高三数学 第78课时 函数的极限和连续性教案
高中数学教案函数的极限及函数的连续性
函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析：①此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。
②要掌握常见的几种函数式变形求极限。
③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。
④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。
⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
二、典型例题例1．求下列极限①②③④解析：①。
②。
③。
④。
例2．已知，求m,n。
解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。
例3．讨论函数的连续性。
解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又，∴，∴ f(x)在x=1处连续。
由，从而f(x)在点x=-1处不连续。
∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。
例4．已知函数, (a,b为常数)。
试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
解析：∵且，∴，∴ a=1, b=0。
例5．求下列函数极限①②解析：①。
②。
例6．设，问常数k为何值时，有存在？解析：∵，。
要使存在，只需，∴ 2k=1，故时，存在。
例7．求函数在x=—1处左右极限，并说明在x=—1处是否有极限？解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。
训练题：1．已知，则2．的值是_______。
3. 已知，则=______。
4．已知，2a+b=0，求a与b的值。
5．已知，求a的值。
参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0。
高中数学备课教案函数极限与连续性的推导与证明
高中数学备课教案函数极限与连续性的推导与证明高中数学备课教案：函数极限与连续性的推导与证明一、引言在高中数学中，函数的极限与连续性是重要的概念。
本教案将着重介绍函数极限与连续性的推导与证明。
二、函数极限的推导与证明1. 函数极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限为L，表示为lim_(x→a)〖f(x)=L〗，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
2. 函数极限的代数运算性质- 极限的唯一性：如果lim_(x→a)〖f(x)=L〗，lim_(x→a)〖f(x)=M〗，则L=M。
- 四则运算定理：设lim_(x→a)〖f(x)=L〗，lim_(x→a)〖g(x)=M〗，则lim_(x→a)〖(f(x)±g(x))=L±M〗，lim_(x→a)〖k·f(x)=k·L〗，lim_(x→a)〖f(x)·g(x)=L·M〗，lim_(x→a)〖f(x)/g(x)=L/M〗（其中M≠0）。
- 复合函数极限：设g(x)在x=a处有极限lim_(x→a)〖g(x)=L〗，f(x)在x=L处有极限lim_(x→L)〖f(x)=M〗，则复合函数f(g(x))在x=a处有极限lim_(x→a)〖f(g(x))=M〗。
3. 函数极限的中值定理函数f(x)在(a,b)上连续，在(a,b)的任意一点处可导，且对于(a,b)中的两个不同点x1、x2，有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f'(ξ)，其中ξ∈(x1,x2)。
这是几何中值定理的数学推广。
三、连续性的推导与证明1. 连续函数的定义函数f(x)在点x=a处连续，当且仅当lim_(x→a)〖f(x)=f(a)〗。
2. 连续函数的性质- 连续函数的四则运算：若函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，则f(x)±g(x)、k·f(x)、f(x)·g(x)、f(x)/g(x)（其中g(a)≠0）在点x=a处也连续。
高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明
高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明高中数学必修课教案：函数的极限与连续的推理与证明导言：函数是数学中一个重要的概念，它可以描述不同变量之间的关系。
在高中数学必修课程中，学生需要学习函数的极限与连续，这是进一步理解函数性质与应用的基础。
本教案将以极限与连续为核心内容，通过推理与证明的方式展示相关知识点。
通过本教案的学习，学生将掌握函数的极限定义、极限的运算规律以及连续函数的特性和证明方法。
一、函数的极限1. 极限的引入极限是描述函数在某一点附近的取值趋势的概念。
通过接近或逼近的方式，我们可以研究函数在某一点的表现。
2. 极限的定义函数f(x)在x=a处的极限为L，表示为lim[x→a] f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在δ>0，对于所有满足0<|x-a|<δ的x值，都有|f(x)-L|<ε。
3. 极限的性质（1）极限唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，则极限唯一。
（2）四则运算性质：设lim[x→a] f(x) = A，lim[x→a] g(x) = B，则(i) lim[x→a] [f(x)±g(x)] = A±B(ii) lim[x→a] [f(x)·g(x)] = A·B(iii) lim[x→a] [f(x)/g(x)] = A/B (其中B≠0)4.无穷小与无穷大（1）无穷小：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限是0，则称f(x)为x→a时的一个无穷小。
（2）无穷大：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限不存在或者无穷大，则称f(x)为x→a时的一个无穷大。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义函数f(x)在点x=a处连续，表示为f(a)=lim[x→a] f(x)存在且等于f(a)。
2. 连续函数的性质（1）基本初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数在其定义域内都是连续函数。
人教版高中数学函数的极限与连续教案2023
人教版高中数学函数的极限与连续教案2023【人教版高中数学函数的极限与连续教案2023】一、教学目标1. 知识目标：明确函数的极限的定义、性质及相关定理，在此基础上，了解连续函数的概念和判定方法。
2. 能力目标：通过数学思想和方法，能够应用函数极限的相关知识，解决实际问题。
二、教学重难点1. 重点：函数极限的定义、性质及相关定理。
2. 难点：连续函数的概念和判定方法。
三、教学过程1.引入（10分钟）通过学生日常遇到的实际问题，如车速、温度等进行引入，介绍函数的概念，引出函数的极限，导入本节课的学习内容。
2.定义与性质（30分钟）介绍函数极限的定义和性质，仔细说明无穷小量和无穷大量的概念和特性，引导学生掌握解决函数极限的基本方法。
3.定理证明（40分钟）学习连续函数的概念和基本性质，推导极限的四则运算定理和夹逼定理，并对定理进行证明，引导学生掌握相关技巧。
4.思维拓展（20分钟）引导学生应用所学内容解决实际问题，如极限定义在数列求极限中的应用等，培养学生使用数学思想解决实际问题的能力。
5.课后延伸（10分钟）引导学生进一步扩展思路，了解更多应用函数极限的知识，如函数极值、相关极限和级数等。
四、教学评价1. 知识考查：通过数学试卷进行知识考查，主要包括数列极限和函数极限的计算、证明以及简化。
2. 能力评价：通过小组讨论、实际问题解决等形式进行知识运用和能力评价，鼓励学生在创新思维和实际应用方面进行拓展。
五、教学反思通过组织学生学习函数极限和连续函数，使其具备以函数极限为基础，主张和应用连续函数的能力和意识，有利于开拓学生数学思维，提高其数学素养。
同时，通过让学生自主挖掘和实践中学习，培养学生的问题解决能力和创新精神。
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 让学生理解函数连续性的概念，掌握判断函数连续性的方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 极限的概念和计算方法。
2. 函数连续性的概念和判断方法。
3. 极限和函数连续性在实际问题中的应用。
三、教学重点和难点：1. 教学重点：极限的概念和计算方法，函数连续性的概念和判断方法。
2. 教学难点：极限的计算方法，函数连续性的判断方法。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解极限和函数连续性的概念和计算方法。
2. 采用案例分析法，分析极限和函数连续性在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论问题，培养学生的合作能力。
五、教学过程：1. 导入：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引出极限和函数连续性的概念。
2. 讲解：讲解极限和函数连续性的概念和计算方法，结合案例进行分析。
3. 练习：让学生进行极限和函数连续性的计算练习，巩固所学知识。
4. 小组讨论：让学生分组讨论实际问题，应用所学知识解决问题。
5. 总结：对所学内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 教学反思：对教学过程进行反思，对学生的学习效果进行评估。
六、教学评价：1. 学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 学生作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 学生小组讨论表现：评估学生在小组讨论中的参与情况和合作能力，了解学生对实际问题的分析和解决能力。
七、教学资源：1. 教材：选用合适的教材，为学生提供系统的学习材料。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示知识点。
3. 练习题：准备相关的练习题，帮助学生巩固所学知识。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍极限的概念和计算方法。
高中数学函数极限的教案
高中数学函数极限的教案
一、教学目标：
1. 了解数学函数极限的概念及性质；
2. 掌握计算函数极限的方法；
3. 能够运用函数极限解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和分析能力。
二、教学重点与难点：
重点：函数极限的定义和性质，计算函数极限的方法；
难点：理解并运用函数极限解决实际问题。
三、教学内容：
1. 函数极限的定义与性质；
2. 常见函数的极限计算方法；
3. 函数极限在实际问题中的应用。
四、教学过程：
1. 导入：通过一个简单的例子引入函数极限的概念；
2. 讲解：介绍函数极限的定义和性质，讲解常见函数的极限计算方法；
3. 演练：组织学生做一些练习题巩固所学内容；
4. 应用：通过一些实际问题引导学生运用函数极限解决问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，并提醒学生需要多加练习。
五、教学资源：
1. 教科书；
2. 手册和笔记。
六、作业布置：
1. 完成教材上的相关习题；
2. 自主查找一些函数极限的应用题并做一些解答。
七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数极限的概念、性质和计算方法有了更加清晰的认识，提高了解决实际问题的能力。
同时，也发现学生在理解函数极限的过程中可能存在一些困难，需要更多的练习和巩固。
在后续教学过程中，需要继续帮助学生理解和掌握函数极限的知识。
函数的连续性教案
函数的连续性教案一、教学目标1、理解函数连续性的概念，包括在一点处连续和在区间上连续的定义。
2、能够通过函数的图像和表达式判断函数在某点处的连续性。
3、掌握函数连续性的性质，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
4、能够运用函数连续性的概念和性质解决相关的数学问题。
二、教学重难点1、教学重点函数在一点处连续的定义。
函数连续性的性质及其应用。
2、教学难点函数在一点处连续的定义的理解。
运用函数连续性的定义证明函数在某点处连续。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入（通过展示一些函数的图像，如连续的曲线和不连续的折线）同学们，我们在之前的学习中已经接触过很多函数，大家观察这些函数的图像，有的曲线是平滑的，没有间断点；而有的图像则存在跳跃或者断裂的情况。
今天我们就来深入研究函数的一种重要性质——连续性。
2、函数在一点处连续的定义设函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＼（＼Delta x\）趋近于零时，对应的函数增量＼（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）也趋近于零，那么就称函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续。
用数学语言可以表示为：＼（＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0\）进一步，等价于：＼（＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＼）（通过具体的函数例子，如＼（f(x) ＝ x^2\）在＼（x ＝ 1\）处，计算函数增量，帮助学生理解定义）3、函数在一点处连续的充要条件函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续的充要条件是：函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处既左连续又右连续。
左连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）右连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^＋｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）（举例说明左连续和右连续的情况）4、函数在区间上连续的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）内的每一点都连续，就称函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）上连续。
高三数学 第78课时 函数的极限和连续性教案 教案
课题：函数的极限和连续性教学目标：1.了解函数极限的概念；2.掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；3.了解函数连续的意义；4.理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 （一） 主要知识及主要方法： 1.函数极限的定义:()1当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就说当x趋向于正无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →+∞=，或者当x →+∞时，()f x a →；()2当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数()f x 的极限是a . 记作lim ()x f x a →-∞=或者当当x →-∞时，()f x a →()3如果lim ()x f x a →+∞=且lim ()x f x a →-∞=，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →∞=或者当x →∞时，()f x a → .2.常数函数:()f x c =(x R ∈)，有lim ()x f x c →∞=.lim ()x f x →∞存在，表示lim ()x f x →+∞和lim ()x f x →-∞都存在，且两者相等所以lim ()x f x →∞中的∞既有+∞，又有-∞的意义，而数列极限lim n x a →∞中的∞仅有+∞的意义.3.趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作lim ()x x f x a →=.特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→.4.0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==.其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限.5.对于函数极限有如下的运算法则：如果0lim ()x x f x A →=，lim ()ox x g x B →=,那么0lim[()()]x x f x g x A B →+=+,lim[()()]x x f x g x A B →⋅=⋅, 0()lim(0)()x x f x AB g x B→=≠. 当C 是常数，n 是正整数时:0lim[()]lim ()x x x x Cf x C f x →→=,0lim[()][lim ()]nnx x x x f x f x →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.6.函数在一点连续的定义: 如果函数()f x 在点0x x =处有定义，0lim ()x x f x →存在，且00lim ()()x x f x f x →=，那么函数()f x 在点0x x =处连续.7.函数()f x 在(),a b 内连续的定义：如果函数()f x 在某一开区间(),a b 内每一点处连续，就说函数()f x 在开区间(),a b 内连续，或()f x 是开区间(),a b 内的连续函数.8.函数()f x 在[],a b 上连续的定义：如果()f x 在开区间(),a b 内连续，在左端点x a =处有lim ()()x af x f a +→=，在右端点x b =处有lim ()()x bf x f b -→=就说函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,或()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数.9.最大值：()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数，如果对于任意[],x a b ∈，1()f x ≥()f x ，那么()f x 在点1x 处有最大值1()f x .10.最小值：()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数，如果对于任意[],x a b ∈，2()f x ≤()f x ，那么()f x 在点2x 处有最小值2()f x .11.最大值最小值定理如果()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数，那么()f x 在闭区间[],a b 上有最大值和最小值.12.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(00和∞∞型），通过变形使得各式有极限； 根式型(∞-∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；13.根的存在定理：若①函数()f x 在[],a b 上连续，②()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =至少有一根在区间(),a b 内；若①函数()f x 在[],a b 上连续且单调，②()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =有且只有一根在区间(),a b 内. （二）典例分析：问题1．求下列函数的极限：()14455lim 13x x x x x →∞---；()2lim x ()3lim x x →+∞；()42cos lim cossin 22x xx x π→-；()5322232lim 6x x x x x x →-++--；()60x →0a >);()7（06某某）2241lim 42x x x →-⎛⎫-= ⎪-+⎝⎭()8（07某某）21211lim 21x x x x x +⎛⎫-= ⎪+--⎝⎭→问题2．()1若222lim 22x x ax bx x →++=--，求a 、b 的值.()2设0a >，若(lim 1x ax →+∞=-，求常数a 、b 的值.()3（07某某）设正数a b ,满足22lim()4x x ax b →+-=，则111lim 2n n n n n a ab a b +--→∞+=+.A 0.B 14.C 12.D 1问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.()124)(2--=x x x f ，点2=x ；()2⎩⎨⎧≤<-≤<-=31,210,1)(x x x x x f ，点1=x ；()3试讨论函数20()13,02x f x x x >=⎨⎪+⎪⎩≤，点0x =问题4．()1已知()()()0()101x a x f x x b x +⎧=-<<⎪=-⎪⎩≥ ，在区间[)1,-+∞上连续，求,a b()2（08届高三某某眉山市一诊）已知函数()()1()3log 1a ba x f x x xb x ⎧-<⎪=-⎨⎪+⎩≥在R 上连续且单调递增，则实数b ∈问题5．已知函数()f x x =()1当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值和 最小值；()2解方程()0f x =；()3求出该函数的值域.问题6．证明：方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根.（三）课后作业：1.已知222lim2x x mx n x →-++=+，求,m n 的值.2.若21lim 111x a b x x →⎛⎫+=- ⎪--⎝⎭（a 、b 为常数），则a =；b =3.已知()f x =0x ≠），那么给(0)f 一个定义，使()f x 在0x =处连续，则(0)f 应是.A 0.B 1-.C 1.D 124.（07某某一模）设()f x 是一个一元三次函数且1()lim61x f x x →-=+，2()3lim 22x f x x →=--，则3()lim3x f x x →=-.A 2.B 43.C 83.D 45.设函数()f x 在1x =处连续，且1()lim21x f x x →=-，则(1)f =.A 1-.B 0.C 12.D 2（四）走向高考：6.（05某某）若1(1)lim11x f x x →-=-，则11lim(22)x x f x →-=- .A 1-.B 1.C 12-.D 217.（05某某）若1)11(lim 21=---→xb x a x ，则常数b a ,的值为 .A 4,2=-=b a .B 4,2-==b a .C 4,2-=-=b a .D 4,2==b a8.（05某某）设0abc ≠，1lim 3x cx a ax b →∞+=+，223lim 4x ax bx bx c →∞+=-，则332lim x cx bx c bx cx a →∞+-=-+ .A 4.B 49.C 14.D 949.（07某某）2211lim 21x x x x →-=--.A 0.B 1.C 21.D 32（07某某）321lim 1x x x x →--.A 等于0.B 等于1.C 等于3.D 不存在10.（07某某）设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-=11.（07全国Ⅱ）已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→12.（07某某）下列四个命题中，不正确．．．的是 .A 若函数()f x 在0x x =处连续，则0lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→.B 函数22()4x f x x +=-的不连续点是2x =和2x =- .C 若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞∞=→→.D 111lim12x x x -=-→13.（07某某）如图，抛物线21y x =-+与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为12,P P ，…，1n P -，过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 12Q Q ,，…，1n Q -，从而得到1n -个直角三角形11Q OP △， 212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当n →∞时，这些三角形 的面积之和的极限为y x1Q 2Q1n Q +21y x =+1P 2P2n P - 1n P -O14.（07某某）已知函数21(0)()2(1)xc cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，内连续， 且29()8f c =．()1某某数k 和c 的值；()2解不等式()1f x >+．15.（04某某）设函数()()ln f x x x m =-+，其中常数m 为整数.()1当m 为何值时，()f x ≥0；()2定理：若函数()g x 在[],a b 上连续，且()g a 与()g b 异号，则至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00g x =.试用上述定理证明：当整数1m >时，方程()0f x =在2,m me m e m -⎡⎤--⎣⎦内有两个实根.。
数学教学函数的极限与连续性教案
数学教学函数的极限与连续性教案在数学教育中，函数的极限与连续性是基础而重要的概念，它们在高中数学和大学数学中都有广泛的应用。
为了帮助学生更好地理解和掌握这些概念，我设计了以下教案，以帮助教师有效地传授这些知识给学生。
**教案一：引入极限与连续性****教学目标：** 在开始学习极限和连续性之前，让学生明白这些概念的重要性和应用领域。
**教学内容：**1. 介绍什么是函数，以及为什么我们需要研究函数的极限与连续性。
2. 举例说明函数的极限和连续性在实际生活中的应用，如物理学、工程学和经济学。
3. 强调函数的极限和连续性对数学建模和问题求解的关键作用。
**教学方法：** 使用图表和实际案例，让学生参与讨论，引发他们对这些概念的兴趣。
**教案二：函数的极限****教学目标：** 引导学生了解函数的极限，掌握计算极限的方法。
**教学内容：**1. 定义函数的极限，包括数学符号和表达。
2. 介绍无穷大极限和无穷小极限的概念。
3. 讨论常见的极限计算规则，如极限的四则运算法则和极限的夹逼法则。
**教学方法：** 提供示例和练习，让学生逐步掌握极限的计算方法。
**教案三：函数的连续性****教学目标：** 帮助学生理解函数的连续性，学会判断和应用连续性。
**教学内容：**1. 解释函数的连续性的定义和数学表达。
2. 讨论连续函数的性质和特点。
3. 引导学生掌握判断函数连续性的方法，如使用极限的性质。
**教学方法：** 通过示例和练习，培养学生对连续性的感觉和判断能力。
**教案四：应用极限与连续性****教学目标：** 帮助学生将极限与连续性应用于实际问题求解。
**教学内容：**1. 展示如何使用极限和连续性解决实际问题，如求导、积分、极值和拐点等数学和科学问题。
2. 提供案例，让学生亲自尝试解决相关问题。
**教学方法：** 引导学生分析问题，运用所学知识解决具体应用场景中的数学难题。
**教案五：综合练习与评估****教学目标：** 让学生综合运用极限与连续性的知识，进行练习和评估。
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计第一章：导言1.1 教学目标让学生理解极限与函数连续性的基本概念。
能够区分极限与函数连续性的区别与联系。
掌握基本的极限与函数连续性判断方法。
1.2 教学内容极限的定义及其性质。
函数连续性的定义及其性质。
极限与函数连续性的关系。
1.3 教学方法采用讲授法，结合案例分析，引导学生理解极限与函数连续性的概念。
通过小组讨论，让学生探讨极限与函数连续性的关系。
1.4 教学评估课堂问答：检查学生对极限与函数连续性概念的理解。
小组讨论：评估学生在探讨极限与函数连续性关系时的表现。
第二章：极限的概念与性质2.1 教学目标让学生理解极限的基本概念。
掌握极限的性质。
2.2 教学内容极限的定义。
极限的性质。
2.3 教学方法采用讲授法，结合案例分析，引导学生理解极限的定义及其性质。
2.4 教学评估课堂问答：检查学生对极限概念及其性质的理解。
课后作业：布置相关练习题，巩固学生对极限概念及其性质的掌握。
第三章：函数连续性的概念与性质3.1 教学目标让学生理解函数连续性的基本概念。
掌握函数连续性的性质。
3.2 教学内容函数连续性的定义。
函数连续性的性质。
3.3 教学方法采用讲授法，结合案例分析，引导学生理解函数连续性的概念及其性质。
3.4 教学评估课堂问答：检查学生对函数连续性概念及其性质的理解。
课后作业：布置相关练习题，巩固学生对函数连续性概念及其性质的掌握。
第四章：极限与函数连续性的关系4.1 教学目标让学生理解极限与函数连续性的关系。
4.2 教学内容极限与函数连续性的联系与区别。
4.3 教学方法采用讲授法，结合案例分析，引导学生理解极限与函数连续性的关系。
通过小组讨论，让学生探讨极限与函数连续性的联系与区别。
4.4 教学评估课堂问答：检查学生对极限与函数连续性关系的理解。
小组讨论：评估学生在探讨极限与函数连续性关系时的表现。
5.1 教学目标评估学生在学习过程中的表现。
极限与连续性教案
极限与连续性教案教案一：极限的引入与定义引言：极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的特性。
掌握极限的概念和性质，对于理解函数的变化规律以及求解导数等问题具有重要意义。
一、引入（略去）二、极限的定义1. 函数极限的定义在介绍函数极限之前，首先要引入自变量无穷逼近的概念。
定义1：设函数 f(x) 在实数集上有定义，a 为实数，如果对于任意给定的正数ε(ε>0)，都存在正数δ（δ>0），使得当 0 < |x - a| < δ 时，有|f(x) - L| < ε 成立，则称数 L 是函数 f(x) 当 x 无限接近 a 时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L 或f(x) → L (x → a)2. 函数极限的性质（略去）教案二：连续性的引入与定义引言：连续性是数学中的重要概念，它刻画了函数在某一点处的平滑程度和不间断性。
理解连续性的概念和特性，对于函数图像的绘制和问题求解具有重要作用。
一、引入（略去）二、连续性的定义1. 函数在某一点的连续性定义1：设函数 f(x) 在 x=a 处有定义。
如果满足以下三个条件，则称函数在 x=a 处连续：（1）f(a) 存在；（2）lim(x→a) f(x) 存在；（3）lim(x→a) f(x) = f(a)2. 函数连续性的性质（略去）教案三：极限与连续性的关系引言：极限与连续性是微积分中密切相关的两个概念。
研究它们之间的关系，有助于深入理解函数的性质和求解一些复杂问题。
一、极限存在与函数的连续性（1）极限存在的函数不一定连续；（2）连续的函数一定存在极限。
二、连续函数与极限计算1. 连续函数的性质（略去）2. 通过极限计算连续函数的值教案四：综合运用与例题训练引言：对于极限和连续性这两个概念，实际问题的应用是尤为重要的。
通过综合运用这些概念，解决一些具体问题，不仅能够巩固理论知识，还能够培养学生的应用能力。
一、例题讲解（略去）二、例题练习（略去）总结：通过本课程的学习，我们深入了解了极限与连续性的概念、定义及其性质。
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 让学生理解函数连续性的概念，掌握连续性的判断方法。
3. 培养学生运用极限和连续性解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 极限的定义与性质2. 极限的计算方法3. 函数连续性的定义与性质4. 函数连续性的判断方法5. 连续性在实际问题中的应用三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解极限与连续性的概念、性质和计算方法。
2. 采用案例分析法，分析连续性在实际问题中的应用。
3. 引导学生通过自主学习、合作探讨，提高解决问题的能力。
四、教学准备：1. 教学PPT课件2. 相关案例资料3. 练习题及答案五、教学过程：1. 导入新课：复习极限和连续性的基本概念。
2. 讲解极限的定义与性质，举例说明极限的计算方法。
3. 讲解函数连续性的定义与性质，举例说明连续性的判断方法。
4. 分析连续性在实际问题中的应用，引导学生运用极限和连续性解决实际问题。
5. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师点评并讲解答案。
6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
7. 课后辅导：针对学生作业中出现的问题进行解答和指导。
8. 教学效果评估：通过课后作业、课堂表现和课后辅导，评估学生对极限与连续性的掌握程度。
9. 教学反思：针对教学过程中的不足，调整教学方法，提高教学质量。
10. 下一节课内容预告：介绍极限与连续性在高级数学中的应用。
六、教学评价：1. 学生自评：学生根据自己对极限与连续性概念的理解和应用能力进行自我评价。
2. 同伴评价：学生之间相互评价，考察对方对极限与连续性的掌握程度。
3. 教师评价：教师根据学生的课堂表现、作业完成情况和课后辅导情况，对学生的学习效果进行评价。
七、教学拓展：1. 介绍极限与连续性在科学研究中的应用，如物理、化学、生物学等领域。
2. 探讨极限与连续性在工程实践中的应用，如电子、机械、建筑等领域。
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 理解函数连续性的概念，掌握连续函数的性质。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 极限的概念与计算方法2. 函数连续性的概念与性质3. 连续函数的图像与实例分析三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和解决问题。
2. 利用多媒体课件辅助教学，直观展示函数图像和实例分析。
3. 组织小组讨论和互助学习，促进学生之间的交流与合作。
四、教学步骤1. 导入新课：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考极限和函数连续性的重要性。
2. 讲解极限的概念与计算方法：详细讲解极限的定义、性质和计算方法，举例说明极限在实际问题中的应用。
3. 讲解函数连续性的概念与性质：介绍函数连续性的定义、性质和判断方法，并通过实例分析来加深学生对连续函数的理解。
4. 函数连续性的图像与实例分析：利用多媒体课件展示连续函数的图像，并结合实际例子进行分析，让学生直观地感受连续函数的特点。
5. 课堂练习与讨论：布置相关的练习题目，组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识，并培养学生的解题能力和合作精神。
五、教学评价1. 课堂问答：通过提问和回答，了解学生对极限和函数连续性概念的理解程度。
2. 练习题目：布置相关的练习题目，评估学生对极限计算和函数连续性性质的掌握情况。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
4. 课后作业：布置相关的作业题目，巩固学生对极限和函数连续性的理解，并提高解题能力。
六、教学延伸1. 讲解极限在微积分学中的应用：介绍极限在导数和积分中的应用，引导学生理解极限在微积分学中的重要性。
2. 函数连续性与极限的关系：讲解函数连续性与极限之间的关系，帮助学生深入理解连续函数的性质。
3. 连续函数在实际问题中的应用：通过实例分析，展示连续函数在实际问题中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计
本文旨在探讨一篇关于极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估的教案设计，让学生能够更加深入地理解这些概念，并实现更加优秀的学习效果。
一、教学活动设计1.教学目的1.1.理解什么是极限1.2.掌握如何计算函数的极限1.3.理解函数的连续性及其性质2.教学内容2.1.极限及其定义2.2.极限的基本性质2.3.极限的运算法则2.4.无穷小的比较2.5.连续性及其定义2.6.函数的连续性性质3.教学方法3.1.针对概念性知识的教学（PPT课件）3.2.通过举例讲解的教学方法3.3.告诉学生如何使用公式4.教学过程4.1.导入让学生回顾一下前面学习的数学知识，并带入当日的主题。
4.2.观察让学生观察一些图表和数据，从中发掘出规律和问题。
4.3.分组讨论让学生组成小组，讨论极限概念的定义，以及极限的基本性质和运算法则，一些优秀的解决思路将体现在PPT课件中。
4.4.PPT课件讲解通过PPT教学课件，对极限和函数的连续性进行了详细的解释。
4.5.公式实例讲解举例说明如何使用一些公式来计算函数的极限，并带学生了解无穷小的比较。
4.6.知识点小测验通过知识点测验，来检验学生是否理解了极限与函数的连续性的基本概念。
4.7.练习题通过一些例题练习，让学生巩固和练习这些知识点，并能够运用到实际的数学问题中。
5.教学评估在整个教学过程中，需要对学生进行实时的评估。
通过学生的问题和教师的反馈对学生的学习情况进行评估，检验学生的掌握程度。
二、效果评估1.应用能力通过练习题评估学生是否能够将其应用到实际问题中，如解决实际问题、计算实际数据等。
2.知识掌握度通过PPT上的知识点小测验来评估学生对极限与函数的连续性的知识掌握程度。
3.学习兴趣度通过学生们的反馈，了解教学过程中，学生对这些知识点的学习兴趣，进一步优化教学内容。
研究表明，通过这种有效的教学方法，学生的掌握程度和学习兴趣度都有很大的提升，而学生也能在更欢乐的学习氛围中充分理解极限与函数的连续性的基本知识点，实现更好的综合评估结果。
高中数学教案函数的极限与连续性
高中数学教案函数的极限与连续性高中数学教案函数的极限与连续性I. 引言函数是数学中重要的概念之一，而对于函数的极限和连续性的理解对于解决数学问题和应用非常重要。
本教案将重点介绍函数的极限和连续性的相关概念和性质，并通过具体例子进行讲解和分析。
II. 函数的极限A. 函数极限的定义1. 定义：设函数f(x)在x趋近于a时，无论a的左右两侧，f(x)的值是否趋近于一个确定的常数L，如果是，则称函数f(x)在x=a时存在极限，记作lim(f(x)) = L。
2. 解读：函数的极限表示了函数在某一点的趋势和接近程度。
B. 函数极限的性质1. 唯一性：若lim(f(x))存在，则极限唯一。
2. 局部性：若lim(f(x))存在，则f(x)在x=a的局部邻域内存在。
C. 函数极限的计算方法1. 直接代入法：对于简单的函数表达式，可以直接将x的值代入函数中计算得到极限值。
2. 四则运算法则：对于复杂的函数表达式，可以利用四则运算的性质进行化简，然后再计算极限。
III. 函数的连续性A. 函数连续性的定义1. 定义：设函数f(x)在x=a处有定义，如果lim(f(x)) = f(a)，即函数在x=a的极限等于函数在x=a处的值，则称函数f(x)在x=a处连续。
2. 解读：函数的连续性表示了函数在某一点的连贯和平滑程度。
B. 函数连续性的性质1. 连续函数的运算：连续函数之间通过加、减、乘、除、复合等运算仍然保持连续。
2. 间断点与分段函数：函数在间断点处可能无定义，但函数在间断点两侧的极限值存在且相等。
C. 函数连续性的判定方法1. 函数在闭区间上连续：若函数在闭区间[a, b]上的每一点都连续，则函数在闭区间上连续。
2. 连续函数的性质：若函数f(x)在(a, b)上连续，且在[a, b]的两个端点处的单侧极限存在，则f(x)在[a, b]上连续。
IV. 应用举例A. 极限计算1. 例题1：计算lim(x→2) (3x^2 - 2x + 1)。
高中数学备课教案函数的极限与连续性的应用
高中数学备课教案函数的极限与连续性的应用高中数学备课教案函数的极限与连续性的应用1. 引言数学中，函数的极限与连续性是重要的概念，它们在各个数学领域都有广泛的应用。
在高中数学教学中，学生通常在高一阶段接触到函数的极限与连续性的概念，因此我们需要设计恰当的备课教案来帮助学生理解和应用这些概念。
本文将介绍一种针对高中数学备课教案函数的极限与连续性的应用的设计思路。
2. 教学目标在设计备课教案时，我们应明确教学目标，使学生能够掌握函数的极限与连续性的基本概念，并能够应用这些概念解决实际问题。
具体的教学目标可以包括：- 理解函数极限的定义，并能够计算常见函数的极限；- 熟练掌握判断函数在某点处是否连续的方法；- 掌握使用函数的极限与连续性解决实际问题的方法；- 培养学生分析问题、解决问题的能力。
3. 教学内容在备课教案中，我们需要合理安排教学内容，使学习过程既有系统性又具有趣味性。
建议的教学内容包括：a) 函数极限的定义和基本性质；b) 常用函数在特定点的极限计算、无穷大极限、两个极限运算法则；c) 函数的连续性及其判定方法；d) 函数极限与连续性在实际问题中的应用。
4. 教学方法在备课教案中，我们应采用多种教学方法，如讲解、示例演算、讨论和解决问题等，以促进学生的主动参与和深入理解。
具体的教学方法可以包括：a) 讲解：通过概念的引入和定义的解释，澄清学生对函数极限与连续性的基本理解；b) 示范演算：提供一些典型的例子，演示函数的极限和连续性的计算方法；c) 讨论：针对一些新颖或有趣的问题，组织学生进行小组或整体讨论，激发思维，培养合作能力；d) 问题解决：提供一些实际问题，引导学生运用函数的极限与连续性的概念解决问题。
5. 教学资源在备课教案中，我们应准备相应的教学资源，如教辅材料、教具和多媒体资源，以提高教学效果。
建议的教学资源包括：a) 教科书：选用具有详细讲解和丰富例题的教材，供学生参考和练习；b) 多媒体演示：准备函数极限与连续性的多媒体演示，以图表、动画等形式展示概念和计算方法；c) 计算工具：准备计算器、数值计算软件等辅助工具，方便学生实践和验证。
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计第一章：引言1.1 课程背景1.2 教学目标1.3 教学方法1.4 教学内容第二章：极限的概念2.1 极限的定义2.2 极限的性质2.3 极限的计算方法2.4 教学活动设计2.5 教学效果评估第三章：函数的连续性3.1 连续性的定义3.2 连续性的性质3.3 连续性的判定3.4 教学活动设计3.5 教学效果评估第四章：极限与连续性的关系4.1 极限与连续性的联系4.2 极限与连续性的区别4.3 极限与连续性的应用4.4 教学活动设计4.5 教学效果评估第五章：教学案例分析5.1 案例一：求极限问题5.2 案例二：判断函数连续性5.3 案例三：应用极限与连续性解决实际问题5.4 教学活动设计5.5 教学效果评估第六章：教学实践与反思6.1 教学实践的过程记录6.2 学生学习情况的观察与分析6.3 教学策略的调整与优化6.4 教学效果的自我评估6.5 教学反思与改进计划第七章：学生学习评价7.1 学生学习评价的目的与意义7.2 学生学习评价的方法与工具7.3 学生学习评价的标准与指标7.4 学生学习评价的结果分析7.5 学生学习评价的反馈与指导第八章：家长与学生沟通8.1 家长沟通的重要性8.2 与家长沟通的方法与技巧8.3 家长沟通的内容与注意事项8.4 家长反馈的收集与分析8.5 家长与学生沟通的有效性评估第九章：教学资源与环境9.1 教学资源的种类与作用9.2 教学资源的选择与使用9.3 教学环境的重要性与创设9.4 教学辅助工具与技术的应用9.5 教学资源与环境对学生学习的影响第十章：总结与展望10.1 教学活动的整体回顾10.2 教学目标的达成情况10.3 教学成果的总结与分享10.4 未来教学活动的展望与计划10.5 对教学事业的热情与承诺重点和难点解析重点环节一：极限的概念解析：理解极限的概念是学习微积分的基础，学生需要掌握极限的定义、性质以及计算方法。
极限与连续性
极限与连续性主题：极限与连续性导语：极限与连续性是高中数学中的重要概念，对于理解函数的性质和求解问题具有重要作用。
本教案旨在通过讨论极限与连续性的概念、性质和应用等方面，帮助学生深入理解这两个概念，并能够灵活运用。
一、概念引入：了解极限与连续性的基本概念（400字左右）1. 引入极限概念：我们来思考一下：当一个数列无限接近于某个数时，我们该如何描述这种趋势？通过引入极限的概念，我们可以准确地描述数列的这种趋势。
2. 引入连续性概念：考虑一个函数，在它的定义域内是否存在间断点？如果存在间断点，我们又该如何描述这种特殊点呢？引入连续性的概念，可以帮助我们精确地描述函数的性质。
二、极限的概念和性质：深入理解极限的定义与相关性质（600字左右）1. 极限的定义：通过严格的定义，我们来介绍极限的概念。
极限的定义可以从数列和函数两个角度来讨论，我们将分别介绍这两种情况下的定义，并通过例题帮助学生理解。
2. 极限的性质：介绍极限的一些重要性质，如四则运算法则、夹逼定理等。
通过讲解性质，帮助学生掌握利用性质求解极限问题的方法。
三、连续性的概念和性质：深入理解连续性的定义与相关性质（600字左右）1. 连续性的定义：介绍函数连续性的定义，包括函数在一点连续、函数在区间连续的概念。
通过图像和实例，帮助学生理解连续性的含义。
2. 连续性的性质：讲解连续函数的一些重要性质，如零点定理、介值定理等。
通过讲解性质，帮助学生运用连续性的性质求解问题。
四、极限与连续性的应用：讨论极限与连续性在实际问题中的应用（400字左右）1. 极限的应用：通过一些实际问题，讨论极限在速度、面积与体积、无限小量等方面的应用。
通过实例分析，帮助学生理解极限在实际问题中的意义。
2. 连续性的应用：通过一些实际问题，讨论连续性在最大最小值、优化问题等方面的应用。
通过实例分析，帮助学生掌握连续性在实际问题中的应用方法。
结语：通过本节课的学习，我们深入理解了极限与连续性的定义和性质，并了解了它们在实际问题中的应用。
函数的连续性教案
函数的连续性教案教案标题：函数的连续性教案教案目标：1. 了解函数的连续性的概念和意义。
2. 掌握判断函数在给定区间上的连续性的方法。
3. 能够应用函数的连续性性质解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 向学生介绍函数的连续性的概念，即函数在某一区间内的图像是连续的。
2. 解释连续性的意义，即函数在某一点上的值与该点附近的值之间没有突变或间断。
探究：1. 提供一个简单的例子，如f(x) = x^2，让学生观察函数图像并讨论函数在整个定义域上的连续性。
2. 引导学生思考如何判断函数在给定区间上的连续性。
提醒学生关注函数在区间端点和内部点上的性质。
3. 引导学生思考连续性的三个基本性质：函数在闭区间上连续的充要条件、函数在开区间上连续的充要条件以及函数在无穷区间上连续的充要条件。
实践：1. 给出一些具体的函数，例如f(x) = sin(x)和g(x) = 1/x，在给定区间上判断它们的连续性。
2. 引导学生使用连续性的性质，结合函数的定义和性质进行判断。
3. 给学生一些实际问题，例如求一个函数在某一点处的极限值，要求学生利用函数的连续性性质进行求解。
总结：1. 总结函数连续性的概念和意义。
2. 强调函数连续性的判断方法和应用。
3. 鼓励学生在实际问题中运用函数连续性的性质解决问题。
教案评估：1. 给学生一些练习题，要求判断给定函数在给定区间上的连续性。
2. 给学生一些应用题，要求利用函数的连续性性质解决实际问题。
3. 收集学生的答案并进行评估，及时纠正他们的错误并给予指导。
教案扩展：1. 引导学生进一步研究函数的间断点和可导性的关系。
2. 探究函数连续性的中值定理及其应用。
3. 引导学生研究其他函数性质与连续性的关系，如函数的单调性和极值点等。
教案资源：1. 函数图像展示工具，如数学软件或在线绘图工具。
2. 练习题和应用题的题目和答案。
3. 相关教材和参考书籍的章节和页码。
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课题：函数的极限和连续性教学目标： 1.了解函数极限的概念；2.掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；3.了解函数连续的意义；4.理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 （一） 主要知识及主要方法： 1.函数极限的定义:()1当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就说当x趋向于正无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →+∞=，或者当x →+∞时，()f x a → ；()2当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数()f x 的极限是a . 记作lim ()x f x a →-∞=或者当当x →-∞时，()f x a →()3如果lim ()x f x a →+∞=且lim ()x f x a →-∞=，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →∞=或者当x →∞时，()f x a → .2.常数函数:()f x c = (x R ∈)，有lim ()x f x c →∞=.lim ()x f x →∞存在，表示lim ()x f x →+∞和lim ()x f x →-∞都存在，且两者相等所以lim ()x f x →∞中的∞既有+∞，又有-∞的意义，而数列极限lim n x a →∞中的∞仅有+∞的意义.3.趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x a →=.特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→.4.0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==.其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限.5.对于函数极限有如下的运算法则：如果0lim ()x x f x A →=，lim ()ox x g x B →=,那么0lim[()()]x x f x g x A B →+=+,0lim[()()]x x f x g x A B →⋅=⋅, 0()lim(0)()x x f x AB g x B→=≠.当C 是常数，n 是正整数时:00lim[()]lim ()x x x x Cf x C f x →→=,00lim[()][lim ()]n nx x x x f x f x →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.6.函数在一点连续的定义: 如果函数()f x 在点0x x =处有定义，0lim ()x x f x →存在，且00lim ()()x x f x f x →=，那么函数()f x 在点0x x =处连续.7.函数()f x 在(),a b 内连续的定义：如果函数()f x 在某一开区间(),a b 内每一点处连续，就说函数()f x 在开区间(),a b 内连续，或()f x 是开区间(),a b 内的连续函数.8.函数()f x 在[],a b 上连续的定义：如果()f x 在开区间(),a b 内连续，在左端点x a =处有lim ()()x af x f a +→=，在右端点x b =处有lim ()()x bf x f b -→=就说函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,或()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数.9.最大值：()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数，如果对于任意[],x a b ∈，1()f x ≥()f x ，那么()f x 在点1x 处有最大值1()f x .10.最小值：()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数，如果对于任意[],x a b ∈，2()f x ≤()f x ，那么()f x 在点2x 处有最小值2()f x .11.最大值最小值定理如果()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数，那么()f x 在闭区间[],a b 上有最大值和最小值. 12.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(00和∞∞型），通过变形使得各式有极限；根式型(∞-∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；13.根的存在定理：若①函数()f x 在[],a b 上连续，②()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =至少有一根在区间(),a b 内；若①函数()f x 在[],a b 上连续且单调，②()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =有且只有一根在区间(),a b 内. （二）典例分析：问题1．求下列函数的极限：()14455lim 13x x x x x →∞---；()2lim x ()3lim x x →+∞；()42cos lim cossin 22x x x x π→-；()5 322232lim 6x x x x x x →-++--；()60x →0a >);()7（06广东）2241lim 42x x x →-⎛⎫-= ⎪-+⎝⎭ ()8（07陕西）21211lim 21x x x x x +⎛⎫-= ⎪+--⎝⎭→问题2．()1若222lim 22x x ax bx x →++=--，求a 、b 的值.()2设0a >，若(lim 1x ax →+∞=-，求常数a 、b 的值.()3（07重庆）设正数a b ,满足22lim()4x x ax b →+-=，则111lim 2n n n n n a ab a b +--→∞+=+.A 0.B 14.C 12.D 1问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.()124)(2--=x x x f ，点2=x ；()2⎩⎨⎧≤<-≤<-=31,210,1)(x x x x x f ，点1=x ；()3试讨论函数21,0()13,02x xf x x x >⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩≤，点0x =问题4．()1已知()()()0()101x a x f x x x b x +⎧=-<<⎪=-⎪⎩≥ ，在区间[)1,-+∞上连续，求,a b()2（08届高三四川眉山市一诊）已知函数()()1()3log 1a ba x f x x xb x ⎧-<⎪=-⎨⎪+⎩≥在R 上连续且单调递增，则实数b ∈问题5．已知函数()f x x =()1当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值和 最小值；()2解方程()0f x =；()3求出该函数的值域.问题6．证明：方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根.（三）课后作业：1.已知222lim2x x mx n x →-++=+，求,m n 的值.2.若21lim 111x a b x x →⎛⎫+=- ⎪--⎝⎭（a 、b 为常数），则a = ；b =3.已知()f x x=（0x ≠），那么给(0)f 一个定义，使()f x 在0x =处连续，则(0)f 应是 .A 0 .B 1- .C 1 .D 124.（07济南一模）设()f x 是一个一元三次函数且1()lim61x f x x →-=+，2()3lim 22x f x x →=--，则3()lim3x f x x →=- .A 2 .B 43 .C 83.D 45.设函数()f x 在1x =处连续，且1()lim21x f x x →=-，则(1)f = .A 1-.B 0.C 12.D 2（四）走向高考：6.（05江西）若1(1)lim11x f x x →-=-，则11lim(22)x x f x →-=- .A 1- .B 1 .C 12- .D 217.（05湖北）若1)11(lim 21=---→xb x a x ，则常数b a ,的值为 .A 4,2=-=b a .B 4,2-==b a .C 4,2-=-=b a .D 4,2==b a8.（05天津）设0abc ≠，1lim3x cx a ax b →∞+=+，223lim 4x ax bx bx c →∞+=-，则332lim x cx bx c bx cx a →∞+-=-+ .A 4 .B 49 .C 14 .D 949.（07四川）2211lim 21x x x x →-=-- .A 0 .B 1 .C 21 .D 32（07江西）321lim 1x x x x →-- .A 等于0 .B 等于1 .C 等于3 .D 不存在10.（07天津）设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-=11.（07全国Ⅱ）已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→12.（07湖南）下列四个命题中，不正确．．．的是 .A 若函数()f x 在0x x =处连续，则0lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→.B 函数22()4x f x x +=-的不连续点是2x =和2x =- .C 若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞∞=→→.D 111lim12x x x -=-→13.（07安徽）如图，抛物线21y x =-+与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为12,P P ，…， 1n P -，过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为12Q Q ,，…，1n Q -，从而得到1n -个直角三角形11Q OP △， 212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当n →∞时，这些三角形 的面积之和的极限为y x1Q 2Q1n Q +21y x =+1P 2P2n P - 1n P -O14.（07江西）已知函数21(0)()2(1)xc cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，内连续， 且29()8f c =．()1求实数k 和c 的值；()2解不等式()18f x >+．15.（04广东）设函数()()ln f x x x m =-+，其中常数m 为整数.()1当m 为何值时，()f x ≥0；()2定理：若函数()g x 在[],a b 上连续，且()g a 与()g b 异号，则至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00g x =.试用上述定理证明：当整数1m >时，方程()0f x =在2,mm e m e m -⎡⎤--⎣⎦内有两个实根.。