高数(一、一)期中试卷答案
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
高一年级第一学期期中考试数学试卷及其参考答案
高一年级第一学期期中考试数学试卷（基础模块第一章、第二章）一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列表示正确的是（）．A.{ 0 }＝∅B.｛全体实数｝＝ＲＣ.{ a }∈{ａ,ｂ,c } D.{ x∈R∣x2+1＝0 }＝∅2.已知全集U={ 0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，B={2,3,4}，则（U C A）B＝（）．A.{2}B.{0,2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,3,4,5}3.已知A={ (x,y) | 2x-y=0 }，B={ (x,y) | 3x+2y=7 }，则A B＝（）．A.{(2,1)}B.{1,2}C.{(1,2)}D.{x=1,y=2}4．设A={ x | 0< x < 1 }，B={ x | x < a } ，若A⊆B，则a的取值范围是（）．A.[1,＋∞) B.(－∞,0]C.[0,＋∞)D.(－∞,1]5.已知集合A={ x | x2＋14= 0 }，若A∩R =∅，则实数ｍ的取值范围是（）．A.m<1B.m≥1C.0<m<1D.0≤m<16.“A⊆B”是“A B＝A”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.不等式21-+xx≤0的解集为（）．A.{ x | x≥2}B.{ x | x≥2或x<－1 }C.{ x|－1<x≤2 }D.{x| x≥2或x≤－1 }8.已知a<b<0，c>0，那么（）．A.a2<b2B.a b<1C.ca<cb D.ca>cb9.绝对值不等式| 2x－3 |<5的解集是（）．A.{ x | x<－1或x>4 }B.{ x |－1<x<4 }C.{ x | x<－1 }D.{ x | x>4 }10.与不等式－x2－2x＋3>0同解的不等式(组)是（）．A. x2＋2x－3>0B. (x＋3)(x－1)<0C.x+3>0x-1D.x+3<0x-1>0⎧⎨⎩a 、b 、c 的大小顺序是（ ）． A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b12.若实数0<a <1，则)0>1(a-x)(x-a的解集为（ ）． A.{ x |1<x<a a } B.{ x | 1<<a x a} C.{ x | 1< >x a 或x a } D.{ x | 1<a >x 或x a}二、填空题（每小题4分，共16分）13.设全集U={ 1,2,3,4,5 },A={ 2,5 }，则U C A 的所有子集的个数为 _________． 14.符合条件｛ａ｝⊆Ｍ ｛ａ，ｃ，ｄ｝的集合Ｍ的个数是 _________．15.设ａ，ｂ为实数，则“ａ2＝ｂ2”是“ａ＝ｂ”的 _________条件．(填充分或必要)16.不等式2+2m x x+n>0的解集是(11,32-)，则不等式2-nx +2x-m >0的解集是 _________．三、解答题（共74分，解答应写出文字说明及演算步骤） 17.已知U={ x |－2<x<7 ,x ∈N }，A={ 1,2,4 }，B={ 2,3,5}．求: ⑴ A U B ；⑵ A B ；⑶ B C C U U A；⑷ B C C U U A ．(12分)18.若集合A={ x | mx 2＋2x －1 = 0 , m ∈R , x ∈R }中有且仅有一个元素，那么m 的值是多少？(12分)19.设集合A={ x | x 2－3x ＋2 = 0 }，B = { x | x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0 }，若A B = { 2 }，求实数ａ的值．(12分) 20.解不等式x+23-x≤1．(12分) 21.设全集为R ，A={ x | |x-1|<3 }，B={ x | x 2－x －2≥0 },求A B ，A U B ，A CB ．(12分)22.已知集合A={ x | x 2－x －12 ≤0 }，集合B={ x | m －1≤x ≤2m ＋3 }，若A U B=A ，求实数m 的取值范围．(14分)高一年级第一学期期中考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，共16分）13、 8 14、 3 15、 必要 16、 （－2,3）三、解答题：（22题14分，17~21题每题12分，共计74分）17.解：U={ 0,1,2,3,4,5,6 }. ⑴A U B={1,2,3,4,5}.⑵A B={2}.⑶B C C U U A ={ 0,3,5,6 }U { 0,1,4,6 }={ 0,1,3,4,5,6, }. ⑷ B C C U U A={ 0,3,5,6 } { 0,1,4,6 }={ 0,6 }.18. 解：当m=0时, A=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,符合题意.当m ≠0时,要使集合A 中有且仅有一个元素,必须 方程mx 2＋2x －1 = 0有两个相等实数根, ∴ 2∆=2+4m =0, 即m=－1,综上所述,m=0或m=－1. 19. 解：A={ 1,2 }∵ A B={ 2 }, ∴ 2 B, ∴ 2是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0的根,把x=2代入此方程得2a +4a+3=0, ∴ a=-1或a=-3, 当a=-1时,B={ -2,2 }, A B={ 2 },符合题意. 当a=-3时,B={ 2 }, A B={ 2 },符合题意. 综上所述,a 的值为-1或3. 20. 解：原不等式⇔x+2-13-x ≤0⇔x+2-(3-x)3-x ≤0⇔2x-13-x≤0 ⇔2x-1x-3≥00≠⎧⇔⎨⎩x-3(2x-1)(x-3)≥012⇔x ≤或x>3, ∴ 解集为12{x |x ≤或x>3}. 21. 解：解|x-1|<3得-2<x<4, 故A=(-2,4).解x 2－x －2≥0得x ≤－1或x ≥2, 故B=(-∞,-1]∪[2,+∞).∴ A B=(-2,-1]∪[2,4),A U B=R,A C B=(-2,4) (-1,2)=(-1,2).22.解: 解x2－x－12 ≤0得－3≤x≤4, 故A=[-3,4],由A U B=A，知B A，∴⎧⎪⎨⎪⎩m-1≤2m+3,m-1≥-3,2m+3≤4,即12⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m≥-4,m≥-2,m≤,∴ -2≤m≤12.。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2 + 5C. y = 1/xD. y = -4x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B等于（）A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}3. 若sinα=0.6，则cosα的值是（）A. 0.8B. -0.8C. -0.4D. 0.44. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|的最小值是（）A. 5B. 2C. 1D. 45. 不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 3]C. [1, 3]D. (-∞, 1] ∪ [3, +∞)6. 已知数列1, 3, 5, 7, ...，其第n项an等于（）A. 2n - 1B. 2n + 1C. 2nD. n + 17. 若a + b + c = 0，则a^2 + b^2 + c^2 =（）A. 0B. 2abC. 2bcD. 2ac8. 函数y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4的极大值点是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知tanθ = 2，求sin^2θ + cos^2θ的值是（）A. 1B. 5C. 3D. 410. 下列哪个选项是二元一次方程（）A. x^2 + y = 7B. 3x + 2y = 10C. x^2 - y = 0D. 2x/3 + y/4 = 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列的首项是5，公差是3，则其第10项是_________。
12. 若函数f(x) = x^2 - 2x在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) = ________。
13. 已知三角形ABC中，∠A = 90°，a = 3，b = 4，则c=_________。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。
A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {2,3}D. {1,4}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值是多少？A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知直线y=-3x+5与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 5)B. (1, 2)C. (5/3, 0)D. (0, 0)6. 已知sin(α)=3/5，α∈(0,π)，求cos(α)的值。
A. 4/5B. -4/5C. √(1-(3/5)^2)D. -√(1-(3/5)^2)7. 一个函数f(x)是奇函数，且f(1)=2，求f(-1)的值。
A. 2B. -2C. 0D. 18. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 7C. 8D. 99. 已知一个函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 410. 已知一个等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项的值。
A. 162B. 243C. 486D. 729二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求对称轴的方程。
___________________________12. 已知等比数列的前n项和为S_n=3^n-1，求首项a1。
___________________________13. 已知正弦定理公式为a/sinA=b/sinB=c/sinC，求三角形ABC的面积，已知a=5，sinA=3/5。
___________________________14. 已知某函数的导数f'(x)=6x^2-4x+1，求f'(1)的值。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集D. 复数集C2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的元素个数。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是：A. 正B. 负C. 零D. 不确定5. 下列哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e < 2.72C. √3 > √2D. log2(3) > log3(2)6. 已知等差数列的首项为a1 = 3，公差为d = 2，第5项a5的值是：A. 9B. 11C. 13D. 157. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
A. 0B. 4C. 8D. 169. 抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等比数列的首项为a1 = 2，公比为r = 3，求第4项a4的值。
A. 162B. 486C. 729D. 1458二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0，其中d^2 + e^2 - 4f > 0时，表示______。
12. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) =______。
13. 已知集合M = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M的补集∁_R M = {x | ______ }。
14. 函数y = log_2(x)的定义域是{x | x > ______ }。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。
2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。
3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。
4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。
高等数学1期中考试试题参考答案
《高等数学（Ⅰ）》试卷学院：______ 班级：_____学号：________姓名：________任课教师：_____题类一二三四五总分阅卷人得分一、选择题（每题2分，共16分）1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( )（A ）（B ） （C ） （D ） xx 21lim ∞→1310lim -→x x x e x 1lim ∞→xx 3lim ∞→2、，，则下列不正确的是…………………………()0)(lim =→x f ax ∞=→)(lim x g ax （A ）（B ） ∞=+→)]()([lim x g x f ax ∞=→)]()([lim x g x f ax （C ）（D ） 0][lim )()(1=+→x g x f ax 0)](/)(lim[=→x g x f ax 3、则下列正确的是…………………………(),0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax （A ） f (x )>0, （B ） g(x )<0, （C ） f (x )>g (x ) （D ）存在a 的一个空心邻域，使f (x )g (x )<0。
4、已知， 则………………………………………………( ),2lim)(0=→xx f x =→)2x (sin3x 0limf x （A ） 2/3, （B ） 3/2 （C ） 3/4 （D ） 不能确定。
5、若函数在[1，2]上连续，则下列关于函数在此区间上的叙述，不正确的是……（ ）（A ） 有最大值 （B ） 有界 （C ） 有零点 （D ）有最小值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述，正确的一个是………………………………………( )（A ）有界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（B ）有界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大，（C ） 无界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（D ）无界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大。
高一数学a版必修一期中考试试题及答案
高一数学a版必修一期中考试试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填在题后的括号内）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3x - 1C. y = x^2 - 4D. y = 5x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1}B. {2, 3}C. {3}D. {2, 3, 4}3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为x1和x2，则x1 + x2等于（）A. 5B. 6C. -5D. -64. 函数y = 2x - 1的图象经过点（3, 5），则函数y = -2x + 1的图象经过点（）A. (3, -5)B. (-3, 5)C. (-3, -5)D. (3, -1)5. 已知等差数列{an}的公差d=2，且a1=1，则a5等于（）A. 9B. 11C. 15D. 176. 函数y = 3x^2 - 6x + 2的顶点坐标是（）A. (1, -1)B. (2, -2)C. (1, 1)D. (2, 2)7. 已知a，b，c是三角形的三边长，且a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定8. 函数y = 1/x的图象是（）A. 一条直线B. 两条直线C. 一个抛物线D. 两个分支9. 已知f(x) = x^2 - 6x + 8，那么f(-x)等于（）A. x^2 + 6x + 8B. x^2 + 6x - 8C. x^2 - 6x - 8D. -x^2 + 6x + 810. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x - 2的导数是（）A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 6x + 4C. 3x^2 - 6x + 2D. x^2 - 6x + 2二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
2022-2023学年第一学期高一期中数学答案
大兴区2022~2023学年度第一学期期中检测高一数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BBADCCDCAD二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）{|12}x x x ≠≥，且 （12）2 （13）d a c b ，，，（14）21()()2f x x =-（答案不唯一） （15）①②④（全选对5 分，漏选1 个3 分，漏选2 个2 分，不选或选错0 分） 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分）解：（Ⅰ）当5m =时，集合{|68}B x x =≤≤.因为{|27}A x x =-≤≤， 所以{|29}AB x x =-≤≤， ……6分（Ⅱ）因为{|13}B x m x m =++≤≤，所以{|13}B x x m x m =<+>+R，或．又因为A B A =R，所以17m +>，或32m +<-.所以m 的取值范围是(5)(6)-∞-+∞，，.……8分（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为()2a f x x x =-，且1()32f =，所以12232a ⨯-=.解得a 的值为1-. ……4分 （Ⅱ）1()2f x x x=+的定义域为{|0}x x ≠. 因为{|0}x x x ∀∈≠，都有{|0}x x x -∈≠，且11()2(2)()f x x x f x x x-=--=-+=-，所以，函数1()2f x x x=+是奇函数. ……5分 （Ⅲ）1x ∀，2(1)x ∈+∞，，且12x x <，则 121212121221121212121211()()(2)(2)112()()2()(21)f x f x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x -=+-+ =-+-- =-+- =-因为12(1)x x ∈+∞，，，12x x <，得1211x x >>，，120x x -<. 所以121221210x x x x >->，. 于是121212(21)0x x x x x x --< ，即12()()f x f x <. 所以，函数()f x 在区间(1)+∞，上的单调递增. ……5分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设使用该设备生产x 年后的总利润为y 万元，则22250(210)98240982(10)102(0)y x x x x x x x =-+- =-+- =--+ ∈+∞，，所以，当使用该设备生产10年，总利润最大为102万元. ……7分 （Ⅱ）使用设备x 年后的平均利润为22409898240y x x x x x x-+-==--+. 因为(0)x ∈+∞，，所以989822228x x x x+⋅=≥, 当且仅当982x x=，7x =即时等号成立. ……6分 所以98240284012x x--+-+=≤. 所以，当使用该设备生产7年，年平均利润最大为12万元. ……7分解：（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为(1)-∞-，和(1)+∞，……4分 （Ⅱ）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-.又因为当0x >时，2()21f x x x =--， 所以当0x <时，0x ->，22()()[()2()1]21f x f x x x x x =--=-----=--+.……5分（Ⅲ）当22k k <->，或时，方程有1个解. 当10012k k k -<<=±≤≤，或，或时，方程有2个解. 当21120k k k -<<-<<=，或，或时，方程有3个解.……5分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x -=. 所以22()(21)()2(21)2a x a x ax a x -+---=+--. 所以210a -=，即12a =. ……4分 （Ⅱ）()(1)(2)0f x ax x =-+>①当0a =时，解集为(2)-∞-，. ②当0a >时，解集为1(2)()a-∞-+∞，，. ③当102a -<<时，解集为1(2)a -，.④当12a =-时，解集为∅.⑤当12a <-时，解集为1(2)a -，. ……10分解：（Ⅰ）因为{257}A =，，，所以其衍生集{7912}B =，， . ……4分 （Ⅱ）设1234{}A a a a a =，，，，不妨设1234a a a a <<<， 则衍生集B 中最多有121314232434a a a a a a a a a a a a ++++++，，，，，这6个元素，由不等式性质可知1213142434a a a a a a a a a a +<+<+<+<+，而14a a +与23a a +可能相等， 例如{1234}A =，，，中，1+4=2+3 ， 所以衍生集B 中元素至少有5个，即4个正整数构成的集合的衍生集B 中元素个数的最小值为5 . ……5分 （Ⅲ）不存在，理由如下：假设存在5个正整数构成的集合12345{}A a a a a a =，，，，， 其衍生集{}46810121418B =，，，，，， . 不妨设12345a a a a a <<<<，则集合A 的衍生集B 中至多有12131415232425343545a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++，，，，，，，，， 这10个元素，其中必有12131415253545a a a a a a a a a a a a a a +<+<+<+<+<+<+，且可能出现142315231524a a a a a a a a a a a a +=++=++=+，，， 15342534a a a a a a a a +=++=+，.由题意可知必有12133545461418a a a a a a a a +=+=+=+=，，，， 所以2131415146108a a a a a a a a =-=-=-=+，，，.由12345a a a a a <<<<得11114108a a a a <-⎧⎨-<+⎩，解得112a <<.①当1423a a a a +=+时，即11111046a a a a +-=-+-，得10a =舍. ②当1523a a a a +=+时，即1111846a a a a ++=-+-，得112a =舍. ③当1524a a a a +=+时，即11118410a a a a ++=-+-，得132a =， 故1511a a B +=∉，所以132a =舍. ④当1534a a a a +=+时，即11118610a a a a ++=-+-，得12a =舍. ⑤当2534a a a a +=+时，即111148610a a a a -++=-+-，得12a =舍. 综上，1a 不存在. 所以,不存在5个正整数构成的集合A ，使其衍生集{}46810121418B =，，，，，，. ……6分。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套,新课标版)
高一级第一学期期中调研考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题．．．．区域书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
3．本卷命题范围：新人教版必修第一册第一章～第四章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{123}A =，，，{}223B x x x =->，则A B =A ．{12}，B ．∅C ．{23}，D ．{1}2．命题“R x ∃∈，||0x ”的否定是A ．R x ∀∈，||0x ≥B ．R x ∃∈，||0x <C ．R x ∀∈，||0x <D ．R x ∃∉，||0x <3．若a b >，则下列不等式中成立的是 A ．11<a bB ．33a b >C ．22a b >D ．a b >4．函数y =的定义域为 A ．(12)-，B ．(02)，C ．[12)-，D ．(12]-，5．某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为2()410C x x x =++（万元）。
一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为 A ．139万元B ．149万元C ．159万元D ．169万元6．已知集合2{Z |Z}1A x x =∈∈-，则集合A 的真子集的个数为 A ．13B ．14C ．15D ．167．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．若函数()f x 是奇函数，且在定义域R 上是减函数，(2)3f -=，则满足3(3)3f x -<-<的实数x 的取值范围是 A ．(15)，B ．(24)，C ．(36)，D ．(25)，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西高一高中数学期中考试带答案解析
山西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列符号判断正确的是（）A．B．C．D．2.设向量满足，则（）A．B．C．D．3.已知向量，若为实数，，则（）A．2B．1C．D．4.在中，，若点满足，则（）A．B．C．D．5.边长为的正三角形中，设，则等于（）A．0B．1C．3D．-36.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度7.已知，且，那么等于（）A．B．C．D．8.已知非零向量与满足，且，则为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形9.函数的单调增区间是（）A．B．C．D．10.已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）A．B．C．D．11.的值是（）A．B．C．D．12.已知点，，，，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，则__________．2.已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为__________．3.已知向量与的夹角为，且，若，且则实数的值为__________．4.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则下列结论正确的是__________．①和都是锐角三角形②和都是钝角三角形③是钝角三角形，是锐角三角形④是锐角三角形，是钝角三角形三、解答题1.设两个非零向量与不共线.（1）若，求证：三点共线（2）试确定实数，使和反向共线.2.已知向量，设函数.（Ⅰ）求的最小正周期.（Ⅱ）求在上的最大值和最小值.3.已知向量，函数，且的图像过点和点. （1）求的值；（2）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1，求的单调递增区间.4.已知函数的最小正周期为（1）求的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围5.函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数的值域；（Ⅱ）若，且，求的值.6.已知向量，且.（1）求及；（2）若的最小值为，求正实数的值.山西高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.下列符号判断正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，所以，故A错；由，所以,故B错；由，所以，故C正确；由，，故D错.故选C.2.设向量满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，∴，∴，故选B.3.已知向量，若为实数，，则（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】向量，所以有，又，，所以，解得，故选C.4.在中，，若点满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，，5.边长为的正三角形中，设，则等于（）A．0B．1C．3D．-3【答案】D【解析】∵在边长为的正三角形ABC中，设，∴且，∴由向量数量积的定义可得则.故选D.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】函数的图象向左平移个单位长度,有,故选B.7.已知，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，又，所以，，所以，故选B.8.已知非零向量与满足，且，则为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形【答案】A【解析】因为，所以的平分线与垂直，三角形是等腰三角形，又因为，所以，所以为等边三角形，故选A.点睛：在向量运算中，即为“向量单位化”，即将向量变为同向长度为1的向量，那么两个长度一样的向量相加即有高线、中线、角平分线重合.9.函数的单调增区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的单调增区间即为的减区间，令,解得故选C.点睛：本题属于易错题型，在研究函数的单调区间是，基本思路是将看作整体，利用的单调性求解即可，而在本题中，中的系数是负的，所以用复合函数的单调性解释的化应该为“同增异减”，即需要将负号提出，得到，进而研究函数的单减区间才行.10.已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为原来函数即为，令，则，令，又因为若相邻交点距离的最小值为，则以正弦函数为研究对象，取符合要求的两角：，对应有，此时，所以.【考点】辅助角公式，正弦函数的图像，三角函数的周期公式.11.的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.12.已知点，，，，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，，所以向量在方向上的投影为，故选A．【考点】平面向量的数量积的运算及向量的投影的概念．二、填空题1.已知，则__________．【答案】【解析】上下同时除以即得.点睛：在三角化简求值中，含有正弦、余弦、正切时一般有两个思路：（1）“切化弦”，即将题目中的正切利用关系化为正余弦的运算；（2）构建分式齐次式，如果是一次齐次式，分子分母同时除以，如果是二次齐次式分子分母同时除以，一次类推，转化为正切的运算.2.已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】5【解析】以D为原点建系，设长为，，最小为5【考点】向量运算3.已知向量与的夹角为，且，若，且则实数的值为__________．【答案】【解析】因为，所以，解得【考点】向量数量积4.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则下列结论正确的是__________．①和都是锐角三角形②和都是钝角三角形③是钝角三角形，是锐角三角形④是锐角三角形，是钝角三角形【答案】④【解析】因为的三个内角的正弦值均大于0，所以的三个内角的余弦值也均大于0,则是锐角三角形。
高一数学必修一期中考试试题及答案
考试时间:100分钟,满分100分.一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．下列关系正确的是：A ．Q ∈2B ．}2{}2|{2==x x x C ．},{},{a b b a = D ．)}2,1{(∈∅2．已知集合}6,5,4,3,2,1{=U ，}5,4,2{=A ，}5,4,3,1{=B ，则)()(B C A C U U ⋃A ．}6,3,2,1{B ．}5,4{C ．}6,5,4,3,2,1{D ．}6,1{ 3．下列函数中，图象过定点)0,1(的是A ．xy 2= B ．x y 2log = C ．21x y = D ．2x y =4．若b a ==5log ,3log 22，则59log 2的值是： A ．b a -2B ．b a -2C ．b a 2D ．ba25．函数3log )(3-+=x x x f 的零点所在的区间是A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞） 6．已知函数ax x x f +=2)(是偶函数，则当]2,1[-∈x 时，)(x f 的值域是： A ．]4,1[ B ．]4,0[ C ．]4,4[- D ．]2,0[8．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20％，则第四年造林 A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩9.设c b a ,,均为正数，且a a21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<10．已知函数()log a f x x =（0,1a a >≠），对于任意的正实数,x y 下列等式成立的是A ．()()()f x y f x f y +=B ．()()()f x y f x f y +=+C ．()()()f xy f x f y =D ． ()()()f xy f x f y =+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷中的横线上.11．若幂函数()f x 的图象过点2,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()9f = _________12．函数()f x =的定义域是13． 用二分法求函数)(x f y =在区间]4,2[上零点的近似解，经验证有0)4()2(<⋅f f 。
高数I期中试题答案
试题及其详细解答一、填空题（每小题2分，共20分） 1、 函数xx y ln 11--=的定义域为__________________.解：1011ln 0x x x x e-≥≥⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩，应填写 ),(),1[+∞⋃e e 2、1lim 2xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭__________________. 解：1lim 2x x x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭3211lim (1)lim 22lim (1)xxx x xx x e x xe x ex x→∞-→∞→∞+⎛⎫+ ⎪=== ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭3、当0x →时，1cos x -与212x 相比较是_______________无穷小解：等价4、5(),x f x x e -=+则'(1)f =__________________. 解：4()5,x f x x e -'=-11'(1)55f ee-=-=-5、cos()y x x π=在点2x =的微分是__________________. 解：cos()[sin()]cos()sin()y x x x x x x ππππππ'=+-=-， 2cos(2)2sin(2)1x y πππ='=-=，应填写1,dx 或,dx ,x ∆6、曲线t t y t t x cos ),sin 1(=-=在π=t 处的切线方程为______________.解：(cos )cos sin ((1sin ))1sin cos dy t t t t t dxt t t t t'-=='---，π=t 时，,x y ππ==-，1111dy dxππ-==-++，切线方程为1(),1y x πππ+=--+7、设)(x f 满足条件0)0(=f ，且0()lim x f x x→存在，(0)1f '=，则0()limx f x x→=_______.解： 00()()(0)limlim(0)10x x f x f x f f xx →→-'===-8、函数34()483f x x x =+-的极大值为_________.解：232()241212(2)f x x x x x '=-=-，驻点0,2x x ==(,0),()0;f x '-∞>(0,2),()0;f x '>(2,),()0;f x '+∞<0不是极值点，2是极大点，极大值为34(2)4823220f =+⋅-⋅= 9、函数1)(--=x e x f x 的单调增加区间为_____________.解：()1x f x e '=-，令()10x f x e '=->，得0x >，应填写[0,)+∞ 10、)()(sin n x =____________， 1( )d d x x=-. 解：()(sin )sin()2n n x x π=+，1(ln +C )d x dx x -=-二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、若函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0,10,1sin )(x k x xx x f 在点0=x 处连续，则k =________ (A) 1 (B) 0 (C) 1- (D) 不存在 解：由01lim sin0(0)1x x f k x→===+，得1k =-，选(C)2、曲线7186223---=x x x y 在区间（2，4）上______(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有最小值)3(f (D) 没有最小值 解：22612186(23)6(1)(3)y x x x x x x '=--=--=+-，驻点1,3x x =-=，(,1),0;y '-∞->(1,3),0;y '-<(3,),0;y '+∞> 应选(C) 3、函数223)(xxx f +=的凹区间为_______(A) )1,(--∞ (B) )1,1(- (C) )4,1( (D) ),4(+∞解：2222222(3)26()(3)(3)x x x xx f x x x +-'==++，2222224246(3)62(3)218(3)(1)()(3)(3)x x x xx x f x x x +-++-''==++令()0f x ''=，得1,1x x =-=，(,1),()0;f x ''-∞-<(1,1),()0;f x ''->(1,),()0;f x ''+∞<应选(B)4、当1→x 时，x -1是比21x -_______(A) 高阶的无穷小 (B) 低阶的无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 解：211111limlim112x x x xx→→-==-+，应选(D)5、设0x 为)(x f 的极大值点，则___(B)______(A) 必有)('0x f =0 (B) )('0x f =0或不存在 (C) )(0x f 为)(x f 在定义域内的最大值 (D) 必有0)('0<x f 三、计算题（每小题8分，共40分） 1、0tan limsin x x x x x→--， 0ln lim ln(1)xx x e +→-解：22222tan 1sec tan limlimlimlim211sin cos 122x x x x x x x x x x xx xx→→→→----====---- 01ln 1lim lim lim lim 1ln(1)1xx xxxx x x x xx e x x e e xexee ++++→→→→-====--2、 设2212lim21x x ax bx →++=-，求,a b 的值.解：因21lim (1)0x x →-=，故21lim (2)0x x ax b →++=，即20a b ++=，由2211244limlim2122x x x ax bx a a x x→→++++===-，得0a =，2b =-3、xx y sec 2)1(+=，求dy解：用对数求导法求导数：两边取对数，2sec 2ln ln (1)sec ln(1)xy x x x ⎡⎤=+=+⎣⎦， 两边取导数，2212sec tan ln(1)sec 1x y x x x xyx'=+++，2sec 222(1)sec tan ln(1)sec 1xx y x x x x x x ⎡⎤'=+++⎢⎥+⎣⎦，2sec 222(1)sec tan ln(1)sec 1xx dy x x x x x dx x ⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦4、 设函数)(x f y =由方程xy e y =确定，求''y 解：先求y '：方程两边求导得y e y y xy ''=+，得yy y e x'=-，()()22()()'()(1)yyy yyyy e x y e x y e x y e y y ex ex '''------''==--()22yyy yy yee x e x --=- 5、 已知点（0，1）是曲线b ax x y +-=233的拐点，求,a b 的值 解：292y x ax '=-，182y x a ''=-，因点（0，1）是拐点， 所以020x y a =''=-=，即0a =，且(0)1y b ==。
(北师大版)高中数学高一年级上册 期中测试试卷01及答案
期中测试一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）A .{}0,1,2,3,4B .{}0,4C .{}1,2D .{}32.已知ln2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）A .a b +B .a b -C .abD .ab3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+¥上单调递增的是（ ）A .()ln f x x=B .()2x f x -=C .()3f x x =D .()2f x x =-4.设函数()1,0,x Q D x x Q Îì=íÏî，则(f f éùëû的值为（ ）A .0B .1C .1-D .不存在5.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A .a c b ＜＜B .a b c ＜＜C .b c a ＜＜D .c a b＜＜6.设a 、b 是实数，则“0a b ＞＞”是“22a b ＞”的（ ）A .充分必要条件B .必要而不充分条件C .充分而不必要条件D .既不充分也不必要条件7.已知函数()26log f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是()A .()0,1B .()1,2C .()2,4D .()4,+¥8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为（ ）A .()1,2B .()5,6C .()7,8D .()15,16二、填空题（共10小题，每小题4分，共40分）9.函数()f x =的定义域为________.10.已知函数()122,1log ,01x x f x x x ìï=í£ïî＞＜，则14f f æöæö=ç÷ç÷èøèø________；若()1f x =，则x =________.11.函数()2(1)1f x x x x =+>-的最小值是________；取到最小值时，x =________.12.设a 为常数，函数()263f x x x =-+=，若()f x a +为偶函数，则a =________.13.定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()f x 在()0,+¥是增函数，()30f =，则不等式()0f x ＞的解集为________.14.能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若a b c ＞＞，则a b c +＞”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________.15.已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4A B =U ，A B =ÆI ；（2）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素.那么用列举法表示集合A 为________.16.对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，若()00f f x x éù=ëû，则称0x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){|}A x f x x ==，(){|}B x f f x x =éù=ëû，那么：（1）函数()22g x x =-的“不动点”为________；（2）集合A 与集合B 的关系是________.17.若x 、y R +Î，且134y x +=，则y x的最大值为________.18.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x ax a =-+，其中a R Î.①12f æö-=ç÷èø________14-；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是________.三、解答题（共6小题，每小题13分，共78分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）19已知全集U R =，集合(){|20}P x x x =-≥，{|3}M x a x a =+＜＜.（1）求集合U P ð；（2）若1a =，求集合P M I ；（3）若U P M Íð，求实数a 的取值范围.20.解下列关于x 的不等式（1）()()120x x --＜；（2）213x -＜；（3）()()231210x a x a a -+++＞.21.已知函数()12x f x x +=+.（1）求()1f f éùëû的值；（2）若()1f x >，求x 的取值范围；（3）判断函数在()2,-+¥上的单调性，并用定义加以证明.22.已知函数()221f x x ax =-+，[]0,2x Î上.（1）若1a =-，则()f x 的最小值；（2）若12a =，求()f x 的最大值；（3）求()f x 的最小值.23.如果定义在[]0,1上的函数()f x 同时满足：①()0f x ≥；②()11f =；③若10x ≥，20x ≥且121x x +≤，则()()()1212f x x f x f x ++≥成立.那么就称函数()f x 为“梦幻函数”.（1）分别判断函数()f x x =与()2x g x =，[]0,1x Î是否为“梦幻函数”，并说明理由；（2）若函数()f x 为“梦幻函数”，求函数()f x 的最小值和最大值；24.设函数()f x 的定义域为R ，如果存在函数()g x ，使得()()f x g x ≥对于一切实数x 都成立，那么称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.已知函数()2f x ax bx c =++的图象经过点()1,0-.（1）若1a =，2b =.写出函数()f x 的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a ，b ，c ，使得y x =为函数()f x 的一个承托函数，且()f x 为函数21122y x =+的一个承托函数？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由.期中测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解：{}0,1,2,4A =Q ，{}1,2,3B =，{}{}{}0,1,2,41,2,31,2A B \==I I .故选C.2.【答案】D【解析】ln 2a =Q ，ln 3b =，又3ln 2log 2ln 3=Q ，3log 2a b \=.3.【答案】A【解析】函数()ln f x x =是偶函数又在区间()0,+¥上单调递增，满足题意；函数()2x f x -=是非奇非偶函数，不满足题意；函数()3f x x =是奇函数，不满足题意；函数()2f x x =-是偶函数，但在区间()0,+¥上单调递减，不满足题意；4.【答案】B【解析】Q 函数()1,0,x Q D x x Q Îì=íÏî，(0f \=，(()01f f f éù\==ëû.5.【答案】A【解析】解：由题意，可知：5log 21a =＜，110.5122221log 0.2log log 5log 5log 425b --=====＞.0.20.51c =＜，b \最大，a 、c 都小于1.521log 2log 5a ==Q，10.2510.5()2c ====而22log 5log 42=＞，21log 5\a c \＜，a cb \＜＜.故选A .6.【答案】C【解析】若0a b ＞＞，则22a b ＞成立，若2a =-，1b =，满足22a b ＞，但0a b ＞＞不成立，故“0a b ＞＞”是“22a b ＞”的充分不必要条件.7.【答案】C 【解析】解： ()26log f x x x=-Q ，()220f \=＞，()1402f =-＜，满足()()240f f ＜，()f x \在区间()2,4内必有零点.故选C.8.【答案】B【解析】lg 4.8 1.5E M =+，1lg 4.8 1.5816.8E \+´==，2lg 4.8 1.57.516.05E +´==，16.8110E \=，16.05210E =，0.751210E E \=，0.750.75 1.5109335==Q ＞，12E E \的值所在的区间为()5,6.二、9.【答案】[)2,+¥【解析】由题意得：240x -≥，解得：2x ≥，故函数的定义域是[)2,+¥.10.【答案】12【解析】函数()122,1log ,01x x f x x x ìï=í£ïî＞＜，则()21211log 22444f f f f æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø=，若()1f x =，若1x ＞，可得21x =，解得0x =（舍去）；若01x ＜≤，可得12log 1x =，解得12x =，综上可得12x =.11.【答案】1+1+【解析】1x Q ＞，10x \-＞，由基本不等式可得22111111y x x x x =+=-++=+--≥，当且仅当211x x -=-即1x=+1+.12.【答案】3【解析】根据题意，函数()2263(3)6f x x x x =-+=--，为二次函数且其对称轴为3x =，()2(3)6f x a x a +=+--，为偶函数，必有3a =；13.【答案】()()3,03,-+¥U 【解析】()f x Q 在R 上是奇函数，且()f x 在()0,+¥上是增函数，()f x \在(),0-¥上也是增函数，由()30f -=，得()30f -=，即()30f =，由()()00f f -=-，得()00f =，作出()f x 的草图，如图所示：()0f x \＞的解集为：()()3,03,-+¥U ，故答案为：()()3,03,-+¥U .14.【答案】1-，2-，3-【解析】解：设a ，b ，c 是任意实数.若“a b c ＞＞，则a b c +＞”是假命题，则若“a b c ＞＞，则a b c +≤”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次1-，2-，3-，（答案不唯一）.故答案为：1-，2-，3-.15.【答案】{}3或{}1,2,4【解析】{}1,2,3,4A B =U Q ，A B =ÆI ；集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素.则A ，B 不能为空集，且A ，B 不能均为二元集合，若A 含一个元素，则该元素只能是3，即{}1A =，若A 含三个元素，则元素不能有3，即{}1,2,4A =.16.【答案】（1）02x =，或01x =-（2）B AË【解析】（1）Q 若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，即(){|}A x f x x ==，设函数()22g x x =-的“不动点”为0x ，2002x x -=，求得02x =，或01x =-，故{}2,1A =-.故答案为：02x =，或01x =-.（2）Q 满足()0f f x éùëû＝0x ，则称0x 为()f x 的“稳定点”，即(){|}B x f f x x éù==ëû.Q 函数()22g x x =-，\函数22242[()]()22242g g x g x x x x éù=-=--=-+ëû，由()2g g x x éù=ëû，可得4242x x x -+=，求得2x =，故{}2B =，B A \Ë，故答案为：B A Ë.17.【答案】43【解析】x Q 、y R +Î，且134y x+=，4133y x\=-，0x Q ＞，41033y x=->，104x \＜＜，则224111413333y x x x x xæö=-=-+×ç÷èø，结合二次函数的性质可知，当12x =即12x =时，y x 取得最大值43.18.【答案】][(),01,-¥+¥U 【解析】①211112224f f a a éùæöæöæö-=-=--+=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøêúëû；②因为()f x 是R 上的奇函数，且值域为R ，所以0x ＞时，2(2)40a a =--△≥，解得：0a ≤或1a ≥；三、19.【答案】（1）Q 全集=U R ，集合(){|20}{|02}P x x x x x x =-=≥≤或≥，\集合{|02}U P x x =＜＜ð.（2）1a =时，{|3}{|14}M M x a x a x x ==+=＜＜＜＜.\集合{|24}P M x x =I ≤＜.（3）Q 集合{|02}U P x x =＜＜ð，{|3}M x a x a =+＜＜，U P M Íð，032a a ì\í+î≤≥，解得10a -≤≤.\实数a 的取值范围是[]1,0-.20.【答案】（1）由()()120x x --＜，可得12x ＜＜，故原不等式的解集为{|12}x x ＜＜.（2）由213x -＜，可得3213x --＜＜，求得12x -＜＜，故原不等式的解集为()1,2-.（3）由()()231210x a x a a -+++＞，可得()()210x a x a éùéù--+ëûëû＞，当21a a +＞时，即1a ＞时，不等式的解集为()(),12,a a È-¥++¥；当21a a =+时，即1a =时，不等式的解集为{|2}x x ¹；当21a a +＜时，即1a ＜时，不等式的解集为()(),21,a a -¥++¥U .21.【答案】（1）()21253123823f f f +æöéù===ç÷ëûèø+；（2）由()1f x >得，112x x ++，化简得，102x +＜，2x \<-，x \的取值范围为(),2-¥-；（3）()11122x f x x x +==-++，()f x 在()2,-+¥上是增函数，证明如下：设122x x -＞＞，则：()()()()12122112112222x x f x f x x x x x --=-=++++，122x x -Q ＞＞，120x x \-＞，120x +＞，220x +＞，()()1212022x x x x -\++，()()12f x f x \＞，()f x \在()2,-+¥上是增函数.22.【答案】（1）当1a =-时，()221f x x x =++，因为[]0,2x Î，min ()1f x =；（2）当12a =，()2=1f x x x -+，因为[]0,2x Î，max ()3=f x ；（3）当0a <时，min ()1f x =，当02a ≤≤时，2min ()1f x a =-，当2a ＞时，min ()54f x a =-，综上：()210102542a f x a a aa ìï=-íï-î＜≤≤＞.23.【答案】（1）①显然，在[]0,1上满足()0f x x =≥，()20x g x =≥；②()11f =，()12g =；③若10x ≥，20x ≥且121x x +≤，则()()()[]121212120f x x f x f x x x x x éù+-+=+-+=ëû，即()()()1212f x x f x f x ++≥成立；()f x x \=是“梦幻函数”，()2x g x =不是“梦幻函数”；（2）设1x ，[]20,1x Î，12x x <，则(]210,1x x -Î,()()()()()()()1212111121=f x f x f x f x x x f x f x f x x éù\---+-+-ëû≤()210f x x --＝≤，()()12f x f x \≤，()f x \在[]0,1单调递增，令120x x ==，10x Q ≥，20x ≥且121x x +≤，则()()()1212f x x f x f x ++≥成立，()020f \≥，又()0f x ≥，()00f \=＝0，\当0x =时，()f x 取最小值()00f =，当1x =时，()f x 取最大值()11f =.24.【答案】函数()2f x ax bx c =++的图象经过点()1,0-，可得0a b c -+=，又1a =，2b =，则()221f x x x =++，由新定义可得()g x x =＝为函数()f x 的一个承托函数；假设存在常数..，b ，c ，使得y x =为函数()f x 的一个承托函数，且()f x 为函数21122y x =+的一个承托函数.即有221122x ax bx c x +++≤≤恒成立，令1x =可得11a b c ++≤≤，即为1a b c ++=，即1b a c -=+，又()210ax b x c +-+≥恒成立，可得0a ＞，且2(1)40b ac --≤，即为2()40a c ac +-≤，即有a c =；又211022a x bx c æö-++-ç÷èø≤恒成立，可得12a ＜，且2114022b a c æöæö---ç÷ç÷èøèø≤，即有221(12)4()02a a ---≤恒成立.故存在常数a ，b ，c ，且102a c =＜＜，12b a =-，可取14a c ==，12b =.满足题意.。
高一数学期中考试参考答案(定稿)
2020—2021学年度第一学期期中学情调研试题高一数学答案一、单项选择题1. C2. A3. C4.D5. A6. B7. A8. B二、多项选择题9.BCD 10.BC 11.AD 12.BD三、填空题13．4 14．[)()1,22+∞，15．2a +b16．(,3)-∞，(3,4)四、解答题17解(1)若3m =，则{}|35B x x =≤≤∴{}|15A B x x =-≤≤ ………………3分 又{}|34AB x x =≤≤∴{}()|34R C A B x x x =<>或 ………………6分(2)由AB =∅得21m +<-或4m >即3m <-或4m > ………………10分18解(1)原式351222=-+= ………………6分 (2)原式lg 22lg3lg0.61lg3+=-+ …………8分lg 22lg3lg6lg3+=+…………10分lg 22lg31lg 22lg3+==+………………12分19 (1)若命题p 为真命题，则01242<+=∆m m ，解得03<<-m ，故实数m 的取值范围(3,0)- ………………4分(2)若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ………………6分 ∵命题q p ,中恰有一个为真命题 ∴命题q p ,一真一假①当p 真q 假时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<-212103m m 解得021<≤-m ………………8分 ②当p 假q 真时，⎪⎩⎪⎨⎧>-<≥-≤21,210,3m m m m 或或解得21,3>-≤m m 或 ………………10分 综上，实数m 的取值范围),21()0,21[]3,(+∞---∞………………12分20解：(1)设2()f x ax bx c =++(0a ≠)则22(1)()(1)(1)()f x f x a x b x c ax bx c +-=++++-++223ax a b x =++=+∴223a a b =⎧⎨+=⎩ 解得12a b =⎧⎨=⎩ ∴2()2f x x x c =++ ……………4分选择条件①：2()(1)1f x x c =++- ∴min ()11f x c =-=，即2c =选择条件②：2(2)(2)2(2)2f c -=-+-+=，即2c =选择条件③：(0)2f c ==∴2()22f x x x =++ ……………6分 (2)由题意2()2(1)2g x x t x =--+，其对称轴为1x t =- ①当11t -≤即2t ≤时，min ()(1)522g x g t ==-=-，解得72t =(舍) ………9分 ②当11t ->即2t >时，2min ()(1)212g x g t t t =-=-++=-解得3t =或1t =-(舍)∴3t = ………………12分21解：(1)当汽车速度为50/km h 时，运输总费用为：90801000250124450⨯++⨯=(元) ………………3分 (2)设汽车行驶的速度为x /km h由题意可得：9080100021260x x⨯++≤…………5分 化简得213036000x x -+≤，解得4090x ≤≤∴汽车行驶速度的范围为[]40,90. ………………7分 (3)设汽车行驶的速度为x /km h ，则运输的总费用为907200801000221000x x x x⨯++=++…………9分10001240≥+= 当且仅当72002x x=，即60x =时，等号成立………11分 答：故若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶．………12分22解：(1)由题意得2(1)12ax a x x -++>--对x R ∈恒成立即230ax ax -+>对x R ∈恒成立若0a =，则不等式30>恒成立…………2分若0a ≠，则2120a a a >⎧⎨∆=-<⎩解得012a <<…………4分 综上，实数a 的取值范围为[)0,12 ………………6分 (2)不等式()0f x >为(1)(1)0x ax -->若0a =，则不等式为(1)0x -->，∴1x < ………………7分 若0a >，则不等式可化为1(1)()0x x a--> ①当11a >即01a <<时，不等式解为1x <或1x a> ………………8分②当11a=即1a =时，不等式解为1x ≠ ………………9分 ③当11a <即1a >时，不等式解为1x >或1x a< ………………10分 若0a <，则不等式可化为1(1)()0x x a--<解得11x a<< ………………11分 综上，当0a <时，不等式解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭当0a =时，不等式解集为(),1-∞ 当01a <<时，不等式解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭当1a =时，不等式解集为()(),11,-∞+∞当1a >时，不等式解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭………………12分。
浙江高一高中数学期中考试带答案解析
浙江高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.角的始边在轴正半轴、终边过点，且，则的值为（）A．B．1C．D．2.已知数列的前项和为，且则等于（）A．4B．2C．1D．3.已知则（）A．B．C．D．4.已知实数列成等比数列，则（）A．B．C．D．5.已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为（）A．B．C．D．6.若的三个内角满足，则（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7.在中，，，则面积为（）A．B．C．D．8.在中，已知，则在中，等于（）A．B．C．D．以上都不对9.在中，为的对边，且，则（）A．成等差数列B．成等差数列C．成等比数列D．成等比数列10.将偶数按如图所示的规律排列下去，且用表示位于从上到下第行，从左到右列的数，比如，若，则有（）A．B．C．D．二、填空题1.在等差数列中，，则 .2. .3.设当时，函数取得最大值，则 .4.对于正项数列，定义为的“蕙兰”值，现知数列的“蕙兰”值为，则数列的通项公式为= .5.设为锐角，若，则的值为 .6.若数列满足，且有一个形如的通项公式，其中、均为实数，且，，则________， .7.各项均为正数的等比数列中，，，若从中抽掉一项后，余下的项之积为，则被抽掉的是第项.三、解答题1.设等差数列的前项和为且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和，并求的最小值.2.已知在锐角中，为角所对的边，且.(1)求角的值；(2)若，则求的取值范围.3.如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得，.(1)设，求三角形铁皮的面积；(2)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.4.已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设恰有5个元素，求实数的取值范围.浙江高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.角的始边在轴正半轴、终边过点，且，则的值为（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】设点到原点的距离为，则，根据任意角的三角函数的定义可知，故选A.【考点】任意角的三角函数.2.已知数列的前项和为，且则等于（）A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】法一：依条件可知，当时，，当时，即，也就是，故选A；法二：当时，，当时，由得，两式相减可得即，也就是，而首项，所以该数列是以为首项，为公比的等比数列，进而可得,所以，故选A.【考点】1.数列的前项和与数列的通项公式的关系；2.等比数列的通项公式.3.已知则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：由可得，又因为，从而即，所以，所以，故选D；法二：，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系式.4.已知实数列成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】记该数列为，并设该等比数列的公比为，则有，所以所以，故选C.【考点】等比数列的通项公式.5.已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：设该等差数列的公差为，则有，所以由可得，所以，所以该等差数列为单调递增数列且，从而可确定当时，取得最小值，故选A；法二：同方法一求出，进而可得，所以当时取得最小值，故选A.【考点】等差数列的通项公式及其前项和.6.若的三个内角满足，则（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】根据正弦定理，由条件可得，设，则，由余弦定理可得，而,所以为钝角，所以为钝角三角形，故选C.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.7.在中，，，则面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，因为，所以，所以，故选B.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.平面向量的数量积；3.两角和差公式；4.三角形的面积计算公式.8.在中，已知，则在中，等于（）A．B．C．D．以上都不对【答案】C【解析】法一：根据余弦定理可得即也就是，所以，所以或，故选C；法二：由正弦定理可得即，因为且即，所以或，当时，，此时；当时，，此时以为底边的等腰三角形，此时，综上可知选C.由上述法一与法二两种方法比较，当知道三角形的两边及其中一边的对角时，若求第三条边，选择余弦定理较好，若要求角，则选择正弦定理较好.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.9.在中，为的对边，且，则（）A．成等差数列B．成等差数列C．成等比数列D．成等比数列【答案】D【解析】因为，所以，且由二倍角公式可得，所以可化为即也就是，根据正弦定理可得，所以成等比数列，选D.【考点】1.两角和差公式；2.二倍角公式；3.正弦定理；4.等比数列的定义.10.将偶数按如图所示的规律排列下去，且用表示位于从上到下第行，从左到右列的数，比如，若，则有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】从图中可以观察到，第一行有一个偶数，第二行有2个偶数，第三行有3个偶数，，第行有个偶数，所以前行共有个偶数；又因为2014是从2开始的第1007个偶数，又因为（这里并没有使用求解不等式成立的最小正整数进行确定，而是采用了简单二分法估算，如，，进而，从而确定，所以得到上面的不等式，或者根据选项中的数据直接确定上面的不等式也是一个明智的选择），所以可以确定在第行，到行时，总共才990个偶数，需要在第45行再找17个偶数，在第45行中是从中往左摆放偶数的，故2014处在从中往左算第17个偶数，从左往右算是第个数，所以，故选D.【考点】1.等差数列的前项和；2.估算法.二、填空题1.在等差数列中，，则 .【答案】【解析】设该等差数列的公差为，则依题意有，所以.【考点】等差数列的通项公式.2. .【答案】【解析】根据两角和的正切公式可得，所以，所以.【考点】两角和的正切公式.3.设当时，函数取得最大值，则 .【答案】【解析】因为，设，，则，当取得最大值时，，依题中条件得到，所以，从而可得，所以.【考点】1.三角函数的辅助角公式；2.诱导公式.4.对于正项数列，定义为的“蕙兰”值，现知数列的“蕙兰”值为，则数列的通项公式为= .【答案】【解析】依题中条件可得即①所以当时，②将①②可得，当当时，，也满足此通项，所以.【考点】1.新定义；2.数列的通项公式.5.设为锐角，若，则的值为 .【答案】【解析】因为，所以，所以，由可得，从而可得，，所以.【考点】1.二倍角公式；2.两角和差公式.6.若数列满足，且有一个形如的通项公式，其中、均为实数，且，，则________， .【答案】；【解析】根据递推关系式可得，所以该数列是周期数列，周期为，又因为是该数列的一个通项公式，所以，又因为当时，，因为，所以由可得或，进而可得或；当时，，此时当时，，不符合题意，舍去；当时，，此时时，分别得到，满足题意，综上可知，.【考点】1.数列的周期性；2.三角函数的图像与性质.7.各项均为正数的等比数列中，，，若从中抽掉一项后，余下的项之积为，则被抽掉的是第项.【答案】【解析】设该等比数列的公比为，则依题意可得，假设从中抽掉的是第项，则有，所以，因为首先，进而得到，故用穷举法进行检验，最后可确定使得等式成立，其余均不成立，所以.【考点】等比数列的通项公式.三、解答题1.设等差数列的前项和为且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和，并求的最小值.【答案】（1）；（2）当或时，最小，最小值为.【解析】（1）设等差数列的公差为，进而根据条件列出方程组，从中求解得到与，进而可以写出数列的通项公式；（2）由（1）中结论可得，法一：进而根据等差数列的通项公式求出该数列的前项和，再由二次函数的图像与性质即可求得的最小值；法二：也可以由得出该数列从首项开始到哪一项都是非正常，所有这些非正数相加，当然是达到的最小值. （1）设等差数列的公差为，由已知可得即，解得，所以（2）法一：由（1）可得，则由等差数列的前项和公式可得因为为整数，根据二次函数的图像与性质可知：当或时，最小，最小值为法二：由（1）可得，所以该数列是单调递增数列，令，解得所以当或时，最小，最小值为.【考点】1.等差数列的通项公式及其前项和；2.二次函数的图像与性质.2.已知在锐角中，为角所对的边，且.(1)求角的值；(2)若，则求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据正弦定理将等式中的边换成角，进而根据余弦的二倍角公式、两角和与差公式进行化简得到，进而得到，结合角的范围即可得到的值；（2）根据正弦定理，将边转化成角即，进而根据三角形的内角和将其中的一个角换掉得到，然后根据题中条件确定的取值范围：，然后得到，进而根据三角函数的性质得到的取值范围.（1）根据正弦定理，可将转化为，又由余弦的二倍角公式转化为2分4分，因为在锐角中，所以 5分（2）由（1）与正弦定理可得所以 6分8分因为所以 10分.【考点】1.正弦定理；2.两角和差公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质.3.如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得，.(1)设，求三角形铁皮的面积；(2)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.【答案】（1）三角形铁皮的面积为；（2）的面积的最大值为.【解析】（1）先根据题中条件得出，，，最后根据三角形的面积计算公式即可得到所求的三角形的面积；（2）先引入角度作为变量，即设，进而根据（1）中思路求出，到此用同角三角函数的基本关系式，进行换元，令，先确定的取值范围，进而得到，从而，根据求出的的取值范围，结合二次函数的图像与性质即可确定的最大值.（1）由题意知，即三角形铁皮的面积为（2）设则，，令，由于，则有所以且，所以故而函数在区间上单调递增故当时，取得最大值.【考点】1.三角函数的实际应用；2.同角三角函数的基本关系式；3.三角函数的图像与性质；4.二次函数的图像与性质.4.已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设恰有5个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先将递推式变形为，进而判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求出；（2）由（1）中，该数列的通项是由一个等差与一个等比数列的通项公式相乘，于是可用错位相减法求出，进而得到，然后判断数列的单调性，进而根据集合恰有5个元素，确定的取值范围即可.(1)由已知得，其中所以数列是公比为的等比数列，首项，所以由（1）知所以所以因此，所以，当即，即要使得集合有5个元素，实数的取值范围为.【考点】1.等比数列的通项公式；2.数列的前项和；3.数列的单调性.。
高一数学期中试卷附答案解析
高一数学期中试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设函数f （x ）=g （x ）+x+lnx ，曲线y=g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为（ ） A ．y=4x B ．y=4x ﹣8 C ．y=2x+2 D ．2.设则（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知，且，则实数的取值范围是A ．B ．C ．或D ．或或4.已知，且是第三象限的角，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出的点数为偶数的概率为( ) A ． B ． C ． D ．6.设A （3，3，1）、B （1，0，5）、C （0，1，0），则AB 的中点M 到C 点的距离为（ ）A． B． C． D．7.两个相关变量满足如下关系：根据表格已得回归方程：，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是( )A. 37B.C. 39D.8.下列各组函数表示相等函数的是（）．A．y＝与y＝x＋3B．y＝－1与y＝x－1C．y＝x0（x≠0）与y＝1（x≠0）D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z9.已知函数，若方程有四个不同解，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．10.已知等比数列的前项和公式，则其首项和公比分别为（）A． B． C． D．11.（2012•安徽模拟）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（）A．3f（1）＞f（3） B．3f（1）＜f（3） C．3f（1）=f（3） D．f （1）=f（3）12.同时具有以下性质：“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．13.设U是全集，则满足的元素x组成的集合为 ( )A．MB．（MC．MD．（M14.已知集合，，则（）A．B．C．D．15.设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为A． B． C． D．16.在等差数列中，若其前13项的和，则为（）A．4 B．3 C．6 D．1217.函数的定义域为（）A． B． C． D．18.已知全集（ )A． B． C． D．19.若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．20.设k＞1，则关于x，y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是（）A．长轴在x轴上的椭圆B．实轴在y轴上的双曲线C．实轴在x轴上的双曲线D．长轴在y轴上的椭圆二、填空题21.不等式的解集是，22.已知函数，则函数的最小值为 .23.数列中，，则其通项公式=________；24.已知函数为指数函数，则___________ .25.已知，把数列的各项排列成如下的三角形状：…………………………………… 记表示第行的第个数，则.26.设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为27.购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．28.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的析式为 29.已知，，且A∩B=B ，则的值为___________．30.在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为 . 三、解答题31.已知数列的前n 项和，数列有，（1）求的通项；（2）若，求数列的前n 项和．32.已知函数f （x ）＝2sin （ωx ），其中常数ω>0． （1）若y ＝f （x ）在上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω＝2，将函数y ＝f （x ）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，区间[a ，b]（a ，b ∈R 且a<b ）满足：y ＝g （x ）在[a ，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b]中，求b －a 的最小值． 33.（本题满分16分）已知向量，，设函数，且的图象过点和点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象．若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间． 34. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是正方形，DM ⊥PC ，垂足为M.（1）求证：BD ⊥平面PAC ．（2）求证：平面MBD⊥平面PCD．35.已知，角的7倍角的终边和角的终边重合，试求这个角。
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= e 2 (6 分)
学 院:
3. lim +
x→0
ln cot x ln x
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年级：2011
专业：工科各专业
课程号：1101020510
(3 分)
1 1 ⋅ (− 2 ) x cot x sin x = − lim 解：原式= lim + + x→0 x→0 sin x cosx 1 x x 1 = − lim ⋅ lim = −1．(6 分) x→0+ sin x x→0+ cos x
学号:
解： lim
x →0
= lim
x →0
1 1 = . (6 分) x +1 +1 2
专 业:
⎛ x +1 ⎞ 2. lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x − 1 ⎠
x
2x
x −1 x −1 ⎡ ⎤ 2 2 ⎛ x +1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ 解： lim ⎜ lim ⎜ 1 + (4 分) ⎟ =x ⎟ x →∞ ⎝ x − 1 ⎠ →∞ ⎢⎝ x −1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ x
学 院:
专 业:
整理,得
f (a) − f (ξ ) f ′(ξ ) .(10 分) = g (ξ ) − g (b) g ′(ξ )
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4. lim ⎜
n →∞
⎛
1
2 ⎝ 1+ n
+ 1
1 2 + n2 + 1
+Λ + 1
⎞ ⎟ n + n2 ⎠ 1 1
，(1 分)
解：设 x n =
1+ n2 1 +
2 + n2
+Λ + 1
n + n2
= 1 = y n ； (2 分) 1
则， x n ≤
n2
1
n2
1
+Λ +
n2
xn ≥
n+n
n →∞
得分
六．证明题（12 分）若函数 f ( x) 在闭区间 [0, 1] 上连续，在开区
间 (0, 1) 内可导，且 f (0) = 0 , f (1) = 1 .
证明: (1) 存在 ξ ∈ (0, 1) ，使得 f (ξ ) = 1 − ξ ; (2) 存在两个不同的点 a, b ∈ (0, 1) ,使得 f ′(a) f ′(b) = 1 . 证明：(1) 令 g ( x) = f ( x) + x − 1 , (1 分) 则 g ( x) 在 [0, 1] 上连续, (2 分) 又 g (0) = −1 < 0 ， g (1) = 1 > 0 (3 分 ) ， 由 零 点 定 理 知 , 存 在 ξ ∈ (0, 1) , 使 得
f ( x ) − f (0) x2 + 2 x = lim− = 2 .(5 分) x →0 x−0 x
得 a = 2 .(7 分)
由 f ( x) 在 x = 0 处可导，有 f −′ (0) = f +′ (0) (6 分), 故当 a = 2,
b = 0 时，函数 f ( x) 在 x = 0 处可导. (8 分)
x →0
+
由 f (0+ ) = f (0) ，有 b = 0 . (3 分) 又
f +′ (0) = lim+
x →0
f ( x) − f (0) arcsin(a x) ax = lim+ = lim+ = a ，(4 分) x →0 x →0 x x−0 x
f −′ (0) = lim−
x →0
6．下列函数中，在区间 [ −1, 1] 上满足罗尔定理条件的是（ A (A) 1 − x ；
2
(B) e ；
x
(C) ln x ；
(D)
1 . 1− x2
姓名:
得分
三、求下列极限（每小题 6 分,共 24 分）
1. lim
x →0
x +1 −1 . x x +1 −1 x (2 分) = lim x →0 x ( x + 1 + 1) x
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2011-2012 学年第一学期本科试卷答案 课程名称:高等数学(一、一） （期中考试）
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得分
四. 求导数或微分（每小题 6 分,共 18 分）
1．已知 y = ln sin(1 − x) ,求 dy
姓名:
因此 f ′(a) f ′(b) = 1 . (12 分)
得分
附加题 （10 分,不计入总成绩， 只作为参考）如果 f ( x) 和 g ( x)
满足下列三个条件： （1）在闭区间 [a, b ] 上连续； （2）在开区间 (a, b ) 内可导； （3）对任意 x ∈ ( a, b ) ，均有 g ′( x) ≠ 0 ． 则存在一点 ξ ∈ ( a, b ) ，使得
―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线―――――――――――――― (A) f ( x) = g ( x) ； (C) f ( x) + g ( x) = 1 ； (B) f ( x) + g ( x) = C ； (D) f ( x) = g ( x) + C . ）.
y
dy dy ，(3 分) = e y + xe y dx dx
得
dy ey (4 分) = dx 1 − xe y
学 院:
所以,
dy dx
= e . (5 分)
x =0
因此,所求的切线方程为 y = e x + 1 . (6 分)
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年级：2011
得分
专业：工科各专业
课程号：1101020510
―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线―――――――――――――― 存在 a ∈ (0, ξ ) , b ∈ (ξ , 1) 使得 f ′( a ) =
f (ξ ) − f (0) 1 − ξ , (9 分) = ξ ξ
f ′(b) =
f (1) − f (ξ ) 1 − (1 − ξ ) ξ , (11 分) = = 1− ξ 1− ξ 1− ξ
注：答为 arctan x 扣 1 分
k
课程号：1101020510
.
答: arctan x + C .
8.当 n → ∞ 时，如果 sin 答: 2 . 9. 若函数 f ( x) = ⎨ 答: −2 .
1
与
n
1 为等价无穷小，则 k = n
.
， ⎧−3x +1, x < 1 在 (−∞,+∞) 上连续，则 a = x ≥ 1. ⎩ a,
2011-2012 学年第一学期本科试卷答案 课程名称:高等数学(一、一） （期中考试）
―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线―――――――――――――― 题号 得分 判卷人 复核人 一 二 三 四 五 六 附加题 总成绩
姓名:
得分
一、填空题（每小题 2 分,共 20 分） 1 1 1 , 0, , 0, , Λ 的一般项 x n = 2 3 4
n →∞
Ａ
）.
(A) 收敛于 0；
(B) 收敛于 1 ；
(C) 发散； C
(D) 收敛性不能确定.
2. x = 0 是函数 f ( x) = (A) 可去；
1 的（ 1 − 2x
）间断点. (C) 无穷； (D) 振荡. C ）.
(B) 跳跃；
3．设函数 f ( x) = x( x + 1)( x + 2)Λ ( x + 2011) ，则 f ′(0) = （ (A) n! ； (B) 2010! ； (C) 2011! ；
学号:
f ( a) − f (ξ ) f ′(ξ ) ． = g (ξ ) − g (b) g ′(ξ )
证明：令 F ( x) = [ f (a) − f ( x)][ g ( x ) − g (b)] .(2 分) 因为 F ( x) 在闭区间 [a, b ] 上连续，在开区间 (a, b ) 内可导，且 F ( a ) = F (b) = 0 ,(3 分) 由罗尔定理, 存在一点 ξ ∈ ( a, b ) ,使得 F ′(ξ ) = 0 . (5 分) 由于 F ′( x ) = [ f (a ) − f ( x )] ⋅ g ′( x ) − [ g ( x ) − g (b)] ⋅ f ′( x ) , (6 分) 所以 F ′(ξ ) = [ f (a) − f (ξ )] ⋅ g ′(ξ ) − [ g (ξ ) − g (b)] ⋅ f ′(ξ ) = 0 ,(8 分)
姓名:
解： dy =
cos(1 − x) (−1) dx sin(1 − x)
(4 分)
= − cot(1 − x) dx . (6 分)
２．求由参数方程 ⎨
⎧ x = arctan t , dy 所确定的函数 y = y ( x) 的导数 . 2 dx ⎩ y = ln(1 + t )
学号:
解：
dy [ln(1 + t 2 )]′ (2 分) = dx [arctan x ]′
(D) 2012! .
4．若函数 f ( x) 、 g ( x) 都可导，设 y = f [ g ( x )] ，则 (A) { f [ g ( x)]}′ ⋅ g ′( x ) ； (C) f ′[ g ( x)] ⋅ g ( x ) ；