3初升高数学衔接知识专题讲座和练习3
数学初高衔接知识讲座
高中数学学习的建议
学习习惯养成 1、培养记录整理学习笔记的习惯，能抓住重点，讲究方法，及时整理 2、培养做好错题整理反思的习惯，能对问题进行分类归纳，总结一般规律 3、培养规范解题推理严谨的习惯，能逻辑紧密，步骤精练，表达准确
三中片区初高中衔接知识讲座
三中实验部
一元二次方程根的分布
函数与方程
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根与二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的关系 方程的根即函数图像与x轴交点的横坐标
根的判别式 b2 4ac 方程有两个不同的根等价于 b2 4ac 0 ，即函数与x轴有两个不同的交点 方程有两个相同的根等价于 b2 4ac 0，即函数与x轴只有唯一交点 方程有无根等价于 b2 4ac 0 ，即函数与x轴无交点
二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图像
1、开口方向a
2、对称轴
x
b 2a
3、判别式
4、端点值
例
已知二次方程 x2 ax a 1 0在0到2内有两个不同的根，求a的取值范围。
判别式 a2 4(a 1) 0 对称轴0 x a 2
2 当x 0时，y a 1 0 当x 2时，y 4 2a a 1 0
0
2
令y 2x2 4x a 4
只需要当 x 2时，y 0即可
2
为什么要学好数学？
1、升学的压力、即时的成就感
2、提升逻辑推理能力，强化理性思维，帮助我们更好地认识事物的本质，认识世界。 牛顿的伟大在于把感性的上帝变成了理性的上帝
3、科学研究必不可少的工具。 研究原子核衰变需要数学建模和函数积分学； 描述电磁波的麦克斯韦方程就依赖于多元函数和偏微分方程； 推演广义相对论离不开黎曼几何； 量子力学需要数学的复合运用，如复变函数、矩阵论等等 ......
初三升高中数学衔接教案讲义大全
初三升高中数学衔接教案讲义大全初三升高中数学衔接教材教案讲义第一讲：数与式的运算——绝对值绝对值的代数意义是：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。
即：当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a。
绝对值的几何意义是：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
两个数的差的绝对值的几何意义是：a-b表示在数轴上，数a和数b之间的距离。
例1：解不等式：x-1+x-3>4.练1：1) 若x=5，则x=5；若x=-4，则x=-4.2) 如果a+b=5，且a=-1，则b=6；若1-c=2，则c=-1.练2：下列叙述正确的是(A)若a=b，则a=b；(B)若a>b，则a>b；(C)若a<b，则a<b；(D)若a=b，则a=±b。
练3：化简：|x-5|-|2x-13| (x>5)。
练4：观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，并回答下列各题：1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？2) 若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1，则A与B两点间的距离可以表示为|a-(-1)|=|a+1|。
3) 结合数轴求得x-2+x+3的最小值为，取得最小值时x的取值范围为x≥5/3.4) 满足x+1+x+4>3的x的取值范围为x>-2/3.阅读理解题：阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|。
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1。
AB|=|OB|=|b|=|a-b|;当AB两点都不在原点时。
①如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|。
初升高衔接讲义数学答案
初升高衔接讲义数学答案一、选择题1. A2. B3. C4. D5. E二、填空题1. 根据题目所给条件，答案为 \( x = 3 \)。
2. 经过计算，\( y = -2 \)。
3. 根据几何图形的性质，周长为 \( 20cm \)。
4. 代入公式计算，面积为 \( 12cm^2 \)。
5. 根据题目要求，答案为 \( \frac{1}{2} \)。
三、计算题1. 根据代数运算法则，计算结果为 \( 7x^2 - 5x + 2 \)。
2. 经过化简，得到 \( (x - 3)^2 + 4 \)。
3. 利用三角函数关系，解得 \( \sin \theta = \frac{3}{5} \)。
四、解答题1. 通过解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，我们可以得到 \( x =\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)。
2. 对于几何问题，我们首先画出辅助线，然后利用相似三角形的性质，得出结论。
3. 在函数问题中，我们分析函数的性质，如单调性、奇偶性，并根据这些性质解答问题。
五、应用题1. 根据题目所给的实际问题，我们设变量 \( x \) 代表相关量，然后建立方程 \( ax + b = c \)，求解 \( x \) 得到答案。
2. 在解决经济问题时，我们利用成本、利润和销售量之间的关系，建立方程并求解。
3. 物理问题中，我们根据牛顿第二定律 \( F = ma \)，结合题目条件，建立方程并求解。
六、证明题1. 利用勾股定理证明直角三角形的斜边最长。
2. 通过相似三角形的性质证明两个三角形相似。
3. 利用三角恒等变换证明 \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)。
七、综合题1. 结合代数和几何知识，我们首先建立方程，然后利用几何图形的性质求解。
2. 在解决函数与方程的综合问题时，我们首先分析函数的图像，然后结合方程求解。
初高中数学衔接讲座课件
概率与统计衔接点
概率初步知识
初中数学中的概率初步知识在高中阶段将更加深入，涉及 到条件概率、事件的独立性等，需要学生掌握概率的基本 思想和方法。
统计初步知识 初中数学中的统计初步知识在高中阶段将更加详细，涉及 到数据的收集与整理、概率分布等，需要学生提高数据处 理和分析能力。
随机变量及其分布
高中数学引入随机变量及其分布，为描述随机现象提供数 学模型，需要学生掌握离散型随机变量及其分布列、连续 型随机变量及其概率密度等知识。
古典概型和几何概型的计算 和应用
02
01
03
统计图表的认识和制作，如 条形图、折线图、扇形图等
数据的收集和整理，包括数 据的来源、数据的分类和整
理方法等
04
05
平均数、中位数、众数等统 计量的计算和应用
03
高中数学新增知识点介绍
函数与导数
一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数等基本函数的图像与性 质。
初高中数学衔接讲座 课件
目录
• 引言 • 初中数学知识点回顾 • 高中数学新增知识点介绍 • 初高中数学衔接点分析 • 学习方法与技巧分享 • 案例分析：成功跨越初高中衔接阶
段
01
引言
目的和背景
帮助学生了解初高中数学知识的差异和联系 01
提高学生的数学素养和综合能力，为高中数学学 02 习打下基础
针对高中数学的特点，指 导学生掌握正确的学习方 法和思维习惯。
个性化辅导
心理疏导
针对不同学生的实际情况， 制定个性化的辅导计划， 帮助学生解决学习困难。
关注学生的心理状态，及 时进行心理疏导，帮助学 生保持积极的学习态度。
案例三：家长如何助力孩子跨越衔接阶段
2021年暑期初升高数学衔接专题讲义
第1讲 乘法公式【基础知识回顾】 知识点1 平方公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++（5）22)312(+-x x归纳总结：【练习1】计算：2(21)x y ++探究二 立方公式的应用【例2】计算：（1）3(1)x + （2）3(23)x -归纳总结：【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -探究三 整体代换【例3】已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x +．归纳总结：【练习3-1】已知2310x x +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x -．【练习3-2】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【课后作业】1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．已知22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为（ ） A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．已知17x y +=，60xy =，则22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： （1）3(3)()27x x -=- （2）3(23)()827x x +=+ （3）26(2)()8x x +=+ （4）3(32)()278a a -=-（5）3(2)()x +=； （6）3(23)()x y -=（7）221111()()9432a b a b -=+ （8）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________． 9．已知2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)n n x x x x --++++=_________________第2讲 因式分解【基础知识回顾】 知识点1 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用． 知识点2 因式分解方法因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．知识点3 常用的乘法公式：（1）平方差公式： ； （2）完全平方和公式： ； （3）完全平方差公式： ．（4）2()a b c ++=（5）33a b +=(立方和公式) （6）33a b -=(立方差公式)【合作探究】 探究一 公式法【例1】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -归纳总结：【练习1】把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2232(2)y x x y -+探究二 提取公因式法与分组分解法【例2-1】把22x y ax ay -++分解因式．【例2-2】分解因式：（1）()()255a b a b -+-； （2）32933x x x +++．【例2-3】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．【例2-4】把2222428x xy y z ++-分解因式．【练习2】分解因式（1）27()5()2a b a b +-+-(2)22(67)25x x --探究三 十字相乘法【例3-1】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++ (3) 226x xy y +-归纳总结：【例3-2】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-归纳总结：【练习3-1】把下列各式因式分解： (1) 2524x x +-(2) 2215x x -- (3) 222()8()12x x x x +-++探究四 拆、添项法【例4】分解因式3234x x -+归纳总结：【课后作业】1．把下列各式分解因式： (1)327a +(2) 38m -(3)3278x -+(4)3311864p q --(5)3318125x y -(6) 3331121627x y c+2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2)33n n x x y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3)22(2)9x x --(4)42718x x --(5)2673x x --(6) 2282615x xy y +-5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3)251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +--(7)66321x y x --+(8) 2(1)()x x y xy x +-+第3讲 根式与根式的运算【基础知识回顾】知识点1 二次根式的概念0)a ≥的代数式叫做二次根式. 知识点2 二次根式性质(1)2(0)a a =≥(2) ||a =(3)0,0)a b =≥≥(4)0,0)a b =>≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 【合作探究】探究一 根式的简化【例1-1】将下列式子化为最简二次根式：（1（20)x <．(3) +归纳总结：【练习1-1】 化简下列各式：（10)a ≥；(2)1)x +≥【例1-2】（1(x =-x 的取值范围是 ；（2=成立的条件是（ ） A.2x ≠ B.0x > C.2x > D.02x <<归纳总结：【练习1-2】（1）= ；（2）若b =，求a b +的值．探究三有理化因式和分母有理化【例3-1】．【例3-2】化简：20162017⋅．【例3-3】化简：（1；（21)x<<．【例3-4】已知x y==22353x xy y-+的值．归纳总结：【练习3】（1＝；（2）若x==．【课后作业】1a =-成立的条件是( )A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <|6|x -的值是( )A ．－3B ．3C ．－9D ．93．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)：(1)(2)a(3)(4)+-4．化简：(1) 102m(2)0)x y >>5．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．6．设x =，求4221x x x ++-的值．7．化简或计算：(1) 3+÷(2)+(3)-第4讲 分式运算【基础知识回顾】知识点1 分式的意义与性质形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB 为分式．当M ≠0时，分式AB 具有下列性质：A A MB B M ⨯=⨯； A A M B B M ÷=÷．知识点2 繁分式像abc d +，2m n p m n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【合作探究】探究一 解分的化简与求值 【例1-1】代数式1111++x 有意义，则x 需要满足的条件是_________.【例1-2】若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．归纳总结：【练习1】化简：2112111x x x x x +--++-探究二 列项相消【例2】（1）试证：111(1)1n n n n=-++（其中n是正整数）；（2）计算：111 1223910+++⨯⨯⨯；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有1111 2334(1)2n n+++<⨯⨯+．归纳总结：【练习2】（1）证明：1111()(21)(21)22121n n n n=--+-+（其中n是正整数）；（2）证明：对任意大于1的正整数n，有1111 1335(21)(21)2n n+++<⨯⨯-+．探究三分式的应用【例3】设cea=，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．归纳总结：【练习3】设cea=，且e＞1，3c2－10ac＋3a2＝0，求e的值．探究四多项式除以多项式【例4】计算)3()3(2 4xxx-÷-归纳总结：【练习4】计算（1）)32()2713103(223-+÷-++xxxxx（2）)1()22(232-÷-+xxx【课后作业】1．对任意的正整数n，1(2)n n=+(112n n-+)；2．若223x yx y-=+，则xy＝（）（A）１（B）54（C）45（D）653．正数,x y满足222x y xy-=，求x yx y-+的值．4．计算1111... 12233499100 ++++⨯⨯⨯⨯．5．已知1453,211221923234+--=-+--=xxxBxxxxA，求：22BA÷6．填空：（1）12a=，13b=，则2223352a aba ab b-=+-；（2）若2220x xy y+-=，则22223x xy yx y++=+；7．计算：1111 132435911 ++++⨯⨯⨯⨯．8．试证：对任意的正整数n，有111123234(1)(2)n n n+++⨯⨯⨯⨯++＜14．第5讲绝对值和绝对值不等式的解法【基础知识回顾】知识点1 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识点2 绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 知识点3 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．【合作探究】探究一 绝对值的性质【例1-1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A ．±2 B ．2 C ．-2 D ．4【例1-2】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例1-3】已知：abc ≠0，且M =a b c a b c ++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能．归纳总结：【练习1】已知a b c，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值探究二 绝对值的应用【例2】若42a b -=-+，则_______a b +=．归纳总结：【练习2-1】练习1：()2120a b ++-=， a =________；b =__________【练习2-2】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋．探究三零点分段法去绝对值【例3】化简代数式24 x x++-归纳总结：【练习3】化简代数式122 y x x=-+-探究四绝对值函数【例4-1】画出1y x=-的图像【例4-2】画出122y x x=-+-的图象【例4-3】画出函数223y x x=-++的图像【例4-4】画出函数232y x x=-+的图像归纳总结：探究五解绝对值不等式【例5-1】解不等式1 x<．归纳总结：【练习5-1】解不等式：（1）3x<；（2）3x>（3）2x≤【例5-2】解不等式21 x-<．归纳总结：【练习5-2】解不等式：（1）103x-<；（2）252x->；（3）325x-≤；【例5-3】解不等式组240 5132xx⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩．【练习5-3】解不等式1215x≤-<．【例5-4】解不等式：4321 x x->+归纳总结：【练习5-4】解不等式：431x x -≤+．【例5-5】解不等式：215x x ++-<【练习5-5】解不等式：13x x -+-＞4．1．35-=________；3π-=________；3.1415π-=_____；2．2215x y -+-=，4x =，则y =__________．3．若a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数 4．若x x>，那么x 是________数．5．如图，化简22a b b c a c +------=_____________6．已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______．7．化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象8．化简523x x ++-． 9.画出23y x =+的图像10.画出223y x x =-++的图像1.已知6a <-，化简6( )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -2.不等式23x +<的解是 ，不等式1211<-x 的解是______________.3.不等式830x -≤的解是______________.4.根据数轴表示,,a b c 三数的点的位置，化简a b a c b c +++--=___ .5.解不等式329x ≤-<6.解不等式124x x ++-<7.解下列关于x 的不等式：1235x ≤-<8.解不等式3412x x->+9．解不等式：122x x x -+-<+第6讲 一元二次方程根与系数的关系【基础知识回顾】知识点1 一元二次方程的根的判断式ab c一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= (1) 当240b ac ->时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：2b x a -±=(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bx a =-(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=- 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：22b b x x a a -+--==所以：1222b b bx x a a a -+--+=+=-，12244ac cx x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b c x x x x a a +=-=【合作探究】探究一 ∆与根个数之间的关系【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2)24912y y +=(3)25(3)60x x +-=归纳总结：【练习1-1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．【练习1-2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．探究二 一元二次方程的根与系数的关系【例2-1】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．归纳总结：【练习2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．【例2-2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．【例2-2】关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．探究三 一元二次方程的根的范围【例3-1】若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。
【初升高数学衔接教材讲义系列】第03章 一次函数与一次不等式(解析版)
第3章 一次函数与一次不等式【知识衔接】————初中知识回顾————1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。
（1）它的图象是一条斜率为k ，过点（0，b ）的直线。
（2）k>0⇔是增函数；k<0⇔是减函数。
2、不等式ax>b 的解的情况：（1）当a>0时，ab x >； （2）当a<0时，a b x <； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。
类似地，请同学们自行分析不等式ax <b 的解的情况。
————高中知识链接————一次函数y =kx +b （k ≠0，b ≠0）的图象所经过的象限有四种情况：①当k >0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；②当k >0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k <0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k <0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限．一次函数y =kx +b (k ≠0)中，|k |越大，直线y =kx +b 越靠近y 轴，即直线与x 轴正半轴的夹角越大；|k |越小，直线y =kx +b 越靠近x 轴，即直线与x 轴的夹角越小．学#科网【经典题型】初中经典题型1．一次函数y ＝(m －2)x ＋3的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ）A．m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜0 D．m＞2【答案】A【解析】如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，∴m﹣2＜0，解得m＜2，故选A．2．如图，把Rt∆ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将∆ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．82【答案】C3．已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为_____．【答案】(,)【解析】分析：利用待定系数法求出点A坐标，再利用轴对称的性质求出点B坐标即可；详解：由题意A（-，），∵A、B关于y轴对称，∴B（，），故答案为（，）．4．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是__千米．【答案】1．5．【解析】分析：首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k、b的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t=45代入即可．点睛：本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．5．一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出不等式组的解集，再在数轴上表示. 详解：解不等式组得－3＜x ≤2，在数轴上表示为：故选D .点睛：解一元一次不等式组，通常采用“分开解，集中定”的方法，即单独的解每一个不等式，而后集中找它们的解的“公共部分”．在找“公共部分”的过程中，可借助数轴或口诀两种方法确定不等式组的解集．其中确定不等组解集的方法为：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”．在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，不含等号取空心圆圈.6．若实数3是不等式2x –a –2<0的一个解，则a 可取的最小正整数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】解：根据题意，x =3是不等式的一个解，∴将x =3代入不等式，得：6﹣a ﹣2＜0，解得：a ＞4，则a 可取的最小正整数为5，故选D ．学-科网点睛：本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解得定义及解不等式的能力是解题的关键．高中经典题型1．若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值之差为2，则实数a =（ ）A ． 2B ． 2-C ． 2或2-D ． 0【答案】C【解析】1y ax =+，若0a =，则y 的最大与最小之差为0（舍），若0a >，则()()max 221f x f a ==+，()()min 11f x f a ==+，则()2112a a a +-+==（符合），若0a <，则()()max 11f x f a ==+， ()()min 221f x f a ==+，则()1212a a a +-+=-=，则2a =-（符合），故选C ． 2．若()()0f x ax b a =+>,且()()41ff x x =+，则()3f =__________． 【答案】193【解析】由()()()241f f x af x b a x ab b x =+=++=+， ()24,10a ab b a ∴=+=>，解得()112,,233a b f x x ==∴=+，于是()1933f =，故答案为193． 3．如图，已知函数f(x)的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是______________．【答案】 (－1，－ 12)∪[0,1)4．已知函数()()()110f x ax x a a =+->，且()f x 在[]0,1上的最小值为()g a ，求()g a 的最大值． 【答案】1【解析】试题分析：（1）由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，分三种情况讨论，即可求解函数的最小值，得出()g a 的表达式，即可求解()g a 的最大值． 试题解析：由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（1）当a 1>时， 1a 0a ->，此时()f x 在[]0,1上为增函数，∴()()1g a f 0a ==；（2）当0a 1<<时， 1a 0a-<，此时()f x 在[]0,1上为减函数，∴()()g a f 1a == ；（3）当a 1=时， ()f x 1=，此时()g a 1=，∴(),01,g a { 1,1,aa a a <<=≥其在()0,1上为增函数，在[)1,∞上是减函数，又当a 1=时，有1a 1a==，∴当a 1=时， ()g a 取得最大值1． 点睛:本题考查了函数最值问题及其应用，其中解答中涉及到一次函数的单调性的应用，以及分段函数的性质，同时考查了分类讨论的思想方法，本题的解答中注意1a =的情况，容易导致错解，试题有一定的基础性，属于基础题．5．(1)求函数y ＝ax ＋1(a≠0)在[0，2]上的最值．(2)若函数y ＝ax ＋1在[0，2]上的最大值与最小值之差为2．求a 的值．【答案】(1)详见解析;(2) a ＝±1．6．某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．学-科网（1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离．2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2)利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1。
求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4。
求不等式｜x ＋2｜＋｜x －1|＞3的解集．例5。
解不等式｜x －1|＋|2－x ｜＞3－x ．例6。
已知关于x 的不等式｜x －5|＋｜x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x（2）｜x +1｜<｜x －2| （3）｜x －1｜+|2x +1|<4 (4）327x -<（5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3)22()x a b xy aby -++； (4)1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式:（1）()()b a b a -+-552(2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1)x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c （a ≠0）的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．练习(1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4)24129m m -+ （5)2576x x +- (6）22126x xy y +-(7）()()3211262+---p q q p (8）22365ab b a a +- (9)()22244+--x x（10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a （13）x 2－2x －1（14) 31a +； （15）424139x x -+;（16）22222b c ab ac bc ++++； （17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 （1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有：（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2）根与系数的关系（韦达定理)如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -,x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1。
初升高数学课程内容(衔接班)
【知识要点】一、一元二次不等式：1、解法步骤：（1）分解成一次因式的积，并使每一个因式中一次项的系数为正；（2）根据不等号取解集：大于号取两边，小于号取中间。
一元高次不等式的解法：穿根法（穿针引线）：将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线（奇数个根穿过，偶数个根穿不过），再根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
2、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔0a <⎧⎨∆<⎩．二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后转化成整式不等式求解集。
1.()0()f x g x >⇔()()0f x g x ⋅>；()0()f xg x <⇔()()0f xg x ⋅<2.()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩；()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩三、含绝对值的不等式的解法（大于取两边，小于取中间）：|()|f x a <，（0a >）⇔()a f x a -<<|()|f x a >，（0a >）⇔()()f x a f x a<->或【知识讲练】1、解下列不等式：(1)27120x x -+>(2)2230x x --+≥（3）2(1)(3)(2)0x x x --+≥解不等式（4）307x x -≤+（5）2317x x -<+（6）25023xx x -<--（7）|2x －1|≤3（8）223->-x x （9）|1|12+>-x x 2、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a ++>的解集．3、对于任意实数x ，不等式23208kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是【巩固练习】1、不等式02<+-b x ax 的解集为{}12x x <<，则a b +=2、不等式32-+x x x ）（＜0的解集为3、不等式221x x +>+的解集是（）A.{}101|><<-x x x 或 B.{}101-|<<<x x x 或C.{}1001|<<<<-x x x 或 D.{}11-|><x x x 或（－∞，－1）∪（1，+∞）4、已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（）A、11{|}32x x -<<B、11{|}32x x x <->或C、{|32}x x -<<D、{|32}x x x <->或5、（1）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域是R,则k 的取值范围是（2）已知函数1)(2--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为【知识要点】1、集合定义：某些指定的对象集在一起成为集合。
初升高衔接数学讲义
第1章 代数式与恒等变形四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
初高中数学衔接讲座及中考题
四.中考阅卷的基本要求
规范中考数学答题书写策略 在中考总复习中发现，学生每次考试后感觉不错，可 卷子发下来却是分数不高，仔细一检查，原来有多处因答题 不规范而被扣分，这是学生普遍存在的问题， 造成严重丢分。 常见的不规范作答如：
1.字迹潦草：字迹过淡的情况不少。在计算机中阅读扫描后的考生答题卡，没 有平时纸质阅卷那么清晰易认，加上阅卷时间短、任务重，因此字迹不清楚的 试卷是不受阅卷教师欢迎的。 2.题号与作答不符 3.超出规定区域答题 4.答案分块：有的学生答案布局不合理，内容分成了几块。东一块西一块现象 容易导致阅卷教师漏阅得分点，造成得分过少的现象。
请你观察上述各式，根据你发现的规律填空：
i4n+1 =
，i4n+2 =
，i 4n+3 =
，i 4n+4 =
(n为自然数)。
b 例12：阅读下面材料，并解答下列各题：在形如 的式子中， 我们已经研究过两种情况： ①已知a和b，求N，这是乘方运算；②已知b和N，求a，这是开方运算； 现在我们研究第三种情况：已知a和N,求b，我们把这种运算叫做对数运算。 算。定义：如果 a b N （a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数， 记为 衔接知识点：高中数学对数运算
教学格言:努力以自己的教学美,开启学生学习的乐与思
初四专题研讨课 初高中知识衔接的一点看法
第二十三中学 王丽馨
主要内容
主要内容
一 初高中有哪些衔接知识点 二 关于衔接知识点命题趋势及初中教学 的一点想法 三 在对待渗透高中数学知识的中考题时 要注意哪些方面 四 中考阅卷反映出的问题和应对策略
一：初高中链接知识点
11 即 165 S 165 . ∴S的整数部分是165. 12
初升高数学衔接知识专题讲座4
2 2
sin C cos C 1 得：
2 2
∴ 17 cos 2 C 32 cos C 15 0
0 C 180
15 17
∴ cos C 1 或 ∴ cos C 1
15 17
又∵ ∴
cos C
【模拟试题】
1. 口算cos 135
2
1
②若
tan
； ， 150 3
3
③ 若 sin ⑤ 若 tan
45或 135
2
3 ； ④ 若 sin ，则 5
cos
4 5
；
，则 2
sin 5。
5
3. 已知 R为
ABC外接圆半径，求证：面积 S
abc 4R
提示：利用公式 4.
1 2
1 2
3
2 2
-
0
∞
1
1
3
3 3
∞
1
-
-1
-1
-
3
3 3
3
重点、难点
2. 三角形面积公式
海伦公式： S
S 1 2 ab sin C 1 2 bc sin A 1 2 ca sin B abc 2
p ( p a )( p b )( p c ) 其中： P
ABC 中面积 S
S
1 2
ab sin C
2
和
2
c sin C
2R
1 4
(a
2
b c ) ，求 C大小。
提示：利用公式 解得 C 45
(完整版)2019届初高中数学衔接知识点及习题
初高中数学衔接呼应版块
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“ 1”的分解，对系数不为“ 1”的涉及不多 ,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不 作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到 ,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二 次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
与 3 6 ， 2 3 3 2 与 2 3 3 2 ，等等． 一般地， a x 与 x ， a x b y 与 a x b y ， a x b 与 a x b 互为有理
化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子
的有理化因式，化去分子中的根号的过程
10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
-1-
平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.４．分式 1． 2 分解因式
2
-3-
. 例如
1．分母（子）有理化
平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次
初升高数学衔接知识专题讲座和练习3
初升高数学衔接知识专题讲座和练习3重、难点：不等式的性质【典型例题】[例1] 29.0=a ，︒=46tan b ，︒-︒=44cos 44sin c ，试比较a 、b 、c 大小。
解：b a c <<<<10 ∴ c a b >>[例2] 比较2、33、55的大小。
解：∵ 8)2(6= 9)3(63= ∴332< ∵ 32)2(10= 25)5(105= ∴552> ∴ 35325<<[例3] 设50≤<a ，b 、0>c ，且c b a a 222+=-和322-=+c b a 同时成立，试比较a 、b 、c 大小。
解：易知03242>--=a a b ，故1-<a 或3>a ∴ 53≤<a ，342+=a c∴ 0)3)(1(44>--=-a a a c ，a c >012)3(442<--=-a a b ∴ b a c >>[例4] 已知1)1(22+<+m a 对任意实数m 都成立，求a 的取值范围。
解：∵ 12+m 的最小值为1 ∴ 1)1(2<+a ，21-<a[例5] 给出四个条件：① a b >>0 ② b a >>0 ③ b a >>0 ④ 0>>b a 问其中哪些条件可以推出结论b a 11<？ 解：①、②、④[例6] 解不等式：m x ≥+1（m 为字母系数）解：（1）0≤m 时，只须01≥+x ，1-≥x（2）0>m 时，有⎩⎨⎧≥+≥+2101m x x ∴ 12-≥m x【模拟试题】1. 比较大小：︒=89sin a ，︒=45tan b ，︒=1cos 1c 2. 已知a x ≤对任意43≤≤-x 都成立，求a 的取值范围。
3. 解关于x 的不等式：a x ≥-12（a 为系数）4. 解不等式① 011<+-x x ② 03>+xx 5. 已知：1>ab ，1>bc ，1>ca ，求abc 的取值范围。
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初升高数学衔接班第3讲
高中数学入门（三）
重、难点
不等式的性质
【典型例题】
[例1] 29.0=a ，︒=46tan b ，︒-︒=44cos 44sin c ，试比较a 、b 、c 大小。
解：b a c <<<<10 ∴ c a b >>
[例2] 比较2、33、55的大小。
解：∵ 8)2(6= 9)3(63= ∴
332< ∵ 32)2(10= 25)5(105= ∴ 552> ∴ 35325<<
[例3] 设50≤<a ，b 、0>c ，且c b a a 222+=-和322-=+c b a 同时成立，试比较
a 、
b 、
c 大小。
解：易知03242>--=a a b ，故1-<a 或3>a ∴ 53≤<a ，342+=a c
∴ 0)3)(1(44>--=-a a a c ，a c >
012)3(442<--=-a a b ∴ b a c >>
[例4] 已知1)1(22+<+m a 对任意实数m 都成立，求a 的取值范围。
解：∵ 12+m 的最小值为1 ∴ 1)1(2<+a ，2
1-<a
[例5] 给出四个条件：① a b >>0 ② b a >>0 ③ b a >>0 ④ 0>>b a 问其中哪些条件可以推出结论
b
a 11<？ 解：①、②、④
[例6] 解不等式：m x ≥+1（m 为字母系数）
解：
（1）0≤m 时，只须01≥+x ，1-≥x （2）0>m 时，有⎩⎨⎧≥+≥+2101m
x x ∴ 12-≥m x
【模拟试题】
1. 比较大小：︒=89sin a ，︒=45tan b ，︒
=1cos 1c 2. 已知a x ≤对任意43≤≤-x 都成立，求a 的取值范围。
3. 解关于x 的不等式：a x ≥-12（a 为系数）
4. 解不等式① 011<+-x x ② 03>+x
x
5. 已知：1>ab ，1>bc ，1>ca ，求abc 的取值范围。
【试题答案】
1. c b a <<
2. 4≥a
3. 解：即a x +≥12
（1）1-≤a 时解集为全体实数
（2）1->a 时解集为a x +≥1或a x +-≤1 4.
（1）11<<-x （2）3-<x 或0>x
5. 提示：三式相乘得1)(2>abc ，故1>abc 或1-<abc。