第9讲 消元问题
五年级下册数学试题-奥数专题培优讲练：09消去法与换元法(5年级培优)教师版
课堂目标：1、记住用消去法、换元法解题的题型；2、掌握用消去法及换元法解决实际问题重点：消去法、换元法解题 难点：消去法解应用题的过程（消元的方法）换元法：有时候，题目中有两个有一定关联的数量，这两个数量给解题带来不便，我们要从中找到两种数量之间的联系，把两种数量转化成一种数量，从而帮助我们找到解题的方法。
消去法：在较复杂的应用题中，有的包含着两个或两个以上要求的量，解答时，先想法消去一个要求的量，再求出另一个量，然后求出消去的量。
这种方法叫做消去法。
解题方法：利用条件简化法，设法将其中的一个未知量消去，先求出另一个未知量，进而求出消去的未知量。
（等量代换、加减消元法、列表法）【换元法解应用题】一张桌子的价钱等于4把椅子的价钱，买1张桌子和12把椅子共付288元。
求：一张桌子和一把椅子各多少元？【答案】72元；18元 【知识点】换元法解题 【难度】A 【出处】小学数学拓展学案【分析】椅子：()18412288=+÷（元），桌子：72418=⨯（元）3张桌子价钱等于7把椅子价钱。
每把椅子36元，买2张桌子和7把椅子共付多少钱？【分析】42073623736=⨯+⨯÷⨯（元）小华买了3支铅笔和6张图画纸，共付了1.2元，每支铅笔比每张图画纸贵0.1元。
每张图画纸多少元？每支铅笔多少元？【答案】0.1元；0.2元 【知识点】等量代换 【难度】B 【出处】小学数学拓展学案【分析】()()1.06331.02.1=+÷⨯-（元）；2.01.01.0=+（元）。
学校买来8块大黑板和12块小黑板共用去300元，一块大黑板的价钱比两块小黑板还要贵2.5元。
大黑板每块多少钱？小黑板每块多少钱？【分析】()[]()5.2221282125.2300=÷+÷÷⨯+（元）；()1025.25.22=÷-（元）【消去法解应用题】光明小学买水壶4只、水桶5个，共付出150.5元；实验小学买同样的水壶4只、水桶8个，共付出182元。
第9讲 基本不等式及其应用
基本不等式及其应用
邗江区公道中学 郑玉梅
课前诊断 1、若 a 0, b 0 ,且函数
点评：
f ( x) 4 x ax 2bx 2
3 2
9 在 x=1处有极值，则 ab的最大值等于______
问题：函数在x=1处有极值是什么意思？
由 f ( x) 0, a b 0 ，联想到什么？
注意“1”的代换的妙用！
变式：已知正数
则使 x 是 _______.
1
4 y
满足 x y 3 ， m 恒成立的m的取值范围
若 x ( 0 ， ) ，则
2
sin
2
2
x
1 cos
2
x
的最小值为_______.
抓住隐含等式 2 2 sin x cos x 1
3、若不等式
例题1.
点评： 1、审题时要注意一些关键词， y 如“斜边长”、“总面积”等
2、变量x的范围，实际上是y趋 近于0时的极限值，如何求得？
x
3、第2问中“=”成立的条件怎样验证？
例题2.
问题1：由条件，梯形面积是 确定的，求外周长，需要先 求出什么？
x
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第（2）问，实际上是解不等式，解分式不 等式的步骤是什么？
２、应用基本不等式求最值时，要注意对式子进行适 当变形，凑两个式子的和或积为常数，有时要利用条 件代换字母消元。如，诊断2、4；有时要注意利用条 件代换常数，为应用基本不等式创造条件；
３、基本不等式具有将“和式”转化为“积式”， “积式”转化为“和式” 的放缩功能，在证明或求最 值时，要注意这种转化思想。
第9讲消元法解应用题
第9讲消元法解应用题【培训提示】1．消元的一般方法和常用技巧。
2．消元的方法选择和技巧的运用。
有些应用题里给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量。
解题时，我们可以把题中的条件按对应关系一一排列出来，然后通过对已知条件的比较，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个或一些未知数，从而求得剩下的一个或一些未知数，这样的解题方法，我们通常称为“消元法”。
消元法是解答数学应用题的一种常用思考方法。
【培训示例】例1妈妈买3千克苹果和2千克香蕉，共付款l2元；王阿姨买同样价格的苹果3千克，香蕉5千克，共付款21元。
l千克苹果和l千克香蕉各是多少元?例2买3个篮球和5个足球共用去488元，买同样的6个篮球和3个足球共用去528元。
篮球和足球的单价各是多少元?例3 7箱梨和3箱橘子共重135千克，同样的3箱梨和7箱橘子共重115千克，求每箱梨和每箱橘子的重量。
例4 张老师买了8枝钢笔和5枝水笔共用去63元；李老师买了同样的5枝钢笔和2枝水笔共用去36元，每枝钢笔和水笔各多少元?例5 3头牛和5只羊每天共吃青草75千克，5头牛和12只羊每天共吃青草l47千克，一头牛和一头羊每天各吃青草多少千克?例6妈妈买了5袋糖，阿姨买了4袋饼，共值22元。
如果妈妈和阿姨对换一袋，则每人所有物品的价值相等，一袋糖和一袋饼各值多少元?例7有篮球、足球、排球三种球。
买篮球3个、足球2个、排球1个共需220元；买篮球1个、足球3个、排球2个共需220元；买篮球2个、足球l个、排球3个共需190元。
每种球的单价各多少元?【培训检测】1．妈妈去买水果，原计划买2千克苹果和4千克梨，要16元，结果买了2千克梨和2千克苹果，共付12元，l千克梨和苹果各多少元?2．哥哥买4本练习本和3枝铅笔，一共用了2元9角；姐姐买同样的2本练习本和5枝铅笔，一共用了2元5角，求练习本和铅笔的单价。
3．买3瓶可乐和2瓶雪碧共用23.5元，若买2瓶可乐和3瓶雪碧则需24元，每瓶可乐和每瓶雪碧各要多少元?4．6筐苹果和3筐梨共重l05千克，同样的4筐苹果和l筐梨共重55千克，每筐苹果和梨各重多少千克?5．2千克水果糖和5千克奶糖共需64元，同样的3千克水果糖和4千克奶糖共要68元，每千克水果糖和奶糖各多少元?6．李明有4袋黄玻璃球，张华有3袋白玻璃球，两人共有玻璃球100个。
消元问题
消元问题姓名：1、5头牛和8只羊一天共吃青草123千克，5头牛和15只羊一天共吃青草165千克，1头牛和1只羊每天各吃多少千克青草？2、小明和小强共32岁，小强和小井共30岁，小井和小明共22岁，三人各几岁？3、3只鸡和2只兔共重8.5千克，2只鸡和3只兔共重9千克，求1只鸡和1只兔各重多少千克。
4、某工厂汽车运输队赶运一批器材，第一次开出中型卡车3辆、大卡车4辆，共运回器材50吨；第二次增加2辆大卡车，共运回器材66吨，这两种卡车每辆每次各运多少吨？5、光明小学买2张桌子，5把椅子共付110元，每张桌子的价钱是每把椅子的3倍，每张桌子多少元？6、买3瓶墨水和4支钢笔共付18.5元，买4瓶墨水钱可买7支钢笔，求1瓶墨水和1支钢笔各多少钱。
7、买3千克菠菜和5千克白菜付11.1元，买5千克菠菜和3千克白菜共用10.5元，求1千克菠菜和白菜各多少元。
8、食堂买来20只鸡和16只兔子，分放两堆共重88千克，每只鸡比每只兔子轻，如果把鸡、兔子各取4只交换后，这两堆再分别称一称，重量相等，每只鸡和兔子各重多少？9、买来20只鸡和15只兔子共重60千克，4只鸡重量恰好等于3只兔子重量，求鸡，兔子1只重量各是多少千克。
10、1支铅笔、2块橡皮、3把卷笔刀共0.53元，2支铅笔、3块橡皮、4把卷笔刀共0.77元，3支铅笔、3块橡皮、5把卷笔刀共0.96元，问铅笔，橡皮，卷笔刀的单价。
11、冯老师每天做户外运动，他第一天跑步2000米，散步1000米，共用24分钟；第二天跑步3000米，散步500米，共用22分钟，冯老师每天跑步和散步的速度是一样的，求跑步和散步速度。
12、两辆汽车运送每包价值相同的货物通过收税处，押送人没有带足够的人民币，就用部分货物充当税款。
第一辆车载货120包，交出10包货物另加240元做为税金；第二辆车载货40包，交给收税处5包货，收到退还款80元，这样就正好付清税金，问每包货物价值多少元？每包货物的销售价是多少元？13、有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克。
第9课时 《三元一次方程组及应用题》导学案
第9课时 《三元一次方程组及应用题》导学案 知识目标：1、通过解三元一次方程组进一步掌握代入消元、加减消元思想； 2、会根据相等关系列三元一次方程组解应用题。
能力目标：1、掌握消元思想； 自主学习（我愿学，我会学） 阅读课本111页“三元一次方程组解法举例”到114页，回答下列问题。
1、方程组中含有 个 的未知数，每个方程中含未知数的 的 都是1，并且一共有 个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。
2、根据概念，请写出一个三元一次方程组： 3、解三元一次方程组的基本思路是：通过 法或 法进行消元，把“三元”化为“ ”，使解三元一次方程组转化为解 ，进而转化为解 。
这与解二元一次方程组的思路是一样的。
例1：解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+③②①453c a c b b a 解： ④②，得：①2-=--c a由③和④得到方程组：⎩⎨⎧=+-=-③④42c a c a 解这个二元一次方程组得：⎩⎨⎧==31c a 把1=a 代入①得，2=b⎪⎩⎪⎨⎧===∴321c b a学习方法指导 （学生提问题）三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元法 消元法 消元法 消元法 针对概念提问的方法：少一个或几个条件还是不是原来的概念？请把问题写在下方。
针对例题提问的方法：每一步的目的是什么？练习：解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+321x z z y y x⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-472392x z z y y x例2：书本112页例题1，针对每一步进行思考，它们的作用是什么？练习：在正面做课本114页第1题的（1），第2题的（1）应用题：1、 一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百倍上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14.求这个三位数。
分析：由“个位、百位上的数字的和等于十位上的数字”可得到相等关系： 由“百倍上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2”可得到相等关系： 由“个位、十位、百位上的数字的和是14”可得到相等关系： ， 这三种关系都体现着这种类型是：“和差倍分”类型的问题。
高斯消元法求解线性方程组
高斯消元法求解线性方程组线性方程组是数学中重要的概念，它描述了一组线性方程的集合。
解决线性方程组的问题在科学和工程领域中具有广泛的应用。
高斯消元法是一种常用的方法，用于求解线性方程组。
本文将介绍高斯消元法的原理和步骤，并通过实例演示其应用。
一、高斯消元法的原理高斯消元法是一种基于矩阵变换的方法，用于将线性方程组转化为简化的行阶梯形式。
其基本思想是通过一系列的行变换，将方程组中的系数矩阵化为上三角矩阵，从而简化求解过程。
具体而言，高斯消元法的步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵的形式。
2. 选取一个主元素，通常选择第一列的第一个非零元素作为主元素。
3. 通过行变换，将主元素下方的所有元素化为零。
4. 选取下一个主元素，并重复步骤3，直到将矩阵化为上三角形式。
5. 通过回代法，求解得到线性方程组的解。
二、高斯消元法的步骤为了更好地理解高斯消元法的步骤，我们以一个具体的线性方程组为例进行演示。
假设我们有以下线性方程组：```2x + 3y - z = 14x - y + z = -2x + 2y + 3z = 3```首先，我们将其写成增广矩阵的形式：```[2, 3, -1 | 1][4, -1, 1 | -2][1, 2, 3 | 3]```接下来，我们选取第一列的第一个非零元素2作为主元素，并通过行变换将主元素下方的元素化为零。
具体步骤如下：1. 将第二行乘以2，然后与第一行相减，得到新的第二行：`[0, -7, 3 | -4]`2. 将第三行乘以0.5，然后与第一行相减，得到新的第三行：`[0, 0.5, 2.5 | 1.5]`此时，得到的矩阵为：```[2, 3, -1 | 1][0, -7, 3 | -4][0, 0.5, 2.5 | 1.5]```接下来，我们选取第二列的第二个非零元素-7作为主元素，并通过行变换将主元素下方的元素化为零。
具体步骤如下：1. 将第三行乘以14，然后与第二行相加，得到新的第三行：`[0, 0, 35 | 7]`此时，得到的矩阵为：```[2, 3, -1 | 1][0, -7, 3 | -4][0, 0, 35 | 7]```最后，我们通过回代法求解得到线性方程组的解。
消元问题
消元问题例1、20千克大米和45千克白面共价73.5元，20千克大米和15千克白面共价40.5元。
每千克大米和每千克白面各多少元？例2、四件上衣和五条裤子共价415元，五件上衣和四条裤子共价440元，一件上衣和一条裤子各多少元？例3、3筐萝卜和6筐西红柿共重210千克，4筐萝卜和5筐西红柿共重205千克，每筐萝卜和每筐西红柿各重多少千克？例4、甲、乙两数的和是60，乙、丙两数的和是68，甲、丙两数的和是64。
甲、乙、丙三数各是多少？例5、学校买了4个篮球和6个排球共付款608元。
已知3个篮球的价钱和5个排球的价钱相等。
篮球和排球的单价各是多少？综合练习：1、3千克香蕉和4千克橘子共价26.4元，3千克香蕉和6千克橘子共价31.2元，香蕉、橘子每千克各多少元？2、小明买2支铅笔和3块橡皮，用去2.9元，小华买同样的铅笔4支和2块橡皮，用去3.8元。
求毎支铅笔和每块橡皮售价各多少元？3、3袋大米共重1470千克，同样的5袋黄豆和9袋大米，共重2050千克。
每袋大米和每袋黄豆各重多少千克？4、用5个大瓶和3个小瓶可以装墨水7.2千克；用3个大瓶和1个小瓶可以装墨水4千克。
1个大瓶和1个小瓶各能装多少墨水？5、买8千克橘子和5千克苹果共付45.4元，已知4千克橘子比5千克苹果还要贵0.2元，每千克苹果和每千克橘子各卖多少元？6、李大伯挑了20千克豆角和30千克西红柿到集市去卖，共卖得84元。
1千克豆角的价格是1千克西红柿的2倍。
问李大伯卖的豆角和西红柿每千克各是多少元？7、大卡车运4次，小卡车运5次，共运货44吨。
大卡车2次的运货量相当于小卡车3次的运货量。
大、小卡车每次各运货多少吨？8、圆珠笔售价是钢笔售价的五分之三，买5支圆珠笔和3支钢笔，共用90元。
圆珠笔和钢笔的单价各是多少？9、职工食堂运来大米和面粉共62袋，大米袋数的五分之一比面粉袋数的四分之一少2袋。
大米和面粉各运来多少袋？。
第9讲：线性方程组的消元解法
课题：线性方程组的消元解法教学目的：掌握线性方程组的定义，矩阵表示式，消元解法教学重点：高斯消元法教学时数：二学时教学设计：I •引入课题在行列式的学习中，我们学到了克莱姆法则，可以利用行列式来解线性方程组，如X i X2 - X3 =0«2石+3x2+ x3 = 73石一2x2 _2x3 = -31 1由克莱姆法则，有D=2 33 -2故X1 = 1, x 2 =1,X3 =2。
克莱姆法则可以作为一种解方程组的方法，但计算量比较大，而且只能解方程个数与未知数个数相同的线性方程组，比较有局限性，今天开始，我们来学习普通的方程组的解法，并由此引入向量组的相关问题。
第三章线性方程组与向量组的线性相关性II .新课设计3.1线性方程组的消元解法一.线性方程组a“X1 +a12X2 +■八+amx n =6a21X1 +a22 X2 +"八+a2n X n =b2形如< 的方程组，称为线性方程组，若令i a m1X1 *a m2X2 衣*a mn x n =b ma11 a12 a1 n f 、X1A = a 21 a 22・・・a 2 n ---系数矩阵，X = X2 I----未知数矩阵，b = b2--常数矩阵。
& m1 a m 2・・・amn」2n」-1 0 1 -11 =16 , D1 =7 3 1 =16 ,-2 -3 -2 -21 1 02 3 7 =323 -2 -30 -17 1 =16 , D3-3 -2D2(6)线性方程组的分类若b =0，则线性方程组为 AX =0，称为齐次线性方程组 若b = 0，则线性方程组为 AX =b ，称为非齐次线性方程组 。
对于AX b 若只改变b = 0，则称AX 0为原方程组的到处方程组。
二•线性方程组的消元解法---高斯消元法例1 •解线性方程组（每写一个方程组，同时写出对应的增广矩阵）X i +X 2—X 3 =0r1 1 -1 0a,彳2X t + 3x 2 + x 3 = 72 3 1 7 --A3X i 一2x 2 一2X 3 = -33 J-2-2_3J解：(1)汉一2+(2), (1)疋 d +3X i +X 2 -X 3 =0 q 1 一 1b, <X 2 十3x 3 =71 3 1 —B一 5X 2 +X 3 = -3-51~2J(4) 5 - (5)d + X 2 - X 3 = 0 「11-1 0 ' < x 2 +3x 3 = 70 13 7 J6x 3 =321632」116X 1 + x 2 -x 3 =01 _1 0、X 2 — 3X 3 =7 0 1 3 7,X 3 =2<0 012」ai2ainb i 、 增广矩阵：(Ab )=a21a22・ ・a2nb 2i a m1am 2・ ・amnb n J则方程组可用矩阵可表示为:AX = b ---方程组的矩阵表示以后，要求能根据方程组写出增广矩阵, （举例说明）反之，给出增光矩阵，能写出对应的方程组。
加减消元法10个例题
加减消元法10个例题加减消元法是解决一元二次方程或多元线性方程组的一种常用方法。
它的基本思想是通过加减方程，消除一个或多个未知数，得到一个简化的方程，从而求解未知数的值。
下面是10个应用加减消元法解决问题的例题。
1. 求解方程组：2x + 3y = 84x - 5y = 17通过将第二个方程乘以2，然后与第一个方程相加，可以消除x 的项，从而得到一个只含有y的方程。
2. 求解方程组：3x - 4y = 57x + 2y = -13通过将第一个方程乘以7，第二个方程乘以3，然后相减，可以消除x的项，从而得到一个只含有y的方程。
3. 求解方程组：x + y + z = 62x - 3y + 4z = 93x - 2y - z = 4通过适当加减方程，可以消除其中一个未知数的项，从而得到一个只含有两个未知数的方程组。
4. 求解方程组：x - y + z = 22x + y - 3z = -4-3x + 2y + 5z = 12通过适当加减方程，可以消除其中一个未知数的项，从而得到一个只含有两个未知数的方程组。
5. 求解方程：x^2 + 3x - 10 = 0可以通过将方程两边同时加上一个适当的数，从而消除一次项，得到一个二次方程。
6. 求解方程：2x^2 + 5x - 3 = 0可以通过将方程两边同时减去一个适当的数，从而消除一次项，得到一个二次方程。
7. 求解方程：3x^2 - 2x + 1 = 0可以通过将方程两边同时乘以一个适当的数，从而消除二次项，得到一个一次方程。
8. 求解方程：4x^2 - 9 = 0可以通过将方程两边同时开方，从而消除二次项，得到一个一次方程。
9. 求解方程：x^3 + 2x^2 - 5x + 6 = 0可以通过将方程两边同时加上一个适当的多项式，从而消除一次项和二次项，得到一个一次方程。
10. 求解方程：(x + 1)^2 - (2x - 3)^2 = 0可以通过将方程两边展开，然后合并同类项，从而消除二次项，得到一个一次方程。
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。
本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。
一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。
具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。
三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。
2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。
主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。
3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。
行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。
5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。
消元问题
消元问题
班别：姓名：成绩：
1、如果○+○+○+□+□=28，□=○+○，那么○=（），□=（）？
2、学校第一次买来3个足球和3个排球，共用人民币75元；第二次买来同样的3个足球和5个排球，共用人民币105元，求足球和排球的单价各是多少元？
3、百货商店运来300双鞋，分别装在2个木箱和6个纸箱里。
如果2个纸箱同1个木箱的装的鞋一样多。
想一想，每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋？
4、小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了1元3角5分。
已知3支铅笔的价钱和2个笔记本的价钱相等。
问1支铅笔的价钱为几角？
5、张老师为图书室买书。
刀子买6本童话书和7本故事书需要144元，如果买9本童话书和7本故事书需要174元，1本童话书和一本故事书各多少元？
6、甲粮店运来4袋大米和5袋面粉共600千克，乙粮店运来同样的4袋大米和6袋面粉共重680千克。
丙粮店运来同样的5袋大米和5袋面粉共重多少千克？
7、将一根木料锯成5分米长的小段，一共花了12分钟，锯一段要3分钟，这根木料长多少分米？
8、300米长的马路，一侧装了一排路灯，起点和终点都要装，一共装了16盏，相邻两盏灯之间距离相等，求相邻两盏灯的距离？。
沪教版四年级数学辅导(8)消元问题
学大教育四年级数学辅导（8）消元问题典例分析：1、父与子的年龄加起来是51岁，母与子的年龄加起来是47岁，父、母、子的年龄加起来是87岁，求父、母、子各人的年龄。
2、学校买两支钢笔和3支圆珠笔共付135元，每支钢笔的价钱是每支圆珠笔价钱的3倍，问每支钢笔多少元？3、A、B两数之和为154，A的6倍与B的2倍之差为340，求A、B两个数。
4、已知3支金笔与5支铂金笔合起来值76元，又知2支金笔与7支铂金笔合起来值80元，求每种笔每支的价格。
5、有大、小两种球，6个大的与14个小的共重290克，15个大的与2个小的共重296克，求每个大、小球的重量。
6、如果鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量，问这条鱼重多少千克？7、3只苹果和2只梨共重540克，4只苹果和5只梨共重860克，问一只梨重多少克？一只苹果重多少克？8、○、□、△表示三种不同的物体，如图所示，前两台天平保持平衡．要使第三台天平也保持平衡，那么“？”处应放□的个数是（）9、下面有三道加法题，当正方形、三角形、圆形各代表什么数时，才能使下面的等式成立？□+□+△+○=16 ①□+△+△+○=13 ②□+△+○+○=11 ③10、运一批砖，用2辆汽车和3台拖拉机装运，32次可以运完；如果用5辆汽车和2台拖拉机装运，16次运完。
现在用11辆汽车装运，几次可以运完？四年级数学辅导（8）消元问题回家作业一、口算题0.5＋1.5＝ 24×5＝ 1.3＋0.7=3.4－0.4＝ 1.7÷10＝ 7.77＋2.3=8.9×100＝ 0.88＋1.2＝ 6.8－5=1000÷8＝ 1000×125＝ 1.8×1000=10023＋10077＝ 10091－0.91＝ 11.1＋1.11= 14÷10 = = =二、简便运算25+53+75+78+47 9999+4+97+998+95+7999×222+333×334 760÷（38÷125）×801000641000336＋ 1002610082－1624÷29-1334÷29 （111×58-148×16）÷37三、应用题1、如图，一只小猴重8千克，一只小兔和一只小猫共重多少千克？2、一只小猴重4千克，是两只小兔的重量，3只小兔的重量等于6只小猫的重量，那么一只小猫的重量是多少千克？3、古代一个国家，1头猪可换3头羊，1头牛可换10头猪，90头羊可换多少头牛？4、3个铜球和2个铁球共重54千克，同样的4个铜球和6个铁球共重92千克，一个铁球的重量是多少千克？5、用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。
基本不等式消元法和换元法的区别
基本不等式消元法和换元法的区别篇一：哎呀呀，我是一名小学生，对于基本不等式消元法和换元法，这可真是让我头疼了好久呢！先来说说消元法吧。
比如说，有这样一道题：已知x + 2y = 3，求2x + 4y 的最小值。
这时候，我们就可以把2x + 4y 变成2(x + 2y)，然后因为x + 2y = 3，所以2(x + 2y) = 2×3 = 6，这不就轻松得出答案啦？消元法就像是把一个复杂的拼图里多余的部分去掉，只留下我们需要的关键部分，让问题变得简单明了，难道不是吗？再讲讲换元法。
举个例子，有个式子是x + 1/x ，我们可以令t = x + 1/x ，然后对t 进行处理。
这就好比给式子穿上了一件新衣服，换了个样子，但是本质还是一样的，只是处理起来可能更容易了，你说神奇不神奇？那消元法和换元法到底有啥区别呢？消元法是直接利用已知条件把一些项消除掉，简化式子；而换元法是给式子中的一部分或者整个式子换一个新的“名字”，用新的变量来处理问题。
在解题的时候，要是遇到那种有很多变量，但是又有一些条件能把一些变量用其他变量表示出来的，那就用消元法，把复杂的式子变得简单。
要是式子看起来很复杂，找不到直接的关系，那就试试换元法，说不定换个角度就能找到突破口啦！反正我觉得吧，这两种方法都是数学解题的好帮手，就看我们怎么巧妙地运用它们啦！篇二：哎呀呀，说起基本不等式消元法和换元法，这可真是让我这个小学生好好琢磨了一番呢！咱先来说说消元法吧。
就好像我们在搭积木，有时候积木太多太乱，我们就得把一些不需要的拿走，让剩下的更好搭建。
消元法也是这样，在一个式子里面，如果有好几个未知数，我们就想办法把其中一些通过等式关系给去掉，只留下我们关心的那几个。
比如说，有个式子是“x + y + z = 10，然后还有个条件是y = 2x”，那我们不就可以把y 用2x 代替，式子就变成了“x + 2x + z = 10”，这不就把未知数y 给消掉了嘛！这难道不好理解吗？再看看换元法，它就像是变魔术一样！假如式子里面有个很复杂的部分，比如说“x² + 2x + 1”，看起来好麻烦对不对？那我们就设“t = x² + 2x + 1”，这样式子一下子就变得简单多啦，变成了关于t 的式子，处理起来是不是轻松了好多？那这两种方法到底有啥区别呢？消元法是直接把一些未知数用等式关系去掉，就像是在战场上直接消灭敌人；而换元法呢，是把复杂的部分用一个新的字母代替，就像是给复杂的东西穿上了一件简单的外套。
四年级下第9讲 消去法
四春第9讲消去法一、教学目标在某一类的问题中，常常会同时出现两个或两个以上的未知的数量，并给出不同情形下数量间的关系。
解决这一类问题，通常采用“消去法”——即通过分析比较，去同求异，设法消去一个未知数量，从而将问题简化。
二、例题精选【例1】买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1张办公桌和5把椅子共用540元。
求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱？【巩固1】张老师奉命去超市采购牛奶和面包。
如果张老师购买3瓶牛奶和5袋面包，需要花费53元；如果购买6瓶牛奶和5袋面包，需要花费71元，那么一瓶牛奶和一袋面包各多少钱？【例2】2匹马、3只羊每天共吃草38千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克。
求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克？【巩固2】食堂第一次运进大米5袋，面粉7袋，共重850千克，第二次运进大米3袋，面粉5袋，共重550千克，一袋大米和一袋面粉各多少千克？【例3】买3块橡皮和6支铅笔用16元5角钱，买4块橡皮和7支铅笔用20元钱。
求一块橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱？【巩固3】买4瓶酱油和3瓶醋共需要32元，买6瓶酱油和5瓶醋需要50元，那么一瓶酱油和一瓶醋各是多少钱？【例4】有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。
现在往5个大杯和3个小杯里面放满砂糖，共420克；又往3个大杯和5个小杯里面放满砂糖，共380克。
求一个大杯和一个小杯分别可以放入砂糖多少克？【巩固4】已知买2袋白糖和3袋冰糖共需39元，买3袋白糖和2袋冰糖共需36元，那么买一袋白糖和一袋冰糖共需要多少钱？．【例5】3个橙子和4个芒果共重900克，2个橙子和7个芒果共重1250克，求一个橙子和一个芒果各重多少克？【例6】小张从A地去往C地，中间必须经过B地。
小张从A到B选择步行，速度为4km/h；从B到C选择骑车，速度为9km/h。
全程共18千米，共用了2.5小时，请问小张骑车用了多长时间？（只列关系式）三、回家作业【作业1】学校第一次买了4个热水瓶和20个茶杯，共用去172元；第二次又买了同样的4个热水瓶和16个茶杯，共用去152元。
消元——解二元一次方程组 完整版课件
解得：x=20000
把x=20000代入 ③ 得：y=50000
x 20000
y
50000
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.
总结归纳
解二元一次方程组的步骤： 第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程 ，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出 来. 第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一 个一元一次方程. 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 第四步：回代求出另一个未知数的值. 第五步：把方程组的解表示出来. 第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的 解代入每一个方程看是否成立.
2m + n = 1 ① 3m – 2n = 1② 由①得 n = 1 –2m ③
把③代入②得：
3m – 2（1 – 2m）= 1
m 3 7
把m 3 代入③，得
：7
n 12 3
n1
7
7
m的值为 3 ，n的值为 1
7
7
二 代入法解二元一次方程组的简单应用
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g） 和小瓶装（250 g）两种产品的销售数量（按瓶计算 ）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消 毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
例1 解方程组 3 x － 8 y = 14. ②
转化 解：由①,得 x = y + 3 .③ 代入 把③代入②,得 3(y+3)－8y=14. 求解 解这个方程,得 y=－1.
思考：把③ 代入①可以吗？
回代 把y=－1代入③,得 x=2.
写解 所以这个方程组的解是
x = 2， y =－1.
注意：检验方程组的解
期初一新课第9讲-加减消元
减法 消去 相同 时，选择用______ 当同一个未知数的系数______ 这个未知数； 相反 时，选择用______ 加法 消去 当同一个未知数的系数______ 这个未知数．
板演5
示范11（2）
5x +2y=25①
3x+4y=15②
解：① ×2得：10x+4y=50 ③-②得：7x=35 解得x=5 把x=5代入①得y=0 所以原方程组的解是 ③
今天的作业：
课后练习
下周见➹★★★★★
x 0.6 y 0.1
归纳：从上面两个方程组的解法可以看出，当二 元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数 相同 或______ 相反 时，把这两个方程的两边分别 ______ ______ 相减 或______ 相加，就能消去这个未知数，得到 一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法， 简称加减法．
x 25 y 13
解得K=-11
14．甲、乙两同学共同解方程组
mx +5y=15①
4x-ny=-2② x 3 由于甲看错了方程①中的m,得到方程组的解为
x5 乙也粗心看错了②中的 n ，得到方程组的解为 y4 求原方程组的解．
y 1
课堂小测
所以原方程组的解
板演7
x 6 1 y 2
8
9
10
D
B
C
思考：你怎样解下面的方程组？
2x +y=1.5① 0.8x+0.6y=33② x +2y=3① 3x-2y=5②
代入 法先消去____ y 较简便； 用______
加减 法先消去____ y 较简便； 用______ 归纳：未知数前的系数，有一对相等 或成倍数的情况下，用加减法消元 另外未知数前系数1时，可以考虑用代 入消元
消元问题
第二节消元问题有些应用题，题目中包含了不止一个未知数，而且它们都在变化。
解答时，想办法先消去一个未知数，求出另一个未知数，然后求其他的未知数。
这种问题叫做消元问题。
一、精典例题例1 妈妈去超市买水果，如果买3千克苹果和4千克香蕉，需要25元；如果买5千克苹果和4千克香蕉，需花31元。
问1千克苹果和1千克香蕉各多少元？练习一：1、学校图书室购买一批图书，如果买10本故事书和12本科技书，共需160元；如果买14本故事书和12本科技书，共需200元。
问每本故事书多少钱？每本科技书多少钱？2、4筐梨子和3筐橙子共重300千克，4筐梨和6筐橙子共重420千克。
每筐梨和每筐橙子各重多少千克?3、小明买3支钢笔和5本练习本，花了20元；小红买了3支钢笔和8本练习本，花了23元。
问一支钢笔多少钱?一本练习本多少钱？4、小明第一次买了3瓶墨水和4支圆珠笔共付了11元.第二次买了3瓶墨水和1支圆珠笔共付5元.每支圆珠笔和每瓶墨水各多少元5、刘大妈买6米白布、8米花布，用去213元，王大妈买同样的白布6米、同样的花布6米，用去180元。
每米白布和每米花布各多少元？例2学校准备买足球和篮球。
如果买2个足球和3个篮球，需要310元；如果买4个足球和2个篮球，需要340元。
问买一个足球和一个篮球各需多少钱？练习21、食堂第一天运来5袋大米和3袋面粉共550千克；第二天运来3袋大米和6袋面粉共540千克。
每袋大米和每袋面粉各多少千克？2、乐乐和天天一起去买水果。
乐乐买了2千克梨和5千克橙子，付了19元；天天买了1千克梨和2千克橙子，付了8元。
问：梨和橙子每千克各多少钱？3、某花店1束百合和2束玫瑰售价108元；3束百合和4束玫瑰售价276元。
问每束百合和每束玫瑰的售价各是多少元？4、2只鸡和3只鸭共重23千克，5只鸡和6只鸭共重50千克，一只鸡和一只鸭各重多少千克？例3学校购买了5个篮球和3个足球，用去580元；如果购买3个篮球和4个足球需要480元，问:每个篮球和每个足球各是多少元？练习31、一张桌子和两把椅子一共90元；两张桌子和一把椅子一共105元。
消元问题练习
消元问题练习
1、. 学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118元。
问茶杯的单价是多少元？
2、少年宫买了4张桌子和9把椅子，共用504元。
1张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？
3、用一个杯子向一个空瓶子里倒水，如果倒进2杯水，连瓶共重380克；如果倒进5杯水，连瓶共重650克。
想一想，一杯水和一个空瓶各重多少克？
4、买3千克梨和5千克苹果共用33元，每千克梨价钱是每千克苹果价钱的2倍，每千克梨多少元？
5、奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买6千克梨和5千克荔枝，需花62元。
问1千克梨和1千克荔枝各多少元？
6、2头牛和4只羊一天共吃青草27千克，6头牛和15只羊一天共吃青草90千克。
1头牛和1只羊一天共吃青草多少千克？
7、有篮球、足球、排球三种球，篮球3个，足球一个，排球1个，共61元，篮球1个，一个足球，排球1个共值31元，又知一个足还球，相当于三个排球的钱，求每种球的单价各是多少？
8、5头牛、6匹马每天吃草139千克，6头牛5匹马每天吃草125千克，1头牛1匹马每天各吃草多少千克？。
北师版三下数学9用“消元法”解决实际问题
北师版三下数学9 用“消元法”解决实际问题1.解决问题用1个杯子向1个空的瓶子里倒水．如果倒入2杯水（满杯），那么连瓶共重360克；如果倒入4杯水（满杯），那么连瓶共重520克．1杯水（满杯）和1个空瓶子各重多少克？2.解决问题商店一天共卖出了5把椅子和1张桌子，共卖了320元，已知一张桌子的价格是一把椅子的3倍．桌子和椅子的价格分别是多少元？3.解决问题买1双旅游鞋与买4双布鞋的价钱相等，买1双旅游鞋和3双布鞋一共需要用140元．旅游鞋和布鞋每双各多少元？4.解决问题3箱苹果和5箱橘子共重190千克，3箱苹果和7箱橘子共重230千克．1箱苹果和1箱橘子各重多少千克？5.解决问题实验小学准备买一些足球和排球．如果买3个足球和4个排球共需要190元；如果买6个足球和2个排球共需要230元．买1个足球和1个排球各需要多少元？6.解决问题有甲、乙、丙三个数，甲、乙两数之和是30，乙、丙两数之和是31，甲、丙两数之和是29．甲、乙、丙三个数各是多少？答案1. 【答案】520−360=160（克），4−2=2（杯），1杯水（满杯）的质量：160÷2=80（克），1个空瓶子的质量：360−80×2=200（克）或520−80×4=200（克），答：1杯水（满杯）重80克，1个空瓶子重200克．2. 【答案】椅子：320÷(5+1×3)=40（元）．桌子：40×3=120（元）．答：桌子的单价是120元，椅子的单价是40元．3. 【答案】布鞋：140÷(1×4+3)=20（元），旅游鞋：20×4=80（元）．答：每双旅游鞋80元，每双布鞋20元．4. 【答案】1箱橘子：(230−190)÷(7−5)=20（千克），1箱苹果：(190−20×5)÷3=30（千克）．答：1箱苹果重30千克，1箱橘子重20千克．5. 【答案】1个排球：(190×2−230)÷(4×2−2)=25（元），1个足球：(190−25×4)÷3=30（元）．答：买1个足球需要30元，买1个排球需要25元．【解析】根据“买3个足球和4个排球共需要190元”，可知买6个足球和8个排球共需要190×2=380（元），与“买6个足球和2个排球共需要230元”相比，多买了(8−2)个排球，就多用了(380−230)元，也就是6个排球是150元，1个排球为150÷6=25（元），1个足球就是(190−25×4)÷3=30（元）．6. 【答案】甲、乙、丙的和：(30+31+29)÷2=45丙：45−30=15甲：45−31=14乙：45−29=16答：甲数是14，乙数是16，丙数是15．30+31+29=90是两个甲、两个乙、两个丙的和，90÷2=45就是一个甲、一个乙、一个丙的和，那么丙是45−30=15，甲是45−31=14，乙是45−29=16．。
消元问题
消元问题专项训练例一：学校到体育用品商店买了5个足球和4个篮球，共用去430元，后来又买了同样的5个足球和2个篮球，又用去340元，求买一个足球和一个篮球各用多少元？1、小红在商店里买了4块橡皮和3个曲别针，共付23角。
小黄买同样的3块橡皮和3个曲别针，共付18角。
问：一块橡皮和一个曲别针的价钱各是多少元？2、买3支钢笔，2块橡皮共付17元。
若买5支钢笔，2块橡皮要付27元。
问1支钢笔1块橡皮各多少元？3、买3千克茶叶和5千克糖，一共用去420元，买同样的3千克茶叶和3千克糖，一共用去384元，每千克茶叶和每千克糖各多少元？4、食堂第一次运来6袋大米和4袋面粉，一共重400千克；第二次又运来9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。
每袋大米和每袋面粉各重多少千克？5、买3枝钢笔，2瓶墨水要付21元，若买5枝钢笔，2瓶墨水要付31元，问：1枝钢笔1瓶墨水各是多少元？6、买18张桌子和6把椅子共要1560元，10张桌子的价钱比6把椅子的价钱多680元。
问每张桌子多少元？每把椅子多少元？7、买3千克茶叶和5千克糖，一共用去420元，买同样的2千克茶叶比5千克糖贵130元。
每千克茶叶和每千克糖各多少元？例二：3袋大米和5袋面粉共重250千克，1袋大米和6袋面粉重170千克，求每袋大米和每袋面粉各重多少千克？1、.小卫到百货商店买了2只圆珠笔和1支钢笔，用起人民币9元。
如果买1支圆珠笔和2支钢笔要人民币12元，问1支圆珠笔和1支钢笔各多少钱？2、买3张桌子和5把椅子，共用去480元。
买同样的6张桌子和3把椅子，共用去519元。
问桌子和椅子的单价各是多少元？3、2份蛋糕和2杯饮料共用28元，1份蛋糕和3份饮料共用18元，问1份蛋糕和1杯饮料各需多少元？4、甲买了9盒糖和6盒蛋糕共用去198元；乙买了6盒糖和3盒蛋糕共用去117元。
每盒糖和每盒蛋糕各多少元？5、4头牛和3匹马每天共吃草90千克，8头牛和5匹马每天共吃草170千克，每头牛和每匹马每天各吃草多少千克？6、水果店里卖出24箱苹果核16箱橘子共得1360元，已知一箱苹果和一箱橘子共65元，求每箱橘子多少钱？例三：买三支钢笔和两只圆珠笔共用去26元，买两支钢笔和三只圆珠笔共用去19元，求一只钢笔和一只圆珠笔各多少钱？1、买5本故事书和7本连环画，共用85元。
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第二节消元问题
有些应用题，题目中包含了不止一个未知数，而且它们都在变化。
解答时，想办法先消去一个未知数，求出另一个未知数，然后求其他的未知数。
这种问题叫做消元问题。
一、精典例题
例1 妈妈去超市买水果，如果买3千克苹果和4千克香蕉，需要25元；如果买5千克
苹果和4千克香蕉，需花31元。
问1千克苹果和1千克香蕉各多少元？
练习一：
1、学校图书室购买一批图书，如果买10本故事书和12本科技书，共需160元；如果买14本故事书和12本科技书，共需200元。
问每本故事书多少钱？每本科技书多少钱？
2、4筐梨子和3筐橙子共重300千克，4筐梨和6筐橙子共重420千克。
每筐梨和每筐橙子各重多少千克?
3、小明买3支钢笔和5本练习本，花了20元；小红买了3支钢笔和8本练习本，花了23元。
问一支钢笔多少钱?一本练习本多少钱？
4、小明第一次买了3瓶墨水和4支圆珠笔共付了11元.第二次买了3瓶墨水和1支圆珠笔共付5元.每支圆珠笔和每瓶墨水各多少元
5、刘大妈买6米白布、8米花布，用去213元，王大妈买同样的白布6米、同样的花布6米，用去180元。
每米白布和每米花布各多少元？
例2学校准备买足球和篮球。
如果买2个足球和3个篮球，需要310元；如果买4个足球和2个篮球，需要340元。
问买一个足球和一个篮球各需多少钱？
练习2
1、食堂第一天运来5袋大米和3袋面粉共550千克；第二天运来3袋大米和6袋面粉共540千克。
每袋大米和每袋面粉各多少千克？
2、乐乐和天天一起去买水果。
乐乐买了2千克梨和5千克橙子，付了19元；天天买了1千克梨和2千克橙子，付了8元。
问：梨和橙子每千克各多少钱？
3、某花店1束百合和2束玫瑰售价108元；3束百合和4束玫瑰售价276元。
问每束百合和每束玫瑰的售价各是多少元？
4、2只鸡和3只鸭共重23千克，5只鸡和6只鸭共重50千克，一只鸡和一只鸭各重多少千克？
例3学校购买了5个篮球和3个足球，用去580元；如果购买3个篮球和4个足球需要480元，问:每个篮球和每个足球各是多少元？
练习3
1、一张桌子和两把椅子一共90元；两张桌子和一把椅子一共105元。
问：桌子和椅子的单价各是多少元？
2、3筐苹果和5筐梨共重450千克，4筐苹果和9筐梨共重740千克，每筐苹果和每筐梨各重多少千克？
3、买2条毛巾、3块肥皂，要付18元；买3条毛巾、2块肥皂，要付19元（毛巾、肥皂都分别是同一品牌的）。
那么买1条毛巾和1块肥皂要付多少元？
4、一个服装店的老板进了3条裤子和5件衣服共用了804元。
两天后，她又进了同样的4条裤子和4件衣服共用了752元。
问一条裤子和一件衣服各多少元？
5、棋艺小组的赵老师第一次买了3副象棋和5副围棋，一共花了109元钱；第二次买了5副象棋和3副围棋，一共花了75元钱。
象棋和围棋的单价各是多少？
二、拓展提高
1、老王买了5包绿茶，老李买了4包红茶，两人一共花了660元。
如果两人各拿出一包茶叶进行交换，那么交换后两人的茶叶总价正好相等。
问：每包绿茶多少钱？每包红茶多少钱？
2、某汽车配件厂有甲种零件65箱，乙种零件55箱，共重3050千克，已知一箱甲种零件和一箱乙种零件共重50千克，一箱甲种零件和一箱乙种零件各重多少千克？
3、亮亮带200元钱去书店买书。
他买了5本故事书和2本作文书后，剩下的钱如果买3本故事书还多8元，如果买3本作文书还差10元。
问：每本作文书多少钱？
三、课后自练
1、明明和婷婷用自己的压岁钱购买学习用品，明明买2支铅笔，5个笔记本，用去24元；婷婷买2支铅笔，7个笔记本，用去32元。
铅笔和笔记本的单价各是多少元？
2、新华小学的食堂第一次买回5袋大米，3袋面粉共重840千克；第二次买回7袋大米，4袋面粉共重1160千克。
每袋大米，每袋面粉各重多少千克？
3、小勇带68元钱去买文具，正好可以买3盒颜料和4支钢笔。
如果买3盒颜料和2支钢笔，那么还剩16元。
每支钢笔多少钱？每盒颜料多少钱？
4、妈妈给乐乐13元钱，让他去买2千克香蕉和3千克苹果，结果他把买的数量弄颠倒了，结果还找回1元。
问：苹果每千克多少元？。