数据的频数分布 知识讲解

数据的频数分布——知识讲解
撰稿：杜少波责编：张晓新
【学习目标】
1. 理解组距、频数、频率、频数分布表的概念；
2. 会制作频数分布表，理解频数分布表的意义和作用；
3. 体会样本和总体的关系，会用样本的频数分布估计总体的频数分布；
4. 掌握画频数直方图的一般步骤，会画频数直方图，理解频数直方图的意义和作用. 【要点梳理】
要点一、组距、频数、频率与频数分布表
1．组距：每个小组的两个端点间的距离叫做组距．
2. 频数：一批数据中落在某个小组内数据的个数称为这个组的频数．
3. 频率：如果一批数据共有n个，而其中某一组数据是m个,那么m
n
就是该组数据在这批
数据中出现的频率. 即每一组数据频数与数据总数的比叫做这一组数据的频率. 4．频数分布表：通常用选举时唱票的方法，对落在各个小组内的数据个数进行记录，计算出每个小组的频数，并制成频数分布表.
要点诠释：
（1）各组频数总和等于样本容量，各组数据的频率之和等于1；
（2）频数分布表能清楚地反映一组数据的大小分布情况.将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多.
要点二、频数直方图
1．频数直方图
画出相互垂直的两条直线，用横轴表示分组情况，纵轴表示频数，绘出相应的长方形条，就得到了频数直方图.
2．频数直方图的画法
(1) 计算数据中最大数与最小数的差.
（2）决定组距和组数；组数通常取大于最大值-最小值
组距
的最小整数. 当数据在100个
以内时，通常可按照数据的多少分成5～12组.
(3) 决定分点.为了使数据不落在分点上，一般地把表示分点的数比原数据多取一位小数. 并把第一组的起点值定为比最小的数据稍小一点的数.
（4）列频数分布表.
（5）画频数直方图.
要点诠释：
频数直方图是条形统计图的一种，但由于分组数据具有连续性，频数直方图中各“条形”之间通常是连续排列，中间没有间隙，而条形图中各“条形”是分开排列的，中间有一定的间隙.
【典型例题】
类型一、组距、组数、频数、频率
1. (1)对某班50名学生的数学成绩进行统计，90～99分的人数有10名，这一分数段的频数为_________．
(2)有60个数据，其中最小值为140，最大值为186，若取组距为5，则应该分的组数
是________．
【答案】(1)10； (2)10.
【解析】
解：(1)利用频数的定义进行解答；(2)利用组数的计算方法求解．
【总结升华】组数的确定方法：设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，则分为5～8组；
的整数部分+1.
当50≤n<100．则分为8～12组较为合适，组数等于最大值-最小值
组距
举一反三：
【变式】一个样本中有80个数据，最大值是141，最小值是50，取组距为10，则样本可分成（）
A．10组 B．9组 C．8组 D．7组
【答案】A.
2. 我校八年级学生在生物实验中抽出50粒种籽进行研究，数据落在37～40之间的频率是0.2，则这50个数据在37～40之间的个数是（）
A．1 B．2 C．10 D．5
【思路点拨】根据频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，可得频数=频率×数据总和．【答案】C.
【解析】解：∵在生物实验中抽出50粒种籽进行研究，数据落在37～40之间的频率是0.2，∴这50个数据在37～40之间的个数=50×0.2=10．故选C．
【总结升华】本题考查频率、频数、总数的关系：频率=频数÷数据总和．
举一反三：
【变式】有一个样本容量为20的样本，其数据如下：29，42，58，37，53，52，49，24，37，45，42，55，40，38，50，26，54，26，44，32．根据以上数据填写下表：
分组划记频数频率
21～30
31～40
41～50
51～60
合计1
【答案】
解：如下表：
分组划记频数频率
21～30 4 0.20
31～40 正 5 0.25
41～50 正一 6 0.30
51～60 正 5 0.25
合计1 20 1.00
类型二、频数分布表
3.某中学为了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学仅选一类），并根据调查结果制作了尚不完整的频数分布表：
类别频数（人数）频率
文学m 0.42
艺术22 0.11
科普66 n
其它28
合计 1
（1）表中m=______,n=______；
（2）在这次抽样调查中，最喜爱阅读哪类读物的学生最多？最喜爱阅读哪类读物的学生最少？
（3）根据以上调查，试估计该校1200名学生中最喜爱阅读科普类读物的学生有多少人？【思路点拨】
（1）由频率统计表可看出艺术类的频数22，频率是0.11，由频率=频数÷数据总数计算，可得到总数；根据频数的总和为200，可求出m的值；
（2）频数分布表中可以直接看出答案；
（3）用样本估计整体：用整体×样本的百分比即可．
【答案与解析】
解：（1）学生总数：22÷0.11=200，
m=200-22-66-28=84，
n=66÷200=0.33，
（2）从频数分布表中可以看出：最喜爱阅读文学类读物的学生最多84人，最喜爱阅读艺术类读物的学生最少22人．
（3）1200×0.33=396（人）．
【总结升华】此题主要考查了读频数分布表的能力，利用图表得出正确的信息是解决问题的关键．
类型三、频数直方图
4.某地区对八年级的英语教学情况进行期末质量调查，从中抽出的20个班级的英语期末平均成绩如下(单位：分)：
80 81 83 79 64 76 80 66 70 72
71 68 69 78 67 80 68 72 70 65
试列出频数分布表并绘出频数直方图．
【思路点拨】按照画频数直方图的步骤进行解答．解答时，应注意每个步骤中需要注意的事项．
【答案与解析】
解：(1)计算最大值与最小值的差.
83－64＝19．
(2)决定组距与组数.
若取组距为4，则有19
4
≈5，所以组数为5．
(3)列频数分布表.
(4)画频数直方图.
【总结升华】按步骤进行操作．因选取的组距不同，所列的频数分布表及所画的频数直方图也不一样.在统计时，数据不能出现重复或遗漏的现象．
【高清课堂：数据的描述369923 例1】
举一反三：
【变式】如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频率分布直方图.已知从左到右前4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，第五小组的频数为25，若合格成绩为20,那么此次统计的样本容量和本次测试的合格率分别是（）．
A．100，55% B．100，80% C．75，55% D．75，80%
【答案】B.
5. 低碳发展是深圳市政府工作报告提出的发展理念，近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动，根据调查数据制作了频数直方图(每组均含最小值，不含有最大值)和扇形统计图，下图中从左到右各长方形的高度之比为2:8:9:7:3:1．
(1)已知碳排放值5≤x＜7(千克/平方米·月)的单位有16个，则此次行动共调查了________个单位；
(2)在图②中，碳排放值5≤x＜7(千克/平方米·月)部分的圆心角为_________度；
(3)小明把图②中碳排放值1≤x＜2的都看成1.5，碳排放值2≤x＜3的都看成2.5，依此类推，若每个被检查单位的建筑面积均为10000平方米，则按小明的办法，可估算碳排放值x≥4(千克/平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值约为________吨．
【思路点拨】
(1)先算出碳排放值在5≤x＜7范围内所对应的比例，再求一共调查了多少个单位；
(2)由碳排放值在5≤x＜7范围内所占的比例，可计算出圆心角度数；
(3)先计算碳排放值4≤x＜5的单位、碳排放值5≤x＜6的单位，碳排放值6≤x＜7的单位个数，再算出碳排放值x≥4(千克/平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值．
【答案与解析】
解：(1)16÷4
30
＝120(个)，故填120；
(2)4÷30×360°＝48°，故填48；
(3)碳排放值x≥4(千克／平方米·月)的被检单位是第4，5，6组，分别有28个、12
个、4个单位，10000×(28×4.5+12×5.5+4×6.5)÷1000＝10×(126+66+26)＝2180(吨)．所以，碳排放值x≥4(千克／平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值约为2180吨．
【总结升华】解答本题的关键是将直方图提供的信息转化为频数分布表．这种“转化”过程对解题大有帮助．
举一反三：
【变式】随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速区检测到的一组汽车的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成）：
（1）请你把表中的数据填写完整；
（2）补全频数直方图；
（3）如果汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？【答案】
解：（1）36÷200=0.18，
200×0.39=78，
200-10-36-78-20=56，
56÷200=0.28；
（2）如图所示：
（3）违章车辆数：56+20=76（辆）．答：违章车辆有76辆．。