2017届内蒙古包头市第一中学高三第四次模拟考试数学(文)试题

包头一中高三年级2017年高考第四次模拟考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}224,log 1M x x N x x =≤=≤，则M N ⋂=（ ） A ．[]2,2- B ．{}2 C ．(]0,2 D ．(],2-∞ 2.若复数z 满足334z i i i ⋅-=+,则z 的共轭复数为( ) A ．i 53- B. i 53+ C. i 35- D. i 35+ 3.已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4tan 3x =-，则()sin x π+等于（ ）A ．35 B ．35- C ．45- D ．454.某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全国大联考统考（后称统考）的32所学校进行抽样调查；将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法，抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是（ ） A ．3 B ．1 C.4 D ．25.在空间中，设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，，，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则必不垂直于6.已知()2,1A ，()0,0O ，点(),M x y 满足，12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则→→∙=AM OA z 的最大值为（ ）A ．-5B ．-1 C.0 D ．1 7、已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个 直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ）A ．126+πB ．246+πC ．1212+πD ．1224+π 8.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若B C bc b a sin 32sin ,322==-，则角A 为（ ）A ． 30B ． 60 C. 120 D ． 1509、如图甲所示的茎叶图为高三某班60名学生第一次数学模考的成绩,程序框图(图乙)中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩,则输出的k n m ,,分别是（ ）A ．11,31,18===k n m B. 9,33,18===k n m C. 9,30,20===k n m D. 11,29,20===k n m10．在ABC ∆中，5AB =， 12AC =，13BC =，一只小蚂蚁从ABC ∆的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与ABC ∆各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在ABC ∆内任意行动时安全的概率是（ ） A ．14 B ．49 C ．12 D ．2311、设1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ∙=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．94D ．312、已知函数()()()2102x f f f x e x x e'=+-，若存在实数m 使得不等式()22f m n n ≤-成立，求实数n的取值范围为（ ） A. ][1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B. ][1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C. ][1,0,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D. ][1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知菱形ABCD 的边长为2，=60ABC ∠，点E 满足→→=BC BE 21，则→→∙AD AE = ．14．已知过点()4,2的直线l 被圆0542:22=---+y x y x C 截得的弦长为6，则直 线l 的方程为 ．15．下列命题中，正确的命题序号是 ．①. 已知a R ∈，两直线1:1,l ax y += 2:2l x ay a +=，则“1a =-”是“12//l l ”的充分条件；②. 命题:p “0x ∀≥，22x x >”的否定是“00x ∃≥，0202x x <”；③.“1sin 2α=”是“2,6k k Z παπ=+∈”的必要条件； ④. 已知0,0a b >>，则“1ab >”的充要条件是“1a b>” ．16.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=________。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知公比小于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2372a S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设)1(log 12+-=n n Sb ，若13352121111521n n b b b b b b -++++=…，求n .18. （本小题满分12分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？19. （本小题满分12分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2。

（1） 求证：DE ∥平面A 1CB ； （2） 求证：A 1F ⊥BE ；（3） 线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由。

20. （本小题满分12分）如图，动圆2221:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点。

(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程。

21．（本小题满分12分）已知函数x x f ln )(=，bx ax x g -=2)((a 、b 为常数)．(1)求函数)(x f 在点 (1，)1(f )处的切线方程；(2)当函数g (x )在x =2处取得极值-2．求函数)(x g 的解析式；(3)当21=a 时，设)()()(x g x f x h +=，若函数)(x h 在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的圆心C （，），半径r=．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）若α∈[0，），直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．23.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =++-的最小值为4． （Ⅰ）求a b +的值； （Ⅱ）求221149a b +的最小值．校四摸一、CBDAC DAABA BA二、13．014．02=-x 或01043=+-y x 15． ①③④ 16.65π 三、17.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，2372a S = ，213522a a a =+∴，则22520q q -+=，解得12q =或2q =（舍去）， 故1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫=∙= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）11111112211212n n n S +++⎛⎫- ⎪⎝⎭==-- ，()21log 11n n b S n +=-=--∴， ()()21211111122241n n b b n n n n -+⎛⎫==- ⎪---+⎝⎭∴，1333212111111111111114223141n n b b b b b b n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……， 又11514121n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，得20n =. 18.（Ⅰ）0．2；（Ⅱ）0．3；（Ⅲ）同时购买丙的可能性最大．【解析】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．（Ⅰ）由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数，计算出概率；（Ⅱ）先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的人数，再计算概率；（Ⅲ）由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为，顾客同时购买甲和丙的人数为，顾客同时购买甲和丁的人数为，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论．试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这位顾客中，有位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为． （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这位顾客中，有位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率可以估计为．（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得： 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．19.（1）（2）略（3）中点20.(1)5=t ,面积最大，最大面积为6(2))0,3(1922<-<=-y x y x21解：(1)由x x f ln )(=(0>x )，可得xx f 1)(/=(0>x )，∴f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是)1)(1()1(/-=-x f f y ，即1-=x y ，所求切线方程为1-=x y ； (2)∵又g (x )= bx ax -2可得b ax x g -=2)(/，且g (x )在x =2处取得极值-2．∴⎩⎨⎧-==2)2(0)2(/g g ，可得⎩⎨⎧-=-=-22404b a b a 解得21=a ，2=b ．所求g (x )=x x 2212-(x ∈R ) ． (3)∵bx x x x g x f x h -+=+=221ln )()()(，xbx x x h 1)(2/+-=(0>x )．依题存在0>x 使01)(2/<+-=xbx x x h ，∴即存在0>x 使012<+-bx x ，∵不等式012<+-bx x 等价于xx b 1+> (*) 令)0(1)(>+=x x x x λ，∵)0()1)(1(11)(22/>-+=-=x x x x x x λ．∴)(x λ在(0，1)上递减，在[1，∞+)上递增，故2[1)(∈+=xx x λ，∞+) ∵存在0>x ，不等式(*)成立，∴2>b ．所求b 2(∈，∞+)．22．解：（Ⅰ）∵C （，）的直角坐标为（1，1），∴圆C 的直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=3． 化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 … （Ⅱ）将代入圆C 的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3， 即t 2+2t （cosα+sinα）﹣1=0．∴t 1+t 2=﹣2（cosα+sinα），t 1•t 2=﹣1．∴|AB |=|t 1﹣t 2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB |＜2．。