高中数学第二讲直线与圆的位置关系2-1圆周角定理练习新人教A版选修4
2019-2020学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 2.1 圆周角定理课件 新人教a版选修4-1
=
34.
在 Rt△BPD 中,cos∠BPD=������������������������,
∴cos∠BPD=34,∴tan∠BPD=√37.
答案 D
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答疑解惑
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
错用圆周角定理致误 典例已知☉O中的弦AB的长等于半径,求弦AB所对的圆心角和
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做一做1 如图,点A,B,P在圆O上,若∠APB=65°,则
∠AOB=
.
解析由圆周角定理可得∠AOB=2∠APB=130°. 答案130°
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123
做一做3 如图所示,若D是劣弧������������的中点,则与∠ABD相等的角的 个数是( )
A.7 B.3 C.2 D.1 解析由同弧或等弧所对的圆周角相等,知 ∠ABD=∠CBD=∠ACD=∠DAC,故与∠ABD相等的角有3个. 答案B
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正解根据题意画出大致示意图如图所示,
∠AOB为弦AB所对的圆心角,∠C和∠D是弦AB所对的圆周角. ∵AB=OA=OB,∴△AOB为等边三角形, ∴∠AOB=60°,∴∠C=30°,∴∠D=150°,∴弦AB所对的圆心角为60°, 所对的圆周角为30°或150°.
高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.1圆周角定理练习(含解析)新人教A版选修41
高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.1圆周角定理练习（含解析）新人教A版选修41课时过关·能力提升基础巩固1下列结论错误的是()A.圆上一条弧所对的圆周角等于它对的圆心角的一半B.圆心角的度数等于它所对弧的度数C.相等的圆周角所对的弧相等D.90°的圆周角所对的弦是直径解析选项A是圆周角定理;选项B是圆心角定理;选项D是圆周角定理的推论2;选项C中,缺少前提条件“在同圆或等圆中”,故选C.答案C2如图,CD是☉O的直径,A,B是☉O上的两点,若∠ABD=20°,则∠ADC的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°解析∵∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=20°.又CD是☉O的直径,∴∠CAD=90°.∴∠ADC=90°-∠ACD=90°-20°=70°.答案D3如图,已知AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使AC=AB,则()A.CD>DBB.CD=DBC.CD<DBD.CD与DB的大小关系不确定解析如图,连接AD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.又AC=AB,∴BD=CD.答案B4如图,已知△ABC内接于☉O,∠BAC=50°,∠ABC=60°,BD为☉O的直径,BD交AC于点E,则∠AEB=()A.70°B.110°C.90°D.120°解析∵∠BAC=50°,∠ABC=60°,∴∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)=70°.连接CD,则∠BDC=∠BAC=50°,∠BCD=90°,∴∠ACD=90°-∠ACB=20°.∴∠AEB=∠CED=180°-(∠BDC+∠ACD)=180°-(50°+20°)=110°.答案B5如图,已知弦AC与BD相交于圆内一点P,且AB=10,CD=5,BP=8,则PC=.解析∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△ABP∽△DCP.∴.∴,解得PC=4.答案46如图,AC是☉O的直径,B是圆上一点,∠ABC的平分线与☉O相交于点D,已知BC=1,AB=,则AD=.解析如图,连接OD,由于AC是☉O的直径,则∠ABC=90°.又BC=1,AB=,则AC===2,所以OA=OD=AC=1.又∠AOD=2∠ABD=∠ABC=90°,故△AOD是等腰直角三角形,则AD=OA=×1=.答案7如图,已知点A,B,C是圆O上的点,且∠ACB=30°,则∠AOB等于.解析∵∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°.答案60°8如图,已知圆O的半径为3,∠BAC=30°,则弦BC=.解析连接OB,OC.∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°.∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形.∴BC=OB=OC=3.答案39已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径,AD的延长线交外接圆于点F.求证:.分析转化为证明∠BAE=∠FAC,再转化为证明△ABE∽△ADC.证明∵AE是直径,∴∠ABE=90°.又∠ADC=90°,∴∠ADC=∠ABE.又∠AEB=∠DCA,∴△ABE∽△ADC.∴∠BAE=∠FAC,∴.10如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明:△ABE∽△ADC;(2)若△ABC的面积S=AD·AE,求∠BAC的大小.分析(1)证明两个三角形的两个角对应相等;(2)利用(1)的结论和三角形面积公式,转化为求sin∠BAC.(1)证明∵AD平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAD.又∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角,∴∠AEB=∠ACD.∴△ABE∽△ADC.(2)解∵△ABE∽△ADC,∴,即AB·AC=AD·AE.又S=AB·AC sin∠BAC,且S=AD·AE,∴AB·AC sin∠BAC=AD·AE.∴sin∠BAC=1.又∠BAC为三角形的内角,∴∠BAC=90°.能力提升1如图,在☉O中,若∠AOB=160°,则∠D+∠E=()A.170°B.160°C.100°D.80°解析如图,连接CO,则有∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=360°-160°=200°.又∠ADC=∠AOC,∠BEC=∠BOC,∴∠ADC+∠BEC=(∠AOC+∠BOC)=100°,即∠D+∠E=100°.答案C2如图,已知△ABC内接于☉O,AB=AC,D为BC上一点,E是直线AD和☉O的交点,则AB2等于()A.AC·BCB.AD·AEC.AD·DED.BD·DC解析如图,连接BE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB.又∠BAE=∠DAB,∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE=AD∶AB,即AB2=AD·AE.答案B★3已知P,Q,R都在弦AB的同侧,且点P在上,点Q在所在的圆内,点R在所在的圆外(如图),则()A.∠AQB<∠APB<∠ARBB.∠AQB<∠ARB<∠APBC.∠APB<∠AQB<∠ARB。
高中数学选修4-1(人教A版)第二讲直线与圆的位置2.1关系知识点总结含同步练习题及答案
P A = P D + DC =
1 C△PDE ＝6． 2
如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠C = 72∘ ，⊙O 过 A 、B 两点且与 BC 切于点 B ，与 AC 交于点 D ，连接 BD ．若 BC = √5 − 1 ，则 AC = ______．
解：2 ． 因为 AB = AC，∠C = 72∘ ，所以 ∠ABC = 72∘ ，∠A = 36∘ ，因为 BC 切 ⊙O 于点 B ， 所以 ∠DBC = ∠A = 36∘ ，所以 ∠ABD = 36∘，∠BDC = 72∘ ，故 AD = BD = BC = √5 − 1，可证 △ABC ∽ △BDC，所以 BC 2 = CD ⋅ AC = (AC − AD) ⋅ AC = AC 2 − AD ⋅ AC，设 AC = x 则有 (√5 − 1)2 = x2 − (√5 − 1)x，解得 x1 = 2，x2 = √5 − 3 （不合题意，舍去），所以 AC = 2． 如图所示，⊙O 的两条弦 AD 和 CB 相交于点 E ，AC 的延长线和 BD 的延长线相交于点
解：C． 如图所示， CD 切 ⊙O 于B ，CO 的延长线交 ⊙O 与 A ，若 ∠C = 36∘ ，则 ∠ABD 的度 数是（ ） A．72∘ B．63∘ C．54∘ D．36∘
解：B． 连接 OB ，因为 CD 为 ⊙O 的切线，所以 ∠OBC = 90∘ ，因为 ∠C = 36∘ ，所以 ∠BOC = 54∘ ． 又因为 ∠BOC = 2∠A，所以 ∠A = 27∘ ，故 ∠ABD = ∠A + ∠C = 63∘．
高中数学选修4-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
务 理解圆内接四边形的性质定理与判定定理． 二、知识清单
高中数学 第2讲 直线与圆的位置关系 第1节 圆周角定理课后练习 新人教A版选修41
2016-2017学年高中数学 第2讲 直线与圆的位置关系 第1节 圆周角定理课后练习 新人教A 版选修4-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图所示，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，D 是BC ︵的中点，E 为AC ︵的中点，分别连接BD 、DE 、BE ，则△BDE 的三内角的度数分别是( )A ．50°，30°，100°B ．55°，20°，105°C ．60°，10°，110°D ．40°，20°，120°解析： 如右图所示，连接AD ．∵AB ＝AC ，D 是BC ︵的中点，∴AD 过圆心O .∵∠A ＝40°，∴∠BED ＝∠BAD ＝20°， ∠CBD ＝∠CAD ＝20°.∵E 是AC ︵的中点，∴∠CBE ＝12∠CBA ＝35°，∴∠EBD ＝∠CBE ＋∠CBD ＝55°. ∴∠BDE ＝180°－20°－55°＝105°. 答案： B2．如图所示，AB 是半⊙O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ，若CD ＝3，AB ＝4，则tan ∠BPD ＝( )A ．34B ．43C ．53D ．73解析： 如右图所示．连接BD ，则∠BDP ＝90°， ∵∠DCP ＝∠BAP ，∠CDP ＝∠ABP ，∴△APB ∽△CPD ．∴PD PB ＝CD AB ＝34.在Rt △BPD 中，cos ∠BPD ＝PD PB， ∴cos ∠BPD ＝34.∴tan ∠BPD ＝73.答案： D3．AB 为⊙O 的直径，AC 为圆中的任意一弦，点D 为BC 的中点，那么OD ( ) A ．等于12B ．等于AC C ．与AC 相交D ．与AC 平行解析： 如右图所示，连接OC ．∵D 为BC ︵的中点， ∴∠BOD ＝∠DOC ＝12∠BOC ．又∵∠A ＝12∠BOC ，∴∠A ＝∠BOD ．∴OD ∥AC ，故选D ． 答案： D4.如图，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O的面积等于( )A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π 解析： 由∠ACB ＝30°知AB ︵所对圆心角为60°，由OB ＝OA 知△BOA 为等边三角形，故AB ＝OB ＝OA ＝4， 故S 圆＝πr 2＝π×42＝16π. 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，则AB ︵的度数为_________，AOB ︵的度数为________.解析： 由圆心角定理，得AB ︵的度数＝∠AOB 的度数＝100°， AOB ︵ 的度数＝360°－AB ︵的度数＝360°－100°＝260°，故填100°，260°. 答案： 100° 260°6.如图，△ABC 是圆O 的内接等边三角形，AD ⊥AB ，与BC 的延长线相交于点D ，与圆O 相交于点E ，若圆O 的半径r ＝1，则DE ＝________.解析： 连接BE .∵AD ⊥AB ．所以BE 为⊙O 的直径，且BE ＝2r ＝2. 又∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∠EBD ＝30°， 又∵∠ABD ＝60°， ∴∠D ＝∠EBD ＝30°， ∴DE ＝BE ＝2. 答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图，AB 是⊙O 的一条弦，∠ACB 的平分线交AB 于点E ，交⊙O 于点D ．求证：AC ·CB ＝DC ·CE .证明： 连接BD ．在△ACE 与△DCB 中， ∵∠EAC 与∠BDC 是同弧所对的圆周角， ∴∠EAC ＝∠BDC ． 又∵CE 为∠ACB 的平分线， ∴∠ACE ＝∠DCB ，∴△ACE ∽△DCB ． ∴AC CE ＝DC CB.∴AC ·CB ＝DC ·CE .8．已知如图，BC 为半圆O 的直径，F 是半圆上异于B 、C 的一点，A 是BF ︵的中点，AD ⊥BC 于点D ，BF 交AD 于点E .(1)求证：BE ·BF ＝BD ·BC ；(2)试比较线段BD 与AE 的大小，并说明道理． 解析： (1)证明：连接FC ，则BF ⊥FC ． 在△BDE 和△BCF 中，∵∠BFC ＝∠EDB ＝90°， ∠FBC ＝∠EBD ， ∴△BDE ∽△BFC ． ∴BE BC ＝BD BF.即BE ·BF ＝BD ·BC ．(2)连接AC 、AB ，则∠BAC ＝90°. ∵AF ︵ ＝AB ︵， ∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC ＝90°，∠3＋∠ABD ＝90°， ∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴AE ＝BE .在Rt △EBD 中，BE ＞BD ， ∴AE ＞BD ． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，BC 是半圆O 的直径，A 、D 为半圆O 的三等分点，且BC ＝4，P 是直径BC 上的一动点，且PF ⊥BD ，PE ⊥AC ．(1)求PE ＋PF 的值；(2)如果点P 是AD 边上的动点，那么PE ＋PF 的值是不是定值？如果PE ＋PF 是定值，请证明你的结论，如果不是定值，请说明理由．解析： (1)∵A ，D 为半圆O 的三等分点. AB ︵ ＝AD ︵ ＝CD ︵， ∴∠DBC ＝∠ACB ＝30°，又∵∠PFB ＝∠PEC ＝90°， ∴BP ＝2PF ，PC ＝2PE ， ∴BP ＋PC ＝2(PF ＋PE )， ∴PF ＋PE ＝42＝2.(2)P 点在AD 上时，PE ＋PF 是定值． ∵A 、D 是半圆O 的三等分点， ∴∠DAC ＝∠ADB ＝30°， 在Rt △PAE 中，PE ＝12AP ，在Rt △PDF 中，PF ＝12PD ．∴PE ＋PF ＝12(AP ＋PD )＝12AD ，连接OA ，OD ，∵AD ︵ 是半圆的13，∴∠AOD ＝60°，又OA ＝OD ，∴△OAD 为等边三角形， ∴AD ＝OA ＝12BC ＝2，∴PE ＋PF ＝1(定值)．。
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系本讲测评2 新人教A版选修41
第二讲 直线与圆的位置关系本讲知识结构本讲测试1如图2-1，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点，CD⊥AB 于D ，若BC=3，AC=4，则AD∶CD∶BD 等于( )图2-1A.4∶6∶3B.6∶4∶3C.4∶4∶3D.16∶12∶9思路解析:由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根据射影定理就有AC 2=AD·AB，于是AD=516.同理，BD=59，CD=512，据此即得三条线段的比值.答案:D2如图2-2，在半圆O 中，AB 为直径，CD⊥AB，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，则图中相似三角形一共有( )图2-2A.3对B.4对C.5对D.6对思路解析:由题设，△ABC 是直角三角形，CD⊥AB，可知△ACD∽△ABC∽△CBD，这就是3对.又AF 平分∠CAB，所以有△CAF∽△DAE，△CAE∽△BAF，这样一共有5对三角形相似. 答案:C3如图2-3，在⊙O 中,AB 为直径,AD 为弦,过B 点的切线与AD 的延长线交于C,且AD=DC,则sin∠ACO 等于( ) A.1010 B.102 C.55 D.42图2-3思路解析:连结BD、DO，过O作OE⊥AC于E，由AB为直径，有BD⊥AC，由△ABC是直角三角形，AD=CD，得△ABC是等腰直角三角形，然后设AE=x，用x表示出CE，进一步表示出OC，利用三角函数定义即可得到所求的值.答案:A4如图2-4是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成，若内外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移才能使两跑道有相同的长度.如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移___________米（π取3.14，结果精确到0.01米）.图2-4思路解析:计算出内外跑道的长度差即可.答案:3.835如图2-5，已知△ABC中，∠ABC的平分线交AC于F，交△ABC的外接圆于E，ED切圆于E，交BC的延长线于D.求证：AE2=AF·DE.思路分析:题目中的四条线段不能组成两个相似的三角形，所以利用平行将AE换成EC，根据△AFE∽△ECD，得到比例式，再换回线段即可.证明:连结EC.∵四边形ABCE内接于⊙O，∴∠7=∠3＋∠5.又∵∠5=∠2，∠2=∠1，∴∠7=∠3＋∠1.∵∠4=∠3＋∠1，∴∠7=∠4.∵DE切⊙O于E，EC为弦，∴∠6=∠5.∴△AFE∽△ECD.∴ECAFDE AE,即AE·EC=DE·AF. ∵∠1=∠2，∴=.∴AE=EC.∴AE 2=DE·AF.6如图2-6所示，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 是直径AB 同侧圆周上两点，且=，过D 作DE⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.图2-6思路分析:要证DE 是⊙O 的切线，根据切线的判定定理，连结OD ，只需证明OD⊥DE 即可，即“作半径，证垂直”,这是证明圆的切线的另一方法.证明:连结OD 、AD. ∵=，∴∠1=∠2.∵OA=OD，∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE∥OD. ∵AE⊥DE，∴OD⊥DE.∴DE 是⊙O 的切线.7如图2-7，已知在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 点作⊙O 的切线交AC 于E.图2-7求证：（1）DE⊥AC；（2）BD 2=CE·CA.思路分析:本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题，掌握常见的辅助线作法是解题关键，即连结圆心和切点的半径，根据切线的性质，则有半径垂直于这条切线.证明:(1)连结OD 、AD.∵DE 是⊙O 的切线，D 为切点，∴OD⊥DE.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC.∴AB=AC，BD=DC. ∴OD∥AC，DE⊥AC. (2)∵AD⊥BC，DE⊥AC， ∴△CDE∽△CAD. ∴CDCE CA CD =.∴CD 2=CE·CA. ∴BD=DC.∴BD 2=CE·CA.8如图2-8，已知⊙O 和⊙O′都经过A 、B 两点，AC 是⊙O′的切线，交⊙O 于点C ，AD 是⊙O的切线，交⊙O′于点D.求证：AB 2=BC·BD.图2-8思路分析:欲证AB 2=BC·BD，即要证ABBDBC AB =，于是只要证△ABD∽△ABC 即可，而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理，从而命题得证. 证明:∵AC 是⊙O′的切线，轻轻告诉你 AD 是⊙O 的切线，∴∠BAD=∠C，∠BAC=∠D. ∴△ABD∽△CBA. ∴ABBD BC AB =，即AB 2=BC·BD. 9如图2-9，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB ，桥下水面宽度AB 为7.2米，桥的最高点处点C 高出水面2.4米.现有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问这艘货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由.图2-9思路分析:求出图中NF 的长，只要NF 的长超过2米即可. 解:由垂径定理可知OP=1.5米，OC=1.5+2.4=3.9米,由OQ NQPQ QF =可得25.225.29.35.122++-=-PQ PQ PQ PQ ，解得PQ=85，所以QF=87.因为PQ QF PO NF =,所以NF=2.1＞2, 即这艘船能顺利通过这座拱桥.。
高中数学 第2讲 直线与圆的位置关系 第2节 圆内接四边形的性质与判定定理课后练习 新人教A版选修
形的性质与判定定理课后练习新人教A版选修4-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2讲直线与圆的位置关系第2节圆内接四边形的性质与判定定理课后练习新人教A版选修4-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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边形的性质与判定定理课后练习新人教A版选修4—1一、选择题(每小题5分,共20分）1．以下各种说法中，正确的是（）A．任意三角形可能有1个外接圆,也可能有2个B．在圆内部的四边形叫做圆内接四边形C．菱形一定有外接圆D．圆内接平行四边形一定是矩形解析：A．三角形的外心只有一个，因此三角的外接圆只有1个B．只有顶点在圆上的四边形才叫圆内接四边形．C．只有当对角互补时，菱形才有外接圆又菱形的对角相等,故该菱形是正方形,也就是说只有当菱形是正方形时，才有外接圆．D．圆内接平行四边形对角互补且相等,故对角均为90°，所以为矩形．故D正确．答案：D2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD＝100°，则∠BAD 和∠BCD的度数分别为( )A．50°，130°B．30°,130°C．100°,130° D．100°,50°解析: 由圆周角定理,得∠BAD＝错误!∠BOD＝50°。
根据圆内接四边形的性质定理,得∠BAD＋∠BCD＝180°,∴∠BCD＝130°,故选A．答案: A3．已知Rt△ABC的斜边BC的两个端点分别在x轴、y轴的正半轴上移动,顶点A与原点分别在BC的两侧，则点A的轨迹是( )A．圆B．线段C．射线D．一段圆弧解析：如右图，∵∠CAB＝∠COB＝90°，∴四边形ABOC是圆内接四边形，∴∠COA＝∠CBA,并且是定值,∴不管怎样移动Rt△ABC，直线OA的斜率不变．又由题意，可得动点A的轨迹是线段．故选B．答案：B4。
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 第一节 圆周角定理课后导练 新人教A版选修41
第一节 圆周角定理课后导练基础达标1.如图2-1-8,⊙O 中,弦AB 与弦CD 相交于点P,∠B=30°,∠APD=80°,则∠A 等于( )图2-1-8A.40°B.50°C.70°D.110° 解析:∵∠APD=∠B+∠D,∴∠D=∠APD -∠B=80°-30°=50°.∵=,∴∠A=∠D=50°.答案:B2.如图2-1-9,AB 为⊙O 直径,C 点为圆周上一点,的度数为60°,OD⊥BC 于D,OD=10,则AB 等于( )图2-1-9A.20B.310C.40D.320 解析:∵AB 为直径,∴∠C=90°. ∵=60°,∴∠B=30°.∵OD⊥BC,∴∠ODB=90°.在Rt△BOD 中,OB=2110sin =∠B OD =20. 答案:C3.一条弦分圆周为5∶7,这条弦所对的圆周角为( )A.75°B.105°C.60°或120°D.75°或105° 解析:∵圆周度数为360°,∴这两弧度数为150°,210°.根据圆周角和圆心角定理,它们所对的圆周角度数分别为75°或105°. 答案:D4.如图2-1-10,A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上,且AC 为⊙O 的直径,则∠A+∠B+∠C 等于( )图2-1-10A.90°B.180°C.360°D.无法确定 解析:∵∠A、∠B、∠C 分别对着,而为半圆180°,∴∠A+∠B+∠C=90°. 答案:A5.如图2-1-11,AB 、CD 为⊙O 的两条直径,弦DE∥AB,的度数为40°,则∠BOC 等于( )图2-1-11A.40°B.80°C.110°D.无法确定 解析:∵AB∥DE,∴.∴=21(-).∴的度数为21(180°-40°)=70°. ∴∠BOC=∠AOD=70°+40°=110°. 答案:C 综合运用6.如图2-1-12,△ABC 为圆内接三角形,AB ＞AC,∠A 的平分线交圆于D,作DE⊥AB 于E,DF⊥AC 于F.求证:BE=CF.图2-1-12证明:连结BD 、CD.∵∠DCF 是△ACD 的外角,∴∠DCF=∠1+∠2,而∠1=∠3,∠2=∠4, ∴∠DCF=∠3+∠4=∠EBD.又∵AD 是∠BAC 的平分线,∴DE=DF. ∴Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴BE=CF.7.在锐角三角形ABC 中,BC=a,CA=b,AB=c,外接圆半径为R. 求证:CcB b A a sin sin sin ===2R.图2-1-13证明:连结OC 并延长交⊙O 于D,连结BD. ∵=,∴∠D=∠A.在Rt△BCD 中,sinD=Ra 2, 2R=AaD a sin sin =. 同理,B b sin =2R,C csin =2R.∴Cc B b A a sin sin sin ===2R. 8.如图2-1-14,已知BC 为半圆O 的直径,F 是半圆上异于B 、C 的一点,A 是的中点,AD⊥BC于点D,BF 交AD 于点E. (1)求证:BE·BF=BD·BC;(2)试比较线段BD 与AE 的大小,并说明理由.图2-1-14(1)证明:连结CF.∵BC 是直径,∴∠BFC=90°,∵AD⊥BC,∴∠BDE=90°,∠B=∠B. ∴△BCF∽△BED.∴BFBDBC BE =. ∴BE·BF=BC·BD.(2)解:AE ＞BD,证明如下: 连结AB 、AC,则∠BAC=90°, ∵=,∴∠ABF=∠ACB.∵∠ACB+∠ABC=90°,∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠ACB=∠BAD.∴∠ABF=∠BAD. ∴AE=BE.在Rt△BDE 中,BE ＞BD.∴AE＞BD. 拓展探究9.如图2-1-15,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连结AC,过点C 作CD⊥AB 于D,E 是DB 上任意一点,直线CE 交⊙O 于点F,连结AF 与直线CD 交于点G.(1)求证:AC 2=AG·AF.(2)若E 是AD(点A 除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立,画出图形,并给予证明;若不成立,请说明理由.图2-1-15(1)证明:连结BC,则∠ACB=90°,∴∠B+∠CAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°. ∴∠B=∠ACD.又=,∴∠B=∠F.∴∠F=∠ACD.∵∠CAG=∠FAC, ∴△CAG∽△FAC. ∴ACAGAF AC =. ∴AC 2=AG·AF.(2)解:(1)的结论仍成立,如图2-1-16,连结BC,图2-1-16则∠ACB=90°,⎭⎬⎫︒=∠+∠⇒⊥︒=∠+∠9090BAC ACD AB CD BAC B⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒AFC B ACD B⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒CAG CAF AFC ACD ⇒△AFC∽△ACG⇒ACAGAF AC =⇒AC 2=AG·AF. 10.如图2-1-17,AM 是⊙O 的直径,过⊙O 上一点B 作BN⊥AM,垂足为N,其延长线交⊙O 于点C,弦CD 交AM 于点E.(1)如果CD⊥AB,求证:EN=MN.(2)如果弦CD 交AB 于点F,且CD=AB,求证:CE 2=EF·ED.(3)如果弦CD 、AB 的延长线交于点F,且CD=AB,那么(2)的结论是否仍成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.图2-1-17(1)证明:连结BM,∵CD⊥AB, ∴∠BCE+∠ABC=90°.∵AM 是直径,∴∠MBN+∠ABC=90°. ∴∠BCE=∠MBN.又∵ON⊥BC,∴BN=CN,∠BNM=∠CNE. ∴△BNM≌△CNE. ∴EN=MN.(2)证明:连结BD 、BE 、AC. ∵CD=AB ⇒⇒∠ACD=∠D.⎪⎭⎪⎬⎫=⎩⎨⎧==⇒⊥AE AE EC EB AC AB BC AN 又⇒△ABE≌△ACE ⇒∠ACD=∠ABE. ⎭⎬⎫∠=∠∠=∠∴DEB BEF ABE D ⇒△BEF∽△DEB ⇒EF BE= .22ED EF CE CE BE ED EF BE BE DE •=⇒⎪⎭⎪⎬⎫=•=⇒ (3)如图2-1-18,(2)的结论仍成立.图2-1-18证明:∵AM⊥BC,∴BE=CE,AB=AC. ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵AB=CD, ∴∠4=∠DBC.∴∠3=∠DBC=∠2+∠5.又∵∠3=∠F+∠1,∴∠F=∠5. ∵∠BED=∠FEB,∴△BDE∽△FBE.∴BEEDEF BE =. ∴BE 2=EF·ED.∴CE 2=EF·ED . 温馨提示圆周角定理、垂径定理、等腰三角形、直角三角形有机结合,使解题思路出神入化. 备选习题11.如图2-1-19,在⊙O 中,AB 是直径,弦AC=12 cm,弦BC=16 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D 点,则AD=_____________.图2-1-19解析:∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∴AB=22BC AC +=20.又∵CD 是∠ACB 的平分线,∴.∴AD=BD.∵AB 是直径,∴∠ADB=90°.在Rt△ABD 中,∠DAB=∠ABD=45°. ∴AD=AB·cos45°=20·22=210cm. 答案: 210cm12.如图2-1-20,△ABC 内接于直径为d 的⊙O,且弦BC=a,AC=b,则△ABC 的高CD 等于( )图2-1-20A.d ab B.b ab C.a bd D.dab 2 解析:作⊙O 直径AE,连结CE.⇒△ACE∽△CDB ⇒AE BC AC CD =⇒CD=dabAE BC AC =•. 答案:A13.如图2-1-21,AB为⊙O直径,AC=AD,求证:∠1=∠2,你能找到几种证法?图2-1-21证法一:连结OC、OD,证△AOC≌△AO D.证法二:连结BC、BD,证△ABC≌△ABD.证法三:连结CD交AB于E,证明△ACE≌△ADE.证法四:过O作OE⊥AC,E为垂足,OF⊥AD，F为垂足,证△AOE≌△AOF.证法五:AC=AD⇒⇒∠1=∠2.。
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系本讲测评2 新人教A版选修41
第二讲 直线与圆的位置关系本讲知识结构本讲测试1如图2-1，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点，CD⊥AB 于D ，若BC=3，AC=4，则AD∶CD∶BD 等于( )图2-1A.4∶6∶3B.6∶4∶3C.4∶4∶3D.16∶12∶9思路解析:由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根据射影定理就有AC 2=AD·AB，于是AD=516.同理，BD=59，CD=512，据此即得三条线段的比值.答案:D2如图2-2，在半圆O 中，AB 为直径，CD⊥AB，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，则图中相似三角形一共有( )图2-2A.3对B.4对C.5对D.6对思路解析:由题设，△ABC 是直角三角形，CD⊥AB，可知△ACD∽△ABC∽△CBD，这就是3对.又AF 平分∠CAB，所以有△CAF∽△DAE，△CAE∽△BAF，这样一共有5对三角形相似. 答案:C3如图2-3，在⊙O 中,AB 为直径,AD 为弦,过B 点的切线与AD 的延长线交于C,且AD=DC,则sin∠ACO 等于( ) A.1010 B.102 C.55 D.42图2-3思路解析:连结BD、DO，过O作OE⊥AC于E，由AB为直径，有BD⊥AC，由△ABC是直角三角形，AD=CD，得△ABC是等腰直角三角形，然后设AE=x，用x表示出CE，进一步表示出OC，利用三角函数定义即可得到所求的值.答案:A4如图2-4是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成，若内外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移才能使两跑道有相同的长度.如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移___________米（π取3.14，结果精确到0.01米）.图2-4思路解析:计算出内外跑道的长度差即可.答案:3.835如图2-5，已知△ABC中，∠ABC的平分线交AC于F，交△ABC的外接圆于E，ED切圆于E，交BC的延长线于D.求证：AE2=AF·DE.思路分析:题目中的四条线段不能组成两个相似的三角形，所以利用平行将AE换成EC，根据△AFE∽△ECD，得到比例式，再换回线段即可.证明:连结EC.∵四边形ABCE内接于⊙O，∴∠7=∠3＋∠5.又∵∠5=∠2，∠2=∠1，∴∠7=∠3＋∠1.∵∠4=∠3＋∠1，∴∠7=∠4.∵DE切⊙O于E，EC为弦，∴∠6=∠5.∴△AFE∽△ECD.∴ECAFDE AE,即AE·EC=DE·AF. ∵∠1=∠2，∴=.∴AE=EC.∴AE 2=DE·AF.6如图2-6所示，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 是直径AB 同侧圆周上两点，且=，过D 作DE⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.图2-6思路分析:要证DE 是⊙O 的切线，根据切线的判定定理，连结OD ，只需证明OD⊥DE 即可，即“作半径，证垂直”,这是证明圆的切线的另一方法.证明:连结OD 、AD. ∵=，∴∠1=∠2.∵OA=OD，∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE∥OD. ∵AE⊥DE，∴OD⊥DE.∴DE 是⊙O 的切线.7如图2-7，已知在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 点作⊙O 的切线交AC 于E.图2-7求证：（1）DE⊥AC；（2）BD 2=CE·CA.思路分析:本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题，掌握常见的辅助线作法是解题关键，即连结圆心和切点的半径，根据切线的性质，则有半径垂直于这条切线.证明:(1)连结OD 、AD.∵DE 是⊙O 的切线，D 为切点，∴OD⊥DE.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC.∴AB=AC，BD=DC. ∴OD∥AC，DE⊥AC. (2)∵AD⊥BC，DE⊥AC， ∴△CDE∽△CAD. ∴CDCE CA CD =.∴CD 2=CE·CA. ∴BD=DC.∴BD 2=CE·CA.8如图2-8，已知⊙O 和⊙O′都经过A 、B 两点，AC 是⊙O′的切线，交⊙O 于点C ，AD 是⊙O的切线，交⊙O′于点D.求证：AB 2=BC·BD.图2-8思路分析:欲证AB 2=BC·BD，即要证ABBDBC AB =，于是只要证△ABD∽△ABC 即可，而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理，从而命题得证. 证明:∵AC 是⊙O′的切线，轻轻告诉你 AD 是⊙O 的切线，∴∠BAD=∠C，∠BAC=∠D. ∴△ABD∽△CBA. ∴ABBD BC AB =，即AB 2=BC·BD. 9如图2-9，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB ，桥下水面宽度AB 为7.2米，桥的最高点处点C 高出水面2.4米.现有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问这艘货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由.图2-9思路分析:求出图中NF 的长，只要NF 的长超过2米即可. 解:由垂径定理可知OP=1.5米，OC=1.5+2.4=3.9米,由OQ NQPQ QF =可得25.225.29.35.122++-=-PQ PQ PQ PQ ，解得PQ=85，所以QF=87.因为PQ QF PO NF =,所以NF=2.1＞2, 即这艘船能顺利通过这座拱桥.。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.4弦切角的性质课后训练新人教A版选修4-1
2.4 弦切角的性质课后训练1．如图，O 的半径为2 cm ，O 切AC 于D ，切BE 于E ，∠ACB ＝60°，则CE 的长为( )．A ．3cmB ．23cm 3 C ．3cm 3D ．23cm2．如图，AB 是O 的直径，直线EF 切O 于B ，C 、D 为O 上的点，∠CBE ＝40°，AD CD =，则∠BCD 的度数是( )．A ．110° B．115° C ．120° D．135° 3．如图，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，EF 切O 于C 点，那么图中与∠DCF 相等的角的个数是( )．A ．4B ．5C ．6D ．74．如图，BD 为O 的直径，AB 、AE 切O 于B 、C ，∠BDC ＝65°，则∠BAC ＝________.5．如图，已知AB 与O 相切于点M ，MC MD =，且MC 、MD 为14圆周长，则∠AMC ＝__________.6．已知，如图，△ABC 内接于O ，DC 切O 于C 点，BC 平分∠ACD ，则△ABC 为________．7．如图，AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，AC平分∠BAD．求证：AD⊥CD．8．如图，P是O的半径OA上的一点，D在O上，且PD＝PO.过点D作O的切线交OA的延长线于点C，延长DP交O于K，连接KO，OD．(1)证明：PC＝PD；(2)若该圆的半径为5，CD∥KO，求出OC的长．如图，BC为O的直径，AB AD=，过点A的切线与CD的延长线交于点E.(1)试猜想∠AED是否等于90°？为什么？(2)若25AD=，ED∶EA＝1∶2，求O的半径．(3)在(2)的条件下求∠CAD的正弦值．参考答案1.答案：B解析：∵CD、CE是O的切线，∴OC平分∠ECD．∴∠OCE＝12∠ECD＝12(180°－∠ACB)＝12(180°－60°)＝60°.∴CE＝OE cot60°＝3232=(cm)．2.答案：B解析：由AB⊥EF得∠ABC＝90°－∠CBE＝50°，∴AC的度数为2∠ABC＝100°.又AD CD=，∴AD的度数为50°，∴∠BCD＝12(180°＋50°)＝115°.3.答案：B解析：∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF ＝∠BDC ，∠DCF ＝∠DBC ． 4. 答案：50°解析：由题知，∠ABC ＝∠ACB ＝∠BDC ＝65°，∴∠BAC ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝180°－65°－65°＝50°. 5. 答案：45°解析：∵AB 切⊙O 于M ，MC MD =， ∴∠AMC ＝∠BMD ． ∵MC 、MD 为14圆周长， ∴∠DMC ＝90°.∴∠AMC ＝45°. 6. 答案：等腰三角形解析：根据弦切角定理，即可得证．易得∠BCD ＝∠BAC ，∠BCD ＝∠BCA ， 所以∠BCA ＝∠BAC ．所以△ABC 为等腰三角形．7. 证明：连接BC ，∵CD 为O 的切线，∴∠ACD ＝∠ABC ．又AC 为∠BAD 的平分线， 故∠BAC ＝∠CAD ， ∴△ACD ∽△ABC ． ∴∠ADC ＝∠ACB ．又∵AB 为O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥CD ． 8. 证明：(1)在△PDO 中， ∵PD ＝PO ，∴∠PDO ＝∠POD ．∵CD 为O 的切线，∴∠ODC ＝90°.而∠OCD ＋∠COD ＝∠CDP ＋∠ODP ＝∠ODC ＝90°， ∴∠OCD ＝∠CDP .∴△PCD 为等腰三角形． ∴PC ＝PD ．(2)∵CD ∥KO ，∴KO ⊥DO ，易证△PCD ∽△POK . 从而PK ＝PO ＝PD ，∴P 为DK 的中点．又∠DOK ＝90°，∴△DOK 为等腰直角三角形． ∴PO ⊥DP ，从而可得△CDO 也为等腰直角三角形． ∴CD ＝DO ＝5.∴52OC =.9. 解：(1)∠AED ＝90°.证明：连接AB ，由BC 为直径， ∴∠BAC ＝90°.又∵AE 切O 于A ，AB AD =， ∴∠EAD ＝∠ACB ．又∵四边形ABCD 内接于O ，∠ADE ＝∠B ， ∴△AED ∽△CAB ，∴∠AED ＝∠CAB ＝90°.(2)∵5AD =DE ∶EA ＝1∶2，∠AED ＝90°， ∴ED ＝2，EA ＝4.又25AB AD ==EAD ∽△ACB ，∴AD EDBC AB=.∴225102AD ABBCED⋅()==.∴O的半径为5.(3)过D作DF⊥AC于F.∵△ABC中，5AC=AEC中，CE＝8，∴CD＝6.又△CDF∽△CBA，∴DF CD AB CB=.∴62565105CD ABDFCB⋅⨯===.∴sin∠CAD＝6535525DFAD==.。
人教版2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理同步指导练习新人教A版选修4_1
一圆周角定理一、基础达标1. 如图，D 是︵的中点，与∠相等的角有 () AC ABDA.7 个B.3 个C.2 个D.1 个剖析与∠相等的角分别为∠，∠，∠.ABD CBD ACD CAD答案B2.如图，已知圆心角∠ AOB的度数为100°，则圆周角∠ ACB的度数是()A.80 °B.100 °C.120 °°剖析︵260°，∴∠ACB＝∵∠ AOB＝100°，∴ AMB所对圆心角为130° .答案DCD3.如图，已知 AB是半圆 O的直径，弦 AD， BC订交于点 P，那么等于AB ()A.sin ∠BPDB.cos ∠BPDC.tan ∠BPDD.以上答案都不对剖析连结 BD，由 BA是直径，知△ ADB是直角三角形.依照PD CD△CPD∽△ APB，＝＝cos∠BPD.PB AB答案B4.弦 BC分⊙ O为1∶3两部分，⊙ O的直径等于4，则 BC＝________.1剖析由圆心角定理∠BOC＝4×360°＝90°，∴ BC＝22＋22＝22.答案22︵5.以以下图， A， B， C， D是⊙ O上四点，且 D是AB的中点， CD交 OB 于 E，∠ AOB＝100°，∠ OBC＝55°，则∠ OEC＝________.剖析 ︵∵∠ AOB ＝ 100°，且 D 是AB 的中点，∴∠ BCD ＝ 25° . ∴∠ OEC ＝∠ B ＋∠ BCD＝80° . 答案80°︵6. 以以下图，在⊙ O 中，直径 AB ＝ 10 cm ，弦 BC ＝ 8 cm ，点 D 是 AB 的中点，连结 AC ， AD ， BD . (1) 求 AC 和 BD 的长；(2) 求四边形 ADBC 的面积 .解 (1) ∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝∠ ADB ＝ 90° . ∵ AB ＝ 10， BC ＝ 8，∴在 Rt △ ABC︵︵ ︵中， AC ＝ AB2－BC2＝ 6(cm). ∵点 D 是 AB 的中点，∴ AD ＝BD ，∴ AD ＝ BD ，∴△ ABD 为等2腰直角三角形，∴ BD ＝ AB · sin 45 °＝ 10× 2 ＝ 5 2(cm).(2) 由 (1) 知S1× ＋ 121 1 2)22四边形 ADBC ＝ △ ABC ＋ △ ABD ＝ ×＝×6×8＋ ×(5＝ 49(cm ).SS2 AC BC2AD 22二、能力提升7. 在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ＝ 30°，AC ＝ 2 3，则此三角形的外接圆的半径为()A. 33剖析由圆周角定理推论2 知：2 31AB 为 Rt △ ABC 的外接圆直径，又∵ AB ＝cos 30 °＝ 4，故外接圆半径 r ＝ 2AB ＝ 2.答案B8. 在半径为 6 cm 的圆中， 6 cm 长的弦所对的圆心角等于 ________.剖析 6 cm 长的弦的端点与圆心组成等边三角形， 故此弦所对的圆心角为60°或 120°.答案60°或 120°︵9. 以以下图， AB 是⊙ O 的直径， D 是 AE 的中点，∠ ABD ＝ 20°，则∠ BCE ＝ ________.剖析 以以下图，连结 AD ， DE ，∵∠ ABD ＝ 20°，∴∠ AED ＝ 20°，︵又 D 是 AE 的中点， ∴∠ DAC ＝∠ DEA ＝ 20°， ∵AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠ DCA＝70°，∴∠ BCE＝70°.答案70°︵10.(2016 ·江宁一中单元测试) 如图，BC为圆O的直径，AD⊥BC，AF︵＝AB， BF和 AD订交于点 E，求证： AE＝BE.证明∵ BC是⊙ O的直径，∴∠ BAC为直角.又 AD⊥ BC，∴Rt△ BDA∽Rt△ BAC.∴∠ BAD＝∠ ACB.︵︵∵AB＝ AF，∴∠ FBA＝∠ ACB.∴∠ BAD＝∠ FBA.∴△ ABE为等腰三角形，∴AE＝BE.11.已知 AD是△ ABC的高，AE是△ ABC的外接圆的直径.求证：∠ BAE＝∠ DAC.证明连结 BE，因为 AE为直径，因此∠ ABE＝90°.因为 AD是△ ABC的高，因此∠ ADC＝90°.因此∠ ADC＝∠ ABE.因为∠ E＝∠ C，因此∠ BAE＝180°－∠ ABE－∠ E，∠DAC＝180°－∠ ADC－∠ C.因此∠ BAE＝∠ DAC.三、研究与创新︵12.如图，AD是⊙ O内接三角形 ABC的高线，E 为 BC的中点.求证：∠OAE＝∠ EAD.证明法一显然∠ BAE＝∠ CAE，只需证得∠BAO＝∠ CAD，就间接证得∠ OAE＝∠ EAD.故延伸 AO交⊙ O于 F点，连结 BF，如图①，得∠ABF为直角，又由∠C＝∠ F，可得∠ BAO与∠ CAD相等.法二若要直接证∠ OAE＝∠ EAD，就需要把它们设置成圆周角，因此把AO，AD均延伸，分别交⊙ O于 F 点和 G点，连结 FG，如图②，可证得FG∥ BC，由平行直线所夹的弧相︵︵︵︵︵︵等则有 BF＝CG，又 BE＝ EC，∴ FE＝EG.∴∠ FAE＝∠ GAE.法三如图③，搜寻第三个角，利用等量代换来证∠OAE＝∠ EAD，故连结OE，利用垂径定理得OE⊥ BC，进而易知OE∥ AD，可得∠E＝∠ DAE；同时，在等腰三角形OAE中∠ OAE ＝∠ E，∴∠ OAE＝∠ DAE.。
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 2.4 弦切角的性质练习(含解析)新人教A版选修4-1-新人教
四弦切角的性质课时过关·能力提升基础巩固1如图,已知AB是半圆O的直径,C,D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC为()A.105°B.115°C.120°D.125°,连接BD.∵PC与☉O相切,∴∠BDC=∠BCP=25°.∵AB是直径,∴∠ADB=90°.∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+25°=115°.2如图,PQ为☉O的切线,A是切点,若∠BAQ=55°,则∠ADB=()A.55°B.110°C.125°D.155°PQ是切线,∴∠C=∠BAQ=55°.∵四边形ADBC内接于圆,∴∠ADB=180°-∠C=180°-55°=125°.3如图,△ABC内接于☉O,EC切☉O于点C.若∠BOC=76°,则∠BCE等于()A.14°B.38°C.52°D.76°EC为☉O的切线,∴∠BCE=∠BAC=1∠BOC=38°.24如图,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于()A.32°B.42°C.52°D.48°AC,如图.∵MN切☉O于点C,BC是弦,∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC=90°.∴∠B+∠BCM=90°,∴∠B=90°-∠BCM=52°.5如图,AD切☉O于点F,FB,FC为☉O的两弦,请列出图中所有的弦切角.AFB,∠AFC,∠DFC,∠DFB6如图,AB是☉O的直径,直线CE与☉O相切于点C,AD⊥CE于D,若AD=1,∠ABC=30°,则☉O的面积是.DE是切线,∴∠ACD=∠ABC=30°.又AD⊥CD,∴AC=2AD=2.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.又∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,AB=2.∴OA=12∴☉O的面积为S=π·OA2=4π.7如图,AB是☉O的弦,CD是经过☉O上的点M的切线.求证:(1)如果AB∥CD,那么AM=MB;(2)如果AM=BM,那么AB∥CD.∵CD切☉O于点M,∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B.∵AB∥CD,∴∠CMA=∠A,∴∠A=∠B,∴AM=MB.(2)∵AM=BM,∴∠A=∠B.∵CD切☉O于点M,∴∠CMA=∠B.∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD.8如图,四边形ABED内接于☉O,AB∥DE,AC切☉O于点A,交ED延长线于点C.求证:AD∶AB=DC∶BE.ACD和△ABE中,所以只要证明△ACD∽△AEB即可.四边形ABED内接于☉O,∴∠ADC=∠ABE.∵AC是☉O的切线,∴∠CAD=∠AED.∵AB∥DE,∴∠BAE=∠AED.∴∠CAD=∠BAE,∴△ACD∽△AEB.∴AD∶AB=DC∶BE.9如图,已知圆上的AA⏜=AA⏜,过点C的圆的切线与BA的延长线交于点E.求证:(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE·CD.证明这两个角都等于∠ABC;(2)转化为证明△BDC∽△ECB.∵AA⏜=AA⏜,∴∠BCD=∠ABC.∵EC与圆相切于点C,∴∠ACE=∠ABC.∴∠ACE=∠BCD.(2)∵∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,∴△BDC∽△ECB.∴AAAA =AAAA,即BC2=BE·CD.10如图,AB是半圆O的直径,C是圆周上异于点A,B的一点,过点C作圆O的切线l,过点A 作直线l的垂线AD,垂足为点D,AD交半圆于点E.求证:CB=CE.CBE=∠CEB.方法一)连接BE,如图.因为AB是半圆O的直径,点E为圆周上一点,所以∠AEB=90°,即BE⊥AD.又因为AD⊥l,所以BE∥l.所以∠DCE=∠CEB.因为直线l是圆O的切线,所以∠DCE=∠CBE.所以∠CBE=∠CEB,故CE=CB.(方法二)连接AC,BE,在DC延长线上取一点F,如图.因为AB是半圆O的直径,C为圆周上一点,所以∠ACB=90°,即∠BCF+∠ACD=90°.因为AD⊥l,所以∠DAC+∠ACD=90°,所以∠BCF=∠DAC.因为直线l是圆O的切线,所以∠CEB=∠BCF.又∠DAC=∠CBE,所以∠CBE=∠CEB.所以CE=CB.能力提升1如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,若AD=2,AB=6,则AC的长为()A.2B.3C.2√3D.4BC,如图.∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC.∴△ADC∽△ACB.∴AAAA =AAAA.∴AC2=AD·AB=2×6=12,∴AC=2√3.★2如图,已知∠ABC=90°,O是AB上一点,☉O切AC于点D,交AB于点E,B,连接DB,DE,OC,则图中与∠CBD相等的角共有()A.1个B.2个C.3个D.4个AB⊥BC,∴BC与☉O相切,BD为弦.∴∠CBD=∠BED.同理可得∠CDB=∠BED,∴∠CBD=∠CDB.连接OD.∵OD=OB,OC=OC,∴Rt△COD≌Rt△COB.∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.∴OC⊥BD.又DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC,∴∠CBD=∠BOC.∴与∠CBD相等的角共有3个.3如图,AB是☉O的直径,PB,PE分别切☉O于点B,C,若∠ACE=40°,则∠P=.,连接BC,则∠ACE=∠ABC,∠ACB=90°.又∠ACE=40°,则∠ABC=40°.所以∠BAC=90°-∠ABC=90°-40°=50°,∠ACP=180°-∠ACE=140°.又AB是☉O的直径,则∠ABP=90°.又四边形ABPC的内角和等于360°,所以∠P+∠BAC+∠ACP+∠ABP=360°.所以∠P=80°.4如图,已知圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过点C作圆的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为点D,则线段CD的长为.直线l是圆O的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB是直径,∴AC⊥BC.∵BC=3,AB=6,∴∠ABC=60°.∴AC=3√3.又∠ACD=∠ABC,∴∠ACD=60°.又AD⊥l,∴CD=AC cos60°=3√32.5如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过点A作两圆的切线,分别交两圆于C,D两点,若BC=2,BD=4,则AB的长为.AC,AD分别是两圆的切线,∴∠C=∠BAD,∠D=∠BAC.∴△ACB∽△DAB.∴AAAA =AAAA.∴AB2=BC·DB=2×4=8.∴AB=2√2(负值舍去).√26如图,BA是☉O的直径,AD是☉O的切线,切点为A,BF,BD分别交AD于点F,D,交☉O于点E,C,连接CE.求证:BE·BF=BC·BD.BE·BF=BC·BD,只需证AAAA =AAAA,即证明△BEC∽△BDF.由∠DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点B作☉O的切线,构造弦切角.,过点B作☉O的切线BG,则AB⊥BG.又AD是☉O的切线,∴AD⊥AB,∴BG∥AD,∴∠GBC=∠BDF.∵∠GBC=∠BEC,∴∠BEC=∠BDF.又∠CBE=∠DBF,∴△BEC∽△BDF.∴AAAA =AAAA.∴BE·BF=BC·BD.7如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,直线MN切☉O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.求证:(1)△ABE≌△ACD;(2)BE=BC.由已知,得∠ABE=∠ACD,只需证明∠BAE=∠CAD,转化为证明∠BAE=∠CDB,∠CDB=∠DCN,∠DCN=∠CAD.(2)转化为证明∠BEC=∠ECB.∵BD∥MN,∴∠CDB=∠DCN.又∠BAE=∠CDB,∴∠BAE=∠DCN.又直线MN是☉O的切线,∴∠DCN=∠CAD.∴∠BAE=∠CAD.又∠ABE=∠ACD,AB=AC,∴△ABE≌△ACD.(2)∵∠EBC=∠BCM,∠BCM=∠BDC,∴∠EBC=∠BDC.∴CB=CD.∵∠BEC=∠EDC+∠ECD,∠ECD=∠ABE,∴∠BEC=∠EBC+∠ABE=∠ABC.又AB=AC,∴∠ABC=∠ECB.∴∠BEC=∠ECB.∴BE=BC.★8如图,已知点P在☉O外,PC是☉O的切线,切点为C,直线PO与☉O相交于点A,B.(1)试探索∠BCP与∠P的数量关系.(2)若∠A=30°,则PB与PA有什么关系?(3)∠A可能等于45°吗?为什么?∵PC是切线,∴∠BCP=∠A.∵AB是直径,∴∠ACB=90°...DOC 版. 在△ACP 中,∠A+∠P+∠ACP=180°,∴∠BCP+∠P+∠ACB+∠BCP=180°.∴2∠BCP+∠P+90°=180°.∴∠P=90°-2∠BCP.(2)若∠A=30°,则∠BCP=∠A=30°,∠ABC=60°. ∴∠P=30°,∴PB=BC ,BC=12AB.∴PB=13PA ,即PA=3PB.(3)∠A 不可能等于45°.理由如下:设∠A=45°,则∠ABC=45°,∠BCP=45°, ∴CP ∥AB ,与题干中PC 与AB 交于点P 矛盾, ∴∠A 不可能等于45°.。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.1圆周角定理练习新人教A版选修4_1
一圆周角定理1.如图,AB为☉O的直径,C为圆周上一点,的度数为60°,OD⊥BC于D,OD=10,则AB等于() A.20 B.10 C.40 D.20AB为☉O的直径,C为圆周上一点,∴∠C=90°.又OD⊥BC于D,∴OD∥AC.∵O为AB的中点,∴AC=2OD=20.又的度数为60°,∴∠CBA= 0°.∴AB=2AC=40.2.(2016·福建宁德高二检测)已知AB是圆O的直径,C是上的一点,且AC=6,BC=8,则圆O的半径r等于()A.5B.10C.2D.4AB是圆O的直径,所以∠ACB=90°,于是AB=22622=10,因此2r=10,所以半径r=5.3.如图所示,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使AC=AB,则()A.CD>DBB.CD=DBC.CD<DBD.CD与DB的大小关系不确定,连接AD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.又∵AC=AB,∴BD=CD.4.导学号19110026已知点C,D是以AB为直径的圆弧上的两点,若所对的圆周角为25°,所对的圆周角为 5°,则所对的圆周角为()A. 0°B.40°C. 0°或 0°D. 0°C,D在AB的同侧,则所对的圆周角为 0°;若C,D在AB的异侧,则所对的圆周角为 0°.5.如图,在☉O中,弦AD,BC相交于点P,则等于()A. B. C. D.C=∠A,∠D=∠B,∴△CPD∽△APB.∴.6.如图,在☉O中,∠A=α,则∠OBC=.A=α,所以∠COB=2α.又△COB为等腰三角形,-α.所以∠OBC=-222α7.(2016·河北邢台高二检测)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边AB交于点P,则BP的长为.解析连接CP,由推论2知∠CPA=90°,即CP⊥AB.由射影定理知AC2=AP·AB,∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4..48.如图所示,☉O的直径MN⊥AB于点P,∠BMN= 0°,则∠AON=.解析连接BO,则AO=BO,即∠OAB=∠OBA.又MN⊥AB,则∠AON=∠NOB=2∠BMN=60°.9.(2016·河南平顶山高二月考)已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径,求证:∠BAE=∠DAC.BE,因为AE为直径,所以∠ABE=90°.因为AD是△ABC的高,所以∠ADC=90°.所以∠ADC=∠ABE.因为∠E=∠C,∠BAE=1 0°-∠ABE-∠E,∠DAC=1 0°-∠ADC-∠C,所以∠BAE=∠DAC.10.导学号19110027如图,已知AD为锐角三角形ABC的外接圆O的直径,AE⊥BC于E,交外接圆于F.(1)求证:∠1=∠2;(2)求证:AB·AC=AE·AD;CF.(3)作OH⊥AB,垂足为H,求证:OH=12连接DF,∵AD为直径,∴∠AFD=90°.又BC⊥AF,∴DF∥BC.∴.∴∠1=∠2.(2)连接BD.∵AD为直径,∴∠ABD=90°.又AE⊥BC,∴∠AEC=90°.∴∠ABD=∠AEC.又∠1=∠2,∴△ABD∽△AEC(或由∠1=∠2,∠ACB=∠ADB可知△ABD∽△AEC).∴,即AB·AC=AE·AD.(3)连接CF.∵AD为直径,∴∠ABD=90°.又OH⊥AB,∴OH∥BD.∴H为AB的中点,即OH为△ABD的中位线.BD.∴OH=12CF.又,∴BD=CF.∴OH=12。
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高中数学第二讲直线与圆的位置关系2-1圆周角定理练习新人教
A版选修4
课后篇巩固探究
1.
如图,AB的直径,C为圆周上一点,的度数为60°,OD⊥BC于D,OD=10,
则AB等于
B.10
为圆周上一点,
∵O为AB的中点,∴AC=2OD=20.
又的度数为
AB是圆O的直径,C是上的一点,且AC=6,BC=8,则圆O的半径r等
于
所以∠ACB=90°,于是
如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使AC=AB,则()
A.CD>DB
B.CD=DB
C.CD<DB
,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵AC=AB,
52574024已知点C,D是以AB为直径的圆弧上的两点.若所对的圆周角为35°,则所对的圆周角为
()
A.30°
B.40°
()
解析:∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△CPD∽△APB.
α,则∠OBC=.
.
又△COB
-α
如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边AB交于
由射影定理知AC2=AP·AB,∴AP=3.6,
于点P,∠BMN=30°,则∠AON=.
的外接圆的直径.求证:∠BAE=∠DAC.。