2018年可锐考研数学一模拟卷
2018年考研数学(一)真题与答案解析(完整版)
2018年考研数学一试题与答案解析（完整版)1.下列函数中不可导的是（）。
A.()sin()f x x x =B.()f x x =C.()cos f x x=D.()f x =【答案】D 【解析】【解析】A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x--+++→→→→--''=====D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim 0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''====''≠2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为A.0z =与1x y z +-= B.0z =与222x y z +-=一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.C.y x =与1x y z +-=D.y x =与222x y z +-=【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C 、D 排除，22(2,2,1),(1,0,0)2(1)20(0,1,0)z x y x y x X yY Z x y=+--+-==曲面的法向量为因为平面过，则平面方程为，又因为平面过，故由此，取特殊值；令x=1,则法向量为(2,2,1)-，故B 选项正确。
2018年可锐考研数学模拟卷试题(一)
2018年可锐考研数学模拟卷试题（二）一、选择题：第1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前面的字母填在答题纸指定位置上。
（1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ）A.2x y z -+=-B.0x y z ++=C.23x y z -+=-D.0x y z --=3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （ ） A.34 B.14 C.14- D.34- （4）设20sin kxx k I e xdx =⎰（k=1,2,3）则有 ( ) （A ）123I I I << （B ）321I I I << （C ）231I I I << （D ）213I I I <<5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ）A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ）A.0,2a b ==B.0,a b = 为任意常数C.2,0a b ==D.2,a b = 为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（ ） A.123P P P >> B.213P P P >> C.322P P P >> D 132P P P >>（8）将长为1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为( )（A ）1 （B ）12 （C ）12- （D ）1- 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
2018考研数学真题及答案(一)
18年考研数学真题（一）、19考研全程复习规划指南【扫码免费上课】2018年研究生入学统一考试数学（一）真题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列函数中，在0x =处不可导的是()().||sin ||A f x x x =().||sin ||B f x x x =().cos ||C f x x =().cos ||D f x x =2.过点()()1,0,0,0,1,0,且与曲面22z x y =+相切的平面为：.0A z =与1x y z +-=.0B z =与222x y z +-=.C x y =与1x y z +-=.D x y =与222x y z +-=3.()()023121!n n n n ∞=+-=+∑.sin1cos1..2sin1cos1..2sin12cos1..2sin13cos1.A B C D ++++4..设(),=,(cos .x x x M dx N dx K =x dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰222221111则()A..M N K >> B..M K N >>C..K M N >> D..K N M >>5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为()111101.011011001001111101010010001001A B C D --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则()()()()()()()(){}()()...max ,.T T A r A AB r A B r B BA r A C r A B r A r B D r A B r A B ====7.设随机变量X 的概率密度()f x 满足()()11,f x f x +=-且()200.6,f x dx =⎰则{}0P X <=.0.2.0.3.0.4.0.5A B C D 8.设总体X 服从正态分布()2123,.,,,,n N X X X X μσ 是来自总体X 的简单随机样本，据此样本检验假设：0010:,:.H H μμμμ=≠则：.A 如果在检验水平0.05α=下拒绝0H ，那么在检验水平0.01α=下必拒绝0H ..B 如果在检验水平0.05α=下拒绝0H ，那么在检验水平0.01α=下必接受0H ..C 如果在检验水平0.05α=下接受0H ，那么在检验水平0.01α=下必拒绝0H ..D 如果在检验水平0.05α=下接受0H ，那么在检验水平0.01α=下必接受0H .二、填空题：914 小题，每小题4分，共24分.9.若101tan lim ,1tan x x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则______.k =10.设函数()f x 具有2阶连续导数，若曲线()y f x =过点()0,0且与曲线2x y =在点(1,2)处相切，则()______.x f x dx ''=⎰1011.设(,,),x y z xy yz xz =-+F i j k 求(1,1,0)______.rot =F 12.设L 为球面x y z ++=2221与平面x y z ++=0的交线，则______.L xyds =⎰ 13.设二阶矩阵A 有两个不同特征值，,αα12是A 的线性无关的特征向量，且满足(),______.A A αααα+=+=21212则14.设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，.BC ≠∅若11()(),(|)24P A P B P AC AB C === ,则()______.P C =三、简单题：1523 小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分x x e arc e dx -⎰2116.（本题满分10分）将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.17.设∑是曲面x y z =--22133的前侧，计算曲面积分3(2).I xdydz y dxdz z dxdy ∑=+++⎰⎰318.（本题满分10分）已知微分方程()y y f x '+=，其中()f x 是R 上的连续函数.（1）若()f x x =，求方程的通解。
2018年考研数学一试题及答案解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）下列函数中,在0x =处不可导是（ ）()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x xC f x xD f x x====【答案】D(2)过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为（A ）01z x y z =+-=与（B ）022z x y z =+-=与2（C ）1y x x y z =+-=与 （D ）22y x x y z =+-=与2【答案】B （3）23(1)(21)!nn n n ∞=+-=+∑（A ）sin1cos1+（B ）2sin1cos1+（C ）2sin12cos1+ （D ）3sin12cos1+ 【答案】B（4）设2222(1)1x M dx x ππ-+=+⎰,221x xN dx e ππ-+=⎰,22(1cos )K x dx ππ-=+⎰,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >>【答案】C 【解析】（5）下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 111()011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()011001B -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111()010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()010001D -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭【答案】A全国统一服务热线：400—668—2155 精勤求学 自强不息(6) 设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则（A ）()()r A AB r A = （B ）()()r A BA r A = （C ）()max{(),()}r A B r A r B = （D ）()()T T r A B r A B =【答案】A（7）设随机变量X 的概率密度函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=- ，且2()0.6,f x dx =⎰则{0}P X <=（ ）（A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.4 （D ）0.5【答案】 A 【解析】（8）设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，据样本检测：假设：0010:,:H H μμμμ=≠则（ ）(A)如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (B) 如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H (C) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (D) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H 【答案】A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1sin 01tan lim 1tan kxx x e x →-⎛⎫=⎪+⎝⎭则k=___-2____(10) 设函数()f x 具有2阶连续导数，若曲线()f x 过点（0,0）且与曲线2xy =在点（1，2）处相切，则1()xf x dx ''=⎰_____【答案】2ln22-(11) 设(,,)F x y z xyi yzj zxk =-+则(1,1,0)rotF =_____【答案】(1,0,1)-(12)曲线S 由2221x y z ++=与0x y z ++=相交而成,求Sxyds ⎰【答案】0（13）设2阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，且满足21212()A αααα+=+则A =【答案】-1.（14）设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，BC =∅，若11()(),()24P A P B P AC AB C ==⋃=，则()P C = ．【答案】1/4三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求不定积分21x xe e dx -⎰（16）（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
完整word版,2018考研数学一真题及答案及解析
2018年考研数学一真题及答案解析选择题(斗分)1.T^L^数中在忑=0处不可导的星()A./(z) = |z|am |z|乩f(x) = \x\siny/\^C、f(x) —cos |刎D、f(x)- cos y/\x\【答案】D2.过点(1』,0)T (O:l,0) T且与曲面二=分+诃相切的平面为()A、務=0与£十抄一二=1B、z = 0-^2^ + 2# —左=2JC= y 与JT+ y — w = 1D、迟=眇与2® -\-2y - z —2【答案】BA.sin 1 + coslB. 2 sm 1 -H cos 1C.2sliil + 2<OM1D* 2sinl 十3 cos 1【菩案】B,0'J()A, M>N>K 艮M>K>NC、K>M>ND、K>N > M【答案】C1105 •下列矩阵中f与矩阵0 1 1相似的为()0 0 1111A.011.001K-10-1B.0110■0111-1U010乂0110-1A010.001【答案】A6•设扎助胡介矩阵,记叫X)为矩阵屋的秩「(X,F)表示分块矩阵,311()A、r(A, AB) = r(A)氐r(A,BA) = r(A)J r(X,B) = max{r(4)T r(2；)}D、r(A,B)= r(A T, B T)【答案】A 了.设随机变量X的概率密席子⑵满足和+ x) = /(I -x)t且盘f (工伽=0+6 ,则P{X< 0}=()A、0.2B.03U 0.4D、0.5【答棄】A8.设总体爼駅正态分布N(比a2)「疋,星,…，耳是来自总体筍单随机样本「据此样本检验假设：臥：此=唏圧：“*如」!I ()A.如果在检验水平a = 0.05T拒绝局(那么在检验水平《= 0.01T必拒绝凤匕如果在检验水电-005下垣绝巧.那么在检验水平“ -0.01下必按旻U 如果在检验水平a = 03下接豆顷,那么在检验水平o = 03下必拒绝风D.如果苻椅嘟水平a = 0.05下捋誓比「那么7F检骗水辰=0.0L下必挎爭尿【無】D二頃空题(4分)虫叭⑷(冶拎)血=s贝壮= _____________【答案】k = -2m设函数托工)具有2阶连续导数t若曲线妙=几工)过点© 0)且与曲线® =旷在昌⑴2) 处相切，则人‘工严佃)必- ____________【答案】2(h2-l)11,设F@ 曲z) = xyl - yzj十zxk t则戸(1,1, (I) =__________【答秦】i-k12.1SL为球面护+ j/2+ z2 = 1与平面工十# + 了= 0的交统,则比xyds匸________ 【答案】-£"•设2阶矩阵A有两个不同特征值f a u a2是占的红性无关的特征向量,且:鬲足+ d?) = di + a3,则|且—____________【答案】-114■设随机事件卫与石相互独立‘ &与幅互独立,BC = 0 ,若F(A) = P(B)= 4 ,P(AC\ 4BuC) = ] f则P(C) = ______________【答棄】1三"聲答题(10分)15.求不走积分J 宀arctaiL y/e1—ldx【答案】令疔F = * ,则雷=In(庐+ 1),血二磊也「由第二换元去和分部积分公式可得原式=/ (Q + 1)" - arc tan t -丄令血=J 2t(i2+ 1) ■ arctan tdtR-jHt=+ J arctan + l)2] = *(产十l)X arctani —壬丁 (产 + l)dt=号(产+ 1) ' arctan t —+土' —t + (J=^e22arctan (e1- lp - 1(^ - 1)5 -F C止.将长为2m 的铁丝分成三段「依次围成區、正方形与正三角形’三个图形的面积之«] 是否存在最小值?若荐在「求岀最小值.【答案】设分成的三段分别为x^z, JW 有⑦+甘+芯=2及, IB 的面积为 ® 「正方形的面积为鸟=岂/ ,正三角形09面积为扬=鲁宀总S®S = 士护十善护十生以』则问题转化为在条件雷+y + z = 2,x,y,z ＞。
3月2018届九年级第一次模拟大联考(江苏卷)数学卷(全解全析)
AC
=
100π 1 180
=
5π 9
．故答案为
5π 9
．
15．【答案】2
【解析】如图，∵E 为 AD 的中点，∴S△ABC∶S△BCE=2∶1，同理可得，S△BCE∶S△BEF=2∶1，
∵S△ABC=8 cm2，∴S△BEF= 1 S△ABC= 1 ×8=2（cm2）．故答案为：2．
4
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数学 第 2 页（共 8 页）
【解析】∵单词“happy”中有两个 p，∴抽中 p 的概率为： 2 ．故选 C． 5
6．【答案】B
【解析】如图，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，则有 AC= 1 AB= 1 8 =4，在 Rt△AOC 中，∠ACO=90°， 22
∴OC= OA2 AC2 62 42 = 2 5 ，故选 B．
–23=–8，相等，不符合题意；D． 2 3=8，|–23|=8，相等，不符合题意，故选 A．
4．【答案】B 【解析】①当 10 为腰时，10+10=20，故此种情况不存在；②当 20 为腰时，20–10<20<20+10，符合题意．故 此三角形的周长=10+20+20=50．故选 B．
5．【答案】C
2
12．【答案】40 【解析】∵l1∥l2，∴∠1=∠ABC=50°．∵CD⊥AB 于点 D，∴∠CDB=90°，∴∠BCD+∠DBC=90°，即 ∠BCD+50°=90°，∴∠BCD=40°．故答案为：40．
Hale Waihona Puke 13．【答案】1 【解析】若 x1，x2 是方程 x2–2mx+m2–m–1 的两个实数根，∴x1+x2=2m，x1·x2=m2−m−1，∵x1+x2=1–x1x2，
2018可锐考研高等数学11月考试卷与参考答案
2018考研《高等数学》第一次月考试卷（满分100分 时间120分钟）姓名____________ 得分____________一、填空题（每小题3分，共15分）1． ()21lim sin cos 1x x x x x x →∞++=++____________．2．已知函数()f x满足02x →=，则0lim ()x f x →=____________．3．设()f x 为可导的偶函数，2(cos )lim2x f x x→=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的法线方程为_______________4．函数()xf x x =在区间1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为_____________．5．设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()'()f x f x e =，(2)1f =，则'''(2)f =____________．二、选择题（每小题3分，共15分）6．0x →时，下列无穷小量中阶数最高的是（ ）AB ．345345x x x -+ C ．2cos x e x - D ．21cos 12x x -+7．函数1(1)()ln xx x e f x x-+=的可去断点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内连续，其导数如图所示，则（ ） A ．函数有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点B ．函数有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点C ．函数有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点D ．函数有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点9．下列函数在区间(0,)+∞ 内有界的是 ( ) A ．sin x x B ．cos x x C ．sin x xD ．cos xx10．设232x y f x -⎛⎫=⎪+⎝⎭，2'()arctan f x x =，则0|x dy dx == （ ） A ．2π B ．3πC ．4πD ．π三、计算题（每小题9分，共63分）11．求极限22212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭ ．12．求极限x →13．求极限()21ln(1)0lim cos x x x +→．14．求极限222cos 40limx xx e e x -→-．15．设函数()y f x =由方程32260y xy x y +++=确定，求()f x 的极值．16．21arctan ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求'()f x ，并讨论'()f x 在0x =处的连续性．．17．设函数()y f x =由方程(1)x y y x e --=确定． （1）求'(0)f ； （2）求1lim ()1n n f n→∞⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．四、证明题（每小题7分，共7分）18．设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =.证明：（1）存在0,1ξ∈（），使得()1f ξ'=；（2）存在0,1η∈（），使得()()1f f ηη'''+=．2018考研《高等数学》第一次月考试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1．0； 2．8； 3．144x y =--； 4．11()e e； 5．32e二、选择题（每小题3分，共15分）6．D ； 7．C ； 8．B ； 9．C ； 10．A三、计算题（每小题9分，共56分） 11．解：由22222121212121n n nn n n n n n n ++++++≤+++≤+++++22(1)1212lim lim 2n n n n n n n n n →∞→∞++++==++ ，同理2121lim 12n n n →∞+++=+ 由夹逼准则知222121lim 122n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分12．x →201lim x x x→-=000x x x →→→===001.2x x →→==-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分13．解：()()22cos 1111ln(1)2cos 1ln(1)lim cos lim[1cos 1]x x x xx x x x e --+-+→→=+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分14．解：．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分15．解：在方程两边同时对x 求导一次，得到0223222=++++)(')(xy y y x xy y ， （１）即222232x xy y xy y dxdy ++--=，令0=dx dy 及06223=+++y x xy y ，得到函数唯一驻点21-==y x ,．在（１）式两边同时对x 求导一次，得到022*******=+++++++y y x xy y y x xy y yy ")(')''(把0121=-==)(',,y y x 代入，得到0941>=)("y ，所以函数)(x f y =在1=x 处取得极小值2-=y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分16．解：2441110,()arctan ()211x f x x x x x x'≠=+⋅⋅-⋅+22412arctan 1x x x =-+ 0x =，201arctan 0'(0)lim 2x x x f x π→-==2240012lim '()lim[arctan ]'(0)12x x x f x f x x π→→=-==+ 故'()f x 在0x =连续 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分17．解：（1）两边对x 求导，得(1)'1[1']x y y e y xy --=--解得：(1)(1)1(1)'1x y x y y e y e--+-=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分（2）在方程(1)x y y x e--=中，令0x =，得1y =，又由（1）知'(0)1f ='1()(0)1lim ()1lim (0)11n n f f n n f f n n+→∞→∞-⎡⎤-===⎢⎥⎣⎦ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分四、证明题（每小题7分，共7分）18． （1）令()(),(0)(0)0,(1)(1)10,F x f x x F f F f =-===-= 则()0,1ξ∃∈使得'()0,'()1F f ξξ==即．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分（2）令()('()1),xG x e f x =-则()0,G ξ=又由于()f x 为奇函数，故'()f x 为偶函数，可知()0G ξ-=, 则()(),1,1ηξξ∃∈-⊂-使'()0,G ξ=即['()1]''()0e f e f ηηηη-+=，即''()'()1f f ηη+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分。
2018考研数学一模拟1试卷与解答
2
数学一（模拟 1）参考答案
一、选择题： （1）～（8）小题,每小题 4 分,共 32 分. (1)【解】当 f ( x)
0, x 0, 1, x 0, g ( x) ，则 lim f ( x) g ( x) 0 是存在的，故【答案】C． x 0 1, x 0. 0, x 0.
f ( x)
2x
0
x t (t ) d t ，求 f (T ) 的值。
2 2
(16)(本小题满分 10 分)设 z z ( x, y) 是由方程 x y z ( x y z ) 所确定的函数，其中 具有二 阶导数，且 1 ．(１)求 dz ；(２)记 u ( x, y )
: 2 x3 ye z ln(1 z) 在点 P2 (1, 2,0) 的法线平行的平面方程为
。 。
(12)设级数
an ( x 1)n 在 x 0 处条件收敛，则级数 an ( x 1)n 的收敛区间是
n 1 n 1
2 1 (13)已知 A 0 0
2 3 (0,1, 2,3)T ， C 表示任意常数，则线性方程组 AX b 的通解 X (
(A) (1, 2,3, 4) C(1,1,1,1)
T T T
)。
(B) (1, 2,3, 4) C (0,1, 2,3)
T T T
T
(C) (1, 2,3, 4) C (2,3, 4,5)
且 P(0,1) 1 ． (I)求 P( x, y ) 的表达式； (II) I 2 P( x, y)dx (3xy 2 x3 )dy 在平面内与积分路径无关， 求曲线积分 I
2018年3月2018届九年级第一次模拟大联考数学卷(考试版)
绝密★启用前2018届九年级第一次模拟大联考数 学（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：中考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．–2的相反数是 A ．2 B ．12C ．–2D ．以上都不对2．用激光测距仪测量，从一座山峰发出的激光经过4×10–5秒到达另一座山峰，已知光速为3×108米/秒，则两座山峰之间的距离用科学记数法表示为 A ．1.2×103米 B ．12×103米C ．1.2×104米D ．1.2×105米3．已知∠α与∠β互为补角，∠α=120°30′，则∠β的余角是 A ．29°30′ B ．30°30′C ．31°30′D ．59°30′4．下列各数中，是方程2x 2+5x =3的根的是 A ．–3 B ．–1 C ．1D ．35．一组数据：3，4，5，x ，7的众数是4，则x 的值是 A ．3B ．4C ．5D ．66．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．下列运算中，正确的是 A ．x 3•x 3=x 6B ．3x 2+2x 3=5x 5C ．（x 2）3=x 5D ．（ab ）3=a 3b8．方程x 2+3x –1=0的根可视为函数y =x +3的图象与函数y =1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x 2+2x –1=0的实数根x 0所在的范围是 A ．–1<x 0<0 B ．0<x 0<1C ．1<x 0<2D ．2<x 0<39．如图，∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，如果∠DCE =75°，那么∠BAD 的度数是A ．65°B ．75°C ．85°D ．105°10．如图，点O 为正方形ABCD 的中心，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使FC =EC ，连结DF 交BE的延长线于点H ，连结OH 交DC 于点G ，连结H C ．则以下四个结论中：①OH ∥BF ，②GH =14BC ，③OD =12BF ，④∠CHF =45°．正确结论的个数为A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．分解因式：x 2y –xy 2=__________．12．一个多边形的内角和与其外角和加起来是2160°，则这个多边形是__________．13．已知a 、b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：a +b __________0（请你用“>”或“<”填空）．14．已知袋子中的球除颜色外均相同，其中红球有3个，若从中随机摸得1个红球的概率为17，则袋子中共有__________个球．15．在有理数范围内定义一种运算“*”，其规则为a *b =aba b+，则2*（–3）=__________． 16．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为C ′，再将所折得的图形沿EF 折叠，使得点D和点A 重合．若AB =3，BC =4，则折痕EF 的长为__________．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．计算：021π)6tan 30()|12--︒++．18．（y –z ）2+（x –y ）2+（z –x ）2=（y +z –2x ）2+（z +x –2y ）2+（x +y –2z ）2．求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++的值．19．某种水果的价格如表：张欣两次共购买了25千克这种水果（第二次多于第一次），共付款132元．问张欣第一次、第二次分别购买了多少千克这种水果？四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．如图，已知：△ABC ，请按下列要求用尺规作图（保留痕迹，不写作法及证明）：（1）作AB 边的垂直平分线l ，垂足为点D ；（2）在（1）中所得直线l 上，求作一点M ，使点M 到BC 边所在直线的距离等于MD ．21．如图，已知菱形ABCD 的边AB 长为8，∠ABC =60°．求：（1）对角线BD 的长；（2）菱形的面积．22．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．请根据以上图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有__________人，a +b =__________，m =__________； （2）求扇形统计图中扇形C 的圆心角度数；（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额在60≤x <120范围的人数．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =–x 2+bx +c 经过点A （3，0）和点B （2，3），过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且tan ∠CAO =13． （1）求这条抛物线的表达式及对称轴； （2）连接AB 、BC ，求∠ABC 的正切值．24．已知等边△ABC ，M 是边BC 延长线上一点，连接AM 交△ABC 的外接圆于点D ，延长BD 至N ，使得BN =AM ，连接CN ，MN ，解答下列问题：（1）猜想△CMN 的形状，并证明你的结论； （2）请你证明CN 是⊙O 的切线；（3）若等边△ABC 的边长是2，求AD •AM 的值．25．我们把一直角边是另一直角边2倍的直角三角形称为“倍勾三角形”，如图1，在△ABC 中，AB =3，AC∠BAC =45°，CD ⊥AB 于D ．P 是射线AB 上的一个动点（不与D 重合），E 是线段PC 的中点，将点E 绕点P 顺时针方向旋转90°得到点F ，连接FB ，FC ，FP ．（1）下列三角形：①△PCF ，②△BCD ，③△ACD ，其中是“倍勾三角形”的有__________（填序号）； （2）求证：CB ⊥BF ；（3）连接FA ，如图2，当F ，E ，A 三点在一直线上时，△BCF 是否为“倍勾三角形”，如果是，请证明；如果不是，求BFBC的值．。
2018年考研数学模拟试题(数学一)(附答案)
2018年考研数学模拟试题（数学一）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. （A ）sin ()f x '（B ）sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）0(sin )x f t dt ⎰（D ）0[sin ()]xt f t dt +⎰2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点 3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰4.已知级数11(1)n n n a ∞-=-∑和21n n a ∞=∑分别收敛于,a b ，则级数1n n a ∞=∑（）(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为2a b + (C)必收敛，和为2a b - (D) 必收敛，和为2a b +5.设矩阵A 与101020101B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则()(2)r A r A E +-=（）.(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 66.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7. 设随机变量X 服从[1,1]-上的均匀分布，则X 与eXY -=（）.（A ）不相关 （B ）相关 （C ）独立 （D ）相关且不独立 8. 设1,,n X X 是取自正态总体(0,1)N 一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.（A~(0,1)N （B ）22(1)~(1)n S n χ--（C~(1)t n -（D ）2121~(1,)n i i nX F n X =∑ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9.设函数(,)f x y 具有连续偏导数，且2(,234)f x x x x -+=，(1,3)2x f =，则(1,3)y f = .10.微分方程(e 1)1xy y -'+-=的通解为 . 11.设2cos nn x anx ∞==∑，则2a = .12.设S为锥面(01)z z =≤≤外侧，则 Sy dydz =⎰⎰ .13.设A 为n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax =的通解为 . 14.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布(0,1)N ，则{}max(,)0P X Y ≥= .三、解答题（本题共9小题，满分94分。
2018共创考研数学一模拟2试卷与解答
2 z 。 xy
（17）. （本题总分 10 分）设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f (a) f (b) 0,
f (a) f ( x) d x 0 证明： (0,1) ，使得 f ( ) 2 f ( ) ．
a
b
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而
1 0 1 G3 2 2 0 12 0 ， 0 3 3
故向量组 1 2 2 ， 2 2 33 ， 3 3 1 线性无关。 【答案】C （6 ） 【解】由 2 AB A 得 A(2B E ) 0 ,从而
r ( A) r (2B E) 4 。
a ebx cos x c( 1 x 1) ln(1 x3 ) 是 x 4 的高阶无穷小．
（本题总分 10 分） 设函数 z xf ( ) g ( xy, x y ), 且函数 f (u ) 具有二阶连续导数，g (v, w) 具 （16）
2
2
x y
有二阶连续导数，试求
（ ）的置信下限为( 9 6 1 ) .( 9 7 0 5 . n 16 ，样本均值 X 50, 且 的 1 0.95 ， （A） 49.51 （B） 50 （C） 50.49 （D） 49.88 )。
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填在题中横线上。 （9）设曲线 y f ( x) 过点 (0, 0) ，且当 x 在 x 0 处取得增量 x 是相应的函数值增量
（A） 连续但偏导数不存在 （C） 连续且偏导数存在但不可微 （4）设在极坐标系下二次积分 I （A） （C）
）.
（B）偏导数存在但不连续 （D）可微
考研数学一模拟题2018年(55)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一模拟题2018年(55)(总分100, 做题时间90分钟)解答题1.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]由于函数表示法与用什么字母表示无关，所以，于是因为所以2.SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解][另解]3.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]故原极限=0．4.已知求SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]先证{xn}为单增数列，由于设当n=k时，xk ＞xk-1，则有a+xk ＞a+xk-1，即xk+1＞xk，由数学归纳法知{xn}为单增数列．再证{xn}有界，显然设n=k时，则当n=k+1时，可知{xn }有界，因此{xn}当n→∞时，极限存在．设则故5.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]令则即因为xn≥2，所以l≥2，故以下证存在．对任意的ε＞0，由极限定义故求下列极限：SSS_TEXT_QUSTI6.分值: 1[解]SSS_TEXT_QUSTI 7.分值: 1[解]SSS_TEXT_QUSTI 8.分值: 1[解]SSS_TEXT_QUSTI 9.分值: 1[解]SSS_TEXT_QUSTI 10.分值: 1[解]SSS_TEXT_QUSTI 11.分值: 1[解]求下列极限：SSS_TEXT_QUSTI 12.当|x|＜1时，分值: 1.5[解]因为当|x|＜1时，所以SSS_TEXT_QUSTI 13.当x≠0时，分值: 1.5[解]SSS_TEXT_QUSTI 14.分值: 1.5[解]SSS_TEXT_QUSTI 15.分值: 1.5[解]16.确定正数a和b，使SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]因为x→0时，极限式的分子x 2→0，整个极限存在，所以必有于是，b=1．于是，a=1．17.设为连续函数，求a，b．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]因为f(x)连续，所以f- (-1)=f+(-1)=f(-1)．同样，f- (1)=f+(1)=f(1)，由②，③式得，b=0，a=1．18.已知当x→0时，与cosx-1是等价无穷小，求常数α．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]由题设有因为所以19.已知C≠0．求常数a与b，使得当x→0时，函数f(x)～ax b．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]因为所以故当x→0时，有即所以，当x→0时，f(x)～2Cx 3，因此，a=2C，b=3．20.求常数a，使极限存在，并求此极限值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]因为所以因为极限存在，所以cosa=3cosa．即cosa=0，n为整数，且极限为0．21.设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f"(0)≠0，f"(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h 2高阶的无穷小．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[证一]只需证明存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使由题设和洛必达法则得所以λ1+4λ2+9λ3=0．因此，λ1，λ2，λ3应满足方程组因为系数行列式所以方程组存在唯一解，即存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小．[证二]由麦克劳林公式得故有λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)=(λ1+λ2+λ3-1)f(0)+(λ1+2λ2+3λ3)-f"(0)h+ (λ1+4λ2+9λ3)f"(0)h 2 +o(h 2 )．所以λ1，λ2，λ3应满足方程组以下同证法一．求下列函数的不连续点且判别类型：SSS_TEXT_QUSTI22.分值: 2[解] 的间断点为：使tanx=0的点x=kπ，(k=0，±1，±2，…)，以及使tanx无定义的点因为所以x=0及为第Ⅰ类间断点(可去间断点)．因为所以x=kπ，(k=±1，±2，…)为第Ⅱ类间断点．SSS_TEXT_QUSTI23.分值: 2[解]显然x=0为间断点，因为所以x=0为第一类间断点(跳跃间断点)．SSS_TEXT_QUSTI24.分值: 2[解]因为所以x=1为f(x)的连续点．因为所以x=-1为f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．研究下列复合函数的连续性：SSS_TEXT_QUSTI25.设研究f[g(x)]的连续性．分值: 2[解]令则用图示法求解f[g(x)](见下图)：先作出的图形，再在xOu平面上画出u=1的图形．由图可见，当x≤1时，u=x，当x＞1时，u=x+4，于是，因为所以x=1为f[g(x)]的第Ⅰ类间断点(跳跃间断点)．SSS_TEXT_QUSTI26.研究f[g(x)]的连续性．分值: 2[解]同样可用图示法得出可见x=1为其间断点(可去间断点)．27.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]x1 =10，可知x1＞x2．设xk ＞xk+1，则于是由数学归纳法可知对一切自然数n，有xn ＞xn+1，即{xn}单调减少．又由题设可知xn ＞0，n=1，2，…，即{xn}有下界．由单调减少有下界数列必有极限，可知存在．令在两边取n→∞时的极限，得解之得l=3，l=-2(舍去)．故SSS_TEXT_QUSTI28.分值: 1.5[解]SSS_TEXT_QUSTI29.分值: 1.5[解]令Sn可看做f(x)=cosx在上的积分和式于是计算下列极限：SSS_TEXT_QUSTI30.分值: 1.5[解] 故I=e -3．SSS_TEXT_QUSTI 31.分值: 1.5[解]SSS_TEXT_QUSTI 32.分值: 1.5[解] 故I=e a-b．SSS_TEXT_QUSTI 33.分值: 1.5[解]34.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]35.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]36.设函数f(x)在x=0的某邻域内有一阶连续导数，且f(0)≠0，f"(0)≠0，若试确定a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]由已知有而得即af(0)+bf(0)-f(0)=0，由于f(0)≠0，于是a+b-1=0．①又由洛必达法则得由于f"(0)≠0，于是a+2b=0，②所以，由①②得a=2，b=-1．37.设试确定a，b，c的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]因为c≠0，所以而当x→0时，所以b=0．又而所以a=-1，故a=-1，b=0，38.设f(x)是多项式，且求f(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]由可设f(x)=8x 8 +8x 2 +ax+b，又则则故f(x)=8x 8 +8x 2 +8x．求下列极限：SSS_TEXT_QUSTI39.分值: 2[解]SSS_TEXT_QUSTI40.分值: 2[解]41.设f(x)在(-∞，+∞)内可导，又试确定c的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]由于f(x)在(-∞，+∞)内可导，则根据拉格朗日中值定理知，使f(x)-f(x-1)=f"(ξ)当x→∞时，ξ→∞，所以即所以42.求函数-1≤x≤1．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3(1)显然有f(0)=0，(2)当0＜x＜1时，1+sin(πx)＞1，有所以，f(x)=x．(3)当-1＜x＜0时，0＜1+sin(πx)＜1，有所以f(x)=sin(πx)．所以，[解析] 当x取不同值时，极限的取值不同，所以，应对x的取值进行讨论．求下列极限：SSS_TEXT_QUSTI43.设求分值: 2[解]因为且所以所以所以SSS_TEXT_QUSTI44.设f(x)是三次多项式，且有分值: 2[解]因为所以f(2a)=f(4a)=0(否则极限为∞)．可知x-2a，x-4a均为f(x)的因式，又因为f(x)为三次多项式，因此令f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-B)，其中A，B为待定常数，于是解以上联立方程组得故45.已知f(x)在x=a处可导，且f(x)＞0，n为自然数．求SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]1。
考研数学一模拟题2018年(60)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一模拟题2018年(60)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 作积分变量代换u=x-t，而则原极限2.设f(x)在区间[0，1]上连续，且0≤f(x)≤1，又设，则级数______ SSS_SINGLE_SELA 发散．B 条件收敛．C 绝对收敛．D 敛散性与具体的f(x)有关．分值: 4答案:B[解析] 由于0≤f(x)≤1且f(x)连续，所以且所以发散，并且由莱布尼茨判别法知，交错级数收敛，所以条件收敛．3.设g(x)在(-∞，+∞)内存在二阶导数，且g"(x)＜0．令f(x)=g(x)+g(-x)，则当x≠0时______SSS_SINGLE_SELA f"(x)＞0．B f"(x)＜0．C f"(x)与x同号．D f"(x)与x反号．分值: 4答案:D[解析] 由f(x)=g(x)+g(-x)，有f"(x)=g"(x)-g"(-x)，f"(x)=g"(x)+g"(-x)＜0，f"(0)=0．再由拉格朗日中值定理有f"(x)=f"(0)+xf"(ξ)=xf"(ξ)，所以f"(x)与x反号，选D．4.设f(x)连续且f(x)≠0，，则F"(x)+F(x)=______SSS_SINGLE_SELA f(x)sinx．B f(x)cosx．C f(x)(sinx+cosx)．D f(x)．分值: 4答案:D[解析] 作积分变量变换x-t=u，再用三角公式，有所以F"(x)+F(x)=f(x)．5.设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是______ •**=0；A2x=0．•**=0；A3x=0．•**=0；A4x=0．**=0；A5x=0．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 法一显然，若A i x=0，两边左乘A，得A i+1 x=0，i=1，2，3，4．反之，若A i+1 x=0，是否有A i x=0呢?取则取ξ1=(0，0，0，1) T，有A 4 x=0，但A 3x≠0．C不成立．取ξ2=(0，0，1，0) T，有A 3 x=0，但A 2x≠0．B不成立．取ξ3=(0，1，0，0) T，有A 2 x=0，但Ax≠0．A不成立．由排除法，应选(D)．法二证明D成立．由法一易知，现证用反证法．设A 5 x=0，但A 4x≠0．因x，Ax，A 2 x，A 3 x，A 4 x，5个4维向量必线性相关，故存在不全为零的数k0，k1，k2，k3，k4，使得k0 x+k1Ax+k2A 2 x+k3A 3 x+k4A 4 x=0．(*)(*)式两边左乘A 4，得因A 4x≠0，则k0 =0．将k=0代入(*)式，得k1Ax+k2A 2 x+k3A 3x+k4A 4 x=0．(**)同理可证得k1 =0，k2=0，k3=0，k4=0．这和已知5个4维向量线性相关矛盾．故A 5 x=0 A 4 x=0．故D是同解方程组，应选D．6.设是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是______ SSS_SINGLE_SELA ad-bc＜0．B b，c同号．C b=c．D b，c异号．分值: 4答案:D[解析] 对C，当b=c时，A是实对称矩阵，故C是充分条件．由A的特征值，看什么条件下A相似于对角矩阵．对A，当ad-bc＜0时，由(*)式可知，(a+d) 2 -4(ad-bc)＞0．A有两个不同的特征值故A是充分条件．对B，当b，c同正或同负时，由(**)式可知，(a-d) 2 +4bc＞0．A有两个不同的特征值故B是充分条件．对D，当b，c异号时，由(**)式知，因bc＜0，当(a-d) 2 +4bc=0时，会有二重特征值．例：，异号，有λ1=λ2=0，但r(0E-A)=1，线性无关的特征向量只有一个，，故D不是充分条件，故应选D．7.设随机变量X与Y相互独立，且，若P{X＞Y}＜，则______ SSS_SINGLE_SELA μ1＜μ2．B μ1＞μ2．C σ1＜σ2．D σ1＞σ2．分值: 4答案:A[解析] 由于，故．于是可知，由于单调不减，则8.设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1，X2均服从N(0，1)，P{X3=-1}= ，则Y=X1 +X2X3的密度函数fY(y)为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 因为X1，X2相互独立，且均服从N(0，1)，则X1-X2，X1+X2均服从N(0，2)，故二、填空题1.设是f(x)的以2π为周期的傅里叶级数，则a100=______．SSS_FILL分值: 40 [解析]所以a100=0．2.微分方程满足初始条件y|x=2=1的特解是______．SSS_FILL分值: 4x=y 2 +y [解析] 将x看成未知函数，写成，即此为x对y的一阶线性微分方程，又因y|x=2=1＞0，由公式得将x=2，y=1代入，得C=1．故得解x=y 2 +y．3.设，则______．SSS_FILL分值: 4[解析] 取对数化为n项之和．所以4.函数f(x，y)=3+9x-6y+4x 2 -5y 2 +2xy+x 3 +2xy 2 -y 3在点(1，-1)展开至n=2的泰勒公式为f(x，y)=______+R2，其中余项R2=______．SSS_FILL 分值: 4[解析] x0 =1，y=-1，则所以f(x，y)在点(1，-1)处的2阶泰勒公式为2阶泰勒公式的余项5.设A，B是3阶矩阵，满足AB=A-B，其中，则|A+E|=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由题设，AB=A-B，(A+E)B=A+E-E，(A+E)(E-B)=E，则6.设随机事件A，B满足，则P(AB|A∪B)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由，可得P(A)=P(B)．又由可得A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)] 2 =[P(B)] 2．因此，得同理，故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设D为曲线y=x 3与直线y=x围成的两块区域，求二重积分SSS_TEXT_QUSTI分值: 10解区域D如图所示，第一象限部分记为D1，第三象限部分记为D2，于是令x=-t，则第2个积分与第1个积分可合并，第3个积分与第6个积分相抵消，第4个积分与第5个积分相抵消．于是2.将函数展开成(x-2)的幂级数，并求出此展开式成立的范围．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10解展开成(x-2)的幂级数，所以令x-2=u，即x=u+2来考虑较方便．于是变换为将φ"(u)展开成u的幂级数两边从u=0到u=u作定积分，得于是得到φ(u)的展开式当u=-1时右边级数收敛，有于是将(*)式两边令u→-1 +取极限，得而左边所以成立，即(*)式成立范围可大到-1≤u设微分方程xy"+2y=2(e x -1)．SSS_TEXT_QUSTI3.(x))，以及求上述微分方程的通解，并求存在的那个解(将该解记为y极限值；分值: 5解当x≠0时，原方程化为由一阶线性微分方程的通解公式，得通解其中C为任意常数．由上述表达式可知，并不是对于任何常数C，都存在，存在的必要条件是，即C=2．当C=2时，对应的y(x)记为SSS_TEXT_QUSTI4.补充定义使y0 (x)在x=0处连续，求y"(x)，并请证明无论x≠0还是x=0，y"0 (x)均连续，并请写出y"(x)的表达式．分值: 5解令而当x≠0时，所以y"0 (x)在x=0处连续．又显然，y"(x)在x≠0处也连续，故无论x≠0还是x=0，均连续．5.设x＞0,证明：，且仅在x=1处等号成立．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10证先证明当0＜x＜1时，．令，有F(1)=0．记，有，所以当0＜x＜1时，φ"(x)＜0．从而知，当0＜x＜1时，φ(x)＜0，即有F"(x)＜0．因F"(1)=0，所以当0＜x＜1时，F"(x)＞0．又因F(1)=0，所以当0＜x＜1时，F(x)＜0，从而知当0＜x＜1时，上式中令，故知当1＜u＜+∞时，又当x=1时，，所以当0＜x＜+∞时，有，当且仅当x=1时等号才成立．6.设点M(ξ，η，ζ)是椭球面上第一卦限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ，η，ζ)使曲面积分为最小，并求此最小值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10解曲面上点M(ξ，η，ζ)处的法向量为，切平面方程是化简即得该切平面被三坐标面截得的三角形在xOy平面上的投影区域为从而所以求I的最小值等价于求ω=ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ζ＜c的最大值，约束条件是由拉格朗日乘数法得显然，当ξ=a或ξ=0时，ω最小，故当时，ω最大，I的最小值为7.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，已知Em+AB可逆．(Ⅰ)验证En +BA可逆，且(En+BA) -1 =En-B(Em+AB) -1 A；(Ⅱ)设，其中a1 b1+a2b2+a3b3=0．证明：W可逆，并求W -1．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11证在不存在歧义的情况下，简化记号，省略E的下标m，n．(Ⅰ)因(E+BA)[E-B(E+AB) -1 A]=E+BA-B(E+AB) -1 A-BAB(E+AB) -1 A=E+BA-B(E+AB)(E+AB) -1 A=E+BA-BA=E，故E+BA可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A．(Ⅱ)由(Ⅰ)知E+AB可逆，则E+BA可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A，反之若E+BA可逆，则E+AB可逆，且(E+AB) -1 =E-A(E+AB) -1 B．因为E+BA=E+(b1，b2，b3)(a1，a2，a3) T =E+a1b1+a2b2+a3b3]=E+0=E，故E+BA可逆，(E+BA) -1 =E．故W=E+AB可逆，且W -1 =E-A(E+BA) -1 B=E-(a1，a2，a3) T·E·(b1，b2，b3)SSS_TEXT_QUSTI8.设，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵；分值: 5.5解将f(x1，x2，x3)用配方法化为标准形，得令即得f的标准形为所作的可逆线性变换为X=Cy，其中A对应的二次型的规范形为，正惯性指数P=3=r(A)，故知A是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A是正定矩阵)．SSS_TEXT_QUSTI9.设，求可逆矩阵D，使A=D T D．分值: 5.5解由上一小题知，是f(x1，x2，x3)的对应矩阵，即f(x1，x2，x3)=x T Ax．令x=Cy，其中，得f=x T Ax=y T C T ACy=y T Ey，故C T AC=E，A=(C -1 ) T C -1 =D T D，其中D=C -1．由故设X和Y的联合密度函数为SSS_TEXT_QUSTI10.求Z=Y-X的密度函数；分值: 5.5解法一分布函数法．当z＜0时，f(x，y)的非零区域与{(x，y)|y-x≤z}的交集为图(a)中的阴影部分，当z≥0时，f(x，y)的非零区域与{(x，y)|y-x≤z}的交集为图(b)中的阴影部分，故法二密度函数法．，如图(c)所示，当z当z≥0时，故SSS_TEXT_QUSTI11.求数学期望E(X+Y)．分值: 5.5解设总体X的概率分布为X 0 1 2 3P θ 2 2θ(1-θ) θ 2 1-2θSSS_TEXT_QUSTI12.试利用总体X的简单随机样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值；分值: 5.5解令则θ的矩估计量为样本均值所以θ的矩估计值SSS_TEXT_QUSTI13.设X1，X2，…，Xn是来自X(其未知参数为上一小题中确定的)的简单随机样本，当n充分大时，取值为2的样本个数N满足，求a，b．分值: 5.5解由题设知，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得，所以1。
考研数学一模拟题2018年(65)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一模拟题2018年(65)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．)1.设函数f(x)处处可导，且有f"(0)=1，对任何实数x和h恒有f(x+h)=f(x)+f(h)+2hx，则f"(x)等于______•**+1•**+1•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] 取x=0，则有f(h)=f(0)+f(h)，得f(0)=0，故选A．2.设其中g(x)在x=0的一个邻域内二阶导数存在，且g(0)=0，g"(0)=0，则______SSS_SINGLE_SELA f(x)在x=0处不连续B f(x)在x=0处连续但不可导C f(x)在x=0处可导，但其导函数不一定连续D f(x)在x=0处导函数连续分值: 4答案:C[解析]这个极限不一定存在，就是存在也不一定等于g"(0)，故选C．3.已知x=0是函数的可去间断点，则常数a，b的取值范围是______SSS_SINGLE_SELA a=1，b为任意实数B a≠1，b为任意实数C b=-1，a为任意实数D b≠-1，a为任意实数分值: 4答案:D[解析] 若存在且则称x是f(x)的可去间断点．因为x=0是f(x)的可去间断点，所以为保证存在，只须1+b≠0，即b≠-1，故选择D．4.设级数其中α，β，γ均为大于1且与n无关的常数，则______SSS_SINGLE_SELA 当α＞β时，级数收敛B 当α＜β时，级数收敛C 当α＞γ时，级数收敛D 当α＜γ时，级数收敛分值: 4答案:B[解析] 当α＜β时，所以级数与收敛性相同，而是以为公比的几何级数，且当时是收敛的，此时原级数也收敛，选B．5.设内量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs，其秩为r1，向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs，其秩为r2，且βi(i=1，2，…，s)均可由(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性表出，则______SSS_SINGLE_SELA 向量组α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩为r1+r2B 向量组α1-β1，α2-β2，…，αs-βs的秩为r1-r2C 向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1+r2D 向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1分值: 4答案:D[解析] 因向量组A项α1+β1，α2+β2，…，αs+βs中任一向量及向量组B项α1 -β1，α2-β2，…，αs-βs中任一向量均可由α1，α2，…，αs线性表出，故秩均应≤r1．同样向量组C项及D项中，因βi (i=1，2，…，s)均可由α1，α2，…，αs线性表出，故应有r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αs )=r1，故应选D．6.设A为4×5矩阵，且A的行向量线性无关，则______A．A的列向量组线性无关B．方程组Ax=b有无穷多解C．方程组Ax=b的增广矩阵的任意四个列向量构成的向量组线性无关D．A的任意四个列向量构成的向量组线性无关SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 因为方程组Ax=b有解，故应选B．7.设随机变量X的分布函数为又知，则A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] 由于分布函数F(x)是右连续函数，因此有F(-1+0)=F(-1)．即由于F(1)=P{X≤1}=P{X＜1}+P{X=1}，且P{X＜1}=F(1-0)=a+b．因此可得方程解由①，②组成的关于a，b的二元一次方程组，可得a=5/16，b=7/16.因此应选A．8.假设随机变量X1，X2，…，X5，独立同分布且其方差存在，记W=X1+X2+X3，Z=X3+X4+X5，则W和Z的相关系数ρWZ为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析] 设D(Xi)=σ 2，i=1，2，…，5，则Cov(W，Z)=Cov(X1 +X2+X3，X3+X4+X5)=Cov(X3，X3)=σ 2，于是二、填空题(每小题4分，共24分．)1.微分方程yy"+y" 2 =0满足初始条件的特解是______．SSS_FILL分值: 4[解析] 这是特殊的二阶方程．令y"=u，并取y为新的自变量，则原方程化为由初值条件知，故有分离变量得积分得ln(uy)=lnC1，uy=C1，由于y=1时，，故于是分离变量再积分得y 2 =x+C2，由于x=0时，y=1，故C2=1，于是所求特解为2.=______．SSS_FILL分值: 41[解析]3.设二元函数z=xe x+y +(x+1)ln(1+y)，则dz|(1，0)=______．SSS_FILL分值: 42edx+(e+2)dy [解析] 求二元函数偏导数时，可将一变量暂时看作定值．对x求偏导数(此时y为定值)得对y求偏导数(此时x为定值)得于是z的全微分为所以dz|(1，0)=2edx+(e+2)dy．4.设函数f(x)具有连续的二阶导数，点(x0，f(x))是曲线y=f(x)上的拐点，则=______．SSS_FILL分值: 40 [解析] 由题设f"(x)=0，根据洛必达法则，有5.设A为三阶方阵，|A|=4，则|(A * ) * -2A|=______．SSS_FILL分值: 432 [解析] |(A * ) * -2A|=||A| 3-2 A-2A|=|2A|=2 3 |A|=32.6.设平面区域D由曲线及直线y=0，x=1，x=e 2所围成，二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，则(X，Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为______．SSS_FILL分值: 4[解析] 区域D的面积故(X，Y)的联合密度为：(X，Y)关于X的边缘概率密度为：于是三、解答题(共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)1.若u=u(x，y)具有连续的二阶偏导数，证明u(x，y)=f(x)φ(y)的充要条件是：SSS_TEXT_QUSTI分值: 10必要性．设u(x，y)=f(x)φ(y)，则故得充分性．由已知及令代入上式得将此等式变形得即从而得亦即对y积分，得所以其中2.设f(x)可微，f(0)=0，f"(0)=1，试求SSS_TEXT_QUSTI分值: 10对定积分作变量代换：令x 2 -t 2 =u，则且F"(x)=xf(x 2 )，于是由洛必达法则得3.设f(x)在[-2，2]上二阶可导．(1)若|f(x)|≤1(x∈[-2，2])，又证明：使得f"(x)+3f 2 (x)=0.(2)若f"(x)＞0(x∈(-2，2))，又使得f"(a)≥0，证明：使得f"(x0 )+3f 2 (x)=0.SSS_TEXT_QUSTI分值: 10要证使得令要证F"(x)在(-2，2)内有零点，常用以下方法．(1)证明使得F(α)=F(β)；(2)证明使得F"(α)F"(β)＜0；(3)证明在[α，β]的最大(小)值在(α，β)内取到．[证明] (1)令，要证我们用前面分析中指出的方法(3)来证明．由中值定理，使得同理，使得又在[α，β]上的最大值必在(α，β)中某点x取到，于是F"(x0 )=0，即f"(x)(f"(x)+3f 2 (x))=0.知f"(x)≠0，否则与|f(x)|≤1矛盾．因此f"(x0 )+3f 2 (x)=0.(2)令要证使得F"(x)=0.我们用分析中提到的方法(2)证明．按假设条件：F"(α)=f"(α)[f"(α)+3f 2(α)]≥0.若等号成立，则命题得证．若F"(a)＞0，则必使F"(β)＜0，否则对与F(-2)＞F(2)矛盾．因F"(α)，F"(β)异号，在α，β之间使得F"(x0 )=f"(x)(f"(x0 )+3f 2 (x))=0，即f"(x0 )+3f 2 (x)=0.4.设且p＞0，判别级数的收敛性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10由于所以，所以从而可知该级数收敛．5.求其中S为在第一卦限是0≤z≤1的部分的上侧．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10添加曲面S1：y=0，(x，z)∈Dzx，cosβ=-1，S2：x=0，(y，z)∈Dyz，cosα=-1，S3：z=1，(x，y)∈Dxy，cosγ=1，则6.设α1 =(1，2，0) T，α2=(1，a+2，-3a) T，α3=(-1，-b-2，a+2b)T，β=(1，3，-3) T，试讨论当a，b为何值时：(1)β不能由α1，α2，α3线性表示；(2)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表示式；(3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11设存在数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=β．①记A=(α1，α2，α3)．对矩阵(A，β)施以初等行变换，有(1)当a=0时，有可知r(A)≠r(A，β)．故方程组①无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0，且a≠b时，有r(A)=r(A，β)=3，方程组①有唯一解：此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，其表示式为(3)当a=b≠0时，对矩阵(A，β)施以初等行变换，有r(A)=r(A，β)=2，方程组①有无穷多解，其全部解为其中c为任意常数．β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为设SSS_TEXT_QUSTI7.用正交变换化二次型为标准形，并写出所作的正交变换及标准形；分值: 5.5得λ1=λ2=1，λ3=4，λ1=1时，得ξ1 =[1，1，1]，ξ2=[1，-1，0]．(取ξ2时，考虑到既满足方程，是λ=1对应的特征向量，又和ξ1正交)得ξ3 =[1，1，-2]，将ξ1，ξ2，ξ3单位化，并合并成正交阵，得令x=Ty，则SSS_TEXT_QUSTI8.是否存在可逆阵W，使得WW T =A．其中A是二次型的对应矩阵，若存在，求W，若不存在，说明理由．分值: 5.5因故A=WW T，其中9.设X与Y的概率密度分别为且X与Y相互独立，求的概率密度．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11用分布函数法先求分布函数FZ (z)，再用导数求fZ(z)．其中故当z≤0时，fZ(z)=0.10.设且相互独立．U=a1 X+a2Y，V=a1X-a2Y．(1)分别写出U，V的概率密度函数；(2)求U，V的相关系数；(3)讨论U，V的独立性；(4)当U，V相互独立时，写出(U，V)的联合密度函数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11(1)E(U)=a1 E(X)+a2E(Y)=0，E(V)=0由于U，V都是X，Y的线性组合，都服从正态分布，所以(2)(3)①当时，ρUV≠0，U，V相关，U，V不独立．②当时，ρUV=0，U，V不相关，因为U，V都服从正态分布，独立与不相关等价，所以U，V相互独立．(4)1。
2018年考研数学模拟试题(数学一)
本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列结论中正确的是（ ）（A ）若)(x f 在a x =点处连续，则)(x f 在a x =点处也必连续； （B ）若)(2x f 在a x =点处连续，则)(x f 在a x =点处也必连续； （C ）若)(1x f 在a x =点处连续，则)(x f 在a x =点处也必连续； （D ）若)(x f 在a x =点处连续，则)(1x f 在a x =点处也必连续． （2）设a 为常数，则级数21sin()[n na n n∞=∑（ ） （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与a 的取值有关 （3）设曲线积分[()]sin ()cos xLf x e ydx f x ydy --⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且(0)0,f =则()f x 等于（ ）（A ）1()2x x e e -- （B ）1()2x x e e -- （C ）1()12x x e e -+- （D ）11()2x x e e --+ （4）设()f x 为微分方程'()y xy g x -=满足(0)1y =的解，而20()sin()xg x x t dt =-⎰，则（A ）在点0x =处()f x 取极大值 （B ）在点0x =处()f x 取极小值 （C ）点(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点 （D ）0x =不是()f x 极值点，也不是拐点（5）假设A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（ ） (A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关.版权所有 翻印必究(C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组.(D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. （6）二次型T f x Ax =正定的充要条件是（ ）(A)||0A > (B)A 的负惯性指数为0(C)存在n 阶矩阵,TC A C C =使 (D)A 合同于E（7）设A B 、为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ） (A)()()P A B P A += (B)()()P AB P A =(C)(|)()P B A P B = (D)()()()P B A P B P A -=-（8）设随机变量X 和Y 相互独立且均服从正态分布()2,N μσ，若概率{}12P aX bY μ-<=，则（ ）（A ）11,22a b == （B ）11,22a b ==-（C ）11,22a b =-= （D ）11,22a b =-=-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）具有特解123,2,3x x xy e y xe y e --===的三阶常系数齐次线性微分方程是_______。
考研数学一模拟题2018年(49)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一模拟题2018年(49)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列各题给出的四个选项中。
只有一个选项符合试题要求．1.设函数f(x)为连续函数，并设x→0时F(x)～Ax k，则(A，k)为______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析]∴又取k=3，，选C．本题亦可用特例法．取f(x)=2x，∴ k=3．2.若两直线：x+1-y=1=z相交，则k等于______SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．分值: 4答案:B[解析] 两条直线相交，则两条直线共面．s2 ={1，1，1}，M1=(1，-1，1)，M2=(-1，1，0)，故三个向量s1，s2，共面，于是得k=2．选B．3.设又设f(x)展开的正弦级数为则S(7)=______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 由狄利克雷收敛定理，s(x)是周期为4的奇函数，选B．4.设Ω={(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2≤1，z≥0}，Ω1={(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2≤1，x≥0，y≥0，z≥0}．下列诸式其中正确的是SSS_SINGLE_SELA ①和②．B ②和③．C ③和④．D ④和①．分值: 4答案:B[解析] 由于Ω关于x=0(yOz平面)对称，三重积分对x的函数，偶倍奇零．故故①错．由于Ω关于x=0对称，又关于y=0对称，∴再由轮换对称性，故②正确，③正确，选B．至于④，区域Ω1没有对称性，再由轮换对称性，只能得出得不出事实上，经计算排除④．5.设其中a，b，c，d为互异的实数，则下述结论必成立的是______•**=0只有零解．•**=0有非零解．•**=0有非零解．**=0有非零解．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析] ∵A中的3阶子式为范德蒙行列式≠0，R(A)=3，还要注意到R(A)=R(A T )=R(AA T )=R(A T A)=3，即可得出本题结论．Ax=0的解空间中含有一个线性无关的解向量，排除A．A T x=0仅有零解，排除B．AA T x=0仅有零解．排除D．A T Ax=0的解空间中有一个线性无关的解向量，选C．6.实二次型正定的充分必要条件为______A．a＜1．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 二次型的矩阵得A的特征值：λ1=λ2=…=λn-1=1-α，λn=1+(n-1)a．由二次型正定的充要条件，λ1=λ2=…=λn-1=1-a＞0，λn=1+(n-1)a＞0，从而选D．7.已知，则下列正确的是______A．B．C．D．P(A∪B)=1．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析]于是A与独立，从而A与B独立，与B独立，与独立．排除A；排除B；选C；排除D．8.设X1，X2，X3，X4是来自总体N(0，1)的简单随机样本．已知服从χ 2 (n)分布，则n+a=______SSS_SINGLE_SELA 2．B 3．C 4．D 5．分值: 4答案:B[解析]∴n+a=3，选B．二、填空题1.设x≠0，微分方程xy"-2y"=1的通解是______．SSS_FILL分值: 4[解析] 方法1 xy"-2y"=1(缺y)，为可降阶的微分方程．令y"=p，原方程化为(一阶线性微分方程)方法2 方程xy"-2y"=1，即为x 2 y"-2xy"=x(欧拉方程)．解得，即2.函数u=xy 2 z 3在点(1，2，-1)处沿曲面x 2 +y 2 =5的外法线方向的方向导数为______．SSS_FILL分值: 4[解析] 已知F=x 2 +y 2 -5，则=2{1，2，0}，n=2{x，y，0}，n|(1，2，-1)故曲面在点(1，2，-1)的外法线方向的方向余弦为又3.设且区域D为-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，则SSS_FILL分值: 4[解析]故在区域D1={(x，y)|-y≤x≤1-y，0≤y≤1}上f(y)=y，f(x+y)=x+y，在D1的外部f(y)=0，f(x+y)=0．于是如下图4.设曲面∑为球面x 2 +y 2 +z 2 =1在第一卦限部分的下侧，SSS_FILL分值: 4[解析]5.设n(n＞1)阶行列式D=|aij |n=2，且D中各列元素之和均为2，记aij的代数余子式为Aij，则SSS_FILL分值: 4 n． [解析] 由题设得∴A11 +A12+…+A1n=1．请注意，上述的A11，A12，…，A1n就是行列式D中的A11，A12，…，A1n．重复上述做法，把D中各行加至第2行，然后按第2行展开，即有∴A21 +A22+…+A2n=1．类似地，可推出Ak1 +Ak2+…+Akn=1，(k=3，4，…，n)，故6.设两个相互独立的随机变量X和Y均服从正态分布则E(|X-Y|)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] X和Y相互独立，且均服从正态分布，则Z=X-Y～N(0，1)．三、解答题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设f(x)连续，且当x＞-1时有求f(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] 令则φ(0)=1，φ"(x)=f(x)，于是两边积分得，由φ(0)=1，得C=0，两边求导，得2.设f(x)在[a，b]上连续，证明存在ξ∈[a，b]，使得若f(x)＞0，则上述ξ是唯一的．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[证]欲证即证若即有F(a)=F(b)=0，取ξ=a或ξ=b均可．若则F(a)F(b)＜0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0．总之，存在ξ∈[a，b]，使得若f(x)＞0，则F"(x)=f(x)+f(x)＞0，F(x)↑，故F(x)的零点至多有一个，于是上述ξ唯一．3.设f(x)在[1，+∞)上二阶可导，f(1)=0，f"(1)=1，函数z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足，求f(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] z=uf(u)，由z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )中x与y的对称性，得①+②，得③为欧拉方程．令u=e t，则代入③，得(此为二阶常系数齐次线性微分方程)解得，由于f(1)=0，f"(1)=1，得C1 =0，C2=1，于是设f(x)连续可导，f(1)=1，G为不包含原点的单连通区域，任取M，N∈G，在G内曲线积分与路径无关．SSS_TEXT_QUSTI4.求f(x)；分值: 5[解] 记因为在G内曲线积分与路径无关，所以(x，y)∈G，总有即由此推得yf"(y)=2f(y)，解此可分离变量的微分方程，得f(y)=Cy 2，又f(1)=1，所以f(y)=y 2，于是f(x)=x 2．SSS_TEXT_QUSTI5.求取正向．分值: 5由于曲线Γ与被积表达式中的P，Q不配套，曲线积分很难计算，于是想到另找与P，Q配套的曲线．如下图，取小椭圆Γε=2x 2 +y 2=ε 2，取正向，ε为充分小的正数，使得Γε在Γ的内部．设Γ与Γε所保围的区域为D．在D上，P和Q的一阶偏导数连续，且6.求幂级数的收敛域与和函数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] 先求收敛域．再求和函数．已知三维列向量α1，α2线性无关，β1，β2线性无关．SSS_TEXT_QUSTI 7.证明存在非零向量ξ既可由α1，α2线性表示，也可以由β1，β2线性表示；分值: 5.5[解] (Ⅰ)因4个3维向量必线相关，故存在一组不全为零的数k1，k2，k3，k4，使得k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0，其中k1，k2不全为零，反证即可．事实上，若k1=k2=0，则有k3β1+k4β2=0，而β1，β2线性无关，从而k3=k4=0，与题设k1，k2，k3，k4不全为零矛盾，于是k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=ξ．由于k1，k2不全为零，同理k3，k4不全为零，又α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，于是k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=ξ≠0．SSS_TEXT_QUSTI8.设α1 =(-1，2，3) T，α2=(1，-2，-4) T，β1=(-2，a，7) T，β2=(-1，2，5) T，求(Ⅰ)中的ξ．分值: 5.5解齐次线性方程组k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0，即①的通解为c为任意非零常数．①的通解为 c1，c2为不同时为零的任意常数．已知二次型，若矩阵A的特征值有重根．SSS_TEXT_QUSTI9.求a的值；分值: 3.XX667[解] 二次型矩阵由∴A的特征值为：1-a，a-1，a+2．由于A的特征值有重根，所以，或a=1，由于a＞0，所以a=1．SSS_TEXT_QUSTI10.用正交变换x=Py化二次型为标准形，并写出所用的正交变换；分值: 3.XX667A的特征值为0，0，3．当λ=0时，由(A-0·E)x=0，得特征向量为当λ=3时，由(A-3E)x=0，得特征向量为把α1，α2正交化．取β1=α1，把单位化，得取令x=Py，SSS_TEXT_QUSTI 11.f(x1，x2，x3)=x T Ax=1表示什么曲面．分值: 3.XX667当f(x1，x2，x3)=x T Ax=1，即表示两个平行的平面．设X与Y的联合概率密度函数为SSS_TEXT_QUSTI12.试求Z=X-Y的密度函数；分值: 5.5方法1 分布函数法．①z≤0，F(z)=0，(如图2)②z≥1，F(z)=1，(如图3)③0＜z＜1，(如图4)方法2 密度函数法．上式中，0＜x＜1，0＜y=x-z＜x，即有区域：0＜x＜1，0＜z＜x，在此区域内：f(x，x-z)=3x．图1图2图3图4图5图6图7SSS_TEXT_QUSTI13.求Z的数学期望E(Z)．分值: 5.5设总体X的密度函数为其中θ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn是X的简单随机样本．SSS_TEXT_QUSTI 14.求θ的最大似然估计量；分值: 5.5[解] (Ⅰ)由似然函数SSS_TEXT_QUSTI 15.证明是θ的无偏估计量．分值: 5.5∴ 是θ的无偏估计．1。
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2018年可锐考研数学一模拟卷（二）
有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1) 极限2lim ()()x
x x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦
( ) (A) 1. (B) e . (C) a b
e
-. (D) b a
e
-.
（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） （A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=
(3) 设,m n 是正整数,则反常积分
⎰
的收敛性 ( )
(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关.
(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关.
（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平
面曲线，记33
()(2)(1,2,3,4)63i
i l y x I y dx x dy i =++-=⎰ ，则()i MAX I =( ) （A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I
(5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )
(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =.
（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎝
⎭相似的充分必要条件为
（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a
（D ）为任意常数b a ,2=
(7) 设随机变量X 的分布函数0,0
1(),
0121,
1
x x F x x e x -<⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)
12
. (C) 112e --. (D) 1
1e --.
（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则
2{}P Y c >=（ ）
（A ）α
（B ）1α- （C ）2α （D ）12α-
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e --=确定，则1
lim (()1)n n f n
→∞
-=．
(10)
2
π=⎰
.
(11)设sin sin cos x t y t t t =⎧⎨=+⎩
（t 为参数），则22
4
t d y dx π
=
=．
(12) 设(){}
2
2,,1x y z x
y z Ω=
+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .
（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____
A +===则 (14) 设随机变量X 的概率分布为{}!
C P X k k ==
,0,1,2,k = ,则()2
E X =
.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． （16）（本题满分10分）
设数列{}n a 满足条件：0123,1,(1)0(2),n n a a a n n a n -==--=≥()S x 是幂级数0n
n n a x ∞
=∑的和函数， （I ） 证明：()()0S x S x ''-=, （II ）
求()S x 的表达式.
（17）（本题满分10分）
(I)比较
()1
ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰
与1
0ln n
t t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；
(II)记()1
ln ln 1n
n u t t dt =
+⎡⎤⎣⎦⎰
()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞
. （18）（本题满分10分）
设奇函数()f x 在[-1,1]上具有2阶导数，且(1)1,f =证明： （I ） 存在(0,1),'()1f ξξ∈=使得
（II ）
存在()1,1η∈-，使得''()'()1f f ηη+=
（19）（本题满分10分）
设P 为椭球面2
2
2
:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂
直,求点P 的轨迹C ,
并计算曲面积分
2x y z
I ∑
-=,其中∑是椭球面S 位
于曲线C 上方的部分.
（20）（本题满分11分） 设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有
矩阵C 。
（21）（本题满分11分）
已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为22
12
y y +,且Q 的第
三列为(
22
T . (I) 求矩阵A ；
(II) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. （22）（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为2
103()4
x
x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他
，令随机变量211212x Y x x x ≤⎧⎪
=<<⎨⎪≥⎩
,
（I ）求Y 的分布函数 （II ）求概率{}P X Y ≤ （23）（本题满分11分）
设总体X 的概率分布为
其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使3
1
i
i
i T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.。