最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
人教版初中数学八年级上册 13.4 课题学习 最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思
标题（第一课时）课题13.4课题学习：最短路径问题课型新授课主讲陶绍俊班级804班时间2016年10月27日教学目标知识与技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题，将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；过程与方法在探索最短路径的过程中体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.情感态度与价值观在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教法采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
教学过程主要教学过程个人修改一、创设情景引入课题前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．二、自主探究合作交流建构新知追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题1 ：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？问题2 ：如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？B。
Al师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ，则点C 即为所问题3 你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？方法提炼：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4 造桥选址问题如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A 到B 的路径是AM+MN+BN ，那么怎样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维点拨：改变AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、把A 平移到岸边.2、把B 平移到岸边.3、把桥平移到和A 相连.4、把桥平移到和B 相连.教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN 不变呢？请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A 或B 分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”三、巩固训练：四、反思小结 布置作业小结反思（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些收获？作业布置、课后延伸必做题：课本P93-15题；选做题：生活中，你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题板书设计BA B A Ｍ Ｎ。
13.4最短路径 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
两点转化为直线异侧的两个
图2
实际问题中的“所走的总路径最短”即“线段AC与线段BC的和最小”，把实际问题抽象为下面几何最值问题：
如图3，A，B是直线l同侧的一点，在直线l上作一点C，使AC+BC最小．
是否存在这样一个点呢？
几何画板演示
图3
2.分析思考，确定所求的点
①用我们所熟悉的最短路径问题能解决这个为题吗？回答是否定的，我们发现不管点C在哪里，点A，B，C都不在同一直线上，难以构成最短的线段．
设计意图：引导学生回顾相关经验，分析问题的难点．
②如果当A，B两点在直线l的两侧可以做到，而且直接可以用“线段最短”解决问题——直线AB与直线l的交点即为所求（如图4）．
设计意图：以退为进，先构造容易解决的问题．
③ 比较图3和图4，你发现了什么？能把图3中“在直线l上确定点C使AC+BC最小”问题转化为图4中“在直线l上确定点C使AC+BC最小”问题吗？
同学们不难发现，如果将图3中的点B或者点A移到直线的异侧，问题就迎刃而解了，
④把图3中的点B移到直线l的另一侧的B′，有什么条件？
要确保对于每一点C，BC=B′C，这样AC+BC=AC+B′C，在保证AC+BC最小就是AC+B′C最小．
⑤根据这一要求，怎样移动点B？
大家不难想作点B关于直线l的对称点B′的方法就可以把同侧的两点问题转化为异侧两点问题．（1）作点B关于直线l的对称点B′；
（2）作直线AB，交直线l于C点，则点C即为所求的点．
3.推理证明，确立作出的点符合要求
①作出的点C是否符合要求，这需要证明，怎样证明？。
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【学生反思】：第 1 种 作法是利用“垂线段最 短”，得到 AC 最短，利 用“两点之间线段最 短”，得到 BC 最短，但 不能确定 AC+BC 是最短 的。
第 2 种作法只能说明在 河 l 上取一点，到 A、B 两地的距离相等，也就 是 AC＝BC。不能说明 AC+BC 最短
第 3 种作法应该是正确 的。
先，我们要将实际问题变成一 之后通过证明，验证猜
个数学问题（群答），也就是 想，从而得出结论，最
抽象成一个数学模型，这样可 后再将结论运用到实际
以帮助我们进行实验观察，进 问题里。
课 而运用合情推理得到一个猜
堂 想，然后我们可以通过严谨的
小 逻辑证明，验证猜想，从而得 结 出结论，最后再将结论运用到
课题名称 课时
13.4 最短路径问题教案
13.4 最短路径问题
类型
第一课时
授课教师
新授课 张琪
知识与 技能目 能利用所学轴对称的知识解决简单的最短路径问题 教标
学 过程与 在探索最短路径的过程中，培养学生的探究能力、数学归纳能 方法目 力，分析问题、解决问题的能力
目标
标 情感态 在探索最短路径的过程中，让学生感悟转化的思想，获得成功的 度与价 体验 值观
发 除了作点 B 关于直线 l 的对称 还可以作点 A 关于直线 散 点以外，还有没有别的作法？ l 的对称点。 思
维
先将实际问题转化为数
得 【问题】：我们是如何解决将 学问题。然后作其中一
出 军饮马问题的？
个点关于直线 l 的对称
结
点，连接对称点和另一
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
论
点与直线的交点就是满
足最短距离的点的位
人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径的奥秘。
（3）在复杂图形中寻找最短路径时，可以引导学生从简单图形出发，逐步增加难度，让学生掌握解题方法；
（4）结合实际应用，可以设计一些案例，如旅行商问题、工程选址问题等，指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中，教师应针对这些难点和重点，运用生动形象的语言、具体实例和操作演示，帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时，注意关注学生的反馈，适时调整教学方法和进度，确保学生透彻理解本节课的核心内容。
（3）在实际图形中寻找最短路径，如三角形、四边形等；
（4）将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学知识求解。
举例：讲解最短路径概念时，可以通过实际生活中的例子（如地图上两点间的最短距离）进行说明，使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
（1）如何将实际问题抽象为数学模型，找到最短路径；
人教版初二数学上册《最短路线问题》教案
人教版初二数学上册《最短路线问题》教案一、教学目标1. 了解最短路线问题的概念和应用背景。
2. 掌握求解最短路径的方法，包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
3. 能够灵活运用最短路径算法解决实际问题。
二、教学准备1. 教材：人教版初二数学上册。
2. 教具：投影仪、黑板、白板、教案、课件等。
三、教学内容及流程1. 导入（5分钟）- 利用地图等实际例子引入最短路线问题，并与学生进行讨论，激发学生的研究兴趣。
2. 知识讲解（15分钟）- 讲解最短路径的定义和应用背景，引导学生了解最短路径问题在现实生活中的重要性。
3. 方法讲解（20分钟）- 介绍迪杰斯特拉算法的基本原理和步骤，通过实例演示其具体应用方法。
- 介绍弗洛伊德算法的基本思想和具体过程，通过实例说明其求解最短路径的能力。
4. 练与应用（25分钟）- 设计一些简单的最短路径问题，让学生运用迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法进行求解。
- 提供一些实际案例，让学生运用所学知识解决实际问题。
5. 总结与反思（10分钟）- 总结所学知识要点，强调最短路径问题的重要性和实际应用价值。
- 与学生一起反思本节课的收获和不足之处，为下一步研究做好准备。
四、教学评价1. 观察学生的课堂参与情况，包括回答问题、互动讨论等。
2. 以小组或个人作业形式，设计相关的问题让学生回答。
3. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决一个实际的最短路径问题，并提交书面报告。
五、教学延伸为了帮助学生更好地理解最短路线问题和相关算法，教师可以组织学生进行实地考察，例如到校园周围进行最短路径的测量和求解，让学生亲自体验和实践所学知识的应用。
以上是人教版初二数学上册《最短路线问题》教案的主要内容，希望对您有所帮助。
最短路径问题八年级数学上(人教版)学习教案
B
P′ P Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点 即为所求点Q.
l
A′′
问题：在直线l上求作两点P，Q ， 使得四边形APQB的周长最小．
练习 已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作 两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四 边形APQB的周长最小． 作法：
a A A′
B
将点A沿直线l的方向平移A′， 使得AA′=a. 作A′关于直线l的对称点A′′
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
A
Ma Nb
B
思考： 问题能否简化？
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
A
Ma Nb
B
B
思考： 能否通过图形的变化（轴对称，平移等），
A
实际问题用数学语言表达.
Ma Nb
B
总结 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
总结 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
利用平移，实现线段的转移. 转化2：当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
N
AM′+N′B=A′N′+N′B.
B 由两点之间，线段最短可知：
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13.4课题学习------线段和最小问题杨璧华教学目标1．进一步理解轴对称变换，并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题.2．体会轴对称变换在解决问题中的作用，学会将实际问题转化为数学问题的方法，提高应用数学的意识.3．体验探究的快乐、激发学习数学的兴趣.教学重点轴对称变换的应用.教学难点如何通过轴对称变换进行转化.教学方式自主探究与启发引导相结合.教学手段多媒体辅助教学.教学环节教学内容师生活动设计意图（一）问题引入一、提出问题问题1如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向燃气管道两侧A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?分析：1)实际问题转换成数学几何问题2)问题转换：在l上找一点C使得PA+PB的和最短3)观察动态图形寻找解决方案4)确定解决方案：连接AB交l于点P5)理论依据：两点间线段最短或三角形中两边之和大于而第三边教师ppt展示实际问题，引导学生将实际问题转化为数学问题。
设置辅助问题1为问题2的解决作铺垫.（二）问题探究问题2如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向管道同侧A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?学生阅读思考、尝试独立求解.学生能将管道画成直线，城镇画成点，教师给予肯定的同时，引导学生结合学生已有一些解决实际问题的经验，放手让学生（三）问题变式问题3 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线.1. 实际问题数学化如图，已知∠MON内有两定点A、B，分别在OM和ON上各点C、D，使AC+CD+BD最小.2. 问题的求解解：作点A关于OM的对称点A1，作点B关于ON的对称点B1，连接A1B1，A1B1与OM、ON分别交于点C、D，则此时AC+CD+BD最小.学生利用实物投影展示自己的成果，教师适时点评.对于学生可能出现的问题，教师引导学生讨论、剖析错误.学生思考后作答，教师再归纳提升.问题3一方面作为问题2解题方法的巩固,同时又为问题4的解决作铺垫.NMOABCDB1A1NMDCOAB帮助学生再次体会轴对称变换在解决问题中的转化作用.（四）课后拓展应用问题4 如图，若马厩和帐篷为一点P，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线.1. 实际问题数学化如图，P为∠MON内一定点，分别在OM与ON上找点A、B，使PA+AB+PB最小.2. 问题求解解：作点P关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2 ，P1P2与OM、ON分别交于A、B，点A、B即为所求.学生读题，尝试独立求解.教师巡视指导.学生在画图找点过程中遇到困难时，教师引导学生分析问题、理解由轴对称性质可转化为P1A1+A1B1+P2B1，从而使问题求解.问题4更为复杂，对学生更具挑战性，有利于发展学生迁移的能力.使学生在收NMPOABP1AM3. 对解法的反思在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么作用？“利用轴对称变换实现了线段长度的等量转化. ”获成功喜悦的同时，对轴对称的画图上升到理性认识的层面.（五）小结反思1. 引导学生小结、反思（1）怎样将实际问题转化为数学问题?（2）轴对称变换所起的作用是什么?2. 教师归纳、提升（1）通常解决实际问题的方式（2）利用轴对称变换将不共线的多条路径转化到一条直线上，从而解决最短路径问题. 体现数学化归的思想。
人教版八年级数学(上)13.4课题学习最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
教师姓名冯佩兰单位名称乌苏市第六中学填写时间2020/7/17 学科数学年级/册八年级（上）教材版本人教版课题名称13．4课题学习最短路径问题难点名称利用图形变换解决最短路径问题难点分析从知识角度分析为什么难方法难：利用轴对称或平移变换把两条线段和或三条线段和问题转化成一条线段。
思路难：转化思想从学生角度分析为什么难学生缺乏数学转化思想运用的能力，几何图形性质的灵活运用。
难点教学方法由浅入深，循序渐进直观展示，总结方法教学环节教学过程导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题. 同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径.通常，我们会遇到以下两种情况：(1)如图1，在直线l外有两点A、B，请在l上找一点C，使得AC＋BC最短．(2)如图2，在定直线l外有两定点A、B（异侧），请在l上找两动点M、N，且MN定长，使得AM＋MN+BN最短．知识讲解（难点突破）思路：定点到定点⇒连线段点C在直线l上，AC+ BC何时最小？问题升级：在定直线l外有两定点A、B（同侧），点C在直线l上，AC+ BC何时最小？思路：通常是作轴对称，再利用两点之间线段最短这一性质(1)如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为点C．(2)问题：在定直线l外有两定点A、B（直线两侧），请在l上找两动点M、N，且MN定长，使得AM＋MN+BN最短．思路：通常是作平移，再利用两点之间线段最短这一性质．如图，将点B向左平移MN的长度到点B'，连接AB'，与直线l的交点即为点M，点M向右平移MN的长度到点N，点M、N即为所求．课堂练习（难点巩固）挑战自我：1.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，求△PMN的周长最小值根据实际教学设计需要增行2.如图2，在定直线l外有两定点A、B（同侧），请在直线l上找两动点M、N，且MN定长，使得AM＋BN最短．思路：解决这类问题，通常是作对称，或先作平移，再作对称．如图，作点A关于直线l的对称点A'，将点B向左平移MN的长度到点B'，连接A'B'，与直线l的交点即为点M，点M向右平移MN的长度到点N，点M、N即为所求．小结在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
教师姓名黄月婷单位名称博乐市第九中学填写时间2020－08－25学科数学年级/册八年级上册教材版本新人教版课题名称第十三章 最短路径问题难点名称探索发现最短路径的方案，确定最短路径的作图及原理难点分析从知识角度分析为什么难知识点本身内容复杂，要将实际问题转化为数学问题，运用轴对称解决生活中最短路径问题，确定出最短路径的方法难点教学方法1.将实际问题抽象为数学模型；2.常常用到的数学思想：转化（轴对称变换）教学环节教学过程导入原题再现：如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B 处，请画出最短路径。
知识讲解（难点突破）分析：先把草地、河近似的看成一条直线，E、F分别为两边OM、ON上一个动点，那么，上述问题可转化为：当点E、点F在OM、ON的什么位置时，AE+EF+FB的距离之和最短？由这个问题，我们可以联想到下面的问题：“将军饮马”的基本模型“两定点、一定河”，将直线L同侧的两点转化为直线L异侧的两点，化折为直，方法“作对称，再连接”，从而利用“两点之间、线段最短”求解。
现在，要解决的问题是：如何在两边OM、ON上分别找点E、点F，使得AE+EF+FB的距离之和最短？如果我们能把点A移到OM的另一侧A’处，把B移到ON的另一侧B’处，对直线上OM任一点E，都保持AE=A’E，对直线上ON任一点F，都保持BF=B’F,就可以把问题转化为图（2）的情况，从而使新问题得到解决，请同学们利用轴对称的有关知识找到符合条件的点A’、B’，即作出AB关于OMON的对称点A’B’ （二次对称），利用轴对称的性质，可得A’E=AE, BF=B’F ，如图（3），3.连接A’B’交ON、OM 于点E、点F ，则AF+EF+EB 最小。
2.如图：E、F 分别为两边OM、ON 上一个动点，当点E、点F 在OM、ON 的什么位置时，AE+EF 的距离之和最短？作法：1.作点A 关于OM 的对称点A’；2.作点A’⊥ON 交OM 于点E，ON 于点F，则AE+EF 最小。
最短路径文题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
最短路径问题
教学过程
课题最短路径问题
教学目标1．通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短。
2．让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想和方法。
3．在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习
果原题中牧马人最后回到Q地，请你替牧马路线。
B地在一条河的两岸，现要在河上造
地和B地之间的路径最短？
点是直线m上一定点，B点是直线n上一定点，在，在直线n上求点N，使得AN+NM+MB的值最。
最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
课题名称 难点名称
难点分析
林祥新 初中数学
单位名称 年级/册
塔城地区沙湾县第 三中学
八年级上册
填写时间 教材版本
第十三章 13.4 最短路径问题
2020.8.25 人教版
轴对称在实际问题中的应用
从知识角度分析为 什么难
从学生角度分析为 什么难
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最 短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知 识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题是知识的难点。 最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接 触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题， 更会感到陌生，无从下手.
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽 象为一条直线；（2）在直线 l 上找到一点 C，使 AC 与 BC 的和最小？ 【设计意图】学生在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．
2．解决数学问题（用几何画板讲解，演示）： 问题 2 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上找到一点 C，使 AC 与 BC 的和最小？
解法二：用函数解析法求坐标（略） 课堂练决最短路径问题 求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，找到其中一个点关 于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为 所求的位置．
观察，分析，转化的数学思想 难点教学方法
教学环节 导入
教学过程
一．将实际问题抽象为数学问题： 问题 1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军
最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
教师姓名胡艳然单位名称库车市第三中学填写时间2020年学科数学年级/册八年级上册教材版本人教版课题名称13.4最短路径问题难点名称探索发现最短路径的方案，确定最短路径的作图及原理难点分析从知识角度分析为什么难最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生在此前很少在几何中涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
难点教学方法1通过引导，直观演示让学生发现最短路径的方案，学会最短路径的作图方法。
2通过小组讨论，教师讲解知道最短路径的原理教学环节教学过程导入复习导入出示图片如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？同学们回答的非常棒一看就知道2最短为什么呢因为两点之间线段最短。
我们一起看下一题如图，已知：如图，A，B在直线L 的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
同学们回答非常好，根据“两点之间，线段最短”当A，B在L两侧时我们只要连接AB与直线L相交于一点P,则点P即为就是所求。
知识讲解（难点突破）（二）探究将军饮马问题将军饮马问题： 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图1 中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？(1)这是一个实际问题，你打算首先做什么？师生活动：学生回答——将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线(图2)．(2)你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线l 上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，A C 与C B 的和最小(图3)．我们刚才复习了当AB在L两侧时，在L上求一点C，使A C+B C的和最小，只要我们连接AB交L于点C,C即为所求。
13.4 最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
从学生角度分析
为什么难
作图属于动手操，这方面较差，也需要一定的知识基础
老师实际操作一遍，用 PPT 演示一遍，并详细讲解证明过程，归纳总结方法后用实际操 难点教学方 作巩固。
法
教学环节
教学过程
导入
1、 用视频插入的形式，借用李颀《古从军行》前两句诗：“白日登山望烽火，黄昏饮马 傍交河”引出本节课的课题。
（2） 如果点 A 与点 B 在直线 l 的异侧，点 C 在什么位置，AC+BC 最短？ （3） 如何把同侧的两点转化为异侧两点呢？ （4） 如何作一个点的轴对称点？ 2、 利用作图，解决将军饮马问题
3、 为什么这样就是最短路径？（具体证明）
课堂练习 （难点巩
固）
你会把下面这个问题转化为数学问题解决吗？ “话说灰太狼从羊村落魄回来途中，不小心掉进了茅厕坑，为了不让老婆看到他自己落 魄不堪的样子，于是决定去河边先洗个澡，冲掉身上的脏物，然后再回家，如图所示， 请你调计一种路线，教教可怜的灰太狼，告诉他走哪条路线回家最近吗？”
教师姓名 卢霞
学科 课题名称
数学
卢 单位名
称
英 年级/ 册
玉
玉林市玉州区 填写时间
第八初级中学
八
八年级上册
教材版本
13.4 最短路径问题——将军饮马
2020.8.23 人教版
难点名称 难点分析
探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理 实际问题抽象成数学问题解决，需要利用作图及数学决最短路径的关键是：共线（把各条涉及的线段拼在同一条直线上）
2、复习与本节课息息相关的知识点：线段公理——两点之间线段最短
垂线段性质——垂线段最短
知识讲解 （难点突
最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
左图
2、如下图（右），在等边 ΔABC 中，点 D 是边 BC 的中点，点 M 是边 M 上的一点，在线段 AD
上找一点 P，使得 PM+PB 的值最小.
A
分析：
A
因为等边三角形是轴对称图形，
图中对称轴是中线 AD 所在的直线；
M
P
B
D
C
所以点 B 的对称点是点 C, 连接点 CM,与 AD 交于点 P，点 P 为所求做的点（如左图所示）.即
教师姓名 学科
课题名称 难点名称
马艳 数学
单位名称 年级/册
阿克苏市第九中学 八年级（上）
填写时间 教材版本
2020 年 8 月 20 日 人民教育出版社
第十三章 轴对称 课题学习 最短路径问题（第 1 课时）
最短路径问题的解决思路及证明方法
难点分析
从知识角度分析 为什么难
利用轴对称的知识将最短路径问题中两条不共线的线段转化共线的线段，这 个过程中涉及数学抽象，转化思想，逻辑推理等内容。这些都是数学学习所 必备的素养且具有一定的难度。
A'
图（５） 反思： 在模型中，两定点在一直线的同侧，动点（不确定具体的位置）在直线上，求做动点的 位置的方法 是，一对称二连线三取交点为所求做的点。关键是以动点所在的直线为对称轴 。
课堂练习 （难点巩固）
1、 如下图（右） 射线 BD 是∠B 的角平分线，DA⊥BA 垂足为 A，DC⊥ BC 垂足为 C,点 M
小，点 P 即为所求做点.
问题 5：
你能肯定在图（4）中确定的点 P 就是我们所找的点吗？如何证明？
在题眼中有一“最”字，最的结果往往是比较的结果。所以为了进行比较，如图 （５）在直线 l 上任意取一点Ｐ＇（与点Ｐ不重合），连接 P＇B，P＇A，P＇A ＇．
13.4最短路径 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
教师姓名王婷单位名称阿克苏市第十五中学填写时间2020.08.08学科数学年级/册八年级上册教材版本人教版课题名称13.4课题学习 最短路径问题难点名称如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题难点分析从知识角度分析为什么难利用轴对称变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
难点教学方法利用几何画板对实际问题进行演示。
让学生学会轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”教学环节教学过程导入1.知识回顾⑴两点的所有连线中，线段最短；⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；知识讲解（难点突破）1、创设情境，揭示课题。
课件出示草原美丽的图片，将贯穿主线的人物引出，通过他在劳动中遇到的路径问题向同学们进行求助，从而揭示课题。
2、复习旧知，进行铺垫问题一如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后骑马趟过河到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？把河流看成一条直线，A、B两地看成两个点，连接AB与直线l相交于点C，点C即为最佳饮水点。
（我们把实际问题转化为数学问题的思想。
）两点之间，线段最短。
3、探究学习，感受转化问题二如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（1）再次引导学生将实际问题转化为数学问题。
（2）利用几何画板验证“直线l上是否存在点C，使得AC+CB的和最小？”(3）对问题一和问题二进行对比，提出如何转化。
①能否将问题二中A、B两点在直线l的同侧转化为问题一A、B两点在直线l的异侧解决。
②利用几何画板展示轴对称变换，教师引导让学生找到始终保证路径长度相等的前提下改变路径的方向，从而转化为问题一的解决方法。
问题 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴ AC +BC＜AC′+BC′．C′即 AC +BC 最短．课堂练习（难点巩固）1.如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。
人教版初中数学八年级上册 13.4 课题学习 最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思
13.4 课题学习 最短路径问题教学设计教学目标1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟化归思想；2. 能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题，并能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟“转化”作用。
学情分析由于八年级学生首次遇到某条线段或线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。
重点难点重点：将实际问题抽象为数学问题；将同侧两点转化为异侧两点．难点：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短.教学准备：多媒体课件教学过程4.1 第一学时活动1创设情境、引入新课1、播放行人横穿马路出车祸视频。
2、同学们，看了这段视频，你们有何感想？接着播放交通安全常识。
3、同学们，人们为什么常常违规横穿马路呢？你们能用我们的数学知识来解释这个生活常识吗？现实生活中，我们常常涉及到选择最短路径问题，今天我们将利用大家前一阶段所学的知识解决生活中的实际问题：最短路径问题板书：§13.4 课题学习最短路径问题让我们穿越时空，回归到遥远的古希腊，来探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
活动2探究“将军饮马问题”1、提出问题，抽象模型相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。
有一天，一位将军专程来拜访海伦，求教一个他百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到驻地B处，问到河边的什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，就利用数学知识回答了这个问题，后来被称为“将军饮马问题”。
同学们，你是海伦，怎么将这个实际问题抽象为数学问题呢？2、化未知为已知，化“同侧”为“异侧”(1) 这l上有无数个点，究竟点C落在何处，才能使AC+BC最短呢？(2) 假如l同侧的两点A,B中的A点在l的另一侧，即A,B两点分别在直线l的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC+BC最短？为什么？(3) 回归刚才的问题：A,B两点在直线l的同一侧，如果能将B点转移到l的另一侧，问题就解决了，能否有这样一个桥梁实现这个目标呢？引导：将点A“移”到l 的另一侧A′处时要使直线l 上的任意一点C，都有CB ＝CB′，什么点满足这个条件呢？(4) 动手尝试，利用手中的作图工具寻找点C。
人教版数学八年级初二上册 最短路径问题 名师教学教案 教学设计反思
知识体系进行完善,从整体上让学生感知解决线段和的最小值问题的做法及原理,让学生形成解题基本策略,深化认知策略,建构知识体系。
通过学生的猜想,教师的引导,几何画板的动态演示,让学生通过对解题策略归纳、总结,知识的迁移,内化学习经验等的螺旋上升的过程,有效提高分析问题解决问题的能力。
敎學环节敎學过程导入原题在线:如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短？知识讲解（难点突破）（一）辩析模型1、判断C点的存在性（1）学情分析:根据学生具体学情分析及这道题对学生能力的要求,找准学生思维的盲点。
学生很容易将实际问题抽象成数学问题,把河流抽象成一条直线L,而学生的思维困惑是:如何在直线L上找到这个合适的C点,使得AC+BC的值最小。
1、思考1:让学生猜想在直线l上是否存在一点C满足AC+BC的值最小呢？2、教师几何画板演示:让学生观察AC+BC的值的变化情况。
拖动C点向右移动,会发现AC+BC的值先变小再变大。
说明直线上一定存在一点C满足AC+BC的值最小。
[设计意图]:让学生先猜想是否存在一点C,然后再通过几何画板演示让学生经历数值的变化的过程,通过对数值进行对比观察,感悟满足AC+BC的值最小的点C的存在的确定性。
几何画板演示的直观性提升学生的思考问题的意识,发展初中生的直观想象这一核心素养。
学情分析:根据学生已有的知识储备,学生会依据①垂线段最短②两点之间线段最短,这两个公理来解决路径最短问题。
2、展示学生错误作图（1）出示学生依据垂线段最短所作的图即过点A作直线L的垂线段的画法。
[设计意图]:展示学生的错误思想,从学生认知冲突应运而生,以学定教。
使学生经历“如何想到这样解”的思想历程,学生的思维方式得到锻炼。
（2）根据学生错误的思维制作几何画板进行动态演示。
拖动C向右移动,AC+BC的值在变小,我们可以发现C在垂足时C1处时不能满足AC+BC 的值最小。
人教版初中数学八年级上册 13.4 课题学习 最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思
13.4.最短路径问题仙桃市第九中学王月娥一、内容和内容解析1．内容利用轴对称、平移研究某些最短路径问题2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.. 本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析1.目标：（1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，（2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想．2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，建立数学模型，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短．达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手. 对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路．教学时．教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”．. 对学生而言，造桥选址问题的难度在于河的宽度如何处理，教师可作适时的点拨，如通过平移河岸使它们重合，引导学生朝着平移A或平移B去考虑..基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题．四．教学支持条件分析根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，化静为动，充分渗透转化的数学思想，以《几何画板》为平台，借助其计算功能，对线段长度的度量，让形的问题转化为数的问题，更有助于学生的探究发现.五．教学过程设计：活动设计师生活动设计意图【情景引入】 1、抛出问题.一位将军要从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？1、 感受情景，激发学习热情.2、问题思考利用问题情景， 增强学生的探究欲望，调动学生学习热情.【共研释疑】活动一、观察思考，抽象问题提问:1.你能从这个实际问题中抽象出数学模型吗？2.请你用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题.明确：（1）将A ，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线（2）点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.师关注学生能否从实际问题中抽象出数学模型。
人教版数学八年级初二上册 最短路径问题(将军饮马为题) 名师教学教案 教学设计反思
人教版八年级上册第十三章轴对称13.4 课题学习最短路径问题敎學设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件,正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒,三角板课时共（1）课时,第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间,线段最短”“垂线段最短”的基础上,借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究,让学生经历将实际问题抽象为数学问题,再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题,作为八年级的学生,在此之前很少接触,解决这方面问题的经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的极值问题,更会感到陌生,无从下手。
教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。
3.感悟转化思想。
过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。
；2.渗透数学建模的思想。
情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学敎學重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.敎學难点路径最短的证明敎學过程设计设计意图一、以旧引新,激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题,复习“两点之间,线段最短”为了激发学生的求知欲,利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。
充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程,让学生通过观察纸盒的打开过程,寻找蚂蚁的爬行捷径。
从而引出线段公理:两点之间线段最短和垂线段的性质:垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。
以旧引新,给予学生亲切感,树立学好本节课的信心。
二、展示目标,合理定位利用思维导图,展示本节课的学习目标三、探究新知,教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦．一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天骑马从城堡出发,到军营,途中马要到小溪边饮水一次。
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要找出某条线段最短，无从下手
难点教学方法
1、通过生动的故事引入问题，吸引学生
2、由浅入深，用几何画板解决问题的难点。
教学环节
教学过程
导入
视频播放生动的故事
知识讲解
（难点突破）
牛将军每天从将军府A地出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的单位上班，应该怎样走才
能使路程最短？
利用几何画板讲解
教师姓名
毕珊、崔谈谈
单位名称
额敏县第六中学
填写时间
2020年8月1日
Hale Waihona Puke 学科数学年级/册八年级（上）
教材版本
人教版
课题名称
13.4最短路径问题
难点名称
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点分析
从知识角度分析为什么难
通过轴对称变换，将直线同侧两点中的一点映射到了另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”解决问题，轴对称变化具有一定的难度。
∵ AB′＜AC′+B′C′
∴ AC +BC＜AC′+BC′
即 AC +BC最小．
课堂练习
（难点巩固）
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
2.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
小结
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小呢？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′
∴AC +BC= AC +B′C = AB′
在△AB′C′中