高中数学小问题集中营之高三：三角函数与解三角形：专题三 三角恒等变换中角的变换技巧(含答案解析)
高考数学复习考点题型专题讲解2 三角恒等变换与解三角形
高考数学复习考点题型专题讲解专题2 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具；2.三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；3.正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算.1.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin β，则( )A.tan(α－β)＝1B.tan(α＋β)＝1C.tan(α－β)＝－1D.tan(α＋β)＝－1 答案 C解析 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C. 2.(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝________. 答案 2 2解析由题意得S△ABC＝12ac sin B＝34ac＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×12＝8，则b＝2 2.3.(2021·浙江卷)在△ABC中，B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝________；cos ∠MAC＝________.答案213239 13解析由B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos B＝4＋64－2×8×2×12＝52，所以AC＝213，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2＋AM2－MC22AC·AM＝52＋12－162×213×23＝23913.4.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A).(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝2531，求△ABC的周长.(1)证明法一由sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理asin A ＝bsin B＝csin C，可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*).由余弦定理可得ac cos B＝a2＋c2－b22，ab cos C＝a2＋b2－c22，2bc cos A＝b2＋c2－a2，则上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bc cos A得，a2＝2bc cos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，解得b＋c＝9，所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝14.热点一 化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形. 例1 (1)(2022·天津模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12B.π3 C.π4D.π6(2)已知α，β均为锐角，cos(α＋β)＝－513，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( ) A.3365B.－3365 C.6365D.3365或6365答案 (1)C (2)C解析 (1)由α，β为锐角， 则－π2<α－β<π2，由sin(α－β)＝－1010， 得cos(α－β)＝31010，又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.(2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，β＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，∴sin(α＋β)>0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，∵cos(α＋β)＝－513，∴sin(α＋β)＝1213， 又∵sin⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－35或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝35(舍去)，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋1213×45＝6365.规律方法 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.训练1 (1)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )A.－53B.－59C.59D.53(2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.答案(1)A (2)π3解析(1)sin α＋cos α＝33，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1 3，整理得：2sin αcos α＝－23<0，∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝5 3 .∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－15 3，则cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－53，故选A.(2)由cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，得sin α＝1－cos2α＝437，sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝3314.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.热点二 三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.例2 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(α＋2β)＝75sin α.(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β； (2)若tan α＝3tan β，求α的值. (1)证明 因为sin(α＋2β)＝75sin α，所以sin[(α＋β)＋β]＝75sin[(α＋β)－β]，所以sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β ＝75[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β]， 所以sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.① 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π).若cos(α＋β)＝0，则由①得sin(α＋β)＝0， 与α＋β∈(0，π)矛盾，所以cos(α＋β)≠0.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos β≠0.由①两边同除以cos(α＋β)·cos β， 得tan(α＋β)＝6tan β.(2)解 由(1)知tan(α＋β)＝6tan β， 则tan α＋tan β1－tan αtan β＝6tan β，因为tan α＝3tan β，所以tan β＝13tan α，所以43tan α1－13tan 2α＝2tan α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0，所以43－tan 2α＝2，所以tan 2α＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＝1，从而α＝π4.易错提醒 等式两边除以同一个三角函数式时要注意论证这个三角函数式不为零. 训练2 求证：(1)cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos 4α. (2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 (1)左边＝2cos 22α－1＋4cos 2α＋3 ＝2(cos 22α＋2cos 2α＋1) ＝2(cos 2α＋1)2 ＝2(2cos 2α－1＋1)2＝2(2cos 2α)2＝8cos 4α ＝右边.(2)左端＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α＝右端. 热点三 正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在△ABC 中，a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径).2.余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例3 (1)(2022·丽水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c cos B ＋b cos C ＝2，且b 2＋c 2－a 2＝2bc ，则三角形ABC 的外接圆半径的长为( ) A.2B.22C.2D.1(2)(2022·泰安三模)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( )A.56B.76C.53D.73答案 (1)D (2)D解析 (1)∵c cos B ＋b cos C＝c ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 22a ＝a ，即a ＝ 2.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，∵0<A <π，∴A ＝π4， 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2sinπ4＝2R ，解得R ＝1，故选D.(2)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，所以AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，则sin A ＝74，故tan A ＝73.故选D. 规律方法 1.利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.2.涉及边a ，b ，c 的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.训练3 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＝13，a sin A－c sinC＋b sin A＝0，则ba＝( )A.53 B.73C.72 D.52(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3b cos C＝3a－c，且A＝C，则sin A＝________.答案(1)A (2)6 3解析(1)由正弦定理及a sin A－c sin C＋b sin A＝0，得a2－c2＝－ab，又由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝b2－ab2ab＝13，∴ba－1＝23，得ba＝53.(2)因为3b cos C＝3a－c，由正弦定理得3sin B cos C＝3sin A－sin C，又A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，即sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，所以3sin B cos C＝3(sin B cos C＋cos B sin C)－sin C，所以3cos B sin C＝sin C，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos B＝1 3，又A＝C，所以cos B＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝2sin2A－1＝13，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin A＝63.热点四正弦定理、余弦定理的综合应用1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：分析→列关系式→求解→检验2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用S＝12ab sin C形式的面积公式.例4 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)()A.346B.373C.446D.473 答案 B解析 如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝180°－∠A ′C ′B ′－∠A ′B ′C ′＝75°，则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°， 所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.例5(2022·北京海淀区模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求A ；(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第①组条件：a＝19，c＝5.第②组条件：cos C＝13，c＝4 2.第③组条件：AB边上的高h＝3，a＝3.注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.解(1)因为a sin B＝3b cos A，由正弦定理可得sin A sin B＝3sin B cos A，又B∈(0，π)，所以sin B≠0，则sin A＝3cos A，即tan A＝3，又A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)若选择第①组条件，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即19＝b2＋25－5b，解得b＝2或3，不符合题意，故不能选第①组条件.若选择第②组条件，因为C∈(0，π)，cos C＝13，所以sin C＝223，由正弦定理asin A ＝csin C可得a＝c sin Asin C＝42×32223＝33，则sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝32×13＋12×223＝22＋36，此时△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×33×42×22＋36＝43＋3 2.若选择第③组条件，因为AB边上的高h＝3，所以b sin π3＝3，则b＝332＝2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得9＝4＋c2－2c，解得c＝1＋6，此时△ABC的面积S＝12bc sin A＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.规律方法(1)对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用以求解.(2)与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B)中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.训练4 (1)(2022·湖南三湘名校联考)如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝732247，则此时返回舱底端离地面的距离CD＝________(π＝3.14，sin∠ACB＝93247，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).答案 20 m解析 设半球的半径为r m ， 则2πr 2＝1 200，∴r ≈14， ∴BC ＝5r ＝70 m. 在△ABC 中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BC sin ∠BAC，则AB ＝BC sin∠ACB sin∠BAC ＝70×93247×224773＝180(m)，∴BD ＝90 m ， 则CD ＝BD －BC ＝20 m.(2)(2022·青岛二中调研)从①2b sin A ＝a tan B ，②a 2－b 2＝ac －c 2，③3sin B ＝cos B ＋1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. (ⅰ)求B 的大小；(ⅱ)若b ＝2，△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解 (ⅰ)若选①：因为2b sin A ＝a tan B ＝a sin B cos B ，所以2ab ＝abcos B， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.若选②：因为a 2－b 2＝ac －c 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac ，所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 若选③：因为3sin B ＝cos B ＋1， 所以3sin B －cos B ＝1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3. (ⅱ)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2－ac ＝4，又S △ABC ＝12ac sin B ＝32，所以ac ＝2，所以(a ＋c )2－3ac ＝4， 所以(a ＋c )2＝10， 所以a ＋c ＝10，所以△ABC 的周长为2＋10.一、基本技能练1.(2022·岳阳二模)已知sin α＋2cos α＝0，则sin 2α＝( ) A.－45B.－35C.－34D.23答案 A解析 ∵sin α＋2cos α＝0，即sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， 则sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×（－2）4＋1＝－45，故选A. 2.计算2cos 10°－sin 20°cos 20°所得的结果为( )A.1B. 2C.3D.2 答案 C 解析2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 B解析 因为在△ABC 中，A －B ＝π2， 所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ， 所以cos B ＝3sin B ， 所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6， 所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2－π6＝π6，故选B.4.(2022·杭州模拟)若3sin 2α－2sin 2α＝0，且sin α≠0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A.－7210B.－22C.－210D.22答案 A解析 由题意可得32sin 2α－sin 2α＝0，所以3sin αcos α－sin 2α＝0， 即sin α(3cos α－sin α)＝0， 又sin α≠0，所以tan α＝3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(cos 2α－sin 2α)＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α－sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝－7210. 5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面点D 看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79 m 到达点E ，此时看点C 的仰角为45°，若BC ＝2AC ，则楼高AB 约为( )A.65 mB.74 mC.83 mD.92 m 答案 B解析 设AC ＝x (x >0)，则由已知可得AB ＝3x ，BE ＝BC ＝2x ，BD ＝AB tan∠ADB＝33x ，所以DE ＝BD －BE ＝33x －2x ＝79， 解得x ＝7933－2≈24.7，所以楼高AB ≈3×24.7＝74.1≈74(m).6.(多选)(2022·重庆模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，b ＝2，c ＝3＋1，则下列说法正确的是( ) A.C ＝75°或C ＝105°B.B ＝45° C.a ＝6D.该三角形的面积为3＋12答案 BC解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4＋23－2×2×(3＋1)×12＝6，所以a ＝ 6.由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa＝2×326＝22， 由于0°<B <120°，所以B ＝45°. 所以C ＝180°－B －A ＝75°.△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×2×(3＋1)×32＝3＋32.7.(2022·南通模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________. 答案 －13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×13－1＝－13.8.(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________. 答案3101045解析 因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α， 所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋2k π＝cos φ＝31010，k ∈Z .因为sin β＝3sin α－10＝－1010， 所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45.9.(2022·绍兴模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，△ABC 的面积为3154，则a ＝________. 答案 4解析 ∵2sin B ＝3sin C ，由正弦定理可知2b ＝3c ， ∵b －c ＝14a ，可得c ＝12a ，b ＝34a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，sin A ＝1－cos 2A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×34a ×12a ×154＝3154，解得a ＝4.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b 2－ab ， sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，若c ＝3，则a ＋b 的值为________. 答案 3 2解析 因为c 2＝a 2＋b 2－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为C ∈(0，π), 所以C ＝π3. 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2R ＝332＝23， 又sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ， 所以23sin A ＋23sin B ＝2×23sin A ×23sin B ， 即a ＋b ＝2ab .因为c＝3，所以由余弦定理得9＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－322(a＋b)，解得a＋b＝32或a＋b＝－322(舍去).11.(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝3sin C.(1)求∠C；(2)若b＝6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长. 解(1)因为sin 2C＝3sin C，所以2sin C cos C＝3sin C.因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝3 2，又C∈(0，π)，故C＝π6.(2)因为△ABC的面积S＝12ab sin C＝12×a×6×12＝63，所以a＝4 3.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝48＋36－72＝12，所以c＝23，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝43＋6＋23＝6(3＋1).12.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝7，cos ∠ABD＝2 2.(1)求AB的长；(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积.解 (1)在△ABD 中，由cos ∠ABD ＝22， 得∠ABD ＝45°.又∠BAD ＝60°，所以∠ADB ＝75°，所以sin ∠ADB ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2＋64，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD ，得AB ＝BD sin ∠ADB sin ∠BAD ＝42＋3146.(2)由∠BAD ＋∠BCD ＝180°，可知∠BCD ＝120°， 设CD ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 则7＝1＋x 2－2x ·cos 120°， 化简，得x 2＋x －6＝0， 解得x ＝2或x ＝－3(舍).所以S △BCD ＝12BC ·CD sin 120°＝12×1×2×32＝32，S △ABD ＝12AB ·BD sin ∠ABD＝12×42＋3146×7×22＝73＋2112. 所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝73＋2112＋32＝133＋2112.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南京模拟)在△ABC中，下列说法正确的是( )A.若A>B，则sin A>sin BB.存在△ABC满足cos A＋cos B≤0C.在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形答案AD解析对于A，若A>B，则a>b，则2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，故A正确.对于B，由A＋B<π，得A<π－B，于是cos A>－cos B，即cos A＋cos B>0，故B错误.对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得：sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故D 正确.故选AD.14.(多选)(2022·山东师大附中模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b －2a ＋4a sin2A ＋B 2＝0，则下列结论正确的是( )A.角C 一定为锐角B.a 2＋2b 2－c 2＝0C.3tan A ＋tan C ＝0D.tan B 的最小值为33答案 BC解析 ∵b －2a ＋4a sin 2A ＋B 2＝0，∴b －2a ＋4a sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝0，∴b －2a ＋4a cos 2C2＝0，∴b －2a ＋4a ·1＋cos C2＝0， ∴b ＋2a cos C ＝0，∴cos C <0，∴角C 一定为钝角，A 错误；b ＋2a cos C ＝0⇒b ＋2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0⇒a 2＋2b 2－c 2＝0，B 正确；b ＋2a cos C ＝0⇒sin B ＋2sin A cos C ＝0⇒3sin A cos C ＋cos A sin C ＝0⇒3tan A ＋ tan C ＝0，C 正确； tan B ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－2tan A－3tan 2A －1＝23tan A ＋1tan A≤33， 经检验“＝”取得到，D 错误，综上选BC.15.(2022·湖州调研)在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝2π3，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD .则cos∠ABC ＝________，sin∠DAC ＝________. 答案1114437解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB cos∠BAC ＝25＋9－2×5×3×cos 2π3＝49，所以BC ＝7.又由正弦定理得AC sin∠ABC ＝BCsin∠BAC，即sin∠ABC ＝AC sin∠BAC BC ＝5314.又∠ABC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以cos∠ABC ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝1114. 在△ABD 中，设AD ＝BD ＝x ，由余弦定理得x 2＝x 2＋9－2×3×1114x ，解得x ＝2111， 所以DC ＝BC －BD ＝5611.在△ABC 中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BC sin∠BAC，所以sin∠ACB ＝AB sin∠BAC BC ＝3314. 在△ADC 中，由正弦定理得DCsin∠DAC＝ADsin∠ACB，所以sin∠DAC＝DC sin∠ACBAD＝437.16.(2022·福州质检)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB＝________.答案π2解析由题意可知，四边形ABPQ为等腰梯形.如图，连接OP，过点O作OM⊥QP，垂足为点M，交AB于点C，则OC⊥AB，OM平分∠AOB，M为线段PQ的中点.设∠AOC＝θ，则AB＝20sin θ，OC＝10cos θ，设AQ＝QP＝BP＝x，过点Q作QE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，因为∠PBA ＝∠QAB ＝60°， 所以AE ＝BF ＝12x ，CM ＝PF ＝32x ，EF ＝QP ＝x ， 所以AB ＝2x ，所以AB ＝20sin θ＝2x ， 即x ＝10sin θ，所以OM ＝OC ＋CM ＝10cos θ＋32x ＝10cos θ＋53sin θ， 所以OP 2＝OM 2＋MP 2＝(10cos θ＋53sin θ)2＋(5sin θ)2＝100cos 2θ＋75sin 2θ＋1003sin θcos θ＋25sin 2θ＝100＋503sin 2θ， 因为sin 2θ∈[－1，1]， 所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，OP 2最大，也就是OP 最长，此时∠AOB ＝π2.17.(2022·临沂预测)在①a sin(A ＋C )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6；②1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )；③2tan B tan A ＋tan B ＝bc.这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＋c ＝23，a ＝6，________， (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的面积.解 (1)选①，由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 化简得sin A ＝32cos A ＋12sin A ， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0， 因为0<A <π，所以A ＝π3. 选②，因为1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )，所以1－cos(C －B )＋cos(C ＋B )＋2cos C cos B ＝1＋2cos(C ＋B )＝1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12， 因为0<A <π，所以A ＝π3. 选③，因为2tan B tan A ＋tan B ＝b c， 由正弦定理，得2tan B tan A ＋tan B ＝sin B sin C， 而2×sin B cos B sin A cos A ＋sin B cos B ＝2sin B cos B sin A cos B ＋sin B cos A cos A cos B ＝2sin B cos B sin C cos A cos B＝2sin B cos A sin C ＝sin B sin C ， 因为sin B ≠0，sin C ≠0，所以cos A＝1 2，因为A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)由(1)知，a2＝b2＋c2－2bc cos π3＝(b＋c)2－3bc，a＝6，b＋c＝23，所以bc＝2，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×2·sinπ3＝32.。
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。
在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。
本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。
通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。
2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。
3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。
二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。
1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。
高中数学的解析如何利用三角恒等变换解决数学问题
高中数学的解析如何利用三角恒等变换解决数学问题高中数学是培养学生数理思维和解决问题能力的重要学科，其中解析几何和三角函数的学习尤为重要。
在解析几何中，使用三角恒等变换可以简化问题的研究和解决过程。
本文将探讨高中数学的解析如何利用三角恒等变换解决数学问题，并给出实例说明。
一、三角恒等变换的基本概念在学习解析几何和三角函数之前，我们先来了解一下三角恒等变换的基本概念。
三角恒等变换是指在三角函数的运算过程中，通过等式的变形来简化计算的方法。
常用的三角恒等变换有正弦定理、余弦定理、和差化积公式等。
例如，正弦定理可以表达为：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$其中，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为对应的内角，R为三角形的外接圆半径。
二、解析几何中的三角恒等变换在解析几何中，我们通过运用三角恒等变换来简化和推导问题的解决过程。
以一个简单的例子来说明。
例1：已知直线L的对称点在直线L'上，且L：2x+y-3=0，L'：3x-y-8=0，求直线L与L'的交点坐标。
解：设交点坐标为(x0, y0)，代入直线方程得：2x0 + y0 - 3 = 03x0 - y0 - 8 = 0通过观察以上的方程，我们可以发现其中存在一个正弦关系。
为了简化解题过程，我们可以利用正弦关系进行求解。
令2x0 + y0 - 3 = A3x0 - y0 - 8 = B通过求解A和B之间的关系，可以得到：2A + B = 133A - B = 11通过联立方程组求解，可以得到：A = 5B = 3将A和B带入原方程，可以解得：x0 = 2y0 = -1因此，直线L与L'的交点坐标为(2, -1)。
通过以上的例子，我们可以看到，在解析几何中，通过利用三角恒等变换来简化问题的解决过程，不仅可以减少计算量，还可以提高问题解决的效率。
高中数学小问题集中营之高三：三角函数与解三角形：专题六 正弦定理、余弦定理与不等式(含答案解析)
正弦定理和余弦定理的应用除了解三角形外，还往往与基本不等式结合求面积范围、周长范围、角的范围以及求代数式的范围等，这些题目都是考生容易错解的地方，所以本节内容从这些难点内容出发，希望给学生带来启发.1. 基本不等式,)a b a b R ++≥∈，2()(,)4a b ab a b R +≤∈，222(,)a b ab a b R +≥∈，222a b ab +≤ (,)a b R ∈，222()22a b a b ++≥． 2. 正弦定理和余弦定理 略一、面积的范围问题例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos cos sin A B B A b a B++=．（1）求a ； （2）若1cos 3A =，求ABC ∆面积的最大值． 解：（1）原式化为22222222a c b b c a cabc abc a+-+-+=，解得1a =（2）因为1cos 3A =，所以222sin 13bc A b c =+-=，所以34bc ≤（当且仅当2b c ==，从而1sin 24ABC S bc A ∆=≤（当且仅当2b c ==，即ABC ∆面积的最大值为4． 【评注】解三角形问题是高考考查三角函数常见的题目，在解答次类题目的时候，主要是利用三个基础知识（正余弦定理、三角形面积公式、三角形内角和定理）和两种转化方式（角化边、边化角），所以解题时必须认真体会，灵活运用，尤其注意余弦定理中基本 不等式的应用。
二、周长的范围问题例2在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3C π=．（1）当2sin 2sin(2)sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积； （2）求ABC ∆周长的最大值； 解（1）由()2sin2sin2sin A B C C ++=得()()4sin cos sin sin A A B A A B +-=+得2sin cos sin cos A A B A =，当cos 0A =时，2A π=，3B π=，3a =3b =， 当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理2b a =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得a =b =故三角形的面积为1sin 23ABC S ab C ∆==；（2）由余弦定理及已知条件可得：224a b ab +-=，由22()()43434a b a b ab ++=+≤+得4a b +≤，故ABC ∆周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到．【评注】除了利用余弦定理、基本不等式、方程与不等式思想外，还可以利用正弦定理将a 和b 用角A 、B 表示，利用消元思想，转化为三角函数求值域问题处理。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。
高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧
高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，而三角恒等变换则是在解决三角函数方程和简化三角函数式子时经常用到的重要工具。
本文将总结常用的三角恒等变换公式，并介绍其应用技巧。
一、基本恒等变换公式1. 余弦函数的基本恒等变换(1) 余弦函数的平方形式：cos²θ + sin²θ = 1(2) 二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ(3) 余弦函数的和差角公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ - sinθsinφ2. 正弦函数的基本恒等变换(1) 正弦函数的平方形式：sin²θ + cos²θ = 1(2) 二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ(3) 正弦函数的和差角公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ3. 正切函数的基本恒等变换(1) 正切函数的平方形式：tan²θ + 1 = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ(2) 二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)二、常用恒等变换公式1. 互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθ2. 余角公式：sin(π - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθtan(π - θ) = -tanθ3. 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)4. 积化和差公式：sinθsinφ = (1/2)[cos(θ - φ) - cos(θ + φ)]cosθcosφ = (1/2)[cos(θ - φ) + cos(θ + φ)]sinθcosφ = (1/2)[sin(θ + φ) + sin(θ - φ)]三、恒等变换的应用技巧1. 解三角函数方程：利用恒等变换可以将复杂的三角函数方程转化为简单的等式，从而更容易求解。
高考数学热点：三角恒等变换
高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。
高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换(含解析)
第3讲三角恒等变换知识与方法本专题主要知识为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和辅助角公式,运用这些公式进行简单的恒等变换.要掌握以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简单到复杂、从特殊到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的能力. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2.二倍角公式sin22sin cos ααα=;缩角升幂2221sin2(sin cos ),1cos22cos ,1cos22sin ααααααα±=±+=-=.扩角降幂22sin21cos21cos2sin cos ,sin ,cos 222ααααααα-+===.3.辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+（其中cos ϕϕ==,辅助角ϕ所在象限由点(),a b 的象限决定,tan b a ϕ⎫=⎪⎭. 注意应用特殊角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要掌握三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.典型例题【例1】若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【分析】本题为已知两个角,αβtan tan αβ,一般先“化切为弦”,发现sin sin tan tan cos cos αβαβαβ=,因此需探求角,αβ的同名三角函数值,分子恰为两角和与差的余弦公式的变形与应用.【解析】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=. 两式分别相加、相减得21cos cos ,sin sin 55αβαβ==,故sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 【点睛】tan tan αβ转化为sin sin cos cos αβαβ,运用已知两角和与差的余弦公式展开,然后相加、相减可得;若为tan tan αβ,则化为sin cos cos sin αβαβ,利用两角和与差的正弦公式展开,然后相加、相减可得.【例2】若cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则()cos αβ-=______. 【分析】本题涉及两角差的余弦公式的变形与应用,解决问题的关键在于将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γ,进而求出结论.【解析】因为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,所以22(cos cos )(sin sin )1αβαβ+++=,即()22cos cos sin sin 1αβαβ++=,整理得()22cos 1αβ+-=,所以()1cos 2αβ-=-. 【点睛】将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γsin sin ,cos cos ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()cos αβ-;或已知sin cos ,cos sin ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()sin αβ+.【例3】已知()sin 22sin αββ+=,且2tan1tan 22αα=-,则()tan αβ+=______.【分析】本题求角αβ+的正切值,涉及的角有2,,2ααββ+,函数名有正弦与正切.从待求目标出发,先利用二倍角正切公式求出α的正切,再将式子()sin 22sin αββ+=,化为关于α+β与α的三角函数值,得到()tan αβ+与tan α的关系求解.【解析】因为2tan1tan 22αα=-,所以22tan2tan 21tan2ααα==-.又()()sin 2sin αβααβα⎡⎤⎡⎤++=+-⎣⎦⎣⎦，所以()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+++=+-+,即()()sin cos 3cos sin αβααβα+=+.等号两边同除以()cos cos ααβ+,得()tan 3tan 6αβα+==.【点睛】要善于将三角恒等变换公式展开和变形.在计算过程中注意角的配凑,把末知角用已知角表示,如将2αβ+表示为(),αβαβ++表示为()αβα+-;角α是2α的二倍. 【例4】计算4cos50tan40-=（）B.21 【分析】本题为三角函数式4cos50tan40-的化简与求值,涉及的角有40,50,函数名和系数均不同,先将正切化为正弦和余弦的商,再通分.利用二倍角公式时,注意到2sin80sin40cos40-中的角有80,40,先将80化为12040-,再将()sin 12040-展开,合并求解.【解析】原式sin404sin40cos40sin402sin80sin404sin40cos40cos40cos40--=-==()2sin 12040sin403cos40sin40sin403cos40cos40--+-===,答案选 C.【点睛】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,注意角的变换和拆角等. 【例5】计算()sin40tan103-.【分析】本题计算()sin40tan103-的值,涉及的角有40,10,三角函数名有正切与正弦,一般先将正切化为正弦和余弦的商,再通分并运用辅助角公式进行恒等变换.求解时要充分运用特殊角和特殊值的隐含关系,注意公式的逆用.【解析】解法1：原式()sin40sin103cos10sin10sin403cos10cos10-⎛⎫=-=⎪⎝⎭解法2：原式()sin40tan10tan60=-【点睛】解法1,构建余弦的两角和的关系.解法2则是正切的差角公式的变形应用.【例6】()1sin cos sincos )θθθθθπ⎛⎫++- ⎪<<的结果是___________.【分析】,方法是缩角升幂,去根号,加绝对值符号,开方时注意θ的范围是0θπ<<.注意到分子中含有sincos22θθ-,因此分子1sin cos θθ++的处理也化为半角的三角函数.一方面,()1sin cos 1sin cos θθθθ++=++=222sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2222222222θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos sin cos 222θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;另一方面,()21sin cos 1cos sin 2cos 2θθθθθ++=++=+2sincos2cos sin cos 22222θθθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,也就是合理分组、升幂、因式分解、提取公因式.涉及二倍角公式的应用,突出转化思想与运算能力. 【解析】0,cos0222θπθ<<>,原式212sin cos 2cos 1sin cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪=222cos sin cos sin cos 2cos sin cos 222cos 2cos 2θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭===-.【点睛】依题意,可求得cos 02θ>,利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简并约分即可.【例7】已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ,则tan2α=（） A.43B.34C.34- D.43- 【分析】本题为已知同角α的正弦、余弦三角函数值的和,求角α的二倍角的正切值.通常做法是先利用同角三角函数的平方关系,解方程组,解出α的正弦、余弦三角函数值,再求出α的正切值,最后求二倍角的正切.若对原式平方,等号两边同除以“1”,化为关于tan α的二次齐次式,则更为方便.【解析】解法1：由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222cos cos 1αα⎫+=⎪⎪⎝⎭.所以210cos 30αα-+=,解得cos α=.当cos α=,sin 2cos αα==,此时tan 3α=;当cos α=时,sin α=此时1tan 3α=-. 所以tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--.故选C.解法2：将sin 2cos αα+=平方,得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=. 所以2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos 2αααααα++=+,所以22tan 4tan 45tan 12ααα++=+, 所以23tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--. 故选C.【点睛】由题意,结合22sin cos 1αα+=可得sin ,cos αα,进而可得tan α,将其代入二倍角的正切公式求解.【例8】若50,sin 4413x x ππ⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭,求cos2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【分析】此题解法较多,若从条件与结论中角的关系入手,可发现2242x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.若从诱导公式角度入手,可以把2x 看成是4x π+的“二倍角”.而44x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,从而将单角转化为两角差来处理.若从条件与结论的函数关系入手,可借助cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】解法1：因为04x π<<,所以120,cos 44413x x πππ⎛⎫<-<-== ⎪⎝⎭, 所以120cos2sin 22sin cos 244169x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意到442x x πππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 原式cos22413cos 4x x π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法2：因为04x π<<,所以044x ππ<-<.所以12sin sin cos 424413x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以原式sin 22sin cos 242442sin 413cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法3：由5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭展开得()5cos sin 213x x -=,所以cos sin 13x x -=.所以)22cos2cos sin cos 4x x x x π==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为22(cos sin )(cos sin )2x x x x -++=,所以cos sin 13x x +=. 故原式2413=. 【点睛】(1)解有条件的三角函数求值题,关键是从条件与结论中角的关系和函数关系入手,变换条件或结论,在变换条件过程中注意角的范围的变化.(2)在恒等变形中,注意变角优先,要根据函数式中的“角”“名”“形”的特点(即有没有与特殊角相关联的角;有没有互余、互补的角;角和角之间有没有和、差、倍、半的关系)来寻求已知条件和所求式子之间的关系,从而找到解题的突破口. (3)对于条件求值题,一般先化简,再代入求值.【例9】化简1sin4cos41sin4cos4αααα+-++.【分析】可以考虑正弦、余弦的倍角公式的和与积的互化,2(sin cos )1sin2ααα±=±及1-22cos22sin ,1cos22cos αααα=+=;考虑用余弦倍角公式的升幕形式.【解析】1 原式()()221cos4sin42sin 22sin2cos21cos4sin42cos 22sin2cos2αααααααααα-++==+++ 【解析】2原式()()222222(sin2cos2)cos 2sin 2(sin2cos2)cos 2sin 2αααααααα+--=++- 【点睛】对于较复杂的三角函数式的化简与求值题,一般先观察式子的结构特征,在熟练堂握三角函数变换公式的基础上,灵活运用公式的变形、公式的逆用等.【例10】已知02πβαπ<<<<,且12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求()cos αβ+的值.【分析】本题已知cos ,sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值,要求角αβ+的余弦值.观察已知角和所求角,可作222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的配凑角变换,利用余弦的差角公式求2αβ+的正弦值或余弦值,最后用二倍角公式求角αβ+的余弦值.【解析】因为02πβαπ<<<<,所以,,,24242βπαππαπβ⎛⎫⎛⎫-∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以()22239cos 2cos1212729αβαβ++=-=⨯-=-⎝⎭.【点睛】“凑角法”是解三角函数题的常用技巧,本题计算角αβ+的余弦函数值,而已知角只有,22βααβ--,因此要将αβ+配凑为22βααβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的二倍.【例11】已知都是锐角,若sin αβ==,则αβ+=______________. A.4πB.34πC.4π和34πD.4π-和34π- 【分析】本题要求角αβ+的大小,一般方法是求其某一三角函数值,结合角的范围求角的大小(或范围).考虑到,αβ都是锐角,0αβπ<+<,为使角的三角函数值唯一,则考虑选用求()cos αβ+.【解析】因为sin αβ==且,αβ都是锐角,所以cos αβ==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==. 又()0,αβπ+∈,所以4παβ+=.故选A.【点睛】例已知,αβ的正弦值,根据同角的正弦值与余弦值的平方关系,可分别求出,αβ的余弦值，接下来利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+,然后结合αβ+αβ+的取值范围这里选用()cos αβ+求解,若选用()sin αβ+求解,应先考虑缩小αβ+的取值范围,否则会产生增解34παβ+=.【例12】已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭R . (1)求()f x 的最小正周期.(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【分析】本题研究三角函数()f x 的性质,计算化简时利用相关三角恒等变换公式,需要将已知函数式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式,常用公式为辅助角公式.【解析】(1) ()3sin2cos2f x x x x x⎫=+-⎪⎪⎭所以()f x 的最小正周期2T ππω==.(2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以max min?()()2f x f x ==-.【点睛】用二倍角公式降幂,结合辅助角公式研究三角函数的图象与性质.强化训练1.若()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【答案】2- 【解析】1sin cos cos sin 5αβαβ+=,3sin cos cos sin 5αβαβ-=,两式分别相加、相减得,21sin cos ,cos sin 55αβαβ==- 所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.2.已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则()tan x y -的值是（）B.C.【答案】B 【解析】已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,两式平方并相加得 ()822cos cos sin sin 9x y x y -+=, 即()5cos 9x y -=. 因为,x y 为锐角,sin sin 0x y -<,所以x y <.所以()sin x y -==()()()sin tan cos 5x y x y x y --==--. 3.求值:tan20tan403tan20tan40++.【解析】原式()()tan 20401tan20tan403tan20tan40=+-+ )1tan20tan403tan20tan403=-+=. 4.化简2cos10sin20cos20-. 【解析】:原式2cos10sin20cos20-==5.求值():cos4013tan10+. 【解析】原式3sin10cos10cos40cos10+=⨯()2sin 1030cos40cos10+=⨯ 2sin40cos40sin801cos10cos10===.6.化简()()()()22:cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ-+++-+. 【解析】解法1：原式=()()1cos 12021cos 120211cos cos 222222θθθθθθ+-++⎛⎫⎫⎛+++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭34=.解法2:由余弦的平方差公式得()()22cos cos cos sin αβαβαβ+-=-,所以原式()()()()2cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ⎡⎤=-++--+⎣⎦34=.7.已知3sin 4cos 0αα-=,则23cos2α+=_______.【答案】2925【解析】因为3sin 4cos 0αα-=所以4tan 3α=.所以222222cos sin 1tan 7cos2cos sin 1tan 25ααααααα--===-++, 所以212923cos222525α+=-=. 8.已知1sin cos 2αα=+,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】 【解析】解法1：由1sin cos 2αα=+和22sin cos 1αα+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得11sin 44αα+-+==, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解法2：由1sin cos 2αα=+可得1sin cos 2αα-=,等号两边平方可得3sin24α=, 则27(sin cos )4αα+=. 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos 2αα+=, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭9.设3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,. 【解析】因为3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.原式cos cos 22αα====-.10.已知函数(),12f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R . (1)求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. (2)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【解析】(1)164f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-. 故4324sin22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 所以27cos212sin 25θθ=-=-.从而1722cos2sin23425f ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11.已知()113cos ,cos 714ααβ=-=,且02πβα<<<.(1)求tan2α的值.(2)求β.【解析】(1)因为1cos ,072παα=<<,所以sin tan 7αα==所以22tan tan21tan 14847ααα===---. (2)因为02παβ<-<,所以()sin αβ-==所以()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦11317142=⨯+=. 因为02πβ<<,所以3πβ=.12.已知函数()26cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,,B C 为图象与x 轴的交点,ABC 为正三角形.(1)求ω的值及函数()f x 的值域.(2)若()0f x =且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.【解析】(1)由已知可得,()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以正三角形ABC 的高为从而4BC =. 所以函数()f x 的周期428T =⨯=,即28πω=,4πω=函数()f x 的值域为⎡-⎣.(2)已知()0f x =由(1)有()00435f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 即04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭知0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以03cos 435x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故()001443f x x πππ⎛⎫+=++⎪⎝⎭00sin cos 43435x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦.。
三角函数解三角形三角恒等变形课件理ppt
利用倍角、半角、和差角等公式，以及辅助角公式进行变换。
三角恒等变换的思路及技巧
三角恒等变换的应用实例
求三角函数的值域或最值；
应用1
应用2
应用3
应用4
解三角方程或三角不等式；
证明三角恒等式；
将不同名的三角函数式化简为同名三角04
03
化二次为一次
将二次三角函数式化为一次三角函数式，以便利用三角恒等变换公式进行化简。
xx年xx月xx日
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CATALOGUE
目录
三角函数基础知识回顾解三角形基础知识介绍三角恒等变换的原理及方法解三角形中的三角恒等变换三角恒等变换的常见问题及解决方案总结与回顾
三角函数基础知识回顾
01
三角函数是研究三角形中边和角之间关系的一组函数，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
2
3
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为三角形中只含有一个未知数的方程
解三角形时，通常先根据已知条件解出三角形中一个角的大小，再根据三角形的内角和定理求出其他两个角
解三角形时，通常需要多次运用三角恒等式对已知条件进行化简和变形
三个角都是 $60^\circ$ ，任意两边长度相等
特殊三角形解法的应用
1
三角函数的应用场景
2
3
三角函数在几何学中有广泛应用，如解三角形、证明三角形相似等。
几何学
三角函数在物理中有广泛应用，如简谐振动、交流电等。
物理
三角函数在金融中有广泛应用，如复利计算、期权定价等。
金融
解三角形基础知识介绍
02
正弦定理
余弦定理
勾股定理
高中数学三角恒等变换知识点归纳总结
高中数学三角恒等变换知识点归纳总结1. 基本定义三角恒等变换是指在三角函数运算中，通过等式的变换，得到具有相同意义但表达形式不同的等价关系。
2. 基本恒等式- 正弦函数的基本恒等式：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$- 余弦函数的基本恒等式：$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$- 正切函数的基本恒等式：$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$3. 和差恒等式- 正弦函数的和差恒等式：$\sin(\alpha \pm \beta) =\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和差恒等式：$\cos(\alpha \pm \beta) =\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$- 正切函数的和差恒等式：$\tan(\alpha \pm \beta) =\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4. 二倍角恒等式- 正弦函数的二倍角恒等式：$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ - 余弦函数的二倍角恒等式：$\cos2\theta = \cos^2\theta -\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- 正切函数的二倍角恒等式：$\tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$5. 三倍角恒等式- 正弦函数的三倍角恒等式：$\sin3\theta = 3\sin\theta -4\sin^3\theta$- 余弦函数的三倍角恒等式：$\cos3\theta = 4\cos^3\theta -3\cos\theta$- 正切函数的三倍角恒等式：$\tan3\theta = \dfrac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$6. 半角恒等式- 正弦函数的半角恒等式：$\sin\dfrac{\theta}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\theta}{2}}$- 余弦函数的半角恒等式：$\cos\dfrac{\theta}{2} =\sqrt{\dfrac{1 + \cos\theta}{2}}$- 正切函数的半角恒等式：$\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 -\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$7. 和角恒等式- 正弦函数的和角恒等式：$\sin(\alpha + \beta) =\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和角恒等式：$\cos(\alpha + \beta) =\cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\beta$以上是高中数学中常用的三角恒等变换知识点的归纳总结。
高中数学必修一三角恒等变换概念知识点总结及练习题
高中数学必修一三角恒等变换概念知识点总结及练习题本文将总结高中数学必修一中与三角恒等变换相关的概念知识点，并提供一些相关练题供学生练。
三角恒等变换的概念三角恒等变换是指对三角函数中的角度进行等价变换，得到相等的结果。
常见的三角恒等变换有以下几种：1. 反函数关系：正弦和余弦的反函数关系为：$$\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)\quad \cos(\theta) =\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$$正切和余切的反函数关系为：$$\tan(\theta) = \cot(\frac{\pi}{2}-\theta)\quad \cot(\theta) =\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)$$2. 二倍角公式：正弦和余弦的二倍角公式为：$$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$$$$\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$$正切的二倍角公式为：$$\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}$$3. 半角公式：正弦和余弦的半角公式为：$$\sin(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}$$ $$\cos(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}$$ 正切的半角公式为：$$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$$练题1. 已知 $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$，求 $\cos(\alpha)$ 的值。
2. 求证 $\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = \cos(2\theta)$。
高中数学中最常见的三角变换题分类总结
高中数学中最常见的三角变换题分类总结高中数学中，三角变换题是一个非常重要的知识点，同时也是备战高考的必备考点之一。
“三角变换”这个词汇不难理解，就是把原先的角度通分母化之后，再利用基本三角函数的性质进行计算。
在高中阶段，三角变换可以分为三大类，分别是以下内容：I.角度关系变换II. 等式变换III. 三角函数代数式变换I.角度关系变换角度关系变换是指改变已知角度的几何位置来求解题目的方法，这种方法主要应用于高中数学的平面几何知识中。
具体来说，在三角形中，我们可以利用反余弦、反正弦、反正切等函数来求角度的知识，来解决一些需要计算角度的问题。
例如，一道经典的三角变换题目：已知：$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha-\dfrac{1}{2}\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$求解：$\sin(\alpha-\dfrac{\pi}{3})$解析：首先，从题目中我们可以看出，这是一个角度关系变换题目，我们需要通过改变已知角度的几何位置来求得答案。
由于三角形中相邻角补为180度，所以我们可以得到：$\sin(\alpha-\dfrac{\pi}{3}) = \sin\alpha \cos\dfrac{\pi}{3} -\cos\alpha \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\sin\alpha -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$我们可以把原式中的$\cos\alpha$和$\sin\alpha$用$\tan\alpha$来代替，即：$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sin\alpha}$然后，我们可以将此式化简：$\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{\sin\alpha}-1=\dfrac{4\sqrt{3}}{3\sin\alpha}$$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$最后，带入到$\sin(\alpha-\dfrac{\pi}{3})$的式子中得：$\sin(\alpha-\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\sin\alpha -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}$II.等式变换等式变换是指采用各种变形方法，把已知的三角函数型式变为需要求解的三角函数型式，这种方法主要应用于高中数学的代数知识中。
2020年高三数学三轮复习回归基础专题三角恒等变换与解三角形
某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。
三角恒等变换与解三角形
变换公式
正弦
和差角公式
倍角公式
余弦
正切
三角恒等变换与解三角形
正弦
定理
定理
。
射影定理：
变形
（ 外接圆半径）。
类型
三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。
余弦
定理
定理
。
变形
等。
类型
两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。
面积
公式
基本
公式
。
导出
公式
（ 外接圆半径）； （ 内切圆半径）。
实际
应用
基本思想
把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。
常用术语
仰角
视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
俯角
视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。
方向角
方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30°）。
高三三轮——三角恒等变换解三角形
高三三轮——三角恒等变换、解三角形一、知识回顾（一）三角恒等变换①和角公式：sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ ②差角公式：sin （α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α-β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ③倍角公式：sin2α=2sinαcosα cos2α=cos 2α−sin 2αtan2α=2tanα1−tan α ④补充的公式：cos2α=1-2sin 2α=2cos 2α−1⑤辅助角公式：asinx +bsinx = (x +φ);其中tan φ=b a ， φ <π2，φ的终边与点(a,b)同象限。
（二）解三角形 1、正弦定理：a sinA=b sinB=c sinC=2R2、余弦定理及其变式： （1）原型：a 2=b 2+c 2−2bccosA , b 2=c 2+a 2−2accosB , c 2=a 2+b 2−2abcosC .（2）变式（逆用）：cosA =b 2+c 2−a 22bccosB =c 2+a 2−b 22accosC =a 2+b 2−c 22ab（3）三角形面积公式：S =1bcsinA ，即三角形的面积等于邻边与其夹角乘积的一半（4）解三角形：要将未知的所有边角都求出来！！ （5）实际生活中的应用。
二、高考真题分析1.（2016高考新课标1文数）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =,2cos 3A =,则b=（）（A （B C ）2 （D ）32.（2016高考天津文数）已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(3.（2016高考新课标Ⅲ文数）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =（ ）（A ）310（B （C D 4.（2016高考上海文科）设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.（2016高考新课标Ⅲ文数）若tan 13θ=，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）456.（2016高考山东文数）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =（） （A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π67.（2016高考新课标2文数）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4（B ）5（C ）6 （D ）78.（2016高考浙江文数）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．9.（2016高考新课标Ⅲ文数）函数sin cos y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．10.（2016高考上海文科）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 11.(2016高考上海文科)方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ . 12.(2016高考上海文科)已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.13.(2016高考上海文科)如右图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线y =OP BA ×uu u r uu r的取值范围是.14.(2016高考新课标2文数)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.15.(2016高考北京文数)在△ABC 中，23A π∠= ，a =，则bc=_________.16.(2016高考山东文数)设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- . （I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值.17.(2016高考四川文科)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B .18.(2016高考天津文数)在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =. (Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若1cos A 3=，求sinC 的值.19.(2016高考北京文数)已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间.20.(2016高考浙江文数)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．三、课后作业 （一）选择题1．(2017〃石家庄质检)若sin (π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－429B ．－229 C.229D.4292．设角θ的终边过点(2,3)，则 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5 3．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 34．(2017〃南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A.12B.14C ．1D ．2 5．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( )A ．2 B.52C ．3D.726．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α 的值为( )A ．－15 B.75C ．－75 D.347．若△ABC 的三个内角满足sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，则A ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 39．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7 B.17C ．－7D ．－1710．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若cos A ＋sin A －2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋bc 的值是( )A ．1 B.2C. 3D ．211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→〃BC ―→＞0，a ＝32，则b ＋c的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C,3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( ) A.529 B.729 C. 2D.928（二）填空题13．(2017〃全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 14．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－35，则cos 2x 的值是________．15.(2017〃福州质检)如右图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．16．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A3sin A －cos A＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，则2cos B ＋sin 2C 的最大值为________．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，B ＝π2＋A .(1)求tan B 的值；(2)求c 的值．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A .(1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .19．(2017〃全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．20．(2017〃贵阳检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值．。
三角恒等变换问题（典型题型）（1）
三角恒等变换问题（典型题型）（1）百度文库 - 让每个人平等地提升自我！ 1 三角恒等变换问题三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。
例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减）已知11cos sin ,sin cos 23αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36αβαβ+-= 化简得，59sin()72βα-=- 即59sin()72αβ-= 方法评析：式的变换包括：1、tan(α±β)公式的变用2、齐次式3、“1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）4、两式相加减，平方相加减5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）例 2 （角的变换---已知角与未知角的转化）已知27sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+．解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α，于是3tan 4α=- 故333482534tan()31113tan 331παα-+-+===-+ 方法评析：1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到．。
高中数学小专题：9种常用三角恒等变换技巧总结
高中数学小专题：9种常用三角恒等变换技巧总结
“切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想．
在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为（α+β）-β；2α可变为（α+β）+（α-β）；2α-β可变为（α-β）+α；α可视为α/2的倍角等等．
遇平方可用“降次”公式，这是常用的解题策略．本题中首先化异角为同角，消除角的差异，然后化简求值．关于积化和差、和差化积公式，教材中是以习题形式给出的，望引起重视．。
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三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上, 对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点.1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sin αcos α．(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α =2cos 2α－1= 1－2sin 2α(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α.3．半角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin α2＝±1－cos α2. (2)cos α2＝±1＋cos α2. (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(一)非特殊角的求值问题例1. (2013·重庆)4cos50°－tan40°＝( )A. 2B.2＋32C. 3D ．22－1解：原式＝4cos50°－sin40°cos40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2cos10°－sin40°cos40°＝2cos （40°－30°）－sin40°cos40°＝ 3.故选C .例2. (2015·长沙模拟)3tan12°－3sin12°（4cos 212°－2）＝________.解：3tan12°－3sin12°（4cos 212°－2）＝3（sin12°－3cos12°）2cos24°sin12°cos12°＝23sin （12°－60°）12sin48°＝－4 3.故填－43.【评注】角求值问题，如果所给角是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；(4)当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值． (二)利用已知条件中的角 表示目标中的角例3. (1)已知α，β为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，则cos β的值为________．解：∵sin α＝817<12，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0<α<π6. ∵cos ()α－β＝2129<32，α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，0＜β＜π2， ∴－π2<α－β<0.∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517.sin(α－β)＝－1－cos 2（α－β） ＝－1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029. ∴cos β＝cos ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493.故填155493. (2014·四川模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 解：cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，α为锐角，则α＋π6为锐角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，由二倍角公式得sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2425×22－725×22＝17250.故填17250. 【点拨】给值求值问题，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论． (三)利用诱导公式转化角 例4. 已知534sin )3sin(-=++απα，02<<-απ，)32cos(πα+等于（ ） A ．54-B ．53- C ．53 D ．54解：3sin()sin sin cos cos sin sin sin )33326ππππαααααααα++=++==+，所以4sin()65πα+=-，由于02πα-<<，所以366πππα-<+<，因此3cos()65πα+=，则24cos()cos[()]sin()36265ππππααα+=++=-+=.故选D.【评注】将已知角和未知角建立联系，要有整体意识，解题时可考虑将已知角和未知角进行加、减、倍运算，若结果是特殊角，可利用整体法求解。
1. 若31)6sin(=-απ，则=+)232sin(απ（ ） A ．97- B ．31-C ．31 D ．97 2. cos104sin80sin10︒︒-︒等于（ ）A B ． D ．3 3. 已知315s i n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+532cos πα （ ）A ．97-B ．91-C ．91D ．974. 已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．45-B ．45C ．725-D ．7255. 若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-B ．31- C ．31 D ．976．αβαββαtan )tan(,0cos 5)2cos(3+=++则的值为（ ） A ．4± B ．4 C ．4- D ．1 7．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则（ ） A.6556 B. 6533- C.5665- D.6533 8．已知sin cos 11tan()1cos 222αααβα=-=-，，则tan β=____________.9. 已知sin α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则s i n ()αβ-的值等于__________.10. 若1tan()63πα+=，则tan(2)3πα+= . 11. 已知31)12cos(=-θπ，则=+)125sin(θπ . 12. 已知α、β都是锐角，且3cos()5αβ-+=，12sin 13β=，则cos α=_____________．参考答案1. 【答案】A 【解析】由227sin(2)sin[(2)]sin(2)2sin()cos()333669πππππαπαααα+=-+=-=---=-，故选A. 2. 【答案】 B【解析】原式cos104cos10sin10︒=︒-︒2sin 20cos10sin10︒-︒=︒()2sin 3010cos10sin10︒-︒-︒=︒=． 3. 【答案】A4. 【答案】D【解析】3187cos cos sin 1sin 2sin 24552525πααααα⎛⎫+=⇒-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭，选D.5. 【答案】A 【解析】222c o s 2333πππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=--=--=⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 79=-,故选A ．6. 【答案】C 【解析】()()3c o s 25cos 0αβαβα+++-=，化简得()()8co s c o s 2s i n s inαβααβα+=-+，即 ()tan tan 4αβα+=-.7. 【答案】B【解析】∵432παβπ<<<，()1312cos =-βα，∴()()135cos 1sin 2=--=-βαβα，∵()53sin -=+βα，∴()()54sin 1cos 2-=+--=+βαβα，则()()cos 2cos ααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()()()33cos cos sin sin 65αβαβαβαβ=+--+-=-，故选项为B. 8. 【答案】13【解析】2sin cos sin cos cos 1tan 11cos 22sin 2sin 2ααααααααα===∴=-，, 所以[]11tan tan()12tan tan ()11tan tan()312ααββααβααβ---=--===+-+. 9.10. 【答案】34【解析】因tan(2)3πα+=4386911312)6(2tan ==-⨯=+απ,故应填34. 11. 【答案】13【解析】551sin()cos cos 12212123ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 12. 【答案】 3365【解析】试题分析：由α、β都是锐角，3cos()5αβ-+=，12sin 13β=则4sin()5αβ+=，5cos 13β=，则 3541233cos cos[()]cos()cos sin()sin ()51351365ααββαββαββ=+-=+++=-⨯+⨯=。