数学必修4精品课件-向量加法运算及其几何意义

以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则 以公共起点为起点的对角线所对应向量为和向量.
OA OB OC
起点相同，两边平行 同一起点，对角为和
特例(向量共线)：
a
a b
b
A B C
C
A
B
AC a b
方向相同
AC a b
方向相反
注: a 0 0 a a
注意：
D
a a a a a a a a a a
b
C
a
a+b
b
b
b
b
A
B
b
(2)研究向量是否满足结合律:
(a b) c a (b c)
D
由此可推广到多个向量 加法运算可按照任意的 次序与任意的组合进行
abc
A
例子
c
C
bc
ab
(a b) (c d) (b d) (a c) a b c d [d (a c)]b





首尾相连，首是首，尾是尾
一般的 A 0 A 1 A 1 A 2 A n 2 A n1 A n1 A n A 0 A n
A 1 A 2 A 2 A 3 A n1 A n A n A 1 0
练习3、根据图形填空
C
D
c d O a
向量加法运算 及其几何意义
一、复习提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？ 既有大小又有方向的量叫向 量，一般用有向线段表示。 2、有向线段的三个要素是什么？ 三要素是：起点、方向和长度。 3、什么叫相等向量？ 长度相等且方向相同的向量叫 相等向量。
节引言：有了数只能进行计数，只有引入了 运算，数的威力才得以充分展现.类比数的运 算，向量也能够进行运算.运算引入后，向量 的工具作用才能得到充分发挥.实际上，引入 一个新的量后，考察它的运算及运算律，是 数学研究中的基本问题.平面向量的线性运算 包括向量加法、向量减法、向量数乘运算， 以及它们之间的混合运算.平面向量的线性运 算中，加法运算是最基本、最重要的运算， 其它几种运算都可以归结为加法运算.今天我 们就先来学学向量的加法运算.
当 a 与 b反向时，若 | a || b |，则 a b 的方向与
a 相同，且 | a b | ＝| a | | b | ; 若 | a || b | ， 则 a b 的方向与 b 相同，且 | a b | ＝| b | | a |
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于O， AO=OC，DO=OB。 求证 四边形ABCD是平行四边形 证 如图，由向量加法法则， D C 有 AB AO OB O DC DO OC 又 已 知 OC ， OB AO DO B A AB DC 即AB与DC平 行 且 相 等
a a a a a a a a a a b b
A
b b b
B
b
b
b
b O
a+b
1在平面内任取一点 O
(3)作法
2作O A a, AB b 3则向量 a b OB
这种作法叫做三角形法则
3、向量加法的平行四边形法则:
a
作法： 在平面内任取一点 1 O
A
b
O
B
C
2作OA a, OB b 3以OA, OB为边做平行四边形 4则OC OA OB a b
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
向量加法
1 向量加法法则：
a
ab a
b
b
ab a
b
三角形法则
平行四边形法则
ab b a
2 运算性质:
(a b) c a (b c) a0 0a a
D C
∵ tan CAB 3 CAB 60
答：船实际航行的速度为大小为4km／h，A 方向与流速间的夹角为600
B
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D C
5
A
2
B
向量加 法
例三 : 试用向量方法证明：
A
(1) a + d
= DA
b
B
(2) c + b =
CB
练习4根据图示填空
E
e
f
D
(1)a b
d
c
f
g
A
( 2)c d
C
c
a
B
( 3)a b d f (4)c d e g
b
例二：如图，一艘船从 点出发以2 3 km 的速度向垂直于对岸 A h 的方向行驶，同时河水 的流速为2 km ，求船实际航行速度的 h 大小和方向。（用与流 速间的夹角表示）
a， b不共线或共线反向 a， b共线且同向 a， b反向且 a b a， b反向且 a b
思考
• 使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可 以推广到n个向量相加。 E d (首尾相连，首是首，尾是尾）
AB BC CD DE AE
C
D
a
B
b
例题，练习
练习1.如图,已知 a b 用向量加法的三角形
法则作出 a b
（1）
a b
（2）
ab
a
b
b
ab ab
a
b
（3）
ab
（4）
a
b
b
ab
a
b b
练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四
边形法则作出 a b
（1）
b
ab b a
（2）
b a
ab
a
例一：化简：
(1)AB CD BC (2) M A BN AC CB (3)AB BD CA DC
c
C
A
a
B
b
AB BC CA 0
A
B
(1)研究向量是否满足交换律:
作法:作平行四 形ABCD,使AB b,AD a BC a,DC b
依作法有：
a b b a
AC AB BC b a AC AD DC a b
1、两个向量之和仍是一个向量
2、当向量 a 与 b 不共线时， b 的方向与 a 、 不 b a
b 同向，且 | a || a | | b | 3、当向量 a 与 b 同向时， b 、a 、b同向，且 a
| a b | ＝| a | | b | ；
C
B
向量加 法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
E
O
F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产 生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
向量加法
向量加 法
解 ： 如 图 ， 设 表 示 船 向 垂 直 于 对 岸驶 的 速 度 AD 行 AB表 示 水 流 的 速 度 ， 以 、AB为 邻 边 作 平 行 四 边 形 AD ABCD， 则AC就 是 船 实 际 航 行 的 速 。 度
在Rt △ABC中| AB| 2，BC | 2 3 | AC| | AB| 2 | BC | 2 4 |
ABCD为 平 行 四 边 形
练习5
1. 一架飞机向西飞行 100 km ,然后改变方向南飞行 ,则飞机两次位移的和为 西偏南45方向 100 km .
北 B 西 南 东
100 km
飞行100 2km 100 km
450
A
100 2km
AB BC AC
C
向量加法 向量加法
五、小结
向量加法的物理背景
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
非零向量a, b处于什么位置时？
(1) a b a b (2) a b a b (3) a b a b (4) a b b a
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
E
O
F
向量加 法
2、向量的加法：
(1)定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
(2)图示： （两向量不共线）
二. 向量加法的定义 1. 引入 日常生活中遇到的向量加法问题: (1).某人从A到B,再从B按原来的方向到C, 则两次位移的和 AB BC _______ AC A C (2).飞机从A到B,再改变方向从B到C, AC 则两次位移的和 AB BC _______ C A B (3). 船的速度是 AB,水流的速度是 BC 则两个速度的和 A AC AB BC _______