第22章《一元二次方程》易错题集(01、02、03)：23.1 一元二次方程
一元二次方程易错题(Word版 含答案)
试题解析：(1)∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0
∴ ＝3或 ＝4 .
则AB＝3，BC＝4
(2)由题意得
∴ ， (舍去)
则t＝4时，AP＝ .
(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形.
①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒).
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012
年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的
汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011
根据勾股定理得PQ= ,
P，Q两点的距离为2 cm.
（3）点Q从C点移动到B点所花的时间为16÷2=8s，
当点P在AO上时，S△POQ＝ ＝ ＝12，
解得t＝4．
当点P在OC上时，S△POQ＝ ＝ ＝12，
解得t＝6或﹣ （舍弃）．
当点P在CB上时，S△POQ＝ ＝ ＝12，
解得t＝18＞8（不符合长率为x．
根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．
（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆．
综上所述，经过4s或6s时，△POQ的面积为12cm2．
一元二次方程易错题集
2a 4 的有意义的条件，即2a+4 ≥0，解得a ≥-2
五、忽略判别式 b 4ac 的条件
2
x2 (k 1) x k 1 0 例5.已知关于x的方程
求实数k的值。
错解：设方程的两根为 x1，x2 ，由根与系数的关系得 x1 x2 k 1，x1 x2 k 1
2
∵ x12 x22 4
∴
∴ x1 x2 2 x1 x2 4
k 1
2
2 k 1 4
k 2 4k 5 0
k 5且k 1
剖析：一元二次方程的根与系数的关系是以判别式
b2 4ac ≥0
为前提，才能确保一元二次方程有两个实数根．错解中忽略了原方程有两
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 剖析：注意已知条件中的“关键词”方程有两个不相等的实数根， 显然此方程必为一元二次方程，所以二次项系数 k 2 o即k 0 1 • 因此 错解中漏掉了 k 0 故正确答案为 k ＜ 且 k0 4 • 因此解题要注意题中的关键词.
三．忽视对题中关键词的理解
• 例3．已知关于x 的方程(m 2) x2 2x 1 0 有解， 那么m的取值范围是（ ）
一元二次方程错解集
沙埠中学 徐济英
一、忽视化成一元二次方程的一般形式
ax bx c 0
2
例1
用公式法解方程
2 x 5x 3
2
错解： a 2, b 5, c 3
b2 4ac 52 4 2 3 1
x 5 1 5 1 2 2 4 3 x1 1, x2 2
根的条件 0
华东师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》易误易混辨析
1 / 1 《一元二次方程》易误易混辨析
误区一：忽视一元二次方程的一般形式
【例1】写出方程21x x -=的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：将21x x -=化成 一般形式为210x x --=，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，－1，－1.
跳出误区
本题易出现将常数项写成1的错误，原因是没将方程化为一元二次方程的一般形式，另外，不用忽视各项系数的符合
.
误区二：在解答过程中忽略条件
【例2】当k 取何值时，21(1)20k k x x +-+-=是一元二次方程？
解：由一元二次方程的定义，知212k +=，且10k -≠，解得1k =-.故当1k =-时，21(1)20k k x x +-+-=是一元二次方程.
跳出误区
本题易出现答案为1k =±的错误，原因是忽略了二次项系数不为0这一隐含条件.因此，在解答一元二次方程中所含字母的值时，一定要保证二次项系数不为0，从而避免出错.。
一元二次方程知识点总结与易错题
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，那么有222)(2b x b bx x ±=+±。
1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法〔这里指的是分解因式中的公式法〕或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-ab ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-ab ，x 1 x 2=ac。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。
考点三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆〞来表示，即ac b 42-=∆ I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根。
中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017．（2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值． 【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -）=2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-⋅- =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0， 解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β． （1）求m 的取值范围； （2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】 【分析】（1）根据△≥0即可求解, （2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.4．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=242b b c aa -±-=42461222-±=-±⨯ ∴x 1＝－1＋6，x 2＝－1－6（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－14，y 2＝32.5．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）()a a12+；探究二：（5）3a（a+1）；（6）()()ab a1b14++；探究三：（8）()()3ab a1b12++；【结论】：①()()()abc a1b1c18+++；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×6×1=3a（a+1），故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×1=()()ab a1b14++，故答案为()() ab a1b14++；探究三：（8）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动． 【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．7．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．【答案】x1＝﹣2，x2＝1【解析】【分析】设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2．①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.8．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a元，在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元 【解析】 【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩，解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件．()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件， 根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=， 解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．9．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？ 【答案】（1）2280；（2）15 【解析】 【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值. 【详解】 （1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.。
一元二次方程的知识点与易错题
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-ab ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-ab ，x 1 x 2=ac。
一元二次方程易错点复习
忽视方程解的取舍的例题解析
总结词
一元二次方程的解可能不符合实际情况，需要进行取 舍，但在解题过程中，学生常常忽视这一步骤，导致 解的错误。
详细描述
一元二次方程的解可能不符合实际情况，例如，当题目 中的系数为负数时，解可能为负数或复数。在这种情况 下，需要根据实际情况对解进行取舍。但在实际解题过 程中，学生往往没有对解进行取舍，导致解的错误。例 如，对于方程x²+x-3=0，学生直接求解得到x=-3或x=1， 但实际上，由于系数为正数，解应该为正数或复数，因 此需要舍去x=-3这个解。
总结词
掌握一元二次方程的标准形式是解题的基础。
详细描述
一元二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。理 解并掌握标准形式有助于将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，从而更容 易找到解。
判别式理解
总结词
理解判别式的意义和作用是解决一元 二次方程的关键。
忽视根的情况讨论
总结词
一元二次方程的解与判别式的取值密切相关，学生常。
详细描述
根据判别式的取值，一元二次方程的解可以分为三种情况：当Δ=0时，方程有两个相等 的实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。因此，
在解一元二次方程时，需要对根的情况进行讨论，确保解的完整性。
一元二次方程易错点复习
目 录
• 概念理解 • 解题方法 • 易错点分析 • 易错题解析
01 概念理解
定义理解
总结词
理解一元二次方程的定义是关键。
详细描述
一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程。理解这个 定义有助于判断一个方程是否为一元二次方程，并有助于确定解法。
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 专题三 一元二次方程易错题型归纳课件
第五页，共十五页。
6．(达州中考)已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0 且 mn≠1， 则mn＋nn＋1 的值为__3__．
第六页，共十五页。
7．关于x的方程(k－1)x2－x＋1＝0有实根． (1)求k的取值范围； (2)设x1，x2是方程的两个(liǎnɡ ɡè)实数根，且满足(x1＋1)(x2＋1)＝k－1， 求实数k的值．
解：(1)k≤54 (2)k＝0
第七页，共十五页。
8．已知关于 x 的一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋m4 ＝0
有两个不相等的实数根 x1，x2.若x11 ＋x12 ＝4m，则 m 的值是( A )
A．2
B．－1
C．2 或－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ D．不存在
第八页，共十五页。
9．关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)如果(rúguǒ)x1＋x2－x1x2<4，且k为整数，求k的值．
第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
No 第22章 一元二次方程。有两个不相等(xiāngděng)的实数根，求m的取值范围．。解：
x1＝3，x2＝－2。(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.。解：(2)x1＝6，x2＝－4。∴原方 程的解是x1＝2，x2＝－2.。解：x1＝1，x2＝－2。(2)销售这种水果要想每天盈利300元， 老板需将每斤的售价定为多少元。100＋200x
求根公式时，对于 b2－4ac>0 的情况，她是这样做的：
由于 a≠0，方程 ax2＋bx＋c＝0 变形为
x2＋ba x＝－ac ，…第一步 x2＋ba x＋(2ba )2＝－ac ＋(2ba )2，…第二步 (x＋2ba )2＝b2－4a42ac ，…第三步
九年级数学上册22.2一元二次方程的解法易错题解析素材华东师大版(new)
一元二次方程的解法不少同学在解决一元二次方程有关问题时,忽视隐含条件、思考不周而导致各种各样的缺误，下面分类剖析一下错解的原因，希望同学们引以为戒．忽视方程的同解性例１．解方程：)1(3)1(2+=+x x 错解：由原方程得：x+1=3 ∴x=2．剖析：上面的解法错在方程的两边同除以为零的x+1,违背了方程的同解原理，造成失根．正确的解法为；0)1(3)1(2=+-+x x ,(x+1）（x －2）=0，∴2,121=-=x x ． 忽视方程的定义例１．已知一元二次方程0)12(22=+--k k kx 有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是 ．错解：令△＝224)12(k k --＞０，即－4k+1＞0，解得41<k ．∴当41<k 时,原方程有两个不等的实数根．剖析：这里忽视了二次项系数o k ≠的隐含条件． 故本题的正确答案为：41<k 且o k ≠． 忽视有根的前提条件例３．关于x 方程012)2(2=+++-k x k x 的两实数根为1x 与2x ,若112221=+x x ，求实数k 的值．错解：由根与系数的关系得：12,22121+=+=+k x x k x x ．∵ 2212221)(x x x x +=+－２21x x ＝１１,∴11)12(2)2(2=+-+k k ,∴092=-k ，解得：3±=k ．剖析：关于x 的二次方程的两实数根的平方和为１１,首先要保证它有实数根为前提．所以，此解忽视了判别式△≥０这一隐含条件．本题中,当k=3时,原方程为0752=+-x x ，＝－３＜０，故只取k=－3．忽视方程根多样性例４．已知实数a 、b 满足条件025,02522=+-=+-b b a a ,则=+abb a ．错解：由已知条件可知，a 、b 为方程0252=+-x x 的两根，∴a+b=5,ab=2， =+a bb a22122252)(22=⨯-=-+ab ab b a ．剖析：本题就a 、b 的关系有两种情况:一是a 、b 为方程0252=+-x x 的两根，此时 ＞０．可知a ≠b ．二是a=b 同样能使已知两式同时成立．而上述解法只考虑了a ≠b 的情形，却忽视了第二种情况a=b ．当a=b 时，=+a bb a ２．本题的正确解答为：当a ≠b 时，=+a b b a 221;当a=b 时,=+abb a ２．五、忽视方程根的符号例5．已知一元二次方程0152=++x x 的两根为21,x x ，求2112x x x x +的值． 错解:由根与系数的关系,得31,352121=-=+x x x x ，所以原式＝221121x x x x x x +＝335212121-=+x x x x x x ． 剖析:∵31,352121=-=+x x x x ,∴0021<<x x 且．∴2112x x x x +≠221121x x x x x x +，因此，原式＝221121x x x x x x --＝－335212121=+x x x x x x ． 六、忽视条件的等价性例６．若一元二次方程0562=-+-m x x 的两实数根都大于２,求m 的取值范围． 错解：设方程的两实数根为21,x x ，则m x x x x -==+5,62121,∵2,221>>x x ,所以⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆4402121x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧>->≥--45460)5(436m m ，解得－４≤m ＜１． 剖析：由2,221>>x x ，可以推出4,42121>>+x x x x ，但反过来，由4,42121>>+x x x x 却推不出2,221>>x x ，即它们之间不等价．两实数根都大于２的充要条件是△≥０且0)2()2(21>-+-x x 且0)2)(2(21>--x x ，解得－４≤m ＜－３．七、忽视隐含条件例７． 已知关于x 的方程=-+--112)21(2x m x m ０有两个不等的实根,求m 的取值范围．错解:∵方程有两个不等的实根，∴△＝0)21(4)12(2>-++-m m ，得m ＜2．又∵1－２m ≠0，∴m ≠21．剖析：本题求解时注意了a 及△，但忽视了1+m 这一隐含条件下:m+1≥0．故正确的答案应是－1≤m ＜2且m ≠21．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
一元二次方程知识点总结与易错题
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a b ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=ac 。
一元二次方程知识点总结与易错题及答案
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a b ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=ac 。
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第23章《一元二次方程》易错题集（01）：23.1 一元二次方程
1.方程(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A. 2m =±
B. 2m =
C. 2m =-
D. 2m ≠±
2. 关于x 的方程22(2)10m m x mx --++=是一元二次方程的条件是（ ）
A. 1m ≠-
B. 2m ≠-
C. 1m ≠-或2m ≠-
D. 1m ≠-且
A ． B. C. 且 D. 为任何实数
4. 方程22(2)5m m x --=是一元二次方程，则m 的值是（ ）
A ．2± B. 2- C. 2 D.4
5. 若方程22(2)310a a x x -+--=是一元二次方程，a 的值为（ ）
A.2a =±
B. 2a =-
C. 2a =
D. a =6. 若方程21(1)(1)20m m x m x +--+-=是一元二次方程，m 的值为（ ）
A. 0m =
B. 1m =±
C. 1m =
D. 1m =-
7. 如果方程27(3)30m m x x ---+=是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为（ ）
A.3±
B.3
C.3-
D.都不对
8.把一元二次方程2(1)(3)4x x x -=-+化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是
（ ）
A ．2，-3 B.-2,-3 C.2, D.-2, 3x -\
9.关于x 的一元二次方程（22(1)230m x x m m +++--=有一根是0，则m 的值是（ ）
A. 3m =或1m =-
B. 3m =-或1m =
C. 1m =-
D. 3m =
10. 若2x =-是一元二次方程22x c =的一个根，则常数c 是（ ）
A.2±
B.2
C.-2
D.4
11. 关于x 的方程2240x -=解为（ ）
A.2
B. 2± D. 12. 满足22(1)1n n n +--= 的整数n 有( )个.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
13. 若1x =是方程22
(1)(1)10k x k x k -+--+=的一个根，则k 值满足（ ）
A ．1k =± B. 1k = C. 1k =- D. 1k ≠±
14. 已知关于x 的方程有一个解是0，则m 的值为（ ）
A.-3
B.3
C. 3±
D.不确定
17. 关于x 的方程(2)10m m x
x -+-=是一元二次方程，则m 的值
19. 若2y m =，且关于x 的方程7(3)5y m x
--=是一元二次方程，则m 的值是 。
20. 关于x 的方程22(2)110k k x ---= 是一元二次方程，则k 的值是 。
22. 若方程1(1)24m m x x +--=是一元二次方程，则m = 。
23. 若关于x 的方程22(3)53180m x x m m -++--=的常数项为0，则m 的值等于 。
24. 关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则一次项系数是 。
25. 若关于x 的一元二次方程(2)210m m x
x ++-=是一元二次方程，则m 。
26. 若方程231(1)0a a x -+=是关于x 的一元二次方程，则a = 。
27.当m ≠ 时，方程2(2)(1)50m x m x -+-+=是一元二次方程．
28. 关于x 的一元二次方程2
(2)(1)50m x m x -+-+=有一个解是0，则m = 。
29. 一元二次方程22
(1)10a x x a -++-=一根为0，则a = 。
第23章《一元二次方程》易错题集（02）：2.1 一元二次方程
1.已知关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a --+-= 的一个根是0，那么a 的值
为 .
2. 关于x 的一元二次方程222
21mx m x x +=-+的一个根为0，那么m 的值
为 .
3. 已知实数x 满足2(55)1x x x -+=，则实数x 的值可以是 .
4.已知a 是方程210x x --=的一个根，则432a a --的值为 .
第23章《一元二次方程》易错题集（03）：2.2 一元二次方程的解法
1.如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上
的数值不相同，则“★”面上的数为（ ）
A.1
B.1或 2
C.2
D.2或3
2.若一个三角形的三边长均满足方程2680x x -+=，则此三角形的周长为（ ）
A ．8 B.10或8 C.10 D. 6或12
A.-1
B.1
C.2
D.不能确定 4. 关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
5. 关于x 的方程2(2)20ax a x -++=只有一解（相同解算一解），则a 的值为（ ）
A. 0a =
B. 2a =
C. 1a =
D. 0a =或2a =
6. 若关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
（ ）
A. 1k >-
B. 1k >-且0k ≠
C. 1k <
D.1k <且0k ≠
7.已知关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的最大整
数值是（ ）
A ．2 B.1 C.0 D.-1
8. 如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围
是（ ）
A. 1k <
B. 0k ≠
C. 1k <且0k ≠
D. 1k >
17. 关于未知数x 的方程2
410ax x +-=只有正实数根，则a 的取值范围为（ ）
A.40a -≤≤
B. 40a -≤<
C. 40a -<≤
D.
40a -<<
18. 关于x 的一元二次方程22(4)10x k x k +-++=的两实数根互为相反数，则k 的值（ ）
A.2
B.0
C.2±
D.-2
19. 已知方程222(1)30x m x m --+=的两个根是互为相反数，则m 的值是（ ）
A.1m =±
B. 1m =-
C. 1m =
D. 0m =
20. 一元二次方程2310x x --=与230x x -+=的所有实数根的和等于（ ）
A.2
B.-4
C.4
D.3
21. 设20x px q -+=的两实根为,αβ 而以22αβ为根的一元二次方程仍是20x px q -+=，则数对（p ，q ）的个数是（ ）
31.设,a b 是一个直角三角形两条直角边的长，且2222()(1)12a b a b +++= ，则这个直角三角形的斜边长为 .。