Lie环的Hall幂零性准则

ｏ Ｌ曲 ＋ １
（ ａ＋ｙ＋ ） ｇ＋Ｌ） － ａ ｇ ＋ｙ＋Ｌ是同态 ，其 中ａ∈ｙＬ，ｇ∈Ｌ． ｆＬ ｏ（ ｌ － ，］ ｆ ９［ ２ ｆ
证 明：令 Ｌ ＝ｙＬ． ｆ ｆ 首先证明 定义的合理性． 对任意 ∈Ｌ，有 ［，］ ， ， ］ ＋ ， ［ ， ］ ａ ｇ ＋［， ］ ａ ｇ ｍｏ Ｌ＋ ． 以ｘ ｅ［ ［ ２ 则 ａ ｇ＋ ＝［ ， ］ ａ ｘ 三［， ］ ｄ ｉ Ｌ ２
予 以证 明 ．
关键 词 ：Ｌｅ环 ；幂零 Ｌｅ环 ；下 中心列 ｉ ｉ 中 图分 类 号 ： ５ Ｏ１７ 文献标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ： ０ ９２５ （０７０—０ ０—３ １０ —８ ４２ ０ ）５００ ８０
１ Ｌｅ 的基本概 念 ｉ环
Ｌｅ ｉ环是与 Ｌｅ ｉ 代数相关的一个代数结构． 际上一个 Ｌｅ Ｌ是一个非结合 的环 ， 实 ｉ环 并且它的乘法是非交 换 的，满足Ｉ ，］ ＥＬ，以及 Ｊｃｂ 恒等式 ：［，，］ ［，，］ ［，，］ ０ ， ， ∈Ｌ ；而且对任何一 ｘ ＝０Ｘ ａｏｉ ｘＹＺ ＋ ＹｚＸ ＋ ｚ Ｙ ＝ Ｙ Ｚ 个结合 环 Ｒ，只需要把 Ｒ中的乘法换成 ［，］ ｙ ｘ，就可 以做成一个 Ｌｅ ，这里 ， Ｙ ＝ｘ —ｙ ｉ 环 Ｙ∈Ｒ． 事实上 ， ｉ环方法在一般的群上的研究起着重要的作用 ， Ｌｅ 特别是在群的幂零性质上ｕ， ｊ 对此 ， ． ｉ ａ Ｇ Ｈｇ ｎ ｍ 和 Ｇ Ｅ Ｗａ 也分别做过研究 ，同时 Ｌｅ ．． ｌ ｌ ｊ ｉ 环上也存在着与群相应的幂零性准则 ． ｊ
３ Ｌｅ 的 Ｈ ｌ幂零性准则 ｉ环 ａ ｌ
定理 １ 设 Ｎ是 Ｌｅ Ｌ的理想 ，且 Ｎ和 ＬＮ幂 零 甘 Ｌ幂零． ｉ环 ／’ 证 明：首先 ，证明 Ｎ’ Ｎ， 也是 Ｌ的理想． ＝［ Ｎ】 因为 ［ Ⅳ】 ＝ ＜［ ，，】 ， ∈Ｎ， ∈Ｌ＞ ｂ，ａ ＋［， ， ， ， ∈Ｎ， ∈Ｌ＞，而由 Ｎ是理想 ［ Ⅳ， ， ａｂ ，， ｂ ．ａ ， ． ＝ ＜［，，】 ，ａ ａ ｂ ． ． ， ． 可 知 ［，】 ｂ ， ∈Ｎ， ． 】 ． ［， ∈Ｎ ，从 而 ［，， 】 Ｎ， ，ａ ｂ ，ａ ∈［ Ｎ】， ［， ，】 Ｎ， ． ，ａｂ ∈［ Ｎ】，所 以 ［ Ⅳ， 】 Ｎ， ． Ⅳ， Ｌ ＜［ Ｎ】， 即 Ｎ’ Ｎ， 是 Ｌ的理想． ＝［ Ｎ】 １ ） 充分性． ＬＮ’ 零 ，则存在 ＬＮ的一个中心列 ： ／幂 ／’ Ｌ Ｎ’ ／ ＞厶／ ＞ ＞ 一 Ｎ’ ／ Ｎ’ … ｌ ＞ ／ Ｎ’ ０ ． 由此 中心列构造 Ｎ ＝Ｎ／ 的一个列 ： Ⅳ’ （ ｎＮ）Ｎ’ 厶ｎＮ）Ｎ’ （ １ ／ （ ／ … 一ｎＮ）Ｎ’ （ ｎＮ）Ｎ’ ／ ／ ＝０， （） ２ （） １
ＰＨ ｌ ａ 曾经证明 ： Ｎ是 Ｌｅ Ｌ的理想 ，且 Ｎ和 ＩＮ 零 ，则 Ｌ幂零 ． ｌ 设 ｉ环 Ｊ 幂 Ｌｅ ｉ环在幂零性方面 ，与群有着很多相似之处 ，因此 ，就将这一重要的幂零性准则推广到 Ｌｅ ｉ 环上．
２ Ｌｅ 的下 中心列商群与 Ｌｂ ｉ环 ａ的张量积
定义 １ 卜 环 ， ｙ （ ） Ｌ 一 设 １ ＝Ｌ，７ （） ［ ，］ ＋ Ｌ ＝ （） ］ 贝 Ｌ＝ （ ） ｙ （ ） Ｌ ２Ｌ ＝ ＬＬ ， １ ） ［ Ｌ， ， 怖 （ Ｌ Ｌ ２Ｌ ≥
杨 艳
（ 襄樊学院 数学 系，湖北 襄 樊 ４ １ ５ ４ ０ ３） 摘要 ：首先仿照幂零群的处理方式，引进幂零 Ｌｅ ｉ 环的下中心列，并给 出Ｌｅ环的下 中心列商 ｉ 群与 Ｌｂ ａ的张量积的关 系，最后根据群上的 Ｈ ｌ幂零性准则，给 出了 Ｌｅ ａ ｌ ｉ 环的 Ｈ ｌ幂零性准则，并 ａ ｌ
ｆ
．
定义 ３ Ｌ是一 Ｌｅ ，Ｎ是一个 Ｌ模 ，若 Ｎ存在一个列 ：Ｎ ｉ环 ＿ Ｎｌ …
是 Ｌ模 ， 广 则称 Ｎ是 Ｌ多重平凡的． 广 这里 ｆ ｄ一１ ． 下面利用引理 １ 明 Ｕｅ 证 ａ 环的 Ｈ ｌ ａ 幂零性准则． ｌ
— ｌ
＝ ０， Ⅳｆ Ｎｆ 也 且 ＋ Ｉ ｌ
Ｌ＝ ＋ａＩ ∈Ｚ（ ） ＜ｒ ｒ 尺， ａ∈Ｉ＞， 并且定义 Ｌ中的乘法 ：［， ］ ｙ ｘ，Ｖ ， ∈Ｌ 则 Ｌ按 Ｒ中的加法和 Ｙ ＝ｘ —ｙ ｘＹ 定义的乘法构成一个幂零 Ｌｅ ｉ环． 引理 １ Ｌ是一个 Ｌｅ ，令 ＝ｙＬ ｙ＋ ｉ环 ｆ ／ ｆＬ及 Ｌ６ Ｌ ［， ，则映射 ： １ ａ＝ ／ Ｌ
维普资讯
２０ ０ ７年 ５月
襄樊学院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｇ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｏ ｎ ｆ ｎ Ｕｎ ｖ ｒｉ Ｘｉ ｙ
Ｍ ａ．０ ７ ｙ， ０ ２ Ｖ６ ． ８ Ｎｏ ５ １ ． ２
第２ ８卷 ｌ ｌ
对任意 Ｙ ｆ ，有 ［ ， ］ ｍ ，则 ［ ＋Ｙ ｇ ＝［， ］ Ｙ ｇ 三［， ］ ｄ ｆ ． ∈Ｌ＋ １ ｙ ｇ ∈Ｌ ａ ， ］ ａ ｇ ＋［ ， ］ ａ ｇ ｍｏ Ｌ＋ ２
收稿 日期 ：２ ０ —２１ ０ ６１—８
基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目（０ ７ ０ ２ １ ３ １３ ） 作者简介 ：杨艳（９ １ ） 女 ， １８ 一 ， 湖北 襄樊人，襄樊学 院数学系助教
维普资讯
第 ２ 卷第 ５ ８ 期
襄 樊学 院学 报
２０ 年第 ５ ０７ 期
再 证 是双 线性 的．
对任意 ｌ ２ ｆ ｌ ２ ， ∈Ｌ ，ｇ ， ∈Ｌ，有 ： ａ ｇ
［ｌ ２ｇ ＝［ｌ ２ｇ ＋Ｌ＋ ＝［ｌｇ ＋［２ｇ ＋Ｌ＋ ， ａ ＋ａ ， 】 ａ ＋ａ ， 】 ｉ ２ ａ， 】 ａ ， 】 ｉ ２ ［， ｌ ２ ａ ｇ ＋ｇ 】 ＝［， ｌ ２ ＋Ｌ＋ ＝［， ｌ＋［， ２ ＋Ｌ＋ ． ａ ｇ ＋ｇ 】 ｉ ２ ａｇ】 ａ ｇ 】 ｉ ２ 综上可知 是一个 ｏ 重复使用引理 １ 可得到 ： ＋的同态． 。 命题证毕． ＝ ６ ｏ ｏ … ｏ
…
ｎ
（） Ｌ ≥… 为 Ｌ的下中心列．
‘
定义 ２ 设 Ｌ为一 Ｌｅ ， ｉ 环 如果存在 ｃ ∈Ｎ ， 使得 ＋（ ） １Ｌ ＝０， 则称 Ｌ为一幂零 Ｌ 环． ｉ ｅ 且若 ｙ （ ） Ｌ ≠０，
那么称 Ｃ Ｌ的幂零类． 是 为更好说明幂零 Ｌｅ ｉ 环的性质 ，给出一个基本示例． 示 例 １ 设 Ｒ 为 一 环 ，Ｉ是 Ｒ 的 一 个 幂 零 指 数 为 ｍ 的幂 零 子 环 ，ＺＲ 是 Ｒ 的 中心 ，设 （）