(新课标)2020高考数学大一轮复习第四章三角函数题组层级快练28正、余弦定理文(含解析)
(新课标)高考数学大一轮复习第四章三角函数题组18文
7．已知 A＝
sin α
＋
cosα
(k ∈ Z) ，则 A 的值构成的集合是 ( )
A． {1 ，－ 1， 2，－ 2} C． {2 ，－ 2} 答案 C
sin α cosα 解析 当 k 为偶数时， A＝sin α ＋ cosα ＝ 2；
B． { － 1， 1} D． {1 ，－ 1， 0，2，－ 2}
3 答案 2
3π
π
π
3
解析 sin( 4 －α ) ＝ sin[ π－ ( 4 ＋α )] ＝ sin( 4 ＋α ) ＝ 2 .
4．若
π α∈ (0 ， ) ，且
sin
2α＋
cos2 α＝
1 ，则
tan α的值等于
________ ．
2
4
答案 3
-6-/7
解析
由二倍角公式可得
sin
2α＋ 1－ 2sin
45
∴
2sin
αcosα－ cosα＋ 1－tan α
1 5－ 5 ＋1 ＝ 1－2 ＝
59 5 － 5.
-5-/7
sin2 α
1．若 tan α＝ 3，则 cos2α 的值等于 (
)
A． 2
B． 3
C． 4
D． 6
答案 D
sin2 α 2sin αcosα 解析 cos2α ＝ cos2α ＝ 2tan α＝ 2×3＝ 6，故选 D.
12 α· cos α＝－ 25. ∵ (sin
α－ cos α ) 2＝ 1－2sin
49
π
α· cos α＝ 25，又－ 2 <α <0，∴ sin
7 α <0，cos α >0，∴ sin α－ cos α <0，∴ sin α－ cos α＝－ 5.
2020高考新课标数学(理)大一轮复习检测：第四章 三角函数、解三角形(必修4、必修5)
第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数高考概览：1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[知识梳理]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.任意角的三角函数[辨识巧记]1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(必修4P10A组T10改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A ．10πB ．9π C.910π D.109π[解析] ∵200°＝10π9，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l＝10π9×1＝10π9.故选D.[答案] D3．(必修4P 15练习T 6改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由正切和正弦的象限符号可知，在第三象限．故选C.[答案] C4．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－34[解析] 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. [答案] D5．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．[解析] 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4考点一 角的概念及集合表示【例1】 (1)若α是第三象限角，且cos α2>0，则α2是第________象限角．(2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．[解析] (1)解法一：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈N )时，2n π＋π2<α2<2n π＋3π4，不满足cos α2>0，舍去．当k ＝2n ＋1(n ∈N )时，2n π＋π＋π2<α2<2n π＋π＋3π4，满足cos α2>0，∴α2是第四象限角．解法二：利用等分象限角的方法，可以判断α2是第二或四象限角，又因为cos α2>0，所以α2是第四象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z . [答案] (1)四 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，k ∈Z(1)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk 的范围；③然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．(2)终边在某直线上角的求法3步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，π)内的角β；③{α|α＝k π＋β，k ∈Z }．[对点训练]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] －3π4是第三象限角；4π3是第三象限角；－400°＝－40°－360°，所以－400°是第一象限角；－350°＝10°－360°，所以350°是第一象限角．故②④正确，故选B.[答案] B2．设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，则两集合的关系是( ) A ．N ⊆MB ．M ＝NC ．M ND ．M ∩N ＝∅[解析] 因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，所以：M N .故选C.[答案] C考点二 扇形的弧长和面积公式【例2】 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[思路引导] (1)化α为弧度制→代入弧长公式求解(2)利用扇形周长为C 确定α和R 的关系→用α表示扇形的面积S →借助函数知识求解[解] (1)设弧长为l ，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)解法一：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C 2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.解法二：扇形周长C ＝2R ＋l ，面积S ＝12lR ＝12R (C －2R )＝－R 2＋12CR ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C 216⎝ ⎛⎭⎪⎫0<R <C 2， 当且仅当R ＝C 4，即C ＝4R 时，扇形的面积S 最大，此时C ＝4R ＝2R ＋l ，l ＝2R ，由l ＝2R 得α＝2，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l ＝|α|R ，S ＝12|α|R 2＝12lR .在公式的选择上以简单，计算量小为原则，如本例(2)中解法二比解法一计算量小．[对点训练]已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由S ＝12×4×R 2＝2，得R ＝1，所以弧长l ＝4×1＝4，故扇形的周长C ＝2R ＋l ＝2＋4＝6.故选C.[答案] C考点三 三角函数的定义任意角的三角函数的定义属于理解内容，单独考查时不多，多结合其他知识一起考查，以选择、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)求三角函数值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线解不等式．角度1：求三角函数值【例3－1】 已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m 4，求cos α，tan α的值．[解] 设P (x ，y )．由题设知x ＝－3，y ＝m ，所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2， 所以sin α＝m r ＝2m 4＝m 22， 所以r ＝3＋m 2＝22，3＋m 2＝8，解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153； 当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 角度2：判断三角函数值的符号【例3－2】 若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．故选C.[答案] C角度3：利用三角函数线解不等式【例3－3】 函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [思路引导] 真数大于0→解三角不等式→ 单位圆中正弦线→看图得结果[解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )(1)定义法求三角函数的3种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数符号在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[对点训练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45 [解析] 根据题，cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.故选D.[答案] D2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a 的取值范围是________．[解析] 因为sin α>0，cos α<0，所以α是第二象限角．所以点(3a －9，a ＋2)在第二象限，所以⎩⎨⎧3a －9<0，a ＋2>0，解得－2<a <3.[答案] (－2,3)3．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． [解析] ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )课后跟踪训练(二十)基础巩固练一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A ．30° B ．－30° C ．630° D ．－630°[解析] 因为330°的角的终边与－30°的角的终边相同，所以选项B 满足题意．故选B.[答案] B2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.[答案] D3．若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角B ．α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°C ．sin α>0D ．sin α<cos α[解析] 对于A ，∵π2<α<π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α>0，故C 正确；对于D ，sin α>0，cos α<0，故D 错误．故选D.[答案] D4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4[解析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则l ＋2r ＝6，S ＝12lr ＝2，解得r ＝2，l ＝2或r ＝1，l ＝4，故α＝lr ＝1或4，故选C.[答案] C5．集合⎭⎬⎫{α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )[解析] 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.[答案] C 二、填空题6．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为________象限角． [解析] α＝k ·180°＋45°＝k 2·360°＋45°.当k 为偶数时，α为第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．综上，α为第一或第三象限角．[答案] 第一或第三7．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________．[解析] ∵角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－32.[答案] －328．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________.[解析] 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1. [答案] 1 三、解答题9．(1)设90°<α<180°，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，求tan α.(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.[解] (1)∵90°<α<180°，∴cos α<0，∴x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，∴x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ， 又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8.(舍去)．∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin1＝sin1(cm)， ∴AB ＝2sin1(cm)．能力提升练11．(2019·江西南昌二中测试)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2 [解析] r ＝(2sin2)2＋(－2cos2)2＝2.由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos2，故选D.[答案] D12．(2019·山东济南外国语学校段考)下列结论中错误的是( ) A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角 C ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 [解析] 选项A ，若0<α<π2，则sin α<tan α＝sin αcos α，A 正确；选项B ，若α是第二象限角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，则α2∈⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，为第一象限或第三象限角，B 正确；选项C ，若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝4k9k 2＋16k 2＝4k5|k |，不一定等于45，C 不正确；选项D ，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D 正确．故选C.[答案] C13．(2018·北京第三十五中学期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．[解析] ∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，4514.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴的正半轴的交点，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，∠AOB ＝90°.(1)求cos ∠COA ； (2)求tan ∠COB .[解] (1)因为点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，根据三角函数的定义可得cos ∠COA ＝513.(2)因为∠AOB ＝90°，sin ∠COA ＝1213， 所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA ＝－1213.又因为点B 在第二象限，所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513.故tan ∠COB ＝sin ∠COBcos ∠COB＝－512.拓展延伸练15．(2019·上海长宁、嘉定一模)设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.[答案] A16．(2019·河北张家口月考)若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角[解析] ∵角θ满足sin θ>0，tan θ<0，∴θ是第二象限角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，∴θ2是第一或第三象限角．故选C.[答案] C第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式高考概览：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导公式．[知识梳理]1．同角三角函数基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋kπ，k ∈Z .2．角的对称3.诱导公式[辨识巧记]1．一个记忆口诀奇变偶不变，符号看象限．2．两个技巧(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．3．两个关注点(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．cos(－510°)的值为( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12[解析] ∵cos(－510°)＝cos510°＝cos(360°＋150°)＝cos150°＝－32.故选B.[答案] B3．(必修4P 29B 组T 2改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－45[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，∴cos α＝35， 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos 2α＝45.∴si n(π＋α)＝－sin α＝－45.故选D. [答案] D4．(必修4P 71B 组T 3改编)已知α为第二象限角，化简：cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α＝( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．1＋sin αD ．1－sin α[解析] 原式＝cos α(1－sin α)2cos 2α＋sin α(1－cos α)2sin 2α＝cos α1－sin α|cos α|＋sin α1－cos α|sin α|＝cos α·1－sin α－cos α＋sin α·1－cos αsin α＝sin α－cos α.故选B. [答案] B5．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．[解析] 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.[答案] 3考点一 诱导公式【例1】 (1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α的值为( )A.33B. 3 C ．－33 D ．－ 3(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α)＝________.[思路引导] (1)观察所求角与已知角的关系→利用诱导公式求值(2)诱导公式化简→结合同角关系式求值[解析] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.故选C. (2)原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.[答案] (1)C (2)－1应用诱导公式化简三角函数的3步骤(1)用“－α”公式化为正角的三角函数；(2)用“2k π＋α”公式化为[0,2π)范围内角的三角函数； (3)用“π±α，2π±α或π2±α”公式化为锐角三角函数．[对点训练]1．(2019·云南曲靖一中月考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋θ的值是( ) A ．－13 B ．－223 C.13 D.223[解析] 因为π12＋θ＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－θ，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－θ＝13.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－θ＝13，故选C. [答案] C2．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，则sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－72π的值为________．[解析] ∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－72π＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35. [答案] 35考点二 同角三角函数基本关系式同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点、难度不大，属低档题．常见的命题角度有： (1)知弦求弦、切问题； (2)知切求弦问题；(3)sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题． 角度1：知弦求弦、切问题【例2－1】 (1)(2018·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k(2)(2018·齐齐哈尔二模)已知－π2<θ<0， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝35，则tan(π－θ)的值为( ) A ．－43 B ．－34 C.34 D.43 [思路引导]用诱导公式化简已知和所求式→同角关系式求值，开方时注意正负号[解析] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－k 2.故选A.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝35，所以cos θ＝35.又－π2<θ<0，所以sin θ＝－45，所以tan(π－θ)＝－tan θ＝－sin θcos θ＝43.故选D.[答案] (1)A (2)D 角度2：知切求弦问题【例2－2】 已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35[解析] 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.故选B.[答案] B角度3：sin α±cos α、sin αcos α的关系应用问题【例2－3】 (1)(2019·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34(2)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，则sin α－cos α＝________.[思路引导](1)所求式子平方→讨论所求式子范围→再开方得结果(2)化简已知条件→将条件平方→求出sinαcosα的值→讨论所求式子的符号→所求式子平方再开方得结果[解析](1)(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34.∵5π4<α<3π2，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα＝32.故选B.(2)∵sin(π－α)－cos(π＋α)＝sinα＋cosα＝23，∴1＋2sinαcosα＝29，得2sinαcosα＝－79.∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝169.∵π2<α<π，∴sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝43. [答案](1)B(2)43同角三角函数基本关系的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．[对点训练]1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos(π－α)的值为( ) A ．－45 B.45 C.35 D ．－35[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35，∴cos α＝45， ∴cos(π－α)＝－cos α＝－45.故选A. [答案] A2．若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 由sin α＋cos α＝23，得 (sin α＋cos α)2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49，2sin αcos α＝－59，∵α∈(0，π)， ∴α为钝角．故选D. [答案] D3．(2018·甘肃定西通渭期末)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1[解析] ∵sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，∴1－2sin αcos α＝2，即sin2α＝－1，故2α＝3π2，α＝3π4，tan α＝－1.故选A.[答案] A考点三 齐次式下的切弦互化【例3】 (1)(2019·河南适应性测试)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为( )A.12 B ．2 C ．2 2 D ．－2(2)(2019·安徽江南十校3月联考)已知tan α＝－34，则sin α·(sin α－cos α)＝( )A.2125B.2521C.45D.54[思路引导] (1)由已知求tan α→所求式子化为正切的式子→代入求结果(2)所求式子分母看作“1”→分子、分母同除以cos 2α→代入已知得结果[解析] (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.故选B.(2)sin α·(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125，故选A.[答案] (1)B (2)A这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式的问题，解这类问题有两个方法．(1)直接求出sin α和cos α的值，再代入求解，但这种方法较繁琐． (2)将所求式转化为只含tan α的代数式，再代入求解，这是常用的解法．但应用此法时要注意两点：①一定是关于sin α和cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；②因为cos α≠0，可用cos n α(n ∈N )除之，这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，从而可以整体代入tan α＝m 的值进行求解．[对点训练]1．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625[解析] tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.[答案] A2．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则2sin αcos α的值为________．[解析] 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2，所以2sin αcos α＝2(sin 2α＋cos 2α)sin αcos α＝2(tan 2α＋1)tan α＝2×(22＋1)2＝5. [答案] 5数学思想系列①——分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用素养解读：在利用诱导公式、同角关系式进行化简求值过程中，经常会用到分类讨论、整体代换、方程等数学思想，在学习过程中，要认真领会．【典例】 (1)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．(2)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________.[切入点] (1)角中有整数k ，应对k 是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．[规范答题] (1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.所以A 的值构成的集合是{2，－2}．(2)由已知得⎩⎨⎧ sin A ＝2sin B ①，3cos A ＝2cos B ②，①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－(A ＋B )＝712π；当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝34π，B ＝56π，不符合题意，舍去．综上，C ＝712π.[答案] (1){2，－2} (2)712π(1)本题在三角函数的化简求值过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不符合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．[感悟体验]1．(2018·福建泉州南安一中第二次段考)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．0[解析] sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α.因为α的终边在直线x ＋y ＝0上，所以α是第二或第四象限角，sin α与cos α异号，所以原式＝0.故选D.[答案] D2．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. [解析] 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35.因为θ为第四象限角，所以－θ为第一象限角，π4－θ为第一象限角或第二象限角．又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35，所以π4－θ为第一象限角．所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝43，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－43.[答案] －43课后跟踪训练(二十一)基础巩固练一、选择题1．(2019·辽宁五校联考)sin1470°＝( ) A.32 B.12 C ．－12 D ．－32[解析] sin1470°＝sin(1440°＋30°)＝sin(360°×4＋30°)＝sin30°＝12，故选B.[答案] B2．(2019·东北三省三校一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝( ) A.13 B ．－13 C.222 D ．－23[解析] 由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－13.故选B. [答案] B3．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( ) A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ [解析] 因为 1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝ 1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.[答案] A4．(2019·山东省实验中学第二次诊考)已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.23 B ．－23 C.13 D ．－13[解析] ∵sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4， ∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23.故选B. [答案] B5．(2019·江西鹰潭余江一中第二次模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)等于( ) A ．－32 B.32 C ．0 D.23[解析] ∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，∴tan θ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－3cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.故选B.[答案] B二、填空题6．(2019·广东华南师大附中综合测试)sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4＝________.[解析] ∵sin 4π3＝－sin π3＝－32，cos 25π6＝cos π6＝32，tan 5π4＝tan π4＝1，∴sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4＝－32×32×1＝－34.[答案] －347．(2018·辽宁省实验中学期中)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则tan α＝________.[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，∴sin α－cos α＝325，结合sin 2α＋cos 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，得sin α＝752，cos α＝152.∴tan α＝7. [答案] 78．(2019·广东惠阳高中月考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，4sin α＋3cos α＝0，则sin2α＋3cos 2α的值为________．[解析] 由4sin α＋3cos α＝0，得tan α＝－34.故sin2α＋3cos 2α＝2sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋3tan 2α＋1＝2425. [答案] 2425三、解答题9．(2018·湖南衡阳月考)已知sin(3π＋θ)＝14.(1)求cos 2θ的值；(2)求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋ cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (π＋θ)＋cos (－θ)的值． [解] 由sin(3π＋θ)＝14，得sin θ＝－14.(1)cos 2θ＝1－sin 2θ＝1－116＝1516. (2)cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋ cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (π＋θ)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ ＝1cos θ＋1＋1－cos θ＋1＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝2sin 2θ＝2116＝32.10．(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π3的值． (2)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－3，3)，求tan (－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (π－α)sin (－π－α)的值． [解] (1)解法一：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝13，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－13. 而cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－13.解法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π3－2π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋α＝－13. (2)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴r ＝|OP |＝(－3)2＋(3)2＝23，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴原式＝－tan α＋cos α－cos α·sin α＝1cos 2α－1sin α ＝1⎝⎛⎭⎪⎫－322－112＝－23. 能力提升练11．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2[解析] ∵cos 2x ＝1－sin 2x ， ∴cos x sin x －1＝－sin x ＋1cos x ＝12.故选A. [答案] A12．(2019·河北邢台质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13[解析] 由已知条件整理得，⎩⎨⎧ －2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3. 又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3，所以sin α＝31010.故选C.[答案] C 13．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.[解析] sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.[答案] 91214．(1)化简：1－2sin20°cos20°sin160°－1－sin 220°； (2)(2019·河南洛阳一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，求sin θ－cos θ.[解] (1)原式＝1－2sin20°cos20°sin20°－cos20°＝cos20°－sin20°sin20°－cos20°＝－1. (2)由题意可得，sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m 2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即2－32＝1＋m ，即m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32，∴sin θ－cos θ＝ 2＋32＝1＋32.拓展延伸练15．(2018·河南安阳一模)若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α＝( )A ．－1B ．1C ．－25D ．－1或－25[解析] 由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α>0，即cos α＝3sin α－1，则cos 2α＝1－sin 2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝35，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－25，故选C.[答案] C16．(2019·山西晋城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝233，则sin 4θ＋cos 4θ＝( )A.56B.1718C.89D.23[解析] |sin θ|＋|cos θ|＝233，两边平方得，1＋|sin2θ|＝43，∴|sin2θ|＝13，∴sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1718，故选B. [答案] B第三节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式高考概览：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．[知识梳理]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(4)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(5)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β； (6)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角公式(1)sin2α＝2sin αcos α；(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α. [辨识巧记]四个必备结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2 [双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)存在实数α，使tan2α＝2tan α.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos2α＝( ) A.89 B.79 C ．－79 D ．－89[解析] cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B.[答案] B3．(2018·贵阳市高三监测)sin 415°－cos 415°＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos30°＝－32.故选D.[答案] D4．(2019·成都市一诊)已知sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(2α＋π6)的值为( ) A.43－310 B.43＋310 C.4－3310D.33－410[解析] ∵sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝31010，sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝1－15＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310.故选A.[答案] A5．(必修4P 137A 组T 5改编)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<α<56π，则cos α＝________.[解析] ∵π3<α<56π，∴π2<π6＋α<π，∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin π6＝－45×32＋35×12 ＝3－4310. [答案] 3－4310考点一 三角公式的基本应用【例1】 (1)若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( ) A ．5 B ．－1 C ．6 D.16(2)对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝( )A.2425B.38C.28 D ．－2425[解析] (1)由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以sin αcos βcos αsin β＝5，即tan αtan β＝5，故选A.(2)由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos[⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4]＝cos(α－π12)cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425，故选D.[答案] (1)A (2)D已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值．[对点训练]1．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725[解析] 解法一：cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725，且cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin2α，故选D. 解法二：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，得22cos α＋22sin α＝35，即22(cos α＋sin α)＝35，两边平方得12(cos 2α＋sin 2α＋2cos αsin α)＝925， 整理得2sin αcos α＝－725，即sin2α＝－725，故选D. [答案] D2．(2019·广西桂林第一次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，x ∈(0，π)则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3[解析] 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴sin x ≠0，∴tan x ＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.故选A.[答案] A考点二 三角公式的逆用与变形应用【例2】 (1)(2019·河北名师俱乐部模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A.23B.43C.34D.32(2)(2018·浙江绍兴诸暨中学期中)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.[解析] (1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴0<π4－θ<π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D.(2)原式＝3sin12°－3cos12°cos12°2cos24°sin12° ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos24°sin24°＝43sin (12°－60°)sin48°＝－4 3. [答案] (1)D (2)－4 3三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[对点训练]1．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( )A ．－22 B.22 C.12 D ．－12[解析] 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得 tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.故选B. [答案] B2．(2019·河南六市一联)已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45 D ．－45[解析] 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.故选D. [答案] D考点三 角的变换【例3】 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．(2)(2018·江西临川第二中学月考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． [思路引导] (1)用α、α－β表示β→ 求α、α－β的三角函数值→代入公式求解 (2)用π6－α表示5π6－2α→利用二倍角公式求值[解] (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332－1＝－13.利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[对点训练]1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3的值为( )。
2020高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形章末总结分层演练 文-精装版
教学资料范本2020高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文章末总结知识点考纲展示任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数❶了解任意角的概念．❷了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．❸理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.同角三角函数的基本关系式与诱导公式❶理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x.❷能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.和与差的三角函数公式❶会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．❷能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．❸能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).三角函数的图象与性质❶能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．❷理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.函数y＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用❶了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．❷了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.解三角形应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、点在纲上，源在本里考点考题考源三角函数的基本关系(20xx·高考全国卷Ⅲ，T4，5分)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B．－29C.29D.79必修4 P146A组T6(2)三角函数的周期(20xx·高考全国卷Ⅱ，T3，5分)函数f(x)＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3的最小正周期为( )A.4π B．2π C．π D.π2必修4 P35例2(2)三角函数值域(20xx·高考全国卷Ⅲ，T6，5分)函数f(x)＝15sin(x＋π3)＋cos(x－π6)的最大值为( )A.65B．1 C.35D.15必修4 P143A组T5三角函数图象(20xx·高考全国卷Ⅰ，T9，5分)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋2π3，则下面结论正确的是( )A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2必修4 P55练习T2(2)正余弦定理 与面积公式 的应用(20xx·高考全国卷Ⅱ，T 16，5分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.必修5 P 18练习T 3 (20xx·高考全国卷Ⅲ，T 15，5分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.必修5 P 10A 组T 2(1)(20xx·高考全国卷Ⅰ，T 17，12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长. 必修5 P 20B 组T 1二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修4 P146A 组T6(3)改编)已知sin 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )A ． B.59 C ．D.79解析：选D.因为sin 2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4 P147A 组T12改编)已知函数f(x)＝sin ＋sin ＋cos x ＋a 的最大值为1，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f(x)＝sin xcos ＋cos xsin ＋sin xcos －cos xsin ＋cos x ＋a ＝sin x ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋)＋a ，所以f(x)max ＝2＋a ＝1.所以a ＝－1.选A.3．(必修4 P69A 组T8改编)已知tan α＝3，则sin 的值为( )A ．B ．－210 C ．D ．－7210解析：选B.因为tan α＝3，所以sin 2α＝＝＝＝，cos 2α＝＝＝＝－，所以sin ＝(sin 2α＋cos 2α)＝＝－.选B.4．(必修4 P58A 组T2(3)改编)如图是y ＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象，则其解析式为( )A ．y ＝2sinB ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sinD ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析：选D.由题图知＝－＝.所以T ＝π，所以ω＝＝2.当x ＝－时，y ＝0，当x ＝0时，y ＝1.所以，所以φ＝，A ＝2.所以y ＝2sin.故选D.5．(必修5 P18练习T1(1)改编)在锐角△ABC 中，a ＝2，b ＝3，S△ABC＝2，则c ＝( )A ．2B ．3C ．4 D.17解析：选B.由已知得×2×3×sin C＝2，所以sin C ＝.由于C ＜90°，所以cos C ＝＝.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝22＋32－2×2×3×＝9，所以c ＝3，故选B.6．(必修5 P18练习T3改编)已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3acos A ＝bcos C ＋ccos B ，b ＝2，则asin B ＝( )A ．B.232 C ．D ．62解析：选C.因为3acos A ＝bcos C ＋ccos B ， 即3acos A ＝b·＋c·＝a ，所以cos A ＝，又0＜A ＜π.所以sin A ＝.又b ＝2，所以asin B ＝bsin A ＝2×＝.故选C. 二、填空题7．(必修4 P146A 组T5(1)改编)－＝______．解析：－＝3cos 80°－sin 80°si n 80°cos 80°＝＝4sin （60°－80°）sin 160°＝＝－4. 答案：－48．(必修5 P20A 组T11(3)改编)△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.A ＝120°，a ＝7，S △ABC ＝，则b ＋c ＝________．解析：由题意得，即，所以b2＋c2＋2bc ＝64.所以b ＋c ＝8. 答案：89．(必修4 P56练习T3改编)关于函数f(x)＝sin(x －)的下列结论：①f(x)的一个周期是－8π； ②f(x)的图象关于x ＝对称；③f(x)的图象关于点对称； ④f(x)在上单调递增；⑤f(x)的图象可由g(x)＝cosx 向右平移个单位得到．其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)． 解析：f(x)的最小正周期T ＝＝4π.所以f(x)的一个周期为－8π.①正确．f ＝0，故②错误．③正确．由2kπ－＜x －＜2kπ＋，k∈Z，得 4k π－＜x ＜4k π＋π.令k ＝0得，－＜x ＜π.⊆.故④正确．g(x)＝cosx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝sin ，f(x)＝sin ＝sin ，所以g(x)的图象向右平移－(－π)＝π即可得到f(x)的图象．故⑤错误，即①③④正确．答案：①③④ 三、解答题10．(必修 4 P147A 组T10改编)已知函数f(x)＝4sin(ωx －)·cos ωx 在x ＝处取得最值，其中ω∈(0，2)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，若α为锐角，g(α)＝－，求cos α.解：(1)f(x)＝4sin·cos ωx＝2sin ωx·cos ωx－2cos2ωx ＝(sin 2ωx－cos 2ωx)－＝2sin －，由于f(x)在x ＝处取得最值，因此2ω·－＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝2k ＋，因为ω∈(0，2)，所以ω＝， 因此，f(x)＝2sin －，所以T ＝.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到h(x)＝2sin －＝2sin －的图象，再将h(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin －的图象，故g(α)＝2sin －＝－， 可得sin ＝，因为α为锐角，所以－＜α－＜， 因此cos ＝＝，故cos α＝cos ＝coscos －sinsin ＝×－×＝.11．(必修5 P20A 组T13改编)D 为△ABC 的边BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2.(1)求BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交AB 于E ，求S△ACE. 解：(1)由题意知AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设BD ＝DC ＝m.在△ADB 与△ADC 中， 由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD ·BDcos ∠ADB ， AC2＝AD2＋DC2－2AD ·DCcos ∠ADC.即1＋m2－2mcos∠ADB＝4，① 1＋m2＋2mcos ∠ADB ＝1.② ①＋②得m2＝， 所以m ＝，即BC ＝.(2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AEsin∠ACE＝，＝，由于∠ACE＝∠BCE， 且＝，所以＝＝.所以BE ＝AE ，所以AE ＝(－1)． 又cos ∠BAC＝＝22＋12－（6）22×2×1＝－，所以sin ∠BAC＝，所以S△ACE＝AC·AE·sin ∠BAC ＝×1×(－1)×＝.。
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章 三角函数、解三角形 4.4含解析
§4.4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用考情考向分析 以考查函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为填空题，中档难度．1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ≥0AT ＝2πωf ＝＝1T ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ0π2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径概念方法微思考1．怎样从y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？提示 向左平移个单位长度．φω2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的对称轴是什么？提示 x ＝＋－(k ∈Z )．k πωπ2ωφω题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin 的图象是由y ＝sin 的图象向右平移个单位长度得到的．( √ )(x －π4)(x ＋π4)π2(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( T2√ )(4)函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析12式为y ＝sin x .( × )12题组二 教材改编2．[P39T2]为了得到函数y ＝2sin 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象向________(2x －π3)平移________个单位长度．答案 右 π63．[P40T5]y ＝2sin 的振幅、频率和初相分别为__________________．(12x －π3)答案 2，，－14ππ34．[P41T1]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案 y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x ＋3π4)解析 从题图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝×(30－10)＝10，12b ＝×(30＋10)＝20，12又×＝14－6，所以ω＝.122πωπ8又×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝，π83π4所以y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14]．(π8x ＋3π4)题组三 易错自纠5．将函数y ＝2sin 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(2x ＋π6)14________________．答案 y ＝2sin (2x －π3)解析 函数y ＝2sin 的周期为π，将函数y ＝2sin 的图象向右平移个周期，即(2x ＋π6)(2x ＋π6)14个单位长度，π4所得函数为y ＝2sin＝2sin .[2(x －π4)＋π6](2x －π3)6．y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．答案 π2＋4解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.π2＋47.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．(π4)答案 3解析 由题干图象可知A ＝2，T ＝－＝，3411π12π63π4∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝时，函数f (x )取得最大值，π6∴2×＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝＋2k π(k ∈Z )，π6π2π6又0<φ<π，∴φ＝，∴f (x )＝2sin ，π6(2x ＋π6)则f＝2sin ＝2cos ＝.(π4)(π2＋π6)π63题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的最小正周期是π，且当x ＝时，f (x )取得最大值2.π6(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x ＝时，f (x )取得最大值2.π6所以A ＝2，同时2×＋φ＝2k π＋，k ∈Z ，π6π2φ＝2k π＋，k ∈Z ，π6因为－<φ<，所以φ＝，π2π2π6所以f (x )＝2sin .(2x ＋π6)(2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋∈，π6[π6，13π6]列表如下：2x ＋π6π6π2π3π22π13π6x 0π65π122π311π12πf (x )12－21描点、连线得图象：引申探究在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解 由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin ＝2sin 是偶函数，[2(x －m )＋π6][2x －(2m －π6)]所以2m －＝(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝＋，k ∈Z ，π6π2k π2π3又因为m >0，所以m 的最小值为.π3思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练1 (1)(2018·南通、泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin 的(2x ＋π3)图象向右平移φ个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为(0<φ<π2)________．答案 π6解析 y ＝sin 的图象向右平移φ个单位长度后得到y ＝sin ，(2x ＋π3)(2x －2φ＋π3)又sin ＝0，∴－2φ＋＝k π(k ∈Z )，(－2φ＋π3)π3又0<φ<，∴φ＝.π2π6(2)已知函数f (x )＝sin (0<ω<2)满足条件：f ＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图象，(ωx ＋π6)(－12)可将函数g (x )＝cos ωx 的图象向右平移m (m >0)个单位长度，则m 的最小值为________．答案 1解析 由题意得sin ＝0，即－ω＋＝k π(k ∈Z )，则ω＝－2k π(k ∈Z )，(－12ω＋π6)12π6π3结合0<ω<2，得ω＝，所以f (x )＝sin ＝cos ＝cos ，π3(π3x ＋π6)(π2－π3x －π6)[π3(x －1)]所以只需将函数g (x )＝cos x 的图象向右至少平移1个单位长度，π3即可得到函数y ＝f (x )的图象．题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝f 取得最(ω>0，|φ|<π2)(x ＋π6)小值时x 的集合为________________．答案 Error!解析 根据题干所给图象，周期T ＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，(7π12－π3)2πω因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，(7π12，0)7π12再由|φ|<，得φ＝－，∴f (x )＝sin ，π2π6(2x －π6)∴f ＝sin ，(x ＋π6)(2x ＋π6)当2x ＋＝－＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－＋k π(k ∈Z )时，y ＝f 取得最小值．π6π2π3(x ＋π6)(2)(2019·江苏省扬州中学月考)函数f (x )＝6cos 2＋sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如ωx23图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．①求ω的值及函数f (x )的值域；②若f (x 0)＝，且x 0∈，求f (x 0＋1)的值．835(－103，23)解 ①由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋sin ωx ＝2sin ，33(ωx ＋π3)∴函数f (x )的值域为[－2，2]，33∴正三角形ABC 的高为2，从而BC ＝4，3∴函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即＝8，ω＝.2πωπ4②∵f (x 0)＝，835由①有f (x 0)＝2sin ＝，3(π4x 0＋π3)835即sin ＝，(π4x 0＋π3)45由x 0∈，知x 0＋∈，(－103，23)π4π3(－π2，π2)∴cos ＝＝.(π4x 0＋π3)1－(45)235∴f (x 0＋1)＝2sin 3(π4x 0＋π4＋π3)＝2sin3[(π4x 0＋π3)＋π4]＝23[sin (π4x 0＋π3)cos π4＋cos (π4x 0＋π3)sinπ4]＝2＝.3(45×22＋35×22)765思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的部分图象如图所示，将函(A >0，ω>0，|φ|<π2)数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点对称，则m(π3，32)的最小值为________．答案 π12解析 依题意得Error!解得Error!＝＝－＝，T 2πω2π3π6π2故ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)＋.332又f＝sin ＋＝，(π6)3(π3＋φ)32332故＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，即φ＝＋2k π(k ∈Z )．π3π2π6因为|φ|<，故φ＝，π2π6所以f (x )＝sin ＋.3(2x ＋π6)32将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后，得到g (x )＝sin ＋的图象，3(2x ＋π6＋2m )32又函数g (x )的图象关于点对称，即h (x )＝sin 的图象关于点对(π3，32)3(2x ＋π6＋2m )(π3，0)称，故sin＝0，即＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝－(k ∈Z )．3(2π3＋π6＋2m )5π6k π25π12又m >0，所以m 的最小值为.π12题型三 三角函数图象、性质的综合应用命题点1 图象与性质的综合问题例3 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，若f (0)＝，且·＝(ω>0，|φ|<π2)3AB → BC → －8，B ，C 分别为最高点与最低点．π28(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间上π6[0，π2]的最大值和最小值．解 (1)由f (0)＝，可得2sin φ＝，即sin φ＝.3332又∵|φ|<，∴φ＝.π2π3由题意可知，＝，＝，AB → (14T ，2)BC →(12T ，－4)则·＝－8＝－8，∴T ＝π.AB → BC → T 28π28故ω＝2，∴f (x )＝2sin .(2x ＋π3)由－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π3π2解得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，5π12π12∴函数f (x )的单调递增区间为，k ∈Z .[－5π12＋k π，π12＋k π](2)由题意将f (x )的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，π6∴g (x )＝f ＝2sin (x ＋π6)[2(x ＋π6)＋π3]＝2sin .(2x ＋2π3)∵x ∈，[0，π2]∴2x ＋∈，sin ∈.2π3[2π3，5π3](2x ＋2π3)[－1，32]∴当2x ＋＝，即x ＝0时，sin ＝，2π32π3(2x ＋2π3)32g (x )取得最大值，3当2x ＋＝，即x ＝时，sin ＝－1，2π33π25π12(2x ＋2π3)g (x )取得最小值－2.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －sin 2x ＋m －1＝0在上有两个不同的实数根，则m3(π2，π)的取值范围是____________．答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －sin 2x ＋m －1＝0可转化为3m ＝1－2sin 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x 33＝2sin ，x ∈.(2x ＋π6)(π2，π)设2x ＋＝t ，则t ∈，π6(76π，136π)∴题目条件可转化为＝sin t ，t ∈有两个不同的实数根．m 2(76π，136π)∴y ＝和y ＝sin t ，t ∈的图象有两个不同交点，如图：m 2(76π，136π)由图象观察知，的取值范围是，m 2(－1，－12)故m 的取值范围是(－2，－1)．引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________．答案 [－2,1)解析 由上例题知，的取值范围是，m 2[－1，12)∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3 三角函数模型例5 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最(A >0，ω>0，|φ|<π2)低，为5千元，则7月份的出厂价格为______元．答案 6 000解析 作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝(9 000－5 000)＝2 000，B ＝7 000，12T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.2πT π6将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，π6π2故f (x )＝2 000sin x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．π6∴f (7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．7π6故7月份的出厂价格为6 000元．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上的两个相邻的最高(ω>0，－π2≤φ≤π2)点和最低点的距离为2，且过点，则函数f (x )的解析式为______________．2(2，－12)答案 f (x )＝sin(πx 2＋π6)解析 根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为2，可得 ＝2，解得T 2(T 2)2＋(1＋1)22＝4，故ω＝＝，即f (x )＝sin .2πT π2(πx2＋φ)又函数图象过点，(2，－12)故f (2)＝sin＝－sin φ＝－，(π2×2＋φ)12又－≤φ≤，解得φ＝，π2π2π6故f (x )＝sin.(πx 2＋π6)(2)(2019·江苏省淮海中学测试)已知函数f (x )＝4sin x ·cos ＋.(x ＋π3)3①求f (x )在区间上的最大值和最小值及取得最值时x 的值；[－π4，π6]②若方程f (x )－t ＝0在x ∈上有唯一解，求实数t 的取值范围．[－π4，π2]解 ①f (x )＝4sin x ＋(cos x cos π3－sin x sin π3)3＝2sin x cos x －2sin 2x ＋33＝sin 2x ＋cos 2x 3＝2sin .(2x ＋π3)因为－≤x ≤，所以－≤2x ＋≤，π4π6π6π32π3所以－≤sin ≤1，所以－1≤f (x )≤2，12(2x ＋π3)当2x ＋＝－，即x ＝－时，f (x )min ＝－1；π3π6π4当2x ＋＝，即x ＝时，f (x )max ＝2.π3π2π12②因为当－≤x ≤时，－≤2x ＋≤，π4π12π6π3π2所以－1≤2sin ≤2，且单调递增；(2x ＋π3)当≤x ≤时，≤2x ＋≤，π12π2π2π34π3所以－≤2sin ≤2，且单调递减，3(2x ＋π3)所以f (x )＝t 有唯一解时对应t 的取值范围是t ∈[－，－1)或t ＝2.3三角函数图象与性质的综合问题例 (14分)已知函数f (x )＝2sin ·cos －sin(x ＋π)．3(x 2＋π4)(x 2＋π4)(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上π6的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝2sin cos 3(x 2＋π4)(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝cos x ＋sin x [3分]3＝2sin ，[5分](x ＋π3)于是T ＝＝2π.[6分]2π1(2)由已知得g (x )＝f ＝2sin ，[8分](x －π6)(x ＋π6)∵x ∈[0，π]，∴x ＋∈，π6[π6，7π6]∴sin ∈，[10分](x ＋π6)[－12，1]∴g (x )＝2sin ∈[－1,2]．[12分](x ＋π6)故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝·；a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)第三步：(求性质)利用f (x )＝sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．a 2＋b 21．(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移个单位长π6度得到g (x )的图象，则g的值为________．(π2)答案 －12解析 由题意得，将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移个单位长度，得到g (x )＝cos 的π6(2x －π3)图象，所以g＝cos ＝－.(π2)(π－π3)122．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案 3π8解析 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝cos ，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得2(2x －π4)图象对应的函数为y ＝cos ，且该函数为偶函数，2(2x －π4－2φ)故2φ＋＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为.π43π83．函数f (x )＝cos (ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后对应函(ωx ＋π6)π3数的单调递减区间是________________．答案 (k ∈Z )[π4＋k π，3π4＋k π]解析 由题意知ω＝＝2，将函数f (x )的图象向右平移个单位长度后得到函数g (x )＝cos 2πππ3＝cos ＝sin 2x 的图象，由2k π＋≤2x ≤2k π＋(k ∈Z )，解得所求函数[2(x －π3)＋π6](2x －π2)π23π2的单调递减区间为(k ∈Z )．[k π＋π4，k π＋3π4]4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为(ω>0，|φ|<π2)________．答案 [－3＋8k,1＋8k ](k ∈Z )解析 由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，2πT π4所以f (x )＝sin .把(1,1)代入，得sin ＝1，即＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，(π4x ＋φ)(π4＋φ)π4π2又|φ|<，所以φ＝，所以f (x )＝sin .由2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π4(π4x ＋π4)π2π4π4π2得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z )．5．(2018·江苏泰州中学月考)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)，使得平移后的图象仍过点，则φ的最小值为________．(π3，32)答案 π6解析 将y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到y ＝sin 2(x －φ)，代入点得＝sin ，(π3，32)32(2π3－2φ)因为φ>0，所以当－2φ＝时，第一个正弦值为的角，此时φ最小，为.2π3π332π66．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )(|φ|<π2)π6在上的最小值为________．[0，π2]答案 －32解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y ＝sin ＝sin π6[2(x ＋π6)＋φ]的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝k π(k ∈Z )，(2x ＋π3＋φ)π3又|φ|<，所以φ＝－，即f (x )＝sin .π2π3(2x －π3)当x ∈时，2x －∈，[0，π2]π3[－π3，2π3]所以当2x －＝－，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－.π3π3327.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________.(ω>0，|φ|<π2)(π24)答案 3解析 由题干图象知＝2×＝，πω(3π8－π8)π2所以ω＝2.因为2×＋φ＝k π＋(k ∈Z )，π8π2所以φ＝k π＋(k ∈Z )，π4又|φ|<，所以φ＝，π2π4这时f (x )＝A tan .(2x ＋π4)又函数图象过点(0,1)，代入上式得A ＝1，所以f (x )＝tan .(2x ＋π4)所以f＝tan ＝.(π24)(2×π24＋π4)38.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈，且f (x 1)＝(ω>0，|φ|<π2)(－π6，π3)f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案 32解析 由题图可知，＝－＝，T 2π3(－π6)π2则T ＝π，ω＝2，又＝，－π6＋π32π12所以f (x )的图象过点，(π12，1)即sin ＝1，(2×π12＋φ)所以2×＋φ＝＋2k π，k ∈Z ，π12π2又|φ|<，可得φ＝，所以f (x )＝sin .π2π3(2x ＋π3)由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈，(－π6，π3)可得x 1＋x 2＝－＋＝，π6π3π6所以f (x 1＋x 2)＝f＝sin ＝sin ＝.(π6)(2×π6＋π3)2π3329．(2018·南京模拟)在同一直角坐标系中，函数y ＝sin (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝(x ＋π3)12的交点的个数是________．答案 2解析 方法一 令sin ＝，可得x ＋＝2k π＋或x ＋＝2k π＋，k ∈Z ，(x ＋π3)12π3π6π35π6即x ＝2k π－或x ＝2k π＋，k ∈Z ，又x ∈[0,2π]，所以x ＝或x ＝，π6π211π6π2故原函数图象与y ＝的交点的个数是2.12方法二 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2.10．已知函数f (x )＝cos ，其中x ∈，若f (x )的值域是，则m 的取值(3x ＋π3)[π6，m ][－1，－32]范围是________．答案 [2π9，5π18]解析 画出函数的图象如图所示．由x ∈，可知≤3x ＋≤3m ＋，[π6，m ]5π6π3π3因为f ＝cos ＝－且f ＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是，(π6)5π632(2π9)[－1，－32]只要≤m ≤，即m ∈.2π95π18[2π9，5π18]11．已知函数f (x )＝2sin (其中0<ω<1)，若点是函数f (x )图象的一个对称中心．(2ωx ＋π6)(－π6，0)(1)求ω的值，并求出函数f (x )的单调递增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解 (1)因为点是函数f (x )图象的一个对称中心，(－π6，0)所以－＋＝k π(k ∈Z )，ω＝－3k ＋(k ∈Z )，ωπ3π612因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝.12所以f (x )＝2sin .(x ＋π6)令2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π6π2解得2k π－≤x ≤2k π＋(k ∈Z )，2π3π3所以函数的单调递增区间为(k ∈Z )．[2k π－2π3，2k π＋π3](2)由(1)知，f (x )＝2sin ，x ∈[－π，π]，(x ＋π6)列表如下：x ＋π6－5π6－π20π2π7π6x －π－2π3－π6π35π6πf (x )－1－202－1作出函数部分图象如图所示：12．设函数f (x )＝sin ＋sin ，其中0<ω<3.已知f ＝0.(ωx －π6)(ωx －π2)(π6)(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在上的最小值．π4[－π4，3π4]解 (1)因为f (x )＝sin ＋sin ，(ωx －π6)(ωx －π2)所以f (x )＝sin ωx －cos ωx －cos ωx 3212＝sin ωx －cos ωx ＝32323(12sin ωx －32cos ωx )＝sin .3(ωx －π3)由题设知f＝0，(π6)所以－＝k π，k ∈Z ，ωπ6π3故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝sin ，3(2x －π3)所以g (x )＝sin ＝sin .3(x ＋π4－π3)3(x －π12)因为x ∈，[－π4，3π4]所以x －∈，π12[－π3，2π3]当x －＝－，即x ＝－时，g (x )取得最小值－.π12π3π43213．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数(－π2<θ<π2)g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为________．(0，32)答案 5π6解析 g (x )＝sin [2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，(0，32)所以sin θ＝，sin(－2φ＋θ)＝，3232又－<θ<，π2π2所以θ＝，sin ＝.π3(π3－2φ)32又0<φ<π，所以－<－2φ<，5π3π3π3所以－2φ＝－.π34π3即φ＝.5π614．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若3相邻交点距离的最小值为，则f (x )的最小正周期为________．π3答案 π解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ω>0)．3(ωx ＋π6)由2sin ＝1，得sin ＝，(ωx ＋π6)(ωx ＋π6)12∴ωx ＋＝2k π＋或ωx ＋＝2k π＋(k ∈Z )．π6π6π65π6令k ＝0，得ωx 1＋＝，ωx 2＋＝，π6π6π65π6∴x 1＝0，x 2＝.2π3ω由|x 1－x 2|＝，得＝，∴ω＝2.π32π3ωπ3故f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π215．已知函数y ＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝对称．该函数的部分13图象如图所示，AC ＝BC ＝，C ＝90°，则f的值为________．22(12)答案 34解析 依题意知，△ABC 是直角边长为的等腰直角三角形，22因此其边AB 上的高是，函数f (x )的最小正周期是2，12故M ＝，＝2，ω＝π，f (x )＝sin(πx ＋φ)．122πω12又f (x )的图象关于直线x ＝对称，13∴f＝sin ＝±.(13)12(π3＋φ)12∴＋φ＝k π＋，k ∈Z ，又0<φ<π，π3π2∴φ＝，π6∴f＝sin ＝.(12)12(π2＋π6)3416．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x12(A >0，0<φ<π2)＝对称，若存在x ∈，使m 2－3m ≥f (x )成立，则实数m 的取值范围为______________．π12[0，π2]答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象在y 轴上的截距为1，12(A >0，0<φ<π2)∴A sin φ－＝1，即A sin φ＝.1232∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象关于直线x ＝对称，12π12∴2×＋φ＝k π＋，k ∈Z ，π12π2又0<φ<，∴φ＝，∴A ·sin ＝，π2π3π332∴A ＝，∴f (x )＝sin －.33(2x ＋π3)12当x ∈时，2x ＋∈，[0，π2]π3[π3，4π3]∴当2x ＋＝，即x ＝时，π34π3π2f (x )min ＝－－＝－2.3212令m 2－3m ≥－2，解得m ≥2或m ≤1.。
(新课标)2020高考数学大一轮复习第四章三角函数题组层级快练25三角函数的图像与性质文(含解析)
题组层级快练(二十五)1．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是( )A ．{x|x ≠π4}B ．{x|x≠－π4}C ．{x|x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x|x≠kπ＋3π4，k ∈Z }答案 D解析 y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋kπ，k ∈Z ，得x≠kπ＋3π4，k ∈Z .故选D.2．(2019·重庆南开中学月考)函数f(x)＝(1＋3tanx )·cosx 的最小正周期为( ) A ．2π B.3π2 C ．π D.π2答案 A解析 f(x)＝(1＋3tanx)cosx ＝cosx ＋3sinx cosx ·cosx ＝2cos(x －π3)，则T ＝2π.3．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．4．(2019·江西六校联考)下列函数中，最小正周期是π且在区间(π2，π)上是增函数的是( ) A ．y ＝sin2x B ．y ＝sinx C ．y ＝tan x2D ．y ＝cos2x答案 D解析 y ＝sin2x 在区间(π2，π)上的单调性是先减后增；y ＝sinx 的最小正周期是T ＝2πω＝2π；y ＝tan x 2的最小正周期是T ＝πω＝2π；y ＝cos2x 满足条件．故选D.5．函数y ＝2sin(π6－2x)(x∈[0，π])的增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]答案 C解析 ∵y＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x －π6)，由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k ∈Z ，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ，k ∈Z ，即函数的增区间为[π3＋kπ，5π6＋kπ]，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为[π3，5π6]．6．(2018·课标全国Ⅰ，文)已知函数f(x)＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B ．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C ．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4答案 B解析 易知f(x)＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos2x ＋52，则f(x)的最小正周期为π，当x ＝kπ(k∈Z )时，f(x)取得最大值，最大值为4. 7．(2017·课标全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减答案 D解析 由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确，所以选择D.8．(2016·浙江)函数y ＝sinx 2的图像是( )答案 D解析 由于函数y ＝sinx 2是一个偶函数，选项A ，C 的图像都关于原点对称，所以不正确；选项B 与选项D 的图像都关于y 轴对称，在选项B 中，当x ＝±π2时，函数y ＝sinx 2<1，显然不正确，当x ＝±π2，y ＝sinx 2＝1，而π2<π2，故选D. 9．函数g(x)＝sin 22x 的单调递增区间是( ) A ．[kπ2，kπ2＋π4](k∈Z )B ．[kπ，k π＋π4](k∈Z )C ．[kπ2＋π4，kπ2＋π2](k∈Z )D ．[kπ＋π4，k π＋π2](k∈Z )答案 A10．(2019·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．[0，2] C ．[1，2) D ．[1，3]答案 C解析 因为x∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数m ＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈[π2，7π6]时，函数m ＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2]，因此要有两个不相等实根，则m 的取值范围是[1，2)．故选C.11．(2018·课标全国Ⅱ)若f(x)＝cosx －sinx 在[－a ，a]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π答案 A解析 方法一：f(x)＝cosx －sinx ＝2cos(x ＋π4)，且函数y ＝cosx 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤3π4.因为f(x)在[－a ，a]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a≥－π4，a ≤3π4，解得a≤π4，所以0<a≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.方法二：因为f(x)＝cosx －sinx ，所以f′(x)＝－sinx －cosx ，则由题意，知f′(x)＝－sinx －cosx≤0在[－a ，a]上恒成立，即sinx ＋cosx≥0，即2sin(x ＋π4)≥0在[－a ，a]上恒成立，结合函数y ＝2sin(x ＋π4)的图像可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a≤π4，所以0<a≤π4，所以a 的最大值是π4，选A.12．(2014·安徽)设函数f(x)(x∈R )满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f(23π6)＝( )A.12B.32C ．0D ．－12答案 A解析 由题意得f(23π6)＝f(17π6)＋sin 17π6＝f(11π6)＋sin 11π6＋sin 17π6＝f(5π6)＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.13．若y ＝cosx 在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________． 答案 －π<α≤014．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx的初相是________． 答案 23π解析 f′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．15．(2018·北京)设函数f(x)＝cos(ωx－π6)(ω>0)．若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________． 答案 23解析 由于对任意的实数都有f(x)≤f(π4)成立，故当x ＝π4时，函数f(x)有最大值，故f(π4)＝1，πω4－π6＝2kπ(k∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.16．已知函数f(x)＝（sinx －cosx ）sin2xsinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．答案 (1){x∈R |x≠kπ，k ∈Z } T ＝π (2)[kπ＋3π8，k π＋7π8](k∈Z )解析 (1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z )． 故f(x)的定义域为{x∈R |x≠kπ，k ∈Z }． 因为f(x)＝(sinx －cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx －cosx) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sinx 的单调递减区间为[2kπ＋π2，2k π＋3π2](k∈Z )．由2kπ＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k∈Z )，得kπ＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k∈Z )．所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋3π8，k π＋7π8](k∈Z )．17．(2016·北京，文)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间． 答案 (1)ω＝1 (2)[kπ－3π8，k π＋π8](k∈Z ) 解析 (1)因为f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx ＝sin2ωx＋cos2ωx ＝2sin (2ωx＋π4)，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 依意题，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x ＋π4)． 函数y ＝sinx 的单调递增区间为[2kπ－π2，2k π＋π2](k∈Z )．由2kπ－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k∈Z )，得kπ－3π8≤x ≤kπ＋π8(k∈Z )．所以f(x)的单调递增区间为[kπ－3π8，k π＋π8](k∈Z )．18．(2016·天津，理)已知函数f(x)＝4tanxsin(π2－x)cos(x －π3)－ 3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间[－π4，π4]上的单调性．答案 (1){x|x≠π2＋kπ，k ∈Z } T ＝π(2)增区间[－π12，π4]，减区间[－π4，－π12]解析 (1)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k ∈Z }．f(x)＝4tanxcosxcos(x －π3)－3＝4sinxcos(x －π3)－3＝4sinx(12cosx ＋32sinx)－3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－3＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k ∈Z .由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k ∈Z .设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k ∈Z }，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减．。
2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第四章 三角函数含答案
第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3. [答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cosθ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D.2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°. 3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z . 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( )A. 3 B ．－ 5 C. 5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角．(1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos αAT ，因为－3π4解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cosα<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一 三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2.答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二 同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0， 所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________. 解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)， 即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2， 从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125， 整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0， 所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34B ．－34C.43 D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15， 得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3D ．－ 3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74， 所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2， 因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2， 所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3； 当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.第三节 三角函数的图象与性质一、基础知识1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1). 函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点). (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π (k ∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2 (k ∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．第一课时 三角函数的单调性 考点一 求三角函数的单调区间[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．[解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[题组训练]1．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为________． 解析：作出y ＝|tan x |的示意图如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎦⎤π2，π 2．函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的单调递增区间为________． 解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数g (x )的单调递增区间，只需求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间．由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－1. (1)求α的值；(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－2sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3－2cos 2α＝－3－1，整理得cos 2α＝12. 因为0<α<π2，所以cos α＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f (x )＝3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝3cos 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝3cos 2x ＋sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 易知函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令t ＝2x ＋π3，则函数f (x )可转化为y ＝2sin t －1.显然函数y ＝2sin t －1与y ＝sin t 的单调性相同， 当函数y ＝sin t 单调递减时， 2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．考点二 求三角函数的值域(最值)[典例] (1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. [答案] (1)B (2)1[变透练清]1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－332，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－332，32.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋cos x (－2≤t ≤2)，则sin x cos x ＝t 2－12，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y ＝t ＋12t 2－12取最大值为2＋12.故f (x )的最大值为22＋12.答案：22＋123．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________． 解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π考点三 根据三角函数单调性确定参数[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________． [解析] (1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4，∴a 的最大值是π4.(2)法一：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3(ω>0)， 所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－πω2，2πω3， 因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 需⎩⎨⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34.[答案] (1)A (2)⎝⎛⎦⎤0，34[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[题组训练]1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 答案：322．（2019·贵阳检测）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 解析：由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，54[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3. 4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，πB.⎣⎡⎦⎤π3，2π3C.⎣⎡⎦⎤0，2π3D.⎣⎡⎦⎤2π3，π解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π.5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为( ) A ．1 B.1－32C.32D ．1－ 3解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sinωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ， 由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，故原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． 答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.答案：59．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3. 答案：2－ 310．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数 的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：3211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π， 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．B 级1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21， b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2， 所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 答案：c <a <b2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝π4对称， ∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， ∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π， ∴2πω≥π，∴ω≤2， 又∵ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，有{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5， 所以a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，有{ b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点一 三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期． 2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π； 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二 三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. [答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ， 因为函数f (x )为奇函数， 所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3考点三 三角函数的对称性[典例] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．。
2020高考数学(理)大一轮复习考点与题型全归纳：第四章 三角函数
第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A. 3 B ．－ 5 C. 5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一 三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α，所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2. 答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二 同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________.解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)， 即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2， 从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125， 整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0， 所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin xcos x＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15， 得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α ＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3D ．－ 3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74， 所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2， 因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2， 所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3；当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.第三节 三角函数的图象与性质一、基础知识1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1).函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π (k∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2 (k∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．第一课时 三角函数的单调性 考点一 求三角函数的单调区间[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[题组训练]1．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为________． 解析：作出y ＝|tan x |的示意图如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎦⎤π2，π 2．函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的单调递增区间为________． 解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，欲求函数g (x )的单调递增区间，只需求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间． 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－1.(1)求α的值；(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－2sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3－2cos 2α＝－3－1，整理得cos 2α＝12. 因为0<α<π2，所以cos α＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f (x )＝3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝3cos 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝3cos 2x ＋sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 易知函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令t ＝2x ＋π3，则函数f (x )可转化为y ＝2sin t －1.显然函数y ＝2sin t －1与y ＝sin t 的单调性相同， 当函数y ＝sin t 单调递减时，2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．考点二 求三角函数的值域(最值)[典例] (1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. [答案] (1)B (2)1[变透练清]1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－332，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－332，32.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋cos x (－2≤t ≤2)， 则sin x cos x ＝t 2－12，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y ＝t ＋12t 2－12取最大值为2＋12.故f (x )的最大值为22＋12.答案：22＋123．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π考点三 根据三角函数单调性确定参数[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________． [解析] (1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4， ∴a 的最大值是π4.(2)法一：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3(ω>0)， 所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－πω2，2πω3， 因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 所以⎩⎨⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 需⎩⎨⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34.[答案] (1)A (2)⎝⎛⎦⎤0，34[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[题组训练]1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 答案：322．（2019·贵阳检测）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，ω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，54[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2B ．3C.3＋2 D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，πB.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡⎦⎤0，2π3 D.⎣⎡⎦⎤2π3，π解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π. 5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为( ) A ．1 B.1－32C.32D ．1－ 3解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ， 由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，故原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． 答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.答案：59．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3. 答案：2－ 310．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数 的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：3211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π， 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．B 级1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21， b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2， 所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 答案：c <a <b2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝π4对称， ∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， ∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π， ∴2πω≥π，∴ω≤2， 又∵ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，有{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，所以a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，有{b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点一 三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π； 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π； 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二 三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. [答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ， 因为函数f (x )为奇函数， 所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3考点三 三角函数的对称性[典例] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．。
2020高考数学(文科)大一轮复习练(新课标)第四章 三角函数 作业23Word版含解析
题组层级快练(二十三)1．已知sin10°＝a ，则sin70°等于( ) A ．1－2a 2 B ．1＋2a 2 C ．1－a 2 D ．a 2－1答案 A解析 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2.故选A. 2．已知cosα＝55，则cos(α－π4)的值为( ) A.31010B ．－1010 C.255 D.31010或－1010答案 D 解析 ∵cosα＝55，∴sin α＝±1－cos 2α＝±255， ∴cos(α－π4)＝cosαcos π4＋sinαsin π4＝55·22＋22·(±255)＝⎩⎨⎧31010，－1010.有两解，应选D.3．满足cosαcosβ＝32－sinαsinβ的一组α，β的值是( ) A ．α＝13π12，β＝54πB ．α＝13π12，β＝34πC ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π4，β＝π6答案 A解析 ∵cosαcosβ＝32－sinαsinβ， ∴cos αcos β＋sinαsinβ＝32.即cos(α－β)＝32. 当α＝13π12，β＝5π4时，α－β＝13π12－5π4＝－π6，此时，cos(－π6)＝32，∴α＝13π12，β＝5π4适合，应选A.4．cos α＋sinα不等于( )A.2cos(α－π4)B.2cos(π4－α)C.2cos(α＋π4)D.2cos(α＋7π4)答案 C 解析2cos(α－π4)＝2(cosαcos π4＋sinαsin π4)＝2(22cos α＋22sin α)＝cosα＋sinα.2cos(α＋7π4)＝2cos[2π－(α＋7π4)]＝2cos(π4－α)＝2cos(α－π4)＝co sα＋sinα. 5．化简2＋cos2－sin 21的结果是( ) A ．－cos1 B ．cos1 C.3cos1 D ．－3cos1答案 C 解析2＋cos2－sin 21＝2＋cos2－1－cos22＝3＋3cos22＝3cos 21＝3cos1. 6．若sin θ2＝35，cos θ2＝－45，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 cosθ＝2cos 2θ2－1＝2⎝⎛⎭⎫－452－1＝725>0， sin θ＝2sin θ2·cos θ2＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－2425<0，∴θ在第四象限．7．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－13，则cos2α等于( )A.179B ．±179C ．－179D.173答案 A解析 将cosα＋sinα＝－13平方整理，得2sin α·cos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α<0，sin α>0.∴cos α－sinα＝－（cosα－sinα）2＝－1－2sinαcosα＝－173. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(－13)×(－173)＝179.8.1＋cos100°－1－cos100°等于( ) A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．2sin5° D ．－2sin5°答案 D 解析 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2(22cos50°－22sin50°) ＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°.9．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A.259B.459 C ．－459D ．－259答案 B解析 设底角为α，则sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2×1－（23）2×23＝459.10．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sinA ＋cosA 的值为( )A.153B ．－153C.53 D ．－53答案 A解析 方法一：∵sin2A ＝2sinAcosA ＝23，∴1＋2sinAcosA ＝53，即sin 2A ＋2sinAcosA ＋cos 2A ＝53.∴|sinA ＋cosA|＝153.又∵A 为锐角，∴sinA ＋cosA ＝153，故选A. 方法二：∵A 为锐角， ∴sinA ＋cosA>0. ∴B ，D 不合题意． 若sinA ＋cosA ＝153，则(sinA ＋cosA)2＝53＝1＋2sinAcosA ＝1＋sin2A. ∴sin2A ＝23，满足题意，故选A.11．计算tan15°＋1tan15°的值为( ) A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 C解析 tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin 215°＋cos 215°sin15°cos15°＝2sin30°＝4.故选C.12．(2019·河北冀州考试)(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°·(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.13．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4 答案 A解析 由已知得tanA ＋tanB ＝－3(1－tanAtanB)， ∴tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A ＋B)＝－ 3. 又tanC ＝tan[π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝3，0<C<π，∴C ＝π3.14.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.15．(2019·广东珠海期末)已知tan(α＋π5)＝2，tan(β－4π5)＝－3，则tan(α－β)＝( )A ．1B ．－57C.57 D ．－1答案 D解析 ∵tan(β－4π5)＝－3，∴tan(β＋π5)＝－3.∵tan(α＋π5)＝2，∴tan(α－β)＝tan[(α＋π5)－(β＋π5)]＝tan （α＋π5）－tan （β＋π5）1＋tan （α＋π5）tan （β＋π5）＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.故选D.16．若cosα＝35，0<α<π，则1＋2cos （2α－π4）sin （α＋π2）＝( )A.25B.75C.145 D ．－25答案 C解析 因为0<α<π且cosα＝35，所以sinα＝45，所以1＋2cos （2α－π4）sin （α＋π2）＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝2cosα＋2sinα＝145，故选C.17．已知cos(π4－x)＝35，则sin2x 的值为( )A.1825 B.725 C ．－725D ．－1625答案 C解析 因为sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝2cos 2(π4－x)－1，所以sin2x ＝2×(35)2－1＝1825－1＝－725.18．(2019·唐山市五校联考)已知α是第三象限角，且tanα＝2，则sin(α＋π4)＝( )A ．－31010B.31010C ．－1010D.1010 答案 A解析 由tanα＝sinαcosα＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第三象限角，得sinα＝－255，cos α＝－55，所以sin(α＋π4)＝22(sinα＋cosα)＝－31010，故选A. 19．对于锐角α，若sin(α－π12)＝35，则cos(2α＋π3)＝( ) A.2425 B.38 C.28D ．－2425答案 D解析 由α为锐角，且sin(α－π12)＝35，可得cos(α－π12)＝45，则cos(α＋π6)＝cos[(α－π12)＋π4]＝cos(α－π12)cos π4－sin(α－π12)sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×(210)2－1＝－2425，故选D. 20．计算：sin 250°1＋sin10°＝________．答案 12。
(新课标)高考数学大一轮复习第四章三角函数题组22文
3
23 1
sinx ＋ cosx ＝ ( － sinx ＋
3
2
cosx) ＝
3 sin(x
＋2π ) ．
3
32
2
3
3
（ sinx － cosx ） sin2x
17．已知函数 f(x) ＝
sinx
.
- 5 - / 11
(1) 求 f(x) 的定义域及最小正周期； (2) 求 f(x) 的单调递减区间．
π
π
kπ π
∴ －2φ＝ kπ＋ ， k∈Z，即 φ＝－ － ， k∈ Z.
4
2
28
3π
因此当 k＝－ 1 时，φ有最小正值
. 8
π 12．(2015 ·东北四校模拟 ) 已知函数 f(x) ＝－ 2sin(2x ＋φ )(| φ |< π ) ，若 f( ) ＝－ 2，则
8
f(x) 的一个单调递增区间可以是 ( ) π 3π
2
3
12
3
π 5π
5π 2π
综上可知， f(x) 在 [ 6 ， 12 ] 上单调递增；在 [ 12 ， 3 ] 上单调递减．
π
5π
π
5π
得 3 ＋ kπ≤ x≤ 6 ＋ kπ， k∈ Z，即函数的增区间为 [ 3 ＋ kπ， 6 ＋ kπ ] ，k∈ Z，∴当 k＝
π 5π 0 时，增区间为 [ 3 ， 6 ] ． 4．(2016 ·山东济宁模拟 ) 已知 f(x) ＝ sin 2x ＋ sinxcosx ，则 f(x) 的最小正周期和一个单调增
∴ f(x)
＝－ 2sin(2x
＋
π 4
)
．
π
π
3π
2020版高考数学理一轮总温习层级快练第四章三角函数作业28
专题层级快练(二十八)1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( ) A ．(－32，12] B ．[－12，32] C ．[12，32] D ．[－32，－12] 答案 B解析 x∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]． 2．若是|x|≤π4，那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是( ) A.2－12 B ．－2＋12 C ．－1 D.1－22 答案 D解析 f(x)＝－sin 2x ＋sinx ＋1＝－(sinx －12)2＋54，当sinx ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22. 3．(2017·课标全国Ⅲ，文)函数f(x)＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)的最大值为( ) A.65B ．1 C.35D.15答案 A 解析 因为cos(x －π6)＝cos[(x ＋π3)－π2] ＝sin(x ＋π3)，因此f(x)＝65sin(x ＋π3)，因此f(x)的最大值为65，应选A. 4．(2019·沧州七校联考)函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin(πx 6－π3)≤1，因此函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．(2019·湖南衡阳月考)概念运算：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b.例如1*2＝1，那么函数f(x)＝sinx*cosx 的值域为( )A ．[－22，22] B ．[－1，1] C ．[22，1] D ．[－1，22] 答案 D解析 依照三角函数的周期性，咱们只看在一个最小正周期内的情形即可．设x ∈[0，2π]，当π4≤x ≤5π4时，sinx ≥cosx ，f(x)＝cosx ，f(x)∈[－1，22]，当0≤x<π4或5π4<x ≤2π时，cosx>sinx ，f(x)＝sinx ，f(x)∈[0，22)∪[－1，0]．综上知f(x)的值域为[－1，22]． 6．当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos 2x cosxsinx －sin 2x的最小值是( ) A.14B.12 C ．2D ．4答案 D解析 f(x)＝1－tan 2x ＋tanx ＝1－（tanx －12）2＋14，当tanx ＝12时，f(x)的最小值为4，应选D. 7．已知f(x)＝sinx ＋1sinx，x ∈(0，π)．以下结论正确的选项是( ) A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 答案 B解析 令t ＝sinx ，t ∈(0，1]，那么y ＝1＋1t，t ∈(0，1]是一个减函数，则f(x)只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sinx ，得出sinx ＝1y －1，由sinx ∈(0，1]也可求出，应选B. 8．(2019·河北石家庄一检)假设函数f(x)＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图像关于点(π2，0)对称，那么函数f(x)在[－π4，π6]上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32 答案 B解析 因为f(x)＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin(2x ＋θ＋π6)，那么由题意，知f(π2)＝2sin(π＋θ＋π6)＝0.又0<θ<π，因此θ＝5π6，因此f(x)＝－2sin2x ，那么f(x)在[－π4，π6]上是减函数，因此函数f(x)在[－π4，π6]上的最小值为f(π6)＝－2sin π3＝－ 3.应选B.9．当函数y ＝sinx －3cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x ＝________．答案 56π 解析 y ＝sinx －3cosx ＝2sin(x －π3)，∵x ∈[0，2π)，∴x －π3∈[－π3，5π3)，∴当x －π3＝π2，即x ＝56π时，函数取得最大值2.10．(2018·北京西城模拟)已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6)，其中x ∈[－π6，α]．当α＝π3时，f(x)的值域是________；假设f(x)的值域是[－12，1]，那么α的取值范围是________． 答案 [－12，1] [π6，π2] 解析 假设－π6≤x ≤π3，那么－π3≤2x ≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，现在－12≤sin(2x ＋π6)≤1，即f(x)的值域是[－12，1]． 假设－π6≤x ≤α，那么－π3≤2x ≤2α，－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6. ∵当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin(2x ＋π6)＝－12，∴要使f(x)的值域是[－12，1]，那么有π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，∴π6≤α≤π2，即α的取值范围是[π6，π2]． 11．(2021·课标全国Ⅱ，理)函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sinφcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 f(x)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sinφcos (x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cosφ－cos(x ＋φ)sinφ＝sin(x ＋φ－φ)＝sinx ，因为x ∈R ，因此f(x)的最大值为1.12．(2019·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，那么： (1)m ＝________；(2)对任意a ∈R ，f(x)在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________．答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1， 因为0≤x ≤π2，因此π6≤2x ＋π6≤7π6. 因此－12≤sin(2x ＋π6)≤1，f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，因此m ＝0. (2)由(1)f(x)＝2sin(2x ＋π6)＋1，T ＝2π2＝π， 在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.13．函数y ＝1sin 2x ＋2cos 2x的最小值是________．答案 3＋2 2解析 y ＝1sin 2x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝3＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x cos 2x≥3＋22， ∴y min ＝3＋2 2.14．(2021·天津)已知函数f(x)＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R . (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值和最小值． 答案 (1)T ＝π (2)34，－12解析 (1)由已知，有f(x)＝1－cos2x 2－1－cos （2x －π3）2＝12(12cos2x ＋32sin2x)－12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin(2x －π6)． 因此，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)方式一：因为f(x)在区间[－π3，－π6]上是减函数，在区间[－π6，π4]上是增函数，f(－π3)＝－14，f(－π6)＝－12，f(π4)＝34.因此，f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值为34，最小值为－12. 方式二：∵x ∈[π3，π4]，∴2x －π6∈[－56π，π3] ∴sin(2x －π6)∈[－1，32] ∴12sin(2x －π6)∈[－12，34]， ∴f(x)在区间[－π3，π4]内的最大值和最小值别离为34，－12. 15．(2019·吉林长春朝阳实验中学二模)设函数f(x)＝3sinxcosx ＋cos 2x ＋a.(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值． 答案 (1)T ＝π [π6＋kπ，2π3＋kπ](k ∈Z ) (2)a ＝0解析 (1)f(x)＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴T ＝π.由π2＋2kπ≤2x ＋π6≤3π2＋2kπ(k ∈Z )，得π6＋kπ≤x ≤2π3＋kπ(k ∈Z )．故函数f(x)的单调递减区间是[π6＋kπ，2π3＋kπ](k ∈Z )． (2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6，∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1. 当x ∈[－π6，π3]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为(1＋a ＋12)＋(－12＋a ＋12)＝32，解得a ＝0. 16．(2019·沧州一中月考)设f(x)＝4cos(ωx －π6)sinωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0. (1)求函数y ＝f(x)的值域；(2)假设f(x)在区间[－3π2，π2]上为增函数，求ω的最大值． 答案 (1)[1－3，1＋3] (2)16解析 (1)f(x)＝4(32cos ωx ＋12sinωx )sinωx ＋cos2ωx ＝23sin ωxcos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin2ωx ＋1，因为－1≤sin2ωx ≤1，因此函数y ＝f(x)的值域为[1－3，1＋3]．(2)因y ＝sinx 在每一个闭区间[2kπ－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上为增函数，故f(x)＝3sin2ωx ＋1(ω>0)在每一个闭区间[kπω－π4ω，kπω＋π4ω](k ∈Z )上为增函数． 依题意知[－3π2，π2]⊆[kπω－π4ω，kπω＋π4ω]对某个k ∈Z 成立，现在必有k ＝0， 于是⎩⎪⎨⎪⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.。
新课标2024高考数学大一轮复习第四章三角函数题组层级快练28正余弦定理文含解析
题组层级快练(二十八)1．(2024·沧州七校联考)已知△ABC，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( ) A ．2 5 B. 5 C ．25或 5 D ．均不正确答案 C解析 ∵a sinA ＝bsinB，∴sinB ＝bsinA a ＝155·sin30°＝32.∵b>a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.2．(2024·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12 B ．1 C.3 D ．2答案 B解析 ∵a＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得3＝4＋c 2－2×2×c×12，整理得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.故选B.3．(2024·安徽合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3 D ．2答案 B解析 因为S ＝12AB ·ACsinA ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos60°＝3. 所以BC ＝ 3.4．(2024·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6答案 C解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝2b 2－2b 2cosA ，所以2b 2(1－sinA)＝2b 2(1－cosA)，所以sinA ＝cosA ，即tanA ＝1，又0<A<π，所以A ＝π4.5．(2024·陕西西安一中期中)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)答案 C解析 ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，由正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴bc ≤b 2＋c 2－a 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴A ≤π3.∵A>0，∴A 的取值范围是(0，π3]．故选C.6．(2024·广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2答案 A解析 由正弦定理b sinB ＝c sinC ，得sinB ＝bsinC c ＝12.又c>b ，且B∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以S ＝12bcsinA ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.故选A.7．(2024·江西七校一联)在△ABC 中，若sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)，则△ABC 的形态肯定是( ) A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形答案 D解析 sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)＝1－2cosAsinB ，∴sinAcosB －cosAsinB ＝1－2cosAsinB ，∴sinAcosB ＋cosAsinB ＝1，即sin(A ＋B)＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．8．(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3答案 C解析 利用所给条件以及余弦定理整体求解ab 的值，再利用三角形面积公式求解． ∵c 2＝(a －b)2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2abcos π3＝a 2＋b 2－ab.②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12absinC ＝12×6×32＝332.9．(2014·课标全国Ⅱ)已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意可得12AB ·BC ·sinB ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sinB ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件冲突，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB＝ 5.故选B.10．(2015·安徽，文)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________． 答案 2解析 因为∠A＝75°，∠B ＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.11．(2015·重庆，文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cosC ＝－14，3sinA ＝2sinB ，则c ＝________． 答案 4解析 由3sinA ＝2sinB 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4. 12．(2024·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝________． 答案 34解析 ∵a，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c. ∴2sinB ＝sinA ＋sinC.∵A －C ＝90°，∴2sinB ＝sin(90°＋C)＋sinC. ∴2sinB ＝cosC ＋sinC. ∴2sinB ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sinB ＝2sin (90°－B2)．∴2sinB ＝2cos B2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2.∴sin B 2＝24.∴cosB ＝1－2sin 2B2＝1－14＝34.13．(2024·北京，文)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B＝________；ca的取值范围是________． 答案 60° (2，＋∞)解析 △AB C 的面积S ＝12acsinB ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2accosB ，所以tanB ＝3，因为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A<30°，所以0<tanA<33，所以c a ＝sinC sinA ＝sin （2π3－A ）sinA ＝sin 2π3cosA －cos 2π3sinAsinA ＝32tanA ＋12>2，故ca 的取值范围为(2，＋∞)．14．(2024·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 答案 (1)3314 (2)6 3解析 (1)依据正弦定理：a sinA ＝c sinC ⇒sinC ＝csinA a ＝37×sin60°＝37×32＝3314. (2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3<a ，又sinC ＝3314，∴cosC ＝1－sin 2C ＝1314.在△ABC 中，sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝32×1314＋12×3314＝437， ∴S △ABC ＝12ac ×sinB ＝12×7×3×437＝6 3.15．(2024·福建中学毕业班质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcosC －c ＝2a. (1)求B 的大小；(2)若a ＝3，且AC 边上的中线长为192，求c 的值． 答案 (1)2π3 (2)5解析 (1)∵2bcosC－c ＝2a ，∴由余弦定理得2b·a 2＋b 2－c22ab－c ＝2a ，化简得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)由(1)可得b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝c 2＋3c ＋9.① 又cosC ＝a 2＋b 2－c22ab，②取AC 的中点D ，连接BD ，在△CBD 中，cosC ＝BC 2＋CD 2－BD22BC ·CD ＝a 2＋b 24－194ab，③由②③得2c 2－b 2＝1.④由①④得c 2－3c －10＝0，解得c ＝5或c ＝－2(舍去)，∴c ＝5.16．(2024·衡水中学调研卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 答案 (1)π3 (2)72解析 (1)方法一：由题设知，2sinBcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB ，因为sinB≠0，所以cosA ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.方法二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.(2)方法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72，从而AD ＝72.方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.17．(2024·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsinA ＝acos(B －π6)． (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B)的值． 答案 (1)π3 (2)7 3314解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sinA ＝bsinB ，可得bsinA ＝asinB ，又由bsinA ＝acos(B－π6)，得asinB ＝acos(B －π6)，即sinB ＝cos(B －π6)，可得tanB ＝ 3.又因为B∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝7，故b ＝7.由bsinA ＝acos(B －π6)，可得sinA ＝37.因为a<c ，故cosA ＝27.因此sin2A ＝2sinAcosA＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17，所以sin(2A －B)＝sin2AcosB －cos2AsinB ＝437×12－17×32＝3314.。
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第7讲正弦定理与余弦定理练习(含解析)
第7讲正弦定理与余弦定理［基础达标］1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝（)A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!解析:选B。
由题意得，b2＝ac＝2a2,b＝错误!a,所以cos C＝错误!＝错误!＝－错误!，故选B。
2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若3b cos C＝c（1－3cos B）,则sin C∶sin A＝( )A．2∶3B．4∶3C．3∶1 D．3∶2解析：选C。
由正弦定理得3sin B cos C＝sin C－3sin C cos B，3sin(B ＋C)＝sin C，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1，选C.3．在锐角△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝错误!，a＝3，S△ABC＝2错误!，则b的值为( ）A．6 B．3C．2 D．2或3解析：选D。
因为S△ABC＝2错误!＝错误!bc sin A，所以bc＝6,又因为sin A＝错误!，所以cos A＝错误!，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3。
4．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a,b，c，若b sin A－错误!a cos B＝0，且b2＝ac，则错误!的值为( )A．错误!B．错误!C．2 D．4解析:选C.在△ABC中，由b sin A－错误!a cos B＝0,利用正弦定理得sin B sin A－错误!sin A cos B＝0,所以tan B＝3,故B＝错误!.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac,即b2＝（a＋c)2－3ac,又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c）2,求得错误!＝2.5．(2019·杭州市高三期末检测）设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ,当点P不与B，C重合时( )A．λ先变小再变大B．当M为线段BC中点时，λ最大C．λ先变大再变小D．λ是一个定值解析：选D.设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为r1，r2,则2r1＝错误!，2r2＝错误!，因为∠APB＋∠APC＝180°,所以sin∠APB＝sin∠APC,所以错误!＝错误!，所以λ＝错误!＝错误!.故选D。
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第7讲正弦定理与余弦定理分层演练理(含解析)新人教A版
第7讲 正弦定理与余弦定理1．(2019·兰州市实战考试)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B.由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5解析：选A.因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A.3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D.因为S △ABC ＝22＝12bc sin A ，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.4．(2019·安徽合肥模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C.已知b cos A ＋a cos B ＝2，由正弦定理可得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2(R 为△ABC 的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2R sin(A ＋B )＝2，则2R sin C ＝2，因为cos C ＝223，所以sin C ＝13，所以R ＝3.故△ABC 的外接圆面积为9π.故选C.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb的值为( )A.22B. 2 C ．2D ．4解析：选C.在△ABC 中，由b sin A －3a cos B ＝0， 利用正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0， 所以tan B ＝3，故B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，求得a ＋cb＝2. 6．在△ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ， 所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2. 答案：27．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________．解析：由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，所以sin C ＝378，所以sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.答案：18．(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sinB ＝4a sin B sinC ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解析：由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc ＝833，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233. 答案：2339．(2017·高考北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.10．(2019·贵州省适应性考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cosB ＝4，b sin A ＝3.(1)求tan B 及边长a 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝9，求△ABC 的周长． 解：(1)在△ABC 中，a cos B ＝4，b sin A ＝3， 两式相除，有b sin A a cos B ＝sin B sin A sin A cos B ＝tan B ＝34， 又a cos B ＝4，所以cos B >0，则cos B ＝45，故a ＝5.(2)由(1)知，sin B ＝35，由S ＝12ac sin B ＝9，得c ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，得b ＝13. 故△ABC 的周长为11＋13.1．(2019·长沙市统一模拟考试)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C ．23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 D ．23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 解析：选C.设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－A ，于是△ABC 的周长为23[sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－A ]＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3.选C.2．(2019·安徽江南十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( ) A.2512πB.2524πC.3＋32πD.3＋34π解析：选D.在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝512π.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (a 、b 、c 为△ABC 中角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC的外接圆半径)可得，a ＝sin A sin C ·c ，b ＝sin B sin C ·c ，R ＝c2sin C .所以S 1＝12ab sin C ＝12·sin A sin C ·sin B sin C ·c 2·sin C＝12sin A ·sin B ·sin C ·c2sin 2C ， S 2＝πR 2＝π4·c2sin 2C，所以S 1S 2＝2sin A ·sin B ·sin C π＝2×22×32×6＋24π＝3＋34π，故选D.3．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．解析：在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°， 整理得x 2－10x －96＝0， 解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ，所以BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.答案：8 24．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1，3]，则c 的最小值为________．解析：由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ．由余弦定理可知cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，c 取最小值3. 答案：35.(2019·洛阳市第一次统一考试)如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围． 解：(1)由已知，易得∠ACB ＝45°，在△ABC 中，10sin 45°＝CB sin 60°⇒BC ＝5 6.因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°， 在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ，所以DB ＝AB ＝10. 在△BCD 中，CD ＝CB 2＋DB 2－2CB ·DB cos 45°＝510－4 3. (2)AC ＋AB >BC ＝10，cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ·AC⇒(AB ＋AC )2－100＝3AB ·AC ，而AB ·AC ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋AC 22，所以（AB ＋AC ）2－1003≤⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋AC 22，解得AB ＋AC ≤20，故AB ＋AC 的取值范围为(10，20]．6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A . (1)求a 的值；(2)圆O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部)，△OBC 的面积为33，b ＋c ＝4，判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)由正弦定理可知，sin A ＝a 2R ，sin C ＝c2R ，则ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A ⇔a 2c ＋4c ＝4ac ，因为c ≠0，所以a 2c ＋4c ＝4ca ⇔a 2＋4＝4a ⇔(a －2)2＝0，可得a ＝2. (2)设BC 的中点为D ，则OD ⊥BC ， 所以S △OBC ＝12BC ·OD .又因为S △OBC ＝33，BC ＝2， 所以OD ＝33， 在Rt △BOD 中，tan ∠BOD ＝BD OD ＝12BC OD ＝133＝3，又0°<∠BOD <180°，所以∠BOD ＝60°， 所以∠BOC ＝2∠BOD ＝120°， 因为O 在△ABC 内部， 所以∠A ＝12∠BOC ＝60°，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .所以4＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又b ＋c ＝4， 所以bc ＝4，所以b ＝c ＝2， 所以△ABC 为等边三角形．。
2020版高考数学理一轮总温习层级快练第四章三角函数作业24
题组层级快练(二十四)1．已知sin10°＝a ，那么sin70°等于( )A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1 答案 A解析 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2.应选A.2．已知cosα＝55，那么cos(α－π4)的值为( ) A.31010 B ．－1010C.255D.31010或－1010 答案 D解析 ∵cosα＝55，∴sin α＝±1－cos 2α＝±255， ∴cos(α－π4)＝cosαcos π4＋sinαsin π4＝55·22＋22·(±255)＝⎩⎨⎧31010，－1010.有两解，应选D. 3．知足cosαcosβ＝32－sinαsinβ的一组α，β的值是( ) A ．α＝13π12，β＝54π B ．α＝13π12，β＝34π C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π4，β＝π6 答案 A 解析 ∵cosαcosβ＝32－sinαsinβ，∴cos αcos β＋sinαsinβ＝32.即cos(α－β)＝32. 当α＝13π12，β＝5π4时，α－β＝13π12－5π4＝－π6，现在，cos(－π6)＝32，∴α＝13π12，β＝5π4适合，应选A. 4．cos α＋sinα不等于( )A.2cos(α－π4)B.2cos(π4－α)C.2cos(α＋π4) D.2cos(α＋7π4) 答案 C解析2cos(α－π4)＝2(cosαcos π4＋sinαsin π4)＝2(22cos α＋22sin α)＝cosα＋sinα.2cos(α＋7π4)＝2cos[2π－(α＋7π4)]＝2cos(π4－α)＝2cos(α－π4)＝cosα＋sinα. 5．化简2＋cos2－sin 21的结果是( )A ．－cos1B ．cos1 C.3cos1 D ．－3cos1答案 C 解析 2＋cos2－sin 21＝2＋cos2－1－cos22＝3＋3cos22＝3cos 21＝3cos1. 6．假设sin θ2＝35，cos θ2＝－45，那么θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 cosθ＝2cos 2θ2－1＝2⎝⎛⎭⎫－452－1＝725>0， sin θ＝2sin θ2·cos θ2＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425<0，∴θ在第四象限． 7．假设α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－13，那么cos2α等于( ) A.179 B ．±179 C ．－179 D.173 答案 A 解析 将cosα＋sinα＝－13平方整理，得 2sin α·cos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α<0，sin α>0. ∴cos α－sinα＝－（cosα－sinα）2＝－1－2sinαcosα＝－173. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(－13)×(－173)＝179. 8.1＋cos100°－1－cos100°等于( )A ．－2cos5°B ．2cos5°C ．2sin5°D ．－2sin5°答案 D解析 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2(22cos50°－22sin50°)＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°.9．已知等腰三角形底角的余弦值为23，那么顶角的正弦值是( ) A.259B.459 C ．－459D ．－259答案 B解析 设底角为α，那么sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2×1－（23）2×23＝459. 10．若△ABC 的内角A 知足sin2A ＝23，那么sinA ＋cosA 的值为( ) A.153 B ．－153C.53D ．－53答案 A 解析 方式一：∵sin2A ＝2sinAcosA ＝23，∴1＋2sinAcosA ＝53， 即sin 2A ＋2sinAcosA ＋cos 2A ＝53. ∴|sinA ＋cosA|＝153. 又∵A 为锐角，∴sinA ＋cosA ＝153，应选A. 方式二：∵A 为锐角，∴sinA ＋cosA>0.∴B ，D 不合题意．假设sinA ＋cosA ＝153，则(sinA ＋cosA)2＝53＝1＋2sinAcosA ＝1＋sin2A. ∴sin2A ＝23，知足题意，应选A. 11．计算tan15°＋1tan15°的值为( ) A. 2B ．2C ．4D ．2 2答案 C 解析 tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin 215°＋cos 215°sin15°cos15°＝2sin30°＝4.应选C. 12．(2019·河北冀州考试)(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°·(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.13．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，那么C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4答案 A解析 由已知得tanA ＋tanB ＝－3(1－tanAtanB)，∴tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝－3，即tan(A ＋B)＝－ 3. 又tanC ＝tan[π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝3，0<C<π，∴C ＝π3. 14.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12D.32 答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12. 15．(2019·广东珠海期末)已知tan(α＋π5)＝2，tan(β－4π5)＝－3，那么tan(α－β)＝( ) A ．1B ．－57 C.57D ．－1 答案 D解析 ∵tan(β－4π5)＝－3，∴tan(β＋π5)＝－3. ∵tan(α＋π5)＝2，∴tan(α－β)＝tan[(α＋π5)－(β＋π5)] ＝tan （α＋π5）－tan （β＋π5）1＋tan （α＋π5）tan （β＋π5）＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.应选D. 16．假设cosα＝35，0<α<π，则1＋2cos （2α－π4）sin （α＋π2）＝( ) A.25 B.75C.145D ．－25答案 C 解析 因为0<α<π且cosα＝35，因此sinα＝45，因此1＋2cos （2α－π4）sin （α＋π2）＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝2cosα＋2sinα＝145，应选C.17．已知cos(π4－x)＝35，那么sin2x 的值为( ) A.1825B.725 C ．－725D ．－1625答案 C解析 因为sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝2cos 2(π4－x)－1，因此sin2x ＝2×(35)2－1＝1825－1＝－725. 18．(2019·唐山市五校联考)已知α是第三象限角，且tanα＝2，那么sin(α＋π4)＝( ) A ．－31010B.31010 C ．－1010 D.1010 答案 A解析 由tanα＝sinαcosα＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第三象限角，得sinα＝－255，cos α＝－55，因此sin(α＋π4)＝22(sinα＋cosα)＝－31010，应选A. 19．关于锐角α，假设sin(α－π12)＝35，那么cos(2α＋π3)＝( ) A.2425 B.38 C.28 D ．－2425答案 D解析 由α为锐角，且sin(α－π12)＝35，可得cos(α－π12)＝45，那么cos(α＋π6)＝cos[(α－π12)＋π4]＝cos(α－π12)cos π4－sin(α－π12)sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×(210)2－1＝－2425，应选D. 20．计算：sin 250°1＋sin10°＝________． 答案 12解析 sin 250°1＋sin10°＝1－cos100°2（1＋sin10°）＝1＋sin10°2（1＋sin10°）＝12. 21．化简：sin （α＋β）－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cos （α＋β）＝________． 答案 －tan(α－β)解析 原式＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ－2sinα·cosβ2sinα·sinβ＋cosα·cosβ－sinα·sinβ＝－（sinα·cosβ－cosα·sinβ）cosα·cosβ＋sinα·sinβ ＝－sin （α－β）cos （α－β）＝－tan(α－β)． 22．计算：1－tan17°1＋tan17°＋cos146°1＋sin34°＝________． 答案 0解析 原式＝cos17°－sin17°cos17°＋sin17°＋－cos34°1＋sin34°＝cos17°－sin17°cos17°＋sin17°－cos 217°－sin 217°（cos17°＋sin17°）2＝cos17°－sin17°cos17°＋sin17°－cos17°－sin17°cos17°＋sin17°＝0.。
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第5讲三角函数的图象与性质练习(含解析)
第5讲 三角函数的图象与性质[基础达标]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以D 不正确，对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)函数y ＝sin(ωx ＋π6)在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选D.由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y ＝sin|x |，y ＝cos|x |，y ＝|tanx |，y ＝－ln|sin x |，以π为周期，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |解析：选D.A.y ＝sin|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故A 错误；B.y ＝cos|x |＝cos x 周期为T ＝2π，故B 错误；C.y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故C 错误；D.f (x ＋π)＝－ln|sin(x ＋π)|＝－ln|sin x |，周期为π，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ln(sin x )是在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减的偶函数，故D 正确，故选D.4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D.5．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B.易知函数y ＝sin x 的单调区间为 [k π＋π2，k π＋3π2]，k ∈Z ，由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z ，因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值， 所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π3ω≤π，k π＋4π3ω≥2π，k ∈Z ，解得k ＋13≤ω≤k 2＋23，k ∈Z ，由k ＋13≤k 2＋23，得k ≤23，当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23.故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6解析：选A.由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A.7．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z8．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． 解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.答案：729．(2019·温州市高中模考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，则b －a 的最大值和最小值之差等于________．解析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32且b －a 最大；当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，且b －a 最小，所以最大值与最小值之差为(b －a 1)－(b －a 2)＝a 2－a 1＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝5π6.答案：5π610．(2019·杭州学军中学质检)已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3.答案：[3，＋∞)11．(2019·杭州市名校协作体高三下学期考试)已知0≤φ＜π，函数f (x )＝32cos(2x ＋φ)＋sin 2x .(1)若φ＝π6，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )的最大值是32，求φ的值．解：(1)由题意f (x )＝14cos 2x －34sin 2x ＋12＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12，由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，得k π－2π3≤x ≤k π－π6.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z .(2)由题意f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－12cos 2x －32sin φsin 2x ＋12，由于函数f (x )的最大值为32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin φ2＝1，从而cos φ＝0，又0≤φ＜π，故φ＝π2.12．(2019·台州市高三期末评估)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω和φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间．解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，由T ＝2πω＝π，所以ω＝2，由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z . 由π12＝k π2＋π4－φ2，得φ＝k π＋π3. 又|φ|≤π2，则φ＝π3.(2)函数g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋sin 2x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . [能力提升]1．(2019·湖州市高三期末考试)若α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，则必有( )A ．α2＜β2B ．α2＞β2C ．α＜βD ．α＞β解析：选B.α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y ＝x sin x 为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选B.2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D.f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D. 3．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则ω的值为________；当ω最小时，函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－22在区间[0，22]的零点个数为________．解析：由题意得φ＝π3，且当x ＝π6时，函数f (x )取到最大值，故π6ω＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝1＋12k ，k ∈N ，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－22＝sin x －22的零点个数是8个． 答案：1＋12k (k ∈N ) 84．(2019·金华市东阳二中高三调研)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1(ω>0)，直线y ＝3与函数f (x )图象相邻两交点的距离为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫B2，0是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心，且b ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1＝sin ωx cos π6－cos ωx sin π6－2·1＋cos ωx2＋1＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f (x )的最大值为3，所以f (x )的最小正周期为π， 所以ω＝2.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝0⇒B ＝π3，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－92ac ＝12，所以ac ＝a 2＋c 2－9≥2ac －9，ac ≤9， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤934.故△ABC 面积的最大值为934.5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形考点规范练20正弦定理和余弦定理
考点标准练20 正弦定理和余弦定理根底稳固组1.在△ABC 中,假设AB=√13,BC=3,∠C=120°,那么AC=( )A.1B.2C.3D.413=9+AC 2+3AC ⇒AC=1.应选A .2.(2021台州二次适应性测试)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a 2+b 2-c 2=ab=√3,那么△ABC 的面积为( ) A.√34 B.34C.√32D.32cos C=a 2+a 2-a 22aa=12,C=60°,因此△ABC 的面积等于12ab sin C=12×√3×√32=34,应选B .3.(2021浙江温州瑞安模拟)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.a sin B cos C+c sinB cos A=12b ,且a>b ,那么∠B=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π6:sin A sin B cos C+sin C sin B cos A=12sin B ,∵sin B ≠0,∴sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C )=sin B=12,∵a>b ,∴∠A>∠B ,即∠B 为锐角,那么∠B=π6.应选A .4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.假设a=1,sin a sin a=12+cos aa,那么A= .解析由条件sin asin a =12+cos aa得a a =12+cos aa,那么b=12c+cos C=12c+1+a 2-a 22·1·a,即b 2+c 2=bc+1,∵1=b 2+c 2-2bc cos A ,可得cos A=12,∴A=60°.5.(2021浙江高考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.假设a=√7,b=2,A=60°,那么sinB= ,c= .3解析由正弦定理a sin a=asin a , 可知sin B=a sin aa=√7=2×√32√7=√217. ∵a=√7>b=2,∴B 为锐角. ∴cos B=√1-sin 2a =√47=2√77.∴cos C=-cos(A+B )=sin A sin B-cos A cos B=√32×√217−2√77×12=3√7-2√714=√714. 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=7+4-2×2×√7×√714=7+4-2=9.∴c=3. 6.(2021浙江诸暨5月适应考试)在三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别是a ,b ,c ,sin A+sin B=54sinC ,且△ABC 的周长为9,那么c= ;假设△ABC 的面积等于3sin C ,那么cos C= .-14ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别是a ,b ,c ,∵sin A+sin B=54sin C ,∴由正弦定理得a+b=5a 4,又△ABC 的周长为9,那么c+5a 4=9,解得c=4.假设△ABC 的面积等于3sin C ,即12ab sin C=3sin C , 整理得ab=6.又a+b=5a 4=5,解得{a =2,a =3,或{a =3,a =2,∴cos C=a 2+a 2-a 22aa =-14.能力提升组7.(2021浙江温州期末)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,假设(a 2+b 2-c 2)tan C=ab ,那么角C 的大小为( ) A.π6或5π6B.π3或2π3C.π6D.2π3(a 2+b 2-c 2)tan C=ab可得,a 2+a 2-a 22aa tan C=12,由余弦定理可得cos C tan C=sin C=12, 因为0<C<π,所以角C 的大小为π6或5π6,应选A.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,∠B=30°,△ABC 的面积为32,且sin A+sin C=2sin B ,那么b 的值为( ) A.4+2√3 B.4-2√3 C.√3-1 D.√3+1解析由可得12ac sin30°=32,解得ac=6,又sin A+sin C=2sin B ,由正弦定理可得a+c=2b ,由余弦定理:b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c )2-2ac-√3ac=4b 2-12-6√3,∴解得b 2=4+2√3,∴b=1+√3.应选D .9.在锐角△ABC 中,假设A=2B ,那么a a的范围是(a ,b 分别为角A ,B 的对边长)( ) A .(√2,√3) B .(√3,2) C .(0,2) D .(√2,2)A=2B ,∴根据正弦定理得aa =sin asin a =2sin a cos a sin a=2cos B.(sin B ≠0)∵A+B+C=180°,∴3B+C=180°,即C=180°-3B.∵角C 为锐角,∴30°<B<60°.又0°<A=2B<90°,∴30°<B<45°,∴√22<cos B<√32,即√2<2cos B<√3,那么a a的取值范围是(√2,√3),应选A .10.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a=1,2b-√3c=2a cos C ,sin C=√32,那么△ABC 的面积为( ) A.√32B.√34C.√32或√34D.√3或√322sin B-√3sin C=2sin A cos C ,而sin B=sin(A+C ),整理为2cos A sin C=√3sin C ,所以cos A=√32,所以A=30°,a sin a=asin a ,解得c=√3,因为sin C=√32,所以C=60°或C=120°,当C=60°时,B=90°,此时△ABC 的面积为S=12ac=√32,当C=120°时,B=30°,此时△ABC 的面积为S=12ac sin B=√34,应选C .11.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,假设a=2b sin C ,那么tan A+tan B+tan C 的最小值是( ) A.4 B.3√3C.8D.6√3a=2b sin C ,∴sin A=2sin B sin C=sin(B+C )=sin B cos C+cos B sin C ,两边同除cos B cos C ,∴2tan B tan C=tan B+tan C ,又tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C , ∴tan B+tan C=2tan atan a -2,∴tan A+tan B+tan C=tan A+2tan a tan a -2=tan A-2+4tan a -2+4≥8,当且仅当tan A=4时取等号.12.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,假设角A ,B ,C 依次成等差数列,且a=1,b=√3,那么S △ABC = .A ,B ,C 依次成等差数列,所以B=60°.由正弦定理,得1sin a =√3sin60°,解得sin A=12,因为0°<A<180°,所以A=30°或150°(舍去),此时C=90°,所以S △ABC =12ab=√32.13.在等腰△ABC 中,AB=AC ,AC 边上的中线BD 长为6,那么当△ABC 的面积取得最大值时,AB 的长为 .√5,设AB=AC=2x ,那么AD=x (2<x<6),由余弦定理,得cos A=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa=5a 2-364a 2=54−9a 2,所以sin A=√1-(54-9a 2)2,所以S △ABC =12AB ·AC sin A=12·4x 2√1-(54-9a 2)2=2√-916(a 2-20)2+144≤24,当x 2=20,即x=2√5时等号成立,所以当△ABC 的面积取得最大值时,AB 的长为4√5.14.(2021浙江温州模拟改编)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且a=2,2cos2a +a2+sinA=45,(1)假设满足条件的△ABC 有且只有一个,那么b 的取值范围为 ; (2)当△ABC 的周长取最大值时,那么b 的值为 .∪{103} (2)√102a +a2+sin A=45⇒1+cos(B+C )+sin A=45,即sin A-cos A=-15,又∵0<A<π,且sin 2A+cos 2A=1,有{sin a =35,cos a =45,假设满足条件的△ABC 有且只有一个,那么有a=b sin A 或a ≥b ,那么b 的取值范围为(0,2]∪{103};(2)设△ABC 的周长为l ,由正弦定理得l=a+b+c=a+a sin a ·(sin B+sin C )=2+103[sin B+sin(A+B )]=2+103(sin B+sin A cos B+cos A sin B )=2+2(3sin B+cos B )=2+2√10sin(B+θ),其中θ为锐角,且{sin a =√1010,cos a =3√1010,l max =2+2√10,当cos B=√1010,sin B=3√1010时取到等号,此时b=asin asin B=√10. 15.(2021江苏调研)△ABC 中,假设角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,满足a+1a +4cos C=0,b=1. (1)假设△ABC 的面积为√32,求a ; (2)假设A=π6,求△ABC 的面积.解(1)由S=12ab sin C=12a sin C=√32得a sin C=√3,即sin C=√3a .又a+1a =-4cos C ,那么a+1a2=16cos 2C=16(1-sin 2C )=16-48a 2,即a 4-14a 2+49=0,得到a 2=7,即有a=√7.(2)由题意有a+1a =-4cos C 及余弦定理cos C=a 2+a 2-a 22aa ,有a+1a =-4·a 2+a 2-a 22aa =-2(a 2+1-a 2)a,即a 2+1=23c 2, ①又由b 2+c 2-a 2=2bc cos A 可知c 2-a 2+1=√3c , ②由①②得到c 2-3√3c+6=0,即(c-√3)(c-2√3)=0,可知c=√3或c=2√3.经检验,c=√3或c=2√3均符合题意,那么△ABC 的面积为S=12bc sin A=√32或√34.16.(2021浙江名校联考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,c=2,C=π3. (1)当2sin 2A+sin(2B+C )=sin C 时,求△ABC 的面积; (2)求△ABC 周长的最大值.由2sin2A+sin(2B+C )=sin C ,得4sin A cos A-sin(B-A )=sin(A+B ),得2sin A cos A=sin B cos A ,当cos A=0时,A=π2,B=π6,a=4√33,b=2√33,当cos A ≠0时,sin B=2sin A ,由正弦定理b=2a ,联立{a 2+a 2-aa =4,a =2a ,解得a=2√33,b=4√33,故三角形的面积为S △ABC =12ab sin C=2√33;(2)由余弦定理及条件可得a 2+b 2-ab=4,由(a+b )2=4+3ab ≤4+3(a +a )24得a+b ≤4,故△ABC 周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到.。
2020高考数学(理)大一轮复习考点与题型全归纳：第四章 三角函数
第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限． [课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A. 3 B ．－ 5 C. 5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一 三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2.答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二 同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________.解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)， 即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2， 从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125， 整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0， 所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15， 得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α ＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3D ．－ 3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74，所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2， 所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3； 当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.第三节 三角函数的图象与性质一、基础知识1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1).函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π (k∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2 (k∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．第一课时 三角函数的单调性 考点一 求三角函数的单调区间[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[题组训练]1．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为________． 解析：作出y ＝|tan x |的示意图如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎦⎤π2，π 2．函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的单调递增区间为________． 解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数g (x )的单调递增区间，只需求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间．由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－1.(1)求α的值；(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－2sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3－2cos 2α＝－3－1，整理得cos 2α＝12. 因为0<α<π2，所以cos α＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f (x )＝3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝3cos 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝3cos 2x ＋sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 易知函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令t ＝2x ＋π3，则函数f (x )可转化为y ＝2sin t －1.显然函数y ＝2sin t －1与y ＝sin t 的单调性相同， 当函数y ＝sin t 单调递减时， 2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．考点二 求三角函数的值域(最值)[典例] (1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. [答案] (1)B (2)1[变透练清]1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－332，3.答案：⎣⎡⎦⎤－332，32.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋cos x (－2≤t ≤2)， 则sin x cos x ＝t 2－12，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y ＝t ＋12t 2－12取最大值为2＋12.故f (x )的最大值为22＋12.答案：22＋123．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π考点三 根据三角函数单调性确定参数[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________．[解析] (1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4， ∴a 的最大值是π4.(2)法一：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3(ω>0)， 所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－πω2，2πω3， 因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 需⎩⎨⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34.[答案] (1)A (2)⎝⎛⎦⎤0，34[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[题组训练]1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 答案：322．（2019·贵阳检测）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，ω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，54[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，πB.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡⎦⎤0，2π3 D.⎣⎡⎦⎤2π3，π解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π. 5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为( ) A ．1 B.1－32C.32D ．1－ 3解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ， 由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，故原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． 答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.答案：59．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3. 答案：2－ 310．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数 的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：3211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π， 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．B 级1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21， b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2， 所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 答案：c <a <b2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝π4对称， ∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， ∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π， ∴2πω≥π，∴ω≤2， 又∵ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，有{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5， 所以a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，有{ b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点一 三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π； 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π； 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二 三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. [答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ， 因为函数f (x )为奇函数， 所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3。
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题组层级快练(二十八)1．(2019·沧州七校联考)已知△ABC，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( ) A ．2 5 B. 5 C ．25或 5 D ．均不正确答案 C解析 ∵a sinA ＝bsinB，∴sinB ＝bsinA a ＝155·sin30°＝32.∵b>a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.2．(2019·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12 B ．1 C.3 D ．2答案 B解析 ∵a＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得3＝4＋c 2－2×2×c×12，整理得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.故选B.3．(2019·安徽合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3 D ．2答案 B解析 因为S ＝12AB ·ACsinA ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos60°＝3. 所以BC ＝ 3.4．(2016·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6答案 C解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝2b 2－2b 2cosA ，所以2b 2(1－sinA)＝2b 2(1－cosA)，所以sinA ＝cosA ，即tanA ＝1，又0<A<π，所以A ＝π4.5．(2019·陕西西安一中期中)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)答案 C解析 ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，由正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴bc ≤b 2＋c 2－a 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴A ≤π3.∵A>0，∴A 的取值范围是(0，π3]．故选C.6．(2019·广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2答案 A解析 由正弦定理b sinB ＝c sinC ，得sinB ＝bsinC c ＝12.又c>b ，且B∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以S ＝12bcsinA ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.故选A.7．(2019·江西七校一联)在△ABC 中，若sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形答案 D解析 sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)＝1－2cosAsinB ，∴sinAcosB －cosAsinB ＝1－2cosAsinB ，∴sinAcosB ＋cosAsinB ＝1，即sin(A ＋B)＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．8．(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3答案 C解析 利用所给条件以及余弦定理整体求解ab 的值，再利用三角形面积公式求解． ∵c 2＝(a －b)2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2abcos π3＝a 2＋b 2－ab.②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12absinC ＝12×6×32＝332.9．(2014·课标全国Ⅱ)已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意可得12AB ·BC ·sinB ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sinB ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB＝ 5.故选B.10．(2015·安徽，文)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________． 答案 2解析 因为∠A＝75°，∠B ＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.11．(2015·重庆，文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cosC ＝－14，3sinA ＝2sinB ，则c ＝________． 答案 4解析 由3sinA ＝2sinB 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4. 12．(2019·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝________． 答案 34解析 ∵a，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c. ∴2sinB ＝sinA ＋sinC.∵A －C ＝90°，∴2sinB ＝sin(90°＋C)＋sinC. ∴2sinB ＝cosC ＋sinC. ∴2sinB ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sinB ＝2sin (90°－B2)．∴2sinB ＝2cos B2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2.∴sin B 2＝24.∴cosB ＝1－2sin 2B2＝1－14＝34.13．(2018·北京，文)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B＝________；ca的取值范围是________． 答案 60° (2，＋∞)解析 △AB C 的面积S ＝12acsinB ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2accosB ，所以tanB ＝3，因为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A<30°，所以0<tanA<33，所以c a ＝sinC sinA ＝sin （2π3－A ）sinA ＝sin 2π3cosA －cos 2π3sinAsinA ＝32tanA ＋12>2，故ca 的取值范围为(2，＋∞)．14．(2017·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 答案 (1)3314 (2)6 3解析 (1)根据正弦定理：a sinA ＝c sinC ⇒sinC ＝csinA a ＝37×sin60°＝37×32＝3314. (2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3<a ，又sinC ＝3314，∴cosC ＝1－sin 2C ＝1314.在△ABC 中，sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝32×1314＋12×3314＝437， ∴S △ABC ＝12ac ×sinB ＝12×7×3×437＝6 3.15．(2019·福建高中毕业班质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcosC －c ＝2a. (1)求B 的大小；(2)若a ＝3，且AC 边上的中线长为192，求c 的值． 答案 (1)2π3 (2)5解析 (1)∵2bcosC－c ＝2a ，∴由余弦定理得2b·a 2＋b 2－c22ab－c ＝2a ，化简得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)由(1)可得b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝c 2＋3c ＋9.① 又cosC ＝a 2＋b 2－c22ab，②取AC 的中点D ，连接BD ，在△CBD 中，cosC ＝BC 2＋CD 2－BD22BC ·CD ＝a 2＋b 24－194ab，③由②③得2c 2－b 2＝1.④由①④得c 2－3c －10＝0，解得c ＝5或c ＝－2(舍去)，∴c ＝5.16．(2019·衡水中学调研卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 答案 (1)π3 (2)72解析 (1)方法一：由题设知，2sinBcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB ，因为sinB≠0，所以cosA ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.方法二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.(2)方法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72，从而AD ＝72.方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.17．(2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsinA ＝acos(B －π6)． (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B)的值． 答案 (1)π3 (2)7 3314解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sinA ＝bsinB ，可得bsinA ＝asinB ，又由bsinA ＝acos(B－π6)，得asinB ＝acos(B －π6)，即sinB ＝cos(B －π6)，可得tanB ＝ 3.又因为B∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝7，故b ＝7.由bsinA ＝acos(B －π6)，可得sinA ＝37.因为a<c ，故cosA ＝27.因此sin2A ＝2sinAcosA＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17，所以sin(2A －B)＝sin2AcosB －cos2AsinB ＝437×12－17×32＝3314.。