激光原理与技术6

m=0，1，2
n=0，1，2
镜面上场分布为拉盖尔高斯函数(分布)！相应光束称为拉盖尔高斯光束
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
缔合拉盖尔多项式： Lm 0 ( ) 1
Lm 1 ( ) 1 m
L ( )
m n k 0
n
1 Lm ( ) [(1 m)( 2 m) 2(2 m) 2 ] 2 2 (n m)! ( )k
③ 实际上，S的大小并不由腔镜镜面尺寸决定，很多情况下是由腔 内增益介质横截面尺寸决定(尺寸很小)
④ 腔镜横截面(介质横截面)形状不同，分离变量方法不同。
方形——直角坐标系下分离变量 圆形——极坐标系下分离变量
2. 方镜对称共焦腔镜面上场分布—厄米高斯函数
直角坐标系下分离变量 u mn ( x, y) u m ( x)u n ( y) y 2a 2a
几何相移

附加相移
对称共焦腔的驻波条件(频率条件)：
2π m δ m km L Δm qπ k m c c Δm m q 2L π
纵模指数
横模指数
可见：对于横模指数为m的横模，可以有不同的振荡频率！ 记为TEMm(n)q模
1 cos 1 2

自洽条件：u( x, y) u ( x, y )
S
则有：
u( x, y) u( x, y) K ( x, y; x, y)dxdy
x

只有对称共焦腔：当xOy面在M1处，当xOy面在M2处满足！ x
y
F L
z y
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
令： 则：
m n m n /ie ikL
1 U m ( X ) 2π m

2 πN
2 πN
U m ( X )eiXX dX
U n (Y )
1 2π n

2 πN
2 πN
U n (Y )eiYY dY
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
① 若um(x,y)可分离变量求解大为简化
um ( x, y) umn ( x, y) um ( x)un ( y)
m mn m n
② 若S有限大——本征方程可精确求解； 若S很大——本征方程需近似求解。
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
可求得r： r [( x x)2 ( y y)2 L2 ]1 / 2 1 2
( x x) ( y y) L 1 2 2 L L
2
2 1/ 2
1 2
( x x)2 ( y y)2 L 1 1 2 2 2L x 2 y 2 x 2 y 2 xx yy L 1 2 2L 2L Lp两点间距，
1 cos 倾斜因子， 2
x r
x p

：r与腔轴之间夹角
p
y

y
z
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 2. 再现模本征方程
若谐振腔满足：

L>>a，a >>，有： cos 1 i e ikr u ( x , y ) u ( x, y ) dxdy S L
x
O P P1
1
( L 1 )2 L2 ( x 2 y 2 )
2 x P P 1
O z L
( L 2 )2 L2 ( x2 y2 )
1
x y 2L
2
2
2
x y 2L
2
2
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
mum ( x, y) 本征方程也可改写为：
x 其中： f x , L
i ikL i2π( f x f y) e um ( x, y )e x y dxdy S L y fy L
可见：um ( x, y ) um ( x, y) 构成傅里叶变换对
mum ( x, y) cFTum ( x, y) 物场与频谱场分布自洽
(m k )! k!(n k )! n 0,1,2
综合(方和圆)讨论：
(1) 方： mn e
π i[ kL ( m n 1) ] 2
圆： mn e
π i[ kL ( m 2 n 1) ] 2
均为纯虚数！mn描述损耗，说明衍射损耗等于零！ 相当于菲涅耳数NF，亦即镜面尺寸a的结果。
S

um和m为复数，故有：
um ( x, y) um ( x, y) e

m
i m ( x , y )
m m ei 意义？
m

mum ∵ um m e i u m

可见：m对本征模在腔内渡越时产生两方面影响： (1) m引起振幅变化：损耗 (2) e i m产生一个附加相移
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
2 2 2 2 2 X x π x a x 2 由： 2 2πN 2 2π x 2 2 2a L L 2a w0s L 其中： w0 s
π
得： X 2
x w0s
Y 2
y w0s
x2 y2
w02s x x 镜面上场分布： u ( x, y ) CmnH m 2 Hn 2 e w0s w0s π i[ kL ( m n 1) ] m=0，1，2
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
(2) 镜面上场分布相位与x，y无关。 ——镜面是本征模场分布的等相面！ (3) 用TEMmnq表示本征模。 m —x 方向场零点数目 n — y 方向场零点数目 q — z 方向半波长数目
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
四、对称共焦腔自再现模在镜面上场分布
1. 自再现模本征方程解
i ikr K ( x, y; x, y) e L
r—关键 —
对称共焦腔最简单
任意腔可等效为对称共焦腔
已知M1面(球面)上场分布u，求M2面上场分布！ 相应间距： r P 1P 1 PP 1 2 由OOP和OOP ：
——开腔模场分布的波动光学分析
二、Fox and Li开腔模概念(1961)
平面光波在平行平面腔中的来回反射，不计几何偏折损耗(大NF 腔)时，等价于通过周期分布“孔拦”的传输。用数值迭代方法计 算证实：自再现模存在。(3000次以后不再发生变化)
等价
L L L

u1 u2 u3 uq uq+1
uq 1 uq 复常数
——开腔模场分布的波动光学分析 分析如下：

这是关于u的积分方程，求解：u(x,y)[ u(x,y) ]横 向场分布的本征方程。 其解u为本征函数(横模)，为本征值。
i


本征方程积分核 K ( x, y; x, y) eikr ，为复对称核。 腔结构对称，积分核对称！ L
积分方程理论：(1) 对称核：本征函数一定是正交归一函数系 腔内任意场分布=ti本征函数i (2) 复核：本征函数、本征值一定是复值
xx yy L L
代入本征方程有： mum ( x, y)
x2 y2 x2 y 2 2 1 2L 2L
i ikL e um ( x, y )e S L
ik
xx yy L
dxdy
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析

本征函数u正交归一化的函数系，加下标： u um 。 um对应本征值 m
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
本征方程可改写为： 因此：
m u m ( x, y ) u m ( x, y) K ( x, y; x, y )dxdy m 0,1,2
开腔中的自再现模场分布=衍射为零时的自洽场分布
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
三、自再现模的本征方程(对称共焦腔)
1. 求自再现模本征方程的物理基础 ——菲涅耳—基尔霍夫方程
已知衍射屏xOy上场分布u(x,y)，根据惠更斯—菲涅耳原理：
e ikr 1 cos u ( x , y ) u ( x, y ) dxdy S r 2 i
当N较大时，积分方程有如下解(用近似解代替精确解)：
Um ( X ) e
X2 2
Hm ( X )
U n (Y ) e

Y2 2
H n (Y )
其中：Hm、Hn为厄米多项式：
H0 ( ) 1 H2 ( ) 4 2 2 H4 ( ) 16 4 48 2 12

得镜面上场分布： umn ( , ) Cmn 2 其中：w0 s
L
π
e L 2 n 2 w0s w0s
2
m

2
2 w0 s
eim
， Lm 为缔合拉盖尔多项式 n ( )
mn e
π i[ kL ( m 2 n 1) ] 2

自再现模平均单程损耗因子：
D
um um um
2
2
2
1 m
2
不同横模损耗不同！