初一数学___乘法公式应用与拓展
(完整版)[初一数学]乘法公式
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乘法公式一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2要注意等式的特点：（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）．A．（a－b）（－a－b）B．（a2－b2）（a2＋b2）C．（a＋b）（－a－b）D．（b2－a2）（－a2－b2）解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．例２运用平方差公式计算：（１）（x2－y）（－y－x2）；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．解：（１）（x2－y）（－y－x2）＝（－y ＋x2）（－y－x2）＝(－y)2－（x2）2＝y2－x4；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）＝（a－3）（a＋3）（a2＋9）＝（a2－32）（a 2＋9）＝（a2－9）（a2＋9）＝a4－81 ．例３计算：（１）54.52－45.52；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)．分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．解：（１）54.52－45.52＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)＝100×9＝900 ；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)=(2x2+1)2-(3x)2=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1二、完全平方公式：(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2．二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．例１利用完全平方公式计算：（１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a －b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．解：（１）（－3a－5）2＝（－3a）2－2×（－3a）×5 ＋ 5 2＝9a2 ＋ 30a ＋ 25（２）（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2＝（a－b）2 ＋ 2（a－b）c + c2＝a 2－2ab＋b 2＋2ac－2bc + c2＝a 2＋b 2+ c2＋2ac－2ab－2bc ．例２利用完全平方公式进行速算.(1)1012 (2)992解: (1)1012分析:将1012变形为(100+1)2原式可=(100+1)2利用完全平方公式来速算. =1002+2×100×1+12=10201解: (2)992分析:将992变形为(100-1)2原式可=(100-1)2利用完全平方公式来速算. =1002-2×100×1+12=9801例３计算：（１）992－98×100 ；（２）49×51－2 499 ．解：（１）992－98×100＝（100－１）2－98×100＝1002－２×100＋１－9800＝10000 －200－9800＋１＝１；（２）49×51－2499＝（50－1）（50＋１）－2499＝2500－1－2499＝０．例４已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．分析：由前面的公式变形可以知道：a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a ＋b)2－4ab．解：由于a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10所以a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝ 82 － 2× 10＝ 44(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82 － 4× 10＝ 24 ．三：练习1．利用乘法公式进行计算：(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2 (3)(x-2y+1)(x+2y-1)(4) (2x+3y)2(2x-3y)2 (5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2(6) (x2+x+1)(x2-x+1)解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)=(x4-1)(x4+1)=x8-1.(2)解法1：原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25)=9x2+12x+4-9x2+30x-25=42x-21解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)] =(6x-3)×7=42x-21.(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]=x2-(2y-1)2=x2-(4y2-4y+1)=x2-4y2+4y-1(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2=(4x2-9y2)2=16x4-72x2y2+81y4(5) 原式=[(2x+3) -(3x-2)]2=(-x+5)2=x2-10x+25(6) 原式=[(x2+1)+x][(x2+1) -x]=(x2+1)2-x2=(x4+2x2+1) -x2=x4+x2+12．已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2；(2) a2+b2；解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×3=13(2) a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19.在线测试选择题1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A、(x+1)(1+x)B、( a+b)(b- a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2．下列各式计算正确的是（）A、(a+4)(a-4)=a2-4B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1D、(a+2)(a-4)=a2-83．(- x+2y)(- x-2y)的计算结果是（）A、x2-4y2B、4y2- x2C、x2+4y2D、- x2-4y24．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。
初一到初三的数学公式
初一到初三的数学公式一、初一阶段数学公式1.1 加法和减法在初一阶段，我们学习了加法和减法操作。
下面是加法和减法的数学公式：•加法公式：a+b=c•减法公式：a−b=c其中，a和b是待相加或相减的数，c是它们的和或差。
1.2 乘法和除法除了加法和减法，我们也学习了乘法和除法的操作。
下面是乘法和除法的数学公式：•乘法公式：$a \\times b = c$•除法公式：$\\frac{a}{b} = c$在乘法公式中，a和b是待相乘的数，c是它们的积。
在除法公式中，a是被除数，b是除数，c是它们的商。
二、初二阶段数学公式2.1 代数表达式在初二阶段，我们开始学习代数表达式。
下面是一些常用的代数表达式：•一元一次方程：ax+b=c•一元二次方程：ax2+bx+c=0•二元一次方程组：$\\begin{cases} ax + by = c \\\\ dx + ey = f \\end{cases}$•比例公式：$\\frac{a}{b} = \\frac{c}{d}$在一元一次方程中，a,b,c是已知常数，x是未知数。
同样，在一元二次方程中，a,b,c是已知常数，x是未知数。
在二元一次方程组中，a,b,c,d,e,f是已知常数，x,y是未知数。
比例公式中的a,b,c,d是已知数。
2.2 图形几何另外，在初二阶段，我们也开始学习图形几何相关的公式：•矩形面积：$A = l \\times w$•圆的面积：$A = \\pi \\times r^2$•三角形的面积：$A = \\frac{1}{2} \\times b \\times h$其中，l表示矩形的长度，w表示矩形的宽度，r表示圆的半径，b表示三角形的底边长度，ℎ表示三角形的高。
三、初三阶段数学公式3.1 平方根和立方根在初三阶段，我们开始接触平方根和立方根。
下面是一些与它们相关的公式：•平方根公式：$\\sqrt{a} = b$•立方根公式：$\\sqrt[3]{a} = b$其中，a表示待开方的数，b表示它的平方根或立方根。
整式乘法与因式分解-整式运算的应用综合拓展课件+2022--2023学年沪科版七年级下册数学
求阴影部分面积
在整式运算中求阴影面积的常见方法
公式法
阴影部分是规则图形时，可直接利用规则图形的面积公式计算.
规则图形：三角形，平行四边形，长方形，正方形等．
D
例
A
E
C
FB
S△ABE
＝1 2
底×高＝12
AB·EF
在整式运算中求阴影面积的常见方法
加减法
把所求阴影部分的面积看成是由几个规则图形面积相加（减）而成， 分别求出这几个规则图形面积，再相加（减）即可．
b2
3ab
=
1 2
42 3 4
=2
B
a
CbG
图2
本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是本题的关键．
图形拼接
整式运算中的图形拼接问题
四个小长方形 n
b
a
m
a
b
n m
bn
ma
ab
mn
四个小长方形的面积之和：mn＋bn＋ma＋ab
拼接成一个大长方形
大长方形的面积＝（m＋b）（n＋a）
分析
aA a
bB b
用含a、b的式子表示A、B、C三类卡片的面积和
bC a
求出三类卡片的数量
解答 （1）∵拼成的长方形长为（2a＋b），宽为（a＋b） ∴拼成的长方形面积为:(2a＋b)(a＋b) ∵拼合后的图形与原来小正方形面积和相等
C CB a＋b
A AC
2a＋b
∴原来三类小正方形的面积和为:(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2
A
D
形ABD的面积﹣三角形BGF的面积，
S 解答 法1：∵ 阴影＝S正方形ABCD＋S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF
初一数学第八讲：乘法公式的应用
初一数学第八讲：乘法公式的应用
乘法公式的应用
1、平方差】
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
平方差公式的特征：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算．
推广：多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。
即：多项
式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍。
2、完全平方公式】
完全平方公式：（ab）2=a22ab＋b2
完全平方公式的特征：
（a+b）2=a2+2ab＋b2与(a－b)2=a2－2ab＋b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．
①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同．
②公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式．
③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算．
④公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式.
推广：（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca。
初一乘法公式
初一乘法公式好的，以下是为您生成的关于“初一乘法公式”的文章：刚上初一的时候，我记得特别清楚，那时候数学老师在黑板上写下乘法公式，就好像给我们打开了一个全新的数学世界大门。
乘法公式，这几个简单的字，却蕴含着无穷的数学奥秘。
就拿完全平方公式（a+b）² = a² + 2ab + b²来说吧。
有一次，我和同桌一起做作业，遇到了一道这样的题：已知（x + 3）²，让我们展开式子。
我一开始有点懵，就按照老师讲的，把它写成（x + 3）（x + 3），然后一步一步地乘开。
我同桌呢，直接就套用完全平方公式，很快就得出了 x² + 6x + 9 这个答案。
我当时还不信，自己又算了一遍，这才发现原来公式用起来这么方便！再说说平方差公式（a + b）（a - b）= a² - b²。
有一回数学考试，有一道题是这样的：计算（50 + 1）×（50 - 1）。
我一看，这不就是平方差公式嘛！50² - 1² = 2500 - 1 = 2499，一下子就把答案算出来了。
乘法公式在我们的日常生活中也有不少用处呢。
比如说，我妈妈想给家里的桌子做个桌布。
桌子是长方形的，长是（a + b）米，宽是（a - b）米，要算桌布的面积，直接用平方差公式，面积就是 a² - b²平方米。
在做数学题的时候，乘法公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开难题的锁。
比如说，化简（2x + y）² - （2x - y）²这种式子，如果不熟悉乘法公式，那可就麻烦啦。
但只要我们掌握了完全平方公式，先把两个式子展开，再进行合并同类项，就能很快得出答案 8xy 。
而且，乘法公式还能帮助我们检验计算结果的正确性。
有时候我们在计算多项式相乘时，可能会出错。
但如果最后能通过乘法公式进行验证，就能及时发现错误并改正。
初一的乘法公式，虽然看起来简单，但是用处却非常大。
初一数学]乘法公式
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初一数学]乘法公式精品文档-可编辑乘法公式二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．例１利用完全平方公式计算：１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．解：（１）（－3a－5）23a）2－2×（－3a）×5＋52精品文档-可编辑9a2＋3a＋25２）（a－b＋c）2a－b）＋c]2a－b）2＋2（a－b）c+c2a2－2ab＋b2＋2ac－2bc+c2a2＋b2+c2＋2ac－2ab－2bc．例２利用完整平方公式进行速算.1)112(2)992解:(1)112分析:将112变形为(1+1)2原式可1+1)2利用完全平方公式来速算.12+2×1×1+12121解:(2)992分析:将992变形为(1-1)2原式可1-1)2利用完整平方公式来速算.12-2×1×1+12981例３计算：22精品文档-可编辑１）992－98×1；（２）49×51－2499．解：（１）992－98×11－１）2－98×112－２×1＋１－981－2－98＋１１；２）49×51－24995－1）（5＋１）－249925－1－2499０．例４已知a＋b＝8，ab＝1，求a2＋b2，（a－b）2的值．分析：由前面的公式变形可以知道：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．解：由于a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝1所以22精品文档-可编辑a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝82－2×1＝44a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82－4×1＝24．三：练1．利用乘法公式进行计算：1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(2)(3x+2)2-(3x-5)2(3)(x-2y+1)(x+2y-1)4)(2x+3y)2(2x-3y)2(5)(2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)26)(x2+x+1)(x2-x+1)解：(1)原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)x4-1)(x4+1)x8-1.2)解法1：原式=(9x2+12x+4)-(9x2-3x+25)9x2+12x+4-9x2+3x-2542x-21解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2)-(3x-5)]2222222佳构文档-可编辑6x-3)×742x-21.3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]x2-(2y-1)2x2-(4y2-4y+1)x2-4y2+4y-14)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]24x2-9y2)216x4-72x2y2+81y45)原式=[(2x+3)-(3x-2)]2x+5)2x2-1x+256)原式=[(x2+1)+x][(x2+1)-x]x2+1)2-x2x4+2x2+1)-x2x4+x2+12．：a+b=5,ab=3，求：(1)a-b)2；2)a2+b2；(( 佳构文档-可编辑解：(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab52-4×3132)a2+b2=(a+b)2-2ab52-2×319.在线测试选择题1．在以下多项式的乘法中，能够用平方差公式计较的是（）222A、(x+1)(1+x)B、(a+b)(b-a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2．下列各式计算正确的是（）A、(a+4)(a-4)=a2-4B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1D、(a+2)(a-4)=a2-8精品文档-可编辑3．(-x+2y)(-x-2y)的计较成效是（）2222A、x2-4y2B、4y2-x2C、x2+4y2D、-x2-4y24．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。
苏科版数学七年级下册《9.4乘法公式》说课稿3
苏科版数学七年级下册《9.4 乘法公式》说课稿3一. 教材分析乘法公式是数学中的一种基本公式，广泛应用于各个领域。
苏科版数学七年级下册《9.4 乘法公式》这一节主要介绍了平方差公式和完全平方公式。
平方差公式可以帮助我们简化计算，快速求出两个数的平方差；而完全平方公式则可以帮助我们求出一个数的平方，或者两个数的乘积的平方。
这两个公式在解决实际问题中具有重要的作用。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了有理数的乘法、乘方等基础知识，对于公式有一定的认识。
但乘法公式较为抽象，需要学生在理解的基础上进行记忆。
同时，学生需要掌握如何将实际问题转化为乘法公式的形式，从而解决问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握平方差公式和完全平方公式，并能够灵活运用这两个公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生主动探究、合作学习的意识，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生自信心，使学生能够积极主动地参与到数学学习中。
四. 说教学重难点1.重点：平方差公式和完全平方公式的记忆与运用。
2.难点：如何将实际问题转化为乘法公式的形式，以及如何在复杂问题中灵活运用乘法公式。
五. 说教学方法与手段1.采用启发式教学，引导学生主动探究、发现规律，培养学生的数学思维能力。
2.利用多媒体课件，生动形象地展示乘法公式的推导过程，帮助学生理解记忆。
3.小组合作、讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。
4.创设实际问题情境，引导学生运用乘法公式解决问题，提高学生的应用能力。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的乘法、乘方等基础知识，引出本节课的主题——乘法公式。
2.讲解：讲解平方差公式和完全平方公式的推导过程，让学生理解并记忆这两个公式。
3.练习：布置一些简单的练习题，让学生运用平方差公式和完全平方公式进行计算，巩固所学知识。
4.应用：创设一些实际问题情境，让学生运用乘法公式解决问题，培养学生的应用能力。
七年级数学下册 9.4乘法公式(第2课时)教案 苏科版
制作若干张长方形和正方形硬纸片，通过图形计算(a+b+c)2的公式，并通过运算推导这个公式。
练习：已知3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，求证:a=b=c
小结：
能够根据题目的要求灵活的运用乘法公式。
教学素材：
A组题：
1．利用乘法公式进行计算：
(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)
教学方法
讲练结合、探索交流
课型
新授课
教具
投影仪
教师活动
学生活动
情景设置：
回忆上节课所学的乘法公式：
=
这节课我们利用乘法公式解决实际问题
新课讲解：
例1：用乘法公式计算
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷
例2：计算
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷[(a-b)2-(a+b)2]2
能够根据实际情况灵活运用乘法公式解题。
课堂练
由学生自己先做(或互相讨论)
板演
教师与同学共同订正
学生讨论
共同总结
作业
第83页3、5、6
板书设计
复习例1板演
………… ……
………………
……例2……
………………
………… ……
教学后记
(2) (3x+2)2-(3x-5)2
(3) (x-2y+1)(x+2y-1)
(4) (2x+3y)2(2x-3y)2
(5) (2x+3)2-2(2x+3) (3x-2)+(3x-2)2
(6) (x2+x+1)(x2-x+1)
乘法公式的基础与拓展应用
乘法公式的基础与拓展应用乘法公式是数学中常用的计算工具，它包含了一系列基础与拓展应用。
基础乘法公式常用于计算两个数之间的乘积。
它们包括：1.乘法交换律：a×b=b×a。
这意味着两个数的乘积与它们的顺序无关。
2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
这意味着无论是先将前两个数相乘然后与第三个数再相乘，还是先将后两个数相乘然后与第一个数再相乘，得到的结果都是相同的。
3.分配律：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)。
这意味着将一个数与两个数的和相乘，等于将这个数分别与两个数相乘得到的结果再相加。
基础乘法公式还可以进行简化，例如：1. 平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这意味着一个数的平方可以通过将该数与自身相乘得到。
2. 立方公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。
这意味着一个数的立方可以通过将该数与自身的平方相乘得到。
乘法公式还可以应用于解决实际问题，例如：1.面积计算：通过乘法公式可以计算出各种形状的面积。
例如，长方形的面积可以通过将长与宽相乘得到；圆的面积可以通过将π与半径的平方相乘得到。
2.体积计算：通过乘法公式可以计算出各种形状的体积。
例如，长方体的体积可以通过将长、宽和高相乘得到；圆柱体的体积可以通过将π、半径的平方和高相乘得到。
拓展应用方面，乘法公式也可以用于解决一些更复杂的问题。
例如：1.组合问题：组合问题是指从一个集合中选取若干个元素组成一个子集的问题。
乘法公式可以应用于计算组合问题的总数。
如果一些集合有n个元素，需要选取r个元素组成子集，那么组合问题的总数可以通过计算n!/(r!(n-r)!）得到，其中"!"表示阶乘。
2.概率问题：概率问题是指计算一些事件发生的可能性的问题。
乘法口诀拓展题目
乘法口诀拓展题目乘法口诀是我们日常生活中最基础的数学知识之一，它不仅在小学阶段的学习中占据重要地位，而且在日后的生活和工作中也有着广泛的应用。
熟练掌握乘法口诀，不仅能提高我们的计算速度，还能为解决实际问题奠定基础。
今天，我们就来探讨一下乘法口诀的拓展题目，学会如何在实际问题中灵活运用乘法口诀。
一、乘法口诀的重要性乘法口诀的重要性不言而喻。
它是我们学习数学的基石，掌握好乘法口诀，有助于我们更好地理解其他数学知识，如除法、加法、减法等。
同时，乘法口诀在实际生活中的应用也非常广泛，如购物、计算利息、物理中的力学问题等。
因此，我们应该重视乘法口诀的学习和应用。
二、乘法口诀的拓展题目类型乘法口诀的拓展题目主要包括以下几种类型：1.基本乘法口诀应用题这类题目以乘法口诀为基础，要求我们根据题目给出的条件，运用乘法口诀求解问题。
例如，小明有3个苹果，每个苹果的重量是2千克，那么小明一共有多少千克的苹果？答案是6千克，可以通过乘法口诀“3×2=6”得出。
2.进阶乘法口诀应用题这类题目在基本乘法口诀应用题的基础上，增加了难度。
如乘法口诀中的数字发生变化，需要我们灵活运用乘法口诀解决实际问题。
例如，小红买了一箱橙子，每箱有12个，共有5箱，那么小红一共有多少个橙子？答案是60个，可以通过乘法口诀“5×12=60”得出。
3.创新乘法口诀题目这类题目突破了乘法口诀的传统形式，需要我们创新思维，寻找题目中的规律，然后运用乘法口诀解决实际问题。
例如，有一段楼梯，共有15级，每级楼梯高20厘米，那么这段楼梯的总高度是多少？答案是300厘米，可以通过乘法口诀“15×20=300”得出。
三、解题技巧与策略1.观察数字特点在做乘法口诀拓展题目时，我们要学会观察数字特点，发现题目中的规律。
如乘法口诀中的数字是否存在倍数关系、是否存在循环规律等，这些特点可以帮助我们快速解决题目。
2.运用数学公式在乘法口诀拓展题目中，有时可以运用数学公式来简化计算过程。
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。
这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。
但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。
因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。
2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。
2.准备一些实际问题，让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。
学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。
4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。
5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。
乘法分配律的拓展与
乘法分配律的基本形式
乘法分配律的基本形式是：(a+b)×c = a×c + b×c。
这个形式表明，当我们把两个数相加 后再与第三个数相乘，结果等于把这 两个数分别与第三个数相乘后再求和 。
02
乘法分配律的拓展
乘法分配律在整数中的应用
要点一
整数乘法分配律
要点二
整数乘法结合律
整数乘法中，乘法分配律同样适用。例如，对于任意三个整 数a、b和c，有a×(b+c) = a×b + a×c。
代数问题
乘法分配律在代数问题中有着广泛的应用，如解方程、因式分解等。通过运用乘法分配律，可以简化计算过程， 提高解题效率。
几何问题
在几何问题中，乘法分配律常用于面积和体积的计算。例如，在计算矩形、平行四边形、长方体等图形的面积或 体积时，可以利用乘法分配律将复杂问题转化为简单问题。
乘法分配律在日常生活中的应用
VS
例如，证明$(a_1+a_2+...+a_n)b = a_1b + a_2b + ... + a_nb$时，可以 假设该等式在某个范围内成立，然后 通过数学归纳法逐步推导，最终得出 该等式在任何范围内都成立的结论。
05
乘法分配律的进一步思考
乘法分配律的局限性
适用范围有限
乘法分配律仅适用于具有特定结构的数学表达式，对于复杂或抽象的数学问题，其应用 受到限制。
化学计算
在化学中，乘法分配律常用于计算化合物的 分子量、反应速率等。通过运用乘法分配律， 可以快速得出结果，提高实验效率。
04
乘法分配律的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过数学公式和等式的变形来证明乘法分配律。具体来说，可以通过将乘法分配律的 左边展开，然后利用等式的变形技巧，最终化简为乘法分配律的右边形式。
第一章整式乘法-乘法公式拓展提升(教案)
3.注重个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导和指导；
4.定期对学生们进行评价，了解他们在整式乘法方面的掌握程度，以便调整教学策略。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对整式乘法的基础知识掌握得相对扎实，但在乘法公式的运用上还存在一些问题。尤其是在完全平方公式、平方差公式等拓展提升部分，学生们在理解上还有一定的难度。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重乘法公式的推导过程和实际应用。
课堂上，我尽量用生动的语言和具体的例子来解释乘法公式的来源和运用，但显然，这部分内容对于一些学生来说仍然难以消化。我想，在下一节课中，可以尝试通过更多的互动和实际操作，让学生们亲自参与到公式的推导和应用中来，以提高他们的理解和记忆。
（3）各类乘法公式在实际问题中的综合运用。
举例：
-多项式乘法法则：要求学生掌握(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd的展开方法；
-完全平方公式：熟练运用a²±2ab+b²=(a±b)²解决实际问题；
-平方差公式：掌握a²-b²=(a+b)(a-b)，并能应用于求解相关问题；
-立方和与立方差公式：熟练运用a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)和a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)解决具体问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘法的基本概念、乘法公式的重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
七年级数学2.7有理数的乘方知识拓展乘方和幂
乘方和幂民间流传着这样一个古老的问题：路上走着七位老人，每位老人有七根拐棍，每根拐棍有七个树杈，每个树杈上挂着七只口袋， 每只口袋里装着七个布包， 每个布包里装着七只麻雀．请你帮我算一算，共有多少只麻雀？这个题目不难算，共有麻雀7×7×7×7×7×7＝117649(只)． 这是一个求相同因数连乘积的运算，人们嫌相同因数个数多，写起来麻烦，便发明了一种方法，把它写成：7×7×7×7×7×7＝76．这种写法很方便，例如100个7连乘，如果用乘法写，要写100个7，太麻烦了．用这种方法写，只要写成7100就可以了．一般说来，n 个a 连乘，可以写成 n n aa a a a a ⋅⋅⋅⋅=个．像这样求相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂．在数学课上，老师有时把a n 读作“a 的n 次方”；有时又读作“a 的n 次幂”．同样一个符号a n，为什么会有两种不同的读法呢？这是因为乘方和幂，既是两个不同的概念，又是两个有关联的名词．乘方是一种特殊的乘法运算，从运算的角度考虑，就可以把a n 读成a 的n 次方；而幂是乘方运算的结果，那就只能读作a 的n 次幂．有趣的是，符号(a m )n ，还要读成“a 的m 次幂的n 次方”．虽然a n 的读法有两种，但是数学运算是方法，运算的答案是结果，方法和结果终究是两回事，它们是不能混淆的． 在初中数学中，学过的代数方法有加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等几种．加法运算的结果叫做“和”，减法运算的结果叫做“差”，乘法运算的结果叫做“积”，除法运算的结果叫做“商”，乘方运算的结果叫做“幂”，开方运算的结果叫做“方根”．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，长方形ABCD 的边AB 平行于x 轴，物体甲和物体乙由点()2,0P 同时出发，沿长方形ABCD 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第4次相遇点的坐标是（ ）A ．()1,1-B ．()2,0C ．()1,1-D ．()1,1--【答案】C 【解析】由坐标得到矩形的周长，得到第四次相遇时所走的总路程，求解第四次相遇的时间，再计算甲所走的路程可得相遇点的坐标．【详解】解：(42)212ABCD C =+⨯=（个）单位，两个物体第4次相遇，共走12448⨯=．相遇时间：48(12)16÷+=（秒），甲所走的路程是16116⨯=（个）单位又12ABCD C =（个）单位，16124-=（个）单位，故从P 逆时针走4个单位，即为()1,1-，故选C【点睛】本题考查的平面直角坐标系内点的运动与坐标的变化，掌握运动规律是解题关键．2．单位在植树节派出50名员工植树造林，统计每个人植树的棵树之后，绘制出如图所示的频数分布直方图（图中分组含最低值，不含最高值），则植树7棵及以上的人数占总人数的（ ）A ．40%B ．70%C ．76%D ．96%【答案】C 【解析】由图可得，植树7棵及以上的人数占总人数的5029650-=％ ，故选D. 3．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群 人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有多少两？设银子共有x 两，列出方程为（ ）A ．4879x x +=-B ．4879x x +-=C ．4879x x -=+D ．4879x x -+= 【答案】D【解析】设银子共有x 两，根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”及人的数量不变，即可得出关于x 的一元一次方程.【详解】解：设银子共有x 两. 由题意，得4879x x -+= 故选D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程. 找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.4．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）A ．0x y +>B ．0x y ->C ．0x y +<D ．0x y -<【答案】A【解析】两边都除以3，得x ＞﹣y ，两边都加y ，得：x+y ＞0，故选A ．5．如果0a b <<，下列不等式中错误的是（ ）A ．0ab >B ．1a b <C ．0a b +<D ．0a b -< 【答案】B【解析】根据a ＜b ＜0，可得ab ＞0，a+b ＜0，b a ＞0，a-b ＜0，从而得出答案． 【详解】A 、ab ＞0，故本选项不符合题意；B 、a b＞1，故本选项符合题意； C 、a+b ＜0，故本选项不符合题意；D 、a-b ＜0，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，是基础知识比较简单．6．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】首先根据题意，直接代入，即可得解.【详解】解：根据题意，得即为故答案为A.【点睛】此题主要考查利用代入法解二元一次方程组，熟练运用即可解题，注意符号的变化.7．如图，在ABC ∆中，90B =∠，//MN AC ，155∠=，则C ∠的度数是（ ）A ．25B ．35C ．45D ．55【答案】B 【解析】由//MN AC 可得∠A=155∠=，再根据直角三角形两内角互余求解即可.【详解】∵//MN AC ，∠A=155∠=，∴∠C=90°-55°=35°.故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键. 平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.也考查了直角三角形中两个锐角互余.8．下列说法正确的是（ ）A ．相等的角是对顶角B ．在同一平面内，不平行的两条直线一定互相垂直C ．点P(2，﹣3)在第四象限D ．一个数的算术平方根一定是正数【答案】C【解析】直接利用对顶角的性质以及算术平方根和平行线的性质以及坐标与图形的性质分别分析得出答案．【详解】解：A 、相等的角是对顶角，错误；B 、在同一平面内，不平行的两条直线一定相交，故此选项错误；C 、点P （2，﹣3）在第四象限，正确；D 、一个数的算术平方根一定是正数或零，故此选项错误．故选：C ．此题主要考查了坐标与图形的性质、对顶角的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．9．某班将安全知识竞赛成绩整理后绘制成直方图，图中从左至右前四组的百分比分别是4%、12%、40%、28%，第五组的频数是8，下列结论错误的是（）A．该班有50名同学参赛B．第五组的百分比为16%C．成绩在70～80分的人数最多D．80分以上的学生有14名【答案】D【解析】A.8÷（1-4 %-12 %-40 %-28 %）=50（人），故正确；B. 1-4 %-12 %-40 %-28 %=16%，故正确；C.由图可知，成绩在70～80分的人数最多，故正确；D.50×（28 %+16 %）=22（人），故不正确；故选D.10．下列调查中，适宜采用全面调查的是()A．对现代大学生零用钱使用情况的调查B．对某班学生制作校服前身高的调查C．对温州市市民去年阅读量的调查D．对某品牌灯管寿命的调查【答案】B【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【详解】解：A、对现代大学生零用钱使用情况的调查，工作量大，用抽样调查，故此选项错误；B、对某班学生制作校服前身高的调查，需要全面调查，故此选项正确；C、对温州市市民去年阅读量的调查，工作量大，用抽样调查，故此选项错误；D、对某品牌灯管寿命的调查，有破坏性，用抽样调查，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查和抽样调查的优缺点再结合实际情况去分析．二、填空题题11．在平面直角坐标系中，点P(a，5)关于y轴对称点为Q(3，b)，则a+b=__________．【答案】2【解析】分析：由于两点关于y轴对称，则其纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此即可解答．详解：∵点P(a,5)和点Q(3,b)关于x轴对称，∴b=-3，a=5，-+=，∴a+b=352故答案为：2.点睛：关于x轴、y轴对称的点的坐标.12．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（-y+1，x+2），我们把点P′（-y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点，已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n，若点P1的坐标为（2，0），则点P3的坐标为______．【答案】（-3，3）．【解析】根据坐标变换规律求出P2坐标、再求出P3坐标即可.【详解】∵点P1的坐标为（2，0），∴点P2的坐标为（1，4），∴点P3的坐标为（-3，3），故答案为（-3，3）．【点睛】本题考查坐标的变换规律，理解题意，根据坐标变换的规律计算是解题关键.13．等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把三角形分成的两部分周长之差为4cm，则这个等腰三角形周长为_____cm．【答案】1【解析】首先设腰长为xcm，等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为4cm，可得x﹣6＝4或6﹣x＝4，继而可求得答案．【详解】解：设腰长为xcm，根据题意得：x﹣6＝4或6﹣x＝4，解得：x＝10或x＝2（舍去），∴这个等腰三角形的周长为10+10+6＝1cm．故答案为：1．【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解三角形中线的意义是关键.14．如图，由边长为1的小正方形组成的44⨯网格中，ABC ∆的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，所投的针都随机落在正方形网格中，则落在ABC ∆内部的概率是________.【答案】516 【解析】先求出三角形ABC 的面积，然后用概率公式计算．【详解】解：正方形面积4×4=16，三角形ABC 的面积111442142345222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= 则落在△ABC 内部的概率是516故答案为516 ． 【点睛】本题考查了概率，熟练运用概率公式是解题的关键．15．如图，点D 在AOB ∠的平分线OC 上，点E 在OA 上，//ED OB ，50AOB ∠=︒，则ODE ∠的度数是_______．【答案】25︒【解析】利用角平分线与平行线的性质得到ODE AOC BOC ∠=∠=∠即可得到答案．【详解】解：OC 平分AOB ∠，AOC BOC ∠=∠∴//ED OB ，,BOC ODE ∴∠=∠50AOB ∠=︒1252ODE AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=∠=︒． 故答案为：25︒．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质是中考必考的一个考点，掌握此相关联的性质是解题的关键．16．如果x 2+kx+1是一个完全平方式，那么k 的值是___________.【答案】k=±1．【解析】试题分析：这里首末两项是x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 的系数和常数1的积的1倍，故k=±1．解：中间一项为加上或减去x 的系数和常数1的积的1倍，∴k=±1．故答案为k=±1．17．已知关于x 的不等式(2)50m n x m n -+->的解集1x <，则关于x 的不等式mx n >的解集是__________． 【答案】12x < 【解析】根据不等式和解集间的关系可知1x =时，(2)50m n x m n -+-=，化简可得m,n 的关系，由此可解不等式mx n >.【详解】解：由题意得1x =时，(2)50m n x m n -+-=，即250m n m n -+-=，化简得2m n =， 且不等式的解集变号了，说明20m n -<，等量代换可得 40,30,0n n n n -<<<，不等式mx n >即为2nx n >，由不等式基本性质可得12x <. 故答案为：12x <【点睛】 本题考查了不等式，熟练掌握不等式的性质及不等式与解集间的关系是解题的关键.三、解答题18．（1）分解因式23218ax a -．（2）先化简再求值：2(4)(2)(2)(2)x x y x y x y x y -++---，其中2x =-，1y =-．【答案】（1）2(3)(3)a x a x a +-；（2）222x y -，2.【解析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【详解】（1）解：原式()2229a x a =- 2(3)(3)a x a x a =+-（2）解：原式222222244442x xy x y x xy y x y =-+--+-=-当2x =-，1y =-时，原式422=-=.【点睛】此题考查了因式分解和整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．已知二元一次方程x+2y=-1．当x 取什么值时，y 的值是大于-1的负数？【答案】当-1＜x ＜-3时，y 的值是大于-1的负数【解析】先用x 表示y ，从而得到-1＜-12x-52＜0，然后解不等式组即可． 【详解】∵x+2y=-1．∴y=-12x-52， 而-1＜y ＜0，∴-1＜-12x-52＜0，解得-1＜x ＜-3， ∴当-1＜x ＜-3时，y 的值是大于-1的负数．【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤．20．如图，在所给的方格纸图中，完成下列各题：(1)画出△ABC 关于直线DE 对称的△A 1B 1C 1；(2)直接写出∠A 1＝______°，∠B 1＝______°，∠C 1＝______°，(3)求△ABC 的面积．【答案】（1）画图见解析；（2）90︒ ，45︒ ，45︒；（3）52. 【解析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC 关于直线DE 对称的111A B C ∆；（2）依据111A B C ∆为等腰直角三角形，即可得出∠A 1＝90°，∠B 1＝45°，∠C 1＝45°；（3）依据三角形面积计算公式，即可得到△ABC 的面积．【详解】解：（1）如图所示，111A B C ∆即为所求；（2）由图可得，111A B C ∆为等腰直角三角形，∴∠A 1＝90°，∠B 1＝45°，∠C 1＝45°；故答案为：90，45，45；(3)11555.222S ABC AC AB =⋅= 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是掌握轴对称的性质．21．在ABC ∆中，已知40B ∠=︒，60C ∠=°，AD 平分BAC ∠，点E 为AD 延长线上的点，EF BC ⊥于F ，求DEF ∠的度数.【答案】10°.【解析】利用三角形的外角的性质求出∠ADC，再利用三角形内角和定理求出∠DEF即可．【详解】∵∠BAC=180°−∠B−∠C=80°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=40°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°，∴∠EDF=∠ADC=80°，∵EF⊥BC，∴∠EFD=90°，∴∠DEF=90°−80°=10°.【点睛】此题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理，解题关键在于利用外角的性质求出∠ADC.22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=42︒，∠C=70︒，求：∠DAE的度数.【答案】∠DAE=14°【解析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC=12∠BAC，故∠EAD=∠EAC-∠DAC．【详解】解：∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B=42°，∠C=70°，∴∠BAE=∠EAC=12（180°-∠B-∠C）=12（180°-42°-70°）=34°．在△ACD中，∠ADC=90°，∠C=70°，∴∠DAC=90°-70°=20°，∠EAD=∠EAC-∠DAC=34°-20°=14°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线、中线和高．求角的度数时，经常用到隐含在题中的“三角形内角和是180°”这一条件．23．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．【答案】．(1) 三角形三边的长为185cm、365cm、365cm;(2) 能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm【解析】（1）可设出底边xcm，则可表示出腰长，由条件列出方程，求解即可；（2）分腰长为4cm和底边长为4cm两种情况讨论即可．【详解】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，,依题意，得x2x2x18++=，解得18x5 =，∴362x5=，∴三角形三边的长为185cm、365cm、365cm；（2）若腰长为4cm，则底边长为18-4-4=10cm，而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形，若底边长为4cm，则腰长为1842-=7cm，此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证．24．计算或求x的值：（1（2）2（x﹣13）2＝18【答案】 (1)324;(2)12108,33x x==- .【解析】根据是实数的性质即可进行求解.【详解】解：（1＝6﹣4+34＝234； （2）2（x ﹣13）2＝18x ﹣13 即x ﹣13＝±3， 解得12108,33x x ==- 【点睛】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知实数的性质及运算法则.25．（1）2ab •（﹣14b 3） （2）利用整式乘法公式计算：（m+n ﹣3）（m+n+3） （3）先化简，再求值：（2xy ）2﹣4xy （xy ﹣1）+（8x 2y+4x ）÷4x ，其中x ＝﹣2，y ＝﹣12 【答案】（1）﹣12ab 4；（2）m 2+2mn+n 2﹣9；（3）6xy+1，1． 【解析】（1）原式利用单项式乘以单项式法则计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（3）原式利用积的乘方运算法则，单项式乘以多项式，以及多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值.【详解】解：（1）原式＝﹣12ab 4； （2）原式＝（m+n ）2﹣9＝m 2+2mn+n 2﹣9；（3）原式＝4x 2y 2﹣4x 2y 2+4xy+2xy+1＝6xy+1，当x ＝﹣2，y ＝﹣12时，原式＝6+1＝1． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：① BC平分∠ABE；② AC∥BE；③ ∠CBE+∠D＝90°；④ ∠DEB＝2∠ABC．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理进行判断即可．【详解】∵AF∥CD，∴∠ABC=∠ECB，∠EDB=∠DBF，∠DEB=∠EBA，∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ECB=∠BCA，∠EBD=∠DBF，∵BC⊥BD，∴∠EDB+∠ECB=90°，∠DBE+∠EBC=90°，∴∠EDB=∠DBE，∴∠ECB=∠EBC=∠ABC=∠BCA，∴①BC平分∠ABE，正确；∴∠EBC=∠BCA，∴②AC∥BE，正确；∴③∠CBE+∠D=90°，正确；∵∠DEB=∠EBA=2∠ABC，故④正确；故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，2．下列说法中，正确的是（）A．腰对应相等的两个等腰三角形全等；B．等腰三角形角平分线与中线重合；C．底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等； D．形状相同的两个三角形全等．【答案】C【解析】根据全等三角形和等腰三角形的性质对各项进行判断即可．【详解】A. 腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，错误；B. 等腰三角形顶角的角平分线与底边中线重合，底角的角平分线与腰上的中线不一定重合，错误；C. 底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等，正确；D. 形状相同的两个三角形不一定全等，错误；故答案为：C ．【点睛】本题考查了全等三角形和等腰三角形的问题，掌握全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键．3．空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ）A ．扇形图B ．直方图C ．条形图D ．折线图【答案】A【解析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据； 频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别． 条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；折线统计图表示的是事物的变化情况；【详解】解：根据题意得： 要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选：A ．【点睛】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，频数分布直方图各自的特点．掌握它们的特点是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长是2，点A 的坐标是()1,1-，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A B C D A →→→→......路线运动，当运动到2019秒时，点P 的坐标为（ ）A ．()1,1B ．()1,3C ．()1,3-D ．()1,1-【答案】C【解析】因为正方形的边长为2，动点P 每秒运动2个单位，从点A 出发经过4秒又回到点A ，故动点P 的运动每4秒一循环，用2019除以4得504余3，故点P 第504次运动到点A 后仍需运动3秒，到达点D ，所以D 点坐标即为所求.【详解】解：由题意得正方形的周长248=⨯=，动点P 每秒运动2个单位，从点A 出发又回到点A 经过时间为824÷=秒，201945043÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，故点P 第504次运动到点A 后仍需运动3秒，到达点D (1,3)-，所以P 点坐标为(1,3)-【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标的确定，找到动点P 运动的规律是解题的关键.5．若a ＜b ，那么下列各式中不正确的是（ ）A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．﹣a ＜﹣bC ．3a ＜3bD ．【答案】B【解析】根据不等式的性质求解即可．【详解】A ．两边都减1，不等号的方向不变，故A 不符合题意；B ．两边都乘﹣1，不等号的方向改变，故B 错误；C ．两边都乘3，不等号的方向不变，故C 不符合题意；D ．两边都除以4，不等号的方向不变，故D 不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．6．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是( )A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形【答案】C【解析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【详解】360÷40=9，即这个多边形的边数是9，故选C ．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．7．如图，//EF AD ，//AD BC ，CE 平分BCF ∠，120DAC ∠=，20ACF ∠=.则FEC ∠的度数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．60【答案】B 【解析】根据AD∥BC，得到∠DAC+∠ACB=180°，从而得到∠ACB=60°，由∠ACF=20°，得∠BCF 的度数，根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠FEC=∠BCE，即可得出∠FEC=∠FCE．【详解】∵AD∥BC，∴∠DAC+∠ACB=180°．∵∠DAC=120°，∴∠ACB=60°．∵∠ACF=20°，∴∠BCF=40°．∵CE 平分∠BCF，∴∠BCE=∠ECF=20°．∵EF∥AD，∴EF∥BC，∴∠FEC=∠BCE，∴∠FEC=∠FCE=20°．故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解答本题的关键．8．下列运算正确的是（ ）A 9=3±B ．（m 2）3=m 5C ．a 2•a 3=a 5D ．（x+y ）2=x 2+y 2【答案】C【解析】A 9，本选项错误；B 、（m 2）3=m 6，本选项错误；C 、a 2•a 3=a 5，本选项正确；D 、（x+y ）2=x 2+y 2+2xy ，本选项错误，故选C9．已知不等式2x+a ＜x+5的正整数解有2个，求a 的取值范围.（ ）A ．2＜a ＜3B ．2＜a≤3 C．2≤a≤3 D．2≤a ＜3【答案】B【解析】由2x+a ＜x+5得x ＜5-a ，由题意得2≤5-a <3，解不等式组可得.【详解】由2x+a ＜x+5得x ＜5-a因为，不等式2x+a ＜x+5的正整数解有2个，所以，2≤x <3，所以，2≤5-a <3，所以，2＜a≤3故选：B【点睛】本题考核知识点：不等式组.解题关键点：理解不等式解集的意义.10．下列命题中的真命题．．．是（ ） A ．相等的角是对顶角B ．内错角相等C ．如果a 3＝b 3，那么a 2＝b 2D ．两个角的两边分别平行，则这两个角相等【答案】C【解析】分析：对每一个命题进行判断，找出其中的假命题即可得出答案．详解：选项A ，相等的角是对顶角是假命题，例如两个直角三角板中的两个直角相等，但这两个直角不是对顶角；选项B ，内错角相等是假命题，只有当两直线平行时，内错角相等；选项C ， 如果a 3＝b 3，那么a 2＝b 2是真命题；选项D ， 两个角的两边分别平行，则这两个角相等是假命题，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补.故选C.点睛：本题主要考查了命题的有关知识，在解题时要能根据真命题和假命题的定义对每一项进行正确判断，找出其中的假命题是本题的关键．二、填空题题11．如图所示，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若32FEG ∠=︒，则FGC ∠=______.【答案】64度【解析】先根据图形折叠的性质求出∠C′EF=∠FEG，再根据平行线的性质得出∠EFG 的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠FEG 由∠C′EF 折叠而成，∴∠FEG=∠C′EF，∵AD′∥BC′，∠FEG=32°，∴∠C′EF=∠EFG=32°，∴∠FGC=∠EFG +∠FEG =32°+32°=64°．故答案为：64度．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．12．如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD 做折纸游戏，他将纸片沿EF 折叠后，D 、C 两点分别落在D′、C′的位置，并利用量角器量得∠EFB＝66°，则∠AED′等于_____度．【答案】1【解析】根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠D′EF ，即可求出答案．【详解】解：∵∠EFB＝66°，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝66°，∴∠D′EF＝∠DEF＝66°，∴∠AED′＝180°−66°−66°＝1°，故答案为：1．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质等，解题时注意：两直线平行，内错角相等13．如图，已知DE BC ,DAB=56∠︒；ACF=115∠︒，则BAC=∠__________°.【答案】59【解析】由平行线的性质可求出∠ABC=DAB=56∠︒，再由三角形外角的性质即可求出∠BAC的值.【详解】∵DE BC,DAB=56∠︒，∴∠ABC=DAB=56∠︒，∴∠BAC=∠ACF-∠ABC=115°-56°=59°.故答案为：59.【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.也考查了三角形外角的性质. 14．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1＝_____°．【答案】78【解析】如图，由题意可知∠AOB=138°-60°=78°，∵直线a和直线b相交于点O，∴∠1=∠AOB=78°.故答案为78.15．不等式组62{132x xx->-<的解集为__________．【答案】26x << 【解析】62{132x x x ->-<①②由①得：x>2,由②得：x<1,所以不等式组的解集为2<x<1;故答案是2<x<1．点睛：求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解．16．在ABC ∆中，如果::4:5:9A B C ∠∠∠=，那么ABC ∆按角分类是________三角形.【答案】直角；【解析】根据三角形的内角和等于180︒求出最大的角C ∠，然后作出判断即可． 【详解】解：918090459C ∠=︒⨯=︒++， ∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，求出最大的角的度数是解题的关键．17．若m ，n 为实数，且0，则（m n ）2018的值为_____． 【答案】1【解析】直接利用算术平方根以及绝对值的性质得出m ，n 的值，进而得出答案．0，∴m+3＝0，n ﹣3＝0，∴m＝﹣3，n ＝3， ∴（m n）2018＝1． 故答案为1．【点睛】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，正确得出m ，n 的值是解题关键．三、解答题18．某校九年级举行数学竞赛，学校准备购买甲、乙、丙三种笔记本奖励给获奖学生，已知甲种笔记本单价比乙种笔记本单价高10元，丙种笔记本单价是甲种笔记本单价的一半，单价和为80元．（1）甲、乙、丙三种笔记本的单价分别是多少元？（2）学校计划拿出不超过950元的资金购买三种笔记本40本，要求购买丙种笔记本20本，甲种笔记本超过5本，有哪几种购买方案？【答案】 (1) 甲种笔记本的单价为36元，乙种为26元，丙种为18元 ;(2)见解析.【解析】（1）设甲种笔记本的单价为x 元，乙种为（x-10）元，丙种为2x 元，根据“单价和为80元”列出方程并解答；（2）设购买甲种笔记本y 本，根据“不超过950元的资金购买三种笔记本40本，要求购买丙种笔记本20本，甲种笔记本超过5本”列出不等式组并解答．【详解】解：（1）设甲种笔记本的单价为x 元，乙种为（x ﹣10）元，丙种为x 2元，根据题意得 x+（x ﹣10）+x 2=80，解得x=36， 乙种单价为x ﹣10=36﹣10=26元，丙种为x 2=362=18元． 答：甲种笔记本的单价为36元，乙种为26元，丙种为18元．（2）设购买甲种笔记本y 本，由题意得36y 2620y 1820950y>5（）+-+⨯≤⎧⎨⎩解得5＜y≤7， 因为y 是整数，所以y=6或y=7 则乙种笔记本购买14本或13本，所以，方案有2种：方案一：购买甲种笔记本6本，乙种笔记本14本，丙种笔记本20本；方案二：购买甲种笔记本7本，乙种笔记本13本，丙种笔记本20本．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用, 一元一次方程的应用,解题的关键是找到关系式列出式子19．如图，△ABC≌△DBE,点D 在边AC 上,BC 与DE 交于点P ．已知,,,. (1)求∠CBE 的度数．(2)求△CDP 与△BEP 的周长和．。
初一数学乘法公式的综合应用
乘法公式的综合运用知识点睛【常见乘法公式】 1.二元二次 （1）()()a b a b =________________. （2）2()ab =_____________.2.三元二次 （3）2()a bc =_____________.（4）222ab c ab bc ca =______________.3.三元三次 （5）3()a b =___________________.（6）33ab =_______________.4.三元三次 （7）(1)(1)(1)1a b c abc ab bc ca a b c （8）222222()()()2a b b c ca ab bc c a ab bc ca abc （9）222222()()3a b c ab bc ca a b b c c a ab bc ca abc（10）3332223()()ab c abcabc a b c ab bcca5.三元四次 （11）444222222()()()()222a b c a b c b c a c a b a b c a b b c c a6.二元n 次 （12）123221()(......)nn n n n nn a b a b a a b a b ab b （13）123221()(......)n nnn n nn ab ab a a ba b ab b7.n 元二次 （14）222121213123241(...)...22...222...2nn n n aa a a a a a a a a a a a a a a a a（15）222121213123241.........=nn n n a a a a a a a a a a a a a a a 2212131[()() (2)a a a a21()]nn a a题型一 降次法 【例1】已知210x x ，那么代数式221x x 的值是____________.【练1】设532x ，则代数式(1)(2)(3)x x x 的值为___________.题型二 二元对称式【例2】（1）已知x -y =3，xy =5，求：①33x y ；②55x y .（2）已知：2710x x ，求（1）1xx ；（2）221x x ；（3）441x x的值.（3）已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ，则22xy =_____________.【练2】（1）设a <b <0，22=4a b ab ，设m =a +b ，n =a -b ，求22m n的值.（2）已知实数a ，b ，c 满足a +b +c =0，abc =8，那么111a b c的值（ ） A .是正数 B .是零 C .是负数 D .正、负不能确定（3）已知(2008)(2006)2007a a ，则22(2008)(2006)a a 的值.【例3】若2410x x ，则42321912192x x x x x=_____________.【练3】（1）设211x xmx，求36331x xm x 的值.（2）已知：23321112a a a a a a ，求1a a.题型三 二元对称式与量值 证明以下结论： 1.222ab ab 2.2()4ab ab3.222()2a b a b4.222()a b c ab bc ca 5.2222()a b c abbcca【例4】已知实数x ，y ，z 满足x +y -4=0，240xy z ，求x ，y ，z 分别是多少？【练4】已知a >b >c ，a +b +c =1，2223a b c ，求证：2132b c.【例5】如果实数x ，y ，z 满足222()8xy z xy yz zx ，用A 表示||x y 、||y z 、||z x 的最大值，则A 的最大值为_____________.【练5】已知实数a ，b 满足221a abb ，且22tab a b ，那么t 的取值范围是_____________.题型四 不定方程 【例6】不定方程23725170xxy x y 的全部正整数解（x ，y ）的组数为（ ）.A .1 B .2 C .3 D .4【练6】关于x ，y 的方程22229xxyy 的整数解（x ，y ）的组数为（ ）A .2组B .3组C .4组D .无穷多组题型五 配方法【例7】当x 变化时，分式22365112x x x x 的最小值是__________.【练7】实数x ，y 满足1x y和22540x xy x y ，则x +y =____________.【例8】求实数x ，y 的值，使得222(1)(3)(26)y x yx y达到最小值.【练8】设a ，b 为实数，那么222a abb a b 的最小值是_____________.【例9】（1）实数a ，b 满足a +b =1，则333a b ab =____________.（2）实数a ，b 满足333=1a b ab ，则a +b =____________.【练9】设a <b <0，224ab ab ，则a ba b的值为（） AB C .2 D .3题型五 配方法【例10】设整数a ，b ，c （abc ）为三角形的三边长，满足：22213a b c ab ac bc ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.【练10】若p ，q ，r 为正整数，其中pq r ，满足方程1p q r pq qr rp pqr .求满足条件的p ，q ，r .尖端课后作业【习1】设71a，则32312612a a a （ ）A .24B .25C .+10D .+12【习2】已知31a，则20122011201022a a a 的值为_______________. 【习3】已知x +y =10，33100x y ，求22x y 的值.【习4】已知：2217a a ，求（1）1aa；（2）1a a；（3）4221a a a .【习5】设a ，b 为有理数，且2232ab ，则ab 的最大值为_______；a +b 的最大值为___________.【习6】设a ，b 为有理数，且a +b =20，则22a b 的最小值为__________；ab 的最大值为__________.【习7】若实数a ，b ，c 满足2229ab c ，则代数式222()()()a b b c ca 的最大值是（ ）A .27B .18C .15D .12【习8】方程222334xxyy 的整数解（x ，y ）的组数为（ ）A .3B .4C .5D .6【习9】若223894613Mx xyy x y （x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ）A .正数B .负数C .零D .整数【习10】已知实数a ，b ，才满足a +b +c =0，abc =8，那么111+a b c的值（ ） A .是正数 B .是零 C .是负数 D .正、负不能确定。
北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用大全
北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用大全活用乘法公式乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．一、对号a、b，正确运用例1计算(-2+3x)(-2-3x)．分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用例2计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕= (2x+5)2-(y-z)2= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用例3计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕= (8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用例4计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用例5计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．例6已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17．逆用乘法公式解题1 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b22 完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b23 立方和（差）公式它们是整式运算的重点，又是整个代数计算的基础，所以，同学们不仅要会正向运用，还要熟练地逆向运用．1．逆用平方差公式解原式故选(D)解对分母逆用平方差公式，得分母=(100319912-1)+(199319932-1)=19931992×19931990+19931994×19931992 =19931992×[(19931992-2)+(19931992+2)] =2×199319922例3 计算19902-19892+19882-19872+…+22-1解原式=(19902-19892)+(19882-19872)+…+(22-1)=(1990+1989)+(1988+1987)+…+(2+1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=19810452．逆用完全平方公式例4计算1.23452+0.76552+2.469×0.7655解原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4例5已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，则a2+b2+c2-ab-b c-c a 的值是_______．解逆用完全平方公式得3．逆用立方和（差）公式例6 已知a+b=2，那么a3+6ab+b3=______解原式=a3+b3+6ab=(a+b)(a2-ab+b2)+6ab=2(a2-ab+b2)+6ab=2a2+4ab+b2=2(a+b)2=2×22=8解设a=11111，则4．逆用多个公式例8若a=19952+19952·19962+19962求证：a是一个完全平方数．证明a=19952+19952×19962+19962=19952×19962+19952-1+19962+1=19952×19962+1996×1994+19962+1=19952×19962+1996(1994+1996)+1=(1995×1996)2+2·1995·1996+1=(1995×1996+1)2∴a是一个完全平方数例9已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，这两个数是[ ] A．41,48 B．45,47C．43,48 D．41,47解724-1=(712+1)(76+1)(73+1)(73-1)=(712+1)(76+1)(7+1)(72-7+1)(7-1)(72+7+1)=(712+1)(76+1)×8×43×6×57=(712+1)(76+1)×43×48×57故应选(C)活用乘法公式的“八先”运用乘法公式可使乘法运算简捷，但有些多项式相乘不能直接运用公式计算，这时若能先适当变形，使之便于运用公式，则往往可化难为易、避繁就简．一、先结合后用公式例1 计算(a-b+c-d)(a+b-c-d)．分析：两因式中的a，-d分别相同，而b，c分别相反，因而可把第一、四项结合为一组，第二、三项结合为另一组，再用平方差公式计算．解：原式=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]=(a-d)2 -(b-c)2=a2 -2ad+d2 -b2 +2bc-c2．二、先活用运算律后用公式分析：本题虽可利用平方差公式计算，但若能利用乘法交换律与结合律适当变形，改用立方和与立方差公式计算较简便．三、先逆用法则后用公式例3 计算(x-y)2 (x+y)2 (x2 +y2 )2．分析：若顺向先平方展开再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则(abc)2 =a2b2c2，再利用平方差公式计算较简捷．解：原式=[(x-y)(x+y)(x2 +y2 )]2=[(x2 -y2 )(x2 +y2 )]2=(x4 -y4 )2=x8-2x4x4 +y8．四、先拆项后用公式例4 计算(2x+5y-3)(-2x+5y+5)．分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但若把“-3”拆为“-4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见．解：原式=(2x+5y-4+1)(-2x+5y+4+1)=[(5y+1)+(2x-4)][(5y+1)-(2x-4)]=(5y+1)2 -(2x-4)2=25y2 +10y-4x2 +16x-15．五、先增添因式后用公式例5 计算(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)．分析：若直接相乘将繁杂冗长，注意到各因式具有立方差公式中第二个因式的结构特征，因而先增添因式(2-1)，再用公式简捷运算．解：原式=(2-1)(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)=(23 -1)(26+23 +1)(218+29+1)=(29-1)(218+29+1)=22 7-1．六、先换元后用公式例6 计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)．分析：注意到1+4=2+3这个特征，因而可先换元然后运用公式计算．解：原式=(x+1)(x+4)](x+2)(x+3)]=(x2 +5x+4)(x2 +5x+6)设a=x2 +5x+5，则原式=(a-1)(a+1)=a2 -1=(x2 +5x+5)2 -1=x4 +10x3 +35x2 +50x+24．说明：本解法用到了公式(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc．七、先变换所求式后用公式例7 a=1998x+1997，b=1998x+1998，c=1998x+1999，那么a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca 的值是______．分析：注意到所求式的2培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然后应用公式计算．解：由已知，得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则八、先添项后用公式例8 若(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0，则x+z-2y+1999=_______．分析：注意到已知式中4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中2ab的形式，因而在(z-x)2中添项“-y+y”，把它变形为[(z-y)+(y-x)]2，然后运用公式计算．解：∵(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=[(z-y)+(y-z)]2 -4(z-y)(y-x)=(z-y)2 -2(z-y)(y-x)+(y-x)2=[(z-y)-(y-x)]2 =(x+z-2y)2 =0，∴x+z-2y=0．∴x+z-2y+1999=0+1999=1999．。
乘法公式应用八字口诀
乘法公式运用“八字诀”乘法公式是初一数学中的重要内容，应用十分广泛.解题时，若能根据题目特点灵活运用，则能达到迅速解题的目的.1.套：分淸题中哪些数或式可以看作公式中的a、b,对号入座，直接套用公式.例1 ・计算：(4X2--)(-+4X2)・2 2分析：此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项4/,另外一项一丄与丄互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此.可直接套用平方差公式.2 2解:(4x2 --)(-+4X2)=(4X2)2-(-)2=16X4-2 2 2 42.连：连续应用乘法公式.例2.计算：(a -b)(a + b)(a2 +b2)(a4 + b4 )(r/8 + Z?8)分析：本题可以连续应用平方差公式来计算.解：原式=(R -b2\a2 +b2Xa4 +b4X«8+b*) = (a4 -b4)(a4 +b)(小 +胪)3.逆：有些题目正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单.例4.计算:(2a + -)2-(--4a)23 3分析：若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的+ 与3 “匕-虻分别视为平方差公式中的a、b,逆用平方差公式，则运算简便.34.选：有的题目能用几个公式计算，应选用哪个公式计算，这就要仔细观察全盘考虑, 合理选用公式，才能使运算简便.例4.计算：(a-l)2(a + l)2(a2-a + l)2(a2 +a + l)2分析：此题若将四个因式都按完全平方公式展开再相乘，则运算相当繁琐，若先应用乘法的交换律和结合律再逆用积的乘方法则，然后利用立方和(差)公式来解，便可化繁为简.解：原式=[(“ -1)(/ +a + 1)]2[(6Z + IX/ _a +1)]2 = 3 -1)23 + ])2 =[3 _ [)3 + 1)]2 = @6 _ ])2 = a l2 _ 2沪 + !5.凑：有些题目乍一看不符合公式的结构特征，但经过适当地拼凑，可以变成公式的形式.例5.计算：(2x+y-z + 5)(2x-y + z + 5)分析：利用加法交换律和结合律，将上而的式子拼凑成符合公式的形式.解：原式=[(2x + 5) + (y — z)][(2x + 5)一(y — z)] = (2x + 5)~ —(y— z)~ =4x2 +20x + 25 - v2+2xy-z2.6.拆：将题目中的某些项有目的地进行分拆，使苴符合公式的形式.例6.计算：(2x-3y-l)(-2x-3y + 5)分析：本题中的两个因式不符合乘法公式的特点，因而不能应用平方差公式来解.但若将本题两个因式中的项分别进行拆项完形：将前一因式的“一1”拆成"一3+2”，将后一因式的“5”拆成“3+2”，便可用平方差公式来计算.解：原式=(2x一3y-l)(-2x- 3y + 5) = [(2 - 3刃 + (2x - 3)][(2 - 3y) -(2x-3)]=(2_3y)2 -(2x-3)2=9y2 -12y-4x2 + 12x-5 .7.添：就是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算.例7.计算；(2+ 1)(2'+1)(2°+1)(2*+1) + 1.分析：本题若添上一个因式“ 2 —1 ”后，则可以连续四次运用平方差公式计算.解：原式=(2 -1)(2 +1)(22 +1)(24 + 1X28 +1) + 1 =(22 -1)(22 +1)(24 +1)(28 +1) + 1 = (24 -1)(24 + 1X2S +1) + 1=(2s _ 1X28 +1) + 1 = 2|6-1 + 1 = 2,6.8.活：将公式巧妙变形，活用公式解题.乘法公式的变形有：a1 +b2 = {a+ b)2 - lab, a2 + b2 = (a - b)2 +2ab :_ : ab = —(a+b)2 - —(a-b)2,同学们在运用公式时，不2 4 4应拘泥于公式的形式而要深刻理解、灵活运用.例3.已知a, b为自然数且a+b=40,①求a2+b2的最小值；②求ab的最大值.号0)弓sow—九解:①血+宀0时，a2 +b2的有最小值，最小值为丄x40’=800： V ab = -(a + by --(a-b)2 =2 4 4ab =(匕上f --(«-Z?)2=-X402--(a-b)2 = 400--(«-Z?)2, V (a-b)2 MO,2 4 4 4 4当a=b时,ab有最大值,最大值为400.。
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第二讲 乘法公式应用与拓展
【基础知识概述】
一、
基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2
(a-b)2=a 2-2ab+b 2
变形公式：（1）()2222a b a b ab +=+- （2）()2
222a b a b ab +=-+
（3） ()()222222a b a b a b ++-=+ （4） ()()22
4a b a b ab +--=
二、思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；
② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式。
③ 注意公式的逆用。
④ 2a ≥0。
⑤ 用公式的变形形式。
三、基础练习： 1.填空：
(1)平方差公式(a+b)(a-b)= ；
(2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= .
2.运用公式计算：
(1) (2x-3)2 (2) (-2x+3y)(-2x-3y)
(3) (12m-3)(12m+3) (4) (13
x+6y)2
3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)(a+b)2=a 2+b 2； （ ）
(2)(a-b)2=a 2-b 2； （ ）
(3)(a+b)2=(-a-b)2； （ ）
(4)(a-b)2=(b-a)2. （ ）
6.运用乘法公式计算：
(1) (a+2b-1)2 (2) )132)(132(++--y x y x
四、典型问题分析：
1、顺用公式：
例1、计算下列各题：
①
()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++
② 3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1
2、逆用公式：
例2. ①1949²-1950²+1951²-1952²+……+2011²-2012²
②⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411……⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2201011
③ 1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）
【变式练习】
填空题：① 26a a ++＿＿= 2
__a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+ ②241x ++＿＿=（ 2)
6．x 2+ax+121是一个完全平方式，则a 为（ ）
A ．22
B ．－22
C ．±22
D ．0
3、配方法：
例3．已知：x ²+y ²+4x-2y+5=0，求x+y 的值。
【变式练习】
①已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，求11x y
+的值。
求：（）（）的值。
11212244x x x x +
+②已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。
（天津市竞赛）
③当x = 时，代数式2x 取得最小值，这个最小值是
当x = 时，代数式24x +取得最小值，这个最小值是
当x = 时，代数式()2
34x -+取得最小值，这个最小值是
当x = 时，代数式243x x --取得最小值，这个最小值是
对于2243x x ---呢？
4、变形用公式：
例5. 若()()()240x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。
例6. 如果22223()()a b c a b c ++=++，请你猜想：a 、b 、c 之间的关系，并说明你的理由。
跟进练习：
1、已知：x 2+y 2+4x-6y+13=0，x 、y 均为有理数，求x y 的值。
2. 已知：x 2+3x+1=0。
2. 已知x ，y ，z 满足条件
x y z xy yz zx ++=++=-⎧⎨⎩
310 求：x 2+y 2+z 2
3、已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和2
1⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；
4、已知.,,052422b a b a b a 求=+-++的值。
5、已知51,1=
=+xy y x ，求：（1）;22xy y x +（2）)1)(1(22++y x
6、已知()72=+b a ，()42
=b a —，求22b a +和ab 的值．
7、下面是小明和小红的一段对话：
小明说：“我发现，对于代数式331122(24)(42)44m n m n n n ⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的值，
当2010=n 和2011=n 时，值居然是相等的.”小红说：“不可能，对于不同的值，应该有不同的结果.”在此问题中，你认为谁说的对呢？说明你的理由.
8、若我们规定三角“ ”表示为：abc ; 方框“ ”表示为：（x m + y n ）.
例如： ÷ =1×19×3÷(2 4+31)=3 .请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：
× = ；
（2）代数式：
+ 为完全平方式，则k = ;
(3)解方程：
－ = 6x 2+7 .
1 19 3 3
2 4 1 2 -
3 1 －1 3
4 1 x 3y 2 2 x k y 3 1 3x-2 3x+2 (x+2)(3x-2) 1 2 x y m n a b
c。