河南省商丘市高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
河南省高三理数第二次质量检测试卷解析版
高三理数第二次质量检测试卷一、单项选择题.集合M =+ +.F =o] , N = {(Kp)|F = ln(x + 2)},那么()A. {-1,0}B. {(-1,0)}C. MD. N.假设复数吗，那么同=()1 — 1A.3拒B.6C. VlOD. 103.假设等差数列{，”}和等比数列{2}满足6=4=7 , a ="=8,贝1]鲁=()A.-4B.-1C. 1-rk /A \.1 mi _ 5sinacosa /.aw(。
,兀，，.s//7a-co.su =—,贝i 」〃〃72a +；—=(4 cos'a-si 汇 a 36 A. 一B. 12C. -1275 .函数/(xb-7J ，假设/侑(/%10))=。
，那么/体(3))=()e +eA. c"-1B, 3〃一1C. c l-3u D ・ 1-4.“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆 面为底，垂直于圆面的直径被截得的局部为高，球冠面积5 = 2n/?力，其中R 为球的半径，力为球冠的高），设球冠底的半径为r,周长为C,球冠的面积为S,那么当。
=2&5兀，5 = 14兀时，（=D. 4)hOi ——R-hr _ 2M于是R 一 7 - 7 o 2故答案为：B.【分析】根据题意结合球冠的周长公式得出r 的值，再利用球冠的面积公式得出Rh 的值，由勾股定理可得出h,R 的值，进而得出 三的值。
R【解析】【解答】解：由题意得X 的可能取值为1, 2, 3,那么丝川专小?《 = 2）=霍S3）号22 19所以 E(X) = lx- + 2x- + 3x ： =一, 939 9I -19. 2 口 19、2 x — + (2) x — + (3) 9939y 的可能取值为o, 1, 2, 22I 8(y )= 0x —+lx —+ 2x —=一 ,939 95 y ）=（0 ］）2冬° .新亭（2 1）飞得 E (x )^£(r ), D(X) = D(Y).故答案为：D.【分析】由古典概型概率计算公式计算X, Y,取每一个值对应概率，得到其分布列，再由期望, 方差计算公式得出结果，即可判断。
河南省商丘市高三数学二模试卷 理(含解析)
2016年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，集合N={x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2} D．∅2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q4．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°6．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（）A．0 B．4 C．7 D．287．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．8．在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）A．B．C．D．1﹣9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π10．给出下列命题：①将函数y=cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）的图象；②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3）则P（ξ＜6﹣a）=0.7③（2﹣）10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210；④已知数列{a n}为等差数列，且a2013+a2015=dx，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）的值为4π2．其中正确的命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．212．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f （x+1）=f（3﹣x），f＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为．14．PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC 上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是．15．若函数y=e x﹣a（e为自然常数）的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数a的取值范围是．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n+1•n（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和T n．18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（K2=，其中n=a+b+c+d）19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．21．已知直线y=x+b与函数f（x）=lnx的图象交于两个不同的点A，B，其横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）当x2≥2时，证明x1•x22＜2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+4x（a＞0）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈R时，恒有f（2x）≥7x+a2﹣3，求实数a的取值范围．2016年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，集合N={x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中的不等式x2﹣4x+3＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即M={x|1＜x＜3}，由N中的不等式变形得：lg（3﹣x）＞0=lg1，即3﹣x＞1，解得：x＜2，即N={x|x＜2}，则M∩N={x|1＜x＜2}．故选：C．2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可．【解答】解：•（1﹣i）2=4+2i，可得•（﹣2i）=4+2i，可得=（2+i）i=﹣1+2i．z=﹣1﹣2i．故选：B．3．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q【考点】复合命题的真假．【分析】求出函数y=log2（x2﹣2x）的定义域，找出定义域内的内层函数t=x2﹣2x的增区间，结合外层函数y=log2t的单调性求出函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间，从而判断出命题p的真假，利用指数函数的值域求出函数y=的值域，判断出命题q的真假，最后结合复合命题的真假判断得到正确的结论．【解答】解：令t=x2﹣2x，则函数y=log2（x2﹣2x）化为y=log2t，由x2﹣2x＞0，得：x＜0或x＞2，所以，函数y=log2（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．函数t=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1，所以，函数t=x2﹣2x在定义域内的增区间为（2，+∞）．又因为函数为y=log2t是增函数，所以，复合函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是（2，+∞）．所以，命题p为假命题；再由3x＞0，得3x+1＞1，所以，所以，函数y=的值域为（0，1），故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，pVq为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢q为假命题．故选B．4．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．5．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的垂直求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．【解答】解：向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，∴x﹣3=0，解得x=，∴﹣=（，1）﹣（，﹣3）=（0，4），∴|﹣|=4，||=2，（﹣）•=4，设向量﹣与的夹角为θ，∴cosθ===，∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°．故选：B．6．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（）A．0 B．4 C．7 D．28【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序输出的是用辗转相除法求两个数a、b的最大公约数；当a=60，b=32时，最大公约数是4．故选：B．7．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由f（t）表示位于直线l左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数s=f（t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为t=，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象．【解答】解：依题意得s=f（t）=，分段画出函数的图象可得图象如C所示故选C．8．在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）A．B．C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】根据题意，求出满足条件的点P所组成的几何图形的体积是多少，再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可．【解答】解：符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；根据几何概型的概率计算公式得，P==1﹣．故选：D．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点，因为A1B=10，所以外接球的半径为5，体积为π•=π．故选：D．10．给出下列命题：①将函数y=cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）的图象；②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3）则P（ξ＜6﹣a）=0.7③（2﹣）10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210；④已知数列{a n}为等差数列，且a2013+a2015=dx，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）的值为4π2．其中正确的命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象关系进行判断．②根据正态分布的性质进行判断，③根据二项展开式的公式进行判断．④根据等差数列的性质以及积分的应用进行求解判断．【解答】解：①函数y=cos（x+）=cos（x+2π﹣）=sinx，将图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y=sin2x，再向左平移个单位长度，得到函数y=sin2（x+）的图象；故①错误，②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3），则P（ξ＜a）=P（ξ＞6﹣a），则P（ξ＜6﹣a）=1﹣P（ξ＞6﹣a）=1﹣0.3=0.7，故②正确，③（2﹣）10的二项展开式中的通项公式T k+1=C（2）10﹣k（﹣）k=C（2）10﹣k（﹣）k=C•210﹣k（﹣1）k x，当5﹣=﹣1时，k=4，此时T5=C26x﹣1=210×64x﹣1=13440x﹣1故x﹣1项的二项式系数是13440，故③错误；④已知数列{a n}为等差数列，且a2013+a2015=dx==2π，即a2014=π，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）=a2014×4a2014=4π2．故④正确，故正确的是②④，故选：C11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f （x+1）=f（3﹣x），f＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算．【分析】根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（3﹣x）=f（x﹣3），∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，∵f=f（﹣1）=f（1）=2，∴f（1）=2，设g（x）=，则函数的导数g′（x）==，故函数g（x）是R上的减函数，则不等式f（x）＜2e x﹣1等价为，即g（x）＜g（1），解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为24 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题设中的条件知，可以先把丙与丁必须相邻，可先将两者绑定，又甲与乙不相邻，可把丙与丁看作是一个人，与甲乙之外的一个人作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将甲乙两人插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将丙与丁绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与除甲乙之外的一人看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将甲乙两人插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24故答案为：24．14．PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC 上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是①②③．【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，则AF∥AE，显然不成立，从而得到结论．【解答】解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在的平面∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A∴BC⊥面PAC，又∵AF⊂面PAC，∴AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C∴AF⊥面PCB，而BC⊂面PCB，∴AF⊥BC，故③正确；而PB⊂面PCB，∴AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A∴PB⊥面AEF，而EF⊂面AEF，AF⊂面AEF∴EF⊥PB，AF⊥PB，故①②正确，∵AF⊥面PCB，假设AE⊥面PBC∴AF∥AE，显然不成立，故④不正确．故答案为：①②③．15．若函数y=e x﹣a（e为自然常数）的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数a的取值范围是[1，e5+1] ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由题意作平面区域，从而利用数形结合求解，注意临界值即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，当函数y=e x﹣a与直线y=x相切时，切点恰为（0，0），故此时0=1﹣a，故a=1；当函数y=e x﹣a过点（5，﹣1）时，﹣1=e5﹣a，故a=e5+1；结合图象可知，1≤a≤e5+1．故答案为：[1，e5+1]．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=3ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n+1•n（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得a n•b n=（﹣1）n﹣1••（﹣1）n+1•n=3n•（）n．运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可得2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，即2（S3+a4+2a5）=2S3+a3+2a4，即有4a5=a3，即为q2==，解得q=±，由等比数列{a n}不是递减数列，可得q=﹣，即a n=•（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1•；（Ⅱ）b n=（﹣1）n+1•n，可得a n•b n=（﹣1）n﹣1••（﹣1）n+1•n=3n•（）n．前n项和T n=3[1•+2•（）2+…+n•（）n]，T n=3[1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1]，两式相减可得， T n=3[+（）2+…+（）n﹣n•（）n+1]=3[﹣n•（）n+1]，化简可得T n=6（1﹣）．18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．得K2=≈11.111＞10.828，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．P（X=0）=0.65；P（X=1）=C51•0.4•0.64；P（X=2）=C52•0.42•0.63；P（X=3）=C53•0.43•0.62；P（X=4）=C54•0.44•0.6；P（X=5）=0.45，②X的分布列19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）若G为FC的中点，根据线面平行的判定定理证明OG∥AF即可证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，∴OG∥AF，∵AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDC，∴AF∥平面BDG．解：（Ⅱ）取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ∥AB∥EF，∴M，Q，F，E共面．作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN∥FP且EN=FP，连接EM，FQ∵AE=DE=BF=CF，AD=BC，∴△ADE≌△BCF，∴EM=FQ∴△ENM≌△FPQ，∴MN=PQ=1，∵BF=CF，Q为BC的中点，∴BC⊥FQ又BC⊥MQ，FQ∩MQ=Q，∴BC⊥平面MQEF，∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD以P原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系则A（3，1，0），B（﹣1，1，0），C（﹣1，﹣1，0），设F（0，0，h），则=（﹣3，﹣1，h），=（1，1，h），∵AF⊥CF，∴•=（﹣3，﹣1，h）•（1，1，h）=﹣3﹣1+h2=0，解得h=2，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），=（﹣3，﹣1，2），=（1，﹣1，2），由得，令 z=1，则x=0，y=2，即=（0，2，1），同理平面BCF的一个法向量为=（﹣2，0，1），∴===．∴平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为．20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2==中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，﹣y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求【解答】（1）解：由题意知，，即b=又a2=b2+c2∴a=2，b=故椭圆的方程为（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4）由可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0设A（x1，y1），B （x2，y2），则△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0∴∴x1+x2=，x1x2=①∴=x1x2+y1y2====∵∴∴∴）（3）证明：∵B，E关于x轴对称∴可设E（x2，﹣y2）∴直线AE的方程为令y=0可得x=∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）∴==1∴直线AE与x轴交于定点（1，0）21．已知直线y=x+b与函数f（x）=lnx的图象交于两个不同的点A，B，其横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）当x2≥2时，证明x1•x22＜2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得x﹣lnx+b=0有两个不同的实根，设g（x）=x﹣lnx+b，求出导数，求得单调区间，可得最小值，即可得到b的范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得0＜x1＜1，x2＞1，g（x1）=g（x2）=0，作差g（x1）﹣g（），化简可得x2﹣3lnx2﹣+ln2，令h（t）=t﹣﹣3lnt+ln2，求出导数，判断符号，得到单调性，可得当x2≥2时，g（x1）﹣g（）＞0，即g（x1）＞g（），由g（x）在（0，1）递减，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得x﹣lnx+b=0有两个不同的实根，设g（x）=x﹣lnx+b，x＞0，g′（x）=1﹣，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增．可得g（x）在x=1处取得最小值b+1，当b＜﹣1时，b=lnx﹣x在（0，1）和（1，+∞）各有一个不同的实根，则b的范围是（﹣∞，﹣1）；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得0＜x1＜1，x2＞1，g（x1）=g（x2）=0，g（x1）﹣g（）=（x1﹣lnx1+b）﹣（﹣ln+b）=（x2﹣lnx2+b）﹣（﹣ln+b）=x2﹣3lnx2﹣+ln2，令h（t）=t﹣﹣3lnt+ln2，则h′（t）=1﹣+=，当t≥2时，h′（t）≥0，h（t）递增，即有h（t）≥h（2）=﹣2ln2＞0，当x2≥2时，g（x1）﹣g（）＞0，即g（x1）＞g（），又g（x）在（0，1）递减，0＜x1＜1，0＜＜1，即有x1＜，可得x1•x22＜2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）根据AC为圆O的切线，结合弦切角定理，我们易得∠B=∠EAC，结合DC是∠ACB的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得∠ADF=∠AFD，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出∠ADF的度数；（II）若AB=AC，结合（1）的结论，我们易得∠ACB=30°，根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为：1：1：，易得答案．【解答】解：（I）∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD又因为BE为圆O的直径，∴∠DAE=90°∴（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC∴又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，∴在RT△ABE中，[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+4x（a＞0）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈R时，恒有f（2x）≥7x+a2﹣3，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x﹣2|≥﹣2x+1，对x分类讨论解出即可得出．（II）f（2x）≥7x+a2﹣3，化为：f（2x）﹣7x≥a2﹣3，令g（x）=f（2x）﹣7x=|2x﹣a|+x=，利用函数的单调性可得：当x=时，g（x）有最小值，g（x）min==．若命题成立，可得：﹣3，解出即可得出．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x﹣2|≥﹣2x+1，∴，或，解得{x|x≥﹣1}．（II）f（2x）≥7x+a2﹣3，化为：f（2x）﹣7x≥a2﹣3，令g（x）=f（2x）﹣7x=|2x﹣a|+x=，．∵x∈时，g（x）单调递减；x∈时，g（x）单调递增．∴当x=时，g（x）有最小值，g（x）min==．若命题成立，可得：﹣3，解得a∈（0，2）．。
河南省商丘市-高三第二次模拟考试理科数学试卷Word版含答案
河南省商丘市2017-2018高三第二次模拟考试试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A2.）A3.）A．44.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程91，39）A．11 B．12 C. 13 D．145.高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）ABD6.18为（ ）A ．3B ．5 C. 7 D ．97.）A8.） A ．1 B ．2 C. 3 D ．49.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A10.，得到）A．2 B．4 C. 6 D．811.取值范围为（）A12.）AD 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的距离为 ．14.2,22OB AB -=的值为 ．4，则展开式中的常数项为 ．16.给出以下结论：其中，正确的结论有 ．(写出所有正确结论的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（22.18.世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；（38名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3.附:(,N μσX σμ<<19.2（1（2.20.（1）求拋物线方程；（2.21.（1围；（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2积.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.精品文档试卷答案一、选择题1-5: ABCCD 6-10: ADBAC 11、12：DB二、填空题①②④三、解答题17. 解：（Ⅰ）证明：∵（Ⅱ），，18...19.解：(Ⅰ)D3(-(3,12=1，得y 3,0)-20m n m n⋅=⋅20.解：8分21.，22.解：.23.解：83⎛+∞⎝，()fx取最小值。
河南省商丘市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
河南省商丘市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12 B．C ．12- D． 【答案】A【解析】【详解】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o o o o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+o o o o ，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==o o oo o o oo o o 本题选择A 选项.2．已知x,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．45【答案】C【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，52BD =，5BC =115552224BCD S BD BC ∆=⋅=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠ 【答案】B【解析】【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值.【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d .所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.4．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.【详解】当时，又，，由在上的值域为解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.5．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i a a 仍是该数列中的项，则（ ） A ．593,36a S >< B ．593,36a S >> C ．693,36a S >>D ．693,36a S >< 【答案】D【解析】【分析】由题意可得955a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围． 【详解】解：i j a a +Q ，或其积i j a a ，或其商j i a a 仍是该数列中的项， 29a a ∴+或者29a a 或者92a a 是该数列中的项， 又Q 数列{}n a 是递增数列，1239a a a a ∴<<<⋯<，299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项， 同理可以得到93a a ，94a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<， ∴955a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =， 94912914133613S a a a -∴=++⋯+=<-，故选：D ．【点睛】 本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．6．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 【答案】B【解析】【分析】化简得lgcosA ＝lg ＝﹣lg2，即，结合， 可求，得代入sinC ＝sinB ，从而可求C ，B ，进而可判断.【详解】 由，可得lgcosA ＝＝﹣lg2，∴， ∵，∴，，∴sinC ＝sinB ＝＝，∴tanC ＝，C ＝，B ＝.故选：B【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．7．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x =-，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{3x x <-或}0x >B ．{0x x <或}2x >C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x > 【答案】C【解析】【分析】 简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算210x x x ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果.【详解】由()()11f x f x -=+，可知函数()f x 关于1x =对称当1x ≥时，()2f x x x =-， 可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增 则2120x x x x ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f =且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x >所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x >故选：C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45- B ．45 C ．35- D ．35【答案】D【解析】【分析】由题知cos 5α=，又2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，代入计算可得. 【详解】由题知cos α=，又23sin 2cos 22cos 125πααα⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.9．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】【分析】 把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，， ∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-． 故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．设复数z 满足31i i z=+，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 【答案】D【解析】【分析】根据复数运算，即可容易求得结果.【详解】3(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i ----====--++-. 故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.11．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 【答案】D【解析】选项A ，否命题为“若1a ≤，则21a ≤”，故A 不正确．选项B ，逆命题为“若a b <，则22am bm <”，为假命题，故B 不正确．选项C ，由题意知对x ∀()0,∈+∞，都有34x x <，故C 不正确．选项D ，命题的逆否命题“若6πα=，则1sin 2α=”为真命题，故“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题，所以D 正确．选D ．12．已知ABC V 是边长为3的正三角形，若13BD BC =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅=uuu r uu u r A ．32-B ．152 C ．32 D ．152- 【答案】A【解析】【分析】【详解】 由13BD BC =u u u r u u u r 可得13AD AB BD AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为ABC V 是边长为3的正三角形，所以221113()33cos12033332AD BC AB BC BC AB BC BC ⋅=+⋅=⋅+=⨯︒+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选A ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考第二次模拟考试理科数学试卷含答案试卷分析详解
河南省商丘市-高三第二次模拟考试试卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数352z i=+(i 是虚数单位）的共辄复数z =（ ） A ．2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2.已知集合{}{}29,A x y x B x x a ==-=≥，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞- B ．(],3-∞- C. (],0-∞ D ．[)3,+∞ 3.已知等差数列{}n a 的公差为d ，且891024a a a ++=，则1a d ⋅的最大值为（ ） A ．12 B ．14C. 2 D ．4 4.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为91，39，则输出的a =（ ）A ．11B ．12 C. 13 D ．145.高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）A ．2465A A ⨯种 B ．2465A ⨯种 C. 2465C A ⨯种 D ．2465C ⨯种6.设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0z ax y a =+>的最大值为18，则a 的值为（ ）A ．3B ．5 C. 7 D ．97.已知0a >且1a ≠，函数()(log a f x x =+在区间(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log a g x x b =-的图象是（ ）A ．B ．C. D ．8.已知椭圆22162x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，直线:l y kx m =+与椭圆相切，记12F F 、到直线l 的距离分别为12,d d ，则12d d ⋅的值为（ ） A ．1 B ．2 C. 3 D ．49.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．6πB ．163π6π D 163π10.将函数())cos 2sin 0222x x x f x ωωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．2B ．4 C. 6 D ．811.已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0a x y C a bb >->=的左、右焦点，O 为坐标原点，在双曲线C 的右支上存在点P ，且满足OP =21tan 3PF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(]1,2 C. ⎛ ⎝⎦ D ．⎛ ⎝⎦12.记函数()2x f x e x a -=--，若曲线[]()31,1y x x x =+∈-上存在点()00,x y 使得()00f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．()22,66,e e -⎤⎡-∞-⋃++∞⎦⎣ B ．226,6e e -⎡⎤-+⎣⎦C. ()226,6e e --+D ．()()22,66,e e --∞-⋃++∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知球的表面积为8π，此球面上有,,A B C 三点，且2AB AC BC ==，则球心到平面ABC 的距离为 ．14.已知,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，52,222OC OA OB AB =-=，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为 ．15.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为 ．16.已知曲线2:2C y x a =+在点(()0,n P n a n N >∈处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴、y 轴分别于点()(),00,n n n n A x B y 、，且00x y =.给出以下结论： ①1a =；②当*n N ∈时，n y③当*n N ∈时，n k >④当*n N ∈时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则)1n S <.其中，正确的结论有 ．(写出所有正确结论的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()()sin 2sin cos A C A A C +=+，且222sin sin sin sin 0A B C A B +-+=.（1）求证：,,2a b a 成等比数列； （2）若ABC ∆的面积是2，求c 边的长.18.世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布()251,15N ，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；（3）已知本数据中旅游费用支出在[]80,100范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附:若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.19.如图所示的几何体是由棱台PMN ABD -和棱锥C BDNM -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面,22ABCD AP PM ==.（1）求证：MN PC ⊥；（2）求平面MNC 与平面APMB 所成锐角二面角的余弦值.20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，且124y y =-.（1）求拋物线方程；（2）设点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD ∆面积的最小值及此时直线AD 的方程.21.已知函数()2()()(21ln 21210)()f x x x a x x a =++-+->.（1）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；（2）当1 2a >时，求证：()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠，有()()121222x x f x f x f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+，直线()1:6l R πθρ=∈，直线()2:3l R πθρ=∈.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于,O M 两点，直线2l 与曲线C 交于,O N 两点，求OMN ∆的面积.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()2274m m f x >-+对于x R ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ABCCD 6-10: ADBAC 11、12：DB 二、填空题13. 1 14.5 15. 200 16. ①②④ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）证明：∵ A B C π++=，sin +)2sin cos()A C A A B =+（， ∴sin 2sin cos B A C =-，在ABC ∆中，由正弦定理得，2cos b a C =-，∵222sin sin sin sin 0A B C A B +-=，由正弦定理可得：∴2220a b c +-+=，∴222cos 2a b c C ab+-== ∴34C π=，∴b =，则2222b a a a ==⋅，∴,,2a b a 成等比数列；（Ⅱ） 1sin 22S ab C ===，则ab = ，由（Ⅰ）知，b = ，联立两式解得2,a b ==，由余弦定理得，2222cos 4822(20c a b ab C =+-=+-⨯⨯=∴c =18.解：（Ⅰ）设样本的中位数为x ，则2250450(40)0.510001000100020x -++⋅=， 解得51x ≈，所得样本中位数为51（百元）.（Ⅱ）51μ=，15σ=，281μσ+=，旅游费用支出在8100元以上的概率为(2)P x μσ≥+1(22)2P x μσμσ--<<+=10.95440.02282-==，0.022*********⨯=，估计有798位同学旅游费用支出在8100元以上. （Ⅲ）Y 的可能取值为0，1，2，3，35385(0)28C P Y C ===， 12353815(1)28C C P Y C ===， 21353815(2)56C C P Y C ===， 33381(3)56C P Y C ===， ∴Y 的分布列为50123282856568E Y=⨯+⨯+⨯+⨯=（）. 19.解：(Ⅰ)证明：因为底面四边形ABCD 是菱形， ∴AC BD ⊥， 又∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA BD ⊥， ∵ACPA A =， ∴BD ⊥平面PAC ，∴BD PC ⊥.又棱台中， ∴(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示， 则(0,1,0)C ，1(,2)22M -， PMN ABD -//BD MN MN PC ⊥D31(,,2)2N --，(0,1,0)A -，(0,1,2)P -，(3,0,0)B ， 所以33(,,2)2CM =-，33(,,2)22CN =--，(0,0,2)AP =，(3,1,0)AB =， 设平面MNC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则CM mCN m ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,∴=0=0CM m CN m ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，1111113320233202x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩.令11z =，得1140,3x y ==， ∴4(0,,1)3m =； 设平面APMB 的法向量为222(,,)n x y z =，则AP nAB n ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,∴=0=0AP n AB n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，2222030z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令2=1x ，得23y =-，2=0z ， ∴(1,3,0)n =-， 设平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角为α，则2222224013233cos 540()11(3)03m n m nα⨯+⨯⨯⋅===⋅++⋅+-+（-）+10，所以平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角的余弦值为23.20.解：（Ⅰ）依题意(,0)2p F ，当直线AB 的斜率不存在时，直线:2p AB x =，可得,),,)22p pA pB p -（（，2124,2y y p p =-=-=，分当直线AB 的斜率存在时，设:()2p AB y k x =-由22()2y pxpy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化简得2220p y y p k --= 得212122+,py y y y p k==- 由124y y =-得24p =，2p =，所以抛物线方程24y x =.（Ⅱ）设00(,)D x y ，2(,)4t B t ，则(1,)E t -，又由124y y =-，可得244(,)A t t-因为2EF tk =-，AD EF ⊥，∴2AD k t =，故直线2424:()AD y x t t t+=-， 由2248240y xx ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩， 化简得2216280y ty t ---=， ∴10102162,8y y t y y t +==--.∴10|||AD y y =-==，……8分设点B 到直线AD 的距离为d ，则22222816|4||8|t t t d ---++==，∴1||162ABD S AD d ∆=⋅=≥，当且仅当416t =，即2t =±，等号成立2:30t AD x y =--=时，； 2:30t AD x y =-+-=时，.21.解：（Ⅰ）函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<． 又直线y x =-恰好通过原点，∴函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+． 令ln(21)()21x h x x +=+，则222ln(21)()(21)x h x x -+'=+． ∴11(,)22e x -∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增； 1(,)2e x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减． ∴max 11()()2e h x h e -==∴a 的取值范围是1a e >． （Ⅱ）∵()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++，设()2ln(21)4(21)1u x x a x =+-++, 则4()821u x a x '=-+， 410,4,,84212x a a x ><>>+时时，∴4()8021u x a x '=-<+， ∴0x >时 ()f x '为单调递减函数，不妨设210x x >>，令（1x x >）， 可得1()0g x =，1()()()2x x g x f x f +'''=-，∵12x x x +>且()f x '单调递减函数， ∴()0g x '<，∴1x x >，()g x 为单调递减函数，∴21()()0g x g x <=， 即1212()()2()2x x f x f x f ++<． 22.解：（Ⅰ）依题意，直线1l的直角坐标方程为y ， 直线的直角坐标方程为y =.因为4cos 2sin ρθθ=+，∴24cos 2sin ρρθρθ=+， ∴2242x y x y +=+，即22(2)(1)5x y -+-=，∴曲线C的参数方程为21x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）. （Ⅱ）联立64cos 2sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，，得到||1OM =，同理||2ON =又6MON π∠=，所以1||||sin 2MON S OM ON MON =⋅∠△. 即OMN ∆23.解：（Ⅰ）依题意，431()|2|2|1|12342x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+-=⎨⎪->⎩，，，≤≤，，， 故不等式()4f x >的解集为8(0)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，. 11()()()2()2x x g x f x f x f +=+-2l（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当1x =时，()f x 取最小值， 2()274f x m m >-+对于x ∈R 恒成立， ∴2min ()274f x m m >-+，即22741m m -+<， ∴22730m m -+<，解之得132m <<， ∴实数的取值范围是1|32m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1m。
河南商丘高三第二次模拟考试数学理科
河南省商丘市2009年高三第二次模拟考试试题数 学（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答在答题卷（Ⅱ卷）上，答在试题卷上的答案无效。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前将密封线内的项目及座号填写清楚。
3．请把第I 卷中每小题你认为正确选项的代号填写在答题卷（Ⅱ卷）中选择题答案栏内。
4．答第Ⅱ卷时，用0．5毫米的黑色墨水笔书写在答卷（Ⅱ卷）上。
考试终了，只交答卷（Ⅱ卷）。
参考公式如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B )＝P (A )十P (B ) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B )＝P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那 V ＝πR 3么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 P n (k )＝P k (1一P )n －k （k ＝0，1，2，…，n ） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）(1)集合A ＝{y ｜y ＝x 2，x ∈R}，B ＝{－2，－1，1，2}，则下列结论正确的是(A )A ∪B ＝(0，＋∞) (B )(C R A )∪B ＝(－∞，0](C )A ∩C R B ＝[0，＋∞) (D )(CR A )∩B ＝{－2，－1}(2)若复数(1＋bi )(2＋i )是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b ＝ (A )2 (B )12 (C )－12(D )－2 (3)已知cos (θ＋6π)＝513，0<θ<3π，则cos θ＝ (A )31226＋ (B )125313- (C )5326＋ (D )65313＋ (4)等差数列{a n }中，2a 3－27a ＋2a 11＝0，数列{b n }为等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8的值为(A )2 (B )4 (C )8 (D )16(5)在x 3x24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有(A )3项 (B )4项 (C )5项 (D )6项(6)若直线ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为(A )14 (B 2 (C )322 (D )32＋2 (7)在三棱锥A －BCD 中，P 、Q 分别是棱AC 、BD 上的点，连结AQ 、CQ 、BP 、DP 、PQ ，若三棱锥A －BPQ 、B －CPQ 、C －DPQ 的体积分别为6、2、8，则三棱锥A －BCD 的体积是(A )20 (B )28 (C )40 (D )88(8)已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组4250200x y x y x -⎧⎪-⎨⎪-⎩＋3≤＋2≤1≥，则tan ∠POQ的最大值等于(A )12(B )1 (C )32 (D )0 (9)如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M 、N是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MD u u u u r ·NC u u u r 的值是(A )2 (B )5(C )26 (D )29(10)已知边长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O的表面上，E 、F 分别为棱AB 、A 1D 1的中点，则经过E 、F 球的截面面积的最小值为(A )38π (B )2π (C )58π (D )78π (11)已知函数f (x )的导函数为'f (x )＝4＋3cosx ，x ∈(－1，1)，且f (0)＝0，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为(A ) (0，1) (B ) (12(C ) (－22) (D ) (－∞，－2)∪(1，＋∞)(12)已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋l ，其中a 为2、4、6、8中任取的一个数，b 为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线相互平行的概率是(A )112 (B )760 (C )625 (D )516第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）(13)若ξ－N (1，σ2)，且P (1<ξ<3)＝0．4，则P (ξ>3)＝_____________．(14)已知函数f (x )＝11,0m x x x x x ⎧⎪⎨⎪2,⎩-＋＜0＋log ≥,(m>0，m ≠1)在x ＝0处连续，则m 的值为_________． (15)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝2π，AB ＝AC ＝AA l ＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为____________．(16)已知命题：①函数f (x )＝1lg x在(0，＋∞)上是减函数；②函数f (x )的定义域为R ， 'f (x 0)＝0是x ＝x 0为极值点的既不充分也不必要条件；③函数f (x )＝2sinxcos ｜x ｜的最小正周期为π；④在平面上，到定点(2，1)的距离与到定直线3x ＋4y －10＝0的距离相等的点的轨迹是抛物线；⑤已知a ＝(3，4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为4．其中正确命题的序号是______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(17)(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin (x －6π)·cosx ，x ∈(0，2π)． (Ⅰ)求函数f (x )的值域； (Ⅱ)若曲线y ＝f (x )在x 0处的切线倾斜角α∈[arctan12，4π]，求x 0的取值范围．(18)(本小题满分12分)已知四棱锥P －ABCD ，底面是边长为1的正方形，侧棱PC 长为2，且PC ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PC 上的动点．(Ⅰ)证明BD ⊥AE ；(Ⅱ)求点C 到平面PDB 的距离；(Ⅲ)若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．(19)(本小题满分12分)下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球．设掷n 次后，甲、乙、丙盒内的球数分别为x ，y ，z.(Ⅰ)当n ＝6时，求x 、y 、z 成等比数列的概率；(Ⅱ)当n ＝4时，若甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和期望E ξ．(20)(本小题满分12分)等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为其前n 项和，等比数列{b n }的公比q 满足｜q ｜<1，T n 为其前n 项和，若S 2＝4b 1，S 6＝2T 2＋33，又b 1＝2(1－q )．(Ⅰ)求{a n }、{b n }的通项公式；(Ⅱ)若c 1＝a l ，c 2＝a 2＋a 3，c 3＝a 4＋a 5＋a 6，…，求c n 的表达式；(Ⅲ)若f (n )，求证f (2n b )>2n ＋1(n ≥2)．(21)(本小题满分12分)已知△ABC 一边的两个端点为B，0)，C (，0)，另两边所在直线的斜率之 积为12，动直线l 过定点(－3，0)，Q 点坐标为(2，0)． (Ⅰ)求顶点A 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线E 交与两点M ，N (在y 轴左侧)，QM QN u u u u r u u u r 是否存在最小值?若存在，求出最小值，若不存在，说明理由；(Ⅲ)若△MQN 的面积记为S ，对任意适合条件的直线l ，不等式S ≥λ·tan ∠MQN 恒成立，求λ的最大值．(22)(本小题满分12分)函数f (x )＝x 3－3tx ＋m (x ∈R ，m 和t 为实常数)是奇函数，设g (x )＝｜f (x )｜在[－1， 1]上的最大值为F (t )．(Ⅰ)求F (t )的表达式；(Ⅱ)求F(t)的最小值．。
2022年河南省商丘市高考数学二模试卷(理科)
2022年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={某∈N|1＜某＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e42．i为虚数单位，若A．1B．﹣1C．72b∈R）（a，与（2﹣i）互为共轭复数，则a﹣b=（）D．﹣7），f（某）＜0，则（）3．已知f（某）=in某﹣某，命题p：某∈（0，A．p是假命题，￢p：：某∈（0，B．p是假命题，￢p：：某∈（0，C．P是真命题，￢p：：某∈（0，D．p是真命题，￢p：：某∈（0，），f（某）≥0），f（某）≥0），f（某）≥0），f（某）≥0﹣a10的值为（）4．在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=60，则2aA．6B．8C．12D．135．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，某=2，则输出V的值为（）A．15B．31C．63D．1276．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（某﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114B．10C．150D．508．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足为（）A．﹣B．﹣2C．D．2=+，则的值9．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种﹣C．48种D．36种10．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作某轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）＜φ＜π）的部分图象的11．如图，将绘有函数f（某）=2in（ω某+φ）（ω＞0，纸片沿某轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．2C．﹣D．12．已知函数f（某）=，若F（某）=f[f（某）+1]+m有两个零点某1，某2，则某1某2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=系数为．14．已知抛物线C：y2=4某与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若=0，则k=．（co某﹣in某）d某，则二项式（a﹣）6的展开式中含某2项的B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）15．已知函数f（某）=a某2+b某+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{某n}满足某n+1=某n﹣，设an=ln，若a1=，某n＞2，则数列{an}的通项公式an=．16．已知f（某）=某3﹣3某+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+coC）=c（2﹣coB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数天数38203940402041104210乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数天数38103920402041404210（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为某（单位：元），求某的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．D，E分别是B1C1、BC的中点，如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4某的焦点，过点M（m，0）（m＞）作斜率不为0的直线重合，椭圆E的离心率为l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（某）=ln某﹣2a某，a∈R．为定值．（Ⅰ）若函数y=f（某）存在与直线2某﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（某）=f（某）+，若g（某）有极大值点某1，求证：＞a．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系某Oy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，某轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6inθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（某）=|某﹣2|+|2某+1|．（Ⅰ）解不等式f（某）＞5；（Ⅱ）若关于某的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．+的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={某∈N|1＜某＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e4【考点】元素与集合关系的判断．【分析】首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={某∈N|1＜某＜lnk}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4，…}，∴lnk＞4，∴k＞e4．故选：C．2．i为虚数单位，若A．1B．﹣1C．72b∈R）（a，与（2﹣i）互为共轭复数，则a﹣b=（）D．﹣7【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵又=，（2﹣i）2=4﹣4i﹣1=3﹣4i，（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，∴b=3，a=﹣4，则a﹣b=﹣7．故选：D．3．已知f（某）=in某﹣某，命题p：某∈（0，），f（某）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：某∈（0，B．p是假命题，￢p：：某∈（0，C．P是真命题，￢p：：某∈（0，D．p是真命题，￢p：：某∈（0，【考点】命题的否定．），f（某）≥0），f（某）≥0），f（某）≥0），f（某）≥0【分析】直接利用特称命题否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（某）=in某﹣某，某∈（0，（0，）上是减函数，），f′（某）=co某﹣1＜0，∴f（某）是∵f（0）=0，∴f（某）＜0，∴命题p：某∈（0，￢p：某∈（0，故选：C．4．在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=60，则2aA．6B．8C．12D．13﹣a10的值为（）），f（某）＜0是真命题，），f（某）≥0，【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{an}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，某=2，则输出V的值为（）A．15B．31C．63D．127【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的某=2，n=5，故v=1，i=4，v=1某2+1=3i=3，v=3某2+1=7i=2，v=7某2+1=15i=1，v=15某2+1=31i=0，v=31某2+1=63i=﹣1，跳出循环，输出v的值为63，故选：C6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10﹣r+10﹣r=10∴r=10﹣5故选：A．表示的区域Ω，不等式（某﹣）2+y2cm，≈3cm．7．若不等式组表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114B．10C．150D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC=区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，+=．=．=则区域Ω和Γ的公共面积为S′=∴芝麻落入区域Γ的概率为∴落在区域Γ中芝麻数约为360某故选A．=30π+20≈114．8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足为（）A．﹣B．﹣2C．D．2=+，则的值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），∴则=（﹣1，=﹣），=（，﹣）=﹣2．故选：B．9．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分类讨论，第一类，同一班的2名同学在甲车上；第二类，同一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，同一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3某4=12种．第二类，同一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3某4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作某轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：某=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．11．如图，将绘有函数f（某）=2in（ω某+φ）（ω＞0，纸片沿某轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2＜φ＜π）的部分图象的，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．2C．﹣D．【考点】点、线、面间的距离计算；由y=Ain（ω某+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2inφ=1，可得inφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．=2，求得T=4，再根据A、B两点之间的距离为再根据T==4，求得ω=某+．∴f（某）=2in（故选：D．），f（﹣1）=2in（﹣+）=，12．已知函数f（某）=，若F（某）=f[f（某）+1]+m有两个零点某1，某2，则某1某2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可知：当某≥1时，f（某）+1≥1，f[f（某）+1]=ln（f（某）+1），当某＜1，f（某）=1﹣＞，f[f（某）+1]=ln（f （某）+1），f[f（某）+1]=ln（f（某）+1）+m=0，则某1某2=et（2﹣2t），t＞，设g（t）=et（2﹣2t），t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得某1某2的取值范围．【解答】解：当某≥1时，f（某）=ln某≥0，∴f（某）+1≥1，∴f[f（某）+1]=ln（f（某）+1），当某＜1，f（某）=1﹣＞，f（某）+1＞，f[f（某）+1]=ln（f（某）+1），综上可知：F[f（某）+1]=ln（f（某）+1）+m=0，则f（某）+1=e﹣m，f（某）=e﹣m﹣1，有两个根某1，某2，（不妨设某1＜某2），当某≥1是，ln某2=e﹣m﹣1，当某＜1时，1﹣令t=e﹣m﹣1＞，则ln某2=t，某2=et，1﹣∴某1某2=et（2﹣2t），t＞，=e﹣m﹣1，=t，某1=2﹣2t，设g（t）=et（2﹣2t），t＞，求导g′（t）=﹣2tet，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，∴g（t）＜g （）=，），），∴g（某）的值域为（﹣∞，∴某1某2取值范围为（﹣∞，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（co某﹣in某）d某，则二项式（a﹣）6的展开式中含某2项的系数为12．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=∴（﹣2﹣）6=（2（co某﹣in某）d某=（in某+co某）|+=﹣1﹣1=﹣2，）6的通项公式为Tr+1=2rC6r某3﹣r，令3﹣r=2，求得r=1，故含某2项的系数为2C61=12．故答案为：1214．已知抛物线C：y2=4某与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若=0，则k=8．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（某1，y1﹣2）（某2，y2﹣2）=0，即可求得k的值．【解答】解：抛物线C：y2=4某的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=k（某﹣1），设A（某1，y1），B（某2，y2），联立方程组，整理得：k2某2﹣（2k2+4）某+k2=0，则某1+某2==2+．某1某2=1．∴y1+y2=k（某1+某2）﹣2k=，y1y2=k2（某1﹣1）（某2﹣1）=k2[某1某2﹣（某1+某2）+1]=﹣4，∵=0，（某1，y1﹣2）（某2，y2﹣2）=0，即某1某2+y1y2﹣2（y1+y2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．15．已知函数f（某）=a某2+b某+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{某n}满足某n+1=某n﹣，设an=ln，若a1=，某n＞2，则数列{an}的通项公式an=2n﹣2（n∈N某）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（某）=a（某﹣1）（某﹣2），求出导数，可得某n+1=，求得an+1=ln=2ln=2an，运用等比数列的通项公式即可得到所求．【解答】解：函数f（某）=a某2+b某+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（某）=a（某﹣1）（某﹣2），f′（某）=a（2某﹣3），则某n+1=某n﹣由a1=，某n＞2，则an+1=ln=ln=2ln=2an，=某n﹣=，即有an=a1qn﹣1=2n﹣1=2n﹣2．故答案为：2n﹣2（n∈N某）．16．已知f（某）=某3﹣3某+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是0＜m＜3+4．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数求得f（某）=某3﹣3某+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．【解答】解：f（某）=某3﹣3某+3+m，求导f′（某）=3某2﹣3由f′（某）=0得到某=1或者某=﹣1，又某在[0，2]内，∴函数f（某）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（某）min=f（1）=m+1，f（某）ma某=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f （b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4故答案为：0＜m＜3+4三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+coC）=c（2﹣coB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．．．＜m＜3+4【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得inA+inB=2inC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；c2=（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+coC）=c（2﹣coB），∴由正弦定理可得：inB+inBcoC=2inC﹣inCcoB，可得：inBcoC+inCcoB+inB=2inC，∴inA+inB=2inC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcoC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3某16，解得：c=4．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数天数38203940402041104210，△ABC的面积为4=abinC=ab，乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数天数38103920402041404210（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为某（单位：元），求某的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，=【分析】（Ⅰ）可得P（M）．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，某=38某5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，某的值．当a=41时，某=40某5+1某7，同理可得：当a=42时，某=214．所以某的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得某的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38某0.2+39某0.4+40某0.2+41某0.1+42某0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，某=38某5=190，当a=39时，某=39某5=195，当a=40时，某=40某5=200，当a=41时，某=40某5+1某7=207，当a=42时，某=40某5+2某7=214．所以某的所有可能取值为190，195，200，207，214．故某的分布列为：某P190195200207214∴E（某）=190某+195某+200某+207某+214某=．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38某0.2+39某0.4+40某0.2+41某0.1+42某0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+4某39.5=228元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为192.2元．因为192.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．19．D，E分别是B1C1、BC的中点，如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=∵A1A=4，A1E=∴A1E2+AE2=．，∴AE⊥A1E，，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为某、y、z轴建系．易知A1（0，0，A（0，），B（，0，0），C（﹣，），B1（，0，0），，），，0），D（0，﹣，﹣设平面A1BD的法向量为=（某，y，z），由，可取．设平面B1BD的法向量为=（某，y，z），由co＜＞=，可取．又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4某的焦点，过点M（m，0）（m＞）作斜率不为0的直线为定值．重合，椭圆E的离心率为l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（某1，y1），B（某2，y2），直线l的方程为：某=ty+m，由理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由y2|=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4某的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4某的焦点重合，∴c=1，为定值，解得m，|AB|=，△OAB面积=整|y1﹣，点O到直线AB的距离d=又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．．故椭圆Γ的标准方程为：（Ⅱ）设A（某1，y1），B（某2，y2），直线l的方程为：某=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，==（=t2+1）y1y2+（tm﹣t．）（y1+y2）+m2﹣要使为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，21．已知函数f（某）=ln某﹣2a某，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（某）存在与直线2某﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（某）=f（某）+，若g（某）有极大值点某1，求证：＞a．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为某=a的范围即可；在（0，+∞）上有解，求出（Ⅱ）求出g（某）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明某1ln某1+1＞a某12，令h（某）=﹣﹣某+某ln某+1，某∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】（Ⅰ）解：因为f′（某）=﹣2a，某＞0，因为函数y=f （某）存在与直线2某﹣y=0垂直的切线，所以f′（某）=﹣在（0，+∞）上有解，即﹣2a=﹣在（0，+∞）上有解，也即某=所以在（0，+∞）上有解，＞0，得a＞，故所求实数a的取值范围是（，+∞）；（Ⅱ）证明：因为g（某）=f（某）+某2=某2+ln某﹣2a某，因为g′（某）=，①当﹣1≤a≤1时，g（某）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（某）=0，设某2﹣2a某+1=0的两根为某1和某2，因为某1为函数g（某）的极大值点，所以0＜某1＜某2，又某1某2=1，某1+某2=2a＞0，所以a＞1，0＜某1＜1，所以g′（某1）=某12﹣2a某1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明某1ln某1+1＞a某12，因为某1ln某1+1﹣a某12=某1ln某1﹣+1=﹣﹣某1+某1ln某1+1，0＜某1＜1，令h（某）=﹣某3﹣某+某ln某+1，某∈（0，1），所以h′（某）=﹣某2﹣+ln某，记P（某）=﹣某2﹣+ln某，某∈（0，1），则P′（某）=﹣3某+=当0＜某＜，＜某＜1时，p′（某）＜0，＜0，所以h′（某）＜0，时，p′（某）＞0，当）=﹣1+ln所以p（某）ma某=p（所以h（某）在（0，1）上单调递减，所以h（某）＞h（1）=0，原题得证．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系某Oy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，某轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6inθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．+的值．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为某+y﹣7=0．又由ρ=6inθ得圆C的直角坐标方程为某2+（y﹣3）2=9；（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=4，t1t2=7，∴t1＞0，t2＞0，所以[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（某）=|某﹣2|+|2某+1|．（Ⅰ）解不等式f（某）＞5；（Ⅱ）若关于某的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．+=．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（某）的解析式可得f（某）的单调性，由此求得函数f（某）的值域，求出的取值范围．再根据关于某的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解不等式|某﹣2|+|2某+1|＞5，某≥2时，某﹣2+2某+1＞5，解得：某＞2；﹣＜某＜2时，2﹣某+2某+1＞5，无解，某≤﹣时，2﹣某﹣2某﹣1＞5，解得：某＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（某）=|某﹣2|+|2某+1|=，故f（某）的最小值是，所以函数f（某）的值域为[，+∞），从而f（某）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，根据已知关于某的方程0]．2022年4月15日。
河南省商丘市高三数学二模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，集合N={x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2} D．∅2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q4．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°6．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（）A．0 B．4 C．7 D．287．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．8．在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）A．B．C．D．1﹣9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π10．给出下列命题：①将函数y=cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）的图象；②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3）则P（ξ＜6﹣a）=0.7③（2﹣）10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210；④已知数列{a n}为等差数列，且a2013+a2015=dx，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）的值为4π2．其中正确的命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．212．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f （x+1）=f（3﹣x），f＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为．14．PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC 上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是．15．若函数y=e x﹣a（e为自然常数）的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数a的取值范围是．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n+1•n（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和T n．18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．参考数据及公式如下：P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （K2=，其中n=a+b+c+d）19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．21．已知直线y=x+b与函数f（x）=lnx的图象交于两个不同的点A，B，其横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）当x2≥2时，证明x1•x22＜2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+4x（a＞0）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈R时，恒有f（2x）≥7x+a2﹣3，求实数a的取值范围．2016年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，集合N={x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中的不等式x2﹣4x+3＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即M={x|1＜x＜3}，由N中的不等式变形得：lg（3﹣x）＞0=lg1，即3﹣x＞1，解得：x＜2，即N={x|x＜2}，则M∩N={x|1＜x＜2}．故选：C．2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可．【解答】解：•（1﹣i）2=4+2i，可得•（﹣2i）=4+2i，可得=（2+i）i=﹣1+2i．z=﹣1﹣2i．故选：B．3．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q【考点】复合命题的真假．【分析】求出函数y=log2（x2﹣2x）的定义域，找出定义域内的内层函数t=x2﹣2x的增区间，结合外层函数y=log2t的单调性求出函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间，从而判断出命题p的真假，利用指数函数的值域求出函数y=的值域，判断出命题q的真假，最后结合复合命题的真假判断得到正确的结论．【解答】解：令t=x2﹣2x，则函数y=log2（x2﹣2x）化为y=log2t，由x2﹣2x＞0，得：x＜0或x＞2，所以，函数y=log2（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．函数t=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1，所以，函数t=x2﹣2x在定义域内的增区间为（2，+∞）．又因为函数为y=log2t是增函数，所以，复合函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是（2，+∞）．所以，命题p为假命题；再由3x＞0，得3x+1＞1，所以，所以，函数y=的值域为（0，1），故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，pVq为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢q为假命题．故选B．4．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．5．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的垂直求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．【解答】解：向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，∴x﹣3=0，解得x=，∴﹣=（，1）﹣（，﹣3）=（0，4），∴|﹣|=4，||=2，（﹣）•=4，设向量﹣与的夹角为θ，∴cosθ===，∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°．故选：B．6．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（）A．0 B．4 C．7 D．28【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序输出的是用辗转相除法求两个数a、b的最大公约数；当a=60，b=32时，最大公约数是4．故选：B．7．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由f（t）表示位于直线l左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数s=f（t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为t=，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象．【解答】解：依题意得s=f（t）=，分段画出函数的图象可得图象如C所示故选C．8．在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）A．B．C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】根据题意，求出满足条件的点P所组成的几何图形的体积是多少，再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可．【解答】解：符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；根据几何概型的概率计算公式得，P==1﹣．故选：D．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点，因为A1B=10，所以外接球的半径为5，体积为π•=π．故选：D．10．给出下列命题：①将函数y=cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）的图象；②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3）则P（ξ＜6﹣a）=0.7③（2﹣）10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210；④已知数列{a n}为等差数列，且a2013+a2015=dx，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）的值为4π2．其中正确的命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象关系进行判断．②根据正态分布的性质进行判断，③根据二项展开式的公式进行判断．④根据等差数列的性质以及积分的应用进行求解判断．【解答】解：①函数y=cos（x+）=cos（x+2π﹣）=sinx，将图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y=sin2x，再向左平移个单位长度，得到函数y=sin2（x+）的图象；故①错误，②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3），则P（ξ＜a）=P（ξ＞6﹣a），则P（ξ＜6﹣a）=1﹣P（ξ＞6﹣a）=1﹣0.3=0.7，故②正确，③（2﹣）10的二项展开式中的通项公式T k+1=C（2）10﹣k（﹣）k=C（2）10﹣k（﹣）k=C•210﹣k（﹣1）k x，当5﹣=﹣1时，k=4，此时T5=C26x﹣1=210×64x﹣1=13440x﹣1故x﹣1项的二项式系数是13440，故③错误；④已知数列{a n}为等差数列，且a2013+a2015=dx==2π，即a2014=π，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）=a2014×4a2014=4π2．故④正确，故正确的是②④，故选：C11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f （x+1）=f（3﹣x），f＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算．【分析】根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（3﹣x）=f（x﹣3），∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，∵f=f（﹣1）=f（1）=2，∴f（1）=2，设g（x）=，则函数的导数g′（x）==，故函数g（x）是R上的减函数，则不等式f（x）＜2e x﹣1等价为，即g（x）＜g（1），解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为24 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题设中的条件知，可以先把丙与丁必须相邻，可先将两者绑定，又甲与乙不相邻，可把丙与丁看作是一个人，与甲乙之外的一个人作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将甲乙两人插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将丙与丁绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与除甲乙之外的一人看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将甲乙两人插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24故答案为：24．14．PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC 上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是①②③．【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，则AF∥AE，显然不成立，从而得到结论．【解答】解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在的平面∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A∴BC⊥面PAC，又∵AF⊂面PAC，∴AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C∴AF⊥面PCB，而BC⊂面PCB，∴AF⊥BC，故③正确；而PB⊂面PCB，∴AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A∴PB⊥面AEF，而EF⊂面AEF，AF⊂面AEF∴EF⊥PB，AF⊥PB，故①②正确，∵AF⊥面PCB，假设AE⊥面PBC∴AF∥AE，显然不成立，故④不正确．故答案为：①②③．15．若函数y=e x﹣a（e为自然常数）的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数a的取值范围是[1，e5+1] ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由题意作平面区域，从而利用数形结合求解，注意临界值即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，当函数y=e x﹣a与直线y=x相切时，切点恰为（0，0），故此时0=1﹣a，故a=1；当函数y=e x﹣a过点（5，﹣1）时，﹣1=e5﹣a，故a=e5+1；结合图象可知，1≤a≤e5+1．故答案为：[1，e5+1]．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=3ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n+1•n（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得a n•b n=（﹣1）n﹣1••（﹣1）n+1•n=3n•（）n．运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可得2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，即2（S3+a4+2a5）=2S3+a3+2a4，即有4a5=a3，即为q2==，解得q=±，由等比数列{a n}不是递减数列，可得q=﹣，即a n=•（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1•；（Ⅱ）b n=（﹣1）n+1•n，可得a n•b n=（﹣1）n﹣1••（﹣1）n+1•n=3n•（）n．前n项和T n=3[1•+2•（）2+…+n•（）n]，T n=3[1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1]，两式相减可得， T n=3[+（）2+…+（）n﹣n•（）n+1]=3[﹣n•（）n+1]，化简可得T n=6（1﹣）．18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．参考数据及公式如下：P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评80 40 120对商品不满意70 10 80合计150 50 200得K2=≈11.111＞10.828，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．P（X=0）=0.65；P（X=1）=C51•0.4•0.64；P（X=2）=C52•0.42•0.63；P（X=3）=C53•0.43•0.62；P（X=4）=C54•0.44•0.6；P（X=5）=0.45，②X的分布列X 0 1 2 3 4 50.45P 0.65C51•0.4•0.64C52•0.42•0.63C53•0.43•0.62C54•0.44•0.6EX=5×0.4=2，DX=5×0.4×0.6=1.2．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）若G为FC的中点，根据线面平行的判定定理证明OG∥AF即可证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，∴OG∥AF，∵AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDC，∴AF∥平面BDG．解：（Ⅱ）取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ∥AB∥EF，∴M，Q，F，E共面．作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN∥FP且EN=FP，连接EM，FQ∵AE=DE=BF=CF，AD=BC，∴△ADE≌△BCF，∴EM=FQ∴△ENM≌△FPQ，∴MN=PQ=1，∵BF=CF，Q为BC的中点，∴BC⊥FQ又BC⊥MQ，FQ∩MQ=Q，∴BC⊥平面MQEF，∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD以P原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系则A（3，1，0），B（﹣1，1，0），C（﹣1，﹣1，0），设F（0，0，h），则=（﹣3，﹣1，h），=（1，1，h），∵AF⊥CF，∴•=（﹣3，﹣1，h）•（1，1，h）=﹣3﹣1+h2=0，解得h=2，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），=（﹣3，﹣1，2），=（1，﹣1，2），由得，令 z=1，则x=0，y=2，即=（0，2，1），同理平面BCF的一个法向量为=（﹣2，0，1），∴===．∴平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为．20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2==中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，﹣y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求【解答】（1）解：由题意知，，即b=又a2=b2+c2∴a=2，b=故椭圆的方程为（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4）由可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0设A（x1，y1），B （x2，y2），则△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0 ∴∴x1+x2=，x1x2=①∴=x1x2+y1y2====∵∴∴∴）（3）证明：∵B，E关于x轴对称∴可设E（x2，﹣y2）∴直线AE的方程为令y=0可得x=∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）∴==1∴直线AE与x轴交于定点（1，0）21．已知直线y=x+b与函数f（x）=lnx的图象交于两个不同的点A，B，其横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）当x2≥2时，证明x1•x22＜2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得x﹣lnx+b=0有两个不同的实根，设g（x）=x﹣lnx+b，求出导数，求得单调区间，可得最小值，即可得到b的范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得0＜x1＜1，x2＞1，g（x1）=g（x2）=0，作差g（x1）﹣g（），化简可得x2﹣3lnx2﹣+ln2，令h（t）=t﹣﹣3lnt+ln2，求出导数，判断符号，得到单调性，可得当x2≥2时，g（x1）﹣g（）＞0，即g（x1）＞g（），由g（x）在（0，1）递减，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得x﹣lnx+b=0有两个不同的实根，设g（x）=x﹣lnx+b，x＞0，g′（x）=1﹣，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增．可得g（x）在x=1处取得最小值b+1，当b＜﹣1时，b=lnx﹣x在（0，1）和（1，+∞）各有一个不同的实根，则b的范围是（﹣∞，﹣1）；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得0＜x1＜1，x2＞1，g（x1）=g（x2）=0，g（x1）﹣g（）=（x1﹣lnx1+b）﹣（﹣ln+b）=（x2﹣lnx2+b）﹣（﹣ln+b）=x2﹣3lnx2﹣+ln2，令h（t）=t﹣﹣3lnt+ln2，则h′（t）=1﹣+=，当t≥2时，h′（t）≥0，h（t）递增，即有h（t）≥h（2）=﹣2ln2＞0，当x2≥2时，g（x1）﹣g（）＞0，即g（x1）＞g（），又g（x）在（0，1）递减，0＜x1＜1，0＜＜1，即有x1＜，可得x1•x22＜2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）根据AC为圆O的切线，结合弦切角定理，我们易得∠B=∠EAC，结合DC是∠ACB的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得∠ADF=∠AFD，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出∠ADF的度数；（II）若AB=AC，结合（1）的结论，我们易得∠ACB=30°，根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为：1：1：，易得答案．【解答】解：（I）∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD又因为BE为圆O的直径，∴∠DAE=90°∴（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC∴又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，∴在RT△ABE中，[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+4x（a＞0）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈R时，恒有f（2x）≥7x+a2﹣3，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x﹣2|≥﹣2x+1，对x分类讨论解出即可得出．（II）f（2x）≥7x+a2﹣3，化为：f（2x）﹣7x≥a2﹣3，令g（x）=f（2x）﹣7x=|2x﹣a|+x=，利用函数的单调性可得：当x=时，g（x）有最小值，g（x）==．若命题成立，可得：﹣3，解出即可得出．min【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x﹣2|≥﹣2x+1，∴，或，解得{x|x≥﹣1}．（II）f（2x）≥7x+a2﹣3，化为：f（2x）﹣7x≥a2﹣3，令g（x）=f（2x）﹣7x=|2x﹣a|+x=，．∵x∈时，g（x）单调递减；x∈时，g（x）单调递增．∴当x=时，g（x）有最小值，g（x）min==．若命题成立，可得：﹣3，解得a∈（0，2）．。
河南省商丘市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(评估卷)模拟试卷
河南省商丘市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．第(2)题已知，，（为自然对数的底数），则（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题已知直角的直角顶点在圆上，若点，，则的取值范围为（ ）A．B ．C ．D ．第(4)题执行如图所示的程序框图，当输入的的值为4时，输出的的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.A ．B ．C ．D ．第(5)题已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与的图象重合（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位第(6)题已知O 为坐标原点，抛物线C ：的焦点为F ，过抛物线C 上一点A （点A 在第一象限）作C 的准线的垂线，垂足为B ，若，则点A 到直线的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题某地质勘探单位从甲､乙､丙､丁､戊5人中选取2人到某矿区进行地质勘探，则甲被选中的概率为（ ）A．B ．C ．D ．第(8)题下列关于函数的结论错误的是（ ）A．的图像关于点对称B ．的图像关于直线对称C．存在使得D ．在上的零点之和为二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前n项和为，下列关于数列的描述正确的有（）A．数列为等差数列B．数列为递增数列C．D．，，成等差数列第(2)题已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则第(3)题已知，则下列有关函数在上零点的说法正确的是（）A．函数有5个零点B．函数有6个零点C．函数所有零点之和大于2D．函数正数零点之和小于4三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
河南省商丘市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(培优卷)模拟试卷
河南省商丘市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(培优卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(2)题复数（i为虚数单位）的虚部是A．-1B．1C．-i D．i第(3)题对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么使不等式成立的的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题设集合，则（）A．B．C．D．第(5)题已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数A．B．C．D．第(6)题已知是虚数单位，a，，，则复数的模为（）A．5B．C．2D．4第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法D．分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法第(2)题下列说法中，正确的命题是（）A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和．B．在线性回归模型拟合中，若相关系数的绝对值越小，则样本的线性相关性越强．C．在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大．D．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则．第(3)题在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（）A．B．的取值范围为C．的取值范围为D．的最小值为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
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2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e42．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣73．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥04．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．135．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．1276．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．29．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2） C．（，+∞）D．（2，+∞）11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2] D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=．15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n=x n﹣+1，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e4【考点】元素与集合关系的判断．【分析】首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4，…}，∴lnk＞4，∴k＞e4．故选：C．2．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，（2﹣i）2=4﹣4i﹣1=3﹣4i，又（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，∴b=3，a=﹣4，则a﹣b=﹣7．故选：D．3．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣x，x∈（0，），f′（x）=cosx﹣1＜0，∴f（x）是（0，）上是减函数，∵f（0）=0，∴f（x）＜0，∴命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0，故选：C．4．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．13【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．127【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=5，故v=1，i=4，v=1×2+1=3i=3，v=3×2+1=7i=2，v=7×2+1=15i=1，v=15×2+1=31i=0，v=31×2+1=63i=﹣1，跳出循环，输出v的值为63，故选：C6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10﹣r+10﹣r=10cm，∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．==【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），∴=（﹣1，），=（，﹣）则•=﹣=﹣2．故选：B ．9．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（ ） A ．18种B ．24种C ．48种D ．36种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分类讨论，第一类，同一班的2名同学在甲车上；第二类，同一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，同一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C 32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C 21C 21=4，故有3×4=12种．第二类，同一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C 31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C 21C 21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式， 故选：B ．10．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．（1，）B ．（1，2）C ．（，+∞）D ．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M 在以AB 为直径的圆的外，得|MF |＞|AF |，将其转化为关于a 、b 、c 的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e 2﹣e ﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e 的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0），则直线AB 方程为：x=﹣c ，因此，设A （﹣c ，y 0），B （﹣c ，﹣y 0），∴=1，解之得y 0=，得|AF |=，∵双曲线的右顶点M （a ，0）在以AB 为直径的圆外，∴|MF |＞|AF |，即a +c ＞，将b 2=c 2﹣a 2，并化简整理，得2a 2+ac ﹣c 2＞0 两边都除以a 2，整理得e 2﹣e ﹣2＜0， ∵e ＞1，∴解之得1＜e ＜2． 故选：B ．11．如图，将绘有函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若AB 之间的空间距离为2，则f （﹣1）=（ ）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】点、线、面间的距离计算；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=2，求得T=4，再根据T==4，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=，故选：D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2] D．（﹣∞，）【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围．【解答】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，∴f（x）+1≥1，∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f（x）+1＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则f（x）+1=e﹣m，f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2），当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣=e﹣m﹣1，令t=e﹣m﹣1＞，则lnx2=t，x2=e t，1﹣=t，x1=2﹣2t，∴x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导g′（t）=﹣2te t，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，∴g（t）＜g（）=，∴g（x）的值域为（﹣∞，），∴x1x2取值范围为（﹣∞，），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为12．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=﹣1﹣1=﹣2，=2r C6r•x3﹣r，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1令3﹣r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12．故答案为：1214．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=8．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即可求得k的值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x ﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵•=0，（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n=x n﹣+1，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣2（n ∈N*）．【考点】数列与函数的综合．=，【分析】由题意可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），求出导数，可得x n+1=ln=2ln=2a n，运用等比数列的通项公式即可得到所求．求得a n+1【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），f′（x）=a（2x﹣3），=x n﹣=x n﹣=，则x n+1由a1=，x n＞2，=ln=ln=2ln=2a n，则a n+1即有a n=a1q n﹣1=•2n﹣1=2n﹣2．故答案为：2n﹣2（n∈N*）．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是0＜m＜3+4．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求导f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4＜m＜3+4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案为：0＜m＜3+4．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的面积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，可得P（M）=．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×5=190，当a=39时，X=39×5=195，当a=40时，X=40×5=200，当a=41时，X=40×5+1×7=207，当a=42时，X=40×5+2×7=214．所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为：∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为192.2元．因为192.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可…‟（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．cos＜＞=又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】（Ⅰ）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，所以f′（x）=﹣在（0，+∞）上有解，即﹣2a=﹣在（0，+∞）上有解，也即x=在（0，+∞）上有解，所以＞0，得a＞，故所求实数a的取值范围是（，+∞）；（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=x12﹣2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12，因为x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣x3﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，记P（x）=﹣x2﹣+lnx，x∈（0，1），则P′（x）=﹣3x+=，当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C 的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=4，t1t2=7，∴t1＞0，t2＞0，所以+=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．2017年4月15日。