群论复习资料
群论复习题
群论复习题1. 一个集合能够成群的条件是什么?2. 集合{1,-1,I,-i}对于数的乘法构成群,试做出该群的乘法表3. 证明任何一个4. 证明:群={a 3,a 6=e}G 2={a 2,a 4,a 6=e}求和的直积群12G G G =⊗5. 已3D 群的元素为3D ={}2(1)(2)(3)33222,,,,,e c c c c c 他的两个子群分别{}(1)12,H e c =,{}2233,,H e c c =,求1H 的所有左陪集,2H 的左陪集6. 找出置换群3S 的共轭元素类7. 证明n 电子体系的哈密顿量(薛定谔方程)具有进行 (,)R z α变换不变性 211(,,)2nnn ni i iiii jiijn HH x y z r r =-∇-+≡∑∑∑∑其中2222()()()ij i j i j i j r x x y y z z =-+-+- 2222i i i i r x y z =++8. 求3D 群三维表示矩阵9. 求二价循环群{}2,G a a e ==的左正则表示10. 利用特征标的正交关系,求3D 群的特征标表 11. 已知:3d D 群的特征标表如图求u E ⊗u E 的分解13,已知某群的两个表示的特征标如下证明(1) (1)X 和(2)X 对应的表示(1)A ,(2)A是不可约表示(2) (1)A ,(2)A是不等价的不可约表示14,()u D和()v D 是群G 的两个不等价不可约表示,试证明(1)其直积表示()u D ⊗()*v D不含恒等表示(2)一个不可约表示与其复共轭表示的直积中恒等表示出现切仅出现一次 15试证明直积表示的特征标等于其因子表示的特征标之乘机16已知.3v C 的特征标表如下写出投影算符1()A O ，2()A O，()E O的表达式17（a ）验证下列八个矩阵组成的集合在矩阵乘法下构成群1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，0110⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，0110-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，0110-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦（b ）写出他的乘法表（c ）写出证0101,1010⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎩⎭是不可约生成元系 （d ）找出所有的子群，其中那些是正规子群 18、已知点群3C ={}233,e C C ,求3C的商群33v C C19、若G=H ⊗K ，证明（！）商群G H与K 同构（2）G 与H 及H 同态20、找出3D 、3v C 、2d D 的正规子群 21、写出群表示矩阵元满足的正交性定理22、证明：含有n 个电子的三原子分子的hamilton 具有3h D 群元操作变换不变性 23、若G D 是群G 的一个表示，证明 （1）*G D 也是群G 的一个表示（2）若G D 是可约表示，则*G D 也是可约表示 （3）若G D 是不可约表示，则*G D 也是不可约表示 24、已知()()(){}12,....u u u nφφφ是不可约表示()uD 的基函数，()()(){}12...vu v nϕϕϕ是不可约表示()v D的基函数，求：u vD ⨯的基函数，并证明之25、写出直积表示的约化公式26、写出特征标 满足的第一第二正交性关系27. 已知：3D 和i C 的特征标表如下图，且3h D =3D ⊗i C ，试构造3h D 的特征标表28.已知绕任意轴的转动可分解为三个连续的转动u R (ϕ)=R(,,αβγ)=()Z R α()Y R β()Z R α且()z R ϑ=co s sin 0sin co s 0001θθθθ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()Y R θ=co s 0sin 010sin 0co s θθθθ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭求：1. 试写出u R (ϕ)的表示矩阵2. 求绕通过原点和（1.1.1）的直线旋转23π的表示矩阵29.构造4C 群的特征标表30.证明六阶群6G 和置换群3S 同构31.证明：任何一个n 阶有限群都与置换群n S 的一个子群同构 32.已知3D 的基函数空间为222x y xy ⎡⎤-⎣⎦，求它的空间中的二维表示33.已知{}h O O e i =⊗且有求h O 的特征标表。
群论 第1章 群论基础(1)
在不引起歧义的情况下, 我们会省略乘法符号. 群G的元素个数称为群的阶(order), 记为|G|. 根据群的元素个数, 可以将群分为有限 群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限). 在无限群中, 连续群可以用一个或多个 实参数来标记群的元素. 另一种对群的分类方式, 是按照群的乘法是否可以交换位置. 定义 2 (Abel群) G是群, 并且满足 ∀a, b ∈ G, ab = ba, 则称群G是Abel群. Abel群的乘法一般又称为加法. 例1 例2 例3 实数的集合按数值加法运算(R, +)构成Abel群. 非零实数的数值乘法(R\{0}, *)构成Abel群. n-维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel群GL(n, C). (1.1.1)
e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e f f b c a e d 表 1.4: D3 群的乘法表
∀g ∈ G, ∃n, m ∈ N, n > m, g n = g m . 记k = n − m ∈ N, 那么 g k = e, 称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶. 有限群的生成元的数目是有限的, 其中最小的数目称为有限群的秩(rank).
于是, 生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m pn , 从而|G| = 6. 群的乘法见表 1.3. p2 p2 qp2 qp2 qp q p2 p e
e
p
q
qp
e
a
b
c
d f
e e p q qp 2 2 p p p e qp q 2 2 p p e p qp qp2 q q qp qp2 e p qp qp qp2 q p2 e 2 2 qp qp q qp p p2 表 1.3: ⟨p, q ⟩群的乘法表 对有限群, 必有
群论61群论基础
3 子群 在 G4(2)中，子集：{E, A}; {E, B}; {E, C} 构成较小的群——子
群。 定理： g 阶群 G 的任意子群 H, 它的阶 h 必为 g 的除数。即， g =hn, n 为整数。 如：G6 的子群的阶是：6 和 1，2，3。 4类 若 A = X-1BX, 称 A 和 B 共轭。若 A 和 B 及 C 共轭，则 B 与 C
共轭。相互共轭的元素完整集合称为群的类。 所有类的阶必定是群阶的整数因子。
Ex 2 把 G3, G4(1), G4(2), G5 群的元素整理成类。
6.2 对称点群
1 对称元素与对称操作
C3
σv C2
σv C2
σh C2 σv
AB3
对称元素
对称操作
——————————————————————————
A2
A2 E A
— 循环群
G = { X, X2, X3, …, Xn = E}
— Abel 群 AB = BA.
四阶群 (i) 四阶循环群
X = A X2 = B X3 = C X4 = E
G4(1) E A B C E E A BC A ABCE B B CE A C C EAB
(ii)
G4(2) E A B C E E A BC A AECB B B CE A C C BAE
E AB
E
EAB
A
ABE
B
BE A
(i) 若 AA = A2 = E -> BB = B2 = E; -> AB = B -> A = E（不合理）
(ii) 若 AA = A2 = B, AB = AA2 = A3 = E; BA = E, BB = A.
群论讲课提纲
群论讲课提纲第一章 抽象群理论1.1 群的基本概念1、群的定义 实例分析； 群的定义。
2、基本概念有限群与无限群（群的阶）； 连续群与分立群； 阿贝群（交换群），例题；对称群，例题（234444{,,,,,,,}x y C E C C C m m νμνσσ=）；循环群（生成元）1.2 有限群的基本性质 1、群的乘法表（群乘表） 群乘表构造方法（SL2群，4C ν群） 群乘表的性质（重排定理及推论） 2、元素的阶 例题分析定义（元素的阶）几点结论 3、元素的共轭 定义（共轭元素）共轭的性质（自反、对称、传递） 4、共轭类等价关系与集合的划分 共轭类的定义关于类的几个结论（7条，例题）类的积（i j ijk k kC C a C =∑，例题）1.3 子群与商群1、子群的概念 定义、判别条件、平凡子群2、陪集（旁系） 定义 例题与分析 陪集的性质① 子群与它的任何一个陪集没有共同元素, 即&,X G X H XH H HX H Φ∀∈∉⋂=⋂=② 子群的任何两个左（右）陪集要么完全相同，要么完全不同。
即,:XH YH or XH YH Φ=⋂=③ 子群与它的所有相异左（右）陪集定义群的一个划分*。
推论1：群的阶与子群的阶之比为整数，即G nk Hm==；推论2：群阶与元素阶的商为整数。
3、共轭子群定理：以群G 中任何元素为过渡元素对子群1H 作共轭变换得到的集合2H 仍然是G 的子群，称为1H 的共轭子群。
例题4、正规子群（自轭子群、不变子群）例题分析正规子群的两种定义 正规子群的性质 ① 不变子群的任何两个陪集的积仍然是该子群的陪集；② 不变子群与其任何一个陪集的积等于该陪集。
5、商群例题分析定理：由正规子群及其所有相异陪集构成群称为商群。
商群的性质 ① 商群/G H 的幺元是正规子群H ；② 商群的阶数为正规子群的指数/n m ；1.4 群的同构与同态 1、 群的同构 ① 例题分析 ② 同构的定义 ③ 注意事项④ 4C 群所有子群的同构关系2、 群的同态① 例题分析 ② 同态的定义③ 注意事项3、有限群的结构① 1～6阶群的结构分析（思考题） ② 关于高阶群结构分析的注意事项 群的生成集存在性素数阶群的结构③ 生成集定理1.5 置换群① 置换群的基本概念 ② 3S 群及其乘法表 ③ n S 群的性质④ 任何有限群总同构于n S 群的一个子群。
群论复习资料
则有：（1）当M≠0时，表示A和B 必等价； （2）当表示A和B不等价时，必有M≡0。 群上函数：设有限群 G ， g G ，元素 g 的群上函数定义为： f g C （ C 复数
7
域）
右正则表示 TR (h) ： 在 L (G) { f ( g )} ，以 h G 生成 L (G) 的一个线性变换 TR (h) ： TR (h) f ( g ) f ( gh1 )
(1)ha ,h H H , 有ha h H (2) ha H H , 有ha 1 H
n阶循环群
群论基础-第1章 群的基本知识
d3 群 = Z3 群 = D3 群
]
3 群表定理（重排定理）
G ：{ E， A2， A3，A4 --------- Ah} AkG : { Ak， AkA2，AkA3，AkA4 --------- AkAk }中 或GAk : { Ak， A2AK，A3Ak，A4Ak --------- AkAk }中 每个元素必然出现并只出现一次 ( 只是重排 )，即群 G 被
∣
└3 1 2┘
3 矩阵群:
P.6
以矩阵为群元，以矩阵乘法为群乘，构成矩阵群
例 d3 群
┌100┐ e =∣010∣
└001┘
┌010┐ a =∣100∣
└001┘
┌100┐ b =∣001∣
└010┘
┌001┐ c =∣010∣
└100┘
┌001┐ d = ∣100∣
└010┘
┌010┐ f =∣001∣
''' '
NH3分子
'' C3v Ê Ĉ31 Ĉ32 σˆ v Ê Ê Ĉ31 Ĉ32 σˆ v
σˆv σˆv σˆv σˆv
Ĉ31 Ĉ31 Ĉ32 Ê σˆv σˆ v σˆv
Ĉ32 Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v
σˆ v σˆ v σˆv σˆv Ê Ĉ31 Ĉ32
σˆv σˆv σˆv σˆ v Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v σˆv Ĉ31 Ĉ32 Ê
*
2 陪集 （coset）
P.13
子群 S G， 又 X G，但 X S
则，SX 为 S 关于 X 的右陪集, XS 为 S 关于 X 的左陪集
（若 X S，则 XS = SX = S ） [ 提问: 为什么? ]
群论试题及答案
群论试题及答案# 群论试题及答案试题一：群的定义与性质问题：定义什么是群，并说明群的基本性质。
答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于G中的任意两个元素a, b，它们的运算结果a * b也在G中。
2. 结合律：对于G中的任意三个元素a, b, c，有(a * b) * c = a *(b * c)。
3. 单位元：存在一个元素e在G中，使得对于G中的任意元素a，有e * a = a * e = a。
4. 逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b在G中，使得a *b = b * a = e。
试题二：子群的概念问题：给出子群的定义，并给出一个例子。
答案：子群是群G的一个非空子集H，使得对于H中的任意两个元素a, b，它们的运算结果a * b也在H中，并且H在群运算下封闭。
例如，考虑整数集合Z和加法运算，2Z = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}是Z的一个子群。
试题三：群的同态与同构问题：解释群的同态和同构，并给出它们的区别。
答案：群的同态是一个映射φ：G → H，其中G和H是两个群，满足对于G中的任意两个元素a, b，有φ(a * b) = φ(a) * φ(b)。
同构则是同态映射的一种特殊情况，它还是一个双射（即一一对应且覆盖H的所有元素）。
区别在于同态映射可能不是双射，而同构映射要求映射是一一对应的，并且是满射。
如果存在一个群同构映射，我们说这两个群是同构的。
试题四：阿贝尔群问题：定义阿贝尔群，并给出一个例子。
答案：阿贝尔群（或交换群）是一个群G，其中群的运算满足交换律，即对于G中的任意两个元素a, b，有a * b = b * a。
例如，整数集合Z在加法运算下构成一个阿贝尔群。
试题五：群的阶问题：解释群的阶，并给出一个例子。
答案：群的阶是群中元素的数量。
例如，集合{1, -1}在乘法运算下构成的群的阶是2，因为只有两个元素。
试题六：群的生成元问题：解释群的生成元，并给出一个例子。
群论第二章考前复习总结
群论第⼆章考前复习总结第⼆章考前复习总结1.1节群1.对称变换：保持系统不变的变换。
（背）群，，所有对称变换只有6个：2. 群是⼀个集合，其中定义了元素的“乘积”法则，这个集合G满⾜4个条件：封闭性、结合律、存在恒元、逆元，这个集合就称为群。
（背）任何两个元素相乘还在这个集合中（背）任意元素乘恒元等于这个元素（背）元素乘逆元等于恒元。
（背）U(n)群：全体n维⼳正矩阵的集合。
⼳正：O(n)群：全体n维实正交矩阵的集合。
正交：，实正交：矩阵元是实数6)乘积的逆：9)有限群的阶：有限群中的元素数⽬4.循环群及其⽣成元1）循环群：由⼀个元素 Rn：循环群的阶，即有限群的元素个数。
R：循环群的⽣成元循环群的阶和其⽣成元的阶相等。
⽣成元的阶是满⾜的最⼩正整数n。
循环群都是阿贝尔群（阿贝尔群不⼀定是循环群）。
R⽣成的群是⼀个nn R是系统的对称变换，则轴称为n次固有转动轴（n次轴），此时转动R称为n次转动轴的⽅向：转动R由右⼿螺旋法则得到，⼤拇指指向轴的正⽅向。
1）元素R 的周期：由有限群的任⼀元素 R 及其幂次⽣成的集合。
2）有限群的⽣成元：有限群的群元素可以由最⼩数⽬个群元素的乘积⽣成3）有限群的秩：⽣成元的个数4）有限群⽣成元的选择并不唯⼀，但秩不变。
在验证B=DA 这种关系时，正三⾓形的三个字母必须画成：这种情况。
6.有限群的重排定理1）复元素：把有限群部分元素的集合2）群的重排定理（考试简答题）设T 是群G = {E, R, S, …}中任⼀确定元素，则下⾯三个集合与原群G 相同 （背）复元素的逆是每个元素取逆7.同构元素是对应的，在这种对应规则下，元素的乘积也是对应的。
群G3）循环群的乘法表4）四阶群（即有4群群：⼀个恒元加3个2阶元素。
其为：5a.含零个三阶元素，即群只含⼀个恒元加5个⼆阶元素。
这种情况不成⽴。
称），⼆阶、三阶、四阶、五阶的群都是阿贝尔群。
6）正N 边形对称变换群1个N 次轴，N 个⼆次轴。
群论 第一章
第一章第一章 抽象群概论§1 什么是群什么是群？？群公理不同元素的集合不同元素的集合，，赋予一定的合成规则赋予一定的合成规则（（称为群称为群““乘法乘法””—— 加、乘、对易子等对易子等）。
）。
满足下列满足下列条件条件（（群公理群公理））： （1）封闭性 i g 和G g j ∈，则G g g g k j i ∈=⋅； （2）结合律 )()(k j i k j i g g g g g g ⋅⋅=⋅⋅；（3）存在唯一的单位元素e （或E ）G ∈ ，对任一元素j g 有j j j e g g e g ⋅=⋅=； （4）对每一元素有逆元对每一元素有逆元，，对i g 有 1−i g ，使e g g ii =⋅−1。
阶 —— 群元的个数群元的个数：：阶有限为有限群阶有限为有限群；；阶无穷为无限群阶无穷为无限群。
无限群又分无限离散和无限连续无限群又分无限离散和无限连续。
注：1. 乘法不可对易乘法不可对易，，即i j j i g g g g ⋅≠⋅。
若可对易若可对易，，则称为阿贝尔称为阿贝尔（（Abel ）群。
2. 若G c b a ∈,,，则G 中包含p l k c b a ,,（其中p l k ,,为整数为整数））。
例1．复数1，i ，-1，-i 组成四阶群组成四阶群。
四阶循环群 —— 由一个元素由一个元素，，i （或-i ）出发出发，，由它及其幂由它及其幂次次生成整个群G ，称为循环群称为循环群。
循环群必是阿贝尔群环群必是阿贝尔群。
n 阶循环群可表为{23,,...n a a a a e =}。
例2．所有实数组合所有实数组合，，加法运算下成群加法运算下成群。
全体正实数在乘法运算下成连续群全体正实数在乘法运算下成连续群。
例3．定轴转动定轴转动：：Π<Θ≤20，)2(SO 无限连续群无限连续群。
特例 —— 转角为m 倍nπϑ2=构成n 阶群n C ；定点转动定点转动（（三维空间转动三维空间转动））：),,(γβαR ，)3(SO 群。
群论 知识点
群论：知识点写一篇文章（step by step thinking）一、引言群论（Group theory）是数学中的一个重要分支领域，研究的是集合上的一种代数结构，即群。
群论是现代数学的基础之一，也是其他学科中的重要工具和方法。
本文将从基本概念、性质和应用三个方面来介绍群论的知识点。
二、基本概念1.群的定义：群是一个集合，其中包含一个二元运算（通常表示为乘法或加法），满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
2.子群：如果一个群的子集在相同的运算下也构成一个群，则该子集称为原群的子群。
3.同态：如果两个群之间存在一个保持运算的映射，则称这个映射为同态。
4.环和域：环是一个满足加法和乘法条件的集合，域是一个满足加法、乘法和逆元条件的集合。
三、性质1.单位元唯一性：每个群都有一个唯一的单位元，它与群中的任何元素相乘（或相加）都不改变该元素的值。
2.逆元唯一性：每个群中的元素都有一个唯一的逆元，它与该元素相乘（或相加）得到单位元。
3.结合律：群中的运算满足结合律，即无论元素的顺序如何，结果都是相同的。
四、应用1.几何学：群论在几何学中有广泛的应用，特别是对称性和对称群的研究。
通过对称性的分析，可以研究物体的旋转、平移和镜像等性质。
2.密码学：群论在密码学中有重要的应用，特别是在公钥密码系统中。
公钥密码系统利用群论中的离散对数问题来实现安全的加密和解密过程。
3.物理学：群论在物理学中有广泛的应用，特别是在量子力学和场论中。
通过对称群的研究，可以得到物理系统的对称性和守恒量。
五、总结群论作为数学的一个重要分支，不仅有着深厚的理论基础，还具有广泛的应用领域。
本文从基本概念、性质和应用三个方面对群论进行了简要介绍。
通过了解群论的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用群论在各个学科中的重要性。
同时，群论的应用也为我们提供了解决实际问题的工具和方法。
希望本文能够对读者对群论有一个初步的了解，并激发对数学的兴趣和探索欲望。
群论知识点总结
群论知识点总结群论是数学中的一个重要分支，研究群这种抽象代数结构以及它们之间的联系和性质。
群论的发展历程可以追溯到19世纪初，而在20世纪上半叶，群论得到了长足的发展，并且在现代物理学、密码学、计算机科学等领域中得到广泛的应用。
本文将介绍群论的基本概念、重要性质以及一些典型的应用。
一、基本概念1. 群的定义群G是一个非空集合，配合一个二元运算$\star$（称为群运算），满足以下条件：（1）封闭性：对于任意的$a,b\in G$，$a\star b$仍然是G的元素。
（2）结合律：对于任意的$a,b,c\in G$，有$a\star (b\star c)= (a\star b)\star c$。
（3）单位元：存在一个元素$e\in G$，使得对于任意的$a\in G$，都有$a\star e = e\star a = a$。
（4）逆元：对于任意的$a\in G$，都存在一个元素$a^{-1}\in G$，使得$a\star a^{-1} = a^{-1}\star a = e$。
如果群的群运算满足交换律，则称该群为交换群或阿贝尔群。
2. 子群的定义如果群G的一个非空子集H也是一个群，并且在G中的群运算下封闭，则称H为G的子群。
3. 同态的定义设有两个群$G_1$和$G_2$，它们之间的一个映射$\varphi:G_1\rightarrow G_2$，若满足：（1）$\varphi(e_{G_1})=e_{G_2}$。
（2）$\varphi(a\star_{G_1} b)=\varphi(a)\star_{G_2}\varphi(b)$，对于任意的$a,b\in G_1$。
则称$\varphi$为一个同态映射。
若$\varphi$是双射，那么称$\varphi$为同构映射。
同构的两个群在结构上完全相同，只是元素的名称不同。
4. 循环群的定义如果群G中某个元素a的所有幂次构成的集合$<a>$在群G中稠密排列，那么称G为循环群，a为循环群的生成元。
三 群论基本知识
C2v群特征表表：
C2v
E C2
A1
11
A2
11
B1
1 -1
B2
Г2φ
1 -1 20
(xz) (yz ) 基
11
z
x2, y2, z2
-1 -1 1 -1 -1 1
Rz xy x, Ry xz y, Rx yz
02
C3v群特征表表：
C2v
E
2C3
A1
1
1
A2
1
1
E
2
-1
3v 1 -1 0
基
z
x2 + y2, z2
x、y、z
分别代表原子的三个坐标以及在轴上的平移运动，由 于px、py、pz轨道的变换性质和偶极矩向量的变换性
质相似，故也可用x、y、z表示
Rq
代表绕q轴进行旋转的转动向量
xy，xz，yz，x2- y2 ，z2
分别代表各个d轨道和判断拉曼光谱活性的极化率的不 可约表示
将原子轨道作为表示的基,并与C2v群的特征标表相对照，可看出Pz轨道在C2v群中按A1 变换，px轨道按B1变换，Py轨道按B2变换，但以点（x、y、z）为基的Г1(xyz)表示在C2v 群的特征标表中并没有出现，说明它是个可约表示。将它转化为不可约表示，需借助约化 公式，即确定第i个不可约表示在可约表示中出现的次数ai的公式
A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC
几种矩阵：
a1
a2
列矢量 {A}= a3
在n维空间中，一个矢量可由一个n×1阶的列矢量所决定。这 个矢量矩阵元素的几何意义和实际空间中的相同，也就是假定 它的一端位于坐标原点，则另一端就给出了矢量的正交坐标（ 例如直角坐标系）。
第七章 群论基础_12163
则生成元集{ f, f0 }, { f, f1}, e为单位元， < e > ={ e }, < f > ={ e, f }, < f0 > ={ f0}, < f1 > ={ f1}, < e, f > ={ e, f }, < e, f0 > ={ e, f0}, < e, f1 > ={ e, f1}, < f, f0 > ={ e, f, f0, f1}, < f, f1 > ={ e, f, f0, f1}, < f0, f1 > ={ f0, f1}
例7.1.2 设( S,◦)为半群，其中S ={a, b, c, d}，二元 运算◦由下面的运算表给出：试求该半群的生成 元集。
单位元是d, < a >={a, d}, < b >={ b }, < c >={ c }, < d >={ d }； <a, b>={a, b, c, d}, <a, c>={a, b, c, d}, <a, d>={a, d}, <b, c>={b, c},<c, d>={c, d} 故{a, b}, {a, c}都是S的生成元集。
• T 能构成含幺半群( S,◦,e )的含幺子半群的充分必 要条件是T 对于二元运算是封闭的，且 e ∊T 。 例. 设S ={a, b}，二元运算◦由运算表给 出，则( S,◦, a )是含幺半群，并且有 含幺半群( {a},◦, a )是 S 的含幺子半群, 含幺半群( {b},◦, b )是 S 的子半群，但 不是 S 的含幺子半群。
设 | S | n, 取 x S , 则 x i S , i 1, 2, 3, m l 于是有x x , 1 m l n 1。 记 p l m 1, 则必有kp m , 且 x m x p m x p x m ,故 kp kp m m kp m p m ( k 1) p m m x x x x (x x ) x x ( k 1) p m p m ( k 2) p m m x (x x ) x x x ( k k ) p m x m x ( k k ) p x kp x kp， x kp是幂等元。 即
群论讲义
D3 群的循环子群: D3=｛e, d, f, a, b, c｝ 2 阶循环子群：｛a, a2=e｝,｛b, b2 =e｝,｛c, c2=e｝ 3 阶循环子群：｛d, d2(＝f), d3=e｝,｛f, f2(=d), f3=e｝
【定义 1.4】 (左陪集和右陪集)
n 为循环群的阶，循环群是阿贝尔群。
an = e}
例 1.10 从 n 阶有限群 G 的任一元素出发，总可以生成一个 G 的循环子群。
G = {e, , gα , }， ∀gα ∈G
3
作 gα , gα 2 , gα 3 ,…, 存在 k ≤ n, gα k = e ，
则{gα1, gα 2 , ..., gα k = e} 构成循环群 Zk ,且 Zk < G 。
在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次。
§1.2 子群和陪集
【定义 1.2】 设 H 是群 G 的一个子集，若对于与群 G 同样的乘法运算，H 也构成一个群，
则称 H 为 G 的子群，记为 H < G 。 ·系 1. H < G 的充要条件为: （1） ∀hα , hβ ∈H,有 h α hβ ∈H
证：f1 ～ h, 故 ∃ g1, 使 f1 = g1hg1-1 ，故有 h=g1-1f1g1 f2 ～ h, 故 ∃ g2, 使 f2 = g2hg2-1 = g2g1-1f1g1g2-1 = (g2g1-1)f1(g2g1-1) -1 故 f1 ～ f2
【定义 1.6】 群 G 的所有相互共轭的元素集合，称为群 G 的一个类。 ·系 1 一个类被类中任意一个元素所决定，知道了类中某一个元素 f，则 f 所属类的所有
第七章群论
§1群的基本概念和一般理论
一、群的定义和例子
群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：
1.封闭性
G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中元素。
单位元素是E。
上面讨论的五个粒子，对群元素的乘法而言是对易的，即AB=BA。例(1)(2)(3)很显然，例(4)(5)也可以从乘积表中看出。但是从群的定义，我们知道对易性不是群的必要条件，即不是所有的群都具有对易性的，我们称这些具有对易性的群为对易群(Abel群)。注
下面举一个非对易群的粒子。
(5) NH3分子(C3v)
由N原子，向三角形作垂直线，是一个三重轴，用C3表示，存在转 = 120º这样一个对称操作；另外，转240º=120º× 2也能使图形复原，故还有对称操作 ，加上不懂；E，一共6个对称操作：E，C3 ， ，
注：Abel(1801—1829)：奠定群论数学基础的年轻数学家之一。217
G={E, , , , , }是一个点群，称为 ，其乘积表如下：
称 为 的逆元素。逆元素可以是该元素本身。
下面我们举几个群的例子
（2）G={所有大于0的实数}
集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。
满足封闭性和缔合性是显然的。1是单位元素，任一实数m的逆元素为 。
(3) G={0,±1, ±2, ±3……±n…}
集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。此例中“乘”的意思是加。
（3）两个镜像反映相乘，结果是旋转。如
（4）一个镜像反映和一个旋转相乘，结果是镜像反映。如 =
群论基本知识及一些重要定理
群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。
群论部分
二、子群、陪集、不变子群
群元素的个数称为群的阶。 如果群H的所有元素包含在一个较大的群G中，则称H是G的 子群。 显然，单位元I必定构成G的子群，而且群G的任何子群也 必定把单位元包括在内（子群必须有单位元，而单位元只有 一个）。可以证明： 若G的阶是g，子群H的阶是h，则g/h一定是整数。 例1 实数乘法群 正实数的集合构成它的子群，但负实数则不是。 例2 C2n{I,C2,i, σn} 它含有下列子群：C2{I,C2},Ci{I,i(中心反演或中心反伸)}， Cs{I，σn（水平面反映）}。 一些元素的总体构成一个集合。集合A表示为{a1,a2,….an}， a1,a2等是A的元素。
集合中各元素都不相同，或者说，相同的元素只取其中之 一。要记住，集合是指一些元素的总体，某一元素x与集合 A的乘积x· A或A· x仍然是一个集合。集合A与集合B的乘积 A· B或B· A是A的所以元素与B的每一个元素乘积的集合，所 以，也是一个集合。群是满足一定条件的集合，而集合并不 一定是群。两个集合中的元素一一相等，则称此两集合相 等。 根据上面所说，显然有：群G与自身的乘积就等于它自己， 即G· G=G。 子群的陪集—设子群H∈G，对于任意属于G但不属于H的元 素x,对应的集合 xH={xh1,xh2,…,xhn} 称为H关于x的左陪集，其中h1,h2…等皆H的元素。Hx是 右陪集。
C2
Q
C2 Q
C2 Q
Q C2
比如，Q·Q={{σxz,σyz}·{σxz,σyz}={I,c2}=C2。 因而{C2，Q}构成C2v的因子群，它与σs{I, σ}有相同乘法 表，是同构的。 例2 C4v{I,c2,2c4,2σv,2σa}对于其不变子群C2{I，c2}的因 子群有4个元素：{C2，c4· 2, σv· 2, σa· 2},它与C2v{I,c2, C C C σxz, σyz}同构。
第二章群论复习题
第二章群论复习题群论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合上的代数结构，特别是满足特定条件的集合和其上的运算。
以下是对群论的一些基本复习题，以帮助学生巩固和复习相关知识。
1. 群的定义：给出群的四个基本条件，并举例说明哪些集合和运算可以构成群。
2. 子群：解释什么是子群，并给出一个群的子群的例子。
3. 群的运算：说明群的运算必须满足封闭性、结合律、单位元存在以及每个元素都有逆元。
4. 群的同态和同构：定义群的同态和同构，并给出一个群同态的例子。
5. 循环群：解释什么是循环群，并给出一个循环群的例子。
6. 阿贝尔群：定义阿贝尔群，并说明所有循环群都是阿贝尔群。
7. 群的阶：解释群的阶是什么，并给出如何计算一个群的阶。
8. 拉格朗日定理：陈述拉格朗日定理，并解释它在群论中的重要性。
9. 正规子群和商群：定义正规子群和商群，并给出一个例子说明如何构造一个群的商群。
10. 群的表示：简要介绍群的表示是什么，以及它在数学和物理学中的应用。
11. 群的直积和自由群：解释群的直积和自由群的概念，并给出一个群的直积的例子。
12. 群的简单性：定义什么是群的简单性，并给出一个简单群的例子。
13. 群的分类问题：简要介绍有限群的分类问题，并说明为什么这是一个重要的数学问题。
14. 置换群：解释置换群的概念，并说明它在群论中的作用。
15. 群的生成集：定义群的生成集，并给出一个群的生成集的例子。
这些问题覆盖了群论的基本概念和理论，通过解答这些问题，学生可以加深对群论的理解，并为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
希望这些复习题能够帮助学生更好地掌握群论的知识。
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则 TR (h) 叫G的右正则表示 第三章 点群：所有保持至少空间一点不变的等距操作构成的群。都是 O(3) 的子群 点操作：使空间至少一点不变的操作 第一类点群：只含转动元素的点群。第一类点群是SO(3)群的子群。 第二类点群：含转动且含转动反演的点群。 晶体点群：将晶格映为自身的点群，即保持原点不动的有限实正交群 晶体制约定理 设G是晶体点群， 则G中转动元素只可能由 e, C2 , C3 , C4 , C6 转动轴生成， G中转动反演元素只 能由 I , IC2 , IC3 , IC4 , IC6 生成。 空间群：理想晶体存在空间平移不变性，考虑了平移不变性的晶体对称群称为晶体空间群， 简称空间群。空间群共有230 个。 定义空间群：晶体对称变换的集合构成空间群Ｓ 第四章 定义：集合的紧致性 设 A x 子集合。 E 是 x 的一组开集。若 A E ， E 叫Ａ的一个开复盖。若 A 的任一一个开复盖存在有限的子复盖。则 A 叫 x 中的一个紧致集合。 定义：流形 流形是一种特殊的拓扑空间，每个局部和欧式空间拓扑等价 定义：连续群 若 G 的元素 g 可以由 n 个独立的连续实参数唯一确定， g ( x) g ( x1....xn ) ，而且 g ( x) 是参 数的单值连续函数，则 G 叫 n 个参数的连续群 定义：拓扑群 集合 G 叫拓扑群，如果 (a) G 是一个群 (b) G 是一个拓扑空间
例二： C2 {e, a} 很明显，它有两个一维表示，一维恒等表示和非恒等表示 由这两个一维表示可以构造一个二维表示，即 A(3)
1 0 1 0 , A(a) 0 1 0 1
3
1．群的定义 设G = {… g,…}，在G中定义乘法运算，如果G的元素满足以下4 个： （1）封闭性：f , g G, 若fg h, 必有h G（2）结合律：f , g , h G, ， 有f (gh) = ( fg )h （3）有唯一逆元素。 f G, 有唯一 f 1 ∈G，使 f 1 f ff 1 e （4） 有唯一单位元e。 f G, ，有ef = fe =f 就称G 构成一个群 Abel群：对任意g, h∈G，都有gh = hg，则称该群是Abel群。 子群 设H 是群G的一个子集，若对于与群G 同样的乘法运算，H 也构成一个群，则H 为G 的子群 G的非空子集成为群的充要条件为:
G F ，φ称为G 到F 上的同态映射。
同态核 设群G 与F 同态， G 中与F 的单位元对应的元素集合，称为G 的同态核。 同态核定理 设 G F ，则有 （1）G的同态核H 是G 的不变子群。 （2）商群G/H 与F 同构。 自同构映射
: G G , ( ga ) G ,保持乘法规则不变， ( ga g ) ( ga ) ( g )
a4 1 1
2 3
a5 1 －１
3
e
D 1
i
e
i
e
1
i
e e
i
i
e
E 1
i
2 3
e
i
2 3
e
1
i
2 3
2 3
e
F 1
i
2 3
e
i
2 3
e
－１
i
2 3
e
i
2 3
e
i
3
e
i
2 3
e
i
2 3
e
i
3
C7 群(特征标表)
C8 群(特征标表)
2
例一： C3 {e, a, a 2 } 存在一个非平庸的自同构
j kl
l l j l Cim Cilj Cmk Cml Cki ˆ ,x ˆ 0 x
j
k
l ˆl ---李群三定理之三 iC jk x
d d f e b c a
f f e d c a b
a a c b e f d
b b a c d e f
c c b a f d e
A(b) 1 2 3 2 3 2 1 2
3 2 1 2
1 2 A(c) 3 2
D3生成元 (1)a，b e=a2=b2=(ab)3=(ba)3 d=ab
则有：（1）当M≠0时，表示A和B 必等价； （2）当表示A和B不等价时，必有M≡0。 群上函数：设有限群 G ， g G ，元素 g 的群上函数定义为： f g C （ C 复数
7
域）
右正则表示 TR (h) ： 在 L (G) { f ( g )} ，以 h G 生成 L (G) 的一个线性变换 TR (h) ： TR (h) f ( g ) f ( gh1 )
g1H
g 2 H 空集
或g1H g 2 H
拉格朗日定理 有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。 元素共轭 共轭元素设f, h 是群G 的两个元素，若有元素 g G ,使 fgf
1
h ，则h 与f 共轭。
共轭类 G 的所有相互共轭的元素集合，叫群G的共轭类。
4
共轭子群 设H 和K 是G 的两个子群，若有 g G ，使
等价表示 设G 在表示线性空间V和L上分别有A和B表示，若存在 V L 的非奇异线性变换S，使得
A( g ) S 1B( g )S ，则A和B是等价表示。
6
不变子空间 设A是G在V中的一个线性表示，M是V的一个线性子空间，若对 x M , g G ，有
A( g ) x M ，则M叫A在G中的不变子空间
D3群的二维表示
1 0 A(e) 0 1
1 2 A(d ) 3 2
3 1 3 2 2 2 A( f ) 1 3 1 2 2 2
1 0 A(a) 0 1
e
1
e
e5 e
e5 e5 e e
e
1 1
e5 e
2 i 5 2 i
4 i
e5 e5
2 i 5 4 i
e5 e
4 i 5 2 i 5
2 i
e5
4 i 5
C6 群(特征标表)
1
e A B C 11 1
2 3
a3 1 －１ －１
K gHg 1 {ghg 1 h G}
则称H 是K 的共轭子群。 不变子群 设H 是群G 的一个子群。对ha ∈H，任意u∈G，有uhau−1∈H，则称H是G的不变子群 商群 以不变子群H的陪集串为元素，做成一个新的集合｛H,g1H, g2H，…，giH｝并定义集合中元 素的乘法规则： giHgjH =（gigj）H，如果把H的一个陪集看作是一个元素，那么H 的陪集串在陪集乘法下也 构成一个群，称为不变子群H 的商群，记为G/H。 同构 若存在一个 G F 的一一对应的满射φ，满足乘法规则不变， ( g1 g2 ) ( g1 ) ( g2 ) 即乘 积的映射等于映射的乘积，则G和F同构，记为 G F ，φ称为同构映射。 同态 设存在一个 G F 的满射φ， 满足乘法规则不变， ( g1 g2 ) ( g1 ) ( g2 ) ,则群G 与F 同态，
1
称 为内身自同构映射。 同样定义乘法后，所有的内身自同构映射构成内身自同构群，记为I(G)。 第二章： 线性空间 数域K上的向量集合V=｛x, y, z，z…｝；定义了加法和数乘两种运算，对x, y, z∈V，a,b∈K, 满足封闭性，且具有 1．加法运算 （1） x + y = y +； （2） x + ( y + z) = (x + y) + z （3）有唯一0元素， x +0 = x； （4）对任意x有-x存在，x +（-x） = 0 2．数乘运算 （1）1x=x (2) (α+b)x =a x +bx (3) a (bx) = (ab )x (4)a(x+y)=ax+ay 则 V 叫线性空间 内积空间 定义了内积运算的线性空间为内积空间。 几个重要的内积空间： 欧式空间：有限维实内积空间 酉空间：有限维复内积空间 希尔伯特空间：无限维复内积空间 N维复的一般线性群GL 设V是n维复向量空间，定义乘法为连续两次操作，则V上的全部非奇异线性变换构成维复一 般线性群GL(V , C)，是无限群。其子群L(V, C)称为V上的线性变换群。 线性表示：群G 到线性空间V 上的线性变换群L的同态映射A，叫G 的一个线性表示 忠实表示 如果 A : G L(V , C ) 的映射A 为同构映射，叫忠实表示。
N 阶循环群 Z n (Cn ) 是 Abel 群 第 k 个表示
T k (a) ei 2 k N
C2 群(特征标表)
e A B 1 1 a 1 －1
0 k N 1
C3 群(特征标表)
e A B E 1 1 a 1 a2 1
e
1
2 i 3 2 i 3
e3 e
2 i
e
2 i 3
C4 群(特征标表)
e A B E E’ 1 1 1 1 a 1 －１ －i i a2 1 1 －1 －i a3 1 －１ i －i
C5 群(特征标表)
e A B C D E 1 1 a 1
2 i 5 4 i 5 4 i
a2 1
4 i 5 2 i
a3 1
4 i
a4 1
2 i
不可约表示 若A除了｛0｝以及V以外没有其它不变子空间M时，A叫G的不可约表示，否则是可约表示 可约表示 A存在不变子空间M时，为可约表示 完全可约表示 设群G的表示空间V可以分解为 V W W ' ，且 W 和W ' 都是A(G)不变的(即A(G)是W和 W 和W ' 上的变换群)，