高二数学上学期第四次月考试题(理科实验班)

衡阳八中2016年下期高二年级第四次月考试卷
数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第四次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★
第I卷选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知命题，命题
，则命题
是的
（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.已知复数
z=，
则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.设有一个回归直线方程=2﹣1.5x，当变量x增加1
个单位时，则( )
A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位
4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A．60 B．48 C．42 D．36
5.设x，y，z∈（0，+∞），
=x+
，，，则三数（）
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
6.函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
7.设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点，则
的最小值为（）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
8.如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．点M为平
面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC．则点M 在正方形ABCD内的轨迹为（）
9.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间[0,2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是( )
A. (6，＋∞)
B. (5，＋∞)
C.(4，＋∞)
D. (3，＋∞)
10.如图，椭圆x2+2y2=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（）
A．|| B．||
C．
D．
11.已知定义在上的函数
和满足，且
，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．
D．
12.椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿
y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
第II卷非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.展开式中的常数项为 .
14.已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，
p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题
①p1∨p2②p1∧p2③（￢p1）∨p2④p1∧（￢p2）中真命题是．
15.如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B
是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．
16.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．
三.解答题（共6题，共70分）
17.（本题满分10分）
已知m∈R，命题P：对任意x∈[﹣1，1]，不等式m2﹣3m﹣x+1≤0恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m﹣ax≤0成立．
（Ⅰ）当a=1，p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.（本题满分12分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．
19.（本题满分12分）
如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形
所在平面于直线
，平面
平面
，且，
，，且．
（1）设点为棱
中点，在面内是否存在点，使得
平面
？若存在，
请证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
20.（本题满分12分）
已知椭圆的左、右两个焦点
，过其中两个端点的直线斜率为
，过两个焦点和一个顶点的三角形面积为1.（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），
的延长线与椭圆交于
点，
的延长线与椭圆交于点，求
面积的最大值，并求此时直线的方程.
21.（本题满分12分）
已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得
恒成立，求m的取值范围．
22.（本题满分12分）
已知点，直线
，直线
于，
连结，作线段
的垂直平分线交直线
于点
．设点
的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程;（2）过点作曲线
的两条切线，切点分别为
，
①求证:直线过定点;
②若，过点
作动直线交曲线于点
，直线
交于点，试探究
是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．
衡阳八中2016年下期高二年级理科实验班第四次月考数学参考答案
13.40
14.①④
15.
16.[]
17.
（Ⅰ）∵对任意x∈[﹣1，1]，不等式x﹣1≥m2﹣3m 恒成立
∴（x﹣1）min≥m2﹣3m 即m2﹣3m≤﹣2 解得1≤m≤2
即p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．
∵a=1，且存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立∴m≤1
即命题q 为真时，m≤1（2分）
∵p 且q 为假，p 或q 为真，
∴p、q 一真一假
当p 真q 假时，则，即1＜m≤2，（3分）当p假q 真时，则，即m＜1，（4分）
综上所述，1＜m≤2或m＜1 （5分）
（Ⅱ）当a=0 时显然不合题意，
当a＞0 时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立
命题q 为真时m≤a
∵p 是q 的充分不必要条件
∴a≥2，（6分）
当a＜0 时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立
命题q 为真时m≤﹣a
∵p 是q 的充分不必要条件
∴a≤﹣2（8分）
综上所述，a≥2或a≤﹣2（10分）
18.
（Ⅰ）由题意可知，样本容量（2分），
（4分），
x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030（6分）．
（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则
，，
．（9分）
所以，ξ的分布列为
所以，（12分）19.
（1）连接，
交于点
，连接
，则平面，
∵为
中点，
为中
点，∴为
的中位线，∴
，（2分）
又∵平面平面
，平面
平面
，平面，，
20.(1) ；（4分）(2)，（8分）
.（12分）
21.
（I）依题意h′（x）=，则
，x∈（0，+∞），
当a=0时，，
，
令f′（x）=0，解得．（3分）
当0＜x＜
时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为
．
∴时，f（x）取得极小值
，无极大值；（5分）
（II）
=，x
∈[1，3]．
当﹣8＜a＜﹣2，即
＜。