群论复习资料

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l l j l Cim Cilj Cmk Cml Cki ˆ ,x ˆ 0 x

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k
l ˆl ---李群三定理之三 iC jk x
d d f e b c a
f f e d c a b
a a c b e f d
b b a c d e f
c c b a f d e
K gHg 1 {ghg 1 h G}
则称H 是K 的共轭子群。 不变子群 设H 是群G 的一个子群。对ha ∈H，任意u∈G，有uhau−1∈H，则称H是G的不变子群 商群 以不变子群H的陪集串为元素，做成一个新的集合｛H,g1H, g2H，…，giH｝并定义集合中元 素的乘法规则： giHgjH =（gigj）H，如果把H的一个陪集看作是一个元素，那么H 的陪集串在陪集乘法下也 构成一个群，称为不变子群H 的商群，记为G/H。 同构 若存在一个 G F 的一一对应的满射φ，满足乘法规则不变， ( g1 g2 ) ( g1 ) ( g2 ) 即乘 积的映射等于映射的乘积，则G和F同构，记为 G F ，φ称为同构映射。 同态 设存在一个 G F 的满射φ， 满足乘法规则不变， ( g1 g2 ) ( g1 ) ( g2 ) ,则群G 与F 同态，
2 2
则 TR (h) 叫G的右正则表示 第三章 点群：所有保持至少空间一点不变的等距操作构成的群。都是 O(3) 的子群 点操作：使空间至少一点不变的操作 第一类点群：只含转动元素的点群。第一类点群是SO(3)群的子群。 第二类点群：含转动且含转动反演的点群。 晶体点群：将晶格映为自身的点群，即保持原点不动的有限实正交群 晶体制约定理 设G是晶体点群， 则G中转动元素只可能由 e, C2 , C3 , C4 , C6 转动轴生成， G中转动反演元素只 能由 I , IC2 , IC3 , IC4 , IC6 生成。 空间群：理想晶体存在空间平移不变性，考虑了平移不变性的晶体对称群称为晶体空间群， 简称空间群。空间群共有230 个。 定义空间群：晶体对称变换的集合构成空间群Ｓ 第四章 定义：集合的紧致性 设 A x 子集合。 E 是 x 的一组开集。若 A E ， E 叫Ａ的一个开复盖。若 A 的任一一个开复盖存在有限的子复盖。则 A 叫 x 中的一个紧致集合。 定义：流形 流形是一种特殊的拓扑空间，每个局部和欧式空间拓扑等价 定义：连续群 若 G 的元素 g 可以由 n 个独立的连续实参数唯一确定， g ( x) g ( x1....xn ) ，而且 g ( x) 是参 数的单值连续函数，则 G 叫 n 个参数的连续群 定义：拓扑群 集合 G 叫拓扑群，如果 (a) G 是一个群 (b) G 是一个拓扑空间
e
1
e
e5 e
e5 e5 e e
e
1 1
e5 e
2 i 5 2 i
4 i
Baidu Nhomakorabea
e5 e5
2 i 5 4 i
e5 e
4 i 5 2 i 5
2 i
e5
4 i 5
C6 群(特征标表)
1
e A B C 1 1 1
a 1 －１

3
a2 1 1
2 3
a3 1 －１ －１
G F ，φ称为G 到F 上的同态映射。
同态核 设群G 与F 同态， G 中与F 的单位元对应的元素集合，称为G 的同态核。 同态核定理 设 G F ，则有 （1）G的同态核H 是G 的不变子群。 （2）商群G/H 与F 同构。 自同构映射
: G G , ( ga ) G ,保持乘法规则不变， ( ga g ) ( ga ) ( g )
等价表示 设G 在表示线性空间V和L上分别有A和B表示，若存在 V L 的非奇异线性变换S，使得
A( g ) S 1B( g )S ，则A和B是等价表示。
6
不变子空间 设A是G在V中的一个线性表示，M是V的一个线性子空间，若对 x M , g G ，有
A( g ) x M ，则M叫A在G中的不变子空间
叫自同构映射
自同构群 定义两个自同构映射 1 和 2 的乘积 1 2 为先实行映射 2 再实行 1 ， 同等变换定义为单位元 素和 1 存在，则G 的所有自同构映射构自同构群，记为A(G)。
5
内自同构映射和内自同构群 如果群G的自同构映射 ， G 引起，即对任意 g a G ，可以生成 ga ga ，
g1H
g 2 H 空集
或g1H g 2 H
拉格朗日定理 有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。 元素共轭 共轭元素设f, h 是群G 的两个元素，若有元素 g G ,使 fgf
1
h ，则h 与f 共轭。
共轭类 G 的所有相互共轭的元素集合，叫群G的共轭类。
4
共轭子群 设H 和K 是G 的两个子群，若有 g G ，使
N 阶循环群 Z n (Cn ) 是 Abel 群 第 k 个表示
T k (a) ei 2 k N
C2 群(特征标表)
e A B 1 1 a 1 －1
0 k N 1
C3 群(特征标表)
e A B E 1 1 a 1 a2 1
e
1
2 i 3 2 i 3
e3 e
2 i
e
2 i 3
不可约表示 若A除了｛0｝以及V以外没有其它不变子空间M时，A叫G的不可约表示，否则是可约表示 可约表示 A存在不变子空间M时，为可约表示 完全可约表示 设群G的表示空间V可以分解为 V W W ' ，且 W 和W ' 都是A(G)不变的(即A(G)是W和 W 和W ' 上的变换群)，
y W , z W ', 有 A( g ) y W , A( g ) z W ' ，
A(b) 1 2 3 2 3 2 1 2
3 2 1 2
1 2 A(c) 3 2
D3生成元 (1)a，b e=a2=b2=(ab)3=(ba)3 d=ab
即 A( g ),M =0
g G, A( g )M MA( g )，
则有： M I
C ，即M是个常数矩阵
舒尔引理2 设G在有限维向量空间VA和VB 上有不可约表示A 和B，M 为将VA 映入VB的线性变换，
g G 满足： B( g )M MA( g )
(1)ha ,h H H , 有ha h H (2) ha H H , 有ha 1 H
n阶循环群
Z n {a, a 2 ,, a n1 , a n e, }
n 为循环群的阶 陪集 设H是群G的一个子群，固定u ∈G ，u H ，可以生成 左陪集： uH {u h h H } 右陪集： Hu {h u h H } 陪集定理 设群H 为群G 的子群，则H 的两个左（右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公 共元素,即： g1 , g2 G 则
例二： C2 {e, a} 很明显，它有两个一维表示，一维恒等表示和非恒等表示 由这两个一维表示可以构造一个二维表示，即 A(3)
1 0 1 0 , A(a) 0 1 0 1
3
1．群的定义 设G = {… g,…}，在G中定义乘法运算，如果G的元素满足以下4 个： （1）封闭性：f , g G, 若fg h, 必有h G（2）结合律：f , g , h G, ， 有f (gh) = ( fg )h （3）有唯一逆元素。 f G, 有唯一 f 1 ∈G，使 f 1 f ff 1 e （4） 有唯一单位元e。 f G, ，有ef = fe =f 就称G 构成一个群 Abel群：对任意g, h∈G，都有gh = hg，则称该群是Abel群。 子群 设H 是群G的一个子集，若对于与群G 同样的乘法运算，H 也构成一个群，则H 为G 的子群 G的非空子集成为群的充要条件为:
1
称 为内身自同构映射。 同样定义乘法后，所有的内身自同构映射构成内身自同构群，记为I(G)。 第二章： 线性空间 数域K上的向量集合V=｛x, y, z，z…｝；定义了加法和数乘两种运算，对x, y, z∈V，a,b∈K, 满足封闭性，且具有 1．加法运算 （1） x + y = y +； （2） x + ( y + z) = (x + y) + z （3）有唯一0元素， x +0 = x； （4）对任意x有-x存在，x +（-x） = 0 2．数乘运算 （1）1x=x (2) (α+b)x =a x +bx (3) a (bx) = (ab )x (4)a(x+y)=ax+ay 则 V 叫线性空间 内积空间 定义了内积运算的线性空间为内积空间。 几个重要的内积空间： 欧式空间：有限维实内积空间 酉空间：有限维复内积空间 希尔伯特空间：无限维复内积空间 N维复的一般线性群GL 设V是n维复向量空间，定义乘法为连续两次操作，则V上的全部非奇异线性变换构成维复一 般线性群GL(V , C)，是无限群。其子群L(V, C)称为V上的线性变换群。 线性表示：群G 到线性空间V 上的线性变换群L的同态映射A，叫G 的一个线性表示 忠实表示 如果 A : G L(V , C ) 的映射A 为同构映射，叫忠实表示。
D3群的二维表示
1 0 A(e) 0 1
1 2 A(d ) 3 2

3 1 3 2 2 2 A( f ) 1 3 1 2 2 2
1 0 A(a) 0 1
则称A叫完全可约表示。 共轭变换 A的共轭变换A+定义： (Ax |y)=(x | A+ y),则A+叫A的共轭变换 幺正变换 设U是内积空间V上的线性变换，若对任意 x, y V , 如果U保持x和y的内积不变， 即 (Ux |Uy)=(x | y)，则U为V上的幺正变换。 酉表示 设A是内积空间V上G的表示，A是内积空间的幺正变换，A叫G的酉表示。 舒尔引理1：(只适用于复表示) 设A是G在n限维复表示空间V 的不可约表示，若V上的线性变换M 满足：
8
(c) G 上的群的运算是连续的 定义：李群 集合 G 叫李群，如果 (a) G 是一个群 (b) G 是一个解析流形 (c) 映射 h, g hg 是 G G G 的解析映射
ˆ j 是线性无关的----李群三定理之一 x
李群三定理之二
C
e e d f a b c e d f a b c
则有：（1）当M≠0时，表示A和B 必等价； （2）当表示A和B不等价时，必有M≡0。 群上函数：设有限群 G ， g G ，元素 g 的群上函数定义为： f g C （ C 复数
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域）
右正则表示 TR (h) ： 在 L (G) { f ( g )} ，以 h G 生成 L (G) 的一个线性变换 TR (h) ： TR (h) f ( g ) f ( gh1 )
a4 1 1
2 3
a5 1 －１

3
e
D 1
i
e
i
e
1
i
e e
i
i
e
E 1
i
2 3
e
i
2 3
e
1
i
2 3
2 3
e
F 1
i
2 3
e
i
2 3
e
－１
i
2 3
e
i
2 3
e
i

3
e
i
2 3
e
i
2 3
e
i

3
C7 群(特征标表)
C8 群(特征标表)
2
例一： C3 {e, a, a 2 } 存在一个非平庸的自同构
C4 群(特征标表)
e A B E E’ 1 1 1 1 a 1 －１ －i i a2 1 1 －1 －i a3 1 －１ i －i
C5 群(特征标表)
e A B C D E 1 1 a 1
2 i 5 4 i 5 4 i
a2 1
4 i 5 2 i
a3 1
4 i
a4 1
2 i