实验2.4 音叉的受迫振动

实验2.4 音叉的受迫振动
【实验目的】
1、研究振动系统在周期外力作用下振幅与强迫圆频率之间的关系。

2、测绘振动系统的共振曲线。

3、应用李萨如图形测量音叉振动频率。

【实验器材】
电磁击振系统、示波器、低频信号发生器、毫伏表。

【实验原理】
实际的振动都是阻尼振动，一切阻尼振动最后都要停止下来．要使振动能持续下去，必需对振子施加持续的周期性外力，使其因阻尼而损失的能量得到不断的补充．振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，而周期性的外力又称驱动力．实际发生的许多振动都属于受迫振动．例如声波的周期性压力使耳膜产生的受迫振动，电磁波的周期性电磁场力使天线上电荷产生的受迫振动等。

为简单起见，假设驱动力有如下的形式：
0cos F F pt =
式中0F 为驱动力的幅值，p 为驱动力的角频率。

振子处在驱动力、阻力和线性回复力三者的作用下，其动力学方程成为
202cos d x dx
m kx F pt dt dt
γ
=--+ （5） 仍令2
0,2k m m
γ
ωβ=
=，得到： 22
0022cos F d x dx x pt dt dt m
βω++= （6） 微分方程理论证明，在阻尼较小时，上述方程的解是：
22
000cos()cos()t x A e t A pt βωβϕϕ-=-+++ （7）
式中第一项为暂态项，在经过一定时间之后这一项将消失，第二项是稳定项．在振子振动一段时间达到稳定后，其振动式即成为：
c o s ()x A p t ϕ=+
（8）
应该指出，上式虽然与自由简谐振动式（即在无驱动力和阻力下的振动）相同，但实质已有所不同．首先其中p 并非是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率，其次A 和ϕ不决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。

事实上，只要将式（8）代人方程（6) ，就可计算出
()
2
2222
220
4()F F A k m
p
p p pm p
ω
βγ=
=-++-
（9）
tg k pm p
γ
φ=
-
（10）
其中：2
0,2k
m m
ωγβ=
=⋅ 对式（9）求导并令其一阶导为零，即可求得A 的极大值及对应的ω值为：
22
2r F A m βωβ
=
- （14）
2
202r ωωβ=- （15） 当强迫力的圆频率p 趋近于振动系统的固有圆频率0ω时，受迫振动的振幅急剧增大，并有一极大值，这种现象称为共振。

共振时圆频率为r ω、相位差为r ϕ，当阻尼系数β很小时，可得0r ωω≈，2
r πϕ=
. 【实验内容】
1、仪器连接。

用屏蔽导线将低频信号发生器的输出端与激振线圈的电压输入端、示波器“X 轴输入”端连接，用屏蔽导线将压电换能片的信号输出端与示波器的“Y 轴输入”端、毫伏表的电压输入端连接。

使用屏蔽导线时，芯线接正，屏蔽层接地。

2、示波器、低频信号发生器的使用参考仪器说明书。

3、逆时针旋转升降台的手轮，降低阻尼油杯，使阻尼片退出油面并擦净片上的余油。

4、接通仪器电源，使仪器预热15min 左右，并置好各仪器的旋钮。

为了保护毫伏表，该量程开关先置于“3V ”挡。

实验中根据实际需要及时改变量程，既确保毫伏计指针不超过量程，又不使指针指示太小而引起读数较大误差。

5、测定共振频率r ω和r A 。

将低频信号发生器的频率由低到高缓慢地调节（参考值为250HZ ）
左右，同时仔细观察毫伏表的指针，当毫伏表指示最大时，示波器上显示出稳定的 “∞” 图像.为了便于读取准确的频率读数，应仔细调节“频率微调”，使示波器上显示 “∞”图像,且毫伏表指示达到最大。

r A 就是共振频率对应的毫伏表最大的指示数，待稳定后记下r ω和
r A .
6、测共振频率r ω两边的数据，调节低频信号发生器的 “频率微调” ,由0 1.5%± ,每隔一小格(0.25%)记录相应的振幅A .
7、顺时针旋转升降台的手轮，升高阻尼油杯，使油面升到阻尼片上的第一条横线，此时的阻尼系数用1β表示，重复上述步骤。

8、 顺时针旋转升降台的手轮，升高阻尼油杯，使油面升到阻尼片上的第二条横线，此时的阻尼系数用2β表示，重复上述步骤。

9、根据测得的三组数据，绘出三条共振曲线。

【实验数据和表格】
3013.54Hz_0.240V _r r A ωβ==
/Hz 4p
π
236.21 236.51 236.81 237.11 237.41 237.71 238.01
/V r A
0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.012 /Hz 4p
π
238.31 238.61 238.91 239.21 239.51 239.61 239.71 /V r A
0.015
0.020 0.028 0.043 0.080 0.112 0.174 /Hz 4p
π
239.91 240.01 240.11 240.41 240.71 241.01 241.31 /V r A
0.183
0.121
0.087
0.044
0.029
0.020
0.014
/Hz 4p
π
241.61 241.91 242.21 242.51 242.81 243.11 243.41 /V r A
0.011
0.009
0.007
0.006
0.005
0.004
0.004
作图如下。

、。

13008.14Hz _0.109V _r r A ωβ==
/Hz 4p
π
235.88 236.18 236.48 236.78 237.08 237.38 /V r A
0.004
0.005 0.006 0.007 0.008 0.010 /Hz 4p
π
237.68 237.98 238.28 238.58 238.78 239.08 /V r A
0.012
0.016 0.022 0.031 0.040 0.068 /Hz 4p
π
239.68 239.98 240.28 240.58 240.88 241.18 /V r A
0.071
0.042 0.028 0.020 0.015 0.011 /Hz 4p
π
241.48 241.78
242.08
242.38
242.68
242.98
/V r A
0.009 0.008 0.006 0.005 0.004 0.003
2300.97_0.043_r r A ωβ==
/Hz 4p
π
235.21 235.81 236.41 237.01 237.61 238.21 /V r A
0.002
0.003 0.003 0.005 0.009 0.023 /Hz 4p
π
239.41 240.01 240.61 241.21 241.81 242.41 /V r A
0.013
0.005
0.003
0.002
0.001
0.001
【误差分析】
1、音叉并不严格按照方程
cos()
x A ptϕ
=+振动，由于受阻尼的影响受迫振动
振幅随时间逐渐减小，对测定振幅与强迫力的关系造成影响.
2、实验室环境会对音叉的振动产生影响.。