上海市同济大学第二附属中学2011届高三摸底考试数学试题及答案
上海各区高三二模数学试卷带答案.doc
静安、杨浦.青浦、宝山2013—2014学年数学试卷(理科)2014.4一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1-/ 0L二阶行列式的値是.(苴中?•为虚数单位)1+Z 1+/2.已知亍J是方向分别与兀轴和尹轴正方向相同的两个基本单位向量，贝U平面向量7 + 7的模等于—.3.二项式(x + 1)7的展开式中含*项的系数值为_______________ •4.已知圆锥的母线长为5，侧而积为15”，则此圆锥的体积为______ .(结果中保留兀)5.已知集合/ = ｛y y = sinx,xw7?｝, B = ｛兀x = 2n + l,n wZ｝,则A^\B= ___________ .6.在平面直角处标系兀0中，若鬪F +(y-厅=4上存在/ , B两点，月弦AB的中点为P(l,2),则直线AB的方程为 ________________ .7.已知1002 X +1002 7 = 1，则X +尹的最小值为__________ •8.已知首项q=3的无穷等比数列｛~｝(/7wNj的各项和等于4,则这个数列｛〜｝的公比是_________ •[x = 2cos/9.在平面直角坐标系Illi线G的参数方程为彳. (Q为参数)，O为坐标原点，[y = 2sina,M为G上的动点，P点满足0P = 20M，点P的轨迹为曲线C?.则C2的参数方程为.10.阅读右而的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为_______ •11.从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量g表示所选3人中女志愿者的人数，则g的数学期望是________ ・12.设各项均不为零的数列｛c”｝中，所有满足q • c/+1 < 0的正整数i的个数称为这个数列｛c”｝的变号数.已知数列｛a n｝的前〃项和S“ = n2 - 4/7 + 4 , b n=l-— 5 w N * ),则数列｛b n｝的变号数为__ .%13.已知定义在[0,+oo)上的函数/(兀)满足/(x) = 3/(x + 2).当兀G [0,2)时/(x) = -，+ 2x .设f(x)在\2n - 2,2/7)上的最人值为碍，且数列｛%｝的第10题前斤项和为S”，贝ij lim S tJ = _______ .(其中〃wN*)"T814.正方形5和S?内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设ZA = a,若S】=441,S? =440,结束否输出上X二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. .............................................................................................................. 在实数集R 上定义运算*： x^y = x\\-y).若关于x 的不等式x*(x —°)> 0的解集是 集合｛x|-l<x<l ｝的子集，则实数a 的取值范围是 ..................................................... ().(A)[0,2](B) [-2,-l)U(-l,0] (C) [0,l)U(l,2]Q)[-2,0]16. “0 = 1”是“函/(x) = sin 2 air - cos 2 cox 的最小正周期为龙”的 ......... ( ).(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分別记为$、52，则$ ： S?=...( ). (A) 1：1 3)2:1 (C) 3:2 (D) 4:1兀 0 < x < 1,1对于任意的xeR 都有 (―广―1, -l<x<0.I 27/(x + 1) = /(x-1).若在区间［-1,3］上函数g(x) = f (x) -mx-m 恰有四个不同的零点，)•三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤.19.(本题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 小，底面ABCD 是平行四边形，ZCAD = 90° , PA 丄平面ABCD, PA = BC = \, AB=近,F 是 的中点. (1) 求证：D4 丄平[fri/UC ；(2) 若以M 为坐标原点，射线AC. AD 、MP 分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角处标系，已经计算得n = (1,1,1)是平面PCQ 的18.函数/(兀)的定义域为实数集R , /(x) = \ 则 sin 2a =________B法向量，求平面与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环血花坛是山以点O 为圆心的两个同心圆弧 AD>弧BC 以及两条线段和CQ 围成的封闭图形.花坛设计周长为30米，其中人圆弧/D 所在 圆的 半径为10米.设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（0 VXV10），圆心角为&弧度. （1） 求0关于x 的函数关系式； （2） 在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条 弧线部分的装饰费用为9元咪.设花坛的面积与装饰总费用的比为y , 当x 为何值时，尹取得授大值？& （第20题图）21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分Y 2 v 2已知椭PIC: —+ ^ = 1（6/>^>0）的右焦点为F （1,0）,短轴的端点分别为BE ，且 cT b" FB 、• FB 2 - -a.（1） 求椭圆C 的方程；（2） 过点F 且斜率为k （kHO ）的直线/交椭圆于两点，弦的垂直平分线与x 轴相 交于点D.设眩的中点为戶，试求四的取值范围.MN22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分设函数 g(x) = 3v, h(x) = 9X .(1) 解方程:x + log 3(2g(x) -8) = log 3(/z(x) + 9):实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分设各项都是正整数的无穷数列｛。
数学_2011年上海市某校高考数学三模试卷(文理合卷)_(含答案)
2011年上海市某校高考数学三模试卷（文理合卷）一、填空题：（本大题共16小题，每小题4分，共64分.） 1. 复数1−i 1−i 3的虚部是________．2. 已知集合A ={y|y =log 2(2−x 2)}，B ={x|x 2−x −2≤0}，则A ∩B =________．3. 函数y =2sin(π6−2x)(x ∈[0,π])为增函数的区间是________．4. 若(√x +√x3)2n 展开式的第6项系数最大，则其常数项为________．5. 正项等比数列中1a 2a 4+2a 42+1a 4a 6=81，则1a 3+1a 5=________．6. （文）已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ），可得这个几何体的体积是________．7. （坐标系与参数方程选做题） 已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22，则点A(2,7π4)到这条直线的距离为________．8. 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 已知a =2√3，c =2，且|sinC sinB0b −2c cosA 01|=0，求△ABC 的面积． 9. 下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB // 面MNP 的图形的序号是________（写出所有符合要求的图形序号）．10. 设a 、b 、c 是单位向量，a →⋅b →=0，则(a →−c →)(b →−c →)的最小值为________． 11. 将一个半圆面围成圆锥的侧面，则其任意两条母线间夹角的最大值为________． 12. 以抛物线y 2=8x 的顶点为中心，焦点为右焦点，且以y =±√3x 为渐近线的双曲线方程是________．13. 给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；③当x >0且x ≠1时，有lnx +1lnx≥2；④函数y =f(1+x)与函数y =f(1−x)的图象关于直线x =1对称； 其中正确的命题序号为________（请把所有正确命题的序号都填上）．14. （理）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，则Eξ的值________． 15. （文）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是________．16. 已知函数f(x)={x +1,x ≤0,log 2x ，x >0，则函数y =f[f(x)]+1的零点个数是________ 个．二、选择题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）17. 已知点P(x, y)的坐标满足条件{x ≥1y ≥x x −2y +3≥0，那么点P 到直线3x −4y −9=0的距离的最小值为（ ） A 145 B 65 C 2 D 118. 在曲线{x =sin2θy =cosθ+sinθ(θ为参数)上的点是（ ）A (12，−√2) B (−34，12) C (2,√3) D (1,√3)19.函数y =sin(πx +φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan∠APB =( )A 10B 8C 87D 4720. 若椭圆C 1:x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)和椭圆C 2:x 2a 22+y 2b 22=1(a 2>b 2>0)的焦点相同且a 1>a 2．给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点； ②a 1a 2>b1b 2；③a 12−a 22=b 12−b 22； ④a 1−a 2<b 1−b 2．其中，所有正确结论的序号是（ ）A ②③④B ①③④C ①②④D ①②③21. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150, 155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160∼180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )A i <6B i <7C i <8D i <9三、解答题：本大题共6大题；共92分。
数学_2011年上海市某校高考数学模拟试卷(文科)_(含答案)
2011年上海市某校高考数学模拟试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 已知集合I ={0, 1, 2, 3, 4}，A ={0, 2, 3}，B ={1, 3, 4}，则∁I A ∩B =________．2. 设复数z 1=1−i ，z 2=−4−3i ，则z 1⋅z 2在复平面内对应的点位于第________象限．3. 函数y =lg3x−13−x的定义域为________．4. 一个四面体的所有棱长都是√2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为________．5. 二项式(x +12x )8展开式中的常数项是________．6. 函数y =sin2x +√3cos2x ，x ∈[0, π]的单调递增区间是________．7. 阅读如图的程序框图，若输入m =4，n =6，则输出的a 等于________．8. 过点A(2, −3)且方向向量d →=(−1,2)的直线方程为________．9. 计算：limn →∞(1n 2+1+2n 2+1+⋯+n n 2+1)=________．10. 已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c(x ∈R)的值域为[0, +∞)，则f(1)的最小值为________． 11. 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a −b 、ab 、ab ∈P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是________．（把你认为正确的命题的序号都填上）12.如图，若正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是________（结果用反三角函数值表示）．13. 若矩阵A =[cos60∘−sin60∘sin60∘cos60∘]，B =[−12−√32√32−12]，则AB =________．14. 已知从装有n +1个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0<m <n, n, m ∈N)，共有C n+1m 种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是取出一个黑球和(m −1)个白球，共有C 10C n m +C 11C n m−1种取法，即有等式C n m +C n m−1=C n+1m 成立．试根据上述思想，化简下列式子：C n m+C k 1C n m−1+C k 2C n m−2+...+C k k C n m−k =________．(1≤k <m ≤n, k, m, n ∈N)二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 15. “x(x −5)<0成立”是“|x −1|<4成立”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件16. 一组数据4，5，12，7，11，9，8，则下面叙述正确的是( )A 它们的中位数是7，总体均值是8B 它们的中位数是7，总体方差是52C 它们的中位数是8，总体方差是528D 它们的中位数是8，总体方差是52717. 已知函数f(x)＝sin(πx −π2)−1，则下列命题正确的是（ ）A f(x)是周期为1的奇函数B f(x)是周期为2的偶函数C f(x)是周期为1的非奇非偶函数D f(x)是周期为2的非奇非偶函数18. 在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A(−1, 0)和C(1, 0)，顶点B 在椭圆x 24+y 23=1上，则sinA+sinC sinB的值是（ ）A √32 B √3 C4 D 2三、解答题（共5小题，满分78分）19. 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大（设每天制造的家电件数为整数）． 20. 关于x 的不等式|x +a 21x|<0的解集为(−1, b)． （1）求实数a 、b 的值；（2）若z 1=a +bi ，z 2=cosα+isinα，且z 1z 2为纯虚数，求cos(2α−π3)的值． 21. 已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6=55，a 2+a 7=16 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=b12+b222+b323+⋯+b n2n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和S n．22. 已知曲线C:x24+y2b2=1(b>0)．（1）曲线C经过点(√3，12)，求b的值；（2）动点(x, y)在曲线C，求x2+2y的最大值；（3）由曲线C的方程能否确定一个函数关系式y=f(x)？如能，写出解析式；如不能，再加什么条件就可使x、y间建立函数关系，并写出解析式．23. 已知函数f(x)=x+ax 的定义域为(0, +∞)，且f(2)=2+√22．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|⋅|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．2011年上海市某校高考数学模拟试卷（文科）答案1. {1, 4}2. 二3. (13，3)4. 3π5. 3586. [0,π12]∪[7π12,π]7. 128. 2x+y−1=09. 1210. 411. ①④12. arctan√513. [−100−1] 14. C n+km15. A 16. D 17. B 18. D19.解：设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件、y 件，则W =2x +y （百元）满足{6x +2y ≤24x +y ≤55y ≤15xy 为非负整数可行域如右图：O(0, 0)、A(0, 3)、 B(2, 3)、C(72,32)、D(4, 0)可行域内还有如下一些整点E(3, 2)等 故当{x =3y =2或{x =4y =0时W max =8（百元） 工厂每天制造甲3件，乙2件或仅制造甲4件． 20. 解：（1）原不等式等价于(x +a)x −2<0， 即x 2+ax −2<0 由题意得，{−1+b =−a−1×b =−2解得a =−1，b =2．（2）z 1=−1+2i ，z 1z 2=(−cosα−2sinα)+i(2cosα−sinα) 若z 1z 2为纯虚数，则{cosα+2sinα=02cosα−sinα≠0，解得tanα=−12cos(2α−π3)=12cos2α+√32sin2α=12×1−tan 2α1+tan 2α+√32×2tanα1+tan 2α=3−4√310． 21. 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意可知d >0由a 2+a 7=16， 得2a 1+7d =16①由a 3a 6=55，得(a 1+2d)(a 1+5d)=55② 由①②联立方程求得得d =2，a 1=1或d =−2，a 1=207（排除）∴ a n =1+(n −1)⋅2=2n −1 （2）令c n =b n 2n，则有a n =c 1+c 2+...+c na n+1=c 1+c 2+...+c n+1 两式相减得a n+1−a n =c n+1，由（1）得a 1=1，a n+1−a n =2 ∴ c n+1=2，即c n =2(n ≥2)， 即当n ≥2时，b n =2n+1，又当n =1时，b 1=2a 1=2∴ b n ={2,(n =1)2n+1，(n ≥2)于是S n =b 1+b 2+b 3+...+b n =2+23+24+...2n+1=2n+2−6，n ≥2， S n ={2n =12n+2−6n ≥2．22. 解：(1)√324+14b 2=1(b >0)∴ b =1；（2）根据x 24+y 2b 2=1(b >0)得x 2=4(1−y 2b 2)，∴ x 2+2y =4(1−y 2b 2)+2y =−4b 2(y −b 24)2+b 24+4(−b ≤y ≤b)，当b 24≥b 时，即b ≥4时(x 2+2y)max =2b +4，当b 24≤b 时，即0≤b ≤4时(x 2+2y)max =b 24+4，∴ (x 2+2y)max ={2b +4,b ≥4b 24+4，0≤b <4；（3）不能，如再加条件xy <0就可使x 、y 之间建立函数关系，解析式y ={−√1−x 2b2x >0√1−x 2b 2，x <0（不唯一，也可其它答案）．23. 解：（1）∵ f(2)=2+a 2=2+√22，∴ a =√2．（2）设点P 的坐标为(x 0, y 0)，则有y 0=x 0+√2x 0，x 0>0，由点到直线的距离公式可知，|PM|=00√2=1x 0，|PN|=x 0，∴ 有|PM|⋅|PN|=1，即|PM|⋅|PN|为定值，这个值为1． （3）由题意可设M(t, t)，可知N(0, y 0)． ∵ PM 与直线y =x 垂直，∴ k PM ⋅1=−1，即y 0−t x 0−t =−1．解得t =12(x 0+y 0)．又y 0=x 0+√2x 0，∴ t =x 0+√22x 0．∴ S△OPM=12x02+√22，S△OPN=12x02+√22．∴ S四边形OMPN =S△OPM+S△OPN=12(x02+1x02)+√2≥1+√2．当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+√2．。
数学_2011年上海市某校联考高考数学二模试卷(理科)_(含答案)
2011年上海市某校联考高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 若复数z满足i⋅(3+z)=−1（其中i为虚数单位），则z=________．2. 已知函数f(x)=arcsinx的定义域为[−1，1]，则此函数的值域为________．23. 有一组统计数据共10个，它们是：2，4，4，5，5，6，7，8，9，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为________．4. 某程序的框图如图所示，则执行该程序，输出的结果a=________．)=3的距离为________．5. 在极坐标系中，极点到直线ρcos(θ−π6)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B 6. 在二项式(√x+3x＝72，则n＝________．7. 已知集合A={x|ax−1<0}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是________．x−a8. 一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为________．9. 设圆x2+y2=4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|的最小值为________．10. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意抽取三个数，其中至少有两个数是连续整数的概率是________．x|的定义域为[a, b]，值11. 定义区间[x1, x2](x1<x2)的长度为x2−x1，已知函数y=|log12域为[0, 2]，则区间[a, b]长度的最大值与最小值的差为________．12. 已知a为常数，a>0且a≠1，指数函数f(x)=a x和对数函数g(x)=log a x的图象分别为C1与C2，点M在曲线C1上，线段OM（O为坐标原点）与曲线C1的另一个交点为N，若曲线C2上存在一点P，且点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标2倍，则点P的坐标为________．≥λa12对任何等差数列{a n}及任何正整13. 设S n为数列{a n}的前n项之和．若不等式a n2+S n2n2数n恒成立，则λ的最大值为________．14. 某同学对函数f(x)=xcosx进行研究后，得出以下五个结论：①函数y=f(x)的图象是中心对称图形；②对任意实数x，f(x)>0均成立；③函数的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；⑤当常数k满足|k|>1时，函数y=f(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15. 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a|>|b|；②a <b ；③a +b <ab ，④a 3>b 3，不正确的不等式的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 316. “函数f(x)在[a, b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a, b]上有最大值和最小值”的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 17. 已知△ABC 内接于单位圆，则长为sinA 、sinB 、sinC 的三条线段（ ）A 能构成一个三角形，其面积大于△ABC 面积的一半B 能构成一个三角形，其面积等于△ABC 面积的一半 C 能构成一个三角形，其面积小于△ABC 面积的一半D 不一定能构成一个三角形18. 已知直线y =k(x +2)(k >0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则k =( ) A 13 B √23 C 23 D2√23三、解答题（共5小题，满分74分）19. 已知命题P:limn →∞c =0，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式|523x −c6418x|中第一行、第二列元素的代数余子式记为f(x)，且函数f(x)在(−∞,14]上单调递增．若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围．20. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且AB // CD ，∠BAD =90∘，PA =AD =DC =2，AB =4． (1)求证：BC ⊥PC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．21. 设a →=(a 1,a 2)，b →=(b 1,b 2)，定义一种向量运算：a →⊗b →=(a 1b 1,a 2b 2)，已知m →=(12,2a)，n →=(π4,0)，点P(x, y)在函数g(x)=sinx 的图象上运动，点Q 在函数y =f(x)的图象上运动，且满足OQ →=m →⊗OP →+n →（其中O 为坐标原点）． （1）求函数f(x)的解析式； （2）若函数ℎ(x)=2asin 2x +√32f(x −π4)+b ，且ℎ(x)的定义域为[π2，π]，值域为[2, 5]，求a ，b 的值．22. 将数列{a n}中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{b n}，已知：①在数列{b n}中，b1=1，对于任何n∈N∗，都有(n+1)b n+1−nb n=0；②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q(q>0)的等比数列；③a66=25．请解答以下问题：（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求上表中第k(k∈N∗)行所有项的和S(k)；（3）若关于x的不等式S(k)+1k >1−x2x在x∈[11000，1100]上有解，求正整数k的取值范围．23. 在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为103．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q(t, m)是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线y2=2px(p>0)写出一个更一般的结论，并加以证明．2011年上海市某校联考高考数学二模试卷（理科）答案1. −3+i2. [−π6，π2]3. 5.64. 1275. 36. 37. [13，12)∪(2,3]8. 2√63π9. 410. 81511. 312. (4, log a4)13. 1514. ①④⑤ 15. C 16. A 17. C 18. D19. 解：由已知命题P:limn →∞c =0，其中c 为常数，是真命题，得：c 为常数 三阶行列式|523x −c6418x|中第一行、第二列元素的代数余子式记为f(x)， 则f(x)=−x 2+cx −4，且函数f(x)在(−∞,14]上单调递增． ∴ c2≥14，⇒c ≥12，∵ 命题Q 是假命题，∴ c <12．∴ 命题P 是真命题，而命题Q 是假命题， 实数c 的取值范围是−1<c <12．20. 解：方法1(I)证明：在直角梯形ABCD 中，∵ AB // CD ，∠BAD =90∘，AD =DC =2 ∴ ∠ADC =90∘，且 AC =2√2． 取AB 的中点E ，连接CE ，由题意可知，四边形AECD 为正方形，所以AE =CE =2， 又 BE =12AB =2，所以 CE =12AB ，则△ABC 为等腰直角三角形， 所以AC ⊥BC ，又因为PA ⊥平面ABCD ，且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影，BC ⊂平面ABCD ，由三垂线定理得，BC ⊥PC(II)由(I)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC =C ， 所以BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PAC ，过A 点在平面PAC 内作AF ⊥PC 于F ，所以AF ⊥平面PBC ， 则AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离，在直角三角形PAC 中，PA =2，AC =2√2，PC =2√3， 所以 AF =2√63即点A 到平面PBC 的距离为 2√63 方法2∵ AP ⊥平面ABCD ，∠BAD =90∘∴ 以A 为原点，AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系 ∵ PA =AD =DC =2，AB =4．∴ B(0, 4, 0)，D(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，P(0, 0, 2)(I)∴ BC →=(2,−2,0)，PC →=(2,2,−2) ∵ BC →⋅PC →=0∴ BC →⊥PC →，即BC ⊥PC(II 由∵ PB →=(0,4,−2)，PC →=(2,2,−2)设面PBC 法向量 m →=(a, b, c) ∴ {m →⋅PC →=0˙∴ {4b −2c =02a +2b −2c =0设a =1，∴ c =2，b =1∴ m →=(1, 1, 2) ∴ 点A 到平面PBC 的距离为 d =|m →|˙ =2√63∴ 点A 到平面PBC 的距离为2√6321. 解：（1）P(x, y)在函数g(x)=sinx 的图象上运动可得，y =sinx ，设Q(x 1, y 1)， ∵ Q 满足OQ →=m →⊗OP →+n →=(12x ，2ay)+(π4,0)=(2x+π4，2ay)∴ {x 1=2x+π4y 1=2ay ⇒{x =2x 1−π2y =sinx =y 12a又因为y =sinx代入可得y 1=2asin(2x 1−π2)=−2acos2x 1 即f(x)=−2acos2x （2）ℎ(x)=2asin 2x +√32f(x −π4)+b=2asin 2x −√3asin2x +b =a +b −2asin(2x +π6)∵ x ∈[π2，π]，2x +π6∈[76π, 136π]当a >0时，{a +b +2a =5a +b −a =2∴ a =1，b =2当a <0时，{a +b +2a =2a +b −a =5∴ a =−1，b =522. 解：（1）由(n +1)b n+12−nb n 2+b n+1b n =0，b n >0， 令 t =b n+1b n得t >0，且(n +1)t 2+t −n =0即(t +1)[(n +1)t −n]=0， 所以 b n+1b n=nn+1因此b 2b 1=12，b 3b 2=23，…，b nb n−1=n−1n，将各式相乘得 b n =1n；（2）设上表中每行的公比都为q ，且q >0．因为3+4+5+...+11=63，所以表中第1行至第9行共含有数列b n 的前63项，故a 66在表中第10行第三列，因此a 66=b 10⋅q 2=25又b 10=110所以q =2．则 S(k)=b k (1−q k+2)1−q =1k (2k+2−1)k ∈N ∗（3）当x ∈[11000，1100]时，∵ 1x −x 为减函数，∴ 最小值为100−1100，∴ 1k (2k+2−1)>100−1100，∴ k ≥823. 解：（1）依题意，椭圆过点(2, 53)，故4a2+259b 2=1，a 2−b 2=4，解得a 2=9，b 2=5，故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1．（2）设Q(9, m)，直线QA 的方程为y =m 12(x +3)，代入椭圆方程，整理得(80+m 2)x 2+6x +9m 2−720=0， 设M(x 1, y 1)，则−3x 1=9m 2−72080+m 2，解得x 1=240−3m 280+m 2，y 1=m 12(x 1+3)=40m 80+m 2，故点M 的坐标为(240−3m 280+m 2, 40m80+m 2)．同理，直线QB 的方程为y =m 6(x −3)，代入椭圆方程，整理得(20+m 2)x 2−6x +9m 2−180=0，设N(x 2, y 2)，则3x 2=9m 2−18020+m 2，解得x 2=3m 2−6020+m 2，y 2=m6(x 1−3)=−20m20+m 2，故点M 的坐标为(3m 2−6020+m 2, −20m20+m 2)． ①若240−3m 280+m 2=3m 2−6020+m 2，解得m 2=40，直线MN 的方程为x =1，与x 轴交与(1, 0)点；②若m 2≠40，直线MN 的方程为y +20m 20+m2=10m 40−m2(x −3m 2−6020+m 2)，令y =0，解得x =1，．综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点(1, 0)．（3）结论：已知抛物线y 2=2px(p >0)的顶点为O ，P 为直线x =−q(q ≠0)上一动点，过点P 作X 轴的平行线与抛物线交于点M ，直线OP 与抛物线交于点N ，则直线MN 必过定点(q, 0)．证明：设P(−q, m)，则M(m 22p , m)，直线OP 的方程为y =−mq x ，代入y 2=2px ，得y 2+2pq my =0，可求得N(2pq 2m 2, −2pq m)，直线MN的方程为y−m=2pmm2−2pq (x−m22p)，令y=0，解得x=q，即直线MN必过定点(q, 0)．。
数学_2011年上海市虹口区高考数学一模试卷(文理合卷)_(含答案)
2011年上海市虹口区高考数学一模试卷（文理合卷）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 集合A ={x||x −a|≤1, x ∈R}，B ={x|1≤x ≤3}，若A ∩B =A ⇔A ∩B =⌀，则实数a 的取值范围是________．2. 函数f(x)是R 上周期为9的奇函数，且f(1)=7，求f(8)+f(9)=________．3. (x +a x )5(x ∈R)的展开式中x 3的系数为10，则实数a =________．4. 等差数列 {a n }中，a 5+a 6+a 7=15，则前11项的和S 11=________．5. △ABC 中，a =√5，b =3，sinC =2sinA ，则cosC =________．6. 等比数列{a n }中，前n 项和S n 满足S n =t +5n ，则常数t =________．7. 方程3x +lgx =7的根x 0位于区间(n, n +1)(n ∈N)内，则n =________．8. x ，y ，z ∈R +，且x +3y −z =0，则z 2xy 的最小值是________．9. 已知函数f(x)=|1−log 3x|，若a ≠b 且f(a)=f(b)，则a +b 的取值范围是________．10. {a n }是首项为1的实数等比数列，若28⋅S 3=S 6，则数列{1a n }的前四项和为________． 11. 数列{a n }中，a 1=1，3⋅a n ⋅a n−1+a n −a n−1=0(n ≥2, n ∈N ∗)，则a 10=________．12. 若对任意的2≤x ≤5，不等式x x 2+3x+1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．13. 平面向量a x →=(x,1)，b y →=(2，其中x ，y ∈{1, 2, 3, 4}，记“使得a x →⊥(a x →−b y →)成立的(x, y)”为事件A ，则事件A 发生的概率等于________．14. a 为已知实数，它使得仅有一个实数x 满足不等式|x 2+2ax +3a|≤2，则实数a =________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15. 空间四个点中，有三个点共线是这四个点共面的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件16. 若a →，b →都是非零向量，且a →⊥b →，|a →|≠|b →|，则函数f(x)=(x ⋅a →+b →)⋅(x ⋅b →−a →)是（ ）A 一次函数，但不是奇函数B 一次函数，且是奇函数C 二次函数，但不是偶函数D 二次函数，且是偶函数17. 将函数f(x)=sin(ωx +ϕ)的图象向右平移π3个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ）A 6B 9C 12D 1818. 已知数列{a n }满足a 1=0，a n+1=a n +1+2√a n +1(n ∈N ∗)，则a 99=( )A 10001B 9999C 9900D 9800三、解答题（本大题满分78分）19. 如图椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点连成的菱形ABCD的面积为16√3，直线AD的斜率为√32．（1）求椭圆的方程及左、右焦点F1、F2的坐标；（2）双曲线x2u2−y2v2=1的渐近线分别与菱形的边平行，且以椭圆焦点F1、F2为焦点，求双曲线的方程．20. 如图，已知：ABCD是矩形，AB=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，且PD=3．（1）求四棱锥P−ABCD的体积；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的大小；（3）求异面直线PB与AC所成角的大小．21. 已知函数f(x)=sin2x−2√3cos2x+√3，x∈[π4,π2 ]．（1）求函数f(x)的最大值和最小值，并写出x为何值时取得最值；（2）若不等式|f(x)−a|<2，对一切x∈[π4，π2]恒成立，求实数a的取值范围．22. 已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|，g(x)=(a+1)x，(a∈R, a≠−2)．（1）若函数f(x)和g(x)在区间[lg|a+2|, (a+1)2]上都是减函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，比较f(1)与16的大小，写出理由．23. 已知函数f(x)=a2x+13x−1(a∈N)，方程f(x)=−2x+7有两个根x1，x2，且x1<1<x2<3．（1）求自然数a的值及f(x)的解析式；（2）记等差数列{a n}和等差数列{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n=f(n)，(n∈N∗)，设g(n)=a nb n，求g(n)的解析式及g(n)的最大值；（3）在（2）小题的条件下，若a1=10，写出数列{a n}和{b n}的通项，并探究在数列{a n}和{b n}中是否存在相等的项？若有，求这些相等项从小到大排列所成数列{c n}的通项公式；若没有，请说明理由．2011年上海市虹口区高考数学一模试卷（文理合卷）答案1. (−∞, 0)∪(4, +∞)2. −73. 24. 555. −√556. −17. 28. 129. (6, +∞)10. 402711. 12812. [211,+∞)13. 1814. 1或215. A16. B17. B18. D19. 解：（1）由ba =√32及12(2a)(2b)=16√3得，a=4,b=2√3；椭圆方程为：x 216+y212=1；…焦点为：F1(−2, 0)，F2(2, 0)；…（2）由vu =√32及u2+v2=4得：u2=167，v2=127；所以，双曲线的方程为：7x 216−7y212=1．…20. 解：（1）∵ ABCD是矩形，B=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，且PD=3，∴ V P−ABCD=13×1×2×3=2．…（2）PD⊥ABCD，连接BD，则∠PBD的大小等于直线PB与平面ABCD所成角的大小；…tan∠PBD =3√55， 所以，所求角的大小为：arctan 3√55．…（3）作BE // AC ，交DC 延长线于E ，则∠PBE 就是异面直线PB 与AC 所成角（或补角）…由PB =√14，BE =√5，PE =√13得：cos∠PBE =3√7070， 所以，异面直线PB 与AC 所成角的大小为：arccos 3√7070；… 21. 解：（1）f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)；…因x ∈[π4，π2]，所以π6≤2x −π3≤2π3；当x =π4时，f(x)min =f(π4)=1…当x =5π12时，f(x)max =f(5π12)=2； … （2）由−2<f(x)−a <2得：{a >f(x)−2a <f(x)+2； … 所以，实数a 的取值范围为：(0, 3)． …22. 解：由题意知（1）由g(x)=(a +1)x 为减函数得：a <−1 f(x)=(x +a+12)2+lg|a +2|−(a+1)24； 当−a+12≥(a +1)2，即−32≤a ≤−1时，f(x)为减函数 ∴ 当−32≤a <−1时，f(x)和g(x)都是减函数且此时，lg|a +2|<0<(a +1)2，∴ a 的取值范围是[−32，−1)（2）由f(1)=a +2+lg|a +2|=a +2+lg(a +2),(−32≤a <−1) 令ℎ(a)=f(1)=a +2+lg|a +2|=a +2+lg(a +2),(−32≤a <−1) 对任意−32≤a 1<a 2<−1， ℎ(a 1)−(a 2)=[a 1+2+lg(a 1+2)]−[a 2+2+lg(a 2+2)]=(a 1−a 2)+lg a 1+2a 2+2<0 所以ℎ(a)在区间[−32，−1)上为增函数；故f(1)=ℎ(a)≥ℎ(−32)=12−lg2∴ f(1)−16≥12−lg2−16=13−lg2>0∴ f(1)>16．故：（1）a的取值范围是[−32，−1)；（2）f(1)>16．23. 解：（1）由a2x+13x−1=−2x+7得：6x2+(a2−23)x+8=0；令ℎ(x)=6x2+(a2−23)x+8，由x1<1<x2<3得：{ℎ(1)=a2−9<0ℎ(3)=3a2−7>0⇒73<a2<9，又a∈N，所以有：a=2；…所以f(x)=4x+13x−1；…（2）g(n)=a nb n，并且结合等差数列的性质可得：g(n)=(2n−1)(a1+a2n−1)(2n−1)(b1+b2n−1)=S2n−1T2n−1=f(2n−1)，所以g(n)=8n−36n−4=43+76(3n−2)；…并且g(n)max=g(1)=52．…（3）a nb n =8n−36n−4，由a1b1=52，a1=10⇒b1=4；…设数列{a n}和数列{b n}的公差分别为d1，d2；所以{a2b2=10+d14+d2=138a3 b3=10+2d14+2d2=2114⇒{d1=16d2=12⇒{a n=10+(n−1)⋅16=16n−6b n=4+(n−1)⋅12=12n−8…若存在相等的项a k=b p(k, p∈N∗)，即16k−6=12p−8⇒6p−8k=1①①式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，故不存在满足条件的数列{c n}．…。
数学_2011年上海市高考数学模拟试卷2(理科)_(含答案)
2011年上海市高考数学模拟试卷2（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 矩阵A =[10−12]，B =[241−3]，则2A −3B =________．2. 参数方程{x =1+secαy =tanα（α为参数）化为普通方程，则这个方程是________．3. 在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB ＝CD ＝2，则四面体ABCD 的体积的最大值为________．4. 某组样本数据为2、3、−1、0、−3、4、2，试计算总体标准差的点估计值________．5. 若角α终边落在射线3x −4y =0(x ≤0)上，则tan[α+arccos(−√22)]=________．6. 如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…、P n …，记纸板P n 的面积为S n ，则limn →∞S n=________．7. 已知椭圆4x 2+y 2−8kx −4ky +8k 2−4=0（k 为参数），存在一条直线，使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于√5，求直线方程________． 8. 不等式|1x −1|≥2的解集为________． 9. 设|z 1|=5，|z 2|=2，|z 1−z 2¯|=√13，求z 1¯z 2=________．10. 已知函数f(x)=3sin (ωx −π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x +φ)+1的图像的对称轴完全相同，若x ∈[0,π2]，则f(x)的取值范围是________． 11. 对任意的a 、b 、c ∈R +，代数式a 2+b 2+c 2ab+2bc的最小值为________．12. △ABC 内接于以O 为圆心半径为1的圆，且3OA →+4OB →+5OC →=0→，则△ABC 的面积S =________．13. 函数f(x)的定义域是D ，任意的a ，b ∈D ，有f(a)+f(b)=f(a+b1+ab )，f(x)的反函数为H(x)，已知H(a)，H(b)，则H(a +b)=________．14. 如图，4×4的方阵共16个黑点中，中间的4个点在一个圆内，其余的12个点内在圆外，若从这16个点中任取3个，使之构成三角形，且至少有一个顶点在圆内的三角形共有________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15. 行列式|(12)x7x 13456321|中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f(x)，1+f(x)的零点属于区间（ ）A (23, 1) B (12, 23) C (13, 12) D (0, 13)16. 函数f(x)、g(x)都是定义在R 上的函数，若x =g[f(x)]方程有解，则函数g[f(x)]不可能是（ ）A x 2+x −15 B x 2−15 C x 2+x +15 D x 2+1517. 设abc >0，二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的图象可能是（ ）A B C D18. 有一堆形状、大小都相同的珠子，其中有一颗比其它的要轻，假设用天平三次一定能找到这颗珠子，则这堆珠子最多有几颗（ ） A 24 B 27 C 30 D 33三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（本题满分74分）19.如图，直三棱柱容器ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，其容积为10(L)，高为4(dm)，且在棱AA 1和CC 1上有D 、E 两处泄露，DA 1=3(dm)，EC 1=2(dm)，则此容器最多能盛水多少．20. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C ，的对边，且cosBcosC =−b2a+c ． （1）求角B 的大小．（2）在△ABC 中，作角B 的角平分线，交AC 于D ，求证1AB +1CB =1BD ．21. 已知函数f(x)=ax 2+bx +1（a ，b ∈R ），x ∈R ． (1)若函数f(x)的最小值是f(−1)=0，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，f(x)>x +k 在区间[−3, −1]上恒成立，试求k 的范围． 22. 已知{a k }数列是等差数列．（1）若m +n =p +q ，求证a m +a n =a p +a q ．（2）若a k =2k −1，求证a 12+a 22+...+a k 2=13k(4k 2−1)．（3）若对于给定的正整数s ，有a 12+a s+12=1，求S =a s+1+...+a 2s +a 2s+1的最大值．23. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)（1）若a =4，b =3，过点P(6, 3)的动直线l 与双曲线C 相交于不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，求证点Q 总在某定直线上．（2）在双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，过双曲线外一点P(m, n)的动直线l 与双曲线C 相交于不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，则点Q 在哪条定直线上？（3）试将该结论推广至其它圆锥曲线上，证明其中的一种情况，并猜想该直线具有的性质．2011年上海市高考数学模拟试卷2（理科）答案1. [−4−12−513]2. (x −1)2−y 2=13.4√334. √65. 17 6. π37. y =2x ±2 8. [−1, 0)∪(0, 13] 9. 2±32i 10. [−32,3] 11.2√55 12. 6513. H(a+b)=H(a)+H(b)1+H(a)⋅H(b)14. 31215. B16. C17. D18. B19. 解：由三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=π2 V ABC−A1B1C1=S△ABC⋅AA1=12⋅AC⋅BC⋅4=10，得：AC⋅BC=5V B−ADEC=1S四边形ADEC⋅BC=13⋅12(AD+CE)⋅AC⋅BC=2.5此容器最多能盛水：V ABC−A1B1C1−V B−ADEC=7.5(L)．20. 解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：cosB cosC =−sinB2sinA+sinC，整理得：2sinAcosB+sinCcosB=−sinBcosC，即2sinAcosB=−(sinBcosC+cosBsinC)=−sin(B+C)，又sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，∴ 2sinAcosB=−sinA，又sinA≠0，∴ cosB=−12，又B为三角形的内角，则B=120∘；（2）根据题意画出图形，如图所示：∵ ∠ABC=120∘，BD为角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD=60∘，又DE // AB，∴ ∠BDE=∠ABD=60∘，∴ ∠CBD=∠BDE=60∘，∴ △BDE为等边三角形，∴ BD=BE=DE，又DE // AB，∴ CEBE =CDAD，即BC−BEBE=CDAD，即BC−BDBD =CDAD，又BD为角平分线，可得BCAB =CDAD，∴ BC−BDBD =BCBD−1=BCAB，则两边同时除以BC得：BCBD ⋅1CB−1CB=BCAB⋅1CB，则1BD −1CB=1AB，即1AB+1CB=1BD．21. 解：(1)因为函数f(x)的最小值是f(−1)=0，所以a≠0．由题意有：f(−1)=a−b+1=0，同时说明f(x)的对称轴为−b2a=−1，故而a=1，b=2即f(x)=x2+2x+1．(2)由f(x)>x+k，有x2+x+1>k，问题转化为求函数g(x)=x2+x+1在x∈[−3, −1]上的最小值，又函数g(x)=x2+x+1的对称轴为x=−12，所以g(x)在[−3, −1]上为减函数，故g(x)min=g(−1)=1，所以k<1．22. 证明：（1）因为{a k}是等差数列，设其首项为a1，公差为d，所以a m+a n=a1+(m−1)d+a1+(n−1)d=2a1+(m+n−2)d．a p+a q=a1+(p−1)d+a1+(q−1)d=2a1+(p+q−2)d．因为m+n=p+q，所以2a1+(m+n−2)d=2a1+(p+q−2)d，所以a m+a n=a p+a q．（2）因为a k=2k−1，所以a k2=4k2−4k+1，所以a12+a22+...+a k2=4(12+22+...+k2)+4(1+2+3+...+k)+k=4k(k+1)(2k+1)6+4(1+k)k2+k=13k(4k2−1)．即a12+a22+...+a k2=13k(4k2−1)．（3）解：S=a s+1+a s+2+⋯+a2s+1=(s+1)(a s+1+a2s+1)2设a s+1+a2s+1=A，则A=a s+1+a2s+1+a1−a1=a s+1+2a s+1−a1=3a s+1−a1．则a s+1=A+a13，由a12+(A+a13)2=1，可得：10a12+2Aa1+A2−9=0，由△=4A2−40(A2−9)≥0，可得：−√10≤A≤√10．所以S =(s+1)(a s+1+a 2s+1)2=(s+1)A 2≤√10(s+1)2． 所以S =a s+1+...+a 2s +a 2s+1的最大值为m+12√10． 23. 解：（1）由题意得双曲线C 的方程为x 216−y 29=1．设点Q 、A 、B 的坐标分别为(x, y)，(x 1, y 1)，(x 2, y 2)． 由题设知|AP →|，|PB →|，|AQ →|，|QB →|均不为零，记λ=|AP →||PB →|=|AQ →||QB →|，则λ>0且λ≠1又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP →=−λPB →，AQ →=λQB →于是6=x 1−λx 21−λ，3=y 1−λy 21−λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ从而x 12−λ2x 221−λ2=6x①，y 12−λ2y 221−λ2=3y②，又点A 、B 在椭圆C 上，即x 1216−y 129=1③，x 2216−y 229=1④，①×9−②×16并结合③、④得9x −8y =24， 即点Q(x, y)总在定直线9x −8y =24上．（2）类似于（1）可得结论：在双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，过双曲线外一点P(m, n)的动直线l 与双曲线C 相交与不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，得出点Q 在定直线b 2mx −a 2ny =a 2b 2上； （3）该结论推广至其它椭圆上，有：在椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0, b >0)，过椭圆外一点P(m, n)的动直线l 与椭圆C 相交与不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP →|⋅|QB →|=|AQ →|⋅|PB →|，得出点Q 在定直线b 2mx +a 2ny =a 2b 2上； 类似于（1）得： 于是m =x 1−λx 21−λ，n =y 1−λy 21−λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ从而x 12−λ2x 221−λ2=mx①，y 12−λ2y 221−λ2=ny②，又点A 、B 在椭圆C 上，即x 12a 2+y 12b 2=1③，x 22a 2+y 22b 2=1④，①×b 2+②×a 2并结合③、④得b 2mx +a 2ny =a 2b 2， 即点Q(x, y)总在定直线b 2mx +a 2ny =a 2b 2上．。
数学_2011上海市某校高考数学模拟试卷(理科)_(含答案) (3)
2011上海市某校高考数学模拟试卷（理科）一、填空题（本题共14小题，每小题4分，共56分） 1. 函数y =√1−lgx 的定义域为________．2. 过P(1, 2)，以n →=(3,4)为法向量的点法向式直线方程为________． 3. 若复数z 满足|z1−ii|=−1+2i ，则z 等于________． 4. 设集合A ={x|−2<x <1}，B ={x|x −a <0}，若A ⊊B ，则a 的取值范围为________． 5. 若函数f(x)=2+sin 2ωx(ω>0)的最小正周期与函数g(x)=tan x2的最小正周期相等，则正实数ω的值为________．6. 现有2010年上海世博会各展览馆卡片5张，卡片正面分别是中国馆、台湾馆、沙特馆、日本馆、韩国馆，每张卡片大小、质地和背面图案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次性随机抽出两张，则抽到台湾馆的概率是________．7. 若(2x +√3)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 2+a 3x 3+a 4x 4，则(a 0+a 2+a 4)2−(a 1+a 3)2的值为________．8. 已知xy >0，且xy −x −y =0，则x +y 的最小值为________． 9. 已知|a →|=|b →|=2，a →与b →的夹角为π3，则a →+b →在a →上的投影为________．10. 在锐角△ABC 中，角B 所对的边长b =10，△ABC 的面积为10，外接圆半径R =13，则△ABC 的周长为________．且其数学期望Eξ=1.5，则a −b =________．12. 如右图所示，已知0为矩形ABCD 的边CD 上一点，以直线CD 为旋转轴，旋转这个矩形所得的几何体体积为1，其中以OA 为母线的圆锥体积为14，则以OB 为母线的圆锥体积为________．13. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2011个数是________．14. 我们把形如y =b|x|−a (a >0,b >0)的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a =1，b =1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为________．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）15. “α=2kπ+β，k∈Z”是“sinα=sinβ”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件16. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A f(x)=x2B f(x)=|x|x C f(x)=e x−e−xe x+e−xD f(x)=√x17. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）A y=f(2x−12) B y=f(2x−1) C y=f(x2−1) D y=f(x2−12)18. 数列{a n}满足a1=1，a n+1⋅√1a n2+4=1(n∈N∗)，记S n=a12+a22+...+a n2，若S2n+1−S n≤m30对n∈N∗恒成立，则正整数m的最小值为（）A 10B 9C 8D 7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=2，∠BCA=90∘，AA1=4，E是A1B1的中点．（1）求CE与平面ACB所成的角．（2）求异面直线BA1与CB1所成的角．20. 设f(x)=2sin(π2−x 2)sin(π+x 2)+cos 2(π2−x 2)−cos 2(π+x2)（1）若x ∈(0,π2)，求f(x)的最小值； （2）设g (x)=f(2x −π4)+2m ，x ∈[π4,7π8]，若g (x)有两个零点，求实数m 的取值范围．21. 在平面直角坐标系中，直线L:y =mx +3−4m ，m ∈R 恒过一定点，且与以原点为圆心的圆C 恒有公共点．（1）求出直线L 恒过的定点坐标；（2）当圆C 的面积最小时，求圆C 的方程；（3）已知定点Q(−4, 3)，直线L 与（2）中的圆C 交于M 、N 两点，试问QM →⋅QN →⋅tan∠MQN 是否存在最大值，若存在则求出该最大值，并求出此时直线L 的方程，若不存在请说明理由．22. 已知点P n (a n , b n )满足a n+1=a n b n+1，b n+1=b n1−a n2，且P 0(13,23)(n ∈N)．（1）求点P 1坐标，并写出过点P 0，P 1的直线L 的方程； （2）猜测点P n (n ≥2)与直线L 的位置关系，并加以证明；（3）求数列{a n }与{b n }的通项公式，并求OP n →⋅OP n+1→的最小值（其中O 为坐标原点，n ∈N ∗）．23. 已知函数f 1(x)=e |x−2a+1|，f 2(x)=e |x−a|+1，x ∈R ．（1）若a =2，求f(x)=f 1(x)+f 2(x)在x ∈[2, 3]上的最小值；（2）若|f 1(x)−f 2(x)|=f 2(x)−f 1(x)对于任意的实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围； （3）当4≤a ≤6时，求函数g(x)=f 1(x)+f 2(x)2−|f 1(x)−f 2(x)|2在x ∈[1, 6]上的最小值．2011上海市某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. (0, 10]2. 3(x −1)+4(y −2)=03. 1+i4. a ≥15. 126. 257. 18. 49. 310. 10+10√3 11. 0 12. 11213. 395914. 3π15. A16. C17. B18. A19. 解：（1）过点E作EH垂直于AB于H，连接CH，则∠ECH就是所求的CE与平面ACB所成的角∵ EH=4，CH=√2∠ECH=arctan2√2即CE与平面ACB所成的角为arctan2√2；（2）在直三棱柱的下方补上一个全等的直三棱柱∵ CB1 // C2B∴ ∠A1BC2或其补角就是异面直线BA1与CB1所成的角∵ BA1=2√6，C2B=2√5，A1C2=2√17∴ 在△A1BC2中，由余弦定理可得∠A1BC2=arccos(−√3010)∴ 异面直线BA1与CB1所成的角为arccos√3010．20. 解：（1）∵ f(x)=2sin(π2−x2)sin(π+x2)+cos2(π2−x2)−cos2(π+x2)=−2cos 12xsin12x+sin212x−cos212x∴ f(x)=−sinx−cosx=−√2sin(x+π4)∵ π4<x+π4<3π4∴ x=π4，f min=−√2（2）设g(x)=−√2sin2x+2m，x∈[π4,7π8]∵ 函数g(x)有两个零点∴ 方程−√2sin2x+2m=0当x∈[π4,7π8]时有两个解∴ y =2m 与y =√2sin2x ，x ∈[π4,7π8]图象有两个交点则−√2<2m ≤−1 ∴ −√22<m ≤−1221. 解：（1）直线L:y =mx +3−4m 可化简为y =m(x −4)+3 所以直线恒过定点T(4, 3)（2）由题意，要使圆C 的面积最小，定点T(4, 3)在圆上， 所以圆C 的方程为x 2+y 2=25． （3）QM →⋅QN →⋅tan∠MQN=|QM →||QN →|⋅cos∠MQN ⋅tan∠MQN =|QM →|⋅|QN →|⋅sin∠MQN =2S △MQN （10分）由题意得直线L 与圆C 的一个交点为M(4, 3)，又知定点Q(−4, 3)， 直线L MQ :y =3，|MQ|=8，则当N(0, −5)时S MQN 有最大值32． 即QM →⋅QN →×tan∠MQN 有最大值为64， 此时直线L 的方程为2x −y −5=0． 22. 解：（1）由a 0=13，b 0=23， 得a 1=14，b 1=34， 得P 1坐标为(14,34)…2′显然直线L 的方程为x +y =1 ...4′ （2）由a 1=14，b 1=34， 得a 2=15，b 2=45，∴ 点P 2∈L ，猜想点P n (n ≥2, n ∈N)在直线L 上，…6′ 以下用数学归纳法证明： 当n =2时，点P 2∈L当n =k(k ≥2)时，点P k ∈L ， 即a k +b k =1， 则当n =k +1时，a k+1+b k+1=a k b k+1+b k+1=(1+a k )⋅b k 1−a k2=bk1−a k=1，∴ 点P k+1∈L ，∴ 点P n ∈L(n ≥2)…10′ （3）由a n+1=a n b n+1，b n+1=bn1−a n2，a n +b n =1， 得a n+1=a n b n1−a n2=a n1−a n1−a n2=a n 1+a n(a n ≠0)∴1a n+1=1a n+1...12′∴ {1a n}是等差数列，∴ 1a n=1a 0+n =n +3，∴ a n =1n+3，b n =n+2n+3 (14)′OP n →⋅OP n+1→=a n a n+1+b n b n+1=1−2n +5n 2+7n +12...16′令2n +5=t 则n =t−52，上式可化简化1−4tt 2+4t+3=1−4t+3t+4由单调性可得当t =7， n =1时，上式有最小值为1320所以1−2n+5n 2+7n+12(n ∈N ﹡)的最小值为1320． ...18′23. 解：（1）对于a =2，x ∈[2, 3]，f(x)=e |x−3|+e |x−2|+1=e 3−x +e x−1≥2√e 3−x ⋅e x−1=2e ，当且仅当e 3−x =e x−1，即x =2时等号成立，∴ f(x)min =2e ． （2）|f 1(x)−f 2(x)|=f 2(x)−f 1(x)对于任意的实数x 恒成立，即f 1(x)≤f 2(x)对于任意的实数x 恒成立，亦即e |x−2a+1|≤e |x−a|+1对于任意的实数x 恒成立， ∴ |x −2a +1|≤|x −a|+1，即|x −2a +1|−|x −a|≤1对于任意的实数x 恒成立． 又|x −2a +1|−|x −a|≤|(x −2a +1)−(x −a)|=|−a +1|对于任意的实数x 恒成立，故只需|−a +1|≤1，解得0≤a ≤2，∴ a 的取值范围为0≤a ≤2． （3）g(x)=f 1(x)+f 2(x)2−|f 1(x)−f 2(x)|2={f 1(x)，f 1(x)≤f 2(x)f 2(x)，f 1(x)>f 2(x)∵ f 1(x)与f 2(x)的底数都同为e ，外函数都单调递增∴ 比较f 1(x)与f 2(x)的大小关系，只须比较|x −2a +1|与|x −a|+1的大小关系 令F 1(x)=|x −2a +1|，F 2(x)=|x −a|+1，G(x)={F 1(x)，F 1(x)≤F 2(x)F 2(x)，F 1(x)>F 2(x)其中4≤a ≤6，x ∈[1, 6]∵ 4≤a ≤6∴ 2a −1≥a ≥1，令2a −1−x =1，得x =2a −2，由题意可以如下图象：当4≤a≤6时，a≤6≤2a−2，G(x)min=F2(a)=1，g(x)min=e1=e；。
数学_2011年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)
2011年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分） 1. 不等式|1x −1x x +4|>1的解集是________．2. 若函数y =f(x)与y =e x+1的图象关于直线y =x 对称，则f(x)=________．3. 经过抛物线y 2=4x 的焦点，且以d →=(1,1)为方向向量的直线的方程是________．4. 计算：limn →+∞C n 22+4+6+⋯+2n=________．5. (x −√x)8展开式中x 5的系数为________． 6. 若数列{a n }为等差数列，且a 1+3a 8+a 15=120，则2a 9−a 10的值等于________．7. 已知直线m ⊥平面α，直线n 在平面β内，给出下列四个命题：①α // β⇒m ⊥n ；②α⊥β⇒m // n ；③m ⊥n ⇒α // β；④m // n ⇒α⊥β，其中真命题的序号是________．8. 一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同．若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数ξ的数学期望是________．9. 极坐标方程4ρsin 2θ2=5所表示曲线的直角坐标方程是________．10. 在△ABC 中，已知最长边AB =3√2，BC =3，∠A =30∘，则∠C =________．11. 已知函数f(x)=|lg(x +1)|，若a ≠b 且f(a)=f(b)，则a +b 的取值范围是________．12. 在平行四边形ABCD 中，AB =1，AC =√3，AD =2；线段 PA ⊥平行四边形ABCD 所在的平面，且PA =2，则异面直线PC 与BD 所成的角等于________（用反三角函数表示）．13. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1+S 3S 2的取值范围是________．14. 已知函数f(x)满足：①对任意x ∈(0, +∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立；②当x ∈(1, 2]时，f(x)=2−x ．若f(a)=f(2020)，则满足条件的最小的正实数a 是________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15.如图给出的是计算1+13+15+⋯+12011的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A i ≤2011B i >2011C i ≤1005D i >1005 16. 已知函数f(x)={(3−a)x −ax <1log a x x ≥1是(−∞, +∞)上的递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A (1, +∞)B (−∞, 3)C [32, 3) D (1, 3)17. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1和直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线形状为( )A BC D18. 已知有穷数列A:a 1，a 2，…，a n (n ≥2, n ∈N)．定义如下操作过程T ：从A 中任取两项a i ，a j ，将a i +aj1+a i aj的值添在A 的最后，然后删除a i ，a j ，这样得到一系列n −1项的新数列A 1 （约定：一个数也视作数列）；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列n −2项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k ．设A:−57，34，12，13，则A 3的可能结果是（ ） A 0 B 34C 13D 12三、解答题（共5小题，满分74分）19. 如图，用半径为10√2cm ，面积为100√2πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1cm 3）20. 已知向量a →=(sinx,cosx)，b →=(sinx,sinx)，c →=(−1,0)． (1)若x =π3，求向量a →、c →的夹角θ；(2)若x ∈[−3π8，π4]，函数f(x)=λa →⋅b →的最大值为12，求实数λ的值．21. 已知圆C ：(x +1)2+y 2=8．（1）设点Q(x, y)是圆C 上一点，求x +y 的取值范围；（2）如图，定点A(1, 0)，M 为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →=2AP →，NP →⋅AM →=0，求点N 的轨迹的内接矩形的最大面积． 22. 设虚数z 满足z 2−m t z +m 1004=0（m 为实常数，m >0且m ≠1，t 为实数）．（1）求|z|的值；（2）当t ∈N ∗，求所有虚数z 的实部和；（3）设虚数z 对应的向量为OA →（O 为坐标原点），OA →=(c,d)，如c −d >0，求t 的取值范围．23. 设二次函数f(x)=(k −4)x 2+kx ，k ∈R ，对任意实数x ，有f(x)≤6x +2恒成立；数列{a n }满足a n+1=f(a n )．（1）求函数f(x)的解析式和值域；（2）试写出一个区间(a, b)，使得当a 1∈(a, b)时，数列{a n }在这个区间上是递增数列，并说明理由；（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n ∈N ∗，都有log 3(112−a 1)+log 3(112−a 2)+⋯+log 3(112−a n)>(−1)n−12λ+nlog 32−1−1+(−1)n−12λ+nlog 32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．2011年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷（理科）答案1. (−1, 3)2. lnx −1，(x >0)3. x −y −1=04. 125. 286. 247. ①，④ 8. 1199. y 2=5x +25410. 135∘ 11. (0, +∞)12. arccos 37或2arcsin√14713. (2, +∞) 14. 36 15. A 16. C 17. C 18. B19.解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为ℎ、r ，则由题意得R =10√2，由12Rl =100√2π得l =20π；由2πr =l 得r =10；由R 2=r 2+ℎ2得ℎ=10；由V 锥=13πr 2ℎ=13⋅π⋅100⋅10≈1047.2cm 3所以该容器最多盛水1047.2cm 3 20. 解：(1)当x =π3时，a →=(√32,12)，所以cosθ=a →⋅c→|a →|⋅|c →|=−√321×1=−√32， 因而θ=5π6；(2)f(x)=λ(sin 2x +sinxcosx) =λ2(1−cos2x +sin2x)， f(x)=λ2(1+√2sin(2x −π4))，因为x ∈[−3π8，π4]，所以2x −π4∈[−π,π4]，当λ>0时，f max (x)=λ2(1+1)=12，即λ=12， 当λ<0时，f max (x)=λ2(1−√2)=12，即λ=−1−√2，所以λ=12或λ=−1−√2． 21. 解：（1）∵ 点在圆C 上，∴ 可设{x =−1+2√2cosαy =2√2sinαα∈[0, 2π)；x +y =−1+2√2(cosα+sinα)=−1+4sin(α+π4)， 从而x +y ∈[−5, 3]．（2）∵ AM →=2AP →，NP →⋅AM →=0． ∴ NP 为AM 的垂直平分线， ∴ |NA|=|NM|．又∵ |CN|+|NM|=2√2，∴ |CN|+|AN|=2√2>2． ∴ 动点N 的轨迹是以点C(−1, 0)，A(1, 0)为焦点的椭圆． 且椭圆长轴长为2a =2√2，焦距2c =2． ∴ a =√2，c =1，b 2=1． ∴ 点N 的轨迹是方程为x 22+y 2=1．所以N 为椭圆，其内接矩形的最大面积为2√2． 22. 解：（1）z =m t ±√m 100−m 2t i2，z =m t ±√m 100−m 2t i∴ |z|=√m 2t 4+m 100−m 2t 4=m 502（2）z 是虚数，则m100−m2t>0∴ m t <m 50，z 的实部为m t2；当m >1，得t <50且t ∈N ∗∴ S =2(m2+m 22++m 492)=m 50−m m−10<m <1，得t >50且t ∈N ∗∴ S =2(m 512+m 522+)=m 511−m ．（3）解：c =m t 2>0，d =±√m 100−m 2t2①d =−√m 100−22t2，c >dd =√m 100−m 2t2，d =−√m 100−22t2，c >d 恒成立，由m 100−m 2t >0∴ m t <m 50得，当m >1时，t <50；当0<m <1时，t >50． ②d =√m 100−m 2t2，如c >d ，则m t 2>√m 100−m 2t2∴ m2t>m 1002即m t>50√2，当m >1,{t <50t >50−12log m 2即50−12log m 2<t <50，50−12log m 2<t <50．当0<m <1,{t >50t <50−12log m2即50<t <50−12log m 2，50<t <50−12log m 223. 解：（1）由f(x)≤6x +2恒成立，即(k −4)x 2+(k −6)x −2≤0恒成立，从而得：{k −4<0(k −6)2+8(k −4)≤0， 化简得{k <4(k −2)2≤0，从而得k =2，所以f(x)=−2x 2+2x ，其值域为(−∞,12]． （2）当a 1∈(0,12)时，数列a n 在这个区间上是递增数列，证明如下：若数列{a n }在某个区间上是递增数列，则a n+1−a n >0；即a n+1−a n =f(a n )−a n =−2a n 2+2a n −a n =−2a n 2+a n >0⇒a n ∈(0,12)； a n ∈(0,12)，n ≥1时，a n+1=f(a n )=−2a n 2+2a n =−2(a n −12)2+12∈(0,12)，所以对一切n ∈N ∗，均有a n ∈(0,12)，且a n+1−a n >0；所以数列a n 在区间(0,12)上是递增数列．（3）由（2）知，a n ∈(0,12)，从而12−a n ∈(0,12)；当n ≥1时，12−a n+1=12−(−2a n 2+2a n )=2a n 2−2a n +12=2(a n −12)2，即12−a n+1=2(12−a n )2；令b n =12−a n ，则有b n+1=2b n 2，且b n ∈(0,12)；从而有lgb n+1=2lgb n +lg2，即lgb n+1+lg2=2(lgb n +lg2)； 所以数列{lgb n +lg2}是lgb 1+lg2=lg 13为首项，公比为2的等比数列； 从而得lgb n +lg2=lg 13⋅2n−1=lg(13)2n−1，即lgb n=lg(13)2n−12，所以b n =(13)2n−12=12(13)2n−1，所以112−a n=1b n=2⋅32n−1，所以log 3(112−a n)=log 3(2⋅32n−1)=log 32+2n−1，所以，log 3(112−a 1)+log 3(112−a 2)+⋯+log 3(112−a n)=nlog 32+1−2n 1−2=2n +nlog 32−1．即2n +nlog 32−12n +(log 32)n −1>(−1)n−12λ+nlog 32−1nlog 32−1，所以，2n−1>(−1)n−1λ恒成立当n为奇数时，即λ<2n−1恒成立，当且仅当n=1时，2n−1有最小值为1．∴ λ<1当n为偶数时，即λ>−2n−1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值为−2．∴ λ>−2所以，对任意n∈N∗，有−2<λ<1．又λ非零整数，∴ λ=−1．。
上海师大附中等六校2011届高三联考数学(文)
上海市六校 2011 届 高 三 联 考数学试题（文科）满分150分 时间14：00-16：00一、填空题（本题共14小题，每小题4分，共56分） 1．函数x x f lg 1)(-= 的定义域为_____________2．过(1,2)P ,以(3,4)n =为法向量的点法向式直线方程为_____________ 3．若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于_____________ 4．设集合{}{}0| 12|<-=<<-=a x x B x x A ，，若B A ≠⊂,则a 的取值范围为_____ 5．若函数)0(sin2)(2>+=ωωx x f 的最小正周期与函数2tan)(xx g =的最小正周期相 等，则正实数ω的值为_____________6．现有2010年上海世博会各展览馆卡片5张,卡片正面分别是中国馆、台湾馆、沙特馆、日本馆、韩国馆，每张卡片大小、质地和背面图案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次性随机抽出两张，则抽到台湾馆的概率是_____________ 7．设 ，++++=) 3+(2 443322104x a x a x a x a a x 则2312420)+(－)++(a a a a a 的值为_______8．已知0y >x ,且0y －9－y =x x ,则y +x 的最小值为_____________9．已知|a |＝|b |＝2, a 与b 的夹角为3π，则a +b 在a 上的投影为_____________10．在锐角△ABC 中, 角B 所对的边长01b =,△ABC 的面积为01,外接圆半径31R =,则△ABC 的周长为__ __11．若y x ,满足 .0,0,93,82⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 则y x z 2 +=的最大值为 _____________12．如下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_____________13．等差数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，20111-=a ，22010201220102012=-S S ，则2011S 的值为_____________ 14．我们把形如()0,0>>-=b a ax by 的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当圆”中，面积的最小值为____________ 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）15．“Z k k ∈+=,2βπα”是“βαsin sin =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 16．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ） A ．2)(x x f = B．xx x f ||)(=C ．xx xx e e e e x f --+-=)( D ．x x f =)(17．已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的（ ）A ．)212(-=x f y B ．)12(-=x f yC ．)12(-=f y D ．)212(-=f y 18．数列}{n a 满足11=a ，14121=+⋅+nn a a （*∈N n ），记22221n n a a a S +++= ， 若3012m S S n n ≤-+对*∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 （ ） A ．10 B ． 9 C ． 8 D ． 7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
上海 同济大学第二附属中学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积（ ）A ．18B ．19C ．20D ．212．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 3．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 1c xdx =⎰，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<4．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-25．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．26．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．927．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．8．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．9．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．210．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．32911．1204x dx -=⎰（ ）A ．4B ．1C ．4πD ．332π+12．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．质点运动的速度()2183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______.14．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.15．已知12ea dx x=⎰，则()()41x x a ++展开式中3x 的系数为______. 16．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 17．定积分121(4sin )x x dx --+=⎰________.18．计算()2224x x dx -+-⎰得__________．19．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．20．定积分120124x x dx π⎫--⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-. (1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22．如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上 已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元．（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；（Ⅱ）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大． 23．求曲线y x =2y x =-及y 轴围成的封闭图形的面积.24．已知函数1()ln 2f x x x =-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调递增区间． 25．已知()1313d 26x ax a b x a -⎰＋＋－＝＋，且()()33d tf t x ax a b x ⎰＝＋＋－为偶函数，求a ，b ．26．已知函数21()12f x x =-+，x ∈R . （1）求函数图像过点(1,1)的切线的方程；（2）求函数()f x 的图像与直线1y =-所围成的封闭图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】画出两曲线的图像，求得交点坐标，由定积分求得图形的面积即可. 【详解】根据题意，画出量曲线的图像，设其交点为,A B ，如下所示：联立22y x =和4y x =-， 解得()()2,2,8,4A B -， 根据抛物线的对称性， 即可得两曲线围成的面积28222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰23022021622d 2233x x x ⎛⎫⎰== ⎪⎝⎭ 82(24)d x x x +⎰83222212432x x x ⎫=-+⎪⎭322212884832⎫=⨯-⨯+⨯⎪⎭322213822242323⎫-⨯-⨯+⨯=⎪⎭故所求面积为28222d (24)d x x x x x ++⎰⎰163833=+ 18=.故选：A. 【点睛】本题考查由定积分求解曲边梯形的面积，需要注意的是，本题中需要对曲边梯形的面积进行拆分求解，这是本题的难点.2．D解析：D试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．3．C解析：C【解析】因为11113212312000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c xdx x =========⎰⎰⎰,所以b ac <<,故选C.4．C解析：C 【详解】233003|aat dt t a ==⎰，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==故选：C5．C解析：C 【解析】 由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.6．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。
上海 同济大学第二附属中学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12B ．11C ．10D ．92．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于24．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式5．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271 B ．272C ．273D ．2746．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( ) A ．50B ．42C ．-50D ．-428．命题“若,x y >则()()()()332222x y x y x yx xy y -+=--+”的证明过程：“要证明()()()()332222x y x y x y x xy y -+=--+， 即证()()()()()3322.x y x y x y x y x xy y -+=-+-+因为,x y >即证()()3322x y x y x xy y +=+-+，即证33322223,x y x x y xy x y xy y +=-++-+ 即证3333,x y x y +=+因为上式成立，故原等式成立应用了（ ） A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法9．下列类比推理正确的是( )A ．把()a b c +与x y a +类比，则有x y x y a a a +=+B ．把()a a b +与()a a b ⋅+类比，则有()2a ab a a b ⋅+=+⋅C ．把()nabc 与)n x y z （++类比，则有)n n n n x y z x y z ++=++（ D ．把()ab c 与()a b c ⋅⋅类比，则有()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅ 10．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---11．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D12．利用反证法证明“若220x y +=，则0x =且0y =”时，下列假设正确的是（ ）A ．0x ≠且0y ≠B ．0x =且0y ≠C ．0x ≠或0y ≠D ．0x =或0y =二、填空题13．某个产品有若千零部件构成，加工时需要经过6道工序，分别记为A,?B,C,?D,?E,?F .其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工;有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.若加工工序Y 必须要在工序X 完成后才能开工，则称X 为Y 的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位:小时)列表如下：现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是__________小时.（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断）.14．有甲、乙、丙、丁四位学生参加数学竞赛，其中只有一名学生获奖，有其他学生问这四个学生的获奖情况，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都没有获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位学生的话有且只有两个人的话是对的，则获奖的学生是__________．15．某同学在解决一道数学题时发现01212323434234345445567----222222222222====，，，，，依此规律可以求得112nk k k =+∑关于n 的最简表达式为__________．16．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m +++=++++++，则m =__________.17．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n S = ， n *∈N . 算出数列的前4项的值后，猜想该数列的通项公式是__________. 19．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·z 2·z 3=__________________． 20．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖__________________块.三、解答题21．在数列{}n a 中，1131,23n n n a a a a +==+ （1）求出23,a a 并猜想n a 的通项公式； （2）用数学归纳方证明你的猜想. 22．在数列{}n a 中，已知11a =，112nn na a a +=+. （1）计算2a ，3 a ，4a ；（2）根据计算结果猜想出{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明你的结论. 23．当*n N ∈时，111111234212n S n n=-+-++--，11111232n T n n n n=+++++++ （Ⅰ）求1S ，2S ，1T ，2T ；（Ⅱ）猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明. 24．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 25．观察下列不等式：413<； 218125+<； 2211121237++<； 2221111612349+++<； ……（1）由上述不等式，归纳出与正整数n 有关的一个一般性结论； （2）用数学归纳法证明你得到的结论. 26．不等式证明：（1）证明不等式：x y x y yx+≥+（其中,x y 皆为正数）（2）已知0a >，0b >，2a b +>，求证：11,b aa b++至少有一个小于2.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果. 【详解】若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意； 若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意； 若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意； 若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意， 综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B. 【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.3．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.4．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.5．A解析：A 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=，()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．C解析：C 【解析】分析：由题意结合所给数据的特征确定第九个数即可. 详解：观察所给的数列可知，数列的特征为：121,3a a ==，()213n n n a a a n --=-≥，则978193150a a a =-=--=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数列的递推关系，学生的推理能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．A解析：A 【解析】分析：由题意结合分析法的定义可知题中的证明方法应用了分析法. 详解：题中的证明方法为执果索因，这是典型的分析法， 即原等式成立应用了分析法. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查分析法的特征及其应用，意在考查学生的转化能力和知识应用能力.9．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给命题的真假即可. 详解：逐一考查所给命题的真假：A . 由指数的运算法则可得x y x y a a a +=，原命题错误；B . 由向量的运算法则可知：()2a ab a a b ⋅+=+⋅，原命题正确； C . 由多项式的运算法则可知)n n n n x y z x y z ++≠++（，原命题错误； D . 由平面向量数量积的性质可知()()a b c c a b ⋅⋅≠⋅⋅，原命题错误； 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查类比推理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】在四个选项中代n=2,选项B,D 是正数，不符，A 选项值为75-，符合,C 选项值为73-，不符．所以选A. 【点睛】对于选择题的选项是关于n 的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．11．B解析：B 【解析】由图知，A 表示圆，B 表示三角形，C 表示竖线，D 表示矩形，()5∴表示B D *，()6表示A C *，故选B.12．C解析：C 【解析】“且”的否定为“或”，故选C ： 0x ≠或0y ≠二、填空题13．【解析】分析：由题意根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品确定好加工顺序即可得到答案详解：由题意可确定如图所示的加工顺序如图所示可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品要完成该产品的最短加工解析：【解析】分析：由题意，根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品，确定好加工顺序，即可得到答案.详解：由题意，可确定如图所示的加工顺序，如图所示，可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品，要完成该产品的最短加工时间为8小时.点睛：本题主要考查了实际应用问题，其中解答中正确理解题意，分析工艺的流程，确定好加工的顺序，得出加工顺序的图形是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.14．丙【解析】分析：分别假设甲乙丙丁的一个人获奖分析四个人的话能求出获奖的同学详解：若甲获奖则都说了假话不符合题意若乙获奖则甲乙丁说了真话丙说了假话不符合题意若丁获奖则甲丙丁说假话乙说真话不符合题意故丙解析：丙【解析】分析：分别假设甲，乙，丙，丁的一个人获奖，分析四个人的话，能求出获奖的同学详解：若甲获奖，则都说了假话，不符合题意若乙获奖，则甲，乙，丁说了真话，丙说了假话，不符合题意 若丁获奖，则甲，丙，丁说假话，乙说真话，不符合题意 故丙获奖点睛：本题是一个简单的合情推理题，主要考查了合情推理的含义和作用。
上海 同济大学第二附属中学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．下列命题中，真命题是（ ）A ．命题“若a b >，则22ac bc >”B ．命题“若a b =，则a b =”的逆命题C ．命题“当2x =-时，2560x x ++=”的否命题D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”的逆否命题 2．已知:11p x -≤, 2:230q x x --≥, 则p 是q ⌝的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4．已知p ：0x ∃∈R ，002lg x x -=；q ：x ∀∈R ，2230x x -+≤.则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ⌝∨ 5．命题p ：函数1()(0)f x x x x =+>最小值是2；命题q ：若1a b >，则a b >.下列说法正确的是( )A ．p 或q 为真B ．p 且q 为真C ．p 或q 为假D ．非p 为真6．“12a <<”是“对任意的正数x ，22a x x +≥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 8．已知圆()2221:0C x y rr +=>与圆222:68160C x y x y +-++=，则“02r <<”是“两圆没有公共点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．条件甲：关于x 的不等式 sincos 1a x b x +>的解集为空集，条件乙：1a b +≤，则甲是乙的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设:22x p ≤，2:log 0q x <，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．下列三个命题： ①设命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．那么p ⌝真命题；②在ABC 中，“sin sin A B =”是“cos cos A B =”的充要条件；③“若1x >，则1x >”的否命题是“若1x >，则1x ≤”．其中真命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．012．“1m =”是“椭圆22360mx y m +-=的焦距为4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若不等式21x m -<成立的一个充分不必要条件为1<x <2，则实数m 的取值范围为________．14．已知函数22(1)(1)3y a x a x =-+-+（x ∈R ），写出0y >的充要条件________. 15．设函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，若对任意12,x x R ∈，且12x x <，具有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为R 上的单调非减函数，给出以下命题：① 若()f x 关于点(,0)a 和直线x b =（b a ≠）对称，则()f x 为周期函数，且2()b a -是()f x 的一个周期；② 若()f x 是周期函数，且关于直线x a =对称，则()f x 必关于无穷多条直线对称；③ 若()f x 是单调非减函数，且关于无穷多个点中心对称，则()f x 的图象是一条直线；④ 若()f x 是单调非减函数，且关于无穷多条平行于y 轴的直线对称，则()f x 是常值函数；以上命题中，所有真命题的序号是_________16．“2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个”的________条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）17．若命题p ：∃x ∈R ，ax 2+4x +a ＜﹣2x 2+1是假命题，则实数a 的取值范围是________． 18．下列是有关△ABC 的几个命题：① 若tan tan tan 0A B C ++>，则△ABC 是锐角三角形；② 若cos cos a A b B =，则△ABC 是等腰三角形；③ 若cos cos a B b A b +=，则△ABC 是等腰三角形；④ 若cos sin A B =，则△ABC 是直角三角形，其中所有正确命题的序号是________ 19．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2+1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2+mx+1＞0．若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围_____．20．已知m ∈R ，命题p ：对∀x ∈[0，1]，不等式2x ﹣2≥2m ﹣3m 恒成立；命题q ：∃x ∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立，当a ＝1时，若p ∧q 假，p ∨q 为真，求m 的取值范围_____．三、解答题21．已知集合A ＝233|1,,224y y x x x ⎧⎫⎡⎤=-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围.22．设关于x 的不等式254x x ≤-的解集为A ，不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈的解集为B ．（1）求集合A ，B ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.23．若正整数数列{}n a ，{}n b 满足：对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，则称数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”. （1）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n n b -=，求证：数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）已知数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，且111a b ==，求证：“数列{}n a 是等差数列” 是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.24．设:p 实数满足22230t at a --<；:q 实数t 使得命题：“x R ∃∈，使2(1)10x t x +-+<”是假命题.若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.25．设:p 实数a 满足不等式3113a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，:q 函数3213()392a f x x x x -=++无极值点.若p q ∧为真命题，并记为r ，且1:2t a m >+或a m <.若t 是r ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.26．已知命题“x R ∃∈，不等式220x x m --≤”成立是假命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）若:44q m a -<-<是集合A 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据不等式的性质和四种命题的关系判断各选项．【详解】A ．当0c 时，22ac bc >不成立，A 错；B ．命题“若a b =，则a b =”的逆命题是若a b =，则a b =，错误，也可能是=-a b ；C ．命题“当2x =-时，2560x x ++=”的否命题是若2x ≠-，则2560x x ++≠，错误，3x =-时，也有2560x x ++=；D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”是真命题，逆否命题也是真命题．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，四种命题之间互为逆否的命题同真假，因此原命题的为真只能判断逆否命题为真，而逆命题和否命题的真假不确定，需写出逆命题，否命题进行判断．这也告诉我们当一个命题难以判断真假时可考虑判断其逆否命题的真假． 2．A解析：A【分析】利用不等式的解法求出p ， q ，然后求出q ⌝，即可得到答案【详解】:11p x -≤，化为111x -≤-≤，解得02x ≤≤2:230q x x --≥，解得3x ≥或1x ≤-则q ⌝：13x -<<则p 是q ⌝的充分不必要条件故选A【点睛】本题主要考查了必要条件，充分条件以及充要条件的判定定理，不等式的解法，属于基础题．3．B解析：B【解析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴根据逆否命题与原命题的等价性可知，q 是p 的充分不必要条件，故选B.4．C解析：C【分析】先分别判定命题,p q 的真假，再根据或且非判断复合命题真假.【详解】令()2lg (1)10,(10)70f x x x f f =--=-<=>，，且函数()f x 在(0,)+∞上连续， 所以0(1,10)x ∃∈，000()0,2lg f x x x =∴-=；因此命题p 为真命题；2223(1)20x x x -+=-+>∴命题q 为假命题；因此p q ∧为假命题；()()p q ⌝∧⌝为假命题；p q ∨为真命题；()p q ⌝∨为假命题； 故选：C【点睛】本题考查零点存在定理以及命题真假判定，考查基本分析判断能力，属基础题. 5．A解析：A【分析】求出函数()f x 的最小值判定p 的真假；举例说明命题q 为假，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】由0x >时，得1122x x x x+⋅=（当且仅当1x x =，即1x =时取等号）， ∴命题p 为真命题；当4a =-，2b =-，满足1a b>，但a b <，故命题q 是假命题． p ∴或q 为真；p 且q 为假；非p 为假．故选：A ．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查不等式的性质，考查复合命题的真假判断，是基础题．6．A 解析：A【分析】已知“对任意的正数x ，22a x x +≥”利用分离参数，求出a 的范围, 再根据充分必要条件的定义进行判断.【详解】由对任意的正数x ，22a x x+≥成立时， 可得222a x x ≥-， 22111222()222y x x x =-=--+≥， 12a ∴≥ 即对任意的正数x ，22a x x +≥成立推不出12a <<，当12a <<成立时，可推出2222a a x x x x+⨯=>>，即12a <<能推出对任意的正数x ，22a x x +≥， 所以“12a <<”是“对任意的正数x ，22a x x+≥”的充分不必要条件， 故选：A【点睛】 本题主要考查了充分不必要条件，二次函数的最值，均值不等式，属于中档题. 7．A解析：A【分析】由题知:()()()22222111242a b c a b c b c b c ≤+⇔≤+<+≤+,结合余弦定理,可推出A 为锐角,反之无法推出,因此“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分非必要条件. 【详解】①在ABC ∆中,若()12a b c ≤+, 则()2214a b c ≤+,即22224()2()a b c b c ≤+≤+, 222a b c ∴<+,222cos 02b c a A bc+-∴=>, A ∴为锐角,即“()12a b c ≤+”⇒“A 为锐角”, ②若A 为锐角,则222cos 02b c a A bc+-=>,即222b c a +>, 无法推出2222b c a +≥,所以“A 为锐角”⇒“()12a b c ≤+”, 综上所述:“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分非必要条件, 故选:A.【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,结合了基本不等式及余弦定理等相关知识,综合性较强. 8．A解析：A【分析】由两圆方程得到圆心坐标和半径；根据两圆没有公共点可知两圆外离或内含，由此得到圆心距和两圆半径之间关系，构造出不等式，解得充要条件，进而确定结果.【详解】由圆1C 方程知：圆心()0,0，半径为r圆2C 方程可整理为：()()22349x x -++=，圆心为()3,4-，半径3r '= ∴两圆圆心距()()2203045d =-++=若两圆没有交点，则两圆外离或内含，满足d r r '>+或d r r '<-即53r >+或53r <-，解得：02r <<或8r >∴“02r <<”是“两圆没有公共点”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够根据圆与圆的位置关系构造不等式求得“两圆没有公共点”的充要条件，进而根据包含关系得到结果；易错点是忽略两圆内含时，两圆没有公共点的情况，造成求解错误.9．A解析：A【分析】分别求出条件甲、乙所对应的,a b 的关系式，比较两个关系式所表示的图形，可得出结论.【详解】由题意，当0a b 时，不等式 sincos 1a x b x +>的解集为空集， 当,a b 不都为0时，()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=++，22sin ba b ϕ=+，22cos aa b ϕ=+.因为()22sin 1a b x ϕ++>的解集为空集，所以221a b +≤，即221a b +≤.如下图，221a b +≤表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部，1a b +≤表示为圆内接正方形及其内部，所以甲是乙的必要不充分条件.故答案为：A.【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，考查三角函数的恒等变换，考查不等式表示的平面区域，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.10．B解析：B【分析】先化简两个命题，再根据充分必要条件的定义分析判断得解.【详解】由题得:1p x ≤，:01q x <<，设(,1],B (0,1)A =-∞=，所以B 是A 的真子集，所以p 是q 的必要非充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查指数对数不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．B解析：B【分析】对各个命题分别判断．【详解】命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．2是质数，但2是偶数，命题p 是假命题，那么p ⌝真命题；①正确；在ABC 中，sin sin A B a b A B =⇔=⇔=⇔cos cos A B =，②正确； “若1x >，则1x >”的否命题是“若1x ≤，则1x ≤”，③错．因此有2个命题正确．故选：Ｂ．【点睛】本题考查命题的真假判断，这种问题难度较大，需要对每个命题进行判断，才能得出正确结论，这样考查的知识点可能很多，考查的能力要求较高．12．A解析：A【分析】由椭圆22360mx y m +-=的焦距为4，分类讨论求得1c =或5c =时，再结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，椭圆22360mx y m +-=可化为22162x y m +=，当03m <<时，4c ==，解得1c =，当3m >时，4c ==，解得5c =，即当1c =或5c =时，椭圆22360mx y m +-=的焦距为4，所以“1m =”是“椭圆22360mx y m +-=的焦距为4”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程和几何性质，结合充分条件、必要条件的判定求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论【详解】解：由题意不等式的解为且1<x<2是的充分不必要条件所以且等号不能同时取得则故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条 解析：112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】 解：由题意不等式21x m -<的解为2121m x m -<<+，且1<x <2是2121m x m -<<+的充分不必要条件，所以211212m m -≤⎧⎨+≥⎩，且等号不能同时取得，则112m ≤≤， 故答案为：112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的范围，一般可根据如下规则建立不等式组：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 14．或【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可【详解】若则当即或当时不等式等价为满足条件当时不等式等价为不满足条件当时要使则解之得：或综上：或反之也成立故答案为：或【点睛】本题考查充分必要 解析：1a ≥或1311a <-【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可．【详解】若22(1)(1)30y a x a x =-+-+>，则当210a -=，即1a =或1a =-，当1a =时，不等式等价为30>，满足条件，当1a =-时，不等式等价为230x -+>，32x <，不满足条件， 当1a ≠±时，要使0y >，则22210(1)12(1)0a a a ⎧->⎨∆=---<⎩，解之得：1a >或1311a <-， 综上：1a ≥或1311a <-， 反之也成立.故答案为：1a ≥或1311a <-. 【点睛】本题考查充分必要条件的应用，考查二次函数的性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.15．②④【分析】根据题意依次分析题目中所给的4个命题综合即可得答案【详解】解：根据题意依次分析4个命题：①若f （x ）关于点（a0）和直线x ＝b （b≠a ）对称则f （x ）为周期函数则函数f （x ）的周期为4|解析：②④【分析】根据题意，依次分析题目中所给的4个命题，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析4个命题：①，若f （x ）关于点（a ，0）和直线x ＝b （b ≠a ）对称，则f （x ）为周期函数，则函数f （x ）的周期为4|b ﹣a |，则2（b ﹣a ）不一定是f （x ）的一个周期；①错误； ②，若f （x ）是周期函数，且关于直线x ＝a 对称，则每个周期中都至少一条对称轴，②正确；③，如图：f （x ）满足f （x ）是单调非减函数，且关于无穷多个点中心对称，其图象不是一条直线；③错误；④，若f （x ）是单调非减函数，且关于无穷多条平行于y 的直线对称，则函数f （x ）的图象只能是一条水平的直线，f （x ）是常值函数，④正确； ②④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查抽象函数的性质，关键是理解单调非减函数的性质，考查推理能力与数形结合思想．16．充分不必要【分析】将代入函数解析式画出函数图像根据交点个数即可判断是否有4个子集;根据有有4个子集可知两个函数有2个交点即可求得的取值范围进而判断充分必要性【详解】当时集合为画出两个函数图像如下图所解析：充分不必要 【分析】将2a =代入函数解析式, 画出函数图像,根据交点个数即可判断是否有4个子集;根据有有4个子集,可知两个函数有2个交点,即可求得a 的取值范围,进而判断充分必要性. 【详解】当2a =时,集合为{(,)|2}x y y x =+,{(,)|2||}x y y x =,画出两个函数图像如下图所示:由图像可知, 2y x =+与2y x =有2个交点,所以{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=有两个元素.则有4个子集,所以是充分性若集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个,则两个函数必有2个交点,满足条件的得a 的取值范围为1a >,所以是非必要性综上可知, “2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个”的充分不必要条件 故答案为: 充分不必要 【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用,注意问题最后不是求的交点个数,而是交集的子集个数,属于中档题.17．【分析】利用命题p 为假命题得到非p 为真命题即∀x ∈Rax2+4x+a≥﹣2x2+1恒成立即可求出实数a 的取值范围【详解】∵∃x ∈Rax2+4x+a ＜﹣2x2+1是假命题∴非p 为真命题即∀x ∈Rax2 解析：[)2,+∞【分析】利用命题p 为假命题，得到非p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2+4x +a ≥﹣2x 2+1恒成立，即可求出实数a 的取值范围． 【详解】∵∃x ∈R ，ax 2+4x +a ＜﹣2x 2+1是假命题，∴非p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2+4x +a ≥﹣2x 2+1恒成立， ∴∀x ∈R ，（a +2）x 2+4x +a ﹣1≥0恒成立，若a +2＝0，即a ＝﹣2，不等式等价为4x ﹣3≥0，解得x 34≥，不满足条件． 若a +2≠0，要使不等式恒成立，则必有()()20164210a a a +⎧⎨=-+-≤⎩＞，即2260a a a -⎧⎨+-≥⎩＞，∴223a a a -⎧⎨≥≤-⎩＞或，解得a ≥2．故答案为a ≥2． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定的应用，命题p 为假命题，得到非p 为真命题，是解决本题的关键．18．①③【分析】根据正弦定理三角形内角正切关系以及诱导公式进行判断选择【详解】因为△中所以若则因此必有即△是锐角三角形；若则或;若则所以△是等腰三角形；若则所以或即或；综上正确命题的序号是①③【点睛】本解析：①③ 【分析】根据正弦定理、三角形内角正切关系以及诱导公式进行判断选择. 【详解】因为△ABC 中tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以若tan tan tan 0A B C ++>，则tan tan tan 0A B C >,因此必有tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>,即△ABC 是锐角三角形；若cos cos a A b B =，则cos cos sinA A sinB B =， 22,A B sin A sin B ==或A B 2π+=;若cos cos a B b A b +=，则cos cos sinA B sinB A sinB +=， ()sin A B sinB +=，sinC sinB =，C B =,所以△ABC 是等腰三角形；若cos sin A B =，则sin sin 2A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以2A B π-=或2A B ππ-+=，即2A B π+=或2A B π-+=；综上正确命题的序号是①③. 【点睛】本题考查正弦定理、三角形内角正切关系以及诱导公式，考查基本转化与判断化简能力，属中档题.19．【解析】【分析】结合非命题的性质根据不等式恒成立分别求出命题中的取值范围利用且命题的性质即可得到结论【详解】若为真则为真则若为真则若为真命题则实数的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考查复合命题之间 解析：(2,0)-【解析】 【分析】结合非命题的性质，根据不等式恒成立分别求出命题,p q 中m 的取值范围，利用且命题的性质即可得到结论. 【详解】2:,10p x R mx ⌝∀∈+>,若p ⌝为真，则0m ≥ , p ∴为真，则0m <，若q 为真，则240,22m m -<-<<，若p q ∧为真命题，{}{}{}|0|22|20m m m m m m <⋂-<<=-<<， 则实数m 的取值范围是()2,0-，故答案为()2,0- . 【点睛】本题主要考查复合命题之间的关系，以及一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.20．（﹣∞1）∪（12【分析】先求解命题p 命题q 为真时m 的取值范围利用若p ∧q 假p ∨q 为真那么一真一假分类讨论（1）当为真为假；（2）当为真为假两种情况最后取并集【详解】命题p ：对∀x ∈01不等式恒成立解析：（﹣∞，1）∪（1，2] 【分析】先求解命题p ，命题q 为真时m 的取值范围，利用若p ∧q 假，p ∨q 为真，那么p,q 一真一假，分类讨论（1）当p 为真，q 为假；（2）当q 为真，p 为假两种情况，最后取并集． 【详解】命题p ：对∀x ∈[0，1]，不等式22x 2m 3m -≥-恒成立,则2m 32m -≤-，解得1m 2≤≤；命题q ：∃x ∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立，当a ＝1时，那么m x ≤则m 1≤ 若p ∧q 假，p ∨q 为真，那么p,q 一真一假（1）当p 为真，q 为假时，解得1m 2<≤； （2）当q 为真，p 为假时，解得m 1<； 由此解得m 的取值范围（﹣∞，1）∪（1，2] 【点睛】已知命题的真假求参数的取值范围，先求解命题p ，命题q 为真时m 的取值范围，利用若p ∧q 假，p ∨q 为真，那么p,q 一真一假，分类讨论（1）当p 为真，q 为假；（2）当q 为真，p 为假两种情况，最后取并集．三、解答题21．34m ≥或34m ≤-.【分析】试题分析：首先将集合,A B 进行化简，再根据命题p 是命题q 的充分条件知道A B ⊆，利用集合之间的关系，就可以求出实数m 的取值范围. 【详解】化简集合A ，由2312y x x =-+，配方，得237416y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，min 716y ∴=，max 2y =.7,216y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，7|216A y y ⎧⎫∴=≤≤⎨⎬⎩⎭化简集合B ，由21x m +≥，21x m -≥，{}2|1B x m =≥-命题p 是命题q 的充分条件，A B ∴⊆.27116m ∴-≤， 解得34m ≥，或34m ≤-.∴实数m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 22．（1）{}14A x x =≤≤，当2a >时，{}2B x x a =≤≤；当2a =时，{2}B =；当2a <时，{}2B x a x =≤≤；（2）14a ≤≤.【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，即可求得A ，将不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈因式分解，讨论2a >、2a =、2a <三种情况，即可得答案；（2）根据题意可得B A ⊆，讨论2a >、2a =、2a <三种情况，即可得答案. 【详解】（1）不等式254x x ≤-，整理得2540x x -+≤，即(1)(4)0x x --≤， 解得14x ≤≤，所以{}14A x x =≤≤.不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈，整理得()(2)0x a x --≤， 当2a >时，解得2x a ≤≤，所以解集为{}2B x x a =≤≤； 当2a =时，解集为{2}B =；当2a <时，解得2a x ≤≤，所以解集为{}2B x a x =≤≤. （2）因为x A ∈是x B ∈的必要条件，即B A ⊆， 当2a >时，{}2B x x a =≤≤，所以4a ≤，即24a <≤； 当2a =时，{2}B =，满足题意；当2a <时，{}2B x a x =≤≤，所以1a ≥，即12a ≤<， 综上14a ≤≤. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，充分、必要条件等知识，考查分析理解，分类讨论，计算化简的能力，属中档题.23．（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【分析】（1）根据错位相减法，结合等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）根据充分不必要条件的定义，结合友好数列的定义进行证明即可. 【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n n b -=，所以有01211122123252(21)2n n n a b a b a b n -+++=⋅+⋅+⋅++-⋅，令0121123252(21)2(1)n n S n -=⋅+⋅+⋅++-⋅所以有1232123252(21)2(2)n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，(2)(1)-得：1211(2)2(2)2(2)2(21)2n n n S n -=-+-⋅+-⋅++-⋅+-⋅所以12(12)1(2)(21)2(23)2312n n n n S n n --=-+-⋅+-⋅=-⋅+-，而113(23)23nn n a b n -++=-⋅+，因此有对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，所以数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）因为数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，所以对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113(1)n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，因此有11221123(2)n n n n n n a b a b a b a b a b ++++++=++，(2)(1)-得：112111112()n n n n n n n n n n n a b a b a b b a a a b +++-+++-+==-⇒+，若数列{}n a 是等差数列，则有11()2n n n a a a +-+=，已知数列{}n a 是正整数数列，因此有212n n b b ++=，因此数列{}n b 是等比数列； 若数列{}n b 是等比数列，设公比为q ，则有11n n n q a a a +-+=，显然只有当2q时，数列{}n a 是等差数列，因此由数列{}n a 是等差数列能推出数列{}n b 是等比数列，但由数列{}n b 是等比数列不一定能推出数列{}n a 是等差数列，因此“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.【点睛】本题考查了数列新定义问题，考查了充分不必要的证明，考查了等差数列和等比数列的定义的应用，考查了错位相减法，考查了数学运算能力.24．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据q 是假命题，得到13t -≤≤，讨论0a =，0a >，0a <三种情况，计算得到答案. 【详解】命题：“x R ∃∈，使2(1)10x t x +-+<”为假命题，则0∆≤，13t -≤≤. 又p 是q 的充分不必要条件，条件p 中t 的取值集合为条件q 中t 的取值集合的真子集 当0a =时，22230t at a --<解集为空集，符合题意当0a >时，22230t at a --<，即3a t a -<<，则331a a ≤⎧⎨-≥-⎩，解得1a ≤，故01a <≤.当0a <时，22230t at a --<，即3a t a <<-，则313a a ≥-⎧⎨-≤⎩，13a ≥-，故103a -≤<. 综上，a 的取值范围为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数，意在考查学生的计算能力和推断能力.25．512m ≤≤【分析】先求解p ，q 为真时，a 的范围，继而求解若p q ∧为真，a 的范围，又t 是r ⌝的必要不充分条件，列出不等式组限制条件，即得解.【详解】若p 为真，则3a ≤又()21'()333f x x a x =+-+，若q 为真， 令0∆≤，则15a ≤≤若p q ∧为真，则13a ≤≤，:3r a ∴⌝>或1a <1:2t a m ∴>+或a m < 又t 是r ⌝的必要不充分条件，1511232m m m ≥⎧⎪∴∴≤≤⎨+≤⎪⎩【点睛】本题考查了逻辑连接词和充分必要条件，考查了学生逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.26．（1）{}1A m m =<-；（2）(,5]-∞-. 【分析】（1）本题首先可根据题意得出命题的否定“x R ∀∈，不等式220x x m -->”成立是真命题，然后根据求解440m ∆=+<即可得出结果；（2）本题可根据题意得出集合{}44B m a m a =-<<+是集合A 的真子集，然后通过计算即可得出结果. 【详解】（1）因为命题“x R ∃∈，不等式220x x m --≤”成立是假命题， 所以命题的否定“x R ∀∈，不等式220x x m -->”成立是真命题， 即440m ∆=+<，解得1m <-，集合{}1A m m =<-. （2）因为44m a -<-<，即44a m a -<<+， 所以:44q a m a -<<+，因为:44q a m a -<<+是集合A 的充要不必要条件，所以令集合{}44B m a m a =-<<+，集合B 是集合A 的真子集， 即41a +≤-，解得5a ≤-，实数a 的取值范围是(,5]-∞-. 【点睛】关键点点睛：若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则命题p 对应的集合是命题q 对应的集合的真子集；若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则命题q 对应的集合是命题p 对应的集合的真子集.。
上海同济大学第二附属中学高二数学理模拟试卷含解析
上海同济大学第二附属中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某个几何体的三视图如右侧，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． B． C． D．参考答案：B如图该几何体可以看作一个正方体与一个直三棱柱组合而成。
2. 方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：C略3. 已知函数，则的值为（）A.-1 B.0C.1D.2参考答案：D考点：分段函数的计算和求值.4. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是( )A. B.C. D.参考答案：C5. 已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.参考答案：A6. 若A，B为互斥事件，则（）A．B．C．D．参考答案：B7. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．1800 B．3600 C．4320 D．5040参考答案：B略8. 下列各进制数中值最小的是 ( )A．85(9) B．210(6) C．1 000(4) D．111 111(2)参考答案：D略9. 如图，PA⊥正方形ABCD，下列结论中不正确是（）A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD参考答案：C略10. 若∆ABC的三个内角满足sin A:sin B:sin C=5:11:13，则∆ABC（）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则的值为▲．参考答案：12. 已知直线平面，，直线，，直线，，则直线、的关系是_________________．参考答案：13. 在各边长均为1的平行六面体中，为上底面的中心，且每两条的夹角都是60o，则向量的长．参考答案：略14. 已知关于面的对称点为，C（1，-2，-1），则__参考答案：略15. 若定义域为R的函数满足，则不等式的解集为______（结果用区间表示）．参考答案：【分析】由题目要求解的不等式是，由此想到构造函数，求导后结合，可知函数是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．【详解】令，则，因为，所以，所以，函数为上的增函数，由，得：，即，因为函数为上的增函数，所以．所以不等式的解集是．故答案为．【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性．此题是常考题型．16. 已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是．（用数字作答）参考答案：﹣540【考点】程序框图．【分析】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．【解答】解：第一次循环：b=3，a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4；第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．∵（﹣）6=的展开式的通项为：=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540．故答案为：﹣540．17. 已知三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x﹣y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为．参考答案：﹣1【考点】两条直线的交点坐标．【专题】直线与圆．【分析】由已知可得直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2x﹣y=10的交点，求出即可．【解答】解：由三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x﹣y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2x﹣y=10的交点．联立解得，把x=4，y=﹣2代入ax+2y+8=0得a=﹣1．故答案为﹣1．【点评】正确理解题意是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海 同济大学第二附属中学数学高一下期末经典测试(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：12727]设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．112．(0分)[ID ：12724]已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A ．2B ．7C ．2D ．13．(0分)[ID ：12710]已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．(0分)[ID ：12688]若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(0分)[ID ：12686]我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 21B 31C ．232D 33+6．(0分)[ID ：12676]已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()210216()122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 7．(0分)[ID ：12673]在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．2⎛ ⎝⎭B ．2⎡⎢⎣⎦C ．2⎡⎢⎣⎭D ．⎛ ⎝⎦8．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6πD ．f(x)在(2π,π)单调递减 9．(0分)[ID ：12665]设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称10．(0分)[ID ：12659]定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．(0分)[ID ：12654]已知二项式2(*)nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-12．(0分)[ID ：12651]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上13．(0分)[ID ：12643]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>14．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ） A ．68B ．67C ．61D ．6015．(0分)[ID ：12648]已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题16．(0分)[ID ：12825]在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23sin C B = ，则A 等于__________．17．(0分)[ID ：12811]已知函数32()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是____________18．(0分)[ID ：12801]若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．19．(0分)[ID ：12794]若21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 20．(0分)[ID ：12790]已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 21．(0分)[ID ：12788]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 22．(0分)[ID ：12783]函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________. 23．(0分)[ID ：12780]如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.24．(0分)[ID ：12734]过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____． 25．(0分)[ID ：12765]设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______. 三、解答题26．(0分)[ID ：12895]已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.27．(0分)[ID ：12858]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+．（1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 28．(0分)[ID ：12832]ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.29．(0分)[ID ：12831]某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数132 49 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数151310 16 5（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）30．(0分)[ID ：12830]ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC 2，求BD 和AC 的长．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A2．B3．D4．B5．C6．B7．A8．D9．D10．C11．C12．A13．A14．B15．A二、填空题16．【解析】由得所以即则又所以故答案为17．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以18．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q再由ab﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab的方程组求得ab后得答案【详解】由题意可得：a+b=p19．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数20．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情21．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信22．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；23．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数24．2x﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB最小则分析可得圆心C到直线l的距离最大此时直线l与直线垂直即可算出的斜率求得直线l的方程【详解】由题得当∠ACB最小时直线l与直线垂直此时又故又直线l过点25．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．B解析：B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.4．B【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 5．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当2AC BC ==时，取等号．∴121)12S =⨯+++⨯=故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．6．B解析：B 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，2104t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意，作出函数()y f x =的图像如下，由图像可得，10()(2)4f x f ≤≤=关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根， 设()f x t =，20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；且114t =，2104t << 又12a t t -=+11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得432x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 8．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确；f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.9．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.11．C【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()112rn rrr n T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()112rn rrr n T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()3662161221rr n rr rr r r n T C x C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．12．A解析：A 【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .14．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.15．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =，已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.二、填空题16．【解析】由得所以即则又所以故答案为解析：6π【解析】由23sinC sinB = 得23c b =， 所以2223323a b bc b -==⋅，即227a b =， 则222222212732243b c a b b b cosA bc b+-+-=== ，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为6π. 17．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a ＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以 解析：17a -≤<【解析】 【分析】 【详解】由题意，2()34f x x x a '=+-，则(1)(1)0f f ''-<，解得-1＜a ＜7，经检验当a=-1时，2()3410f x x x '=++=的两个根分别为121,13x x ，所以符合题目要求，7a =时，2()3410f x x x '=++=,在区间无实根，所以17a -≤<．18．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q 再由ab ﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab 的方程组求得ab 后得答案【详解】由题意可得：a+b=p解析：9 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．19．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数解析：78【解析】 【分析】根据诱导公式,将三角函数式21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简可得1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简sin 26πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可得解.【详解】 因为21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 化简可得1cos 624ππα⎛⎫--= ⎪⎝⎭,即1cos 264ππα⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 由诱导公式化简得1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而sin 26πα⎛⎫+⎪⎝⎭cos 226ππα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 26πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭由余弦的二倍角公式可知cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ 212sin 6πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2171248⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭故答案为: 78【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.20．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y 的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情 解析：92【解析】分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以12a b+=，所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14y a b =+的最小值是92，总上所述，答案为92. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.21．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．22．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134-【解析】 【分析】利用换元法，令sin x t =，[]1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】令sin x t =，[]1,1t ∈-，则2113324y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t =-时，函数有最小值134-，故答案为134-.【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为22sin()y a b x φ=++求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 23．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 解析：77【解析】 【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而min7MN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.24．2x ﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点解析：2x ﹣4y +3＝0 【解析】 【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.25．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦 172【解析】试题分析：247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-22471722252550⎫=-=⎪⎝⎭. 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，同时求出其正弦值24sin(2)325πα+=，而要求的角sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-，再利用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.三、解答题 26．（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ， ＝﹣cos2x 3-sin2x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．27．（1）21n a n =+；（2）见解析【解析】【分析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+，则()11111222nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =． 所以21n a n =+．（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭34<． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） 1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.28．（1）23π；（2. 【解析】试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若m n ⊥，则有cosB•（2a+c ）+cosC•b=0，结合正弦定理可得cosB•（2sinA+sinC ）+cosC•sinB=0，将其整理变形可得1cos 2B =-，由B 的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a 2+c 2+ac ，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案． 详解： （1）∵m n ⊥，∴()cos 2cos 0B a c C b ⋅++⋅=，∴()cos 2sin sin cos sin 0B A C C B ⋅++⋅=，∴()2cos sin sin cos cos sin B A C B C B =-⋅+⋅ ()sin sin B C A =-+=-，∴1cos 2B =-，∴23B π=.（2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2249a c ac =++，又因为8a c +=，∴()264a c +=，∴22264a c ac ++=，∴15ac =， 则1153sin 24S ac B =⋅=. 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 29．（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）347.45m .【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水多少3m ，从而求得结果.【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为 0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m-⨯=． 【点睛】 该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.30．（1）12；（2）1 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.试题解析：（1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠. （2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =， ∴2BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 222AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅ 222232cos 22x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅ ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232222x -=1x =， 即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．。
上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高一上学期末考试数学试卷
21．对于函数 y f (x) ，若在定义域内存在实数 x ，满足 f (x) kf (x) ，其中为 k 整数，
则称函数 y f (x) 为定义域上的“阶 k 局部奇函数”．
(1)已知函数 f (x) x 2 2x ，试判断 y f (x) 是否为 (1,1) 上的“2 阶局部奇函数”？并说明
9．设 f x 为奇函数，且当 x 0 时， f x ex 1，则当 x 0 时， f x =
10．已知函数 f (x) | x 3 |, g(x) | x 4 | m ，若函数 f (x) 的图像恒在函数 g(x) 图像的
上方，则 m 的取值范围为
．
11．已知函数 f (x) ax2 2x 1(x R) 两个零点，一个大于 2 另一个小于 2，则实数 a
1 a
1 b
2 ，则
m
7．函数
y
1 2
x2
4 x 5
的严格递减区间为
． ．
8．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画， 扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其 中 OA 20cm ， AOB 120 ，M 为 OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 cm2 ．
20．已知函数 f (x) x2 ax a ．
(1)若 f (x) 的最大值为 0，求实数 a 的值；
(2)设 f (x) 在区间 [0, 2] 上的最大值为 M (a) ，求 M (a) 的表达式；
(3)令
g(x)
f
(x) x
，若
g(x)
在区间[1, 2] 上的最小值为
1，求正实数
a
的取值范围．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同济大学第二附属中学2011届高三摸底考试数学试题2010.8一、填空题：本大题有14小题，每小题4分，共56分 1、不等式112x <的解集是 (,0)-∞⋃(2,)+∞ 2、若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________.725-3、已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为23π4、已知向量()1,1=a ，()2,m =b ，若+=⋅ a b a b ，则实数m = 35、函数y =2,0,0x x x x <⎧⎨≥⎩ 的反函数是y =,0x x x <⎧⎪≥6、方程||1222xx -=的解为 2l o g 21)7、若由命题A: “22031x x>-”能推出命题B: “x a >”，则a 的取值范围是________2a ≤-8、已知z ∈C ，且i =z 23i z -++（i 为虚数单位），则2iz += 2i +9、已知A B 、依次是双曲线22:13yE x -=的左、右焦点，C 是双曲线E 右支上的一点，则在A B C ∆中，sin sin sin A BC-=．12-10、某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的世博宣传广告，则最后播放的是世博宣传广告，且2个世博宣传广告不连续播放的方法有种．（用数字作答）3611、顶点在同一球面上的正四棱柱A B C D A B C D ''''-中，1AB AA '==，A 、C 两点间的球面距离为____________.2π12、执行如图的程序框图，若0.8p =，则输出的n = .4密封线内不要题答13、已知不相等的实数m 、n 分别满足：2201020110m m -+=和2201020110n n -+=，则11m n+=2010201114、已知集合{}23225|5|,A x x x x ax x R =++-≤∈，{}213120B x x x =-+≤，若A B φ≠ ．则实数a 的取值范围为 10a ≥二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 15、“41=a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+xa x ”的（ A ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件16、设0>x ，若10)1(x -展开式的第三项为20，则()nn xx x +++∞→ 2lim 的值是…（ B ）A ．21 B ．2 C ．1 D ．3217、若椭圆12222=+by ax 与双曲线122=-yx 有相同的焦点，且过抛物线x y82=的焦点，则该椭圆的方程是 （ A ） A ．12422=+yxB ．1322=+yxC ．14222=+yxD ．1322=+yx18、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，)(x f 单调递增，若021<+x x ，，则)()(21x f x f +的值 （ C ）A ．恒为正值 C ．恒等于零 C ．恒为负值 D ．无法确定正负 三、解答题：（本大题共有5道题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤． 19、（本题满分12分）在ΔABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C的对边，已知tan c =c =ΔABC 的面积为2ABC S ∆=a+b 的值。
19、解：在ΔABC 中，因为tan C =3，所以∠C =60o ， 2分又ΔABC 的面积为S ΔABC =233，所以21ab sin C =233 4分即：ab = 6 6分 因为c=7，所以c 2 = a 2+b 2–2ab cos C 8分 即：a 2+b 2–ab = 7(a+b )2–3ab = 7 10分∴a+b = 5 12分20、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分在正四棱锥P －A B C D 中（如图），若异面直线P A 与B C 所成角的正切值为2，底面边长A B ＝４．（1）求侧棱与底面A B C D 所成角的大小. （2）求四棱锥P －A B C D 的体积． 解：（1）过P 作斜高P E ，P O ⊥底面ABCD ，BC AD //∴∠PAD 为异面直线P A 与B C 所成的角θ且2tan θ= 3分在Rt P E A ∆中2tan θ=P E A E=且AE=2 所以P E =4，PA= 5分正四棱锥P －A B C D的高为=PO Rt P O A ∆中， ∴5sin PAO ∠=5PAO =arcsin∴∠，侧棱与底面A B C D 所成角的大小为515arcsin（ 或写成510arccos） 7分（2）P-ABCD V-21433=⋅⋅=14分21、（本题满分16分）本题共2小题，第1小题8分，第2小题8分某投资公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资量x 成正比例，其关系如图1，B 产品的利润y 与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？`A BCPD图2图121、解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为)(x f 万元，B 产品的利润为)(x g 万元．由题意设x k x f 1)(=，x k x g 2)(=．由图知51)1(=f ，511=∴k又6.1)4(=g ，542=∴k ．从而)0(51)(≥=x x x f ，)0(54)(≥=x x x g 8分（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入x -10万元，设企业利润为y 万元．x x x g x f y -+=-+=10545)10()()100(≤≤x令t x =-10，则t t y 545102+-=514)2(512+--=t )100(≤≤t当2=t 时，8.2514max ==y ，此时6410=-=x 15分答：当A 产品投入6万元，则B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元． 16分 22、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题8分，第2小题6分，第3小题4分。
在直角坐标系中，动点M 到点)2,2(P 的距离等于点M 到直线02=-+y x 的距离的记动点M 的轨迹为W ，过点(,0)(0)A a a >作一条斜率为(0)k k <的直线交曲线W 于B ，C 两点，且交y 轴于点D ．（1）求动点M 的轨迹，并指出它的三条性质或特征； （2）求证：AB CD =；（3）若BC BD =，求△OAD 的面积．（O 为坐标原点）22、解：（1）设),(y x M ，依题意有：=化简得 1.xy =即动点M 的轨迹方程为1xy =双曲线，其性质为 4分（1）焦点(, （2）实轴长 （3）虚轴长 （4）对称性y x =±，()0,0 （5）渐近线0,0x y ==等 8分（2）直线方程为)(a x k y -=，由(),1,y k x a xy =-⎧⎨=⎩得2112200120010.(,),(,),(,),,.(,).22222(0,)(,).22||||,||||,kx kax B x y C x y BC N x y x x a ka a ka x y N D ka a ka AD N AN D N BN C N --=+===---∴-==设中点为则即又中点也为由可得|AB |=|CD | 14分 （3）若|BC |=|BD |，可知21x x <，,||,||.29,,,1,,2,221212112121ka OD a OA kax x kx x a x x x x x x x -==-=-==+=-=又可得消去又即则 .49)(21||||21=-⋅⋅=⋅=∴∆ka a OD OA S OCD 18分23、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,1243n n a a n +=+-,(1)(321)nn n b a n =--+,其中λ为实数，n 为正整数.（1）证明：对任意实数λ,数列{}n a 不是等比数列； （2）证明：当λ≠-18时，数列{}n b 是等比数列；（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项和.问：是否存在实数λ,使得对任意正整数n ，都有12?n S >-若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.23、解：（1）证明 假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即2332⎪⎭⎫⎝⎛-λ=λ⎪⎭⎫⎝⎛-494λ⇔94λ2-4λ+9=94λ2-4λ⇔9=0,矛盾.所以 {a n }不是等比数列. 4分（2）证明 因为b n+1=(-1)n+1［a n+1-3(n+1)+21］=(-1)n+1⎪⎭⎫⎝⎛+-14232n a n=-32(-1)n ·(a n -3n+21)=- 32b n .又λ≠-18，所以b 1=-(λ+18)≠0. 由上式知b n ≠0,所以nn b b 1+=-32(n ∈N *).故当λ≠-18时，数列{b n }是以-(λ+18)为首项，-32为公比的等比数列. 10分（3） 当λ≠-18时，由（2）得：b n =-(λ+18)·132-⎪⎭⎫⎝⎛-n , 于是S n =-53(λ+18)·⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--n 321.当λ=-18时，b n =0，从而S n =0，上式成立.要使对任意正整数n ，都有S n ＞12. 即-53(λ+18 )·⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--n 321＞-12⇔λ＜n⎪⎭⎫⎝⎛--32120-18. 12分令f(n)=1-n⎪⎭⎫⎝⎛-32,则当n 为正奇数时，1＜f(n)≤35; 当n 为正偶数时，95≤f(n)＜1, 16分所以f(n)的最大值为f(1)= 35. 于是可得λ＜20⨯53-18=-6.综上所述，存在实数λ,使得对任意正整数n 都有S n ＞-12,λ的取值范围为（-∞，-6）.18分。