抛物线的解析式，再令y=-8，解关于x 的一元二次方程选出不同于3的根，得出答案．例3 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴是x=2，且经过点（3，0），则a+b+c 的值为（ ）．（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2005年山西省中考题）简析 由抛物线的对称轴x=2及点P （3，0）可求出抛物线上点P 关于x=2•的对称点的坐标为Q （1，0），由于点Q 在抛物线上，则（1，0）满足解析式．即a+b+c=0，故选（B ）．点评 本题设计非常巧妙，独具匠心，若不用这种方法势如登天．例4 如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的一个交点是（-2，0），顶点是（1，3），下列说法中不正确的是（ ）． （2005年湖南省湘潭市中考题）（A ）抛物线的对称轴是x=1 （B ）抛物线的开口向下（C ）抛物线与x 轴的另一交点是（2，0）；（D ）当x=1时，y 有最大值是3简析 由顶点（1，3）知抛物线的对称轴为x=1，又与x 轴的一个交点为（-2，0）可求出与x 轴的另一交点为（4，0），故选（C ）．点评 本题虽可用排除法得到正确答案，•但用此法加以验证更增加了答案的可信度，而且非常方便、简捷．例5 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标为（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根分别为x 1=1.3，x 2=•________．•（2005年贵阳市课改实验区中考题）简析 由顶点（-1，-3.2）知抛物线的对称轴为x=-1，又x=122x x ，而x 1=1.3代入可求得x 2=-3.3，故正确答案为x 2=-3.3．点评 此题看似估计值，实则是准确值，也可由顶点（-1，-3.2）及点（1.3，0），•求得抛物线的解析式，再令y 0=0求得x 2，但实在是太繁．例6 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象如图所示，则下列结论①a 、b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （2002年武汉市中考题） 简析 不难验证①、④错误，③正确，究竟是选（A ）还是选（B ），•则取决于②是否正确，由图象知：图象交x 轴于点（-1，0）和（5，0），•于是可确定抛物线的对称轴方程为x=152-+=2，于是132+=2，于是确定②正确，故选（B ）． 点评 此题若不用这种方法仍可根据抛物线上三点（-1，0），（5，0），（0，-2），求出抛物线的解析式．再把x=1和x=3分别代入解析式中求出相应的y 值，加以比较即可，但哪个繁，哪个简便一目了然了．综上可见，利用抛物线的对称性解决的这一类问题大大简化了解题过程，降低了题目的难度，从而节省了大量的有效时间，只要我们平时多研究、多积累，•中考才能超水平发挥，答出优异的成绩．。
中考数学复习指导：利用抛物线的对称性解题
1利用抛物线的对称性解题二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是关于直线x ＝－2b a成轴对称的图形，利用抛物线的对称性解题也是中考的热点之一，现分类例析如下，供教学参考．一、求顶点坐标例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表：该函数图象的顶点坐标为( )(A)（－3，－3） (B)（－2，－2）(C)（－1，－3） (D)（0，－6）解 观察表中当x ＝－3或－1时，y ＝－3，由抛物线的对称性，对称轴为直线x ＝－2，故顶点坐标为（－2，－2），所以应选B ．点评 本题是用表格给出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的信息，观察出当x ＝－3或－1时，y ＝－3，是解题的关键．二、判断点在图象上例2 若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )(A)(2，4) (B)（－2，－4）(C)（－4，2） (D)（4，－2）解 由二次函数y ＝ax 2的对称轴为y 轴，又P(－2，4)关于y 轴的对称点为(2，4)，所以应选A ．点评 本题二次函数y ＝ax 2的对称轴为y 轴是解题的突破口，根据抛物线的对称性，从而P （－2，4）关于y 轴的对称点在二次函数y ＝ax 2的图象上．三、比较大小例3 设A （－2，y 1），B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )(A)y 1>y 2>y 3 (B)y 1>y 3>y 22(C)y 3>y 2> y 1 (D)y 2>y 1>y3解 方法1 把A 、B 、C 三点的坐标分别代人y ＝－(x ＋1)2＋m ，得y 1＝－1＋m ，y 2＝－4＋m ，y 3＝－9＋m ，所以y 1>y 2>y 3．方法2 ∵函数的解析式是y ＝－(x ＋1)2＋a ，如图1，∴对称轴是x ＝－1，∴点A 关于对称轴的点A'是(0，y 1)，那么点A'、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边'随x 的增大而减小，于是y 1>y 2>y 3，故选A ．点评 代入法是比较函数值大小的一种常用方法；数形结合法，当抛物线开口向下的时候离对称轴越近，对应的函数值越大，当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，对应的函数值越小．四、求与x 轴交点坐标例4 如图2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，0)，下列结论中，正确的是( )(A)abc < 0 (B)2a ＋b < 0(C)a －b ＋c < 0 (D)4ac －b 2< 0解 (A)根据图2知，抛物线开口方向向上，则a>0．抛物线的对称轴x ＝－2b a ＝1>0，则b<0．抛物线与y 轴交于负半轴，则c<0，所以abc>0．故本选项错误．(B)∵x ＝－2b a ＝1，∴b ＝－2a ，∴2a ＋b ＝0．故本选项错误．3(C)对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，O)，∴该抛物线与x 轴的另一交点的坐标是（－1，0），∴当x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0．故本选项错误．(D)根据图2知，该抛物线与x 轴有两个不同的交点，则＝b 2－4ac>0，则4ac －b 2<0．故本选项正确．故选D ．点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与），轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定，选项C 中求抛物线x 轴的另一交点，要妙用其对称性．五、求不等式的解集例5如图3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是( )(A)－1 <x<5(B)x>5(C)x <－1，且x>5(D)x <－1，或x>5解 由二次函数的对称性，已知了对称轴直线x ＝2和与x 轴的一个交点坐标(5，0)即可得出另一个交点坐标（－1，0）；再由不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集即得x 取值范围，故选D ．点评 本题主要考查了函数图象与不等式之间的关系，利用数形结合思想不难选出D 选项，但本题如果对数形结合思想的不理解或不能熟练运用，有可能会采取代入对称轴直线及与x 轴交点坐标的方法运算，则比较繁琐．六、求抛物线解析式4例6 如图4，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C （0，－3）．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y ＝－x 上，并写出平移后抛物线的解析式．(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2．平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y＝－x上．点评此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键．第(1)题解法多，方法1直接用一般式，是常用的方法，但需解三元一次方程组；方法2是用顶点式，根据对称性，求出对称轴直线x＝2，是解题的关键；方法3是与x轴的交点式，解法简洁，但一般教课书中没有．七、求线段和的最小值例7 如图5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0），B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；(3)如图6，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；56②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．7此时点E 的坐标为（－2，2）．点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础，第(2)题中利用抛物线的对称性是解题的突破口．。
好用的抛物线对称性
好用的抛物线对称性杨大为我们知道，抛物线y ＝2ax bx c ++是以直线x ＝－2b a为对称轴的轴对称图形，由此可以进一步得到如下性质：（1）抛物线上纵坐标相同的两点是对称点；（2）如果抛物线交x 轴于两点，那么这两点是对称点；（3）抛物线上对称两点的纵坐标相等．利用抛物线的对称性解决抛物线有关问题十分简洁，异常巧妙．例1 已知抛物线y ＝2ax bx c ++经过Ａ（2，－5）和Ｂ（－6，－5）两点，求这条抛物线的对称轴． 解析 此题的一般解法是：由已知，得4253665a b c a b c ++=-⎧⎨-+=-⎩， 两式相减，得－32a ＋8b ＝０，即b ＝４a ，所以抛物线的对称轴是x ＝－2b a ＝42a a-＝－2. 从抛物线的对称性入手，解法十分简便．因为Ａ、Ｂ两点的纵坐标相同，所以Ａ、Ｂ两点关于抛物线的对称轴对称，因此，抛物线的对称轴经过线段ＡＢ的中点，而ＡＢ中点坐标是（－2，－5），所以抛物线的对称轴是x ＝－2．例2 已知抛物线y ＝2ax bx c ++的对称轴是x ＝2，且经过点Ａ（2，1），试判断该抛物线是否经过点Ｂ（21）.解析：本题一般解法是：由已知，得((222221b a a b c ⎧-=⎪⎨⎪++++=⎩，通过解上式得到c 与a 的关系式，然后然后再验证当x ＝2时，y 是否等于1.这种解法显然是很烦琐．而从对称性入手那就简单多了．因为点Ｂ与点Ａ的纵坐标相同，而点Ａ在抛物线上，因此要判断点Ｂ是否在抛物线上，只须判断点Ｂ和Ａ是否关于抛物线的对称轴x ＝2对称即可．易知，点Ａ和Ｂ到直线x ＝2于直线x ＝2对称，又点Ａ在抛物线上，x ＝2是抛物线的对称轴，所以点Ｂ在抛物线上，即抛物线经过点Ｂ．例3 已知抛物线y ＝2ax bx c ++的顶点是Ｍ（2，－9），且在x 轴上截得的线段ＡＢ的长是6，求a ，b ，ｃ的值．解析：由对称性可知Ａ，Ｂ是关于抛物线的对称轴x ＝2对称的两点，又ＡＢ＝6，所以Ａ，Ｂ两点到直线x ＝2的距离都是3，因此，点Ａ，Ｂ的坐标分别是（－1，０），（5，０）.将（－1，０），（5，０），（2，－9）三点代入y ＝2ax bx c ++，得⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=+-.924,0525,0c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,4,1c b a。
巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题福建 周奕生我们知道，抛物线y ＝2ax bx c ++是以直线x ＝－2b a为对称轴的轴对称图形，由此可以进一步得到如下性质：（1）抛物线上纵坐标相同的两点是对称点；（2）如果抛物线交x 轴于两点，那么这两点是对称点；（3）抛物线上对称两点的纵坐标相等．利用抛物线的对称性解决抛物线有关问题十分简洁，异常巧妙．例1 已知抛物线y ＝2ax bx c ++经过Ａ（2，－5）和Ｂ（－6，－5）两点，求这条抛物线的对称轴．分析：此题的一般解法是：由已知，得 4253665a b c a b c ++=-⎧⎨-+=-⎩， 两式相减，得－32a ＋8b ＝０，即b ＝４a ，所以抛物线的对称轴是x ＝－2b a ＝42a a-＝－2； 从抛物线的对称性入手，解法十分简便．因为Ａ、Ｂ两点的纵坐标相同，所以Ａ、Ｂ两点关于抛物线的对称轴对称，因此，抛物线的对称轴经过线段ＡＢ的中点，而ＡＢ中点坐标是（－2，－5），所以抛物线的对称轴是x ＝－2．例2 已知抛物线y ＝2ax bx c ++的对称轴是x ＝2，且经过点Ａ（2，1），试判断该抛物线是否经过点Ｂ（2，1）分析：本题一般解法是：由已知，得((222221b a a b c ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，然后验证当x ＝2时，y 是否等于1？这种解法显然是繁不胜繁．而从对称性入手那就简单多了．因为点Ｂ与点Ａ的纵坐标相同，而点Ａ在抛物线上，因此要判断点Ｂ是否在抛物线上，只须判断点Ｂ和Ａ是否关于抛物线的对称轴x ＝2对称即可．易知，点Ａ和Ｂ到直线x ＝2x ＝2对称，又点Ａ在抛物线上，直线x ＝2是抛物线的对称轴，所以点Ｂ在抛物线上，即抛物线经过点Ｂ．例3 已知抛物线y ＝2ax bx c ++的顶点是Ｍ（2，－9），且在x 轴上截得的线段ＡＢ的长是6，求a ，b ，ｃ的值．分析：这是一道常见题，相信大家对此题的解法已是胸有成竹，但下面的解法将令你刮目相看．解：由对称性可知Ａ、Ｂ是关于抛物线的对称轴x ＝2对称的两点，又ＡＢ＝6，所以Ａ、Ｂ两点到直线x ＝2的距离都是3，因此，点Ａ、Ｂ的坐标是（－1，０），（5，０），故可设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －5），把x ＝2，y ＝－9代入，得－9＝a （2＋1）（2－5），解得a ＝－1，故y ＝－（x ＋1）（x －5），即y ＝24x x -+＋5，比较系数，得a ＝－1，b ＝４，ｃ＝5．。
(文章)利用抛物线的对称轴解题
利用抛物线的对称轴解题抛物线的对称轴是二次函数的一个重要特性，巧用这个对称性，能使求解变得简洁，下面举例说明；1. 用对称比大小例1、已知二次函数234y x x =--，若x x 2132320->->，试比较1y 与2y 的大小；解析：因为抛物线的对称轴为x =32，且3201->x ，x 2320->，所以x 1在对称轴的左侧，x 2在对称轴的右侧，因为x 1到对称轴x =32的距离为||x x 113232-=-，x 2到对称轴x =32的距离为||x x 223232-=-，由题意知：x x 2132320->->，即x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，所以21y y >2. 用对称求解析式例2. 已知抛物线y ax bx c =++2的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。
解析：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x =-1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为： x 113=--，x 213=-+， 则两交点的坐标为（-4，0）、（2，0）；求函数的解析式可有两种方法：解法(1)：设抛物线的解析式为顶点式：y a x =++()142，把（2，0）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为y x =-++49142()；解法(2)：设抛物线的解析式为两点式：(4)y a x =+（x-2），把（－1，4）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为：4(4)9y x =-+（x-2）；3. 用对称性解答方程问题例3. 关于x 的方程x px 210++=（p >0）的两根之差为1，则p 等于（ ） A. 2 B. 4 C.3 D.5解析：设方程x px 210++=的两根为x 1、x 2，则抛物线y x px =++21与x 轴两交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0）因为抛物线的对称轴为x p =-2，所以x p 1212=--，x p 2212=-+， 因为x x 121⋅=，所以()()---+=p p 2122121，得：p 25=，因为p >0，所以p =5 故选D。
巧解抛物线的对称性和平移问题
巧解抛物线的对称性和平移问题夹河镇中李玉升在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容，也是中考常考的知识点。
掌握其对称和平移的规律能为我们解题带来很多方便，也能为我们从中节省很多时间。
一.抛物线关于x轴、y轴、原点对称的抛物线的解析式。
对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k关于x轴、y轴、原点对称的解析式，学生很容易想到先找到其顶点（h,k）关于x轴、y轴、原点的对称点，再根据对称后的开口方向决定是a还是-a，从而得出对称后的解析式。
可对于求一般式y=ax2+bx+c关于x轴、y轴、原点对称的解析式时，学生还是想到先将其化为顶点式后，再根据顶点式来求其对称后的解析式。
这样做固然正确，但解答过程比较繁琐。
其实抛物线的对称规律与点的对称规律一样：关于x轴对称横坐标不变，纵坐标变为它的相反数；关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变为其相反数；关于原点对称横、纵坐标都变为它的相反数。
例：求抛物线y=-2x2+3x-6关于x轴对称的抛物线的解析式时只需将y变为－y，即：－y＝-2x2+3x-6，然后化为一般形式y=2x2－3x+6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于y轴对称的抛物线的解析式时只需将x变为－x ，即：y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=－2x2－3x－6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于原点对称的抛物线的解析式时将x变为－x，y变为－y，即：－y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=2x2+3x+6即可。
二.求抛物线上、下、左、右平移的抛物线的解析式。
对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k上、下、左、右平移后的解析式学生也不是问题，即：上加下减，直接加、减在k上，左加右减，直接加、减在x上，而对于求一般式y=ax2+bx+c平移后的解析式时学生也想到将其化成顶点式后再平移。
其实没这个必要，也可直接在一般式中进行，即上或下平移时直接在c上加或减，左或右平移时直接在x上加或减。
谈抛物线对称性的巧用
・ ． ．
当 ｙ ０时 ， ＜ 有 ＜ ３或 ｘ ｌ但这种解法计算 量大 ， 一 ＞， 费时又费力 。
】 ５８一
２ １—４ ０２ Ｄ
方 法交 流
例４ 知 次 数 ２ ＋ ，自 量 取 个 同 值；方 向 平 后 与 次 数， ＋的 象 交 点Ｐ ． 二 函 ＋ ３当 变 两 不 的 正 向 上 移 ， 一 函 ， ２ 图 相 于 ， 已 ４ 一 与
得 ， ｘ ２（ ）（ ）０ 的函数 值与 当 ＝ ｘ一 一一 ＝ 时
‘． 二
嘉舭 …２ 于 对 称
Ｊ
似： 的函数值 相 时
标 （ｎ） 入 次 数 ｎ 原 物 向 平 了 为３一， 一 函 得 ＝ ．抛 线 上 移 ，２代 手
个单位 。
等 。故选 Ｂ 。
例 ５已知二次函数的图象经过点 （ ， ）且与 轴两交 点间的 ． ２７， 距离是 ６ 对称轴是 直线 一 ２ 求此二次函数 的解析式 。 ， ， 分 析 ：由于 图象与 轴两交点 间的距离是 ６ ，对 称轴是直 线
由 论３ ， ｝和 一早 时 数 都 ‘ 一时Ｙ 结 得当 一 函 值 为Ｙ． ＞ ， 当 ２
（ － ３故选 Ｂ ｙ＜ Ｙ 。
，
条 具有对称性 的抛物线 ， 它给人 以对称美的享受。 在解题时合理使 用抛物线 的对称性 ， 会取得很好 的效果 。 对二次 函数 图象对称性的 考查， 已成为近些年中考的热 点。因此 ， 二次 函数这部 分内容的 在 教与学上 ，教师要 引导学生巧用抛物线的对称性解决所遇到的问 题 ，我们教师在 教学 时不妨用一堂或两堂课来专 门研究抛物线 的
Ｘ１ ＋Ｘ２
‘
Ｚ
； 反之亦然。
３ 又 ‘ 点 ｃ和所 求的点也 是一对对称 点 ． ， ． ’ 由结论 ３得 ， 求点 所 ３若 Ａ（ Ｙ） ． 。是抛 物线上 的一点 ， 它关 于抛物线 的对称 轴 的横坐标为 ２ ３ ４ ２ 所求点的坐标 为（ ，７ 则 ｘ － ＝ ． ２－ ） ｘ ｈ的对称点 Ｂ一定也在抛物线上 ， Ｂ点的坐标 为（＾ 。 。 ＝ 且 ２ ， ） Ｙ。 例 ３抛物线 ＇ ：ｂ ＋ ． ， ＋ｘ ｃ的部分 图象如 图 １ 示 ， ｙ ０ 则 ＝ 所 若 ＜， 特殊情况 ： 若抛物线 与 轴 的其 中一个交点是 Ａ（ ０ ， 对 的取值范围是（ ）其 ）
抛物线对称问题的探究与解答
抛物线对称问题的探究与解答引言：抛物线作为一种经典的曲线形状，具有许多独特的性质和特点。
其中一个引人注目的问题就是抛物线的对称性。
本文将探究抛物线对称的相关概念、公式推导以及实际应用，并尝试回答抛物线对称问题的范围。
一、抛物线的基本概念和性质1. 什么是抛物线？在几何学中，抛物线是一个平面曲线，其形状由一个动点到一个固定点和一个固定直线的距离比例确定。
抛物线由二次方程表示，通常形式为y=ax²+bx+c。
2. 抛物线的特点抛物线具有丰富的性质，如：顶点、焦点、准线、对称轴等。
二、抛物线的对称性1. 横轴对称性定义了一个抛物线的对称轴，也称为横轴，过抛物线的顶点并垂直于准线。
抛物线关于横轴对称，即在对称轴两侧的图形完全相同。
2. 纵轴对称性某些抛物线还表现出纵轴对称性，即围绕纵轴对称，对称轴为垂直于横轴过顶点的线。
三、抛物线的对称性证明1. 横轴对称性的证明以抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系。
利用二次方程的对称性质以及函数平移的知识，可以证明抛物线关于横轴对称。
2. 纵轴对称性的证明同样以抛物线的顶点为原点建立坐标系，利用奇偶函数的对称性质和函数平移的概念，可以证明抛物线关于纵轴对称。
四、抛物线对称问题的范围1. 抛物线对称轴的位置抛物线的对称轴是纵轴或横轴，具体取决于二次方程的系数，对称轴的位置可以通过系数的特性来判断。
2. 抛物线的顶点坐标顶点是抛物线上的一个特殊点，具有一定的几何意义。
顶点坐标的求解公式可以通过配方变形、导数等数学方法推导得出。
3. 抛物线的焦点和准线对于一些特殊的抛物线，还存在焦点和准线等概念。
焦点的位置可以通过一定的几何关系和推导得到，准线则是与焦点有关的一条直线。
五、抛物线对称性的实际应用1. 物理学中的抛物线抛物线的运动轨迹在物理学中具有广泛的应用，如自由落体、炮弹的弹道等。
了解抛物线对称性的概念，有助于解决实际问题和理解物理规律。
2. 工程学中的抛物线抛物线的形状特征在工程设计中也有重要的应用，如光学反射镜、设计拱桥的形状等。
圆锥曲线解题技巧如何利用抛物线的对称性简化解题过程
圆锥曲线解题技巧如何利用抛物线的对称性简化解题过程圆锥曲线作为数学中的重要概念，在解题过程中常常需要运用一定的技巧。
其中，利用抛物线的对称性是一种常见且实用的方法，可以大大简化解题过程。
本文将讨论这一技巧的应用，帮助读者更好地理解和掌握圆锥曲线的解题方法。
在解题过程中，对于给定的圆锥曲线方程，我们可以通过观察曲线的特点来简化解题过程。
抛物线是一种常见的圆锥曲线，具有对称性特征。
具体来说，抛物线关于其焦点、准线和对称轴都具有对称性。
首先，我们来讨论抛物线关于焦点的对称性。
对于一条抛物线，焦点位于其顶点的对称轴上，且离顶点的距离等于准线到顶点的距离。
利用焦点的对称性，可以简化求解抛物线方程的顶点、焦点等信息的过程。
其次，考虑抛物线关于准线的对称性。
准线为与抛物线的对称轴垂直的一条直线，位于焦点的对称轴上，且与焦点和顶点等距离。
根据抛物线的对称性，我们只需要研究抛物线上方的一半曲线，即可得到完整的解。
最后，我们来探讨抛物线关于对称轴的对称性。
对称轴为抛物线上所有点关于准线的对称点。
利用对称轴对称性，我们可以减少对曲线上各点信息的研究，从而简化解题过程。
通过利用抛物线的对称性特点，我们可以更高效地解决与抛物线相关的问题。
在解题过程中，可以通过观察抛物线图形来判断其特性，进而利用对称性简化运算和求解。
以解题为例，假设有以下抛物线方程：y = ax^2 + bx + c。
我们可以通过观察方程的系数来判断抛物线的特性，并运用对称性简化求解过程。
首先，我们观察系数a的取值。
若a>0，则抛物线开口朝上，顶点为最小值点；反之，若a<0，则抛物线开口朝下，顶点为最大值点。
接下来，我们考虑抛物线的对称性。
根据抛物线的对称性，顶点坐标为(-b/2a, -D/4a)，其中D为抛物线的判别式，D=b^2-4ac。
通过对称性，我们可以确定顶点坐标，从而简化解题过程。
通过利用抛物线的对称性特点，我们可以更加清晰地把握解题思路，减少运算和计算量，提高解题效率。
例谈抛物线对称性的应用
数学学习与研究2014.18【摘要】在初中阶段所研究的函数中,函数的图像和性质是最重要的内容,也是最常考的内容.在抛物线的学习过程中,抛物线的对称性是它的一个显著特征,对称性的考查和利用也是比较灵活的.本文将以一些典型的例题来谈谈抛物线对称性该如何运用.【关键词】初中数学;抛物线;函数的性质;知识运用能力首先我们来回顾什么是抛物线,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像就是一条抛物线.抛物线的对称轴可以用直线x =-b 2a表示,当二次函数的形式为y =a (x -h )2+k (a ≠0)时,抛物线的对称轴为直线x =h .在解有关函数的问题时,我们常常会用数形结合的方法,数形结合能更快地理清思路,运用好已知条件.下面我们通过几个例子来谈谈关于抛物线对称性的一些考点和用法.一、求点的坐标例1若函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点A (-2,7),B(6,7),C(3,-8),那么抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标为______.分析一看到是求点的坐标,很多学生就会想到要先求抛物线的解析式,再把所求点的纵坐标代入到解析式中,就可以求出该点的横坐标.而要求抛物线的解析式也是可以的,因为已知条件中给出了三个点的坐标,把三个点的坐标代入到函数的一般式中,通过解方程组可得出抛物线的解析式.这种方法是一种传统的方法,也是很多学生会用到的,但其实这道题还有更加简便的方法,省去了烦琐的计算,也能快速地得出答案,关键就是要细心观察已知中给出的三个点的坐标.可以看到A (-2,7),B (6,7)两点的纵坐标是相等的,说明这是两个点于关抛物线的对称轴对称,那么就可以直接利用抛物线的对称性快速解题.解析由题意得,抛物线的对称轴x =-2+62=2,所求点与点C 对称,2×2-3=1,所求点的坐标为(1,-8).二、求代数式的值例2抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴是x =2,且经过点P(3,0),那么a +b +c 的值是().A.-1B.0C.1D.2分析在这道题中,要求的是代数式a +b +c 的值,这类题目我们也会经常接触到,a +b +c 的值就是当x =1时,函数y 的值.仔细观察就可以看到,我们不用求出每个字母的值,充分利用好对称轴这个已知条件,就能巧妙地解决问题.解析因为抛物线的对称轴是x =2,2×2-3=1,也就是与点P 对称的点是(1,0),正好是我们所要求的当x =1时函数的值.所以a +b +c 的值为0.答案选B.三、比较函数值的大小例3如果A -1113,y 1(),B -54,y 2(),C -14,y3()为函数y =x 2+4x -5的图像上三点,那么y 1,y 2,y 3的大小关系是().A.y 1<y 2<y 3B.y 3<y 1<y 2C.y 2<y 1<y 3D.y 1<y 3<y 2分析这道题可以直接代入计算,但这样的话会带来非常大的计算量,是不可取的一种方法.比较函数值的大小可以利用函数的单调性进行比较,但抛物线的单调性并不是单一的,而是有增有减,因此在使用的时候不仅要先搞清函数的单调性,还要明确点的位置关系以及和对称轴的水平距离.解析根据题意可得,抛物线的开口向上,函数的对称轴为x =-b 2a=-2,当x >-2时,y 的值随着x 的增大而增大,所求点的横坐标均大于-2,因为-54<-1113<-14,所以y 2<y 1<y 3.答案选C.四、求函数的解析式例4已知二次函数的图像经过点A(2,-3),对称轴为x =1,且与x 轴的两个交点之间的距离为4,求这个二次函数的解析式.分析这是一道求函数解析式的题目,而我们首先会想到的就是根据已知条件来设函数为哪种形式,运用常规的方法都能求解,但会产生一个非常复杂的三元方程,而巧用函数的对称性,能轻松地解决这些问题,化难为易,化繁为简.解析由抛物线的对称性可知,抛物线与x 轴的两个交点的坐标分别为(-1,0)和(3,0),于是可以把函数设为两点式y =a (x +1)(x -3),将A 点坐标代入得-3=-3a ,a =1,即所求函数为y =(x +1)(x -3),整理,得y =x 2-2x -3.函数的对称性是二次函数图像的一个重要特征,常常可以巧妙地运用于解决问题当中.从上面的几个例题就不难发现,很多题目都可以用常规的方法来解决,但计算会很烦琐,过程比较复杂,而能巧妙地运用对称性的话,问题都能快速解决,并且解题过程得到了有效的简化.因此,在解题时,一定要先细心观察和认真思考,抓住题目中的一些关键信息,用最简便的方法来解答.【参考文献】[1]葛加建.由二次函数问题案例教学谈初中生探究能力的培养[J ].成才之路,2013(36).[2]刘克庭.运用函数性质,培养学生抽象思维与逻辑思维能力[J ].学园,2013(33).[3]徐英.学好二次函数的三个重要方面[J ].初中生世界:九年级,2013(12).例谈抛物线对称性的应用◎王晓旸(江苏省江都仙城中学225267). All Rights Reserved.。
抛物线对称性的运用
抛物线对称性的运用二次函数y=ax^2+bx+c的图象是以直线x=-b/2a为对称轴的抛物线，根据轴对称图形的性质可得如下结论：（1）如果P、Q关于二次函数图象的对称轴对称，则点P、Q同时或不在二次函数图象上；（2）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）是二次函数图象上的点，如果y1＝y2，则P、Q关于二次函数图象的对称轴对称，且对称轴是直线x=(x1+x2)/2．运用二次函数图象的对称性可以巧妙地解决有关的问题。
请看：例1 已知二次函数的图象经过点A（－3，12），B（3，0），C （5，12），求二次函数的解析式．解析：常规解法是设二次函数解析式为y=ax^2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入，再解关于a、b、c的三元一次方程组．而从图象的对称性入手可得如下简便的解法：解：因为A、C两点的纵坐标相同，所以抛物线的对称轴是x＝（－3＋5）/2＝1，因为点B（3，0）关于直线x＝1的对称点为D（－1，0），又点B在抛物线上，所以点D也在抛物线上，因此可设所求二次函数解析式为 y＝a（x＋1）（x－3），把点C的坐标代入，得：12＝a（5＋1）（5－3），解得a＝1，所以，二次函数的解析式为y＝（x＋1）（x－3），即y＝x^2－2x－3．例2已知抛物线y＝ax^2＋bx＋c的顶点为（3，1），且在x轴上截得的线段长为2√3，求a、b、c的值．解：由已知，抛物线的对称轴为x＝3，设抛物线交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（x1<x2），则A 、B关于直线x=3对称，因为AB=2√3，所以点A、B到直线x＝3的距离相等都是√3，即3－x1＝x2－3=√3,所以x1=3-√3，x2=3+√3，所以抛物线的解析式可化为：y=a(x-3+√3)(x-3-√3)=a[(x-3)^2-3]所以y=a(x-3)^2-3a (1)因为抛物线顶点为（3，1），所以抛物线又可化为：y＝a(x-3)^2+1 (2)比较（1）、（2）的系数，得：-3a=1，所以a=-1/3.所以y＝(-1/3)(x-3)^2+1化为一般式，得：y=(-1/3)x^2+2x-2，所以a＝-1/3，b＝2，c＝－2．例3已知二次函数y=ax^2+2ax+c(a>0)的图象经过点A(1，2)，求当函数值y<2时，自变量x的取值范围。
2020年中考数学专题——巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象是关于直线2b x a=-对称的图形，恰当、灵活地利用抛物线对称性来解决相关数学问题，可收到事半功倍的效果.请看下面一例的解法对比.题目 已知抛物线2y ax bx c =++经过点(2,3)，对称轴为直线1x =，并且在x 轴上截得的弦长为4，则抛物线的解析式为 .解析1 求二次函数的解析式常用待定系数法.设抛物线与x轴的交点坐标为((,0)22b b A B a a---+，则AB a===4.∴124423b a a a b c ⎧-=⎪=⎪⎪++=⎪⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩. ∴抛物线的解析式为223y x x =-++.解析2 由条件“对称轴为直线1x =，并且在x 轴上截得的弦长为4”，根据抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴两交点到对称轴的距离为2.因此，抛物线与x 轴的两交点坐标为(－1,0)和(3,0)，这样我们可设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-.将(2,3)代入，得1a =-，故(1)(3)y x x =-+-，即抛物线的解析式为223y x x =-++.从上面两种解法，我们能感受到利用抛物线的对称性来求解的优越性.下面，笔者从两个方面，探究如何利用抛物线的对称性助推我们解题.一、对称轴的判定对于抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上两个不同点111222(,)(,)P x y P x y ，若12y y =，则这两个点是关子对称轴的对称点，且这时抛物线的对称轴是直线122x x x +=；反之亦然. 例 1 (2019年济宁中考题)如图1，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于(1,),(3,)A p B p -两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是 .解析 抛物线的对称轴为y 轴，,A B 关于y轴对称点的坐标分别为(1,),(3,)A p B q ''-，直线y mx n =+关于Y 轴的对称直线为y mx n =-+，且经过(1,),(3,)A p B q ''-两点(如图1)，所以不等式2ax mx c n ++>，即2ax c mx n +>-+的解集是3x <-或1x >.例2 (2019年大庆中考题)如图2，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线2x =，抛物线与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(－1,0).(1)求抛物线的函数表达式. (2)将抛物线2y x bx c =++图象x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，保留抛物线在x 轴上的点和x 轴上方图象，得到的新图象与直线y t =恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为,,,D E F G .当以EF 为直径的圆过点(2,1)Q 时，求t 的值。
巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题作者：朱香彩来源：《中学生数理化·教研版》2008年第04期二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，是关于x=- 成轴对称的抛物线，它的对称轴是直线x=- ，利用它的对称性，常常能使求解变得简捷，优化解题过程.现举例说明.1.利用图象的对称性求代数式的值例1抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过P（3，0），则a+b+c的值为（）.A.-1B.0C.1D.2解析：因为抛线线的对称轴是直线x=2，且它经过P（3，0），又抛物线是轴对称图形，所以抛物线和x轴的另一个交点为（1，0）．当x=1时，y=a+b+c，即a+b+c=0.答案为B.2.利用图象的对称性求对称轴方程例2已知抛物线经过A（2，5）和B（4，5），则该抛物线的对称轴是什么？解析：因为抛物线经过A（2，5），B（4，5）两点，由抛物线的对称性可知，当两点的纵坐标相同时，这两个点是对称点，所以A和B是对称点，对称轴方程为x= =3，即对称轴方程为x=3.3.利用图象的对称性求确定函数的表达式例3已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的表达式.解析：因为顶点坐标为（-1，4），所以对称轴为x=-1.又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为x =-1-3,x2=-1+3.则两交点的坐标为（-4,0）,（2,0）.设抛物线的表达式为y=a（x+1）2+4.再把（2，0）代入得a=- .所以抛物线的表达式为y=- （x+1）2+4.4.利用图象的对称性比较函数值的大小例4已知二次函数y=x2-4x+1.若x2-2>2-x1>0,试比较y1与y2的大小.解析:因为抛物线的对称轴为x=2,且x2-2>0，2-x1>0,所以x1在对称轴的左侧，x2在对称轴的右侧.又因x 到对称轴的距离为｜x1-2｜=2-x1，所以x2到对称轴的距离为｜x2-2｜=x2-2.由题意知x2-2>2-x1>0,即x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离.所以y2>y1.5.利用图象的对称性确定点的坐标例5已知抛物线经过A（-2，5）和B（4，5）、C（3，-2），则该抛物线上纵坐标为-2的另一个点的坐标为.解析：仔细分析可注意到：A、B两点纵坐标相同，且关于抛物线的对称轴对称，由A（-2，5）和B（4，5）可得对称轴x= =1，而抛物线上纵坐标为-2的一点是（3，-2），所以关于x=1的对称点是（-1，-2）.故抛物线上纵坐标为-2的另一点坐标为（-1，-2）.“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
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…
参 考 文 献
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Ｐ 互 素 ， ２ 州 一 １ 能整 除 ｚ 故 不 Ｘ… Ｘ户
Ｘ … × 矛盾． ： 若 Ｐ ＝２ “ 一 １ 根 据式 ⑤ ， ａ ＝ 。 ＝ ， 得 一 １ 一 ，
上 海 教 育 出 版社 ， ９ ８ １９．
２１ ０ ０年 第 ７期
中学 数学 月刊
・２ ・ ９
评 注 对 于 不 在 同一 单 调 区 间 的 三 个 点 来
解 析 Ａ， 两点关 于抛 物线 的对 称轴 对 称 ， Ｂ 故 抛物 线 的对称轴 为 直线 ｚ一 ６ 因顶点 Ｐ到 轴 ．
，
因 詈＜ 号＜ ， 以 可知 点 Ａ 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 Ａ 的 坐 标 为 为一 一 一１所 点
（ 一÷ ， ， Ｙ ） 因为 Ａ 在对称轴右侧， 并且由于 一１
（ － ｙ ） （ ， 在对 称轴左 侧 ， 一 Ｕ， ，一 Ｙ） Ｙ随 ｚ 的增
大而减小 ， 以Ｙ ＞ Ｙ． 一善 ， 关于对称轴 所 ｚ点（ Ｙ）
京 ： 京 大 学 出 版 社 ，９５ 北 １８．
２ 记 口一 ｎ ＋ １ 则素 数 Ｐ ． 。 ， 。一 ２ 一 １ 且偶完 全数 “ ，
ｍ ＝ （ ｎ一 １ ． 毕 ． ＝ ＝２ ２ ）证
［］ Ａｂｒ Ｈ Ｂ ｉｒ 谈祥柏译． ３ ｌｅ ｅｅ著， ｔ ｌ 数论妙趣［ ． Ｍ］上海：
・
２ ８・
中学数 学月刊
２１ ０ ０年第 ７期
巧 用对 称 性 ， 解抛 物 线 问题 妙
王 瑾 （ 江苏省 张 家港 市第三 中学 ２５０ ） １ ６ ０
２５０ ） １ ６ ０ 郭澄东 （ 江苏省 张 家港 外 国语 学校
对称是 数 学 的一 个 重 要 内 容 ， 多 数 学 命 许 题、 几何 图形都 具 有 对称 的特 征 ， 它们 结 构整 齐 、 匀 称 ， 质特殊 、 雅． 学 中的对称 应用很 广泛 ， 性 优 数
大 小关 系．
解 析 由题 意 可 知 ， 物 线 Ｙ— 一 一 ４ 抛 ＋
５的对称轴 为直 线 ｚ一一 ２ 所 以点 Ａ 在对 称轴左 ，
解 析 抛 物 线 的开 口向上 ， 对称 轴 为直线
１
一 一
侧 ， Ｂ， 对 称 轴 右侧 ． 点 ｃ在 由抛 物线 的轴 对称 性
打 开思 路 ， 解 疑难 问题 ． 破 １ 巧 用 对 称 性 比 较 函 数 值 的 大 小
例 Ａ ， ，－， ，号 ３ ２若 （ ｙ Ｂ １ｚｃ ， 一 １ （ ｙ （ ） ） ）
为二 次 函数 Ｙ一一 。 ｘ 一４ ＋５ 的图象 上的 三点 ， 则
Ｙ ，ｚ Ｙ Ｙ ，ｓ的 大 小 关 系 是 （
的对称 点是 （ １ 一
，
＜一｛ ＜ ， ｚ的增大而减小， Ｙ ＞ Ｙ Ｙ随 所以 ｚ
＞ Ｙ ， Ｙ ＜ Ｙ ＜ Ｙ ， 选 Ｃ ３即 ３ ｌ ２故 ．
Hale Waihona Puke ） 因为 ５ ， ＞一 １＞ 一
１
百
，
所 以
２ 。
×
ｚ Ｘ …
Ｘ ： 一
（ｏ ２
一 １ × ）
１ １ 年 Ｌ ． ｉ ｓ ｎ 出 了定 理 ２ ９１ Ｅ Ｄｃ ｏ 给 ｋ 的一个优
说， 利用 抛物 线 的对 称 性 把 三个 点 转 化 到 同一 单 调区间， 然后 利用抛 物线 的增 减性 进行 比较 大小 ，
的距 离 为 ３ 故顶 点 Ｐ的坐标 为 （ ， ） （ ， ） ， ６ ３ 或 ６ 一３ ．
（ ） Ａ １＜ ２＜ Ｙ ３
（ ３＜ ｙ】＜ ｙ２ Ｃ）
） ．
（ ３＜ Ｙ Ｂ） ２＜ Ｙ １
（ ２＜ ｙ１＜ Ｙ３ Ｄ）
例 １ 若点（ 一÷， ， ｙ）（ 一÷， ，５Ｙ） Ｙ）（，。 在
Ｙ一２ ｘ ｘ ＋２ 一÷ 的图象上， 比较 Ｙ ， Ｙ 的 试 １Ｙ ，。
几里 德 （ ｕ ｌ ） 其经典 名著 《 Ｅ ｃｄ 在 ｉ 几何 原本 》 中就证 明了 ：若 ２ 一 １ “ 。 是素数 ， ２ （。 １ 为偶 完全 则 ２一 ）
明了这 是 偶 完 全 数 的 唯 一 表 达 式 ， 此 Ａｌｅｔ 对 ｂｒ
≥１去× × ＋ ） Ｈ． ｅｌｒ在 文Ｉ ］中感 叹道 ：这 真是一 桩怪事 ！ （ ）… （ 去，⑤ Ｂ ｉｅ － ＋ １ ３ “ ”
不需要 这个 条件 ， 也非 常简捷 ． 值 得一 提 的是 ， 在 ２ ０ 早 ３ ０年前 的古 希腊 ， 欧
２ 州 一 １整除 ｚＸ… ×
另 一 方 面 ， 式 ④ 得 由
＋ － 一 ＿
故 Ｐ ≥ ２ 一１ 。 ．
×…× 数 ． 但 直 到 ２ ０ 多 年 以后 ， 由大数 学家 欧拉证 ” ００ 才
［ ］ Ｒｉ ａｄＫ Ｇ ｙ著 ， 明 尧 译 ． 论 中 未 解 决 的 问 题 １ ｃ ｒ ｕ ｈ 张 数
这 与 ２ 一 １ 除 。 整
［ ． 京 ： 学 出版 社 ，０ ３ Ｍ］ 北 科 ２０ ．
［］ Ｒ Ｈｏ ｓｅｇｒ著 ， 忠 译 ． 学 中 的 智 巧 ［ ． ２ ｎ ｂｒｅ 李 数 Ｍ］ 北
丝 Ｐ
×… ×丝
Ｐ 一 １
．
２— １
④
一
因为
， ， …
均为正整数， 故
美证 明 （ 参见 文 ［ ３ ２ ）并广 为流 传 ， 但需 要 利 用“ 两 个互 素正整 数乘 积 的全 部 因 子 之 和 ， 于它 们 各 等 自全部 因子 之 和 的乘 积 ”这 一 条件 ． 上 述 证 明 而
点（ 一軎， ，５Ｙ） Ｙ）（，。在对称轴右侧， 随ｚ的增大 Ｙ
而 增 大 ， 以 Ｙ ＞ Ｙ ， 上 所 述 可 知 Ｙ ＞ Ｙ ＞ 所 。 综 。 。
Ｙ２ ・
尤 其是 在二次 函数 的图 象 和性 质 的教 学 中 ， 意 有 识 地启 发学生 应用 抛 物 线 的对 称 性 ， 能 巧妙 地 常