初中数学 图形的平移与旋转 人教版 鲁教版

图形的平移和旋转一、知知要点 1.图形的平移(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。

（2）平移的特点：①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点。

经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。

②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

(3) 平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

例题1：在△ABC 的边BC 上，取两点D 、E ，使BD ＝CE ，观察AB ＋AC 与AD ＋AE 的大小关系。

分析：四条线段AB 、AC 、AD 、AE 比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起，即可求出大小关系。

证明：将△AEC 沿EB 的方向平移到△FBD 位置 ∴FB ＝AE ，FD ＝AC 设FD 与AB 的交点为O 在△AOD 中，AO ＋OD ＞AD 在△FOB 中，FO ＋OB ＞FB()()∴+=+++AB FD AO OB FO OD()()=+++>+AO O D FO O B AD FB∴+>+AB AC AD AE例题2：已知：AB ＝CD ＝1，AB 与CD 交于O 点，∠DOB ＝60°，比较AC ＋BD 与1的大小。

分析：利用平移将AC与BD集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。

解：AC BD+>1证明：过C作CE∥AB，过B作BE∥AC，连结DE∴四边形ABEC为平行四边形∴AC＝BE，AB＝CE∵∠DOB＝60°，AB∥CE∴∠DCE＝60°∵AB＝CD＝1∴CE＝CD＝1∴△DCE为等边三角形∴DE＝1在△DEB中，DB＋BE＞DE即DB＋AC＞1练习：○1. 两个长为12cm的线段AB与CD相交于点O，∠AOD＝120°，判断AC＋BD的最小值2.旋转在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转不改变图形的大小和形状。

注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。

在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。

因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。

2．旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等；（4）图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。

例题：例1.如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°，使AB 与CB 重合，BP 到达BP'处，AP 到达CP'处，若AP 的延长线正好经过P'，求∠APB 的度数。

分析：此题运用旋转将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°，根据旋转性质求出∠BP'C 的度数即可。

而∠BP'C 又是∠BP'P 与∠CP'P 之和，可各个击破，从而得解。

解：由旋转的性质及特征可知： ∠PBP'＝90°，AP ⊥P'C ，BP ＝BP'∴在△BPP'中，()∠∠B P P B P P ''==︒-︒=︒121809045又∵AP 的延长线正好经过P'点 ∴∠AP'C ＝90°∴∠BP'C ＝∠AP'C ＋∠BP'P ＝135°从而可得∠APB ＝135° 练习：如图，设P 是等边三角形ABC 内的一点，PA=3，PB=4.PC=5，求∠APB 的度数APB例2. 已知：如图，E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，AF 平分∠EAD 交CD 于点F ，说明AE ＝BE ＋DF 的理由。

分析：由于要证的3条线段AB 、BE 、DF 分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。

解：把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，则点D 转到了点B 的位置，点F 转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：∠3＝∠1，F'B ＝FD ，∠AF'B ＝∠AFD ∵ABCD 为正方形∴∠D ＝∠ABF'＝90°∴F'、B 、E 、C 在一条直线上 又∵∠1＋∠2＋∠EAB ＝90° ∴∠3＋∠2＋∠EAB ＝90° ∴∠F'AE ＋∠2＝90° 又∵∠AFD ＋∠1＝90° ∴∠AF'B ＋∠1＝90° ∵∠1＝∠2∴∠F'AE ＝∠AF'B∴AE ＝F'E ＝F'B ＋BE ＝FD ＋BE练习题：已知五边形ABCDE 中，AB=AE,BC ＋DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC ＋AED=180，连接AD ，求证：AD 平分∠CDECBAED例3. △ABC 为等边三角形，点D 、E 、F 分别在边AC 、AB 、BC 上，且AE ＝BF ＝CD ，连结AF 、BD 、CE ，分别交于点G 、H 、M 。

（1）求∠1的度数； （2）判断△GMH 的形状。

分析：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60°，∠1是△BCH 的外角，可知∠1＝∠2＋∠3。

而∠2＝∠4∴∠1＝∠4＋∠3＝60°，从而得证。

解：（1）∵等边△ABC 是旋转对称图形，且AE ＝BF ＝CD所以，△ABC 绕旋转中心旋转120°后，△AEC 、△BFA 、△CDB 能够重合 ∴∠2＝∠4由∠1＝∠2＋∠3∴∠1＝∠4＋∠3＝60°（2）同理可得：∠GMH ＝∠MGH ＝60°∴△GMH 是等边三角形 练习题：在多边形ABCD 中BC=4，CD=4－AB,AE=DE=6，AE ⊥AB,DE ⊥CD,则多边形的面积是多少？EDCB A例题4：已知：如图，E 、F 、G 分别是正方形ABCD 中BC 、AB 、CD 上的点，且AE ⊥FG 。

求证：AE ＝FG分析：AE 、FG 所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。

证明：延长AB 至F'使BF'＝BE ，连结CF' ∵正方形ABCD∴AB ＝CB ，∠ABC ＝90° 又∵∠CBF'＝90°，BE ＝BF'∴△ABE 绕点B 顺时针旋转90°可得△CBF' ∴AE ＝CF'，AE ⊥CF' ∵FG ⊥AE∴FG ∥CF'又∵正方形ABCD ，AB ∥CD∴四边形GFF'C 为平行四边形 ∴CF'＝FG ∴AE ＝FG基础练习题：○1.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=1，△ABF是△ADE的旋转图形．4（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？○2如图△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，如果AP＝3，那么△APQ的面积是多少？○3.在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若S ABC D 25，求DP 的长。

3.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴（1）轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．&1图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．&2轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．&3轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．&4轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称典型图形：等腰三角形、等边三角形&1等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．例题1如图，在∆ABC中，AB=AC，∠A=92︒，延长AB到D，使BD=BC，连结DC．求∠D的度数，∠ACD的度数D BCA分析：要求解角的度数，必须找到几个角的关系，然后利用三角形内角和为180°求解。

解：∵AB=AC,BD=BC∴∠ABC=∠ACB, ∠D=∠BCD又∵∠ABC=∠D＋∠BCD=2∠D∴∠ABC＋∠ACB＋∠A=180°∴ 2∠ACB＋∠A=180° 4∠D＋∠A=180°∵∠A=92︒∴∠ACB=44°，∠D=22°∴∠ACD=∠ACB＋∠BCD=∠ACB＋∠D=66°巩固练习1.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。

试说明DE ＝DF 。

2. 已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．例题2：如图，五边形ABCDE 中AB=AE ，BC=DE ，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．•求证：AF ⊥CD.证明：连接AC 、AD 在△ABC 和△AED 中()()()A B A E A B C A E D B C E D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知已知 ∴△ABC ≌△AED （SAD ） ∴AC=AD （全等三角形的对应边相等） 又∵△ACD 中AF 是CD 边的中线（已知）∴AF ⊥CD （等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）FEDCBAAFBCDE练习题：1.如图,E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.2.如图，△ABC中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB 于F.（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；（2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由.3. 已知∠AOB=30°点P在OA上，且OP=2 ，点P关于直线OB的对称点是Q，求PQ的长&2等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60° 等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．例题1：. △ABC 是边长为1的等边三角形，BD=CD ，∠BDC=120°，E 、F 分别在AB 、AC 上，且∠EDF=60°，求△AEF 的周长．解：延长AC 至点P ，使CP=BE ，连接PD ．∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60°∵BD=CD ，∠BDC=120° ∴∠DBC=∠DCB=30 ∴∠EBD=∠DCF=90° ∴∠DCP=∠DBE=90° 在△BDE 和△CDP中B D C D D B E D C P B E C P =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDP （SAS ） ∴DE=DP ，∠BDE=∠CDP∵∠BDC=120°，∠EDF=60°∴∠BDE+∠CDF=60° ∴∠CDP+∠CDF=60° ∴∠EDF=∠PDF=60° 在△DEF ≌△DPF中D E D P E D F P D F D F D F =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△DPF （SAS ） ∴EF=FP ∴EF=FC+BE ∴△AEF 的周长=AE+EF+AF=AB+AC=2.巩固练习：1.如图，等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。