2019年中考数学总复习第一板块基础知识过关第6课时一元二次方程知能优化训练新人教版2019040317

初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料

初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料习是一架保持平衡的天平，一边是付出，一边是收获，少付出少收获，多付出多收获，那么你们知道关于初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料内容还有哪些呢?下面是小编为大家准备初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料大全，欢迎参阅。

初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数;②未知数的次数是2;③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

2019届浙教版中考数学一轮复习《一元二次方程》知识梳理

第8讲一元二次方程考纲要求命题趋势1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的解法． 3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题.结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.一、一元二次方程的概念1．只含有两个个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是降次，主要方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解. 2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为2)2(ab x ＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________. 4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0．三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是b 2－4ac ．2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．四、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是( )A．2 B．－2 C．4 D．－43．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是( ) A．200(1＋a%)2＝148 B．200(1－a%)2＝148C．200(1－2a%)＝148 D．200(1－a2%)＝1484．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=05．若（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，则x2+y2= ．6.若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是．7.已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或118.若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则2+的值为（）A．B．C．D．9.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．答案1． B2． C3． B4． A5．5解：设x2+y2=m，∵（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，∴m2﹣3m﹣10=0，解得：m1=﹣2，m2=5，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=5；故答案为：5．6．a≥﹣1解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．7. D解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．8． A解：∵2a2+5a+1=0，∴+5×+2=0；又∵b2+5b+2=0，∴、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根；∴由韦达定理，得x1•x2=2，即•b=2，∴a=；∴2+=2+=．9．（30﹣2x）（20﹣x）=6×782019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A. B. C. D.2．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（） A ．互相平分 B ．相等 C ．互相垂直D ．平分一组对角3．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（） A.与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人 B.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点4．已知一次函数y=kx+b 中，x 取不同值时，y 对应的值列表如下：则不等式kx+b ＞0（其中k ，b ，m ，n 为常数）的解集为（）A ．x ＞2B ．x ＞3C ．x ＜2D ．无法确定5．下列计算正确的是（） A.224x x x -∙=B.()236xx -=C.236x x x ∙=D.()222m n m n -=-6．扇形的弧长为20πcm ，面积为240πcm 2，那么扇形的半径是（） A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．28cm7．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭莱月的用电量，如表所示:用电量(千瓦•120 140 160 180 200时)户数 2 3 6 7 2则这20户家庭该月用电量的众数和中位数、平均数分别是( )A．180，160，164 B．160，180；164C．160，160，164 D．180，180，1648．在圆环形路上有均匀分布的四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存．现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1：2：3：5．若运费与路程、运的数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A.甲超市的利润逐月减少B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市10．如图，在△ABC中，AC＝BC＝25，AB＝30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD＝x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（）A. B.C. D.11．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过点(0,2)，且关于直线1x =-对称，()1,0x 是抛物线与x 轴的一个交点.有下列结论：①方程22ax bx c ++=的一个根是x=-2；②若112x <<，则2134a -<<-；③若4m =时，方程2ax bx c m ++=有两个相等的实数根，则2a =-；④若302x -≤≤时，23y ≤≤，则1a =-.其中正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．412．下列计算正确的是（） A ．（a 2b ）2＝a 2b 2 B ．a 6÷a 2＝a 3C ．（3xy 2）2＝6x 2y 4D ．（﹣m ）7÷（﹣m ）2＝﹣m 5二、填空题13．若关于x 的方程kx 2﹣3x ﹣94＝0有实数根，则实数k 的取值范围是_____． 14．﹣6的相反数等于_____．15．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是． 16．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．17．﹣12018+(3﹣1)0＝_____．18．方程的解是___________________________.三、解答题19．如图，过△DBE 点D 作直线l ∥BE ，以点B 为圆心，BD 为半径作弧交直线l 于点A ．（1）求证：∠BAD ＝∠DBE ；（2）在AD 上截取AC ＝BE ，求证：四边形BEDC 是等腰梯形．20．如图，点A（﹣1，m）是双曲线y1＝kx与直线y2＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，另一个交点C在第四象限，AB⊥x轴于B，且cos∠AOB＝10 10（1）求m的值；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出使y1＞y2成立的x的取值范围．21．阅读下列材料，并解决相关的问题按照一定顺序排列的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记a n，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用字母d表示，如数列1，3，5，7，9…为等差数列，其中a1＝1，d＝2（1）等差数列1，6，11，16…公差d为，第11项是．（2）若一个等差数列的公差为d＝3，第2项为10，求第1项a1和第n项a n（用含n的表达式表示）．22．2011年，陕西西安被教育部列为“减负”工作改革试点地区．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？23．郑州市创建国家生态园林城市实施方案已经出台，到2019年5月底，市区主城区要达到或超过《国家生态园林城市标准》各项指标要求．郑州市林荫路推广率要超过85%，在推进此活动中，郑州市某小区决定购买A、B两种乔木树，经过调查，获取信息如下：如果购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元．树种购买数量低于50棵购买数量不低于50棵A 原价销售以八折销售B 原价销售以九折销售（1）A种树木与B种树木的单价各多少元？（2）经过测算，需要购置A、B两种树木共100棵，其中B种树木的数量不多于A种树木的三分之一，如何购买付款最少？最少费用是多少元？请说明理由．24．（1）计算：(-2）2+ 12-（23）0．（2）化简：（a+2)(a-2)-a（a-4)．25．如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt△ABC三个顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)写出A，C两点的坐标；(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点C旋转至C2经过的路径长．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A D A B C A D D B D D二、填空题≥-．13．k114．615．m＞﹣4．16．1217．018．三、解答题19．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质，可得∠BAD=∠BDA，由平行线的性质，可得∠DBE=∠BDA，继而可证得：∠BAD=∠DBE；（2）首先由SAS可证得△ABC≌△BDE，然后可得BC=DE，继而可证得四边形BEDC是等腰梯形．【详解】（1）∵以点B为圆心，BD为半径作弧交直线l于点A，即BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵直线l∥BE，∴∠DBE＝∠BDA，∴∠BAD＝∠DBE；（2）在△ABC和△BDE中，∵AB BDBAD DBE AC BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△BDE（SAS），∴BC＝DE，∵直线l∥BE，AD≠BE，∴四边形BEDC是梯形，∴四边形BEDC是等腰梯形．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰梯形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．20．（1）m＝3；（2）4；（3）x＜﹣1或0＜x＜3．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到OB=1，由cos∠AOB=1010，得到OA=10，根据勾股定理即可得到结论；（2）先把两函数的解析式联立组成方程组，求出x、y的值，得出A、C两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）观察图象，根据一次函数与反比例函数的交点坐标即可求出一次函数的值大于反比例函数的值x的取值范围．【详解】解：（1）∵A （﹣1，m ），AB ⊥x 轴于B ， ∴OB ＝1， ∵cos ∠AOB ＝1010， ∴OA ＝10，∴AB ＝22A B O O -＝3， ∴A （﹣1，3）， ∴m ＝3；（2）∵A （﹣1，3）是双曲线1ky x=与直线y 2＝﹣x ﹣（k+1）在第二象限的交点， ∴k ＝﹣3，∴反比例函数的解析式为：13y x=-，一次函数的解析式为：y 2＝﹣x+2， 23y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩， ∴C （3，﹣1）， ∴△AOC 的面积＝12×2×1+12×2×3＝4；（3）由图象知，y 1＞y 2成立的x 的取值范围为：x ＜﹣1或0＜x ＜3．【点睛】此题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，反比例函数的性质，求两函数的交点坐标，比较函数值的大小，三角形的面积等知识，能根据△ABO 的面积求出k 的值是解答此题的关键． 21．（1）5，51；（2）a n ＝3n+4．【解析】【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）由a 2=a 1+d ，a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d…可知：序列号n 比d 的系数小1，故：a n =a 1+（n-1）d ．【详解】（1）如果一个数列a 1，a 2，a 3，a 4，…是等差数列，且公差为d ，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，……a n﹣a n﹣1＝d，所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝a1+2d，a4＝a1+3d，……由此可得a n＝a1+（n﹣1）d（用a1和d的代数式表示）；由此可得：d＝6﹣1＝5，第11项是：1+10×5＝51，故答案为：5，51；（2）由题意得：a1＝10﹣3＝7，由（1）得：a n＝a1+（n﹣1）d＝7+3（n﹣1）＝3n+4．【点睛】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，知道什么是等差数列，会用等差数列解决问题．22．(1)200，（2）补图见解析；（3）54°；（4）680000人.【解析】【分析】（1）根据A级有50人，所占的比例是25%，据此即可求解；（2）求得C级所占的比例，乘以总人数即可求解，进而作出条形图；（3）利用360度，乘以C级所占的比例即可求解；（4）总人数乘以A，B两级所占的比例的和即可求解．【详解】解：（1）50÷25%＝200（名）；（2）C级的人数是：200×（1﹣25%﹣60%）＝30（人）．；（3）C级所占的圆心角的度数是：360×（1﹣25%﹣60%）＝54°；（4）80000×（25%+60%）＝68000（人）．【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．23．（1）A种树每棵150元，B种树每棵100元；（2）当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为11500元．【解析】【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元”列出方程组并解答；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，根据“B种树木的数量不多于A种树木的三分之一”列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：400.960114000.8500.95010500x yx y+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，解得150100xy=⎧⎨=⎩，即A种树每棵150元，B种树每棵100元；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，则（100﹣a）13a ≤，解得a≥75．设实际付款总金额是y元，则y＝0.8×150a+100（100﹣a），即y＝20a+10000．∵k＝20＞0，y随a的增大而增大，∴当a＝75时，y最小．即当a＝75时，y最小值＝20×75+10000＝11500（元）．答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为11500元．【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．24．（1）323+（2）4a-4【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂，二次根式的化简，零指数幂，然后计算加减法．（2）利用平方差公式和单项式乘多项式法则解答．【详解】（1）原式=4+23-1=3+23；（2）原式=a2-4-a2+4a=4a-4.【点睛】考查了平方差公式，实数的运算，单项式乘多项式等知识点．25．(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)见解析；(3)102π．【解析】【分析】(1)利用第二象限点的坐标特征写出A，C两点的坐标；(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(3)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点得到△A2B2C2，再利用弧长公式计算点C旋转至C2经过的路径长．【详解】解：(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)如图，△A1B1C1为所作；(3)如图，△A2B2C2为所作，OC＝2213+＝10，点C旋转至C2经过的路径长＝9010180π⋅⋅＝102π．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，若以AC 为底面圆半径、BC 为高的圆锥的侧面积为S 1，以BC 为底面圆半径、AC 为高的圆锥的侧面积为S 2，则（）A ．S 1＝S 2B ．S 1＞S 2C ．S 1＜S 2D ．S 1、S 2的大小关系不确定2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（） A ．﹣1B ．1C ．3D ．53．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 为AD 中点，分别以B 、E 为圆心，以AB 、AE 为半径画弧，两弧交于点F ，连接AF 、BE ，则AF 的长为（）A.125B.135C.245D.54．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)．若有36枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品( )A.22张B.23张C.24张D.25张5．若a 2+2a ﹣3＝0，则代数式（a ﹣）的值是（） A.4B.3C.﹣3D.﹣46．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（） A.最小值0 B.最大值1 C.最大值2D.有最小值﹣7．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，沿CE 折叠△CDE ，点D 恰好落在AC 的中点F 处，若CD ＝3，则△ACE 的面积为（）A ．1B ．3C ．2D ．238．估计372-的值应在( ) A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和9之间9．如图，在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，10AB =，那么以A 为圆心、6为半径的⊙A 与直线BC 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定10．对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（） A.开口向下B.对称轴是3x =C.最大值为0D.与y 轴不相交11．下列运算正确的是（） A.222()x y x y +=+ B.632x x x ÷=C.2(3)3-=D.32361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭12．将直线y ＝2x ﹣3向右平移2个单位．再向上平移2个单位后，得到直线y ＝kx+b ，则下列关于直线y ＝kx+b 的说法正确的是（） A ．经过第一、二、四象限 B ．与x 轴交于（2，0） C ．y 随x 的增大而减小 D ．与y 轴交于（0，﹣5）二、填空题13．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4．则S 1﹣S 2+S 3+S 4等于_____．14．若正方形的面积是9，则它的对角线长是_____．15．点P （5，﹣3）关于x 轴对称的点P′的坐标为____________.16．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m ，两侧蹑地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为_______m .（精确到0.1m ）17．计算：38﹣|﹣2|＝_____．18．某校随机调查了八年级20名男生引体向上的个数，统计数据如表所示，则这些男生引体向上个数的中位数与众数之和为_____．个数 6 7 8 9 10人数 2 3 4 6 5三、解答题19．先化简，再求值：2443111x xxx x-+⎛⎫÷+-⎪--⎝⎭，其中x的值是不等式组3215xx-<⎧⎨+≤⎩的一个整数解.20．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，过点C作CG⊥AE，垂足为G，连接DG，（1）若BC＝6，CF＝2，求CE的长；（2）猜想：AG、CG、DG之间有何数量关系，并证明．21．等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，两边分别交BC、CD于M、N．（1）如图①，作AE⊥AN交CB的延长线于E，求证：△ABE≌△AND；（2）如图②，若M、N分别在边CB、DC所在的直线上时.①求证：BM+MN=DN；②如图③，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．22．某学校开展名著阅读活动，现老师推荐2部不同的名著A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部阅读．(1) 甲选择名著A的概率为；(2) 求甲、乙、丙3人选择同一部名著的概率．（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）23．下表是2018年三月份某居民小区随机抽取20户居民的用水情况：：月用水量/吨15 20 25 30 35 40 45户数 2 4 m 4 3 0 1（1）求出m＝，补充画出这20户家庭三月份用电量的条形统计图；（2）据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中：统计量名称众数中位数平均数数据（3）为了倡导“节约用水绿色环保”的意识，江赣市自来水公司实行“梯级用水、分类计费”，价格表如下：月用水梯级标准Ⅰ级（30吨以内）Ⅱ级（超过30吨的部分）单价（元/吨） 2.4 4如果该小区有500户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭在Ⅰ级标准？（4）按上表收费，如果某用户本月交水费120元，请问该用户本月用水多少吨？24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y＝mx在第二象限内的图象交于点C，CE⊥x轴，tan∠ABO＝12，OB＝4，OE＝2．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果S△BAF＝4S△DFO，求点D的坐标．25．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．（1）求证：EF＝ED；（2）若AB ＝22，CD ＝1，求FE 的长．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D B D B A A D CD二、填空题 13．6 14．2 15．(5，3) 16．1 17．0 18．18 三、解答题19．当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1- 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．【详解】2443111x x x x x -+⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭22(2)13111x x x x x ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭2(2)(2)(2)11x x x x x -+-=÷-- 2(2)11(2)(2)x x x x x --=⨯-+-22x x -=+解不等式组3215x x -<⎧⎨+≤⎩得32x -<≤，其整数解：21012212x --≠-、、、、、、、x 可以等于10-、当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1- 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（1）3（2）AG=CG+2DC 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可；（2）在AE 上截取AH ＝CG ，连接DH ，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】（1）在正方形ABCD 中， ∵AB ∥DC ，AB ＝BC ， ∴△CEF ∽△BEA ， ∴CE CFBE AB =， ∵BC ＝6，CF ＝2，BE ＝BC+CE ， ∴266CE CE =+，解得：CD ＝3；（2）猜想：AG 、CG 、DG 之间的数量关系为：2AG CG DG =+，证明如下：在AE 上截取AH ＝CG ，连接DH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AD ＝DC ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°， ∴∠DAE ＝∠E ，∠DCG+∠GCE ＝90°， ∵CG ⊥AE ，∴∠E+∠GCE ＝90°， ∴∠DCG ＝∠E ＝∠DAE ，在△ADH 与△CDG 中AD CD DAH DCG AH CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADH ≌△CDG （SAS ），∴DH ＝DG ，∠ADH ＝∠CDG ，∵∠ADC ＝∠ADH+∠HDC ＝90°，∴∠HCD+∠GDC ＝∠HDG ＝90°，∴HG ＝222DH DG DG +=，∵AG ＝AH+HG ，AH ＝CG ，∴AG ＝CG+2DG ．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，正方形的性质、勾股定理等知识的应用，关键是利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答．21．（1）见解析；（2）①见解析；②AP=310.【解析】【分析】（1）利用互余判断出∠EAB=∠NAD ，即可得出结论；（2）先构造出△ADG ≌△ABM ，进而判断出，△AMG 为等腰直角三角形，即可得出NM=NG ，即可得出结论；（3）由（2）得出MN+BM=DN ，进而得出CN=18-2BC ，再利用勾股定理得求出CN=6，在判断出△ABP ∽△ACN ，得出AP AB 1AN AC 2==，再利用勾股定理求出AN ，代入即可得出结论．【详解】解：（1）如图①，∵AE 垂直于AN ，∴∠EAB+∠BAN=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠NAD+∠BAN=90°，∴∠EAB=∠NAD ，又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD ，∴△ABE≌△AND；………………（2）如图②，在ND上截取DG=BM，连接AG、MG，∵AD=AB，∠ADG=∠ABM=90°，∴△ADG≌△ABM，∴AG=AM，∠MAB=∠GAD，∵∠BAD=∠BAG+∠GAD=90°，∴∠MAG=∠BAG+∠MAB=90°，∴△AMG为等腰直角三角形，∴AN⊥MG，∴AN为MG的垂直平分线，∴NM=NG，∴DN﹣BM=MN，即MN+BM=DN；（3）如图③，连接AC，同（2），证得MN+BM=DN，∴MN+CM﹣BC=DC+CN，∴CM﹣CN+MN=DC+BC=2BC，即8﹣CN+10=2BC，即CN=18﹣2BC，在Rt△MNC中，根据勾股定理得MN2=CM2+CN2，即102=82+CN2，∴CN=6，∴BC=6，∴AC=62，∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°，∴∠BAP=∠NAC，又∵∠ABP=∠ACN=135°，∴△ABP∽△ACN，∴AP AB1 AN AC2==在Rt△AND中，根据勾股定理得AN2=AD2+DN2=36+144，解得AN=65，∴AP1 652=，∴AP=310．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠EAB=∠NAD，解（2）的关键是判断出△AMG为等腰直角三角形，解（3）的关键是判断出△ABP∽△ACN．22．(1)12；(2)14【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）甲选择名著A的概率=12；（2）画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙3人选择同1部名著的结果数为2，所以甲、乙、丙3人选择同1部名著的概率=28=14．【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．23．（1）6（2）25，25，26.5（3）100（4）39【解析】【分析】（1）根据各用户数之和等于数据总和即可求出m 的值，根据表格数据补全统计图；（2）根据众数、中位数、平均数的定义计算即可；（3）用达标的用户数除以总用户数，乘以500即可；（4）设该用户本月用水x 吨，列方程2.4×30+4（x ﹣30）＝108，解答即可．【详解】（1）m ＝20﹣2﹣4﹣4﹣3﹣0﹣1＝6，这20户家庭三月份用电量的条形统计图：故答案为6；（2）根据题意可知，25出现的次数最多，则众数为25，由表可知，共有20个数据，则中位数为第10、11个的平均数，即为25；平均数为（15×2+20×4+25×6+30×4+45×1）÷20＝26.5，故答案为25，25，26.5；（3）小区三月份达到ⅠI 级标准的用户数：3150010020+⨯=（户），答：该小区三月份有100户家庭在ⅠI 级标准；（4）∵2.4×30＝72＜120，∴该用户本月用水超过了30吨，设该用户本月用水x 吨，2,4×30+4（x ﹣30）＝108，解得x ＝39，答：该用户本月用水39吨．【点睛】本题考查的是统计表即条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．24．（1）6y x =-，122y x =-+；（2）D （32，﹣4）．【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m 的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标．【详解】解：（1）∵tan∠ABO＝12，∴A1OB2O=，且OB＝4，∴OA＝2，∵CE⊥x轴，即CE∥AO，∴△AOB∽△CEB，∴AO BOCE BE=，即2442CE=+，解得CE＝3，∴C（﹣2，3），∴m＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝6x -；∵OA＝2，OB＝4，∴A（0，2），B（4，0），代入y＝kx+b得240bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b2⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y＝12x-+2；（2）设D（x，6x -），∵D在第四象限，∴DF＝x，OF＝6x，∴S△DFO＝12DF•OF＝1632xx⋅=，由（1）可知OA＝2，∴AF＝2+6x，∴S△BAF＝12AF•OB16624222x x⎛⎫⎛⎫=+⨯=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵S△BAF＝4S△DFO，∴2（2+6x）＝4×3，解得x＝32，当x＝32时，6x-的值为﹣4，∴D（32，﹣4）．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质、待定系数法求反比例函数的解析式、三角形的面积鞥，用D点坐标表示出△BAF和△DFO的面积是解题的关键．25．（1）见解析；（2）EF＝53.【解析】【分析】（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠BAE+∠DAC＝45°，∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，∴△AEF≌△AED（SAS），∴DE＝EF（2）∵AB＝AC＝22，∠BAC＝90°，∴BC＝4，∵CD＝1，∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，∵∠ABF＝∠ABC＝45°，∴∠EBF＝90°，∴BF2+BE2＝EF2，∴1+（3﹣EF）2＝EF2，∴EF＝5 3【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．。

一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)

一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题，[课时作业]的第6、7题。

１．一元二次方程的概念此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。

2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。

点击一：一元二次方程的定义答案：（5）针对练习。

答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。

故m≠－3点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件，有了a≠0的条件，就能说明ax2+bx+c＝0是一元二次方程.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a＝0时，它是一元一次方程.针对练习3:答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.针对练习答案： m 3+2m 2+2009＝m 3+ m 2+m 2+2009＝m （m 2+ m ）+ m 2+2009＝m+ m 2+2009＝1+2009＝2010.类型之一：一元二次方程的定义例1.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.【解答】由mx 2－3x=x 2－mx+2得到（m －1）x 2+（m －3）x －2=0,所以m －1≠0，即m≠1.所以关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足m≠1.【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.类型之二：考查一元二次方程一般形式一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。

(陕西专用)2019中考数学总复习第1部分教材同步复习第二章方程(组)与不等式(组)课时5一元二次方

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• 用公式法解一元二次方程的一般步骤为： • ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值(注意符号)；
• ②求出b2－4ac的值(若b2－4ac＜0，方程无实数根)；
• ③在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入公式进行计算求出方程的根． • 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2－4ac≥0.
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• (2)面积问题常见图形归纳如下： • 第一：如图1，矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴影部分的面积为(a－2x)(b－2x)．
• 第二：如图2，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a－x)(b－x)． • 第三：如图3，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空 a－__ x)( b－ x__ ) _________. 白部分的面积为⑳(___ __ __
4
解法
适用方程类型所有一元二次 (2)确定a，b，c的值；方程都适用
步骤
(1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；
公式法
－b± b2－4ac 2a (3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式x＝⑧_____________ ；
若b2－4ac＜0，则方程没有实数根
方程一边为
(1)将方程一边化为0；
0，另一边能 (2)把方程的另一边分解为两个一次因式的积；因式分解法分解成两个一 (3)令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
次因式的积
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根
5
①②⑥ 1．下列方程是一元二次方程的是__________.
①x2＋2x＝0; ②x2－3＝0; ③(x2＋3)2＝9； 1 ④x ＋x＝4；⑤x5－6y－2＝0;

备战中考数学一元二次方程组(大题培优易错难题)含答案解析

备战中考数学一元二次方程组(大题培优易错难题)含答案解析一、一元二次方程1．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．2．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴x=b 2a-=732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32．当12为腰时，12+12<32， ∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.3．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.4．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：5． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的）则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0 解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去． ∴m=50 【解析】6．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．7．关于x 的方程()2204kkx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0V >，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404kk k =+-⋅>V ， 1k ∴>-，又0k Q ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204kkx k x +++=的两根分别为1x ，2x ，由根与系数的关系有：1212214k x x kx x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意，因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

甘肃省2019年中考数学复习第6讲一元二次方程及其应用课件

4.(2017甘肃白银)如图,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是 ( A ) A.(32-2x)(20-x)=570 B.32x+2×20x=32×32-570 C.(32-x)(20-x)=32×20-570 D.32x+2×20x-2x2=570
考法1
考法2考法3Fra bibliotek考法4
考法5
例3(2018内蒙古包头)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案:B 解析:∵a=1,b=2,c=m-2,关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有实数根, ∴Δ=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m≥0,∴m≤3. ∵m为正整数,∴m=1,2或3. 又当m=1时,Δ=8该方程的根不是整数,∴m≠1. ∴m=2或3.∴2+3=5.故选B.
9.(2017甘肃武威)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k<5且k≠1 . 解析:∵关于x的一元二次方程方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根, ��-1 ≠ 0, ∴ ��-1 ≠ 0, 即 2 �� > 0, 4 -4(��-1) > 0, 解得k<5且k≠1. 10.(2016甘肃兰州)解方程2y2+4y=y+2. 解:2y2+4y=y+2,2y2+3y-2=0, (2y-1)(y+2)=0,2y-1=0或y+2=0, 1 所以y1= 2 ,y2=-2.

2019中考数学重要考点练习卷：一元二次方程(含答案)

一兀二次方程1下列方程为一元二次方程的是2 2 2A. x _2xy y 0B. x_2x=32 1C. xx 3=x-1D. x 0x2. 设x, , X2是方程x2• 5x - 3 = 0的两个根，则& • X2二A . 5 B. -5C. 3D. -33. 如果2是方程x2 -3x - k =0的一个根，则常数k的值为A. 1B. 2C . -14. 用公式法解-X2+3X=1时，先求出A. - 1, 3,- 1C. - 1，- 3,- 15. 方程x2—3x = 0的解是A . X =3C . x =0, x2- -36. 方程x(x 1^x 1的解是A . x=1C .为=o, X2 - -1D . -2 a、b、c的值，贝U a、b、c依次为B . 1,- 3, - 1D. - 1, 3, 1B .音=0 , x2 = 3D . x^ — 1 , x^ — 3B . X - -1D . X1 = 1 , X2 - -17.若关于x的一元二次方程(m-2)x2• 5x • m2-2m =0的常数项为0,则m的值为A . 1B . 2C . 0 或2D . 08 —元二次方程x2 -2x-1 =0的根的情况为A .只有一个实数根B .有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根 D .没有实数根9.已知关于x的一元二次方程x2• 2x-(m-2) =0有实数根，则m的取值范围是A. m 1 B . m 1C . m -1D . m 乞110 .关于x的一元二次方程x28x 0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是A. q :：16 B . q 16C . q <4D . q _411•已知a,b,c 为常数，点P(a,c)在第二象限，则关于 x 的方程ax 2 bx • c =0根的情况是A .有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C .没有实数根D .无法判断12 •关于x 的一元二次方程 x 2 (a 2 -2a)x • a -1 =0的两个实数根互为相反数，则 a 的值为A . 2B . 0 D . 2 或 0C . 1 13. 如果2是方程x 2 -3x =0的一个根，则此方程的另一根为A . 2 B. 1C . -1 D. -214. 设〉，：是方程 X 2 _2x-1 =0的两根，则代数式 :川的值是A . 1B . -1C . 3D . -315. 若关于x 的一元二一次方程x 2 -bx • c = 0的两个实数根分别为 2 和-4，则 b c =A . -10 B. 10C . -6D . -116. 已知一元二次方程 x 2 - 2x -1=0的两根分别为M ,X 2，则 1 1——的值为x-i x 2A . 2 B. -11 C .- D . -2217. 2018年某市人民政府投入 1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到 2020年再追加投资如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为A . 10%B . 8%C . 1.21%D . 12.1%210万元, 18•已知一次函数 y=kx+b 的大致图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x 2- 2x+kb+仁0的根的情况是5关于X 的一元二次方程 X 2 -（k 3）x 2k ^0.A •有两个不相等的实数根 C .有两个相等的实数根 219.用配方法解方程 x +6x - 5=0时，应该变形为B .没有实数根D .有一个根是020.若方程x 2 2x k =0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是21.已知关于x 的一元二次方程x 2，2x-m =0有两个相等的实数根，则 m 的值是22 .在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手 28次，设参加聚会有 X 人，则可列方程 23. 2 2 若X 2是一元二次方程 X 2 • 3x - 5 =0的两个根，则人X 2 - X/2的值是24. 已知直角三角形两边的长是方程 x 2 -18x • 65 =0的两个根，则第三边的长为25. 设：•， '■是方程（x ・1）（X -4） - -5的两实数根，则26. 解下列方程:C 1) 2(x-3)2 =5 ；(2) 2x 2 -3x -3=0 ；(3) (x -3)2 -x 3=0.27.(1) 求证：方程总有两个实数根；(2) 若方程有一根小于1，求k的取值范围.28.已知关于x的方程x2 8x・12-a =0有两个不相等的实数根.(1)求a的取值范围；(2)当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解.29. 根据要求，解答下列问题.(1)根据要求，解答下列问题.①方程x2 _2x= 0的解为 ______________________________②方程x2_3x ■ 2 =0的解为 __________________________③方程x2 _4x .3=0 的解为____________________________(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程X2— 9x + 8 = 0的解为________________________ ;②关于x的方程 _________________________ 的解为捲=1 , *2=n .(3)请用配方法解方程x2 -9x • 8 = 0，以验证猜想结论的正确性.30. 如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭.为方分别从东、南、西、1丄，小路与观赏亭的面5便行人,北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的积之和占草坪面积的3，求小路的宽.2531. 如图，在△ABC中，/ B=90 ° AB=5cm , BC=7cm .点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果P, Q分别从A, B同时出发，那么几秒后，APBQ的面积等于6 cm2?（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2?说明理由.B32. 某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨（或跌）1元，月销售量就减少（或增加）10kg，解答以下问题：（1 ）当销售单价定为每千克35元时，计算月销售量和月销售利润；（2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?。

(完整word版)初三数学九上一元二次方程所有知识点总结和常考题型测验题,文档

一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：ax2bx c 0(a 0) ，它的特色是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中ax 2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数； c 叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如(x a2b的一元二次方程。

依照平方根的定义可知，x a 是b的平方根，当 b 0 时，)x a b ， x a b ，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法 :配方法的理论依照是完满平方公式a22ab b 2( a b) 2，把公式中的a看做未知数x，并用 x 代替，那么有 x22bx b 2(x b) 2。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上 1次项的系数的一半的平方，最后配成完满平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2bx c 0( a0)的求根公式：x b b24ac (b24ac0)2aa，一次项的系数为 b，常公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为数项的系数为 c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，尔后看看可否能用提取公因式，公式法〔这里指的是分解因式中的公式法〕或十字相乘，若是可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去认识，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和x1 x2b，二根之积x1x2 c 。

a a利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用三、一元二次方程根的鉴识式根的鉴识式一元二次方程 ax2bx c0(a 0) 中， b24ac 叫做一元二次方程ax 2bx c 0(a0) 的根的鉴识式，平时用“〞来表示，即 b 24acI.当△ >0 时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II.当△ =0 时，一元二次方程有2个相同的实数根；III.当△ <0 时，一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系若是方程 ax 2bx c 0(a0) 的两个实数根是x1， x2，那么 x1 x2b，x1 x2c。

2019届浙教版中考数学一轮复习《一元二次方程》知识梳理

第8讲一元二次方程考纲要求命题趋势1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的解法． 3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题.结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.一、一元二次方程的概念1．只含有两个个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是降次，主要方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解. 2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为2)2(ab x ＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________. 4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0．三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是b 2－4ac ．2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．四、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是( )A．2 B．－2 C．4 D．－43．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是( ) A．200(1＋a%)2＝148 B．200(1－a%)2＝148C．200(1－2a%)＝148 D．200(1－a2%)＝1484．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=05．若（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，则x2+y2= ．6.若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是．7.已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或118.若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则2+的值为（）A．B．C．D．9.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．答案1． B2． C3． B4． A5．5解：设x2+y2=m，∵（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，∴m2﹣3m﹣10=0，解得：m1=﹣2，m2=5，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=5；故答案为：5．6．a≥﹣1解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．7. D解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．8． A解：∵2a2+5a+1=0，∴+5×+2=0；又∵b2+5b+2=0，∴、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根；∴由韦达定理，得x1•x2=2，即•b=2，∴a=；∴2+=2+=．9．（30﹣2x）（20﹣x）=6×782019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB 4=，BAD ∠的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG AE ⊥，垂足为G ，若DG 1=，则AE 的边长为( )A ．23B ．43C ．4D ．82．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 、F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于H ，AD=3,DC=4,DE=,∠EDF=90°,则DF 的长是（）A. B. C. D.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )A. B. C. D.5．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=－2时，y 取最大值；③当m<4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=m 必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A ，C ，当kx+c> ax 2＋bx ＋c 时，x 的取值范围是－4<x<0；其中推断正确的是（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④6．如图，四边形AOBC 和四边形CDEF 都是正方形，边OA 在x 轴上，边OB 在y 轴上，点D 在边CB 上，反比例函数8y x=，在第二象限的图像经过点E ,则正方形AOBC 与正方形CDEF 的面积之差为（）A.6B.8C.10D.127．2018年舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（） A ．4.995×1010 B ．49.95×1010 C ．0.4995×1011D ．4.995×10118．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简21a a +--的结果为（）A ．21a --B ．21a +C ．－3D ．39．如图，矩形ABCD 中，AB=2, AD=1, 分别以AB 、CD 为直径做半圆，两弧交于点E 、F,则线段EF 的长为（）A ．2B ．3C ．32D ．25310．已知抛物线2y ax bx c =++开口向下，与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标为(1,)n ，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：①20a b +=；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，126a a -总成立；④关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根. 其中结论正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个11．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，扇形CBD 的圆心角为60°，点E 为CD 上一动点，P 为AE 的中点，当点E 从点C 运动至点D ，则点P 的运动路径长是( )A ．2π B ．6π C ．πD ．3212．分式方程, 2133xx x +=-+-的解为（）. A ．0x = B ．6x = C ．15x =- D ．15x =二、填空题13．初三年级参加体育运动会时组成队形为10排，第一排20人，而后面每排比前排多1 人，写出每排人数m 与这排数n 之间的函数关系式__________，自变量的取值范围是_________； 14．计算：23(1)8---＝_____．15．若a ，b 都是实数，b ＝12a -+21a -﹣2，则a b的值为_____．16．计算12﹣913的结果是_____． 17．从2，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____． 18．若式子3x -有意义，那么x 的取值范围是________. 三、解答题19．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据:从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65 乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70（2）整理描述数据:按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x 人数班级50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100甲班 1 3 3 2 1乙班 2 1 m 2 n在表中：m=______，n=______．（3）分析数据:①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：班级平均数中位数众数甲班72 x 75乙班72 70 y在表中：x=______，y=______．②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有______人．③现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．20．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．21．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工．按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列车时速是最慢列车时速的29 20倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？22．113532 3(5)(1)(3)(10)10 464675 +----++-23．如图，已知⊙A与菱形ABCD的边BC相切于点E，与边AB相交于点F，连接EF．（1）求证：CD是⊙A的切线；（2）若⊙A 的半径为2，tan ∠BEF ＝33，求图中阴影部分的面积．24．如图，排球运动员站在点M 处练习发球，将球从M 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足抛物线解析式．已知球达到最高2.6m 的D 点时，与M 点的水平距离EM 为6m ．（1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式；（2）球网BC 与点M 的水平距离为9m ，高度为2.43m ．球场的边界距M 点的水平距离为18m ．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由． 25．已知ABC △内接于O ，D 是BC ︵上一点，OD BC ^，垂足为H ，连接AD 、CD ，AD 与BC 交于点P .I.如图1，求证：ACD APB ∠=∠； Ⅱ.如图2，若AB 过圆心，30ABC ∠=︒，O 的半径长为3，求AP 的长。

2019初三复习资料一元二次方程知识点-中考考点-典型例题分类和中考真题练习

一元二次方程第二章方程及其应用是初中代数中的核心内容，是各地历年中考命题的一个重点，也是一个热点。

方程的思想和方法是初中数学中最重要的思想和方法之一，有些虽然是几何问题，也常常可以用或需要用方程的思想和方法来解决。

第二节初中数学中的方程，除了一元一次方程以外，还有二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，以及内容十分相近的不等式和不等式组。

第三节实际上，对于以后学到的二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，都是通过“转化”的思想和方法，把它们转化为一元一次方程，从而最终得到解决的。

要求1．理解并掌握一元二次方程的意义，正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数；2．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解；3．明确解一元二次方程的基本思想是以降次为目的，会用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方解一元二次方程； 4．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的字母系数的取值范围；5．会列一元二次方程解决生活中的实际问题，与二次函数综合考查最优问题。

命题趋势：本节的主要考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，以及一元二次方程在实际生活中的应用。

在重庆中考中，往往会在填空题中考查一元二次方程的根，根的判别式，在解答题中考查一元二次方程的解法，尤其是在倒数第二题中考查一元二次方程在实际生活中的应用，和二次函数相结合的综合应用。

考点整合1、一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

2、一般表达式：20(0)ax bx c a ++=≠ 其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。

二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。

3、使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

4、一元二次方程的解法：（1）直接开方法，适用于能化为)((2)0x a b b +=≥ 的一元二次方程。

2019年5月初三九年级初中数学复习资料一元二次方程知识点及练习题及详细解析

一元二次方程概念：只含有一个未知数、未知数的最高次数为2且两边都为整式的等式叫做一元二次方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解（solution）也叫做方程的根。

其一般形式为ax^2+bx+c=0（a≠0）。

一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

一个一元二次方程经过整理化成（a≠0）后，其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

方程特点（1）该方程为整式方程。

（2）该方程有且只含有一个未知数。

化简后未知数的二次项系数不为0.（3）该方程中未知数的最高次数是2。

满足以上三点的方程，就是一元二次方程。

判断方法要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。

若是，再对它进行整理。

如果能整理为（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程。

里面要有等号，且分母里不含未知数。

解一元二次方程：方法：一元二次方程有3种解法，即配方法、公式法、因式分解法。

（其中因式分解法主要为十字相乘法。

）1.配方法：首先将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方式，再开方就得解了。

2.公式法可以解任何一元二次方程。

3.因式分解法，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解因式，使等号右边化为0。

配方法步骤将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

配方法的理论依据是完全平方公式配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

2019年中考数学总复习第一板块基础知识过关第6课时一元二次方程知能优化训练新人教

第6课时一元二次方程知能优化训练中考回顾1.(2018四川宜宾中考)一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为()A.-2B.1C.2D.0答案D2.(2018甘肃张掖中考)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k≤-4B.k<-4C.k≤4D.k<4答案C=0有两个不相等的实数根x1,x2.若3.(2018山东潍坊中考)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+4=4m,则m的值是()A.2B.-1C.2或-1D.不存在答案A4.(2018江西中考)一元二次方程x2-4x+2=0的两根分别为x1,x2,则-4x1+2x1x2的值为.答案25.(2018江苏南京中考)设x1,x2是关于x的一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1=,x2=.答案-2 3模拟预测1.方程x2+x-12=0的两个根为()A.x1=-2,x2=6B.x1=-6,x2=2C.x1=-3,x2=4D.x1=-4,x2=3答案D2.对形如(x+m)2=n的方程,下列说法正确的是()A.都可以用直接开平方得x=-m±B.都可以用直接开平方得x=-n±C.当n≥0时,直接开平方得x=-m±D.当n≥0时,直接开平方得x=-n±答案C3.三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的解,则第三边的长为()A.7B.3C.7或3D.无法确定答案A4.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是() A.289(1-x)2=256 B.256(1-x)2=289C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289答案A5.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值等于()A.1B.2C.1或2D.0答案B6.若关于x的一元二次方程x2-3x-2a=0有两个实数根,则a可取的最大负整数为.答案-17.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足x1+x2=m2,则m的值是.答案38.某地特产专卖店销售核桃,其进价为40元/千克,如果按60元/千克出售,那么平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?解(1)设每千克核桃应降价x元,根据题意,得(60-x-40) 00 0=2240.化简,得x2-10x+24=0.解得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元,因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6100%=90%.元.此时,售价为60-6=54(元),所以 4答:该店应按原售价的九折出售.。

2019年中考数学总复习第一板块基础知识过关二次函数知能优化训练新人教版

第12课时二次函数知能优化训练中考回顾1.(2018山东潍坊中考)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6答案B2.(2018山东青岛中考)已知一次函数y=x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是()答案A3.(2018甘肃张掖中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象与x轴的一个交点A 在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当-1<x<3时,y>0,其中正确的是()A.①②④B.①②⑤D.③④⑤答案A.广东广州中考)已知二次函数y=x2,当x>0时,y随x的增大而(填“增大”或).答案增大浙江金华中考)如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.(1)求抛物线的函数解析式;(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.解(1)设抛物线的解析式为y=ax(x-10).∵当t=2时,AD=4,∴点D的坐标为(2,4),∴将点D坐标代入解析式得-16a=4,解得a=-,∴抛物线的函数解析式为y=-x2+x.(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,∴AB=10-2t.当x=t时,AD=-t2+t,∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2=-t2+t+20=-(t-1)2+∵-<0,∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为(3)如图,当t=2时,点A,B,C,D的坐标分别为(2,0),(8,0),(8,4),(2,4),∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5,2).当平移后的抛物线过点A时,点H的坐标为(4,4),此时GH不能将矩形面积平分;当平移后的抛物线过点C时,点G的坐标为(6,0),此时GH也不能将矩形面积平分;∴当G,H中有一点落在线段AD或BC上时,直线GH不可能将矩形的面积平分;当点G,H分别落在线段AB,DC上时,且直线GH过点P时,直线GH必平分矩形ABCD的面积.∵AB∥CD,∴线段OD平移后得到线段GH,∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P.在△OBD中,PQ是中位线,∴PQ=OB=4,∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度.模拟预测1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k<3B.k<3,且k≠0D.k≤3,且k≠0答案D.M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-x2+2x上,则下列结论正确的是()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y31<y2 D.y1<y3<y2答案Cax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是()答案C2x…-2 -1 0 1 2 …y…-6 -4 -2 -2 -2 …y=.答案-45.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为.答案k=0或k=-16.抛物线y=-x2+bx+c的图象如图,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的解析式为.答案y=-x2-2x①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;(3)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.解(1)∵抛物线L3:y=2x2-8x+4,∴y=2(x-2)2-4.∴顶点为(2,-4),对称轴为x=2,设x=0,则y=4,∴C(0,4).∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),∴L4的解析式为y=-2(x-4)2+4.∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.(3)a1=-a2,理由如下:∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上,∴可以列出两个方程由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,∴a1=-a2.。

初三数学一元二次方程全章知识讲解复习教案与巩固练习提高

《一元二次方程》全章知识讲解复习教案与巩固练习（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.−−−→降次)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =213.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x|m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.举一反三：【变式】若方程是关于的一元二次方程，求m 的值．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)； (2)； (3)．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．2(310m m x mx --=x 224(3)25(2)0x x ---=225(3)9x x -=-2(21)4(21)40x x ++++=类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程有实数根．则a 满足（）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠54．为何值时，关于x 的二次方程（1）满足时,方程有两个不等的实数根；（2）满足时,方程有两个相等的实数根；（3）满足时,方程无实数根.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】已知关于x 的方程有两个不相等的实数根、．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．2(5)410a x x ---=k 2690kx x -+=k k k 2(1)(23)10k x k x k -+-++=1x 2x类型五、一元二次方程的应用6．随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

九年级数学一元二次方程知识点及练习

知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如bax=+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，ax+是b的平方根，当0≥b时，bax±=+，bax±-=，当b<0时，方程没有实数根。

（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa+=+±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有222)(2bxbbxx±=+±。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q ＜0,方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

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