2021年高二10月月考数学(理)试题 含答案
高二数学上学期第一次月考10月试题
赣榆一中2021－－2021第一学年度第一学期第一次月考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日高二数学试卷〔分值：160分 时间是：120分钟〕一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分。
请把答案填写上在答题卡相．．．．应的位置上．．．．．〕 1.假设121+=-n n a *)n N ∈（，那么33是数列{}n a 的第 ▲ 项.2.等差数列{}n a 的前三项依次为1a -，12+a ，4a +，那么=a ▲ ． 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设151,9,a a ==那么5S = ▲ . 4．x 是4和16的等比中项，那么x ＝ ▲ ．5．等比数列{}n a 中,218a =,48a =，那么数列{}n a 的公比为 ▲ . 6. 等差数列{}n a 中，3910,28a a ==，那么12a = ▲ . 7. 数列{}n a 满足11115,5()n na n N a a ++=-=∈那么=n a ▲ .8．等比数列}{n a 中，3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数，那么3a =___▲___．9．等差数列{}n a 中,125a =，179S S =，那么当n = ▲ 时n S 有最大值 。
10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，假设12=a ，3572a a a +=，那么=6a▲. 11.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n S a ，那么数列{}n a 的公比为___▲___.12．等比数列{}n a 的前n 项和22nn S a a =⋅+-，那么a =___▲___．13．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，⋅⋅⋅，(,,)n n n a b c ．假设数列{}n c 的前n 项和为n S ，那么10S = ▲ 〔用详细数值答题〕．14.数列{}n a 满足12(2)n n a m a ++=+〔2n a ≠-，m为常数〕，假设3456,,,a a a a {18,6,∈--}2,6,30-，那么1a = ▲ .二、解答题：〔本大题一一共6小题，一共90分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕15．〔满分是14分〕(1) 在等差数列{}n a 中，2,15,10n d n a ===-，求1a 及n S ； 〔2〕在等比数列{}n a 中，23346,12a a a a +=+=，求q 及10S . 16．〔满分是14分〕数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足:)12(,111-+=-=+n b b b n n ．*)n N ∈（〔1〕求数列}{n a 的通项n a ； 〔2〕求数列}{n b 的通项n b ；17.〔满分是14分〕设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； 〔2〕设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，且,1b 2b 4b 成等差数列，求t 的值.18.〔满分是16分〕设等比数列{}n a 的前．．n ．项．和为．．n S ，且637,63S S ==．(1)求n a 和n S ；(2)记数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T ．19．〔满分是16分〕在正项等比数列{}n a 中，14a =, 364a =.(1) 求数列{}n a 的通项公式n a ;(2) 记4log =n n b a ,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(3) 记24,y m λλ=-+-对于〔2〕中的n S ，不等式n y S ≤对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，务实数m 的取值范围.20．〔满分是16分〕数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，满足：52225S a -=，且1413,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.〔1〕求数列{}{},n n a b 的通项公式； 〔2〕求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S ；〔3〕设n T 是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,是否存在*k N ∈，使得等式112k k T b -=成立，假设存在，求出k 的值；假设不存在，说明理由.第一次月考数学参考答案1. 6 ；2. 123. 254. 8±5. 23± 6. 37 7. 52524n -8， －4 9. 13 10. 4 11. 1212. 1 13. 2101 14. －3或者12615.【解析】〔1〕∵2,15,10n d n a ===-，∴138,360n a S =-=-； …………7分〔2〕∵23346,12a a a a +=+=，∴1101,2,1023a q S === …………14分16. 〔1〕∵nn S 2=,∴)2(,211≥=--n S n n ．∴111222(2)n n n n n n a S S n ---=-=-=≥．当1=n 时，2121111==≠=-a S ，∴12(1),2(2).n n n a n -=⎧=⎨≥⎩ …………7分 〔2〕22n b n n∴=- …………14分17. (1〕设等差数列{}n a 的公差为d . 由得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………………2分即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩， (4)分. 故221n n a n S n =-=，. ………6分〔2〕由〔1〕知2121n n b n t-=-+.因为,1b 2b 4b 成等差数列，所以，4122b b b +=，……8分.即tt t +++=+⨯7711332，……………11分 解之得5t =或者0…………………… …14分18. 解：(1)假设1q =，那么362S S =，与矛盾，所以1q ≠。
2021-2022年高二上学期第一次月考数学(理)试题 含答案
D CBAOyxxx 第一学期高二第一次月考2021-2022年高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题：（将你认为正确的答案填在答卷的表格内，每题有且只有一个正确选项）1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ，则P 的子集共有：A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。
若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是： （A ）4（B ）5（C ）6（D ）73.已知函数f （x ）=。
若f(a)+f(1)=0,则实数a 的值等于： A. -3 B. -1 C. 1 D. 34.设向量则下列结论中正确的是： A. B. C. D. 垂直5、已知在上是减函数，在上是增函数，则的值是： A 、 B 、6 C 、 D 、12 6．如图所示，ABCD 是一平面图形的水平 放置的斜二侧直观图。
在斜二侧直观图中， ABCD 是一直角梯形，A B ∥CD ，， 且BC 与轴平行。
若 ，则这个平面图形的实际面积为： A ． B ． C ． D ．7．实数、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y 则的取值范围是：A ．B ．C ．D ．8．圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，三棱柱的底面是正三角形。
那么在圆柱内任取一点，该点落在三棱柱内的概率为： A. B. C. D.9.设，函数4sin()33ππω=+y x +2的图像向右平移个单位后与原图象重合， 的最小值是（ ） A. B. C. D. 310. 数列的通项公式分别是 ， ，则数列的前100项的和为： A ． B ． C ． D ．二、填空题：（将你认为正确的答案填在答卷对应题序的横线上） 11．右面的程序框图给出了计算数列的前8项 和S 的算法，算法执行完毕后,输出的S 为 ．12.函数的定义域是13.已知等比数列中，前项和为 ，当 ，时，公比的值为14.下表是避风塘4天卖出冷饮的杯数与当天气温的对比气温 / 20 25 30 33 杯数20386070如果卖出冷饮的杯数与当天气温成线性相关关系，根据最小二阶乘法，求得回归直线方程是 ，则的值是 。
高二10月月考(数学)试题含答案
高二10月月考（数学）（考试总分：100 分）一、 单选题 （本题共计7小题，总分35分）1.（5分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4512a a +=，则8S 的值为（ ） A ．14B ．28C ．36D ．482.（5分）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m > 到其焦点的距离为5，则实数m 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．83.（5分）已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y +-=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．24.（5分）已知空间向量(2,1,2)a =-，(1,2,1)b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是（ ） A ．424(,,)333-B ．(2,1,2)-C ．242(,,)333-D ．(1,2,1)-5.（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A ．192 里B ．96 里C ．48 里D ．24 里6.（5分）设1F ，2F 是椭圆22:193x y C m m+=++的焦点，若椭圆C 上存在一点P 满足1290F PF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．](,3-∞B ．](3,3-C ．)3,+∞⎡⎣D ．]3,3⎡-⎣7.（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点为1A 、2A ，又点()10,B b -、()20,B b ，若焦点到渐近线的距离等于2，112211222F B F B A B A B S S =四边形四边形，则双曲线的方程为（ ）A ．223144x y -=B ．2241134x y -= C ．223142x y -= D ．224132x y -=二、 多选题 （本题共计2小题，总分10分）8.（5分）已知111ABC A B C -是各条棱长均等于1的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，下列结论正确的是（ ）A ．AC 与平面1AB D B ．平面1AB D 与平面111A BC 所成的角是60 C ．1A B AD ⊥ D ．平面1A BD ⊥平面1AB D9.（5分）已知0a b >>，椭圆22122:1x y C a b +=的离心率为1e ，双曲线22222:1x y C a b-=的离心率为2e 则（ ） A ．椭圆1C 的长轴长为2a B ．双曲线2C 的虚轴长为2aC ．椭圆1C 与双曲线2C 的焦距相等D ．22122e e += 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分）10.（5分）设,P Q 分别为直线0x y -= 和圆22(6)2x y +-= 上的点，则||PQ 的最小值为_______.11.（5分）在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960a a a a ++++=，则123100a a a a ++++=__________.12.（5分）己知椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，过点)(1,1M -且斜率为12的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的方程为______．四、 解答题 （本题共计3小题，总分40分）13.（13分）已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1＝3，且a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若S n 表示数列{a n }的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．14.（13分）如图，已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N AM C --的正弦值．15.（14分）己知F 是椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点M 在椭圆上，MF x ⊥轴，MF 4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 为直线:l x =Q 为椭圆C 上一点，且以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求2216OP OQ -的取值范围．答案一、 单选题 （本题共计7小题，总分35分） 1.（5分）D 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质即可求出. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和， 所以()()18818842a a S a a +==+ ()45448a a =+=故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题. 2.（5分）C 【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离解出p ，再将点M 的坐标代入抛物线方程即可解得. 【详解】抛物线的准线方程为：2px =-，因为M 到焦点距离为5，所以M 到准线的距离152p+=，即p =8，则抛物线方程为216y x =.将(1,m )代入得：216m =，因为0,m >所以4m =.故选：C. 3.（5分）B 【分析】首先由点P 的坐标满足圆的方程来确定点P 在圆上，然后求出过点P 的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解. 【详解】由题知，圆22(1)5x y +-=的圆心(0,1)C ，半径r = 因为222(21)5+-=，所以点(2,2)P 在圆C 上， 所以过点P 的圆C 的切线l 与直线PC 垂直， 设切线l 的斜率k ，则有1PC k k ⋅=-，即21120k -⋅=--，解得2k =-. 因为直线10ax y -+=与切线l 垂直， 所以1k a ⋅=-，解得12a =. 故选：B. 4.（5分）A 【分析】由向量b 在向量a 上的投影向量为||cos ,||ab a b a <>，计算即可求出答案． 【详解】解：向量(2,1,2)a =-，(1,2,1)b =-则2||223a =+，22||11b =+()()2112126a b =⨯+-⨯-+⨯=，所以向量b 在向量a 上的投影向量为()2,1,26424cos ,6,,333336a a b a b a bb a aa b -⋅⎛⎫=⋅=⨯=- ⎪⨯⎝⎭． 故选：A ． 5.（5分）B 【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列{}n a ，由题意和等比数列的求和公式可得61112378112a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎦，解得1192a =，第此人第二天走1192962⨯=里.故选：B ． 6.（5分）B 【分析】判断椭圆的焦点所在轴，P 点为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠取得最大角，进而得出结论． 【详解】解：因为椭圆方程为22:193x y C m m+=++，930,3m m m +>+>>-，排除A,D 选项， 所以椭圆焦点在x 轴，29a m =+，23b m =+，所以c 当P 点为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠取得最大角，设12F PF θ=∠，则ππ,sin 4222θθ≤<=，解得33m -<， m 的取值范围是(3-，3]．故选：B ． 7.（5分）A 【分析】求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出2b =，再根据题意可得222c b a b ⋅=⨯⋅，求出2c a =，再由222a c b =-即可求解. 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，可得()1,0F c -，()2,0F c ，()1,0A a -，()2,0A a ， 其渐近线为by x a=±，不妨取by x a =，即0bx ay -=，则()2,0F c 2b ==，又112211222F B F B A B A B S S =四边形四边形，则222c b a b ⋅=⨯⋅，即2c a =，因为222a c b =-，则2244a a =-，解得243a =，所以双曲线的方程为223144x y -=. 故选：A二、 多选题 （本题共计2小题，总分10分）8.（5分）ACD 【分析】根据正三棱柱的性质，结合空间线面的关系，逐项分析判断即可得解. 【详解】对A ，设点C 到平面1AB D 的距离为h ，易知1B 到平面ACD 由11C ABD B ACD V V --=，可得1113332AB DACD Sh S ⋅=⋅，由1AB =，AD =1B D =所以112AB DS==14ACDS =，解得h =AC 与平面1AB D 所成的角的正弦值为41hAC ==A 正确； 如图，延长1,B D BC 交于点P ，连接AP ，由112CD BB =知C 为BP 中点，由ABC 为等边三角形， 所以90BAP ∠=，所以1BAB ∠为二面角的平面角， 易知145BAB ∠=，故B 错误；对C ，由AB AP ⊥，根据正三棱柱的性质可得AP ⊥平面11ABB A ， 所以1AP A B ⊥，又11A B AB ⊥，所以1A B ⊥平面1AB P ，所以1A B AD ⊥，故C 正确； 对D ，由C 答案的分析可知，1A B ⊥平面1AB P ，1A B ⊥平面1AB D ，而1A B ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面1AB D ，故D 正确. 故选：ACD 9.（5分）AD 【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐一判断即可. 【详解】 对于A ，椭圆22122:1x y C a b +=，且0a b >>，所以1C 的长轴长为2a ，故A 正确； 对于B ，双曲线22222:1x y C a b-=，2C 的虚轴长为2b ，故B 不正确；对于C ，椭圆1C 的焦距为2C 的焦距为C 不正确；对于D ，22221221a b b e a a-==-，22222221a b b e a a +==+，所以22122e e +=，故D 正确； 故选：AD三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分）10.（5分）【分析】易知||PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】圆心()0,6到直线0x y -=的距离为d ==所以||PQ 的最小值为d r -==故答案为： 11.（5分）145 【分析】根据题意得到12310013599246100a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++，再由等差数列性质得到24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++，代入数据计算即可得到答案.等差数列{}n a 中，已知公差12d =，12310013599246100a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=. 故答案为：145.2212x y += 12.（5分）【分析】设出点A ，B 的坐标，利用中点坐标公式，斜率公式以及点差法联立即可求解． 【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由已知可得：122x x +=-，122y y +=，且121212y y x x -=-，把点A ，B 的坐标代入椭圆方程可得：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，则2121221212()()1()()2y y y y b a x x x x -+=-=-+，又抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，所以1c =， 所以221a b -=，则22a =，21b =，所以椭圆的方程为：2212x y +=，故答案为：2212x y +=．四、 解答题 （本题共计3小题，总分40分） 13.（13分）（1）a n ＝2n +1（2）T n ＝32342(1)(2)n n n +-++ 【分析】（1）根据题意得24113a a a =⋅，设公差为d ，代入可求得d 值，代入等差数列通项公式，（2）由（1）得a n ＝2n +1，即可求得n S ，进而可得11111()(2)22n S n n n n ==-++，根据裂项相消求和法，计算即可得答案. （1）由题意得：24113a a a =⋅，设公差为()d d ≠0，所以（3+3d ）2＝3（3+12d ），解得d ＝0（舍）或2， 所以a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1． （2）由于（1）得a n ＝2n +1，则(24)2n n n S +=＝n 2+2n ， 所以11111()(2)22n S n n n n ==-++．所以T n ＝1111111111(1)232435112n n n n -+-+-++-+--++ =1111(1)2212n n +--++＝32342(1)(2)n n n +-++．14.（13分）（1）证明见解析；（2 【分析】（1）先在等腰三角形ABC 中证OB AC ⊥，然后在MOB △中根据勾股定理证OB OM ⊥，从而结论得证；（2）用向量法求两个面的法向量，根据向量的夹角公式来求二面角的余弦值. 【详解】（1）连接OM ，在ABC 中，因为2AB BC ==，AC =O 为AC 的中点，所以OB AC ⊥，且OB在MAC △中，因为MA MC AC ===O 为AC 的中点，所以OM AC ⊥，且OM =在MOB △中，因为OB OM =MB = 所以222BO OM MB +=，所以OB OM ⊥，又AC OM O =，,AC OM ⊂平面AMC ，所以OB ⊥平面AMC ．（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为MA MB MC AC ====2AB BC ==，所以(0,A，B，C，M ，(0,AM =，(BC =-，由23BN BC =，得(33N，则2(33AN =， 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则20320ANm x y AM m y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令y =(51)m =--， 因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB =为平面AMC 的一个法向量， 设二面角N AM C --为θ，则cos cos ,m OB θ-=〈〉==因为[]0,θπ∈，所以二面角的正弦值sin θ===15.（14分）（1）22184x y +=；（2）[50-，)+∞． 【分析】（1）由已知建立等式关系，联立方程求出a ，b ，再得到椭圆的方程；（2）根据椭圆的参数方程设点Q 的坐标，再设点P 的坐标，利用已知可得OP ，OQ 垂直，则向量OP 与向量OQ 的数量积为0，得出等式关系，然后表示出所求的关系式，利用基本不等式，得到其范围．【详解】（1）由已知可得224b b a=⎧⎪⎨=⎪⎩a =2b =， 所以椭圆的标准方程为22184x y +=； （2）根据椭圆的参数方程可设点,2sin )Q θθ，[0θ∈，2)π，另设点P的坐标为)m ，因为以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，所以OP OQ ⊥，即12cos 2sin 0OP OQ m θθ⋅=+=，所以6cos sin m θθ=-， 所以22222||16||1816(8cos 4sin )OP OQ m θθ-=+-+223664146sin sin θθ=+-， 令2sin [0t θ=∈，1]， 则223636||16||641462641469614650OP OQ t t t-=+-⨯=-=-，当且仅当3664t t =，即3t 4=时取等号， 此时22||16||OP OQ -的取值范围为[50-，)+∞．【点睛】解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.。
2021年高二10月月考数学(理)试题含答案
2021年高二10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{a n }中，a 2＋a 12＝32，则2a 3＋a 15的值是( )A ．24B ．48C ．96D ．无法确定2．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时，经过的路程是( )A ．100＋200×(1－2－9)B ．100＋100(1－2－9)C ．200(1－2－9)D ．100(1－2－9)3．设公差d ≠0的等差数列{a n }中，a 1，a 3， a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝( )A.75B.57C.34D.434．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 7＋a 13的值是一确定的常数，则下列各式：①a 21；②a 7；③S 13；④S 14；⑤S 8－S 5.其结果为确定常数的是( ) A ．②③⑤ B ．①②⑤ C ．②③④ D ．③④⑤5．等差数列{a n }前n 项和为S n ，满足S 20＝S 40，则下列结论中正确的是( )A ．S 30是S n 中的最大值B ．S 30是S n 中的最小值C ．S 30＝0D ．S 60＝06．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为 A.100101 B.99101 C.99100 D.1011007．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．78．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶49. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A . π3 B. 2π3 C. 3π4 D. 5π610.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ）A.24B.26C.25D.28二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a＝2，B＝π6，c＝2 3，则b＝________.12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.13．已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.14．已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．15. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若=a1+a200,且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200=_________．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．17．（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和S n=12n-n2,求数列{|a n|}的前n项和T n.18．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＝b2＋c2＋3ab.(1)求A；(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cos B cos C的最大值，并指出此时B的值．19．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2，且n ∈N *)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．20．（本小题满分13分）数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .21．（本小题满分14分）在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N *恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由．数学答案5．D 解析：∵{a n }为等差数列，S 20＝S 40，∴a 21＋a 22＋…＋a 40＝0.S 60＝ (a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋a 22＋…＋a 40)＋(a 41＋a 42＋…＋a 60)＝3(a 21＋a 22＋…＋a 40)＝0.6．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－12d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1) d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.7．由题意a 27＝a 3a 11＝16，且a 7＞0，∴a 7＝4，∴a 10＝a 7·q 3＝4×23＝25，从而log 2a 10＝5. 8．D 解析：∵a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A >B >C ，可得a >b >c ，∴a ＝c ＋2，b ＝c ＋1. ①又∵3b ＝20a cos A .∴cos A ＝3b20a . ②由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. ③由②③，得3b 20a ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ④联立①④，得7c 2－13c －60＝0，解得c ＝4或c ＝－157(舍去)．∴由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.故选D.9．B 解析：b ＋c ＝2a ，sin A sin B ＝53＝a b ，a ＝53b ，c ＝73b ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b 2＝－159103＝－12，C ＝23π.10． B 设该等差数列为｛a n ｝,由题意，得a 1+a 2+a 3+a 4=21,a n +a n-1+a n-2+a n-3=67,又∵a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=a 4+a n-3,∴4(a 1+a n )=21+67=88, ∴a 1+a n =22.∴S n ==11n =286,∴n =26.三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）解：(1)由已知得到：2sin A sin B ＝3sin B ，且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin B ≠0. ∴sin A ＝32，且A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3. (2)由(1)知cos A ＝12，由已知得到： 36＝b 2＋c 2－2bc ×12⇒(b ＋c ) 2－3bc ＝36⇒64－3bc ＝36⇒bc＝283，∴S △ABC ＝12×283×32＝7 33. 17．（本小题满分12分）当n =1时，a 1=S 1=12-12=11.当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(12n-n 2)-［12(n -1)-(n -1) 2］=13-2n . 又n =1时适合上式，∴{a n }的通项公式为a n =13-2n .由a n =13-2n ≥0得n ≤，即当1≤n ≤6(n ∈N +)时，a n >0,当n ≥7时，a n <0.① 当1≤n ≤6（n ∈N +）时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =12n-n 2. ②当n ≥7(n ∈N +)时，T n =|a 1|+|a 2|+…|a n |=(a 1+a 2+…+a 6)-(a 7+a 8+…+a n )=S 6-(S n -S 6)=2S 6-S n=2(12×6-62)-［11n +×(-2)］=n 2-12n +72.12n-n 2(1≤n ≤6,n ∈N +)∴T n = n 2-12n +72(n ≥7,n ∈N +) 18．（本小题满分12分）解：(1)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵A 为三角形的内角，∴A＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，由正弦定理，得b ＝a sin B sin A，c sin A ＝a sin C 及a ＝3， ∴S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ，则S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )，则当B －C ＝0，即当B ＝C ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值为3.19．（本小题满分12分）(1)证明 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0，∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n.当n ≥2时，有a n ＝－2S n ×S n－1＝－12nn －1，又∵a 1＝12，不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.20．（本小题满分13分）(1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ，∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列，因此S n ＝3n －1(n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2(n ≥2)，∴数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n .当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2，①3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得：－2T n ＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1＝2＋2·31－3n －21－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)·3n －1(n ≥2)．又∵T 1＝a 1＝1也满足上式，∴T n ＝12＋(n －12)·3n －1(n ∈N *).38442 962A 阪?N26386 6712 朒36125 8D1D 贝[.33808 8410 萐33361 8251 艑h625940 6554 敔32106 7D6A 絪34701 878D 融。
内蒙古赤峰市第二实验中学2020-2021学年高二10月月考数学(理)试卷 PDF版含答案
数学试卷（理科）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出★★答案★★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★★答案★★标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设命题01,:2>+∈∀x R x p ，则p ⌝为（ ） A ．01,200>+∈∀x R x B ．01,200≤+∈∃x R x C ．01,200<+∈∃x R x D ．01,200≤+∈∀x R x【★★答案★★】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定为01,200≤+∈∃x R x ．2、抛物线x y 42=的焦点到双曲线191622=-y x 渐近线的距离为（ ）A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 【★★答案★★】C【解析】抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，双曲线191622=-y x 的一条渐近线为043=-y x ，距离534301322=+-⨯=d ． 3、已知)1,3,1(-A ,)1,0,4(-B ，)2,3,2(-C ，则AC 与AB 的夹角为（ ）A ．30B ． 45C ． 60D ．90【★★答案★★】C 【解析】由题意可知，，设，则，∴．4、设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点与抛物线241y x =的焦点相同，且离心率为22，则此椭圆的方程为（ ）A ．1222=+y xB ．12322=+y xC ．13422=+y xD ．1422=+y x【★★答案★★】A 【解析】抛物线241y x =的焦点为)0,1(，∴且，∴，，∴椭圆方程为，故选A ．5、直线b x y l +=:与抛物线x y C 4:2=相切，则实数=b （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【★★答案★★】D 【解析】联立，化为，∵直线与抛物线相切，∴，解得．6、双曲线122=+my x 的虚轴长是实轴长的3倍，则=m （ ） A ．9B ．91 C ．9- D ．91-【★★答案★★】D【解析】1112222=--⇒=+my x my x ，由已知可得131⨯=-m ，解得91-=m ， 故选D ．7、已知11:≤-x p ，032:2≥--x x q ，则p 是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【★★答案★★】A【解析】11:≤-x p ，化为11≤≤-x ，解得20≤≤x ，032:2≥--x x q ，解得3≥x 或1-≤x ，则31:<<-⌝x q ，则p 是q ⌝的的充分不必要条件．8、过抛物线x y 82=的焦点作一条倾斜角为 60直线交抛物线于B A ,两点，则=AB （ ） A ．316 B ．332C ．15D ．12 【★★答案★★】B 【解析】抛物线中，，焦点)0,2(F所以，直线方程为)2(3-=x y ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==)2(382x y x y 消去y 得0122032=+-x x ， 所以32021=+x x ，则332432021=+=++=p x x AB ．9、设经过点)1,3(M 的等轴双曲线的焦点为21,F F ，此双曲线上一点N 满足21NF NF ⊥，则21F NF ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16【★★答案★★】B【解析】设等轴双曲线方程为，将点代入可得，∴双曲线标准方程为，∴，，，即，∴，∴的面积为，故选B ．10、如图所示，空间四边形OABC 中，a OA =，b OB =，c OC =，点M 在OA 上，且MA OM 2=，N为BC 中点，则=MN ( )。
2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期10月月考数学(理)试题及答案
2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期10月月考数学（理）试题★考试顺利★(含答案)一、选择题（每小题5分,共12小题,共60分）1. 设命题:p 2,2n n N n ∀∈≤ ,则p ⌝为（ ）0022220000.,2.,2.,2.,2n n n n A n N n B n N n C n N n D n N n ∃∈>∃∈≤∀∈>∀∉>2．下面四个条件中,使a b <成立的充分不必要条件是（ ）2233...1.1A a b B a b C a b D a b <<<+<-3. 某班有学生50人,现将所有学生按1,2,3,...,50随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样）,已知编号为4,,24,,44a b 号学生在样本中,则a b +=（ ）.14.34.48.50A B C D4. 阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式,设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ,则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为2,面积为8π,则椭圆C 的标准方程为（ ） 2222.11164164x y y x A +=+=或 2222.1116121612x y y x B +=+=或 2222.11124124x y y x C +=+=或 2222.11169916x y x y D +=+=或 5. 连续抛掷两枚质地均匀的骰子,则向上点数之积为6的概率是（ ）1531 (936186)A B C D6. 关于曲线22:C x y x y +=+,给出下列五个命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于y x =对称； ④曲线C 关于原点对称；⑤曲线C 所围成的区域面积大于6其中正确的命题个数为（ ）.2.3.4.5A B C D7. 某学校随机抽查了本校20个学生,调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min ）,根据所得数据的茎叶图,以5为组距将数据分为8组,分别是[0,5）,[5,10）,…,[35,40],作出频率分布直方图如图所示,则原始的茎叶图可能是( ).A .B.C .D8. 在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为:“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是（ ）.A 甲地：总体平均值为3,中位数为4 .B 乙地：总体平均值为1,总体方差大于0.C 丙地：中位数为2,众数为3 .D 丁地：总体均值为2,总体方差为29. 定义{},,min ,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩ ,在区域0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 内任取一点(),P x y ,则点(),P x y 满足{}min 21,11x y x y x y -++-=+- 的概率为（ ）1751 (2121212)A B C D 10．已知点()1,0A -,()10B ,,若圆22(1)(2)1x a y a -++--=上存在点M 满足8MA MB ⋅= ,则实数a 的值不可以为（ ）。
2021-2022年高三上学期10月月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合{}{}1,2,5,4,5,6U A C B ==，则集合A. B. C. D.2.若，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.3.函数的零点有A.0个B.1个C.2个D.3个 4.设0.13592,1,log 210a b g c ===，则a,b,c 的大小关系是 A. B. C. D.5.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果是两条平行直线的同旁内角，则B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列中，()11111,221n n n a a a n a -⎛⎫==+≥ ⎪-⎝⎭，计算，由此猜测通项 6.已知函数的导函数为，且满足，则A. B. C.1 D.e7.函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是，则A.1B.2C.3D.48.函数满足，那么函数的图象大致为9.设函数是定义在R 上周期为3的奇函数，若，则有 A. B. C.D.10.已知()32log ,03,,,,1108,333x x f x a b c d x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是A.B. C. D.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上.11. __________.12.设实数满足240,0,0.x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩则的最大值为_________.13.观察下列式子222222131151117:1,1,1222332344+<++<+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________________________.14.在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为_______、_______.15.下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab ”；②若命题，则；③若命题“”与命题“”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④命题“若，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是_________.（把所有正确命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B xC x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭. （I ）求集合；（II ）若，求实数a 的取值范围.17. （本题满分12分）设命题p ：函数在R 上是增函数，命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=，如果是假命题，是真命题，求k 的取值范围.18. （本题满分12分）已知函数.（I ）若函数的图象在处的切线方程为，求a,b 的值；（II ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的最大值.19. （本题满分12分）已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈. （I ）若，且函数的值域为，求函数的解析式；（II ）若，且函数在上有两个零点，求的取值范围.20. （本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为161,04815,42x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤10⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（I ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（II ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a （1≤a ≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）.21. （本题满分14分）设，函数.（I）求的单调递增区间；（II）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（III）设是函数图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，直线AB的斜率为为k.证明：.T *35356 8A1C 訜21153 52A1 务24278 5ED6 廖37058 90C2 郂40714 9F0A 鼊B21961 55C9 嗉35803 8BDB 诛e24194 5E82 庂F。
2021年高二10月月考数学试题 Word版含答案
xx~xx学年度2021年高二10月月考数学试题 Word版含答案一、选择题 (本大题共12小题,每小题4分,共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若直线与直线垂直，则的值为( )A.2B.或1C.2或0D.1或02.集合，，则( )A. B. C. D.3.菱形ABCD的相对顶点为，则对角线BD所在直线的方程是( )A. B. C. D.4.若已知函数，且，则的大小关系是( )A. B.C. D.5.当圆的面积最大时，圆心坐标是( )A. B. C. D.6.过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°7设满足约束条件，若目标函数的最小值是，则的最大值为（）A．1 B．C．D．8.已知直线，其中为实数，当这两条直线的夹角在(0,)内变动时，的取值范围是( )A. B. C.(,1)∪(1,) D.(1,)9.已知直线：，直线与关于直线对称，则直线的斜率为( )A. B. C.2 D.－210.如果直线与圆交于M、N两点,且M、N关于直线对称，则不等式组表示的平面区域的面积是( )A. B. C.1 D.211.圆心在直线上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为( )A. B. 或C. D. 或12.方程有两个不同的解时,实数k的取值范围是( )A. B.(,+∞) C.() D.二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分。
把答案填在题中的横线上。
)13.若满足约束条件则的最大值为__________.14.已知，则222)22222+-x--++的最小值为y++-++)x1()1()1(y1(yxxy15.过点P（）可作圆的两条切线，则的取值范围是_______.16.已知圆，直线，下面四个结论：①对任意实数k与θ，直线和圆M相切；②对任意实数k与θ，直线和圆M有公共点；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线和圆M相切；④对任意实数k，必存在实数θ，使得直线和圆M相切.其中正确结论的序号是(写出所有正确的序号)17.已知等边△ABC的边AB所在的直线方程为，点C的坐标为(1,)，则△ABC的面积为.18.圆C经过不同的三点，已知圆C在P点处的切线斜率为1，则圆C的方程为.三、解答题(本大题共3小题,共28分。
2021-2022年高二上学期10月月考试题数学含答案
2021年高二上学期10月月考试题数学含答案翟正平蔡广军姚动一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1. 命题“”的否定是.2.椭圆的焦距是8 .3. 已知，，则是的必要不充分条件.（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写）4.有下列三个命题①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆否命题.其中真命题的序号为_____（1）（3）_____.（写出所有正确命题的序号）5.若变量x，y满足约束条件1133y xxy x≤+⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数的最大值是___5___．6. 已知椭圆的一个焦点为,离心率为,则其标准方程为.7. 设,,且恒成立,则的最大值为 4 .8. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 .9. 已知11,1()22,1xxf xx x⎧+<-⎪=⎨⎪-≥-⎩，则不等式的解集为 .10. 已知正数满足，则的最小值是 11 .11. 设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则椭圆的离心率为 .12. 若关于的不等式的解集为单元素集，则的值为或 .13. 已知不等式的解集为M，若M［1，4］，则实数a的取值范围是.14.已知的三边长依次成等差数列，，则的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,且过点和.(1) 求椭圆的方程;(2) 若椭圆与椭圆有相同的焦点,且过点,求椭圆的方程.16．已知（1）若，命题“且”为真，，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解（1）（2）17．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件．，需另投入成本为，当年产量不足80件时，（万元）.当年产量不小于80件时，（万元）.每件．．商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件．．）的函数解析式；（2）年产量为多少件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？yxPAQ B F 1O F 2产量为100件时，利润最大为为1000万元.18． 已知椭圆：和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为． （1）求圆与椭圆的方程；（2）若成等差数列，求直线的方程..解：（1）取PQ 的中点D ，连OD ，OP 由，，知 2221444PQ PQ OQ OD ==+= 椭圆C 的方程为：，，（2）设，121224,24AF AF a BF BF a +==+==，的长成等差数列，设，由2200220064(1)9143x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得， ，.19.已知函数.(1)若,且不等式在上恒成立,求证:；(2)若,且不等式在上恒成立,求实数的取值范围；(3)设,,求不等式在上恒成立的充要条件.20.已知函数,．（1）当时，求的最小值；（2）若函数图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，求实数的取值范围；（3）若函数422()()(1)1h x x f x x bx ⎡=++++⎣在上有零点，求的最小值. 解：（1）（2）由题意可知，在上恒成立，把根式换元之后容易计算出；（3）422()()(1)1h x x f x x bx ⎡=++++⎣=0 即， 令,方程为，设，，当，即时，只需，此时，；当，即时，只需，即，此时． 的最小值为.。
高二10月月考(数学)试卷含答案
三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）17．（1）求离心率为 ，长轴长为6，焦点在 轴上的椭圆的标准方程；
（2）求以椭圆 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程；
18.（12分）18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲线上.
联立 ，得 ．
可知△ ． ， ，
从而 ． 原点到直线 的距离 ，
，
又由 ，得 ．
，得 ，即 ，
；
当 的斜率不存在时， ， ，
，又 ，解得 ， ． ．
综上， 的面积为定值1．
焦点在 轴上的椭圆的标准方程： ．
（2）椭圆 的焦点 ， 在x轴上，在x轴上的顶点坐标为 ， ，
可得双曲线的顶点坐标 ， ，焦点坐标 ， ，即 ， ，则 ，
所以双曲线的方程： ．
18.（12分）18.（1）∵ ，∴双曲线的实轴、虚轴相等.则可设双曲线方程为
∵双曲线过点 ，∴ ，即 .∴双曲线方程为 ..
A． B． C． D．
8.（5分）8.下列双曲线中，焦点在 轴上，且渐近线互相垂直的是（）
A． B．
C． D．
9.（5分）9．已知 、 是椭圆 的两个焦点，过 的直线与椭圆交于 、 两点，若 ，则该椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
10.（5分）10.已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点，若 为 的中点，则直线 的方程为
（2）证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则 ， .∴ ，
∵M点在双曲线上，∴ ，即 ，∴ ·.
19.（12分）19.（1）由已知可得 ，
2021-2022年高三上学期10月月考试题数学(理)含答案
2021-2022年高三上学期10月月考试题数学（理）含答案一、填空题：1. 设全集为，集合，集合，则(∁)= ▲2. 命题“对，都有”的否定为 ▲3. 对于函数,“是奇函数”是“的图象关于轴对称”的_____▲_____条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）4. 函数)12(log 1)(21+=x x f 的定义域为 ▲5. 已知向量，，，若，则实数 ▲6. 过原点作曲线的切线，则此切线方程为 ▲7. 已知的零点在区间上，则的值为 ▲8. 已知为非零向量，且夹角为，若向量，则 ▲9. 函数]2,0[,sin 21π∈-=x x x y 的单调增区间为 ▲ 10. 设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，⎩⎨⎧≤<-<≤-+=20,102,)(x ax x b ax x f ，则 ▲ 11. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，且，若，则 ▲12. 在面积为2的中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是 ▲13.若函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为 ▲14. 已知函数)(|1|)(22R m x mx x x f ∈--+=，若在区间上有且只有1个零点，则实数的取值范围是 ▲二、解答题：15. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.16. 设集合，|lg ,0,3x a B x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭. （1）当1时，求集合；（2）当时，求的取值范围．17. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，（1）若，求，的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求 的值.18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.19.中心在原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为2，两准线间的距离为10. 设过点作直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点（1）求椭圆的方程;（2）求证直线过轴上一定点（3）若过点作直线与椭圆只有一个公共点求过两点，且以为切线的圆的方程.20.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数（为实常数）的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．数学答题纸xx.10一、填空题(14×5＝70分)1、2、，3、充分不必要4、5、16、7、18、9、10、11、12、13、14、或二、解答题（共90分）19、（16分）（1）设椭圆的标准方程为依题意得：222,1,,210,c c a a c=⎧=⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎩⎪⎩得 所以，椭圆的标准方程为（2）设，，AP=tAQ ，则.结合⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14514522222121y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t t x t x 233221. 设B (x ，0)，则，，所以，直线过轴上一定点B (1，0). （3）设过点的直线方程为：代入椭圆方程 得： 2222(45)50125200k x k x k +-+-=.依题意得：即2222(50)4(45)(12520)0k k k -+-=得：且方程的根为.当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点,直线的方程是：11),(,0)5y x E =-∴.所求的圆即为以线段为直径的圆，方程为：22324()(;5525x y -+-=同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：22324()(.5525x y -++=20. 已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数（为实常数）的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．解：（1）g （x ）＝lnx －x ＋1，g′（x ）＝1x －1＝1－x x ，当0＜x ＜1时，g′（x ）＞0；当x ＞1时，g′（x ）＜0，可得g （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故g （x ）有极大值为g （1）＝0，无极小值．（2）h （x ）＝lnx ＋|x －a|．当a ≤0时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（0，＋∞）上单调递增；当a ＞0时，h （x ）＝⎩⎨⎧lnx ＋x －a ，x ≥a ，lnx －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（a ，＋∞）上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h （x ）＝lnx －x ＋a ，h′（x ）＝1x －1＝1－x x ．当0＜a ≤1时，h′（x ）＞0恒成立，此时h （x ）在（0，a ）上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h′（x ）＞0，当1≤x ＜a 时h′（x ）≤0，所以h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，a ）上单调递减．综上，当a ≤1时，h （x ）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a ＞1时，h （x ）增区间为（0，1），（a ，＋∞）；减区间为（1，a ）．（3）不等式（x 2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立，即（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立．当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；lnx ＜0，则（x 2－1）lnx ＞0；当x ≥1时，x 2－1≥0；lnx ≥0，则（x 2－1）lnx ≥0．因此当x ＞0时，（x 2－1）lnx ≥0恒成立．又当k ≤0时，k （x －1）2≤0，故当k ≤0时，（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2恒成立． 下面讨论k ＞0的情形．当x ＞0且x ≠1时，（x 2－1）lnx －k （x －1）2＝（x 2－1）[lnx －k(x －1)x ＋1]． 设h （x ）＝lnx －k(x －1)x ＋1（ x ＞0且x ≠1），222)1(1)1(2)1(21)('++-+=+-=x x x k x x k x x h ． 记△＝4（1－k ）2－4＝4（k 2－2k ）．① 当△≤0，即0＜k ≤2时，h′（x ）≥0恒成立，故h （x ）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x ＜1时，h （x ）＜h （1）＝0，又x 2－1＜0，故（x 2－1） h （x ）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又当x＝1时，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此当0＜k≤2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈（1，k－1）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，从而h（x）在（1，k－1）在单调递减；而当x∈（1，k－1）时，h（x）＜h（1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此当k＞2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x不恒成立．综上，当（x2－1）f （x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是（－∞，2]．22481 57D1 埑S=}20695 50D7 僗lo37408 9220 鈠39810 9B82 鮂"p38024 9488 针T。
2020-2021学年福建省厦门一中高二(10月份)月考数学试题(解析版)
2020-2021学年福建省厦门一中高二（10月份）月考数学试题一、单选题1．直线2sin 21020x y ⋅︒--=的倾斜角是（ ） A ．45︒ B ．135︒C ．30D ．150︒【答案】B【分析】由题意，取得直线的斜率1k =-，进而可求得倾斜角，得到答案． 【详解】由题意得2sin 2102sin301k =︒=-︒=-，故倾斜角为135︒.故选B. 【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角，以及三角函数的求值，其中解答中根据直线的方程，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2．已知直线1l ：10x y --=与2l ：220x ay -+=平行，则实数a 的值是（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【分析】根据直线平行可直接构造方程求得结果. 【详解】12//l l ，()()()()()1211012210a a ⎧⨯---⨯=⎪∴⎨-⨯--⨯-≠⎪⎩，解得：12a =.故选：A .【点睛】本题考查根据两直线平行求解参数值的问题，解题关键是明确若直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=平行，则12210A B A B -=且12210B C B C -≠.3．经过三点(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C 的圆的面积S =（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】D【分析】首先利用三点的坐标求出圆的方程，进一步利用圆的面积公式求出结果. 【详解】解：设圆的一般式方程为：220x y Dx Ey F ++++=， 由于：圆经过三点(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C 的坐标，故：109301420D F D F D E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得：2D =-，0E =，3F =-.故圆的方程为：22230x y x +--=，整理得：22(1)4x y -+=， 所以：4S π=. 故选：D .【点睛】本题考查的知识要点：圆的一般是方程的应用，圆的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.4．已知椭圆221113x y m m +=--，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）A ．5B ．6C ．9D ．10【答案】C【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m ．【详解】将椭圆的方程转化为标准形式为()()22221y x +=，显然m ﹣3＞11﹣m>0，即11>m ＞4，焦距为4,则(m-3)-(11-m)=4，解得m ＝9. 故选C ． 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系明了．5．在平面直角坐标系中，经过点P，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．6．若直线1y mx =+与圆22:220C x y x y +++=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则m =( ) A ．34B ．1-C ．12-D ．32【答案】A【分析】由AC BC ⊥得圆心到直线的距离求解即可【详解】圆C:()()22112x y +++= ,∵ AC BC ⊥∴圆心C 到直线的距离为1，则1= ，解m=34故选A【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，距离公式，准确计算是关键，是基础题7．已知圆22:2420C x y x y +-++=，从点(1,3)P --发出的光线，经直线y x =反射后，恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为（ ） A ．4- B ．14-C ．14D ．4【答案】A【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，由(1,2)C -关于直线y x =的对称点在入射光线上，由两点求斜率公式求解.【详解】解：由22:2420C x y x y +-++=，得22(1)(2)3x y -++=，圆心为(1,2)C -，由已知，反射光线经过(1,2)C -，故C 点关于直线y x =的对称点(2,1)-在入射光线上. 且光源(1,3)P --，∴入射光线的斜率1(3)42(1)k --==----.故选：A .【点睛】本题考查圆的切线方程，考查直线、点关于直线的对称问题，属于基础题.8．已知圆22:(2)16C x y +-=.若动点M 在直线60y +=上，过点M 引圆C 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A ，B .则直线AB 恒过定点N ，点N 的坐标为（ ） A ．(1,1)--B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(0,6)【答案】B【分析】根据题意可得M 、A 、C 、B 四点共圆，且以MC 为直径，写出该圆的方程，与圆C 的方程联立，求得直线AB 的方程，分析可得答案. 【详解】解：圆C 的圆心为(0,2)C ，半径为4r =， 因为MA 、MB 是C 的两条切线，所以CA MA ⊥，CB MB ⊥； 设点M 的坐标为(,6)a -， 因为90MAC MBC ∠=∠=︒，所以M 、A 、C 、B 四点共圆，且以MC 为直径， 该圆的方程为：()(6)(2)0x x a y y -++-=； 又圆C 的方程为22(2)16x y +-=， 两圆方程相减得：80ax y -+=， 即直线AB 的方程为80ax y -+=， 所以直线AB 恒过定点(0,0). 故选：B .【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了直线与圆相切的性质应用问题，是中档题.9．已知A 、B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点，且A 、B 关于坐标原点对称，F 是椭圆的一个焦点，若ABF ∆面积的最大值恰为2，则椭圆E 的长轴长的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】本题首先可以根据题意画出椭圆的图像，然后设出A 、B 两点的坐标并写出ABF S ∆的面积公式，再然后根据ABF ∆面积的最大值为2得出2cb ，最后根据基本不等式的相关性质以及222a b c =+即可得出结果．【详解】根据题意可画出图像，如图所示， 因为A 、B 关于坐标原点对称， 所以设()11,A x y 、()11,B x y --， 因为(),0F c ，所以()11112ABF S c y y cy ∆=⋅⋅+=， 因为ABF ∆面积的最大值为2，[]10,y b ∈， 所以当1y b =时ABF ∆面积取最大值，2cb，22224a b c bc =+≥=，当且仅当2b c ===”号成立，此时2a =，24a =，故选D ．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，主要考查椭圆的定义以及椭圆焦点的运用，考查基本不等式的使用以及三角形面积的相关性质，考查计算能力与推理能力，体现了综合性，是中档题．10．设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（ ）A ．定值aB ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【分析】先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PQ 是TF 1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．【详解】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ． 故选A ．【点睛】本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题，属于中档题．11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，若四边形AOBF 的面积为()2212a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．22y x =± B ．2y x =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】C【分析】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线的距离为b ，所以 ||AF b =，进而||OA a =，四边形面积为ab ，由()2212ab a b =+可化简得1ba=，写出渐近线方程即可.【详解】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线by x a=±的距22b a b =+，则||AF b =，所以||OA a =，所以()2212ab a b =+，所以1b a =，所以双曲线C的渐近线方程为y x=±.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，点到直线的距离，属于难题.12．如图，椭圆22:14xC y+=的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于两点，且始终满足OM ON⊥，作OH MN⊥交MN于点H，则HA HB⋅的取值范围是( ) A．323,323⎡-+⎣B．445445,5555⎡-+⎢⎣⎦C．614,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．515,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】首先根据直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，以及12120x x y y+=求得点H的轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，转化为22254HD AD HDHA HB=--⋅=，利用圆外的点与圆上的点的距离的范围求HD的范围，再求HA HB⋅的范围.【详解】设直线y kx b=+，与椭圆方程联立得()222148440k x kbx b+++-=，得122814kbx xk+=-+，21224414bx xk-=+，因为()()12121212x x y y x x kx b kx b+=+++=，代入整理得22544b k=+，原点到直线的距离222224(151b bOHkk===++所以点H在圆224:5O x y+=上运动，记线段AB的中点为D，直线AB与圆224:5O x y+=相切，则22254HD AD HD HA HB =--⋅=[,][[]25251010HD d r d r ∈-+=-+=，25614[,]455HD -∈- 故选：C【点睛】本题考查直线与椭圆，直线与圆的位置关系的综合应用，重点考查转化与化归和计算能力，属于综合性强的难题，本题的关键是求出点H 的轨迹方程，再利用直线与圆的位置关系求解.二、填空题13．过点（2，1）且在x 轴上截距是在y 轴上截距的两倍的直线的方程为______． 【答案】20x y -=或240x y +-=【解析】试题分析：当直线在两轴上的截距都是零的时候，即直线过坐标原点时，直线方程是20x y -=，当直线不过坐标原点时，设直线方程为12x yb b+=，即220x y b +-=，将点(2,1)代入即可求得4b =，从而求得直线的方程是240x y +-=，所以所求的直线方程是20x y -=或240x y +-=．【考点】直线的方程．14．设F 1、F 2是双曲线2211620x y -=的两焦点，点P 在双曲线上．若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离等于_________． 【答案】17 【解析】因为12F F ，是双曲线2211620x y-=的两焦点，所以1228PF PF a -==.因为点P 到焦点1F 的距离等于9，即1||9PF =，则解得2||1PF =或17， 又因为焦半径最小值为642c a -=-=，所以217.PF =15．已知动点(,)P x y 满足22220x y x y +--=，O 大值为__.【答案】.【分析】由曲线的方程可得曲线关于x 轴、y 轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，数形结合求得OP 的最大值.【详解】由曲线的方程22220x y x y +--=，可得曲线关于x 轴、y 轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，如图：在第一象限内（含坐标轴），曲线方程为22220x y x y +--=， 转化为：22(1)(1)2x y -+-=，()0,0满足方程，表示以(1,1)C 为圆心，半径为2的圆的一部分. 所以||OP 的最大值为圆的直径22=. 故答案为：22.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题，16．已知1B 、2B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中，其中正确的是___.①直线1PB 与2PB 的斜率之积为定值22a b-；②12·0PB PB >；③△12PB B 的外接圆半径的最大值为222a b a+；④直线1PB 与2QB 的交点M 的轨迹为双曲线. 【答案】②③.【分析】①设0(P x ，0)y ，则12220002000··PB PB y b y b y b k k x x x +--==，即可判断①； ②由于点P 在圆222x y b +=外，可得222000x y b +->，利用数量积运算性质可得：()()22212000000·,,PB PB x b y x b y x y b =-----=+-，即可判断②；③当点P 在长轴的顶点上时，12B PB ∠最小且为锐角，设△12PB B 的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：221212222222222sin sin sin 2b b bb a b r ab B PB B AB OAB a a b +====∠∠∠+，即可判断出正误；④直线1PB 的方程为：00y b y b x x ++=，直线2QB 的方程为：00y by b x x --=-，两式相乘可得：22222020y b y b x x --=-，化为22221y x b a-=，即可判断出正误. 【详解】解：①设0(P x ，0)y ，2200221x y a b+=，则1222200022000··PB PB y b y b y b b k k x x x a+--===-， 因此①不正确； ②点P 在圆222x y b +=外，∴222000x y b +->，所以()()22212000000·,,0PB PB x b y x b y x y b =-----=+->，②正确； ③当点P 在长轴的顶点上时，12B PB ∠最小且为锐角，设△12PB B 的外接圆半径为r ， 由正弦定理可得：221212222222222sin sin sin 2bb bb a b r ab B PB B AB OAB a a b +====∠∠∠+. ∴222a b r a +，∴△12PB B 的外接圆半径的最大值为222a b a+，③正确； ④直线1PB 的方程为：00y b y b x x ++=，直线2QB 的方程为：00y by b x x --=-，两式相乘可得：22 2222y by b xx--=-，化为22221y xb a-=，由于点P不与1B，2B重合，M∴的轨迹为双曲线的一部分，∴④不正确.故答案为：②③.【点睛】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、正弦定理、三角形外接圆半径、直线相交问题、双曲线的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题.三、解答题17．已知△ABC的三个顶点是(1,1)A，(1,3)B-，(3,4)C．（1）求BC边的高所在直线1l的方程；（2）若直线2l过C点，且A，B到直线2l的距离相等，求直线2l的方程．【答案】（1）450x y+-=；（2）70x y+-=或2360x y-+=.【分析】（1）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之积为-1，点斜式即可写出方程. （2）利用斜率计算公式、中点坐标公式、点斜式即可得出.【详解】（1）因为431314BCk-==+，且直线1l与BC垂直，所以直线1l的斜率14BCkk=-=-，所以直线1l的方程是4(1)1y x=--+，即450x y+-=.（2）因为直线2l过C点且A，B到直线2l的距离相等，所以直线2l与AB平行或过AB的中点M，因为31111ABk-==---，所以直线2l的方程是(3)4y x=--+，即70x y+-=.因为AB的中点M的坐标为(0,2)，所以422303CMk-==-，所以直线2l 的方程是2(3)43y x =--+，即2360x y -+=. 综上，直线2l 的方程是70x y +-=或2360x y -+=.【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及斜率公式，求斜率是关键，属于基础题. 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2，4）．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ， 求直线l 的方程．【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=；（2）2502150x y x y -+=--=或【分析】(1)化简得到圆M 的标准方程，求得圆M 的圆心坐标和半径，进而求得N 的标准方程；(2)由题意得25,2OA OA k ==，设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离，由此能求出直线l 的方程.【详解】圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1) 由圆心在直线6x =上，可设0(6,)N y ．N 与x 轴相切，与圆M 外切，007y ∴<<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =． 因此，圆N 的标准方程为22(6)(1)1x y -+-= (2)直线//l OA ，∴直线l 的斜率为40220-=-． 设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，则圆心M 到直线l 的距离d ==2BC =而222()2BC MC d =+， (5)22555m +∴=+， 解得5m =或15m =-．故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=；【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求法及直线与的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，以及合理运用圆的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的焦点为(0,、，实轴长为（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x -=；（2【分析】（1）根据双曲线的定义c =a =（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线C 的焦点为(0,、，实轴长为则a =c =而222321b c a =-=-=，∴双曲线C 的标准方程2212y x -=；（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=，又221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+，∴12122y y x x --=，∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x y x =-⎧⎨-=⎩，即22410x x --=，可得1212x x =-，则MN ===【点睛】本题考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.20．已知(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上. （1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 取值范围. 【答案】（1）3y =或34120x y +-=；（2）1205a. 【分析】（1）根据圆心在直线:24=-l y x 上也在直线1y x =-上，求得圆心坐标，可得过A 的圆C 的切线方程.（2）设圆C 的方程为22()(24)1x a y a -+-+=，再设(,)M x y ，根据2MA MO =，求得圆22:(1)4D x y ++=，根据题意，圆C 和圆D 有交点，可得2112CD -+，即221(241)3a a +-+，由此求得a 的范围.【详解】解：（1）根据圆心在直线:24=-l y x 上，若圆心C 也在直线1y x =-上，则由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，求得32x y =⎧⎨=⎩，可得圆心坐标为(3,2).设过(0,3)A 的圆C 的切线方程为3(0)y k x -=-，即30kx y -+=， 根据圆心到直线30kxy -+=的距离等于半径11=，求得0k =，或34k =-，故切线方程为3y =，或34120x y +-=.（2）根据圆心在直线:24=-l y x 上，可设圆的方程为22()(24)1x a y a -+-+=.若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，设(,)M x y ，2MA MO =，∴2222(3)2x y x y +-=+，化简可得22(1)4x y ++=，故点M 在以(0,1)D -为圆心、半径等于2的圆上.根据题意，点M 也在圆C 上，故圆C 和圆D 有交点，2112CD ∴-+，即221(241)3a a +-+，求得251280a a -+，且25120a a -，解得1205a. 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，圆的标准方程，考查学生的数学抽象能力与计算能力，属于中档题.21．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ 的周长； （2）求1PF M 面积的最大值. 【答案】（1）12（2135【分析】（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义1212412PF PF QF QF a +++==；（2）求出椭圆的标准方程，设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出1PF M 面积，即可求解最大值.【详解】（1）设椭园C 的焦距为2c ，则24c =，故2c =.则12(2,0),(2,0)F F -椭圆过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由椭圆定义知:1226a AF AF =+=，故3a =， 因此，1PFQ 的周长1212412PF PF QF QF a =+++==； （2）由（1）知:2225bac，椭圆方程为:22195x y +=设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，则()22,R x y -，()121212111212:,0y y y x x y PR y x x y M x x y y ⎛⎫++=-+⇒ ⎪-+⎝⎭()2222259202505945x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩()21,290010,m y =+>=△1212222025,5959m y y y y m m --+==++，()121212122902259my x x y my y y y m -+=++=+，1121211121132||||244PF M x x y S y y y y y ⎛⎫+=+=≤ ⎪+⎝⎭△，当且仅当P 在短轴顶点处取等，故1PF M面积的最大值为4. 【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.22．已知椭圆方程为22143x y +=，直线:4l x =与x 轴的交点记为P ，过右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点.（1）设若MF AB ⊥且交直线l 于M ，线段AB 中点为D ，求证：O ，D ，M 三点共线；（2）设Q 点的坐标为5(,0)2，直线BQ 与直线l 交于点E ，试问EA EP ⋅是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）是；EA EP ⋅为定值0.【分析】（1）由题意设AB 的方程与椭圆联立求出两根之和与两根之积，进而求出AB 的中点坐标，代入直线OM 中，符合，则可得在直线OM 上；（2）分直线AB 的斜率存在与不存在两种情况讨论，设直线AB 与椭圆联立，求出两根之和与两根之积，设直线BQ 求出交点E ，再求数量积得为定值0【详解】（1）由椭圆方程为22143x y +=知，右焦点F 坐标(1,0)，椭圆C 的右准线l 方程为4x =，点P 坐标(4,0).由MF AB ⊥知，直线AB 的斜率不为0，故设直线AB 的方程为1x my =+， 从而，直线MF 的方程为(1)y m x =--，令4x =得，M 点坐标为(4,3)m -， 故直线OM 的方程为34m y x =-. 联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(34)690m y my ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 即122634m y y m -+=+，1229·34y y m -=+， 从而，线段AB 的中点24(34D m +，23)34mm -+.又线段AB 的中点D 的坐标满足直线OM 方程34my x =-， 所以点D 在直线OM 上，综上可知，O ，D ，M 三点共线；（2）当直线AB 的斜率为0时，点E 即为点P ，从而0EP =，故0EA EP ⋅=. 直线AB 的斜率不为0时，由（1）知，122634m y y m -+=+，1229·34y y m -=+， 所以121223y y my y +=，则12213()2y y my y +=，直线BQ 的方程为225()522y y x x =--，又221x my =+， 令4x =，得222211222213333·53()225232?322y y y y y y y y x my x y =====+----， 所以点E 的坐标为1(4,)y ，即EA EP ⊥，所以0EA EP ⋅=. 综上可知，EA EP ⋅为定值0.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查函数与方程思想的合理运用，属于中难题.。
河北省邢台市第十一中学2021年高二数学理月考试题含解析
河北省邢台市第十一中学2021年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C北偏东，灯塔B在观察站C南偏东，则A、B之间的距离是（）A．a km B． km C． km D．2a km参考答案：A2. 若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是( )A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：将圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C关于直线2ax+by+6=0对称，∴直线2ax+by+6=0过圆心，将x=﹣1，y=2代入直线方程得：﹣2a+2b+6=0，即a=b+3，∵点（a，b）与圆心的距离d=，∴点（a，b）向圆C所作切线长l====≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，最小值为4．故选C 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，勾股定理，以及圆的切线方程的应用，其中得出a与b的关系式是本题的突破点．3. f′（x）是函数y=f（x）的导函数，若y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】通过观察f′（x）图象中f′（x）值的正负，从而判断函数y=f（x）的单调情况以及极大值与极小值．从而确定函数y=f（x）的图象．【解答】解：由f′（x）图象可知，当x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以当x=0时，函数y=f（x）取得极大值．当x=2时，函数y=f（x）取得极小值．结合图象可知选C．故选C．4. 若二项式n的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x－4的系数是()A．80 B．40 C．20 D．10参考答案：A略5. 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右图所示，则中位数与众数分别为A．23，21 B．23，23 C．23，25 D．25，25参考答案：B6. 在△ABC中，内角A、b、c的对边长分别为a、b、c．已知a2﹣c2=2b，且sinB=4cosAsinC，则b=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可化为b2=2（b2+c2﹣a2），把a2﹣c2=2b代入即可得出．【解答】解：由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可得：b=×c，化为b2=2（b2+c2﹣a2），∵a2﹣c2=2b，∴b2=2（b2﹣2b），化为b2﹣4b=0，∵b＞0，解得b=4．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7. 某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，实际上它的对立事件也是两次都不中靶．【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，故选C．8. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确参考答案：A9. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x ）＞3，又∵g（0）═e 0f （0）﹣e 0=4﹣1=3， ∴g（x ）＞g （0）， ∴x＞0 故选：A ．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．10. 执行如图所示的程序框图，若输入n =8，则输出的S =A ．B ．C ．D ．参考答案：A的意义在于是对求和.∵，，∴所求和为,选A.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 双曲线的两条渐近线方程是参考答案：12. 从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s 2= ．参考答案：【考点】极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160， 则该组数据的方差s 2=（02+22+12+02+12）=， 故答案为：．【点评】本题考查了求平均数、方差问题，熟练掌握方差公式是解题的关键，本题是一道基础题．13. 设且满足，则的最小值等于____▲____．参考答案：3 略 14. 若展开式的各二项式系数和为16，则展开式中奇数项的系数和为 .参考答案：353 10. 设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题： ① 若，则； ② 若，则； ③ 若，则； ④ 若，则．其中真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）参考答案：④16. 若圆与圆关于原点对称，则圆的标准方程是___________.参考答案：略17. 关于x的不等式对一切实数x都成立，则a的范围是；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022年高二10月月考数学试题 含答案
2021年高二10月月考数学试题含答案xx.10一. 填空题1. 在平面凸四边形中，，，则该四边形的面积为2. 已知为坐标原点，点，，共线，且，则3. 若实数满足矩阵等式11240202a bc d⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则行列式4. 已知，，与的夹角为，若向量与的夹角为锐角时，则的取值范围为5. 执行右图程序框图，则输出的结果是6. 平面直角坐标上的定点，，，矩阵将向量、、分别变换成向量、、，如果联结它们的终点、、构成直角三角形，且斜边为，则的值为7. 已知△中，为外心，且，，，则8. 若，则的最小值为9. 设阶方阵21352121232541414345612(1)12(1)32(1)521n n n n n n A n n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅-⎛⎫ ⎪+++⋅⋅⋅- ⎪ ⎪=+++⋅⋅⋅- ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪-+-+-+⋅⋅⋅-⎝⎭，任取中 的一个元素，记为，划去所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成阶 方阵，任取中的一个元素，记为，划去所在的行和列，将剩下的元素按原来 的位置关系组成阶方阵，……，将最后剩下的一个元素记为，令，则10. 设为△的内心，三边长，，，点在边上，且，若直线交直线于点，则线段的长为二. 选择题11. 已知为不共线的非零向量，且，则以下四个向量中模最大的是（ ）A. B. C. D.12. 已知非零向量不平行，满足，且，，则下列正确的是（ ）A. 若，则，B. 若，则，C. 若，则，D. 若，则，13. 已知，是直线（为常数）上的两个不同的点，则下列关于的方程组的解的情况判断正确的是（ ）A. 无论如何，总是无解B. 无论如何，总是唯一解C. 存在，使之恰有两解D. 存在，使之有无穷多解14. 已知在△中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任 意一点，恒有，则（ ）A. B. C. D.三. 解答题15. 在△中，，，为边的中点，点满足，，又，求角的大小；16. 在平面直角坐标系中，已知点、、，点在△三边围成的区域（含边界）上；（1）若，求；（2）设，求动点所构成的图形的面积；17. 在平行四边形中，过点的直线与线段、分别相交于点、，若 ，；（1）求关于的函数解析式；（2）定义函数，点列在函数的图像上，且数列是以1为首项，为公比的等比数列，为原点，令 12n OP OP OP OP =++⋅⋅⋅+，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；（3）设函数为上的偶函数，当时，，又函数的图像关于直线对称，当方程在上有两个不同的实数解时，求实数的取值范围；18. 已知△中，边，，令，，，过边上一点（异于端点）引边的垂线，垂足为，再由引边的垂线，垂足为，又由引边的垂线，垂足为，同样的操作连续进行，得到点列、、，设；（1）求；（2）结论“”是否正确？请说明理由；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围；参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4.111185(,)(,1)(1,) 66--+-∞+∞5. 6. 7. 8. 9. 10.二. 选择题11. D 12. A 13. B 14. D三. 解答题15. ； 16.（1）；（2）；17.（1）；（2）；（3）；18.（1）；（2）正确；（3）；。
2021年湖北省武汉市钢城第十四中学高二数学理月考试题含解析
2021年湖北省武汉市钢城第十四中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点为圆的弦的中点，则直线的方程为（）．A．B．C．D．参考答案：A解：圆心，，，，整理得．2. 如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有( )A．8种B．12种C．16种D．20种参考答案：C3. 已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）A. B.1 C.2 D.3参考答案：C略4. 已知集合A={1，4}，B={x|a+x=1}，若A∩B=B，则实数a组成的集合是（）A．{0} B．{0，1} C．{0，﹣3} D．{0，4}参考答案：C【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】求出集合A={1，4}，B={1﹣a}，由此利用A∩B=B，能求出实数a组成的集合．【解答】解：∵集合A={1，4}，B={x|a+x=1}={1﹣a}，A∩B=B，∴1﹣a=1或1﹣a=4．解得a=0或a=﹣3．∴实数a组成的集合是{0，﹣3}．故选：C．5. 将函数的图象F按向量（，3）平移得到图象F′,若图象F′的一条对称轴是直线x=,则θ的一个可能取值是 ( )A. B. C. D.-参考答案：A6. 如图：在图O内切于正三角形△ABC，则S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=3?S△OBC，即，即h=3r，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a倍”，则实数a=（）A ．2B ．3C ．4D ．5参考答案：C【考点】类比推理．【分析】利用等体积，即可得出结论．【解答】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则V==4，∴h=4r． 故选：C ． 7. 对于任意实数，①；②；③；④；⑤．以上结论正确的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4参考答案：A8. 设集合,，则（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案： D 略9. 已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 使，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、参考答案： C10. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )A.B.C.2D.参考答案： A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras ）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形. 设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为.参考答案：12. 扇形铁皮AOB ，弧长为20π cm ，现剪下一个扇形环ABCD 做圆台形容器的侧面，使圆台母线长30cm 并从剩下的扇形COD 内剪下一个最大的圆，刚好做容器的下底（指较大的底），则扇形圆心角是 度。
湖北省第一中学2021学年高二数学10月月考试题(含解析)
湖北省高二数学10月月考试题（含解析）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1.已知数列{}n a 为等比数列，首项12a =，数列{}n b 满足2log n n b a =，且2349b b b ++=，则5a =（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64【答案】C 【解析】 【分析】先确定{}n b 为等差数列，由等差的性质得3b 3=，进而求得{}n b 的通项公式和{}n a 的通项公式，则5a 可求【详解】由题意知{}n b 为等差数列，因为234b b b 9++=，所以3b 3=，因为1b 1=，所以公差d 1=，则n b n =，即2n n log a =，故nn a 2=，于是55a 232==.故选：C【点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题2.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 和1BC 所成角的大小为（ ）A.3π B.2π C.23π D.3π或23π 【答案】A 【解析】 【分析】连接1AD ，1CD ，根据平行关系可知所求角为1D AC ∠，易知1ACD ∆为等边三角形，从而可知13D AC π∠=，得到所求结果.【详解】连接1AD ，1CD11//BC AD 1D AC ∴∠即为异面直线AC 与1BC 所成角又11AD AC CD ==13D AC π∴∠=即异面直线AC 与1BC 所成角为：3π 本题正确选项：A【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移直线找到所成角，再放入三角形中进行求解.3.设,a b 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，给出下列命题： ①若//a α，a β⊂，则//αβ；②若a α⊂，//αβ，则//a β；③若//a b ，a α⊥，b β⊥，则//αβ；④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥. 则以上命题正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定和性质依次判断各个选项即可. 【详解】①//a α，a β⊂，此时α与β平行或相交，①错误； ②a α⊂，//αβ，根据面面平行性质可知//a β，②正确；③//a b ，a α⊥，则b α⊥，又b β⊥，//αβ∴，③正确； ④a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂；又b β⊥，αβ∴⊥，④正确. 本题正确选项：C【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关命题的判断，考查对于平行与垂直的判定定理、性质定理的掌握情况.4.已知过点(2,)A m 和点(,4)B m 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=．若12l l //，23l l ⊥，则m n +的值为（ ）A. 10-B. 2-C. 0D. 8【答案】A 【解析】 【分析】利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出． 【详解】∵l 1∥l 2，∴k AB ＝42mm -+＝－2，解得m ＝－8． 又∵l 2⊥l 3，∴1n-×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10．故选:A ． 【点睛】本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.直线y x b =+与曲线21x y =-b 的取值范围是（ ） A. 2b = B. 11b -<≤或2b =- C. 1-或1D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，−1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1），分别求出b ，则b 的范围可得．【详解】由21x y =-可以得到221x x y ≥⎧⎨+=⎩，所以曲线21x y =-为y 轴右侧的半圆， 因为直线y x b =+与半圆有且仅有一个公共点，如图所示：所以11b -<≤或012b b <⎧=，所以11b -<≤或2b =-B ．【点睛】本题考查直线与半圆的位置关系，注意把曲线的方程变形化简时要关注等价变形．6.圆224x y +=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程．【详解】将两圆方程相减可得44124x y -+=即20x y -+= 当0x =时，2y =，当0y =时，2x =-交点()0,2与()2,0-1122222S x y ∆==⨯⨯=，故选B ． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系．两圆方程分别为221110x y D x E y F ++++=，222220x y D x E y F ++++=，则两方程相减得()()1212120D D x E E y F F -+-+-=，为：两圆相交时是相交弦所在直线方程，两圆相切时，是过切点的公共切线的方程．7.已知椭圆222:1(0)25x y C m m+=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且12PF F ∆的周长为16，则m 的值是 A. 2 B. 3C. 23D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义知12PF F ∆的周长为2216a c +=，可求出c 的值，再结合a 、b 、c 的关系求出b 的值，即m 的值。
2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数z 的对应点为1,1，则2z =（ ）A B ．C ．2i D ．2i -【答案】D【分析】复数z 的对应点为1,1，可得1i z =-．再利用复数的运算法则即可得出． 【详解】因为复数z 的对应点为1,1，所以1i z =-， 则()2221i 1i 2i 2i z =-=+-=-， 故选：D ．2．已知向量a ，b 是平面α内的两个不共线的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“0c a ⋅=，且0c b ⋅=”是l α⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案. 【详解】解：由题意，0c a c a →→→→⋅=⇔⊥，0c b c b →→→→⋅=⇔⊥. 因为向量a ，b 是平面α内的两个不共线的非零向量，所以，根据平面向量基本定理，对于平面α内的任意直线n ，其方向向量为m ，存在唯一实数对,x y 使得m xa yb =+成立，所以，0m c xa c yb c ⋅=⋅+⋅=，即c m ⊥，所以直线l 与平面α内的任意直线都垂直，故l α⊥；若l α⊥，根据线面垂直的定义，可以得到0c a →→⋅=，且0c b →→⋅=. 所以“0c a →→⋅=，且0c b →→⋅=”是l α⊥的充分必要条件. 故选：C.3．襄阳五中高二年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为130，90，85，103，93，99，101，116．则这8名学生数学成绩的第70百分位数为（ ） A ．102B ．103C ．101D ．99【答案】B【分析】先将8名学生某次考试的数学成绩按递增排序，再由870% 5.6⨯=求解.【详解】解：8名学生某次考试的数学成绩分别为85，90，93，99，101，103，116，130， 因为870% 5.6⨯=，所以这8名学生数学成绩的第70百分位数为103， 故选：B4．若向量()1,1a =-与向量()1,3b =-的夹角为θ，则sin θ=（ ） AB． C．D【答案】D【分析】先根据数量积定理求出两向量夹角的正弦值，再根据正余弦值之间的关系求出sin θ. 【详解】因为()1,1a =-，()1,3b =-，所以21cos 1a b a bθ⋅⨯===⋅+，所以sin θ 故选：D5．两条平行直线3430x y --=和850mx y -+=间的距离是（ ） A ．157B ．1110 C ．85D ．45【答案】B【分析】先求出m ，利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】因为两直线3430x y --=和850mx y -+=平行， 所以()()38=4m ⨯--，解得：6m =， 即850mx y -+=可化为：53402x y -+=， 所以两平行线间的距离1110d ==. 故选：B.6．直线()21230a x ay +--=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,,424πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】A【分析】分斜率存在不存在，若斜率存在，根据直线方程求出斜率，由斜率求倾斜角.【详解】设直线()21230a x ay +--=的倾斜角为θ，当0a =时，2πθ=；当0a ≠时，则2111tan (,1][1,)22a a a a θ+⎛⎫==+∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 因为0θπ≤<所以3,,4224ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦综上可得：3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：A7．如图，焦点在x 轴上的椭圆：)(222107x ya a +=>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于点A ，若1APF △的内切圆在边1F P 上的切点为Q ，且122FQ =，则=a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．22【答案】D【分析】由1APF △的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，根据切线长定理，可得12||||||PQ F M PF =-，再结合1||22F Q =12||||2PF PF +=a 的值．【详解】解：如图，1APF △的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，设内切圆与1AF 、2AF 分别切于点M 、N ，∴根据切线长定理可得||||AM AN =，11||||F M F Q =，||||PN PQ =12||||AF AF =，12||||||||||AM F M AN PN PF ∴+=++，122||||||||||F M PN PF PQ PF ∴=+=+， 12||||||PQ F M PF ∴=-，则121211221||||||||||||||||||2||42PF PF F Q PQ PF F Q F M PF PF F Q +=++=+-+==， 即242a =，22a =， 故选：D ．8．若直线1y kx =+与函数()22,0268,24x x f x x x x -≤≤⎧⎪=⎨--+-<≤⎪⎩的图象恰有3个不同的交点，则k 的取值范围为（ ） A ．312⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭B ．3,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】可得()f x 的图象是由一段线段和半圆构成，画出函数图象，数形结合即可求出. 【详解】当02x ≤≤时，()2f x x =-，表示线段，当24x <≤时，268y x x =--+-，即()2231x y -+=，其中0y ≤，此时函数图象为以()3,0为圆心，1为半径且在x 轴下方的半圆，()f x 的图象如图所示，直线1y kx =+过定点()0,1.当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=的下半部分相切时，23111k d k+==+，解得34k =-或0k =（舍去），当直线1y kx =+经过点()2,0时，12k =-.数形结合可得31,42k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题9．已知圆C 30x y -=及x 轴都相切，且过点()3,0，则该圆的方程是（ ） A ．()(22333x y -+= B ．()(2233327x y -++= C ．()(22333x y ++=D ．()(2233327x y -+-=【答案】AB【分析】首先设出圆的方程，根据直线与圆相切以及圆经过的点，列出等量关系即可求解. 【详解】由题意设所求圆的方程为()222()x a y b r -+-=，圆与x 轴相切，r b ∴=.依据其他条件则有()22233a b b a b b⎧-+=-=，解得33a b =⎧⎪⎨⎪⎩333a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩()(22333x y -+=或()(2233327x y -++=故选：AB10．一箱产品有正品4件､次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（ ） A ．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B ．“至少有1件次品”和“都是次品” C ．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D ．“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【分析】根据题意,由互斥事件的定义分析所给的四个选项，可得答案. 【详解】根据题意，依次分析所给的4个事件：对于A ：“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”与“恰有2件次品”不会同时发生，是互斥事件； 对于B ：“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件；对于C:“至少有1件正品”包括“恰有1件正品和“2件都是正品”，“至少有1件次品” 包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，因此两事件不是互斥事件；对于D:“至少有1件次品”包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，与“都是正品”不会同时发生,是互斥事件，故AD 是互斥事件. 故选：AD11．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，则（ ）A ．当a 时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有2个B ．当a 时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有4个C ．12PF F △的周长等于4aD ．12PF F △的面积一定小于22a【答案】AB【分析】以12F F 为直径的圆为222x y c +=，根据圆和椭圆的交点个数判断AB 正确，12PF F △的周长为22a c +，C 错误，取b c ==，面积等于22a ，D 错误，得到答案.【详解】以12F F 为直径的圆为222x y c +=，当a 时，b c =，此时圆与椭圆的交点为椭圆的上下两个顶点，A 正确；当a 时，b<c<a ，此时圆与y 轴的交点在椭圆的外面，圆与x 轴的交点在椭圆里面，故椭圆与圆有4个交点，故B 正确；12PF F △的周长为121222PF PF F F a c ++=+，C 错误；12PF F △的面积最大值为122c b bc ⨯⨯=，取b c ==，此时面积等于22a ，D 错误.故选：AB12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1B C 上运动，则下列说法正确的是（ ） A ．直线1BD ⊥平面1AB CB ．直线1C M 与平面11ACD C ．异面直线AM 与1A D 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．三棱锥11M AC D -的体积为定值 【答案】ABD【分析】根据空间点线面之间的关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，如图AC BD ⊥，又1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD ⊥AC ，所以AC ⊥平面1BDD ，所以1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，所以直线1BD ⊥平面1AB C ，故A 正确；对选项B ，连接11,BC B C 交于点O ，连接11,A D AD 交于点1O ，根据对称性，当点M 位于点O 时，直线1C M 与平面11AC D 所成角最大为11O C M ∠，设正方体的边长为2，则11112,2,6O M C M OC ==此时116sin 6O C M ∠=，故B 正确；对C ，由1A D1B C ，异面直线AM 与1A D 所成角为直线AM 与1B C 所成角，故当M 在点O 处时所成角最大，此时1AM B C ⊥，所成角为2π，当M 在点C 或1B 处时，所成角最小为3π，故C 错误；对D ，因为11B C A D ，1B C ⊄平面11AC D ，所以1B C ∥平面11AC D ，又M ∈直线1B C ， 所以动点到平面11AC D 的距离恒定，故三棱锥11M AC D -的体积为定值，D 正确， 故选：ABD三、填空题13．经过点(2,3)P ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为_________． 【答案】320x y -=或280x y +-=【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.【详解】设直线l 在y 轴上的截距为a ，则在x 轴上的截距为2a ． 当0a =时，直线l 过点(0,0)，又直线l 过点(2,3)P ，故直线l 的斜率303202l k -==-， 故直线l 的方程为30(0 ) 2y x -=-，即320x y -=； 当0a ≠时，直线l 的方程为12x ya a+=，即220x y a +-=， ∴直线l 过点(2,3)P ， ∴22320a +⨯-=， ∴4a =，∴直线l 的方程为280x y +-=．综上可知，直线l 的方程为320x y -=或280x y +-=． 故答案为：320x y -=或280x y +-=.14．设空间向量()1,2,a m =-，()2,,4b n =-，若b a λ=，则a b -=________． 【答案】9【分析】先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出m 和n 的值，进而可得a b -的坐标，再由模长公式即可求解.【详解】因为空间向量()1,2,a m =-，()2,,4b n =-， 由b a λ=，即()()2,,41,2,m n λ--=， 可得224n m λλλ=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得：2m =，n =-4，所以()1,2,2a =-，()2,4,4b =--，则()3,6,6a b -=-，所以(3)9a b -=-=．故答案为：9．15．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1，（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别F 1，F 2，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF 1F 2的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若||||MI IE ＝2，则椭圆C 的离心率是__．【答案】12【分析】根据已知条件利用内角平分线定理，结合合比定理得到12122MF MF F E EF +=+，然后根据椭圆的定义和离心率的定义求得离心率.【详解】解：△MF 1F 2的内心为I ，连接IF 1和IF 2，可得IF 1为∠MF 1F 2的平分线，即有12122MF MF MI F EF EIE===，即有1212222MF MF a c F E EF +==+,即有12c e a ==， 故答案为：12．四、双空题16．函数221x y --=________，最小值为________．【答案】 133-【分析】令0cos ，,πx θθ⎡⎤=∈⎣⎦，则23sin cos θy θ-=+，相当于过()3,2，()cos ,sin θθ-直线的斜率. 【详解】由题，得11x -≤≤，故设0cos ，,πx θθ⎡⎤=∈⎣⎦，则23sin cos θy θ-=+，相当于过A ()3,2，B ()cos ,sin θθ-直线的斜率.点B ()cos ,sin θθ-所对应图形为以原点为圆心，半径为1的在x 轴上侧的半圆， 如下图所示.如图，当πθ=，即点B 坐标为()1,0时，直线AB 斜率最大为20131-=-. 如图，当直线AB 与半圆相切时，直线AB 斜率最小设为k ， 则直线AB 方程为()32y k x =-+，因其与半圆相切，则其到圆心距离2231k d k -=+1=.解得33k -=33k +=1）. 故答案为：133-五、解答题17．ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且满足()2cos cos cos A c B b C a +=． （1）求A ；（2）若3a =，且向量()1,sin m B =与()2,sin n C =共线，求ABC 的周长 【答案】（1）60A =︒；（2）3+33【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式化简得到1cos 2A =，即可得解；（2）由向量共线的坐标表示得到2sin sin B C =，再利用正弦定理将角化边即可得到2b c =，再利用余弦定理求出b ，即可得解；【详解】解：（1）()2cos A ccos B bcosC a +=，()2cos A sinC cos B sin BcosC sin A ∴+=，()2cos Asin B C sin A ∴+=，2cos sin sin A A A ∴=，1cos 2A ∴=， ()0,A π∈，60A ∴=︒（2）因为()1,sin m B =与()2,sin n C =共线，2sin B sinC ∴=，所以2b c =由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即222942b b b =+-，即23b =，所以3,23b c ==∴周长为3+3318．2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：[)72,76，[)76,80，[)80,84，[)84,88，[)88,92，[)92,96，[]96,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率． 【答案】（1）86；86分；（2）710. 【分析】（1）根据频率分布直方图，结合众数和中位数的公式，即可计算；（2）首先根据频率可知在[)72,76中抽取2人，[)76,80中抽3人，再分别编号，列举所有的基本事件和满足条件的基本事件，即可计算概率.【详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名党员成绩的众数为8488862+=， 成绩在[)72,84的频率为()0.020.030.037540.35++⨯=， 成绩在[)72,88的频率为()0.020.030.03750.07540.65+++⨯=， 故中位数位于[)84,88之间，中位数是0.50.35844860.650.35-+⨯=-（分）．（2）∵[)72,76与[)76,80的党员人数的比值为2:3，采用分层随机抽样方法抽取5人，则在[)72,76中抽取2人，[)76,80中抽3人， 设[)72,76抽取人的编号为1A ，2A ，[)76,80抽取人的编号为1B ，2B ，3B ， 则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,A A ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共10个样本点，这2人中至少有1人成绩低于76分的有：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,A A ，共7个样本点，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率710P =． 19．已知方程()()()222321620m m x m m y m m --++-+-=∈R ．(1)若方程表示一条直线，求实数m 的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m 的值； (3)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m 的值． 【答案】(1)m ∈R ，且1m ≠- (2)12m =(3)43m =【分析】(1)根据直线方程的特征列出方程，解之即可； (2)根据（1）直接得出结论；(3)根据直线的倾斜角与斜率之间的关系，列出方程，解之即可求解. 【详解】（1）当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令2230m m --=，解得1m =-，3m =； 令2210m m +-=，解得1m =-，12m =； ∴方程表示一条直线的条件是：m ∈R ，且1m ≠-． （2）由（1）易知，当12m =时，方程表示的直线的斜率不存在， 此时的方程为：43x =，它表示一条垂直于x 轴的直线． （3）∵直线l 的倾斜角是45°，∴其斜率为1，∴2223121m m m m ---=+-，解得43m =或1m =-（舍去）．∴直线l 的倾斜角是45°时，43m =．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，04,45AB AD CD CDA +==∠=.（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设AB AP t ==，若直线PB 与平面PCD 所成角大小为30°，求线段AB 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）45.【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得PA AD ⊥，再利用线面垂直及面面垂直的判定定理可证得结果；（2）以A 为原点，建立空间坐标系A xyz -，求出平面PCD 的法向量，利用空间向量求出线面夹角，得到关于t 的方程，求解即可.【详解】（1）证明：PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA AD ∴⊥ 又AB AD ⊥，且PA AB A =，AD ∴⊥平面PAB ， 又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAB ⊥平面PAD ；（2）如图以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间坐标系A xyz -， 在底面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ，则CE AD ⊥， 在直角CDE 中，1DE CE ==设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ，由4AB AD +=，则4AD t =-，则()0,3,0E t -，()1,3,0C t -，()0,4,0D t -， 所以()0,4,PD t t =--，()1,1,0CD =-， (),0,PB t t =-设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，得()400n PD t y tz n CD x y ⎧⋅=--=⎨⋅=-+=⎩，取x t =，则(),,4t t n t =-故由直线PB 与平面PCD 所成角大小为30°，则有sin30cos ,n PB n PB n PB⋅==⋅，即()22222244122t t t t t t ++-=-2524160t t -+=，解得：45t =或4t =（舍去，因为40AD t =->），即45AB =.【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角： 设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=21．已知椭圆2221(0)x y C a b a b +=>>：3()0,1B .（1）求椭圆C 的标准方程（2）设P ，Q 是椭圆上异于顶点的任意两点，且BP BQ ⊥，求证：直线PQ 恒过定点. 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率、B 点坐标求得,,a b c ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线PQ 的方程，并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，结合BP BQ ⊥列方程，化简求得PQ 所过定点.【详解】（1）椭圆焦点在x 轴上，所以22231c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1,3a b c ===所以椭圆方程为2214x y +=.（2）依题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,P x y Q x y ， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222148440k x kmx m +++-=， 则2121222844,1414km m x x x x k k -+=-⋅=++①， ()()222264414440k m k m ∆=-+->，即22410k m -+>.因为BP BQ ⊥，且直线,BP BQ 的斜率均存在， 所以1212111y y x x --⋅=-，整理得()12121210x x y y y y +-++=②， 因为1122,kx m y kx m y =+=+，所以()12122y y k x x m +=++，()22121212y y k x x mk x x m =+++，代入②整理得：()()()()2212121110k x xk m x x m ++-++-=，将①代入上式并化简得25230m m --=，解得35m =-或1m =（舍去），35m =-使22410k m -+>成立.所以直线PQ 恒过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.22．已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M 所得的弦长(1)求圆M 方程；(2)若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；(3)若A ，B 两点在x 轴上移动，且4AB =，求ABC 面积的最小值． 【答案】(1)()2211x y +-=(2)2(3)163【分析】（1）由题意，设出圆心坐标，利用点到直线的距离以及垂径定理，建立方程，可得答案； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况，利用切线的性质，圆心到切线的距离等于半径，建立方程，可得答案；（3）由题意，设出点,A B 的坐标，利用几何法表示出直线,AC BC 的斜率，写出直线方程，联立求点C 的坐标，点C 的纵坐标取最小值时，可得答案.【详解】（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,M b ，0b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d = 又因为直线截圆M221+=⎝⎭， 解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =， 则圆心到直线的距离0221d r =-=≠=，不成立， 当直线AC 和BC 的斜率存在时，设过点()2,4的直线方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，圆心到直线的距离1d =，解得2k =±（3）因为AB 4=，设(),0A t ，()()4,040B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---， 同理直线BC 的斜率为：()()222241411BCt t k t t--+==+--， 所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---， 直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+-，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭， 又()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-， 当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC 面积的最小值：18164233ABCS =⨯⨯=．。
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2021年高二10月月考数学（理）试题 含答案总分:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.若,则下列不等式成立的是( )A. B. C. D. 2.命题“对任意,都有”的否定为( )A ．对任意,都有B ．不存在,都有C ．存在,使得D ．存在,使得3.一个年级有12个班,每个班有50名学生,随机编号为1～50,为了了解他们课外的兴趣,要求每班第40号学生留下来进行问卷调查,这运用的抽样方法是( )A ．分层抽样B ．抽签法C ．随机数表法D ．系统抽样法 4.给定两个命题p ,q ,若p 是q 的必要而不充分条件,则p 是q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.为了测算如图阴影部分的面积, 作一个边长为6的正方形将其包含 在内,并向正方形内随机投掷800个点,已知恰有200个点落在阴影 部分内,据此,可估计阴影部分的面积是( ) A ．12 B ．9 C ．8D ．66.设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0,则a 的值为( ) A ．4B ．3C ．2D ．17.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( ) A.19B.110C.111D.1128.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A. 089.已知F 1(－1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ,B 两点,且||AB ＝3,则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 10.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机 抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分 制)如图所示,假设得分的中位数为m e ,众数为 m o ,则( )A ．m e ＝m oB ．m o ＜m eC ．m e ＜m oD ．不能确定11.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF |＋|BF |＝3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A ．34B ．1C ．54D ．7412.过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若,则双曲线的离心率是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题:本大题共4小题,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有________人．14.设数列{}a n ,{}b n 都是等差数列.若a 1＋b 1＝7,a 3＋b 3＝21,则a 5＋b 5＝________. 15.已知P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1截得线段的中点,则直线l 的方程为________．16.设满足约束条件,若目标函数的最大值为1,则的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知m ∈R ,命题p :对任意x ∈[0,1],不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立;命题q :存在x ∈[－1,1],使得m ≤ax 成立.(Ⅰ)若p 为真命题,求m 的取值范围;(Ⅱ)当a ＝1,若p 且q 为假,p 或q 为真,求m 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1＋3a 2＝1,a 23＝9a 2a 6. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．19.(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h),试验的观测结果如下:服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6, 1. 2, 2.7, 1.5, 2.8, 1.8, 2.2, 2.3, 3.2, 3.5, 2.5, 2.6, 1.2, 2.7, 1.5, 2.9, 3.0, 3.1, 2.3, 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2, 1.7, 1.9, 0.8, 0.9, 2.4, 1.2, 2.6, 1.3, 1.4, 1.6, 0.5, 1.8, 0.6, 2.1, 1.1, 2.5, 1.2, 2.7, 0.5 (Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？(Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？20.(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x i (单位:千元)与月储蓄y i (单位:千元)的数据资料,算得∑i ＝110x i ＝80,∑i ＝110y i ＝20,∑i ＝110x i y i ＝184,∑i ＝110x 2i ＝720.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ; (Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y ＝bx ＋a 中,b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2,a ＝y －b x ,其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^.21.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为,直线与轴交点为,与的交点为,且. (Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)过的直线与相交于两点,若的垂直平分线与相交于两点,且四点在同一圆上,求的方程.22.(本小题满分12分)已知真命题:“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”． (Ⅰ)将函数的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标; (Ⅱ)求函数图象对称中心的坐标;(Ⅲ)已知命题:“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数 和,使得函数是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明)．高二理数参考答案一、选择题 C D D A B C; C D C B C C 二、填空题 6 ; 35 ; ; 8 . 三、解答题17.【解】(Ⅰ)∵对任意x ∈[0,1],不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立, ∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2.解得1≤m ≤2. 因此,若p 为真命题时,m 的取值范围是[1,2]． (Ⅱ)∵a ＝1,且存在x ∈[－1,1],使得m ≤ax 成立,∴m ≤1, 命题q 为真时,m ≤1.∵p 且q 为假,p 或q 为真, ∴p ,q 中一个是真命题,一个是假命题．当p 真q 假时,则⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1， 解得1＜m ≤2;当p 假q 真时,⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1， 即m ＜1.综上所述,m 的取值范围为(－∞,1)∪(1,2].18.【解】(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24,所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0,故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(Ⅱ)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2. 故1b n ＝－2n （n ＋1）＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.19.【解】(Ⅰ)计算得A ＝2.3,B ＝1.6,从计算结果来看,A 药的疗效更好. (Ⅱ)从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上,而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A 药的疗效更好．20.【解】(Ⅰ)由题意知n ＝10,x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8, y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2,又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －nx 2＝720－10×82＝80, l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24,由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3, a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4,故所求线性回归方程为y ＝0.3x －0.4.(Ⅱ)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0),故x 与y 之间是正相关. (Ⅲ)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元). 21.解】(Ⅰ)设点,,则由抛物线定义知, 所以得,即的方程为; (Ⅱ)如右图所示,设, 中点为,,则由 得,其中恒成立, 所以,AB = 易求得,又, 所以,,即,代入中得,,其中恒成立,故,MN ==,又易求得的中点,故222(t DE t +=,而由共圆知,,即,代入得2222222444(1)(21)4(1)(1)4(1)t t t t t t t++++=++,同时约去且化简得 ,又,所以,即,也即直线或.22.【解】(Ⅰ)平移后图象对应的函数解析式为,整理得, 由于函数是奇函数,由题设真命题知,函数图象对称中心的坐标是．(Ⅱ)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数．设,则,即由不等式的解集关于原点对称,则,得．此时．任取,由,得,所以函数图象对称中心的坐标是．(Ⅲ)此命题是假命题．举反例说明:函数的图象关于直线成轴对称图象,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数．修改后的真命题:“函数的图象关于直线成轴对称图象”的充要条件是“函数是偶函数”.y 25045 61D5 懕,&38524 967C 陼23790 5CEE 峮33082 813A 脺}D31742 7BFE 篾p*。