人教A版选修2-2 第二章 第一节 2.1.1合情推理第1课时归纳推理 教案
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理(第一课时)教案 理 新人教A版选修2-2
§2.1.1 合情推理(第一课时)一、教学目标：1、知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
2、过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
3、情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
二、教学重点：归纳推理及方法的总结。
三、教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
四、教学过程：（一）问题情境：1、引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”①提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？②探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
③思考：整个过程对你有什么启发？④启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2、数学皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
这是世界近代三大数学难题之一。
哥德巴赫是一位著名的数学家。
据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，于是他对一些偶数进行验证，由此他大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想，它是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想，而且也取得了很好的进展。
思考：哥德巴赫是如何提出这个猜想的？学生交流、探讨：他是通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例，从而提出这个猜想。
（二）推进新课1、归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
2、归纳推理的特点：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.1.1 合情推理(含答案)
选修2-2第二章 2.1 2.1.1第1课时1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大[答案] A[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4[答案] D[解析]归纳得，四个小动物在换座过程中，每换座四次与原来的一样，即以4为周期，因此在2011次换座后，四个小动物的位置应该和第三次换座后的位置一样，即小兔的座位对应的编号为4，故选D.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是()①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列{a n}的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[答案] D[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p .5．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．。
高中数学人教A版选修2-2 第二章2.1.1归纳推理
2.1.1归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、引入新课归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。
归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。
也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理(二)、例题探析例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。
解：考察一些多面体，如下图所示：将这些多面体的面数（F）、棱数（E）、顶点数（V）列出，得到下表：多面体面数（F）棱数（E）顶点数（V）三棱锥 4 6 4四棱锥 5 8 5五棱锥 6 10 6三棱柱 5 9 6五棱柱7 15 10立方体 6 12 8八面体8 12 6例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。
解：考虑单位面积的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形，它们的周长分别记作：3p ，4p ，6p ，8p ，可得下表：图形面积一定，圆的周长最小。
2019-2020人教A版数学选修2-2 第2章 2.1 2.1.1 合情推理课件PPT
_某__些__已__知__特__征__，推出另一 类对象也具有 这些特征 的
理，称为归纳推理(简称归纳)
推理称为类比推理(简称 _类__比___)
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特征
归纳推理是由 部分到整体、 类比推理是由特殊到特殊的
由 个别 到 一般的推理
推理
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思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ [提示] 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和 结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正 确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究 中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为 ________．
(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋ 1(n∈N*)．
①求a2，a3，a4的值；
②猜想an的表达式．
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(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋ 2 1 (2)f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x [(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， … 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1nn＋ 2 1.
x f5(x)＝f4(f4(x))＝1－18－ ×18－xx8x＝1－x16x，
根据前几项可以猜想fn(x)＝1－2xn－1x.]
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(3)[解] ①因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)， 所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝32， 又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋32，解得a3＝34， 又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋32＋34， 解得a4＝38.
高中数学(人教选修2-2)配套课件第二章 2.1 2.1.1 合情推理
自测 自评
2．下面使用的类比推理中恰当的是( )
A．“若 m·2＝n·2，则 m＝n”类比得出“若 m·0＝n·0，则 m＝n”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)”
栏 目 链
接
D．“(pq)n＝pn·qn”类比得出“(p＋q)n＝pn＋qn”
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
栏 目 链 接
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行
简单的推理．
栏
目
链
2．用归纳和类比进行推理，作出猜想．
接
栏 目 链 接
基础 梳理
1 ． 归 纳 推 理 是 由 _某_类__事_物__的__部_分__对__象____ 具 有
式或探求数列的前 n 项和公式．
跟踪 训练
1．(2013·临沂高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图所
示：
栏 目 链 接
按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴的根数
为( )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
跟踪 训练
解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图
中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火
解析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111. 故选B.
答案：B
基础 梳理
2．归纳推理包括不__完__全_归__纳_法___和_完__全_归__纳__法__．
3 ． 由 ____两__类__对_象__具_有__某__些_类__似_特__征______________
人教A版选修2-2 第二章 第一节 2.1.1合情推理第2课时类比推理 教案
§2.1.1合情推理第2课时类比推理教学目标：1．了解类比推理这一种合情推理的基本方法，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比进行一些简单的推理；2．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：类比推理及方法的总结；教学难点：类比推理的含义及其具体应用．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？(二)、探究新知，揭示概念为回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家所作的猜想。
科学家找出了火星和地球的相似点：绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。
然后由地球上有生命Array问题：上述推理基本步骤是什么？上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．（三）、分析归纳，抽象概括类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶ 检验猜想。
即（四）、知识应用，深化理解例1．试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积猜想新结论例2.根据实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。
人教a版数学【选修2-2】2.1.1《合情推理》ppt课件
牛刀小试 1．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( A．3 B．－3 C．6 D．－6 [答案] A
)
[解析] a3＝a2－a1＝6－3＝3， a4＝a3－a2＝3－6＝－3， a5＝a4－a3＝－3－3＝－6， a6＝a5－a4＝－6－(－3)＝－3， a7＝a6－a5＝－3－(－6)＝3， a8＝a7－a6＝6. 归纳猜想该数列为周期数列，且周期为6，所以a33＝a6×5＋3 ＝a3＝3，故应选A.
(3)∵2 Sn＝an＋1， ∴2 S1＝a1＋1，即 2 a1＝a1＋1，∴a1＝1. 又 2 S2＝a2＋1，∴2 a1＋a2＝a2＋1， ∴a2 2－2a2－3＝0. ∵对一切的 n∈N*，an＞0，∴a2＝3. 同理可求得 a3＝5，a4＝7，猜测出 an＝2n－1.
[解析] (1)由已知有a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜测出an＝2n＋1－1，n∈N* (n≥2)．
(2)由已知有 a1＝a， 2－a 1 1 1 a2 ＝ ＝ ，a3＝ ＝ ， 2－a1 2－a 2－a2 3－2a 3－2a 1 a4 ＝ ＝ . 2－a3 4－3a n－1－n－2a 猜测出 an＝ .(n≥2) n－n－1a
－1
) B．nn D．(2n)2
[答案] B
1 4 x x 4 [解析] 由 x＋x ≥2，x＋x2＝2＋2＋x2≥3， b x x x b 可推广 x＋x3＝3＋3＋3＋x3≥4，知 b＝33， a x x x a 所以对于结论 x＋xn＝n＋n＋…＋n＋xn≥n＋1 知 a＝nn， 故 应选 B.
人教A版数学选修2-2课件 第二章 推理与证明 2.1.1合情推理精选ppt课件
(2)平面图形与空间几何体的类比方向．
平面图形
空间几何体
二维平面
三维空间
线
面
线段的长度
相应面的面积
面积
相应几何体的体积
两线的夹角
两平面的二面角
线垂直
面垂直
线平行
面平行
三角形
四面体
圆
球
[变式训练] 在 Rt△ABC 中，若∠C＝90°，AC＝b， BC＝a，则△ABC 的外接圆半径为 r＝ a22＋b2.试把上面 的结论类比到空间，写出相应的结论．
[变式训练] 已知数列{an}，满足 a1＝1，an＋1＝2an ＋1(n＝1，2，3，…)．归纳猜想出数列{an}的通项公式 an＝______________．
解析：由 a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－
1， a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出 an＝2n－1(n∈N*)． 答案：2n－1(n∈N*)
又 2 S2＝a2＋1，所以 2 a1＋a2＝a2＋1， 所以 a22－2a2－3＝0.因为对一切的 n∈N*，an＞0， 所以 a2＝3.同理可求得 a3＝5，a4＝7，猜测出 an＝2n －1. 答案：2n－1
归纳升华 归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功 能，在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通项公 式或前 n 项和公式，其具体步骤是：(1)通过条件求得数 列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜 测数列的通项公式并加以证明．
易错提示：三角形的内角类比到空间中可以是线面 角，也可以是面面角，三角形的边类比到空间中是四面体 的棱还是面，具有不确定性，这些可能是导致出错的原因．
防范措施：三角形的内角类比到四面体中是面面角； 三角形中的射影定理等式右边是边长与角的余弦值相 乘，类比到空间中，应该是面积与面面角的余弦值相 乘．这些类比具有不确定性，要根据实际情况认真分 析．一般情况下，类比的结果要进一步判断其真假．
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：2.1.1合情推理
【解题探究】写出前4项，通过观察，发现相应的规律．
【解析】(1)由已知，可得 a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想 an＝2n＋1－1，n∈N*.
(2)由已知，可得a1＝a，a2＝2－1a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝32－－2aa，a4＝2－1 a3＝34－－23aa. 猜想an＝n－n－1－n－n1－a2a(n∈N*)． (3)∵2 Sn＝an＋1，∴2 S1＝a1＋1，即2 a1＝a1＋1. ∴a1＝1.又2 S2＝a2＋1，∴2 1＋a2＝a2＋1. ∵对一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7.猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
【答案】（1）C （2）f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x 【解析】（1）利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1 ＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18， a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝ 76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为 前两组结果的和．
长，h是该边上的高，则三角形的面积是 12 ah，如果把扇形的弧
长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积
为
1 2
lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…
＋(2n－1)＝n2.(1)(2)两个推理过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、类比推理
a.在正四面体ABCD内有
人教A版选修2-2 2.1.1 合情推理 (1) 教案
教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用．2．掌握归纳推理的一般步骤．3．能利用归纳进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．教学难点：用归纳进行推理，做出猜想．教学过程：一、创设情境从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．下面我们来看3个推理案例：案例1 前提 当0n ＝时， 21111n n －＋＝； 当1n ＝时，21111n n －＋＝； 当2n ＝时，21113n n －＋＝； 当3n ＝时，21117n n －＋＝；当4n ＝时，21123n n －＋＝； 当5n ＝时，21131n n －＋＝．11，11，13，17，23， 31都是质数． 结论 对于所有的自然数n ，211n n －＋的值都是质数．案例2 前提 矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和．结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．案例3 前提 所有的金属都能导电，铜是金属．结论 铜能导电．三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、构建新知在案例1中，由“对自然数n 的几个特殊值，211n n －＋都是质数”，推出“对所有自然数n ，211n n －＋都是质数．”我们再看几个类似的推理实例：1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．2．三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒．归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．归纳推理的思维过程：三、数学运用例1 已知数列{a n }的每一项均为正数，221111(12)n n a a a n ＋＝，＝＋＝，，L ，试归纳出数列{a n }的一个通项公式．分析 学生通过具体的：当1n ＝时，11a ＝，当2n ＝时，2a ，当3n ＝时，2a 由此我们猜想{a n }的一个通项公式为n a ．例2 已知数列{a n }的通项公式21()(1)n a n n +N ＝∈＋， 12()(1)(1)(1)n f n a a a ⋅⋅⋅＝－－－．试通过计算(1)(2)(3)f f f ，，的值，推测出()f n 的值．分析 学生讨论结果预测如下：113(1)1144f a ＝－＝－＝ 1213824(2)(1)(1)(1)(1))94936f a a f ⋅⋅＝－－＝－＝＝＝ 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168f a a a f ⋅⋅＝－－－＝－＝＝ 由此猜想，2()2(1)n f n n ＋＝＋ 四、学生探究 1．已知111()1()23f n n n +⋅⋅⋅N ＝＋＋＋＋∈，经计算：3(2)2f ＝，(4)2f ＞，5(8)2f ＞，(16)3f ＞，7(32)2f ＞，推测当2n ≥时，有_______________________． 2．已知：2223sin 30sin 90sin 1502＋＋＝o o o ，2223sin 5sin 65sin 1252＋＋＝o o o ． 观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．o o o o o o．3．观察（1）tan10tan20tan20tan60tan60tan101＋＋＝o o o o o o．（2）tan5tan10tan10tan75tan75tan51＋＋＝由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．五、课堂总结1．归纳推理的特点：（1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．（2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性．（3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上．提出带有规律性的结论．（4）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．2．归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质．（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）．六、课后作业教材第66页练习第2题，第3题，第4题，第5题．。
最新人教版高中数学选修2-2第二章《合情推理》知识讲解
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理问题导学一、归纳推理及其应用活动与探究1(1)已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 1＋a n(n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的一个通项公式．(2)观察下列各式：1＝1，1＋11＋2＝43， 1＋11＋2＋11＋2＋3＝64， 1＋11＋2＋11＋2＋3＋11＋2＋3＋4＝85． 由上述等式能得出怎样的结论？请写出结论，并证明．迁移与应用1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)，则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．302．(2012陕西高考，理11)观察下列不等式1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个不等式为____________________．(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n 的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n 取具体值1,2,3,4，…，然后求得a 1，a 2，a 3，a 4，…的值或S 1，S 2，S 3，S 4，…的值，根据这些结果进行归纳得到结果．(3)对于图形中的归纳推理问题，这类问题一般涉及某固定图形的个数，可从图形的变化规律入手求解，也可转化为数列问题求解．二、类比推理及应用活动与探究2(1)若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地有：若数列{C n }(n ∈N *)是等比数列，且C n ＞0，则数列d n ＝__________(n ∈N *)也是等比数列．(2)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①___________________________________________________________； 充要条件②___________________________________________________________． (写出你认为正确的两个充要条件)迁移与应用1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形三条边的边长，r 为三角形内切圆的半径．利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abc B ．V ＝13Sh C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高) 2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n ，类似地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝________．3．我们知道：在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；在周长一定的矩形和圆中，圆的面积最大．将这个结论类比到空间，可以得到的结论是___________________________．(1)对于数列中的类比问题，除了等差数列和等比数列是一类重要的类比对象外，还可以将等差数列、等比数列的定义、性质等进行推广，与其他相关数列问题进行类比．(2)进行类比推理时，注意比较两个对象的相似之处和不同之处，找到可以类比的两个量，然后加以推测，最好能加以证明，以保证类比的正确性．(3)平面与空间的类比是一种常见的类比，一般地：平面图形中的点与空间图形中的线(线段)相类比；平面图形中的线与空间图形中的线或平面相类比；平面图形中的周长与空间图形中的表面积相类比；平面图形中的面积与空间图形中的体积相类比．平面中的三角形、正方形与空间中的四面体、正方体相类比；平面中的圆与空间中的球相类比等．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)全部对象 个别事实 (2)部分 整体 个别 一般预习交流1 (1)提示：不一定．归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，其推理的结论必然带有一定的猜测性，即由归纳推理得到的结论可能是正确的，也可能是错误的．(2)答案：123 454 3212．(1)另一类对象也具有这些特征 (2)特殊 特殊预习交流2 提示：当给出的是两类不同的对象，且它们具有一些类似的特征时，可以使用类比推理．它得出的结论也是猜测性的，不一定正确．3．(1)已有的事实 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 提出猜想预习交流3 提示：(1)前提为真时结论可能为真的推理，是一种或然性推理．(2)是根据已有的事实、正确的结论、试验和实践结果以及个人经验推测某些结果的推理过程．(3)结论往往超出前提所控制的范围．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)先写出这个数列的前几项，再根据写出的项，归纳出通项公式．(2)观察给出的4个式子的特点，等式左边的部分注意从分式的项数、每个分式的分母找变化规律，等号右边的分数从分子、分母两个方面进行归纳．解：(1)当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14； …通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n． (2)通过观察上面给出的各个式子，可以发现这些等式中蕴涵的基本规律，这个规律可以用一个等式来表示，即1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． 这一结论的证明如下：由于11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1 ＝2n n ＋1． 迁移与应用 1．B 解析：由已知图形的规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28．2．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116 解析：由前几个不等式可知1＋122＋132＋142＋…＋1n 2＜2n －1n． 所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116． 活动与探究2 思路分析：(1)等差与等比类比，和与积类比，倍数与乘方类比，由此猜想．(2)运用类比，由平面到空间，由四边形到四棱柱，四棱柱为平行六面体时其底面是平行四边形．答案：(1)n C 1C 2C 3…C n(2)两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等(答案不唯一)迁移与应用 1．C 解析：连结四面体内切球的球心与四面体的各个顶点，由分割法求体积的原理知V ＝13S 1h 1＋13S 2h 2＋13S 3h 3＋13S 4h 4＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)．2．b 2n －1n 解析：T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·…·b 2n －1＝b 2n －1n． 3．在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大；在表面积一定的长方体和球中，球的体积最大解析：平面图形的周长类比到空间应该是空间图形的表面积；平面图形的面积类比到空间应该是空间图形的体积；平面中的矩形、圆类比到空间中的图形应该是长方体、球．当堂检测1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是()A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案：A 解析：由图可知，三白二黑，为一周期进行排列，∵36＝5×7＋1，则第36颗珠子与第一颗颜色相同，为白色．2．下面类比推理中恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a b a b c c c+=+(c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C3．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分 ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④答案：C 解析：①是类比推理，②和④是归纳推理，它们都是合情推理．4．在平面上，若两个正方形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间中，若两个正方体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．答案：1∶8 解析：由于正方体的体积等于棱长的立方，因此当两个正方体棱长比为1∶2时，体积比为1∶23＝1∶8．5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22n na a +(n ∈N *)，试猜想这个数列的通项公式． 答案：解：在{a n }中，a 1＝1，1212223a a a ==+，232212224a a a ===+，3432225a a a ==+，…， ∴{a n }的通项公式21n a n =+．。
最新人教版高中数学选修2-2第二章《合情推理与演绎推理》教材梳理
庖丁巧解牛知识²巧学一、合情推理1.归纳推理由某类事件的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者是由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).要点提示①归纳推理的前提是已知的几个特殊现象,归纳所得的结论是尚属于未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.知识拓展归纳推理的步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.深化升华①归纳推理的实质是由部分到整体、由个别到一般.②应用归纳推理获得的新结论,一般只能作为猜想,虽然猜想是否正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.2.类比推理由两类对象具有某些类似的特征和已知其中一类对象的某些特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).方法点拨①类比推理实质是由特殊到特殊的推理.②运用类比推理常常要先寻找合适的类比对象,我们可以从不同角度出发确定类比对象,基本原则是根据当前的实际,选择适当的类比对象.知识拓展类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题.3.合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.深化升华①合情推理是指“合乎情理”的推理,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜想和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思想和方向.②一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了.③合情推理的过程概括为:二、演绎推理1.演绎推理从一般性原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,演绎推理又称为逻辑推理.深化升华①演绎推理是由一般到特殊的推理.②数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的.2.三段论推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.(2)“三段论”可以表示为:大前提:M是P小前提:S是M结论:S是P.(3)公理化方法:尽可能少地选择原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理法.公理化方法的精髓是:利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.深化升华①利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.②应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提,但为了叙述简洁,如果大前提是显然的,则可以省略.知识拓展假言推理①定义:如果一个推理规则能用符号表示为“如果p q,p真,则q真”,那么这种推理规则叫做假言推理.假言推理的本质是,通过验证结论的充分条件为真,判断结论为真.②假言推理的步骤:确定命题p能够推出命题q;判断命题p是否为真,如果p为真,则q为真.知识拓展关系推理①定义:如果一个推理规则可以用符号表示为“如果a≥b,b≥c,则a≥c”,那么这种推理规则叫做关系推理.②关系推理的步骤:确定原式a和式子b存在的关系a≥b;论证式子b和c存在关系b≥c,从而推出a≥c.知识拓展完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.例如,对所有的n(3≤n<+∞),证明n边形的内角和为(n-2)π就是完全归纳推理.3.合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式.从推理形式上看,合情推理是由局部到整体、个别到一般的推理(归纳),或是由特殊到特殊的推理(类比);而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下,得到的结论一定正确.方法点拨在数学中,证明命题的正确性,都是用演绎推理,而合情推理不能用作证明. 问题²探究问题1 类比平面向量和空间向量,列出它们相似(相同)的性质.思路:从平面向量和空间向量的定义、运算法则、运算律、数量积、共线,共面以及向量基本定理等几个方面来进行类比.探究:(1)从定义的角度考虑:平面向量:平面内既有大小又有方向的向量;空间向量:空间内既有大小又有方向的向量. (2)从运算法则的角度考虑:两个平面向量相加的三角形法则和平行四边形法则在空间中仍成立.始点相同的三个不共面的向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量,这是平面向量加法的平行四边形法则在空间的推广.(3)从运算律、数量积的角度考虑,平面向量和空间向量是相同的.运算律:①a+b=b+a(加法交换律);②(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律);③λ(a+b)=λa+λb(数乘分配律).数量积的性质:①a²e=|a|cos〈a,e〉(e是单位向量);②a⊥b a²b=0;③|a|2=a²a.数量积的运算律:①(λa)²b=λ(a²b);②a²b=b²a(交换律);③a²(b+c)=a²b+a²c(分配律).(4)从向量共线,共面的角度考虑:共线向量定理:向量b与a(a≠0)共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得b=λa.共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y,使p=x a+y b.(5)从向量基本定理的角度考虑:平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2表示平面向量的一组基底. 空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对于空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=x a+y b+z c,其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a、b、c都叫基向量. 问题2 将三角形与四面体进行类比,你能想出几种类比呢?思路:可以取三角形为类比源,由三角形的已知知识预测和发现关于四面体的某些新命题. 探究:第一,三角形的内角平分线交于一点,这一点是三角形的内切圆的圆心.于是得到类比猜想:四面体各个面所成二面角的平分面交于一点,该点为四面体内切球的球心.第二,三角形的三条中线交于一点,这一点是三角形的重心,并分各条中线成2∶1两部分.由此得到类比猜想:四面体的四条中线(顶点与相对面三角形重心的连线)交于一点,该点是四面体的重心,且分各中线成2∶1两部分.第三,直角三角形的三边之间有关系c2=a2+b2.由此猜想:三个侧面两两垂直的四面体的各面面积之间有关系D2=A2+B2+C2.问题3 从A地出发到河边饮完马再到B地去,在河边哪个地方饮马可使路途最短?如图2-1-1所示.图2-1-1思路:先作点A关于MN的对称点A′,连结BA′,交MN于P,则P点即为所求.探究:用演绎法证明如下:如图2-1-1所示,在MN上取一点P′(异于点P),则AP ′=P ′A ′,AP=PA ′,从而AP ′+P ′B=A ′P ′+P ′B>A ′P+PB=AP+PB. 由此可知:A 到B 经P 点距离最短. 典题²热题例1设平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)=___________;当n>4时,f(n)=___________. 思路解析:f(2)=0,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…, f(n)-f(n-1)=n-1.累加得f(n)=f(2)+2+3+4+…+n-1=2)]1(2)[2(-+-n n =21(n+1)(n-2).答案:521(n+1)(n-2) 深化升华 本小题考查观察、分析、归纳推理、累加求通项等知识,是一个很灵活的题目. 例2在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=nn a a +22(n ∈N *),猜想这个数列的通项公式.思路分析:根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项.然后总结归纳其中的规律,写出通项.解:{a n }中,a 1=1,a 2=322211=+a a ,a 3=,42212222==+a a a 4=522233=+a a ,…. ∴{a n }的通项公式为a n =12+n . 证明:∵a 1=1,a n+1=211221122+=+=+∴+n n n n n n a a a a a a ∴21111=-+n n a a . 即数列{n a 1}是以11a =1为首项,公差为21的等差数列.na 1=1+21(n-1)=21(n+1),a n =12+n .例3已知在△ABC 中,不等式π9111≥∠+∠+∠C B A ,在四边形ABCD 中,不等式π2161111≥∠+∠+∠+∠D C B A 成立, 在五边形ABCDE 中,不等式π32511111≥∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ,猜想在n 边形A 1A 2…A n 中,有怎样的不等式成立? 思路分析:根据已知特殊的值: πππ3252169、、,…,总结归纳出一般性的规律:π)2(2-n n (n ≥3).s解:在n 边形A 1A 2…A n 中,π)2(1111121321-≥∠+∠++∠+∠+∠-n n A A A A A n n (n ≥3). 拓展延伸 平面内有n 条直线,其中任何两条都不平行,任何三条不过同一点,试归纳它们的交点的个数.解:n=2时,交点的个数f(2)=1. n=3时,交点的个数f(3)=3. n=4时,交点的个数f(4)=6. n=5时,交点的个数f(5)=10. 猜想归纳:f(n)=21n(n-1)(n ≥2). 深化升华 运用归纳推理可以去发现一些新的几何命题,再运用相关的方法证明它的真假,这是数学发明,创新的一条途径.例4已知在Rt △ABC 中,若∠C=90°,则cos 2A+cos 2B=1;在立体几何中,给出四面体性质的猜想.思路分析:考虑到平面中的图形是直角三角形,所以我们在空间选取有3个面两两垂直的直四面体P —A ′B ′C ′,且三个面分别与面A ′B ′C ′所成的二面角为α、β、γ.解:如图212所示,在Rt △ABC 中,cos 2A+cos 2B=(c b )2+2222)(cb ac a +==1. 于是把结论类比到四面体P —A ′B ′C ′中,我们猜想,三棱锥P-A ′B ′C ′中,若三个侧面PA ′B ′,PB ′C ′,PC ′A ′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α、β、γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.图2-1-2深化升华 类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,归纳,提出猜想.拓展延伸 在Rt △ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径r=222b a +.把上面的结论推广到空间,写出相似的结论.解:我们同样取空间有三条侧棱两两垂直的四面体A —BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,则此三棱锥外接球的半径R=2222c b a ++.例5设a 1,a 2,a 3,…,a n ,…均为自然数,称a 1++++43211a a a 为无穷连分数,例如2=(2-1)+1=1+++++=+2121211121,这里a 1=1,a n =2(n ∈N *,n ≥2).请你与上式类似地将3写成无穷连分数,并写出a n .思路分析:本题给出了无穷连分数的定义以及范例,依定义仿范例,即可解决问题. 解:3=1+(3-1)=1+13111121311121311132+++=-++=++=++++++=-+++=211121111)13(21111同时有a 1=a 2n =1,a 2n+1=2(n ∈N *).深化升华 对有些提供了范例的信息迁移型创新题,解答时可根据所给的信息与所求的问题的相似性,运用类比推理,使问题得以解决,另外在解有些信息迁移型创新题时,也可类比旧的问题的解决方法,依照它解决新信息中的问题. 例6试将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行;(2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;(3)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数;(4)等差数列的通项公式具有形式a n =pn+q(p,q 是常数),数列1,2,3,…,n 是等差数列,所以数列1,2,3,…,n 的通项具有a n =pn+q 的形式.思路分析:分清三段论的大前提、小前提、结论是解题的关键. 解:(1)大前提:太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行; 小前提:冥王星是太阳系里的大行星; 结论:冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行. (2)大前提:所有导体通电发热; 小前提:铁是导体; 结论:铁通电时发热.(3)大前提:一次函数是单调函数; 小前提:函数y=2x-1是一次函数; 结论:y=2x-1是单调函数.(4)大前提:等差数列的通项公式具有形式a n =pn+q; 小前提:数列1,2,3,…,n 是等差数列;结论:数列1,2,3,…,n 的通项具有a n =pn+q 的形式.深化升华 分清楚“三段论”中的大前提、小前提、结论,要抓住它们的定义,即大前提——已知的一般原理;小前提——所研究的特殊情况;结论——根据一般原理,对特殊情况作出判断.例7用三段论证明:x 2+3>3x.思路分析:证明本例所依据的是:a-b>0⇔a>b.小前提是证明:(x 2+3)-3x>0,这是证明本例的关键.解:∵(x 2+3)-3x=(x-23)2+43≥43>0, ∴根据“三段论”,得x 2+3>3x.深化升华 由于本例所依据的大前提a-b>0⇔a>b 很明显,因此在证明过程中往往将其省略掉了.例8求证函数y=1212+-x x 是奇函数,且在定义域上是增函数.思路分析:本题在证明过程中使用了三段论推理,假言推理等推理规则.解:y=1221122)12(+-=+-+xx x 所以f(x)的定义域为x ∈R . f(-x)+f(x)=(1-122+-x )+(1-122+x )=2-(122+x +122+-x) =2-(1222121+∙++x x x )=2-12)12(2++xx =2-2=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2. 则f(x 1)-f(x 2)=(1-1221+x )-(1-1222+x )=2(1222+x -1221+x ) =2²)12)(12(221221++-x x x x . 由于x 1<x 2,从而022,222121<-<x x x x ,所以f(x 1)<f(x 2),故f(x)为增函数.例9(2005全国高考 )设f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x=8π. (1)求φ;(2)求y=f(x)的单调增区间;(3)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切. (1)解:∵x=8π是函数y=f(x)的图象的对称轴,∴sin(2³8π+φ)=±1. ∴4π+φ=k π+2π,k ∈Z . ∵-π<φ<0,∴φ=43π-.(2)解:由(1)知φ=43π-,因此y=sin(2x-43π-).由题意得2k π-2π≤2x 43π-≤2k π+2π,k ∈Z .∴函数y=sin(2x-43π-)的单调增区间为［k π+8π,k π+85π］,k ∈Z .(3)证明:∵|y ′|=|［sin(2x-43π-)］′|=|2cos(2x-4π)|≤2,∴曲线y=f(x)的切线斜率的取值范围为［-2,2］. 而直线5x-2y+c=0的斜率为25>2, ∴直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-43π-)的图象不相切. 深化升华 第三问考查直线与三角函数图象的位置关系,很有新意.把函数值域、导数、斜率有机地联系在一起,是一道灵活的好题.。
高二数学 第二章《2.1.1. 1合情推理》教案 新人教A版选修2-2
高中数学第二章《2.1.1. 1合情推理》教案新人教A版选修2-2 "1．教学目标：(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
2．教学重点：归纳推理及方法的总结。
3．教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
6．教学过程：学生探究过程：(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。
世界近代三大数学难题之一。
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。
当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3+ 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =5 + 13, . . . . 等等。
第二章推理与证明2.1.1合情推理教学设计新人教A版选修2_2
2.1.1合情推理教学目标:1.了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推理2.培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神重点与难点：本节课的教学重点是归纳推理的概念理解和应用；教学难点是提高学生从特殊到一般的归纳能力.教学方式：本节课采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答、活动等多种教学方式教学工具：多媒体、圆纸片、硬币.教学过程：汉诺塔问题的探索，完整体现 了归纳推理的过程，很具有代推理.三问：对比（1）、（3）这两个推理，你能发现它们的相同 点和不同点吗？3.归纳推理的概念形成幻灯片：看下面的例子，试写出一般性结论 （1） 1+3=4;1+3+5=9; 1+3+5+7=16.（2） —元一次方程有一个实数根；一元二次方程最多有两个实数根； —元三次方程最多有三个实数根提问：什么是归纳推理？学生发言，教师点评 总结：根据一类事物的部分对象具有某种性质， 推出该类 事物的所有对象都具有这种性质的推理， 称为归纳推理（简称归纳）.回顾给出定义的过程，其本身就是归纳（从特殊到一 般）的过程，所以可以说“我们归纳出了归纳”.（这两 个“归纳”上有点区别， 第一个重在归纳总结， 第二个才 是归纳推理.）二问的目的是：引导学生归纳 合情推理的概念.三问的目的是：引出归纳推理 （不必出现类比推理这个名词）.纯数学的实例，使学生体会归 纳推理的含义.引导学生概括归纳推理的概 念.现学现用，而且这句话本身很 有趣，有利于激发学生 的兴趣.三.经典探究，深化新知 幻灯片：汉诺塔问题一定正确•此为教材例题，这里把它改为开放题处理似乎更合适•回顾小结•提高认识 (引导学生从“推理结论是否正确”和“推理的作用”两个方面理解它们之间的差异)•。
高二数学(新人教A版选修2-2)考点清单《2.1.1 合情推理》
合情推理考点一：归纳推理在数列中的应用.根据下列条件，写出数列中的前项，并归纳猜想它的通项公式．()＝，＋＝＋；()＝，＋＝；()对一切的∈*，＞，且＝＋.[解析]()由已知有＝＝－，＝＋＝×＋＝＝－，＝＋＝×＋＝＝－，＝＋＝×＋＝＝－.猜测出＝＋－，∈* (≥)．()由已知有＝，＝＝，＝＝，＝＝.猜测出＝.(≥).下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：()、、、、、( )；()、、、、、( )；()、、、、、( )；()、、、、( )、( )、、、、.[答案]() () () ()[解析]要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．()考察相邻两数的差：－＝－＝，－＝－＝可见，相邻两数之差都是.按此规律，括号里的数减去等于，所以括号里的数是＋＝.()像()那样考虑难以发现规律，改变一下角度，把各数改写为、、、、.可以发现：÷＝，÷＝，÷＝，÷＝.后一个数是前一个数的倍，按照这个规律，括号中的数应是×＝＝.()为探究规律，作适当变形：、、、、.这样一来，分子部分呈现规律：自起，依次递增，故括号内的数的分子为.再看分母部分：、、、、.相邻两数之差得、、、.可见括号内的数的分母应为＋＝.故括号中应填入.()分成两列数：奇数位的数为、、()、、.可见前面括号中应填入；偶数位的数为、、()、、.括号中的数应填入.所以两括号内依次填入、.考点二：归纳推理在几何问题中的应用.数一数图中的凸多面体的面数、顶点数和棱数，然后用归纳推理得出它们之间的关系．[解析]各多面体的面数、顶点数、棱数如下表所示.。
人教A版高中数学高二版选修2-2学案 合情推理(1) 归纳推理
高二数学科学案课题：第二章推理与证明§2.1.1 合情推理（1）——归纳推理【学习目标】1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.【学习难点】利用归纳法进行简单的推理【课题导入】在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯；（3）张三今天没来上课，推断张三一定生病了。
像这样，根据一个或几个已经的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理。
推理是人们思维活动的过程，那么本节我们就来学习一种常用的推理思维方法——归纳推理。
【问题导学】预读教材第70—72页有关内容回答下列问题：1.哥德巴赫猜想：6=3+3,8=5+3，10=5+5,12=5+7，14=7+7,16=5+11，……，1002=139+863，……，猜想：2.由铜、铁、铝、金、银能导电，推导出：3.从结构上说，推理一般分推理的前提和结论两部分，前提结论。
如何理解前提、结论这两个概念。
4.体会“归纳推理”的思想方法，并叙述“归纳推理”，并总结出归纳推理的一般模式和一般步骤。
归纳推理的定义：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.归纳推理的一般模式：归纳推理的一般步骤：5.归纳推理的结论一定是真的吗？【实践演练】观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24， 1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？【基础练习】1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）. A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数3..已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）.A.4()22x f x =+B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+4. 三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内和是5400，试猜想凸n 边形的内角和5.,333232,232232,131232++<++<++<由此我们可猜想 6.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.7. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ .8.平面中有n 个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成()n f 块区域，有()21=f ，()42=f ，()83=f ，……，则()n f 的表达式是___________.9. 写出下列推理的前提的结论 （1）对顶角相等；（2）,,c b b a ⊥⊥则c a ⊥；（3）张三和李四是同学，李四和王五是同学，我们说张三和王五是同学。
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§2.1.1合情推理第1课时归纳推理
教学目标：
1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳进行一些简单的推理；
2．通过本节内容的学习，包括欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用；
3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：归纳推理及方法的总结；
教学难点：归纳推理的含义及其具体应用．
教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。
世界近代三大数学难题之一。
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。
当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 =
3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。
有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。
但验格的数学证明尚待数学家的努力。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
200年过去了，没有人证明它。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
(二)、探究新知，揭示概念
1.归纳推理的思维过程：几个事实→一种观察→一般观点→从头核对→提出猜想。
（由歌德巴赫猜想的过程归纳出来）
2.归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般结论（简称归纳）。
（部分推出整体，个别推出一般）
3.学生分小组讨论：
将学生划分为两大部分，一部分讨论生活中运用归纳推理例子，一部分讨论学科学习中使用归纳推理的例子。
学生举例之后教师总结。
（三）、分析归纳，抽象概括
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
归纳推理的思维过程：
（四）、知识应用，深化理解
{}
11
1,(1,2,......),
1
n
n n
n
a
a a a n
a
+
===
+
例1：已知数列的第一项且试归纳出这个
数列的通项公式。
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.
（五）、归纳小结、布置作业
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
通常归纳的个体数目越多，越
具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要
方法。
(2)归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表
述的一般命题（猜想）
布置作业：.
实验，观察概括，推广猜测一般性结论。